FACULDADE DE TECNOLOGIA TUPY
CURITIBA
MÉTODOS QUANTITATIVOS
ESTATÍSTICA APLICADA
VAGNER J. NECKEL
2010
Rev. 00
SUMÁRIO
1. CONCEITOS GERAIS ....................................................................................................................3
1.1 PANORAMA HISTÓRICO ...............................................................................................................3
1.2 DEFINIÇÃO .................................................................................................................................3
1.3 A ESTATÍSTICA NAS EMPRESAS ....................................................................................................4
1.4 APLICAÇÕES ...............................................................................................................................4
1.5 MÉTODO EXPERIMENTAL X MÉTODO ESTATÍSTICO ......................................................................4
1.6 FASES DO MÉTODO ESTATÍSTICO.................................................................................................5
1.6.1 Definição do problema .....................................................................................................5
1.6.2 Coleta de dados................................................................................................................5
1.6.3 Crítica dos dados .............................................................................................................5
1.6.4 Apuração dos dados.........................................................................................................5
1.6.5 Exposição dos resultados .................................................................................................5
1.6.6 Análise dos resultados......................................................................................................6
1.7 POPULAÇÃO E AMOSTRA .............................................................................................................6
1.8 TIPOS DE VARIÁVEIS ...................................................................................................................7
2. DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA..............................................................................................9
2.1 ELEMENTOS DE UMA DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA ....................................................................9
2.2 SÍNTESE DE DADOS QUALITATIVOS ............................................................................................12
2.3 SÍNTESE DE DADOS QUANTITATIVOS ..........................................................................................13
2.3.1 Distribuição de frequência sem intervalos de classe........................................................13
2.3.2 Distribuição de freqüência com intervalos de classe .......................................................15
3. MEDIDAS DE POSIÇÃO ..............................................................................................................21
3.1 MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL ............................................................................................21
3.1.1 Média.............................................................................................................................21
3.1.2 Mediana.........................................................................................................................25
3.1.3 Moda .............................................................................................................................28
3.2 MEDIDAS SEPARATRIZES ...........................................................................................................30
4. MEDIDAS DE DISPERSÃO..........................................................................................................33
4.1 AMPLITUDE TOTAL ...................................................................................................................33
4.2 VARIÂNCIA E DESVIO PADRÃO ...................................................................................................33
5. COEFICIENTE DE VARIAÇÃO ..................................................................................................37
BIBLIOGRAFIA................................................................................................................................38
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2
ESTATÍSTICA
1. CONCEITOS GERAIS
1.1 Panorama histórico
Todas as ciências têm suas raízes na história do homem. A Matemática, que é
considerada “a ciência que une a clareza do raciocínio à síntese da linguagem” originouse do convívio social, das trocas, da contagem, com caráter prático, utilitário, empírico.
A Estatística, ramo da Matemática Aplicada, teve origem semelhante.
Desde a Antiguidade vários povos já registravam o número de habitantes, de
nascimentos, de óbitos, faziam estimativas da riqueza individual e social, distribuíam
equitativamente terras ao povo, cobravam impostos e realizavam inquéritos
quantitativos por processos que hoje chamaríamos “estatísticas”.
Na Idade Média colhiam-se informações, geralmente com finalidades tributárias
ou bélicas. A partir do século XVI começaram a surgir as primeiras análises
sistemáticas de fatos sociais (batizados, casamentos, funerais) originando as primeiras
tábuas e tabelas.
No século XVIII o estudo de tais fatos foi adquirindo uma feição
verdadeiramente científica. Godofredo Achenwall batizou a nova ciência com o nome
de Estatística, determinando o seu objetivo e suas relações com as ciências. As tabelas
tornaram-se mais completas, surgiram as representações gráficas e o cálculo de
probabilidades. A Estatística deixa de ser simples catalogação de dados numéricos
coletivos para se tornar o estudo de como chegar a conclusões sobre o todo
(população) partindo de observações de parte deste todo (amostras).
Atualmente, o público leigo (leitor de revistas e jornais) posiciona-se em dois
extremos divergentes e igualmente errôneos quanto à validade das conclusões
estatísticas: ou crê em sua infalibilidade ou afirma que elas nada provam. Os que assim
pensam ignoram os objetivos, o campo e o rigor do método estatístico; ignoram a
Estatística, quer teórica quer prática, ou a conhecem muito superficialmente. Na era da
energia nuclear, os estudos estatísticos têm avançado rapidamente e, com seus processos
e técnicas, têm contribuído para a organização dos negócios e recursos do mundo
moderno.
1.2 Definição
A Estatística é uma parte da Matemática Aplicada que fornece métodos para
coleta, organização, descrição, análise e interpretação de dados e para a utilização dos
mesmos na tomada de decisões.
A parte da estatística que trata da coleta, organização e descrição dos dados é
denominada Estatística Descritiva; a parte que lida com a análise e interpretação dos
dados chama-se Estatística Indutiva ou Inferencial.
Em geral, as pessoas, quando se referem ao termo estatística, o fazem no sentido
da organização e descrição dos dados (estatística do Ministério de Educação e outras)
desconhecendo que o aspecto essencial da Estatística é o de proporcionar métodos
inferenciais, que permitam conclusões que transcendam os dados obtidos
inicialmente.
Assim, a análise e interpretação dos dados estatísticos tornam possível o
diagnóstico de uma empresa (ex. escola), o conhecimento de seus problemas (condições
[email protected]
3
de funcionamento, produtividade), a formulação de soluções apropriadas e um
planejamento objetivo de ação.
1.3 A Estatística nas empresas
No mundo atual, a empresa é uma das vigas-mestra da Economia dos povos. A
direção de uma empresa, de qualquer tipo, incluindo as estatais e governamentais, exige
de seu administrador a importante tarefa de tomar decisões, e o conhecimento e o uso
da Estatística facilitarão seu tríplice trabalho de organizar, dirigir e controlar a empresa.
Por meio de sondagem, de coleta de dados e de recenseamento de opiniões,
podemos conhecer a realidade geográfica e social, os recursos naturais, humanos e
financeiros disponíveis, as expectativas da comunidade sobre a empresa, e estabelecer
suas metas, seus objetivos com maior possibilidade de serem alcançados a curto, médio
e longo prazo.
A Estatística ajudará em tal trabalho, como também na seleção e organização da
estratégia a ser adotada no empreendimento e, ainda, na escolha de técnicas de
verificação e avaliação da quantidade e da qualidade do produto e mesmo dos
possíveis lucros e perdas.
Tudo isso que se pensou, que se planejou, precisa ficar registrado, documentado
para evitar esquecimentos, a fim de garantir o bom uso do tempo, da energia e do
material e, ainda, para um controle eficiente do trabalho. O esquema do planejamento é
o plano, que pode ser resumido, com auxílio da Estatística, em tabelas e gráficos, que
facilitarão a compreensão visual dos cálculos matemático-estatísticos que lhes deram
origem.
O homem de hoje, em suas múltiplas atividades, lança mão de processos e
técnicas estatísticas, e só estudando-os evitaremos o erro das generalizações apressadas
a respeito de tabelas e gráficos apresentados em jornais, revistas e televisão,
frequentemente cometido quando se conhece apenas “por cima” um pouco de
Estatística.
1.4 Aplicações
Contabilidade: auditorias
Finanças: recomendações de investimento
Marketing: pesquisa de mercado
Produção: controle de qualidade
Economia: “previsões” sobre o futuro da economia
Em vista dos tópicos abordados até o presente é importante ter em mente que é
importante estudar estatística porque:
O raciocínio estatístico é amplamente utilizado no governo e na administração;
A estatística é uma ferramenta para tomada de decisões;
O conhecimento de estatística auxilia na leitura crítica de jornais, revistas,
artigos e outros.
1.5 Método Experimental x Método Estatístico
Atualmente, quase todo acréscimo de conhecimento resulta da observação e do
estudo. Apesar de que muito desse conhecimento pode ter sido observado inicialmente
[email protected]
4
por acaso, a verdade é que desenvolvemos processos científicos para seu estudo e para
adquirirmos tais conhecimentos.
Sendo assim,
Método é um conjunto de meios dispostos convenientemente para se chegar a
um fim.
Dos métodos científicos, vamos destacar o método experimental e o estatístico.
O método experimental consiste em manter constantes todas as causas (fatores), menos
uma, e variar esta causa de modo que o pesquisador possa descobrir seus efeitos, caso
existam. É o método preferido no estudo da Física, da Química. O método estatístico,
diante da impossibilidade de manter as causas constantes, admite todas essas causas
presentes variando-as, registrando essas variações e procurando determinar no resultado
final que influência cabe a cada uma delas. É amplamente aplicado nas Ciências
Sociais.
Ex.: Determinação das causas que definem o preço de uma mercadoria.
Para aplicarmos o método experimental teríamos que fazer variar a quantidade
da mercadoria e verificar se tal fato influenciaria seu preço. Porém, seria necessário que
não houvesse alteração nos outros fatores.
No método estatístico estes outros fatores (uniformidade dos salários, gosto do
consumidor e outros) são levados em conta.
1.6 Fases do Método Estatístico
1.6.1 Definição do problema
Determinar o objetivo da pesquisa, a população ou amostra a ser pesquisada e as
características mensuráveis que se quer pesquisar.
1.6.2 Coleta de dados
Após cuidadoso planejamento e a devida determinação das características
mensuráveis do fenômeno coletivo que se quer pesquisar, é iniciada a coleta de dados
numéricos necessários à sua descrição. A coleta pode ser direta e indireta.
 Coleta direta: informativos de registro obrigatório (nascimentos,
casamentos e óbitos, importação e exportação de mercadorias), prontuários
de uma escola ou dados obtidos pelo próprio pesquisador (questionários);
 Coleta indireta: quando é inferida de elementos conhecidos (coleta
direta).
1.6.3 Crítica dos dados
Obtidos os dados, eles devem ser cuidadosamente criticados, à procura de
possíveis falhas e imperfeições, a fim de não incorrermos em erros grosseiros ou de
certo vulto, que possam influir sensivelmente nos resultados.
1.6.4 Apuração dos dados
Nada mais é do que a soma e o processamento dos dados obtidos e a disposição
mediante critérios de classificação. Pode ser manual, eletromecânica ou eletrônica.
1.6.5 Exposição dos resultados
Os dados devem ser apresentados em forma de tabelas ou gráficos, tornando
mais fácil o exame daquilo que está sendo objeto de tratamento estatístico e ulterior
obtenção de medidas típicas.
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5
1.6.6 Análise dos resultados
Tirar conclusões sobre o todo (população) a partir de informações fornecidas por
parte representativa do todo (amostra).
1.7 População e amostra
A Estatística tem por objetivo o estudo dos fenômenos coletivos e das relações
entre eles. Fenômeno coletivo é aquele que se refere a um grande número de elementos,
sejam pessoas ou coisas, os quais denominamos de população ou universo.
Conceito 1: Ao conjunto de entes (pessoas, coisas) portadores de, pelo menos,
uma característica comum denominamos população estatística (ou universo
estatístico).
Assim, os estudantes, por exemplo, constituem uma população, pois apresentam
pelo menos uma característica comum: são os que estudam.
Como em qualquer estudo estatístico temos em mente pesquisar uma ou mais
características dos elementos de alguma população, esta característica deve estar
perfeitamente definida. E isto se dá quando, considerado um elemento qualquer,
podemos afirmar, sem ambigüidade, se esse elemento pertence ou não à população. É
necessário, pois, existir um critério de constituição da população, válido para qualquer
pessoa, no tempo ou no espaço.
Por isso, quando pretendemos fazer uma pesquisa entre os alunos da Faculdade,
precisamos definir quais são os alunos que formam o universo: os que atualmente
ocupam as carteiras da escola, ou devemos incluir também os que já passaram pela
escola? É claro que a solução do problema vai depender de cada caso particular.
De acordo com o seu tamanho, a população pode ser classificada pode ser
classificada como finita ou infinita.
A população finita é aquela que conhecemos o seu número total de elementos.
Por ex: estamos analisando o aproveitamento nas aulas de Estatística de uma turma de
50 alunos. Sabemos exatamente quantos alunos estão sendo observados. Logo, a
população de alunos é finita.
No entanto, se a população possui um número infinito de elementos, ela é uma
população infinita. Por ex: desejamos saber quantas pétalas têm, em média, as rosas
que nascem no Brasil. Entretanto, não sabemos exatamente quantas são as rosas que
nascem no Brasil. Logo, a população de rosas é infinita.
Em resumo, população é o conjunto de elementos que desejamos observar para
obter determinada informação.
Na maioria das vezes, por impossibilidade ou inviabilidade econômica ou
temporal, limitamos as observações referentes a uma determinada pesquisa a apenas
uma parte da população. A essa parte proveniente da população em estudo
denominamos amostra.
Uma amostra é um subconjunto finito de elementos extraídos de uma
população.
Exemplo: Uma pesquisa típica de televisão utiliza uma amostra de 4000 lares e,
com base nos resultados, formula conclusões acerca da população de todos os
98.750.324 lares da cidade XYZ.
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6
1.8 Tipos de variáveis
Variável é a característica de interesse dos elementos em estudo, sejam estes
pessoas ou objetos. Os dados são os fatos e os números que são coletados, analisados e
interpretados; são os resultados possíveis para a variável. Exemplos de variáveis são:
nome, sexo, cor dos olhos, peso, estatura e outros.
Uma variável pode ser:
a) QUALITATIVA – quando seus valores são expressos por atributos: sexo
(masculino – feminino), cor da pele (branca, preta, amarela), cargo (supervisor, chefe,
gerente, secretária)
As variáveis qualitativas podem ser:
Nominais: não tem ordenamento, nem hierarquia. Ex. variável sexo, cor da pele;
Ordinais: possuem ordenamento, hierarquia. Ex. variáveis cargo, escolaridade.
b) QUANTITATIVA – quando seus valores são expressos em números: salários
dos funcionários de uma determinada empresa, idade dos alunos de uma escola e outros.
As variáveis quantitativas podem ser:
Contínuas: podem assumir, teoricamente, qualquer valor entre dois limites.
Associada a medição. Ex. salário, altura, temperatura.
Discretas: valores inteiros. Associada a contagem. Ex. número de alunos em
uma sala, quantidade de livros numa biblioteca.
Obs: As operações aritméticas comuns só têm significado com dados quantitativos.
Exercícios de aplicação:
1. Classifique as variáveis em qualitativas (nominais ou ordinais) e quantitativas
(contínuas ou discretas):
População: alunos de uma escola
Variável: cor dos cabelos
População: casais residentes em uma cidade
Variável: número de filhos
População: as jogadas de um dado.
Variável: o ponto obtido em cada jogada
População: peças produzidas por certa máquina
Variável: número de peças produzidas por hora
População: peças produzidas por certa máquina
Variável: diâmetro externo
População: bibliotecas da cidade de Curitiba
Variável: número de volumes
2. Identifique cada número como discreto ou contínuo:
a. Cada cigarro FDB tem 16,13 mg de alcatrão.
[email protected]
7
b. O altímetro do avião indica uma altitude de 10,54 m.
c. Uma pesquisa efetuada com 1015 pessoas indica que 40 delas são assinantes de
um serviço de computador on-line.
d. Dos 1000 consumidores pesquisados, 930 reconheceram a marca da sopa
Delícia.
Interessante:
Índices, coeficientes e taxas
Índices são razões entre duas grandezas tais que uma não inclui a outra.
Exemplos:
QuocienteIntelectual 
idadeMental
x100
idadeCronológica
DensidadeDemográfica 
Re ndapercapta 
população
sup erfície
renda
população
Qual o quociente intelectual (Q.I) de uma pessoa com idade mental de 12 anos e
idade cronológica igual a 34 anos?
Coeficientes são razões entre o número de ocorrências e o número total; taxas
são os coeficientes multiplicados por uma potência de 10 para tornar o resultado mais
inteligível.
Exemplos:
CoeficienteNatalidade 
n o nascimentos
populaçãototal
Taxadenatalidade  CoeficienteNatalidadex1000
CoeficientedeAproveitamentoEscolar 
n o dealunosAprovados
n o finaldeMatrículas
TaxadeAproveitamentoEscolar  CoeficientedeAproveitamentoEscolarx100
Calcule a taxa de aprovação de um professor de uma classe de 45 alunos,
sabendo que obtiveram aprovação 36 alunos.
[email protected]
8
2. DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA
Uma distribuição de frequência é um sumário tabular de dados que mostra a
frequência (ou o número) de observações em cada uma das diversas classes. Por classe
entenda o intervalo de variação da variável.
Exemplos de distribuição de frequência:
a) Para dados qualitativos
Refrigerante
Coca-Cola (CC)
Coca-Cola Light (CCL)
Fanta Uva (FU)
Pepsi-Cola (PC)
Sprite (SP)
Total
b) Para dados quantitativos
Estaturas (cm)
150 ├154
154 ├158
158 ├162
162 ├166
166 ├170
170 ├174
Total
Frequência (fi)
18
9
5
13
5
50
Frequência
4
9
11
8
5
3
40
2.1 Elementos de uma distribuição de frequência
São elementos de uma distribuição de frequência:
 Classes (k) – classes de frequência ou simplesmente classes são
intervalos de variação da variável.
 Limites de classe – são os extremos de cada classe. Cada classe possui
um limite inferior (Li) e um limite superior (Ls).
 Amplitude total da distribuição (AT) – diferença entre o limite superior
da última classe e o limite inferior da primeira classe.
At  Lmax  Lmin  174  150  24
[email protected]
9
 Amplitude de um intervalo de classe (h) – diferença entre o limite
superior da classe (Ls) e o limite inferior da classe (Li).
h  Ls  Li  154  150  4
ou
A
24
h T 
4
k
6
Obs. Todas as classes apresentam a mesma amplitude.
 Ponto médio de uma classe – metade da soma dos limites de classe.
L  Ls 150  154
Para a primeira classe temos: xi  i

 152
2
2
 Frequência simples ou absoluta (fi) – valor que representa o número de
dados de cada classe. Temos sempre que  f i  n , onde n é o número
total de observações.
 Frequência relativa (fr) – razão entre a frequência simples e a
frequência total.
fr 
fi
f

i
fi
n
Da distribuição acima temos que a frequência relativa da 3a classe é
11
fr 
 0,275 .
40
O propósito das freqüências relativas é o de permitir a análise ou facilitar
comparações de dados.
 Frequência acumulada (Fi) – total das frequências de todos os valores
inferiores ao limite superior do intervalo de uma dada classe:
Fi  f1  f 2  ...  fi
A frequência acumulada da 3a classe da distribuição acima ilustrada é Fi= 24
(4+9+11), o que significa que existem 24 alunos com altura inferior a 162 cm (limite
superior do intervalo da 3a classe).
 Frequência acumulada relativa (Fr) – quociente entre a freqüência
acumulada e o total de freqüências.
Fr 
Fi
f
i
Assim, para a terceira classe temos que Fr 
[email protected]
24
 0,60
40
10
Exercícios de aplicação
1. A tabela abaixo apresenta uma distribuição de frequência das áreas de 370 lotes de
uma determinada cidade.
Áreas (m2)
Número de lotes
300 ├ 400
14
400 ├ 500
16
500 ├ 600
58
600 ├ 700
76
700 ├ 800
68
800 ├ 900
62
900 ├ 1000
48
1000 ├ 1100
22
1100 ├ 1200
6
Total
370
Com referência a essa tabela, determine:
a amplitude total;
o limite superior da 5a classe;
o limite inferior da 8a classe;
o ponto médio da 7 a classe;
a amplitude do intervalo da 2 a classe;
a frequência da 4a classe;
a frequência relativa da 6a classe;
a frequência acumulada da 5a classe;
o número de lotes cuja área não atinge 700 m2;
o número de lotes cuja área atinge e ultrapassa 800 m2;
a percentagem dos lotes que não atingem 600 m2;
a percentagem dos lotes cuja área é de 500 m2, no mínimo, mas inferior a 1000 m2;
a classe do 72o lote.
2. Os valores da distribuição de frequência abaixo se referem aos preços de locação de
sobrados de 2 quartos no bairro TYÇ extraídos da Folha do Amanhã no período de 19 a
25/02/01.
Preço de locação (em R$)
Quantidade de imóveis
130 ├ 185
3
185 ├ 240
7
240 ├ 295
4
295 ├ 350
6
350 ├ 405
9
405 ├ 460
1
Total
30
Responda:
Qual a amplitude total da distribuição?
Qual a amplitude da 3a classe?
Quantos sobrados possuem seu preço de locação entre R$ 240,00 (inclusive) e R$
405,00?
Qual a frequência relativa da 6 a classe?
Qual a frequência acumulada da 4 a classe?
[email protected]
11
Qual o percentual de sobrados cujo preço de locação está entre R$ 240,00 (inclusive) e
R$ 460,00?
3. Uma distribuição de frequência está representada abaixo:
Salário dos funcionários da empresa ABC
Faixa salarial, em R$ fi
fr
0,00 ├ 240,00
4
240,00 ├ 480,00
8
480,00 ├ 720,00
14
720,00 ├ 960,00
28
960,00 ├ 1200,00
21
1200,00 ├ 1440,00 12
1440,00 ├ 1680,00 7
Acima de 1680,00
6
100
Fi
Fr
a) Complete as lacunas restantes.
b) Com base na tabela completa responda:
Qual o número de pessoas que recebe menos que R$ 960,00?
Qual a porcentagem de pessoas que recebe entre R$ 1200,00 (inclusive) e R$ 1440,00?
Qual o número de pessoas que recebe de R$ 720,00 para cima?
2.2 Síntese de dados qualitativos
Exemplo de aplicação: Foram coletados dados relativos a 50 compras de
refrigerantes. Os produtos envolvidos na pesquisa foram: Coca-Cola (CC), Coca-Cola
Light (CCL), Pepsi-Cola (PC), Fanta Uva (FU) e Sprite (SP).
CC
CCL
PC
CCL
CC
CC
FU
CCL
PC
PC
CC
FU
SP
CC
CCL
CC
CC
SP
CC
CCL
CC
CCL
CC
SP
PC
CC
CC
CC
PC
CC
SP
FU
PC
CCL
PC
CC
CC
CC
PC
FU
CC
CCL
PC
PC
PC
PC
CCL
FU
PC
SP
Elaboração da distribuição de frequência
Passo 1: Distribuição das classes e contagem
Refrigerante
Coca-Cola (CC)
Coca-Cola Light (CCL)
Fanta Uva (FU)
Pepsi-Cola (PC)
Sprite (SP)
Total
Frequência (fi)
18
9
5
13
5
50
Passo 2: Cálculo das frequências relativa (fr) e percentual (fp)
[email protected]
12
Refrigerante
Frequência (fi)
Coca-Cola
Coca-Cola Light
Fanta Uva
Pepsi Cola
Sprite
Total
18
9
5
13
5
50
Frequência
relativa (fr)
Frequência
acumulada
simples (Fi)
Frequência
acumulada
relativa (Fr)
Passo 3: Representação gráfica
Frequência relativa
Distribuição das compras de 50 refrigerantes
0,4
0,3
0,2
0,1
0
1
2
3
4
5
6
Refrigerantes
Exercício de aplicação
1. Foi realizada uma pesquisa para avaliação do restaurante do Zé. Uma das perguntas
avaliadas foi: “Qual a sua impressão sobre a qualidade da comida apresentada no
restaurante do Zé?” Foram entrevistadas 50 pessoas e as respostas obtidas foram as
seguintes (E= excelente, MB= muito bom, B= bom, R= regular, F= fraco):
B
MB
MB
E
E
E
R
B
MB
F
B
R
B
R
E
E
R
E
MB
MB
E
R
F
E
MB
R
MB
E
E
E
E
R
MB
E
E
MB
B
E
B
R
E
B
E
B
MB
E
E
R
MB
MB
a) Construa a distribuição de frequência simples;
b) Represente graficamente as distribuições;
c) Interprete os resultados obtidos.
2.3 Síntese de dados quantitativos
2.3.1 Distribuição de frequência sem intervalos de classe
Quando se trata de variável quantitativa discreta de variação relativamente
pequena, cada valor pode ser tomado como um intervalo de classe e, nesse caso, a
distribuição é chamada distribuição sem intervalos de classe, tomando a seguinte forma:
[email protected]
13
Variável de estudo (xi)
x1
x2
...
xn
Frequência (fi)
f1
f2
...
fn
fi = n
Exemplo de aplicação: Uma empresa de prestação de serviços fez uma pesquisa
onde seus 30 principais clientes, de um universo de 150 clientes, avaliaram o
atendimento dando notas inteiras de valor entre 0 e 10. Os resultados obtidos estão
listados na tabela abaixo (tabela primitiva).
5
6
3
2
1
3
9
2
8
1
3
4
7
3
7
3
2
1
4
0
4
2
5
2
3
3
2
1
4
1
Elaboração da distribuição de freqüência sem intervalos de classe
A variável em estudo é nota (valores inteiros de 0 a 10), sendo, para o caso em
questão, uma variável quantitativa discreta. Vamos então construir a distribuição de
frequência utilizando dados agrupados sem intervalo de classe.
Passo 1: Elaboração do rol (opcional). O rol consiste na ordenação dos dados coletados
em ordem crescente.
0
1
1
1
1
1
2
2
2
2
2
2
3
3
3
3
3
3
3
4
4
4
4
5
5
6
7
7
8
9
Passo 2: Distribuição das classes e contagem. Cálculo das frequências relativa (fr) e
percentual (fp).
Notas
Frequência (fi)
0
1
2
3
4
5
6
7
8
1
5
6
7
4
2
1
2
1
[email protected]
Frequência relativa Frequência
(fr)
percentual (fp)
0,033
3,3
0,167
16,7
0,200
20,0
0,233
23,3
0,133
13,3
0,067
6,7
0,033
3,3
0,067
6,7
0,033
3,3
14
9
Total
1
30
0,033
1,000
3,3
100
Passo 3: Representação gráfica
Na distribuição de frequência para dados agrupados sem intervalo de classe não
há perda de informação.
2.3.2 Distribuição de freqüência com intervalos de classe
Quando se trata de variável quantitativa contínua utiliza-se a distribuição de
frequência com intervalos de classe. Esta toma a seguinte forma:
Variável de estudo (xi)
x1 ├ x2
x2 ├ x3
...
xm ├ xn
Frequência (fi)
f1
f2
...
fn
fi = n
Exemplo de aplicação: Suponha que desejamos realizar um estudo sobre
estaturas de alunos de determinado grupo escolar e que este grupo seja composto de 40
alunos. A variável de interesse é quantitativa contínua – peso. Os dados coletados são
listados abaixo (valor de altura em cm) e constituem a tabela primitiva. Vamos construir
então a distribuição de frequência considerando os dados agrupados com intervalos de
classe.
166
162
155
154
160
161
152
161
161
168
163
156
150
163
160
172
162
156
155
153
160
173
155
157
165
160
169
156
167
155
151
158
160
168
164
161
164
164
170
158
Elaboração de distribuição de freqüência com intervalos de classe
Passo 1: Após a coleta e listagem dos dados na tabela primitiva o passo seguinte é a
elaboração do rol. O rol consiste na ordenação dos dados coletados em ordem crescente.
[email protected]
15
150
151
152
153
154
155
155
155
155
156
156
156
157
158
158
160
160
160
160
160
161
161
161
161
162
162
163
163
164
164
164
165
166
167
168
168
169
170
172
173
Passo 2: Elaborado o rol determina-se o número de classes da distribuição: Este número
pode ser determinado (a) por método empírico, (b) pela regra de Sturges
( k  1  3,3 log n ) ou (c) regra prática k  n . Pela regra prática: k  n  40  6 .
Inicia-se então a montagem da distribuição de frequência.
A
173  150
Passo 3: Determina-se a amplitude do intervalo de classe h  T 
4 e
k
6
definem-se os limites inferiores e superiores de cada classe. Para a primeira classe,
temos que o limite inferior Li é 150 e o limite superior é Ls= Li + h= 150 + 4=154. Para
determinação dos limites inferior e superior para as classes seguintes o procedimento é
o mesmo. Tem-se então:
Estaturas (cm)
150 ├154
154 ├158
158 ├162
162 ├166
166 ├170
170 ├174
Total
Frequência (fi)
Passo 4: Procede-se a contagem dos elementos pertencentes a cada classe para
determinar a coluna de frequência simples, frequência relativa e frequência acumulada.
Estaturas
(cm)
150 ├154
154 ├ 158
158 ├ 162
162 ├ 166
166 ├ 170
170 ├ 174
Total
fi
xi
fr
Fi
Fr
4
9
11
8
5
3
40
Passo 5: Elabora-se o histograma.
[email protected]
16
Frequência
Histograma
12
10
8
6
4
2
0
150
┤154
154
┤158
158
┤162
162
┤166
166
┤170
170
┤174
Estatura dos alunos (em cm)
Ao agruparmos os valores da variável desta forma ganhamos em simplicidade,
mas perdemos os pormenores. O que pretendemos com a construção dessa distribuição
é realçar o que há de essencial nos dados e, também, tornar possível o uso de técnicas
analíticas para sua total descrição.
Em resumo, para elaborar uma distribuição de frequência para dados
quantitativos os seguintes passos devem ser seguidos:
a. A partir da tabela primitiva, elaborar o rol dos dados;
b. Determinar o número de classes (k). Este número pode ser determinado (a) por
método empírico, (b) pela Regra de Sturges ( k  1  3,3 log n ) ou (c) regra
c.
d.
e.
f.
prática k  n ;
Determinar a amplitude do intervalo de classe (AT);
Determinar os limites inferiores e superiores de cada classe;
Realizar a contagem dos elementos de cada classe;
Montar a distribuição de frequência nas formas tabular e gráfica.
Exercícios de aplicação
1. Uma confecção contratou uma empresa para fazer uma pesquisa para saber como
varia a estatura das pessoas adultas de determinado bairro da sua cidade, a fim de saber
como encaminhar a produção das roupas que produz. A pesquisa, feita com uma
amostra de 40 adultos escolhidos ao acaso, revelou os seguintes dados:
Estaturas (em m) de 40 pessoas adultas
1,66
1,50
1,62
1,79
1,64
1,63
1,61
1,68
1,76
1,70
1,58
1,57
1,73
1,82
1,72
1,56
1,58
1,69
1,65
1,58
1,85
1,70
1,68
1,65
1,68
1,75
1,70
1,64
1,65
1,62
1,70
1,64
1,61
1,63
1,67
1,64
1,68
1,70
1,67
1,69
a. Qual a variável em questão? Que tipo de variável é esta?
b. Elabore uma distribuição de frequência relativa.
c. Elabore o histograma de frequência relativa.
2. Os dados para os números de unidades produzidas por um determinado funcionário
da área de produção durante vinte dias são apresentados a seguir:
160
148
170
198
[email protected]
181
179
156
162
176
150
17
162
156
179
178
157
154
179
148
Sintetize os dados construindo:
a. Uma distribuição de frequência relativa
b. Uma distribuição de frequência relativa acumulada
c. Os respectivos histogramas para os itens a e b.
151
156
3. O diretor de produção de uma grande fábrica de chocolates resolveu fazer uma
inspeção surpresa na linha para verificar o peso dos chocolates, os quais deveriam ter
200  1 g. Para tanto, coletou uma amostra com 40 unidades e verificou, um a um, o
peso dos chocolates. Os resultados obtidos foram os seguintes:
199,4
198,5
199,7
200,3
197,8
199,2
201,2
200,5
198,2
197,9
199,8
201,4
199,4
199,4
200,1
198,9
197,9
199,2
200,2
200,3
199,7
199,5
197,8
199,5
199,5
199,1
200,4
198,5
198,9
200,3
198,6
199,2
198,6
198,8
200,1
199,1
198,8
201,4
199,8
198,5
Organizar os resultados um uma tabela de frequência acumulada relativa e fazer o
respectivo histograma.
Como diretor de produção avaliar os seguintes itens:
a. Quantos % do total da amostra pesam menos do que 199 g?
b. Quantos % pesam mais do que 201 g?
c. Sabendo que o valor admitido é 200  1 g como você avalia a sua produção?
4. O IBOPE realizou levantamento estatístico, a respeito de índices de audiência de um
determinado programa “A Hora da Hora” da emissora CCC, durante 50 dias. A tabela
abaixo fornece os dados obtidos, através de pesquisa realizada pelo IBOPE, referentes a
índices de audiência (de 0 a 100 pontos) para cada um dos 50 dias de acompanhamento.
15.2
23.4
25.1
30.1
28.0
14.6
17.8
42.0
30.1
25.3
27.9
26.9
35.2
22.1
31.8
24.9
30.8
15.6
24.4
31.0
20.0
19.9
25.5
28.7
28.3
43.5
36.8
29.7
35.0
13.5
30.7
33.4
27.8
26.1
32.1
30.0
19.8
14.6
28.2
25.4
35.7
29.6
22.1
19.4
26.7
40.9
38.2
24.3
28.7
36.8
a. Com base nos dados apresentados construa histograma de frequência relativa
representando os índices de audiência do programa “A Hora da Hora”.
b. Retire, do histograma obtido, o máximo de informações e conclusões possíveis
sobre os índices de audiência do programa.
5. Uma empresa de prestação de serviços fez uma pesquisa onde seus 60 principais
clientes de um universo de 1000 clientes avaliaram o atendimento dando notas inteiras
de valor entre 0 e 10. Os resultados obtidos se encontram na tabela abaixo.
5
6
3
2
1
9
2
8
1
3
7
3
7
3
2
4
0
4
2
5
[email protected]
3
3
2
1
4
6
0
3
0
3
5
2
2
1
6
8
1
4
2
2
2
3
7
2
8
3
1
3
2
2
18
3
4
1
2
1
6
1
3
2
1
a. Com base nestes resultados elabore tabelas de freqüência absoluta para dados
agrupados sem intervalo de classe e dados agrupados com intervalo de classe.
b. Represente as duas tabelas na forma de histograma.
c. Analise seus resultados o obtenha conclusões a respeito desta pesquisa.
6. Ao final de um dia de trabalho a fábrica de camisetas Arara produziu 5000 peças. O
chefe da qualidade resolve realizar inspeção para verificar a quantidade de defeitos/
peça. Entre os itens verificados estão acabamento, estampa, costura, existência de rasgo
e outros. Foram tomadas 50 camisetas e a quantidade de defeitos/ peça foi assim
registrada:
0
1
2
3
2
3
0
1
0
0
1
0
0
1
1
4
1
2
0
2
0
0
0
1
0
0
0
5
1
1
0
2
1
1
2
Construa a tabela de frequência relativa com seu respectivo
dados agrupados sem intervalo de classe.
1
0
2
2
2
3
2
1
2
2
3
1
0
1
0
histograma considerando
Como chefe da qualidade avalie:
qual o percentual de zero defeitos/peça obtido?
qual o percentual de peças com menos de três defeitos?
qual o percentual de peças com 5 defeitos? Sabendo que a norma exige que o percentual
máximo admissível de peças com 5 defeitos seja de 1,5% avalie a produção do dia.
7. Para os exercícios abaixo listados: a) elabore distribuição de frequência com fi, fr, Fi e
Fr ,b) construa os respectivos histogramas e c) interprete os resultados obtidos.
a) Os seguintes dados referem-se à média salarial (em R$) dos funcionários contratados
pelas melhores empresas (as que mais se destacaram em 1998), segundo dados da
revista Exame.
Média salarial (em R$)
1638
1894
2154
1104
1271
1004
2415
516
1317
1715
3957
2000
704
780
756
1351
1330
2622
1137
2634
585
1398
1319
3296
802
1440
1230
3050
2169
2846
588
3153
1674
3500
1158
b) As cotações a seguir referem-se às variações do dólar turismo no período de 03/01 a
18/02 do ano corrente.
[email protected]
19
Cotação do dólar 03/01 a 18/02
1,78
1,82
1,8
1,73
1,72
1,72
1,81
1,79
1,77
1,72
1,73
1,8
1,77
1,73
1,77
1,77
1,78
1,75
1,73
1,72
1,72
1,79
1,77
1,73
1,82
1,74
1,73
1,72
1,78
1,82
1,73
1,77
1,72
1,74
c) Os valores que seguem referem-se ao preço de locação de sobrados de 2 quartos no
bairro Boqueirão, extraídos da Folha do Boqueirão referente ao período de 19 a
26/01/00.
Preço de locação imóvel de 2 q. no Boqueirão
300
200
250
270
450
190
130
300
170
250
350
350
200
230
250
300
180
200
200
350
220
340
400
330
350
350
400
370
350
300
d) Num restaurante os pratos que constavam no cardápio perfaziam um total de 50 itens
diferentes para o cliente escolher. Pesquisado o preço dos itens (em R$), obteve-se a
seguinte constatação:
12
20
25
14
16
15
19
17
18
15
18
16
15
16
17
26
14
19
15
14
14
15
22
18
15
17
16
18
14
19
16
17
14
16
20
14
13
15
17
16
18
24
16
15
14
19
23
19
16
18
e) Dentre os 40 postos de Saúde da grande Curitiba, os valores abaixo mostram quantas
são atendidas em cada um destes postos.
18
22
23
25
24
25
20
21
30
27
23
26
28
29
24
22
26
20
26
30
23
19
28
27
21
22
18
23
29
24
22
20
22
25
24
21
23
27
26
23
f) Os dados sobre a porcentagem de desemprego no município de São Paulo, no período
de 92 a 95, foram:
10,6
13,6
12,7
13,5
12,3
13,5
12,1
13,3
13,6
13,4
13,2
12,8
14,5
14,0
12,1
11,9
[email protected]
15,0
14,6
14,1
11,5
15,1
14,7
14,0
11,1
14,6
15,0
12,1
12,8
15,0
14,4
14,3
11,7
15,1
13,7
12,1
12,0
14,5
12,9
13,1
12,6
20
3. MEDIDAS DE POSIÇÃO
Medidas de posição são estatísticas que representam uma série de dados
orientando-nos quanto à posição da distribuição em relação ao eixo horizontal.
As medidas de posição mais importantes são as medidas de tendência central,
que recebem tal denominação pelo fato de os dados observados tenderem, em
geral, a se agrupar em torno dos valores centrais. Dentre as medidas de tendência
central, destacamos a média, a mediana e a moda.
As outras medidas de posição são as separatrizes, que englobam a própria
mediana, os quartis e os percentis.
3.1 Medidas de tendência central
3.1.1 Média
Média (aritmética), x , para dados não-agrupados
É a medida de tendência central mais utilizada. É a soma dos valores dividida
pelo número deles.
x
x
n
i

x1  x2  ...  xn
n
Exemplo 1. Determinar a média aritmética dos conjuntos de valores abaixo:
70, 80, 120
5, 8, 10, 12, 15
Exemplo 2. Em uma empresa de componentes eletrônicos, a exportação nos últimos 4
anos, em milhares de dólares, foi U$ 800,00, U$ 760,00, U$ 880,00 e U$ 984,00.
Determinar a média das exportações dessa empresa nos últimos 4 anos.
O processo de cálculo da média aritmética é o mesmo, quer se trate de um
conjunto de valores que traduzam representações amostrais, quer se trate de todos os
valores de uma população. Temos então,
Média amostral x 
x
n
e média populacional  
x
N
Propriedades da média
A média de um conjunto de números pode sempre ser calculada.
Para um dado conjunto de números, a média é única.
A média é sensível a todos os valores do conjunto. Assim, se um valor se
modifica, a média também se modifica.
A soma dos desvios dos números a contar da média é zero:   xi  x   0
Vantagens/ desvantagens da utilização da média
Vantagens
Desvantagens
Fácil de compreender e calcular
É afetada por valores extremos
Utiliza todos os valores da variável
É necessário conhecer todos os valores da
variável
[email protected]
21
É um valor único
Fácil de incluir em equações matemáticas
A média é utilizada quando:
Desejamos obter a medida de posição que possui maior estabilidade;
Houver necessidade de um tratamento algébrico ulterior.
Exemplo de aplicação: Em controle de qualidade a média é utilizada para determinar se
o processo está operando ao redor de um valor esperado, o alvo.
Média (aritmética) em distribuições de freqüência
a) Dados agrupados sem intervalos de classe
 xi f i
x
 fi
onde xi f i é a média aritmética ponderada pela respectiva freqüência absoluta.
Exemplo 3: Considere a distribuição relativa de 34 famílias de 4 filhos, tomando para
variável o número de filhos do sexo feminino.
Número de meninas (xi)
0
1
2
3
4

Calculando, x 
x f
f
i
Freqüência (fi)
2
6
10
12
4
34
xi fi
i
i
Sendo x uma variável quantitativa discreta, como interpretar o resultado obtido,
2 meninos e 3 décimos de menino? O valor médio 2,3 meninos sugere, neste caso, que o
maior número de famílias tem 2 meninos e 2 meninas, sendo, porém, a tendência geral
de uma leve superioridade numérica em relação ao número de meninos.
b) Dados agrupados com intervalos de classe
 x i fi
x
 fi
onde xi é o ponto médio da classe.
Exemplo 4. Considere a distribuição de estaturas de 40 alunos.
Estatura (cm)
150 ├ 154
154 ├ 158
xi
[email protected]
fi
4
9
Pm fi
22
158 ├ 162
162 ├ 166
166 ├ 170
170 ├ 174

Calculando, x 
11
8
5
3
40
x f
f
i i
i
Exemplo 5. Em uma pesquisa realizada numa determinada Empresa quanto aos salários
médios de seus funcionários, verificou-se o seguinte resultado:
Salários (R$)
240 ├ 480
480 ├ 720
720 ├ 960
960 ├ 1200
1200 ├ 1440

xi
fi
15
22
30
18
15
100
Pm fi
Com base nestes resultados determine o salário médio desses funcionários.
Exercícios de aplicação - Média
1. Um produto é vendido em três supermercados por R$ 13,00/kg, R$ 13,20/kg e R$
13,50/kg. Determine quantos R$/kg se paga em média pelo produto.
2. Determine a média de cada uma das duas amostragens e compare os dois conjuntos
de resultados:
a) Tempos de espera de clientes no Banco Jefferson Valley (onde todos os clientes
formam uma fila única) e no Banco Providence (onde os clientes entram em três filas de
guichês diferentes):
Jefferson Valley: 6,5 6,6 6,7 6,8 7,1 7,3 7,4 7,7 7,7 7,7
Providence: 4,2 5,4 5,8 6,2 6,7 7,7 7,7 8,5 9,3 10,0
b) Amostras das idades (em anos) de carros de alunos e carros de professores e
funcionários da faculdade, obtidas na faculdade XCV:
Alunos: 10 4 5 2 9 7 8 8 16 4 13 12
Professores/funcionários: 7 10 4 13 23 2 7 6 6 3 9 4
3. O salário de 40 funcionários de um escritório está distribuído segundo o quadro
abaixo. Calcule o salário médio destes funcionários.
Salário
(R$)
400 ├ 500
500 ├ 600
600 ├ 700
700 ├ 800
[email protected]
Número de funcionários
fi
12
15
8
3
23
800 ├ 900
900 ├ 1000
Total
1
1
40
4. Uma imobiliária gerencia o aluguel de residências particulares segundo o quadro
abaixo. Calcule o valor médio do aluguel por residência.
Aluguel
(R$)
0 ├ 200
200 ├ 400
400 ├ 600
600 ├ 800
800 ├ 1000
Total
Número de casas
fi
30
52
28
7
3
120
5. Calcule o número médio de acidentes por dia em uma determinada esquina.
Número de acidentes por dia
xi
0
1
2
3
4
Total
Número de dias
fi
30
5
3
1
1
50
6. Calcule a média de idade para a série representativa da idade de 50 alunos de uma
classe do 1 o ano de uma Faculdade.
Idade
(anos)
17
18
19
20
21
Total
Número de alunos
fi
3
18
17
8
4
50
7. Uma loja de departamentos selecionou um grupo de 54 notas fiscais, durante um dia,
e obteve o quadro abaixo. Determine o valor médio da série.
Consumo por nota
(R$)
0 ├ 50
50 ├100
100 ├150
[email protected]
Número de notas
fi
10
28
12
24
150 ├ 200
200 ├ 250
250 ├ 300
Total
2
1
1
54
8. O consumo de energia elétrica, verificado em 250 residências de famílias de classe
média, com dois filhos, revelou a seguinte distribuição.
Consumo
(kWh)
0 ├ 50
50 ├ 100
100 ├ 150
150 ├ 200
200 ├ 250
250 ├ 300
300 ├ 350
Total
Número de funcionários
fi
2
15
32
47
50
80
24
250
Calcule a média da distribuição e interprete o valor obtido.
3.1.2 Mediana
Mediana (Md) para dados não-agrupados
A mediana é definida como o número que se encontra no centro de uma série de
números, estando estes dispostos segundo uma ordem. Em outras palavras, a mediana
de um conjunto de valores, ordenados segundo uma ordem grandeza, é o valor situado
de tal forma no conjunto que o separa em dois subconjuntos de mesmo número de
elementos.
Para determinar a mediana ordenam-se os valores em ordem crescente (do mais baixo
ao mais alto). Se a quantidade de valores n for um número ímpar a mediana será o
n  1 ; se a quantidade de valores n for um
valor da variável situado na posição
2
número par a mediana será igual ao resultado de dividir por dois a soma dos valores
n n
das posições
e  1.
2 2
Exemplo 6. Calcular a mediana dos conjuntos de dados abaixo:
5, 6, 8
7, 8, 9, 10
A mediana é uma medida resistente, pois está relacionada apenas com a ordem dos
valores da variável. Em outras palavras, não é sensível a valores extremos.
Vantagens/ desvantagens da utilização da mediana
Vantagens
Fácil de calcular
[email protected]
Desvantagens
Difícil de incluir em equações matemáticas
25
Não é afetada pelos valores extremos
É um valor único
Não utiliza todos os valores da variável
Empregamos a mediana quando:
Desejamos obter o ponto que divide a distribuição em partes iguais;
Há valores extremos que afetam de uma maneira acentuada a média;
A variável em estudo é salário, renda anual e valores de bens.
Exemplo de aplicação: Se quisermos conhecer o valor típico dos salários, de uma
determinada categoria de trabalhadores, utilizaremos a mediana.
Exemplo 7. Calcular a média e a mediana a partir da tabela abaixo. Os dados são
referentes a 5 funcionários do Depto. Pessoal da Empresa DSF.
Funcionário
João
Maria
Sebastião
José
Manoel
Salário (R$)
2100
800
200
400
500
Mediana em distribuições de freqüência
Se os dados se agrupam em uma distribuição de frequência, o cálculo da
mediana se processa de modo muito semelhante àquele dos dados não-agrupados,
implicando, porém, a determinação prévia das frequências acumuladas. Ainda aqui,
temos que determinar um valor tal que divida a distribuição em dois grupos que
contenham o mesmo número de elementos.
Para o caso de uma distribuição, porém, a ordem, a partir de qualquer um dos extremos,
f
é dada por  i
2
a) Dados agrupados sem intervalos de classe
Neste caso, é o bastante identificar a frequência acumulada imediatamente
superior à metade da soma das frequências. A mediana será aquele valor da variável que
corresponde a tal frequência acumulada.
Exemplo 8.
Número de meninas
0
1
2
3
4

fi
2
6
10
12
4
34
Fi
b) Dados agrupados com intervalos de classe
[email protected]
26
Neste caso, o problema consiste em determinar o ponto do intervalo em que está
compreendida a mediana. Para tanto, temos inicialmente que determinar a classe na qual
se acha a mediana – classe mediana.
Na prática, utiliza-se o seguinte procedimento:
a. Determina-se as freqüências acumuladas.
f
n
b. Calcula-se PMe   i 
2 2
c. Marca-se a classe correspondente à freqüência acumulada imediatamente superior a
PMe - classe mediana – e, em seguida, emprega-se a seguinte equação:
 PMe  | Fa  .h
M d  Li 
f Me
onde:
Li = limite inferior da classe mediana
|
Fa = freqüência acumulada da classe anterior à classe mediana
f Me = freqüência simples da classe mediana
h = amplitude do intervalo de classes
Exemplo 9.
Estatura (cm)
150 ├ 154
154 ├ 158
158 ├ 162
162 ├ 166
166 ├ 170
170 ├ 174

Da equação acima, temos:
PMe =
fi
4
9
11
8
5
3
40
Fi
Li =
|
Fa =
f Me =
h=
 PMe  | Fa  .h
Substituindo em M d  Li 
temos:
f Me
Exercícios de aplicação - Mediana
Calcular a mediana para todos os exercícios listados na secção 3.1.1 (Média).
[email protected]
27
3.1.3 Moda
Moda - M o , para dados não-agrupados
A moda é o valor que ocorre com maior freqüência num conjunto de dados.
Exemplo 10. Calcular a moda dos conjuntos de valores abaixo:
10, 10, 8, 6, 10
3, 5, 6, 7, 9
Vantagens/ desvantagens da utilização da moda:
Vantagens
Desvantagens
Fácil de calcular
Pode estar afastada do centro dos valores
Não é afetada pelos valores extremos
Não utiliza todos os valores da variável
É um valor único
Difícil de incluir em equações matemáticas
A variável pode ter mais de uma moda
Algumas variáveis não tem moda
A moda é utilizada quando:
Desejamos obter uma medida rápida e aproximada de posição;
A medida de posição deve ser o valor mais típico da distribuição.
Exemplo de aplicação: Na distribuição do consumo de um mesmo produto com
diferentes apresentações a moda mostra a apresentação mais consumida.
Moda em distribuições de frequência
a) Dados agrupados sem intervalos de classe
Exemplo 11.
Número de meninas
0
1
2
3
4

fi
2
6
10
12
4
34
b) Dados agrupados com intervalos de classe
A classe que apresenta maior freqüência é denominada classe modal. Calcula-se através
da equação:
L  LS
Mo  i
2
onde:
L i = limite inferior da classe modal
LS = limite superior da classe modal
[email protected]
28
Exemplo 12.
Estatura (cm)
150 ├ 154
154 ├ 158
158 ├ 162
162 ├ 166
166 ├ 170
170 ├ 174

fi
4
9
11
8
5
3
40
Exercícios de aplicação – Moda
Calcular a moda para todos os exercícios listados na secção 3.1.1 (Média).
Em resumo:
Média
Dados
agrupados
nãox
Dados agrupados
sem intervalo de
classe
x
Dados agrupados
com intervalo de
classe
x
x
i
n
x f
f
i
i
x f
f
i i
[email protected]
i
i
Mediana
n ímpar
valor
da
variável
situada na posição
n  1
2
n par
dividir por 2 a soma dos
valores situados nas
n n  1
posições
e
2
2
Moda
Valor que ocorre
com
maior
frequência.
Determinam-se
as
freqüências
acumuladas;
f
Calcula-se  i ;
2
Marca-se
a
classe
mediana;
Verificar
valor
da
variável
correspondente.
Identificar a classe
modal;
Verificar a coluna
da
variável
correspondente.
Determinam-se
as Identificar a classe
freqüências
modal;
acumuladas;
L  LS
Mo  i
Calcula2
fi n
se PMe    ;
2 2
Marca-se
a
classe
mediana – e, em
seguida, emprega-se a
29
seguinte equação:
 PMe  | Fa  .h
M d  Li  
f Me
3.2 Medidas separatrizes
 Quartis
Denominamos quartis os valores de uma série que a dividem em quatro partes
iguais. Há, portanto, três quartis:
O primeiro quartil (Q1) – valor situado de tal modo na série que uma quarta parte (25%)
dos dados é menor do que ele e a três partes restantes (75%) são maiores.
O segundo quartil (Q2) – valor situado de tal modo na série que metade (50%) dos dados
é menor do que ele e a metade restante (50%) é maior. O segundo quartil coincide com
a mediana.
O terceiro quartil (Q3) – valor situado de tal modo na série que as três quartas partes
(75%) dos dados é menor do que ele e a quarta parte restante (25%) é maior.
Quando os dados são agrupados, para determinar os quartis usamos a mesma
técnica do cálculo da mediana, bastando substituir, na fórmula da mediana,
f
n
n.r
PMe   i  , por PQr 
(onde r é o número de ordem do quartil).
2 2
4
Assim, temos:
n.1
PQ1 
4
 PQ1  | Fa  .h
Q1  Li 
f Q1
n.2

4
 PQ2  | Fa  .h
Q 2  Li 
fQ2
n.3
4
 PQ3  | Fa  .h
Q3  Li  
f Q3
PQ2
PQ3 
Exemplo 13: Dada à distribuição abaixo, calcular Q1, Q2 e Q3.
Classes
7├ 17
17├ 27
27├ 37
37├ 47
47├ 57
Total
[email protected]
fi
6
15
20
10
5
56
30
 Percentis
Denominamos percentis os noventa e nove valores que separam uma série em
100 partes iguais.
Para determinarmos os percentis usamos a mesma técnica do cálculo da
f n
n.r
mediana, bastando substituir, na fórmula da mediana, PMe   i  , por PPr 
2 2
100
(onde r é o número de ordem do percentil).
Assim, para o 27 o percentil temos:
PP 27 
n.27
100
 PP27  | Fa  .h
P27  Li  
f P27
Exemplo 14: Calcular o 55º percentil da distribuição do exemplo 13.
Exercícios de aplicação – média, mediana, moda; quartis e percentis
1. Calcule a média, a mediana, a moda, o 3º quartil e o 30º percentil para as seguintes
distribuições:
a) As companhias de seguro pesquisam continuamente as idades na morte e as causas de
morte. Os dados se baseiam no estudo levado a efeito pela revista Time sobre as pessoas
que morreram vitimadas por armas de fogo durante uma semana.
Idade na morte
16 ├ 26
26 ├ 36
36 ├ 46
46 ├ 56
56 ├ 66
66 ├ 76
76 ├ 86
Frequência
22
10
6
2
4
5
1
b)
Aluguel (x R$ 100)
4├6
6├8
8 ├ 10
10 ├12
12 ├ 14
14 ├ 16
16 ├18
Quantidade de casas
18
25
32
40
30
18
12
2. Das distribuições abaixo calcule:
a. média, mediana e moda
b. primeiro e terceiro quartis
c. 10 o , 23o e 90 o percentis
Elaborar o histograma de frequência simples e localizar as medidas calculadas
[email protected]
31
a)
NOTAS
0├2
2├4
4├6
6├8
8 ├10
fi
5
8
14
10
7
44
b)
Estaturas
150 ├ 158
158 ├ 166
166 ├ 174
174 ├ 182
182 ├ 190
fi
5
12
18
27
8
70
c)
Salários (R$)
500 ├ 700
700 ├ 900
900 ├ 1100
1100 ├ 1300
1300 ├ 1500
1500 ├ 1700
1700 ├ 1900
fi
18
31
15
3
1
1
1
70
3. Os seguintes dados referem-se ao salário (em R$) de 40 funcionários da empresa GIS.
1638
2154
1271
2415
1317
2456
704
1894
1104
516
1715
2000
780
756
1351
1330
2622
1137
2634
585
1398
1319
3296
802
1440
1230
3050
2169
2846
588
3153
3502
2578
1158
1243
1275
1154
654
486
1674
a. Qual a variável de estudo? Classifique a variável.
b. Se você tivesse de obter dados referentes ao salário dos funcionários de sua
empresa qual a técnica de amostragem você utilizaria. Justifique sua escolha.
c. Elabore uma distribuição de freqüência simples (dados agrupados com intervalo
de classe) e seu respectivo histograma.
d. Determine para a distribuição obtida: limite inferior da 2ª classe, freqüência
relativa da 3ª classe e limite superior da 4ª classe.
e. Calcule para a distribuição obtida: média, mediana e moda.
f. Identifique no histograma de freqüência a localização dos valores obtidos de
média, mediana e moda.
g. Interprete os resultados obtidos.
[email protected]
32
4. MEDIDAS DE DISPERSÃO
As medidas de dispersão ou variabilidade indicam o quanto os valores
encontrados numa pesquisa estão próximos ou afastados em relação a média.
Destacam o grau de homogeneidade ou heterogeneidade que existe entre os valores
que compõem o conjunto. São medidas que servem para verificar com que
confiança as medidas de tendência central resumem as informações fornecidas
pelos dados obtidos em uma pesquisa.
Exemplificando,
... duas pessoas se submeteram a um teste...
situação a) as duas pessoas tiraram nota 6,0
situação b) uma pessoa tirou 2,0 e a outra 10,0
Nos dois casos a média é igual a 6,0. Todavia, em “a” elas se concentraram
sobre a média; em “b” elas se dispersaram em torno da mesma. Isto quer dizer que
a média é muito mais significativa em “a” do que em “b”. Ainda, em “a” existe
uma homogeneidade nos conhecimentos adquiridos; em “b” heterogeneidade.
As principais medidas de dispersão são:
amplitude total
variância e desvio padrão
4.1 Amplitude total
É a diferença entre o maior e o menor valor de uma série de dados.
Exemplo 1: Calcule o intervalo total dos seguintes dados 4, 6, 8, 9, 12, 17, 25.
O intervalo ou amplitude total é uma medida fácil de calcular. Todavia, é
instável. Leva em conta somente os valores externos, não sendo afetada pela dispersão
dos valores internos. É apenas uma indicação aproximada da dispersão.
4.2 Variância e desvio padrão
Como vimos, a amplitude total é instável, por se deixar influenciar pelos valores
extremos, que são, na sua maioria, devidos ao acaso.
A variância e o desvio padrão são medidas que fogem a esta falha, pois levam
em consideração a totalidade dos valores da variável em estudo, o que faz delas índices
de variabilidade bastante estáveis e. por isso mesmo, os mais geralmente empregados.
A variância baseia-se nos desvios em torno da média aritmética, porém
determinando a média aritmética dos quadrados dos desvios. Assim, representado a
variância por s2, temos:
 x  x 
f
2
s2 
i
i

 x
 x
2
i
n
Nota: Quando nosso interesse não se restringe à descrição dos dados mas,
partindo da amostra, visamos tirar inferências válidas para a respectiva população,
convém efetuar uma modificação, que consiste em usar o divisor n-1 em lugar de n.
[email protected]
33
A variância é uma medida que tem pouca importância como estatística
descritiva, uma vez que sua unidade de medida é o quadrado da unidade de medida dos
valores da variável. Todavia, é extremamente importante na inferência estatística e na
combinação de amostras.
Por isso mesmo, imaginou-se uma nova medida que tem utilidade e
interpretação práticas, denominada desvio padrão, definida como a raiz quadrada
positiva da variância. Assim, se a variância de um determinado conjunto de valores for
igual a 81, o desvio padrão será igual a 9.
s
 x
i
 x
2
n
Propriedades da variância e do desvio padrão
- A variância e o desvio padrão são sempre números positivos.
- Se os valores de uma variável forem iguais a variância e o desvio padrão serão igual a
zero.
- A variância e o desvio padrão são afetados pelos valores extremos.
Para fins práticos, a fórmula do desvio padrão pode ser reorganizada da seguinte
forma:
s
x
2
i
n
  xi

 n





2
Dados não-agrupados
Tomemos, como exemplo, o conjunto de valores da variável x: 40, 45, 48, 52,
54, 62 e 70.
Xi
40
45
48
52
54
62
70
xi2
s=?
Exemplos:
1. Calcule o desvio padrão das vendas diárias (período de uma semana): $8100, $9000,
$4580, $5600, $7680, $4800, $10640.
[email protected]
34
2. Calcule a variância e o desvio padrão para o seguinte conjunto de dados: 83, 92, 100,
57, 85, 88, 84, 82, 94, 93, 91, 95.
Dados agrupados
a) Sem intervalo de classe
Neste caso temos a presença de frequências e devemos levá-las em
consideração:
s
fx
i
2
i
n
  f i xi

 n

xi
0
1
2
3
4




2
fi
2
6
12
7
3
30
fixi2
fixi
s=?
b) Com intervalo de classe
s
fP
i m
 fi
2
  fi Pm 
 

  fi 
Estaturas
150 ├154
154 ├158
158 ├162
162 ├166
166 ├170
170 ├174
2
fi
4
9
11
8
5
3
Pm
fiPm
fiPm2
Exercícios de aplicação – Medidas de dispersão
1. Calcule o desvio padrão dos seguintes conjuntos de dados:
20, 14, 15, 19, 21, 22, 18
17.9, 22.5, 13.3, 16.8, 15.4, 14.2
[email protected]
35
2. Um departamento de produção usa um procedimento de amostragem para testar a
qualidade de itens recém produzidos. O departamento emprega a seguinte regra de
decisão em uma estação de inspeção: se uma amostra de 14 tem uma variância de mais
que 0,005 a linha de produção precisa ser paralisada para reparos. Suponha que os
seguintes dados tenham sido coletados:
3,43 3,45 3,43 3,48 3,52 3,50 3,39
3,48 3,41 3,38 3,49 3,45 3,51 3,51
A linha de produção deveria ser paralisada? Por quê?
3. Os dados abaixo se referem ao número de dias exigido para preencher pedidos de
compra para duas empresas distintas A e B:
Empresa A – 11, 10, 9, 10, 11, 11, 10, 11, 10, 10
Empresa B – 8, 10, 13, 7, 10, 11, 10, 7, 15, 12
Com base nos valores de desvio-padrão calculados determine qual das empresas fornece
tempos de entrega mais constantes e confiáveis.
4. Dada a distribuição relativa a 100 lançamentos de 5 moedas simultaneamente, calcule
o desvio padrão.
Número de caras
Frequência
0
4
1
14
2
34
3
29
4
16
5
3
Total
100
5. Em um levantamento entre os assinantes da revista Fortune a seguinte pergunta foi
realizada: “Quantas das últimas quatro edições você leu ou folheou?”. A seguinte
distribuição de frequência sintetiza 500 respostas”.
Edição lida
Frequência
0
15
1
10
2
40
3
85
4
350
Total
500
Qual é o número médio de edições lidas por um assinante da Fortune?
Qual é o desvio padrão do número de edições lidas?
6. Calcule o desvio padrão da distribuição:
Classes
2├6
6 ├ 10
10 ├ 14
14 ├ 18
18 ├22
Total
[email protected]
Frequência
5
12
21
15
7
60
36
7. Um posto de gasolina registrou a seguinte distribuição de frequência para o número
de litros de gasolina vendidos por carro em uma amostra de 680 carros.
Gasolina (litros)
Frequência
0├5
74
5 ├ 10
192
10 ├ 15
280
15 ├ 20
105
20 ├ 25
23
25 ├ 30
6
Total
680
Calcule a média, a variância e o desvio padrão para esses dados agrupados.
8. Calcule o desvio padrão para todos os exercícios da secção 3.1.1 (Média).
5. COEFICIENTE DE VARIAÇÃO
O desvio padrão por si só não nos diz muita coisa. Assim, um desvio padrão de
duas unidades pode ser considerado pequeno para uma série de valores cujo valor médio
é 200. No entanto, se a média for igual a 20, o mesmo não pode ser dito.
Além disso, o fato do desvio padrão ser expresso na mesma unidade dos dados
limita o seu emprego quando desejamos comparar duas ou mais séries de valores,
relativamente a sua dispersão, quando expressas em unidades diferentes.
CV 
s
.100
x
Exemplo:
Estaturas
Pesos
Média
175 cm
68 kg
Desvio padrão
5 cm
2 kg
Temos,
CVE 
s
5
.100 
.100  2,85%
x
175
CVP 
s
2
.100  .100  2,94%
x
68
Logo, neste grupo de indivíduos, os pesos apresentam maior grau de dispersão
do que as estaturas.
[email protected]
37
BIBLIOGRAFIA
Apostila modificada de SILVA, Guilherme Cunha da. Apostila de Estatística Aplicada.
Faculdade Tecnológica Tupy.
CRESPO, Antônio Arnot. Estatística Fácil. 17 ed. São Paulo: Saraiva, 1999.
LAPPONI, Juan Carlos. Estatística usando Excel. São Paulo: Lapponi Treinamento,
2000.
MACEDO, Luiz Roberto Dias de. Dados numéricos na empresa: interpretação e análise.
Curitiba: IBPEX, 2004.
SILVA, Ermes Medeiros da e outros. Estatística para os cursos de economia,
administração e ciências contábeis. 3ª edição. São Paulo: Atlas, 1999.
STEVENSON, William J. Estatística Aplicada à Administração. São Paulo: Harper e
Row do Brasil, 1981.
ANDERSON, David R. Estatística aplicada à administração e economia. 2ª edição. São
Paulo: Pioneira Thomson Learning, 2003.
[email protected]
38