UNIVERSIDADE FEDERAL DE CAMPINA GRANDE
CENTRO DE CIÊNCIAS E TECNOLOGIA
UNIDADE ACADÊMICA DE ENGENHARIA QUÍMICA
DEBORAH ALMEIDA DOS ANJOS
PROJETO DE MALHAS DE CONTROLE UTILIZANDO AS TÉCNICAS SVD E RGA
CAMPINA GRANDE
2014
DEBORAH ALMEIDA DOS ANJOS
PROJETO DE MALHAS DE CONTROLE UTILIZANDO AS TÉCNICAS SVD E RGA
Trabalho de Conclusão de Curso apresentado à
disciplina de TCC como requisito parcial para
conclusão do Curso de Engenharia Química da
Universidade Federal de Campina Grande.
Orientador: Prof. José Nilton Silva
CAMPINA GRANDE - PB
AGOSTO DE 2014
DEBORAH ALMEIDA DOS ANJOS
PROJETO DE MALHAS DE CONTROLE UTILIZANDO AS TÉCNICAS SVD E RGA
Trabalho de Conclusão de Curso aprovado como requisito parcial para a conclusão do curso
de Engenharia Química da Universidade Federal de Campina Grande, pela seguinte banca
examinadora:
Dedico este trabalho a minha família, em
especial ao meu irmão Douglas Tadeu.
AGRADECIMENTOS
À minha tia, Francisca Daniel Neta, pelo apoio, dedicação, compreensão, pelo amor,
confiança e motivação. Por ser o meu referencial de vida.
Aos meus irmãos, Dário Daniel de Almeida Anjo e Douglas Tadeu de Almeida
Ferreira, pelo companheirismo, carinho e pela determinação que me inspiram.
Ao Professor Orientador Dr. José Nilton Silva pelas constantes disponibilidade,
paciência, atenção, confiança, motivação e pelos conhecimentos a mim transmitidos.
À todos os professores da Unidade Acadêmica de Engenharia Química, pelo esforço
e contribuição no meu crescimento pessoal e intelectual.
Aos amigos e colegas, pelo incentivo e apoio constantes.
“A persistência é o menor caminho do êxito.”
Charles Chaplin
ANJOS, Deborah Almeida. Projetos de malhas de controle utilizando as técnicas SVD e
RGA. 2014. 52p. Trabalho de Conclusão de Curso. Engenharia Química. Universidade
Federal de Campina Grande, 2014.
RESUMO
A maioria dos sistemas (naturais ou artificiais) tem várias variáveis de medida (saídas) para
serem controladas e várias variáveis manipuladas (entradas). Neste contexto, para um bom
desempenho do sistema, o projeto de estrutura de controle deve ser executado de forma que
sejam escolhidas as melhores variáveis para medição, manipulação e controle. No referente
trabalho utilizou-se as técnicas SVD (Singular Value Decomposition) e RGA (Relative Gain
Array) para obtenção dos pares mais sensíveis e do emparelhamento mais adequado das
variáveis de processo e manipuladas, respectivamente. Como estudo de caso, foi utilizada
uma unidade de tratamento de nafta de uma indústria, modelada em Aspen Dynamics®, a
mesma previamente validada com dados reais de planta. Os pares T32/Qt e T35/FUEL
resultantes da RGA, como dois dos melhores, mostraram-se inadequados uma vez que não foi
possível o controle da variável de entrada dado um degrau no set point do controlador. Para
avaliação das malhas de controle dos demais emparelhamentos, utilizou-se o índice não
intrusivo ITAE (Integral do erro absoluto vezes o tempo) que mostra-se uma ferramenta
poderosa na verificação do desempenho do sistema. Como resultado, obteve-se valores
pequenos para tal índice, indicando que essas malhas estão, a princípio, bem projetadas.
Palavras-chave: Estrutura de controle, SVD, RGA.
ANJOS, Deborah Almeida. Projects of control loops using the RGA and SVD techniques.
2014. 52p. Completion of Course Work. Chemical Engineering. Federal University of
Campina Grande, 2014.
ABSTRACT
Most (natural or artificial) systems have various measurement variables (outputs) to be
controlled and several manipulated variables (inputs). In this context, for a good system
performance, the control structure project should be implemented in ways that are chosen the
best variables selected for measurement, control and manipulation. In work referent we used
the RGA (Relative Gain Array) and SVD (Singular Value Decomposition) techniques to
obtain the pairs more sensitive and of the pairing most suitable of the process variables and
manipulated, respectively. As a case study, we used a in naphtha treatment unit of an industry,
modeled in Aspen Dynamics®, the same previously validated with actual data of the plant.
The pairs T32/Qt and T35/FUEL resulting from RGA, as two of the best, if proved inadequate
since it was not possible to control the input variable as a step in the set point of the
controller. To evaluate the control loop of other pairings meshes, non-intrusive index ITAE
(Integral of absolute error times the time), that show up powerful tools in reviewing the
performance of the system were used. As a result, we obtained small values for such index,
indicating that these loops are, the principle, well designed.
Keywords: Control structure, SVD, RGA.
LISTA DE FIGURAS
Figura 1 - Sistema típico de controle industrial. ....................................................................... 14
Figura 2 – Controle feedback. .................................................................................................. 17
Figura 3 - Controle feedforward. .............................................................................................. 18
Figura 4- Controle feedback com feedforward......................................................................... 18
Figura 5 - Diagrama simplificado de um sistema multivariável regular. ................................. 19
Figura 6–Diagrama simplificado de um sistema com interação entre malhas de controle. ..... 19
Figura 7 - Diagrama simplificado de um sistema linear multivariável regular desacoplado. .. 20
Figura 8 - Esquematização do projeto da estrutura de controle. .............................................. 21
Figura 9 - Representação gráfica da teoria de autovetor e autovalor (λ > 1). .......................... 22
Figura 10- Fluxograma da coluna depentanizadora no Aspen Dynamics®. ............................ 29
Figura 11- Algoritmo simplificado em diagrama de blocos, para aplicação das técnicas SVD e
RGA. ......................................................................................................................................... 31
Figura 12- Interpretação das matrizes U e VT. ......................................................................... 32
Figura 13- Representação da matriz de ganhos relativos (RGA). ............................................ 33
Figura 14 - Ganho estático das temperaturas nos estágios da coluna em relação a MV vazão
de refluxo. ................................................................................................................................. 35
Figura 15 - Ganho estático das temperaturas nos estágios da coluna em relação a MV vazão
de gás combustível. .................................................................................................................. 36
Figura 16 - Ganho estático das temperaturas nos estágios da coluna em relação a MV vazão
média de aquecimento do reboiler. ........................................................................................... 36
Figura 17 - Ganho estático das temperaturas nos estágios da coluna em relação a MV carga
térmica no trocador de calor. .................................................................................................... 36
Figura 18 - Resposta obtida pelos vetores U1 a U4 da matriz U.............................................. 38
Figura 19 - Fluxograma da coluna depentanizadora e malhas de controle no Aspen
Dynamics®. .............................................................................................................................. 40
Figura 20 - Comportamento da temperatura no estágio 33 da coluna dado um degrau no set
point. ......................................................................................................................................... 41
Figura 21 - Comportamento da temperatura no primeiro estágio da coluna dado um degrau no
set point. ................................................................................................................................... 41
LISTA DE TABELAS
Tabela 1 - Valores de ij ........................................................................................................... 27
Tabela 2- Variáveis que mais influenciam no processo segundo técnica SVD Erro! Indicador
não definido.
Tabela 3- Matriz de ganho relativo do processo em estudo ..................................................... 38
Tabela 4 - Pares PV-MV obtidos a partir da aplicação da RGA ............................................... 39
Tabela 5- Parâmetros de sintonia dos controladores ................................................................ 40
Tabela 6 – Análise de desempenho das malhas de controle. .................................................... 42
Tabela 7 - Matriz de ganhos estáticos do processo. ................................................................. 47
Tabela 8 - Vetores U1 à U4 da matriz U obtida através da aplicação do método SVD. ............ 48
Tabela 9 - Ganhos dinâmicos ................................................................................................... 49
Tabela 10 - Ganhos relativos .................................................................................................... 49
LISTA DE SIGLAS
CN
Condition Number
IAE
Integral Absolute Error
ISE
Integral of square error
ITAE
Integral of absolute error times the time
ITSE
Integral of squared error times the time
MPC
Model Predictive Control
MV
Manipulated Variable
PV
Process Variable
SP
Set-Point
SVD
Singular Value Decomposition
RGA
Relative Gain Array
P
Proporcional
PI
Proporcional Integral
PID
Proporcional Integral e Derivativo
SUMÁRIO
1 INTRODUÇÃO .................................................................................................................. 11
1.1 OBJETIVOS ..................................................................................................................... 12
1.1.1 Objetivos Gerais .......................................................................................................... 12
1.1.2 Objetivos Específicos .................................................................................................. 12
2 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA ......................................................................................... 13
2.1 CONTROLE DE PROCESSOS – BREVE HISTÓRICO ................................................ 13
2.2 CONTROLE DE PROCESSOS INDUSTRIAIS ............................................................. 14
2.3 VARIÁVEIS DE PROCESSO ......................................................................................... 15
2.4 TÉCNICAS DE CONTROLE DE PROCESSOS ............................................................ 16
2.4.1 Técnica de controle por realimentação (feedback) ................................................... 16
2.4.2 Técnica de controle por antecipação ( feedforward) ................................................. 17
2.5 SISTEMAS MULTIVARIÁVEIS – MULTIPLE-INPUT/MULTIPLE-OUTPUT ......... 19
2.6 PROJETO DE CONTROLE E ESTRUTURA DE CONTROLE .................................... 20
2.7 DECOMPOSIÇÃO EM VALORES SINGULARES (TÉCNICA SVD) ......................... 22
2.8 MATRIZ DE GANHOS RELATIVOS (TÉCNICA RGA) ............................................. 25
3 ESTUDO DE CASO .......................................................................................................... 28
3.1
UNIDADE DEPENTANIZADORA DE NAFTA ........................................................ 28
4 MATERIAIS E MÉTODOS ............................................................................................. 30
4.2
MATERIAIS ................................................................................................................. 30
4.2
MÉTODOS .................................................................................................................... 30
4.2.1 Determinação da matriz de ganhos estáticos do processo ....................................... 30
4.2.2 Determinação da matriz de ganhos relativos do processo ....................................... 31
4.2.3 Algoritmo simplificado para aplicação das técnicas SVD e RGA ........................... 31
5 RESULTADOS E DISCUSSÕES ..................................................................................... 34
5.1
ESTRUTURA DE CONTROLE: POSSÍVEIS VARIÁVEIS DE ENTRADA E
SAÍDA ...................................................................................................................................... 34
5.2
ANÁLISE GRÁFICA DOS GANHOS ESTÁTICOS .................................................. 35
5.3 APLICAÇÃO DA TÉCNICA SVD NO SISTEMA EM ESTUDO, UTILIZANDO O
MATLAB® .............................................................................................................................. 37
5.4 APLICAÇÃO DA TÉCNICA RGA NO SISTEMA EM ESTUDO, UTILIZANDO O
MATLAB® .............................................................................................................................. 38
6 CONCLUSÕES .................................................................................................................. 43
6.1 SUGESTÕES PARA TRABALHOS FUTUROS............................................................. 43
REFERÊNCIAS ..................................................................................................................... 44
APÊNDICE A ......................................................................................................................... 47
APÊNDICE B.......................................................................................................................... 48
APÊNDICE C ......................................................................................................................... 49
APÊNDICE D ......................................................................................................................... 49
11
1 INTRODUÇÃO
A produção industrial encontra-se em meio a um cenário de elevada competitividade
que exige o atendimento a diversos indicadores de eficiência. Aspectos como a qualidade de
produtos, flexibilidade operacional, produtividade, confiabilidade e o atendimento às
condições e restrições de órgãos ambientais são elementos que norteiam as tecnologias
implementadas nos projetos de processos. A busca pelo atendimento a metas de incremento
de produtividade tem gerado espaço à implementação de ações focadas na redução de perdas
materiais e energéticas, conduzindo a processos mais integrados. Associado a este cenário de
restrições, as exigências de mercado por produtos de maior uniformidade e a necessidade de
uma maior flexibilidade para permitir transições entre produtos de características
diferenciadas tornam necessário a redução sobre variabilidades de processo.
A maioria dos sistemas (naturais ou artificiais) tem várias variáveis de medida (saídas)
para serem controladas e várias variáveis manipuladas (entradas). Muitos processos
industriais são de natureza essencialmente multivariável: colunas de destilação, reatores
químicos, trocadores de calor, redes de distribuição de vapor, sistemas de ar condicionado,
etc. (JURADO, 2012).
O esquema de seleção de controle para a operação de uma unidade, um processo ou de
uma planta total é simples desde que cada variável controlada só é afetada por uma variável
manipulada. No entanto interações são frequentemente presentes entre as várias malhas de
controle em sistemas multivariáveis, Neste caso, ocorre o acoplamento cruzado no qual a
entrada passa a ter influência também sobre as demais saídas, além da saída diretamente
relacionada a ela. Assim, a seleção do melhor esquema de controle para emparelhamento de
variáveis manipuladas e controladas não é simples. (SVRCEK et. al, 2014; MORAIS et.
al,2013).
Diversos estudos têm empenhado significativa atenção à solução do problema de
emparelhamento entre variáveis controladas e manipuladas. Esta é uma tarefa essencial para o
projeto da estrutura de um controlador descentralizado, no qual, para cada par de variáveis,
existe um controlador SISO (Single Input – Single Output) (HEIDRICH,2004). Um
emparelhamento incorreto vai dificultar seriamente o desempenho do controle de malha
fechada ou comprometer a estabilidade do sistema. Várias técnicas têm sido exploradas para a
análise de interação em sistema multivariáveis. Entre essas técnicas, matriz de ganhos
relativos (RGA) e decomposição em valores singulares (SVD) têm sido amplamente
12
reconhecidas na prática (LIU e GAO, 2012). A aplicação dessas técnicas quantitativas,
permite definir os pares entre variáveis controladas e manipuladas capazes de compor uma
estrutura de controle que ofereça um desempenho adequado, isto é, quantificar a
controlabilidade operacional de uma determinada estrutura de controle.
1.1 OBJETIVOS
1.1.1 Objetivos Gerais
O objetivo desse trabalho consiste em aplicar os métodos Decomposição em Valor
Singular (SVD) e Matriz de Ganhos Relativos (RGA) para projeto de malhas de controle
utilizando Matlab®, no intuito de aplicação em plantas de processos modeladas Aspen
Dynamics®. Tais técnicas serão utilizadas para obtenção de estruturas de controle de uma
coluna depentanizadora de uma unidade industrial de tratamento de nafta.
1.1.2 Objetivos Específicos

Materializar o conceito de Controle clássico de processos;

Estudar e implementar as metodologias SVD e RGA na plataforma Matlab®;

Aplicar o método SVD para obtenção dos possíveis pares de variáveis manipuladas e
controladas para uma coluna de depentanização previamente modelada em Aspen
Dynamics®;

Aplicar o método RGA para obtenção dos melhores pares PV-MV;

Implementar as malhas de controle propostas pelas metodologias na unidade simulada;

Avaliar a qualidade do funcionamento das malhas de controle projetadas,
considerando os índices ITAE, IAE, ITSE e ISE;

Análises dos resultados.
13
2 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA
2.1 CONTROLE DE PROCESSOS – BREVE HISTÓRICO
Antes dos anos de 1940, a maioria das plantas industriais era operada de forma
essencialmente manual. Muitos homens eram necessários para manter o controle das diversas
variáveis existentes nas plantas industriais (ALVES,2005).
Com o aumento nos custos de mão-de-obra e equipamentos, tornou-se antieconômico
operar plantas sem dispositivos de controle automático. Nesse contexto, James Watt, em
1769, introduziu o conceito de realimentação negativa para o controle da velocidade de
máquinas a vapor (ALVES,2005; FARINA,2000).
Antes da Segunda Guerra Mundial o controle automático era verdadeiramente
distribuído. O controlador era fixado próximo à unidade que ele controlava, ao alcance do
medidor de fluxo e da válvula de controle de fluxo.Com o desenvolvimento dos
transmissores, foi possível levar os sinais da variável de processo até uma sala de controle
central onde os controladores/indicadores realizariam as devidas correções e os sinais
retornariam ao campo para atuar os elementos finais de controle.
Segundo Nóbrega Sobrinho (2011) apud. Silva (2013), no final dos anos 1950 a teoria
de controle já consistia de um corpo de conhecimento consolidado, com forte ênfase em
técnicas baseadas no uso de métodos da resposta em frequência e, com aplicações industriais.
No entanto a demanda por novas técnicas, especialmente no florescente setor aeroespacial
impulsionou o desenvolvimento do chamado controle moderno. O controle moderno retomou
muitos dos métodos de Lyapunov, usando técnicas no domínio do tempo.
O controle clássico tornou-se insuficiente para sistemas com múltiplas entradas e
saídas, e, a partir de 1960, considerando ainda a tecnologia digital, tornou-se possível a
análise de sistemas complexos com múltiplas entradas e saídas, diretamente no domínio do
tempo, com emprego de variáveis de estado. Isto é, a análise do domínio do tempo de
sistemas de equações diferenciais (SILVA,2013).
A teoria de controle evoluiu nos anos de 1970 e 1980, e as técnicas de análise de
sistemas no domínio da frequência foram estendidas para o caso multivariável. Vários
“novos” métodos de análise e projeto de controladores foram criados, muitos dos quais
consistindo na combinação de dois ou mais métodos clássicos, criando os principais ramos da
14
teoria de controle: controle robusto, controle preditivo, controle não-linear, controle
adaptativo, redes neuronais e redes de modelos locais (FARINA,2000).
2.2 CONTROLE DE PROCESSOS INDUSTRIAIS
Apesar da contínua modernização dos processos de fabricação e manufatura, a maioria
das leis e princípios de medição e controle de processos industriais se conserva intacta até os
dias atuais (BEGA et. al.,2006). Agora é mais fácil implementar estruturas de controle, pois
basta reprogramar um computador.
Controlar um processo industrial significa manter a variável controlada sempre igual
ao ponto de ajuste ou set point(SP), que é o valor desejado, próximo ao ponto de ajuste ou
ainda oscilando constantemente em torno do ponto de ajuste (RIBEIRO,2005).
A Figura 1 mostra os principais elementos de um sistema de controle típico de um
processo industrial.
A função do elemento de monitoração (sensor) é a medição de alguma propriedade do
sistema e a sua conversão em um tipo de sinal que possa ser utilizado pelo controlador. Em
casos, o elemento sensor gera um tipo de sinal que não é diretamente compatível com o
sistema de controle, sendo necessário utilizar elementos transmissores para convertê-lo em
um sinal adequado ao sistema. Em muitos casos, o próprio transmissor é também o elemento
sensor.
Figura 1 - Sistema típico de controle industrial.
15
A informação obtida pelo elemento de monitoração é comparada com o valor desejado
(referência) e enviada ao controlador, que opera como o cérebro do sistema, tomando decisões
baseadas nas informações disponíveis para a redução do erro e comunicando a ação que deve
ser tomada a um elemento final. O elemento final, também conhecido como atuador, interfere
em alguma condição de processo para alterar o comportamento do processo (ROCHA et. al,
2004).
Embora o desempenho de um sistema de controle possa ser avaliado pela sua
capacidade em manter a variável controlada próximo a um valor desejado (SP),
frequentemente a robustez torna-se a consideração principal para alguma condição de
operação particular, uma vez que o controlador deve proporcionar um bom desempenho
mesmo na presença de incertezas e perturbações.
2.3 VARIÁVEIS DE PROCESSO
Para fins de projeto do sistema de controle, é conveniente classificar a variável de
processo como variáveis de entrada ou variáveis de saída. As variáveis de saída (ou outputs)
são variáveis de processo que normalmente estão associados com fluxo de saída ou condições
dentro de um reservatório de processo (por exemplo, as temperaturas composições, níveis e
vazões) (SEBORG, 2004).
As variáveis de saída também são classificadas nas seguintes categorias:

Variáveis de saída medidas, se os seus valores são conhecidos medindo-os
diretamente;

Variáveis de saída não medidas, se elas não são ou não podem ser medidas
diretamente (STEPHANOPOULOS, 1984).
As variáveis de entrada (ou inputs) são variáveis físicas que afetam as variáveis de
saída. Para o projeto e análise de sistemas de controle, é conveniente dividir as variáveis de
entrada em variáveis manipuladas, que podem ser ajustadas, e variáveis de perturbação que
são determinadas pelo ambiente externo (SEBORG,2004).
16
2.4 TÉCNICAS DE CONTROLE DE PROCESSOS
O sucesso ou o fracasso de qualquer sistema de controle se baseia no uso inteligente
das informações disponíveis do processo. Sob o ponto de vista de configuração, há dois tipos
básicos de malhas de controle: a aberta e a fechada (RIBEIRO, 2005). O objetivo de um
sistema de controle, é controlar as saídas de alguma maneira predeterminada, através das
entradas e de elementos adequados ao sistema de controle.
Para a realização de um controle eficiente, utilizam-se os conceitos básicos, associados
às técnicas de controle, cujas as mais simples e clássicas são as de controle por realimentação
(feedback), complementado por técnicas avançadas como controle por antecipação
(feedforward).
2.4.1 Técnica de controle por realimentação (feedback)
A função de um controle por realimentação é assegurar que o sistema em malha
fechada tenha uma característica de resposta dinâmica e um erro em regime estacionário
adequados, para mudanças no set point e nas condições de processo. Conforme sugerido por
Seborg et. al (1989 apud JESUS, 2009), na sua forma ideal, um sistema de controle deve
satisfazer os seguintes critérios de desempenho:
1. A malha fechada tem que ser estável;
2. Os efeitos de perturbações devem ser minimizados;
3. Devem ser obtidas respostas rápidas a mudanças de set point;
4. Ações de controle excessivas devem ser evitadas;
5. O sistema deve ser robusto em relação a erros de modelamento e alterações nas
condições de processo.
Em problemas típicos de controle, não é possível atingir todos esses objetivos
simultaneamente, pois alguns deles são conflitantes. Portanto, as especificações de projeto dos
controladores devem levar em consideração a finalidade do sistema de controle, adotando-se
uma solução de compromisso que, dentro de critérios pré-estabelecidos, melhor atenda às
necessidades da aplicação (JESUS,2009).
17
De acordo com LUYBEN (1996), a maneira tradicional de controlar um processo
consiste em medir a variável que será controlada, utiliza-se um sensor para efetuar esta
medição, comparar o valor obtido com o valor desejado (set point para o controlador) e
alimentar a diferença encontrada entre o set point e a variável controlada, o que determina um
erro ou desvio, para um controlador feedback que irá alterar a variável manipulada de forma a
direcionar a variável controlada para o valor desejado. A informação é, portanto,
"realimentada" a partir da variável controlada para uma variável manipulada, como mostra a
Figura 2.
Figura 2 – Controle feedback.
Uma vantagem do controle por realimentação é que não é necessário estabelecer as
relações entre os distúrbios e seus efeitos sobre o processo, embora seja importante conhecelos.
Uma desvantagem do controle realimentado reside no fato de ele atuar somente após
detectar um erro entre o valor da variável controlada e o set point.
2.4.2 Técnica de controle por antecipação ( feedforward)
Enquanto o controle por realimentação responde ao efeito de um distúrbio, o controle
por antecipação responde diretamente aos distúrbios, proporcionando um controle,
antecipado. A Figura 3 ilustra, em diagrama de blocos, o conceito deste tipo de controle.
18
Figura 3 - Controle feedforward.
Fonte: Adaptado de ALVES (2005).
Existe a possibilidade de modificar uma variável manipulada para prevenir, ou pelo
menos minimizar, erros surgidos na variável controlada sempre que houver uma forma de
predizer variações de carga e de seus efeitos. Em qualquer controle antecipatório é necessário
definir um modelo matemático que descreva adequadamente o processo e que leve em conta a
relação entre as variáveis de carga e os respectivos efeitos na variável controlada (ARAÚJO e
BAYER, 2011).
Uma desvantagem do controle antecipatório é o fato deste não efetuar medições na
variável controlada, dependendo exclusivamente da precisão da relação dos valores
estabelecidos entre o set point e a variável manipulada.
Em geral, esta técnica é mais complexa e mais cara do que a anterior. Requer maior
conhecimento sobre o processo, sendo reservada para aplicações mais críticas. Além disso,
caso haja qualquer desvio da variável controlada em relação ao valor desejado, o sistema não
proporciona correção (BEGA et. al.,2006).
Na prática, o controle por antecipação é geralmente utilizado em conjunto com o
controle por realimentação, como mostra a Figura 4.
Figura 4- Controle feedback com feedforward.
19
2.5 SISTEMAS MULTIVARIÁVEIS – MULTIPLE-INPUT/MULTIPLE-OUTPUT
A maioria das aplicações de controle de processo industrial envolvem uma série de
variáveis de entrada (manipuladas) e variáveis de saída (controladas). Essas aplicações são
chamadas de sistemas com Múltipla-Entrada/Múltipla-Saída (MIMO) para distingui-los do
sistema Simples-Entrada/Simples-Saída (SISO).
Um problema de controle MIMO, apresentado na Figura 5, é inerentemente mais
complexo que um problema SISO (uma entrada, uma saída) devido às interações que ocorrem
entre as variáveis controladas “y” e as variáveis manipuladas “u”. Considerando que a ação de
um distúrbio sobre a saída “y1”, as variações na entrada “u1” apresentam um efeito direto e um
efeito indireto devido às interações entre as malhas, o que gera duas ações de controle
simultâneas que dificultam a sintonia dos controladores, e que podem desestabilizar o sistema
em malha fechada conforme ilustrado na Figura 6 (SEBORG et. al, 1989 apud OLIVEIRA;
ROCHA e SOUZA, 2007).
Figura 5 - Diagrama simplificado de um sistema multivariável regular.
Figura 6–Diagrama simplificado de um sistema com interação entre malhas de controle.
20
Quando o acoplamento em um sistema não permite alcançar os objetivos de controle,
uma alternativa é transformar o sistema MIMO em vários sistemas SISO onde uma única
entrada afeta uma única saída, o qual é conhecido como desacoplamento regular, como mostra
a Figura 7.
Figura 7 - Diagrama simplificado de um sistema linear multivariável regular desacoplado.
Neste contexto, é primordial uma seleção adequada dos pares u-y, uma vez que a
escolha incorreta pode resultar em um desempenho pobre do sistema em malha fechada e na
redução das margens de estabilidade.
2.6 PROJETO DE CONTROLE E ESTRUTURA DE CONTROLE
As plantas industriais são formadas pela combinação de diversas unidades (ou
equipamentos). Essas unidades estão conectadas entre si de maneira que a modificação do
estado (vazão, temperatura, pressão e composição) altera a operação de unidades a jusante (às
vezes também a montante). Portanto, o sistema de controle de uma unidade nãopode ser visto
isolado, independente do comportamento global da planta.
A estratégia do procedimento hierárquico para estabelecer o controle global da planta
consiste basicamente em:

Definir os objetivos do processo;

Identificar as restrições operacionais;

Seleção de variáveis controladas e manipuladas;

Estabelecer o emparelhamento entre variáveis controladas e manipuladas;
21

Escolher a configuração de controle mais apropriada (feedback, feedforward, MPC,
etc.).
A Figura 8 esquematiza o projeto da estrutura de controle.
Figura 8 - Esquematização do projeto da estrutura de controle.
Fonte: Adaptado de FARINA (2000).
A primeira decisão no projeto de um sistema de controle é a seleção da estrutura de
controle que será empregada. Uma planta industrial possui inúmeras variáveis que podem ser
medidas, manipuladas e controladas, abrindo um leque de possibilidades de malhas de
controle.
O projeto da estrutura de controle deve ser executado de forma que sejam escolhidas
as melhores variáveis para medição, manipulação e controle. Outro ponto importante neste
projeto é a definição da maneira como estas variáveis deverão estar interligadas para garantir
bom desempenho e controlabilidade da planta.
Além da seleção dessas variáveis medidas, controladas e manipuladas e da
configuração de interligação entre elas, outro ponto importante é a seleção do tipo de
controlador. Estas definições e escolhas fazem parte das decisões estruturais do sistema de
controle que, apesar de serem muito importantes, geralmente são tomadas com base em
experiências anteriores e práticas comuns de engenharia (ANDRADE, 2008).
22
As variáveis controladas, aquelas que precisam que seus valores sejam mantidos em
torno de seus set points, são normalmente diretamente associadas aos objetivos do controle ou
indiretamente relacionadas a estes objetivos e as variáveis manipuladas são aquelas que se
ajustam de acordo com o sinal emitido pelo controlador, permitindo, através de sua
manipulação, que as variáveis controladas mantenham-se em torno de seus set points
(HEIDRICH, 2004).
Para a seleção das entradas e saídas utilizam-se técnicas que informem os melhores
pares que serão utilizados para implementar as malhas de controle. Dentre estas técnicas, as
que tem ganhado ênfase na literatura são as SVD e RGA.
2.7 DECOMPOSIÇÃO EM VALORES SINGULARES (TÉCNICA SVD)
O método de análise SVD (Singular Value Decomposition) foi desenvolvido,
basicamente, através da teoria de autovalores e autovetores. Estes são utilizados
principalmente para observar características em matrizes, como frequência natural e
estabilidade do sistema (MORAIS et. al, 2013).
Um vetor não nulo t em G é dito um autovetor de G se existe um número real λ tal que
satisfaça a condição apresentada na Equação (1).
𝐺(𝑡) = 𝜆𝑡
(1)
O escalar λ é denominado um autovalor de G associado a t, pode-se concluir então que
t e G(t) são vetores paralelos e estão representados na Figura 9.
Figura 9 - Representação gráfica da teoria de autovetor e autovalor (λ > 1).
23
A direcionalidade de um sistema indica a sensibilidade das variáveis de saída (vetor) a
mudanças nas variáveis de entrada (vetor). Em geral, as diferentes combinações de variáveis
de entrada (direções do vetor no espaço das variáveis) influenciam de forma diferente as
combinações de variáveis de saída. Haverá uma determinada combinação de variáveis de
entrada que terá um efeito máximo em uma determinada combinação de variáveis de saída, a
direção de máxima sensibilidade, como também determinadas combinações de variáveis de
entrada e saída que resultam na direção de menor sensibilidade. Entre esses dois extremos se
encontram todas as outras combinações possíveis. Claramente, o fato dos sistemas
multivariáveis apresentarem sensibilidades diferentes entre variáveis de entrada e saída (o que
não existe em sistemas monovariáveis) determina diferentes níveis de dificuldade para seu
controle (RANGEL, 2010).
A decomposição em valores singulares (SVD) é um método muito útil para a análise
de sistemas multivariáveis, principalmente porquê utilizando este recurso há a possibilidade
de determinar as variáveis que mais irão influenciar na operação, além de ser útil também,
para determinar se um sistema estará propenso a interações na malha de controle, resultando
em problemas de sensibilidade. Estes problemas normalmente resultam em pequenos erros
nos ganhos do processo (SVRCEK et. al, 2006).
A SVD aplicada a matriz de ganho estático de um processo G (m×n), consiste em
expressá-la como o produto de três matrizes, como mostra a Equação (2).
G  USV T
(2)
onde G é a matriz de ganhos estáticos do processo, que pode ser obtida pela Equação (3),cujos
elementos refletem a sensibilidade da variável de saída em reposta a uma variação na variável
de entrada.
Gij 
yi
m j
(3)
mk  j
U é uma matriz ortonormal (m×m), cujas colunas representamos vetores singulares de
saída pela esquerda ui (autovetores de G.GT) que fornecem o sistema de coordenadas mais
adequado para visualizar a sensibilidade do processo. Este sistema de coordenadas é de tal
forma que o primeiro vetor singular u1, indica a direção em que as variáveis de saída mudam
24
mais facilmente, frente a variações nas variáveis de entrada. Os vetores singulares seguintes
(u2, u3, ...um) indicam direções cada vez menos sensíveis.
V é uma matriz ortonormal (n×n), cujas colunas representam os vetores singulares de
entrada pela direita si (autovetores de GT.G) que fornecem as coordenadas mais apropriadas
para a visualização da MV. A primeira coluna de VT indica a combinação da ação de controle
que tem o maior efeito sobre o sistema.
𝛴 (𝑚 × 𝑛) é uma matriz diagonal de escalares não negativos 𝜎𝑖 denominados de valores
singulares, organizados em ordem descendente. Os valores singulares de uma matriz G são
dados conforme mostra a Equação (4).
    (G T G) ou     (G.G T )
(4)
A sensibilidade de um sistema multivariável nas diferentes direções é caracterizada
pelos valores singulares (σ) da sua matriz de funções de transferência, que variam entre um
valor máximo e um valor mínimo. Como os valores singulares medem sensibilidade, muitas
vezes são chamados de ganhos do sistema. Uma forma de caracterizar o grau de dificuldade
que a existência de direções de sensibilidade diferente pode trazer para o controle de um
sistema é por meio de seu Número de Condicionamento (RANGEL, 2010). Este é a razão
entre o valor singular máximo e o mínimo (  1  m ). Um grande valor de CN implica dizer
que é difícil ou impossível realizar todos os objetivos de controle.
De acordo com Skogestad et al. (1988 apud Jurado, 2012), a decomposição em valores
singulares fornece uma grande informação sobre a direcionalidade e os ganhos da planta para
uma determinada frequência. Por exemplo, se consideramos um vetor de entrada na direção
de vi, a saída estará na direção do vetor ui, além disso, o ganho do processo nessa direção será
igual a σi. O maior ganho em qualquer direção de entrada é igual ao valor singular máximo
σ1, e o menor ganho é igual ao valor singular mínimo. De maneira similar, o vetor de entrada
v1 = v estaria associado a direção de entrada com maior amplificação e u1 = u coma direção de
saída máxima correspondente. Se o ganho varia muito em função da direção de entrada diz-se
que o sistema tem uma forte direcionalidade.
Também é possível utilizar o conceito de SVD para projetar sistema de controle
multivariável que tentam dissociar dinamicamente as interações entre processos através de
uma série de outras frequências no estado estacionário. Teoricamente, este é um problema
muito interessante, no entanto, não se aplica à maioria dos processos industriais. O problema
25
com a maioria dos processos reais é que a condição do sistema se deteriora muito rapidamente
com a frequência e há também as complicações tais como a não-linearidade, limites rígidos
sobre a variável manipulada e não triviais em níveis de ruído nos sensores. Todos esses
fatores tendem a anular a eficácia potencial da dissociação exceto no estado estacionário
(MOORE,1992).
A aplicação da técnica SVD para projetar malhas de controle não é suficiente para
determinar os pares PV-MV mais sensíveis, dado que os ganhos em malha aberta, obtidos
previamente a utilização desta metodologia, estão em unidades diferentes. Nesse contexto,
entra em cena a metodologia RGA definida no tópico seguinte.
2.8 MATRIZ DE GANHOS RELATIVOS (TÉCNICA RGA)
Interação é uma importante propriedade do sistema e constitui a diferença entre
sistemas MIMO e sistemas SISO. Um sistema MIMO com pequena interação pode ser
considerado com um sistema Multi-SISO. Isto significa que cada canal pode ser considerado
de forma independente dos demais tornando o projeto do controlador mais fácil e a sintonia
on-line direta. Interação não é algo ruim em princípio, em muitos casos pode ser um
benefício, uma vez que problemas de restrições nos atuadores podem ser reduzidos, o efeito
de zeros no SPD não acoplados a uma saída pode ser movido de um canal para o outro, o
mesmo se aplica até certo ponto para tempo morto (TRIERWEILER, 1997).
O principal problema com a interação de sistemas é que se passa a ter mais liberdade,
e usualmente mais liberdade requer mais conhecimento para que se possa utilizá-la
corretamente. Para medir o quanto precisamos saber sobre os sistemas, é necessário mensurar
o grau e o tipo de interação(MARTINS, 2009).
O primeiro passo para a definição da estratégia de controle a ser adotada em um
sistema multimalha deve ser a determinação da RGA - Matriz de Ganhos Relativos (Relative
Gain Array) desse sistema (BRISTOL, 1966; SEBORG et al, 1989; SHINSKEY, 1996), e a
partir dela determinar os melhores pares das variáveis MV e PV. Em alguns casos de sistemas
multimalha, os emparelhamentos MV-PV são óbvios e o emprego da RGA torna-se
desnecessário (TORRES, 2002). Porém, nos casos em que a escolha dos pares MV-PV não é
trivial, a RGA pode ser usada como uma ferramenta para se chegar à decisão sobre o
emparelhamento mais adequado (PEREIRA, 2011).
26
A técnica RGA consiste em uma matriz em que seus termos são razões entre o ganho
estático de cada par entrada-saída, quando o outro par se encontra em malha aberta, e o ganho
estático do mesmo par quando o outro se encontra em malha fechada (RANGEL, 2010 apud
QUIRINO, 2012).
A RGA de uma matriz complexa não singular M, de dimensão nxn, é denotada como
RGA(M) e definida conforme mostra a Equação (5).
RGA(M )  M  (M 1 )T
(5)
onde a operação  indica uma multiplicação elemento a elemento (frequentemente chamado
de Hadamard ou produto Schur).
A RGA pode ser calculada pontualmente de acordo com a Equação (6).
ij  (1)
i j
mij det(M ij )
det(M )
(6)
ij
onde det(M ) indica o determinante da matriz resultante da remoção da linha i e da coluna j
da matriz M e mij o elemento da linha i e coluna j.
Esta técnica é uma medida muito importante da controlabilidade de um dado sistema,
sendo uma medida do grau de interação, da dominância diagonal. A RGA mede a
sensibilidade de um sistema sendo independente do escalonamento. Valores de ij  0
indicam que a variável de saída i não sofre influência da variável de entrada j. Quanto mais
este valor se aproxima de 1, mais forte é a dependência da variável de saída i com a variável
de entrada j. Valores negativos de ij indicam que o sinal do ganho em malha aberta em
relação a malha fechada tem sinais diferentes o que é perigoso, uma vez que o sistema é
condicionalmente estável, devendo este canal ser evitado na escolha do pareamento. Na
Tabela 1 se encontram os significados dos ganhos relativos para dados valores de ij .
27
Tabela1 - Valores de ij
Valores de ij
Significado dos Ganhos Relativos
ij > 1
Há interação entre as malhas de controle.
ij < 0
Impossibilidade de controlar o sistema. Portanto, deve ser evitado na
escolha do emparelhamento.
O sistema é desacoplado, isto é, somente a entrada atua sobre a saída i(par
ideal).
A variável de entrada j não atua sobre a saída i. A melhor escolha para o
controle da variável de saída seria outra variável de entrada.
Há interação entre as malhas de controle.
ij = 1
ij = 0
0 < ij < 1
Fonte: QUIRINO (2012).
A análise de sistemas através da Matriz de Ganhos Relativos foi introduzida como
uma medida da interação estacionária entre entradas e saídas para o projeto de controladores
descentralizados, porém sua utilização pode ser estendida avaliando-se a matriz para G(s) para
diversas frequências (RGA dinâmica). As regras para escolha do pareamento são semelhantes
às descritas para o RGA estacionário: busca-se uma matriz de ganhos relativos mais próxima
à identidade na região da frequência de corte do sistema (SKOGESTAD e POSTLTHWAITE,
1996).
A interação entre duas malhas é dita positiva, se todos os elementos da RGA oriundos
dessa relação são positivos. Para um sistema 2x2 é fácil verificar que se há um número par de
valores positivos na matriz de ganho do sistema, o valor do 1,1  1 /(1  k1, 2 k 2,1 / k1,1k 2, 2 ) será
positivo e compreendido entre 0 e 1. Esse é um tipo comum de interação em sistemas
multivariáveis, e sobre essas condições uma malha colabora com a outra (TRIERWILER,
1997). Na existência de um número ímpar de valores positivos na matriz de ganho do sistema,
o valor do primeiro RGA ( 1,1 ) será menor que 0 ou maior que 1, neste caso o tipo de
interação é dito negativo. Nesta condição, haverá valores de RGA negativo, indicando sinais
contrários em malha aberta e em malha fechada. Para este tipo de interação, as malhas
competem entre si (TRIERWILER, 1997).
Em geral, a seguinte regra deve ser usada para o emparelhamento de variáveis:
“malhas de controle devem usar pares de entrada e saída cujo ganho relativo seja positivo e o
mais próximo da unidade possível” (MAZOCO, FILHO e MATTEDI, 2012). Os valores da
matriz RGA, encontram-se relacionados com o determinante da matriz de ganhos G(0), por
isto a matriz RGA constitui-se também num indicador do grau de sensibilidade do processo a
erros de modelagem. Se os elementos da matriz RGA para um determinado processo são
elevados, o processo é altamente sensível a erros de modelagem.
28
3 ESTUDO DE CASO
A coluna de destilação é um dos equipamentos de separação mais empregados na
indústria química e petroquímica podendo, por vezes, impedir o aumento da produção. Uma
das formas de solucionar esse problema passa pelo aperfeiçoamento do sistema de controle.
As colunas de destilação possuem como características a não linearidade do processo,
constantes de tempo elevadas, atrasos na resposta, restrições e acoplamento das variáveis, que
interferem diretamente nos transientes gerados quando uma perturbação externa é aplicada na
coluna. Um exemplo típico é a resposta lenta das temperaturas da coluna em face às
perturbações operacionais e ações de correção de controle aplicadas a uma determinada
variável manipulada. Desta forma a busca por um controle de processo eficaz é fundamental
para atingir um produto final dentro de uma determinada especificação e com o menor
consumo de energia possível(FRANCHI e RAVAGNANI, 2011).
Se a estrutura de controle (pares PV-MV) de uma coluna não está definida
corretamente ou se a sintonia dos controladores não é a ótima, o consumo de energia no
refervedor e/ou no condensador e as vazões internas de líquido e/ou de vapor da coluna
podem estar muito acima do necessário, ou seja, o custo operacional é maior que o ideal e a
carga é menor que a possível.
Nesse contexto, utilizou-se no referente trabalho um sistema constituído por uma
unidade de tratamento de nafta previamente validada com dados reais de planta de uma
indústria, sendo a mesma modelada na plataforma Aspen Dynamics®.
3.1 UNIDADE DEPENTANIZADORA DE NAFTA
Na depentanizadora ocorre a separação entre os componentes contendo 5 (C5) ou
menos átomos de carbono na corrente de destilado, e os maiores que C5 (mais pesados) na
corrente de base.
A coluna adotada para o estudo é mostrada na Figura 10 sendo constituída por 37
estágios, com uma carga de alimentação média de 57,55 t.h-1, composta de C1 a C11 de
compostos parafínicos e aromáticos mais representativos da carga real do processo.
29
O vapor de topo é composto, principalmente, por componentes leves que
permaneceram em fase líquida após o flasheamento da carga. Essa corrente é parcialmente
condensada e enviada ao vaso de refluxo, onde ocorre vaporização por diminuição de pressão.
Uma parte do líquido é, então, bombeado como refluxo para a coluna e a outra parte, segue
para a corrente de produto de topo. O vapor segue para a rede de gás combustível.
A corrente de destilado e a corrente de refluxo, identificadas como 454 e REFLUX,
respectivamente, são compostas de 0,998% em massa de hidrocarbonetos até o C5.A vazão
mássica do refluxo foi de 8904 kg.h-1e a do destilado 6555,00 kg h-1.
Figura 10- Fluxograma da coluna depentanizadora no Aspen Dynamics®.
A corrente de vapor (FUELGAS), é também constituída de componentes leves
apresentado um percentual em massa de 0,991% dos mesmos, além de uma certa quantidade
de hidrogênio (0,008%). A vazão mássica desta corrente é de 995 kg h-1.
O produto de fundo é constituído por uma mistura de compostos com seis (C6) ou
mais átomos de carbono. A corrente do produto de base, identificada como 471, é composta
de 0,999% em massa de hidrocarbonetos maiores que o C5 e uma vazão mássica de 50000
kgh-1.
As cargas adotas para o reboiler e o condensador foram 16,1905 GJh-1 e -6,0709 GJh1
, respectivamente.
30
4 MATERIAIS E MÉTODOS
4.2 MATERIAIS
Dado que o trabalho a ser desenvolvido é essencialmente de natureza teórica, os
materiais incluídos estão diretamente envolvidos e fazem parte de um sistema computacional
de alto desempenho juntamente com os seus periféricos.
4.2 MÉTODOS
4.2.1 Determinação da matriz de ganhos estáticos do processo
Para determinar a matriz de ganhos estáticos do processo, utilizou-se a Equação (3) em
sua forma estacionária. Para isto, efetuaram-se distúrbios nas variáveis de entrada, observando
o comportamento das temperaturas nos estágios da coluna (variáveis de saída).
Os distúrbios nas vazões correspondentes à MV1 e MV2 foram realizados através de
uma variação em +5% na abertura das respectivas válvulas. Para a carga do trocador de calor
(Qt) efetuou-se uma variação de aproximadamente 2,014% em seu valor inicial. A variação na
vazão média de aquecimento do reboiler (MV4) foi de aproximadamente +0,544% em seu
valor inicial.
A partir dos valores iniciais (sem distúrbio) e finais (com distúrbio) de cada variável
manipulada, calculou-se a variação (ΔMV) entre os mesmos. De forma semelhante foi feita
entre os valores estacionários iniciais das temperaturas e as respostas obtidas para cada
distúrbio, encontrando-se, dessa forma, ΔPV.
31
4.2.2 Determinação da matriz de ganhos relativos do processo
De acordo com o exposto anteriormente, sabe-se que a matriz de ganhos relativos é
obtida a partir da razão entre o ganho em malha aberta e em malha fechada.
O ganho para malha aberta é também denominado de ganho estático e sua obtenção foi
descrita no tópico anterior. Nesta matriz, aplicou-se a técnica SVD, a qual gerou as variáveis
que mais influenciariam no processo. A partir destas, determinou-se o ganho em malha
fechada, ou ganho dinâmico do processo, o qual consistiu em realizar um distúrbio em uma
MV e observar a resposta de uma determinada PV quando as outras variáveis de processo se
mantivessem constantes.
4.2.3 Algoritmo simplificado para aplicação das técnicas SVD e RGA
Na Figura 11 está apresentado a estrutura de aplicação dos métodos SVD e RGA no
Matlab. As duas etapas inicias diz respeito a quantificação inicial das matrizes de ganho K e
G. Em seguida a aplicação das matrizes às funções específicas do Matlab.
Figura 11- Algoritmo simplificado em diagrama de blocos, para aplicação das técnicas SVD e RGA.
32
A aplicação dos métodos SVD e RGA consiste, inicialmente, em escolher quais serão
as variáveis controladas e manipuladas, feito isso, determinam-se os ganhos estáticos do
processo. Aplica-se então o SVD a estes valores, utilizando o Matlab®, com o código
apresentado na Equação (7).
[U S VT] = svd(K)
(7)
Este irá gerar como resultado as matrizes U, S e VT. Estas informarão os pares mais
sensíveis e que, consequentemente, mais influenciaram na operação.
A análise dessas matrizes consiste em parear o componente de maior valor do vetor U 1
da matriz U(PV), com o componente de maior valor do vetor V1 da matriz VT(MV), assim
como o componente de maior valor do vetor U2 com o componente de maior valor do vetor
V2 seguindo desta forma até que todos esses componentes de todos os vetores da matriz VT
estejam pareados com seu respectivo componente da matriz U, conforme mostra a Figura 12.
Figura 12- Interpretação das matrizes U e VT.
O passo seguinte é determinar a matriz de ganhos relativos através do quociente dos
ganhos estático e dinâmico e então aplicar o método RGA utilizando o código apresentado na
Equação (8).
rga = G.*inv(G´)
(8)
33
O resultado desta técnica é a chamada Matriz de Ganhos Relativos e está representada
pela Figura 13. Essa, informará o melhor emparelhamento para as PV’s avaliadas.
A interpretação da matriz de ganhos relativos consiste em parear a MV, que representa
as colunas da matriz, com a PV, que representa as linhas da mesma, de acordo com o valor de
λij mais próximo de 1.
Figura 13- Representação da matriz de ganhos relativos (RGA).
Por fim, as malhas de controle são implementadas na coluna depentanizadora do
Aspen Dynamics® e seus desempenhos são avaliados.
34
5 RESULTADOS E DISCUSSÕES
5.1 ESTRUTURA DE CONTROLE: POSSÍVEIS VARIÁVEIS DE ENTRADA E SAÍDA
De uma forma geral, podem-se ter dois tipos de variáveis a serem controladas: as
associadas ao controle do inventário; e as associadas ao balanço de energia da coluna. As
associadas ao controle do inventário estão relacionadas com o balanço de massa do sistema,
como pressão da coluna e os níveis no vaso de topo e de fundo da torre. As associadas ao
balanço de energia da coluna estão relacionadas com a qualidade dos produtos, como as
temperaturas (KETZER, 2013).
Na unidade de nafta as temperaturas são limitadas a certos valores para evitar que
sejam alcançadas as temperaturas críticas, em que ocorre a reação de polimerização e,
consequente, deposição de material no refervedor (reboiler) reduzindo sua capacidade
(MORAES, 2004).
Abaixo estão listadas as possíveis variáveis controladas (saídas) e manipuladas
(entradas) de modo a permitira correta operação da torre estabilizadora dentro das
especificações de qualidade e capacidade para o sistema em estudo.
a) Possíveis Variáveis Manipuladas:
1. R – Vazão do refluxo (MV1);
2. FUEL – Vazão de produto de topo na fase vapor(MV2);
3. FHreb – Vazão média de aquecimento do reboiler (MV3);
4. Qt – Carga térmica no trocador de calor (MV5).
b) Possíveis Variáveis Controladas:
As possíveis variáveis controladas escolhidas consistem no perfil de temperatura da
coluna depentanizadora [T1(PV1) à T37(PV37)].
35
5.2 ANÁLISE GRÁFICA DOS GANHOS ESTÁTICOS
A fim de melhor visualizar os ganhos das variáveis de processos relacionados as
variáveis, é realizada uma análise gráfica a qual pode informar, inicialmente, qual PV é mais
sensível a variações em cada MV.
A Figura 14 mostra o comportamento do ganho em relação a MV vazão de refluxo,
observa-se que os maiores ganhos, e consequente maior sensibilidade, está na temperatura do
estágio 34.
Na Figura 15 tem-se o comportamento do ganho em relação a MV vazão de produto
de topo na fase vapor (gás combustível). A maior sensibilidade frente a variações nessa
variável manipulada, se encontra na temperatura do estágio 34, mas com ganhos secundários
nos estágios de 5 a 13 e também no estágio 18.
Figura 14 - Ganho estático das temperaturas nos estágios da coluna em relação a MV vazão de refluxo.
0,002
ΔT/ΔR
0,001
0
-0,001 0
5
10
15
20
25
30
35
40
ΔT/ΔR
-0,002
-0,003
-0,004
-0,005
-0,006
-0,007
-0,008
-0,009
Estágio
As Figuras 16 e 17 exibem o comportamento do ganho em relação as variáveis
manipuladas vazão média de aquecimento do reboiler (FHreb) e carga térmica no trocador de
calor, respectivamente. Ambos os comportamentos são semelhantes e exibem uma maior
sensibilidade na temperatura do estágio 33 da coluna.
36
Figura 15 - Ganho estático das temperaturas nos estágios da coluna em relação a MV vazão de gás combustível.
ΔT/ΔFUEL
0
-0,2 0
5
10
15
20
25
30
35
40
-0,4
-0,6
ΔT/ΔFUEL
-0,8
-1
-1,2
-1,4
-1,6
-1,8
Estágio
Figura 16 - Ganho estático das temperaturas nos estágios da coluna em relação a MV vazão média de
aquecimento do reboiler.
0,25
ΔT/ΔFHreb
0,2
ΔT/ΔFHreb
0,15
0,1
0,05
0
0
5
10
15
20
Estágio
25
30
35
40
Figura 17 - Ganho estático das temperaturas nos estágios da coluna em relação a MV carga térmica no trocador
de calor.
80
ΔT/ΔQt
70
60
ΔT/ΔQt
50
40
30
20
10
0
0
5
10
15
20
Estágio
25
30
35
40
37
Apenas a análise dos comportamentos dos ganhos estáticos não é suficiente para
definir quais as temperaturas de maior sensibilidade da coluna, sendo necessária a utilização
de metodologias capazes de precisar essa informação. No referente trabalhou utilizou-se a
técnica SVD.
5.3 APLICAÇÃO DA TÉCNICA SVD NO SISTEMA EM ESTUDO, UTILIZANDO O
MATLAB®
A partir da matriz de ganhos estáticos do processo apresentada no APÊNDICE A,
obteve-se, como resposta para a aplicação da técnica SVD no Matlab®, as matrizes U, VT e S
que se encontram nos APÊNDICES B e C deste trabalho.
A análise das matrizes U e VT foi realizada de forma que o emparelhamento que
produziria a malha aberta multivariável com menos interação seria aquela em que o sensor
associado com o maior componente do vetor de coluna Ul está emparelhado com a variável
manipulada associada com o maior componente do vetor de coluna V1. O resultado para essa
análise é mostrado na Tabela 2.
Tabela 2 - Variáveis que mais influenciam no processo segundo técnica SVD.
PV
T1
T32
T33
T35
MV
Fhreb
FUEL
Qt
R
A Figura 18 mostra o resultado gerado pela matriz U que informa a sensibilidade das
variáveis de processo. A partir dela, observa-se que as temperaturas mais sensíveis ao longo
da coluna são as referentes aos estágios 1, 32, 33 e 35 que, desta forma, são as que mais irão
influenciar na operação.
38
Vetor da matriz U
Figura 18 - Resposta obtida pelos vetores U1 a U4 da matriz U.
U1
0,4
0,3
0,2
0,1
0
-0,1 0
-0,2
-0,3
-0,4
-0,5
-0,6
5
10
U2
15
U3
20
25
U4
30
35
40
Estágio
Visando obter o melhor emparelhamento entre essas variáveis de processo sem que
houve-se interação, aplicou-se a técnica RGA para a qual, os resultados são exibidos e
discutidos no tópico seguinte.
5.4 APLICAÇÃO DA TÉCNICA RGA NO SISTEMA EM ESTUDO, UTILIZANDO O
MATLAB®
Inicialmente determinou-se os ganhos dinâmicos do processo, cujos valores se
encontram na Tabela 5 do APÊNDICE D. A partir destes e dos valores dos ganhos estáticos
para as variáveis de processo encontradas após aplicação da metodologia SVD, calculou-se os
ganhos relativos, apresentados na Tabela 6 do APÊNDICE D, de forma a aplicar-lhe a técnica
RGA. Os resultados obtidos se encontram na Tabela 3.
Tabela 3 - Matriz de ganho relativo do processo em estudo.
PV1
PV2
PV3
PV4
MV1
0.6353
0.0053
-0.0694
0.4289
MV2
0.2665
0.0004
0.0737
0.6595
MV3
0.1005
0.0080
0.9791
-0.0875
MV4
-0.0022
0.9864
0.0167
-0.0008
Como visto anteriormente, valores de λij compreendidos entre 0 e 1 informa que há
interferência de outras malhas na malha em questão, porém, quanto mais próximo de 1 for
este valor significa dizer que mais forte é a dependência da PV com a MV. Os valores
39
negativos de λij indicam que o sistema é impossível de controlar devendo-se, portanto, evitar a
escolha dos pares respectivos.
A Tabela 4 mostra, dessa forma, os melhores emparelhamentos PV-MV para a
unidade depentanizadora em estudo.
Tabela 4 - Pares PV-MV obtidos a partir da aplicação da RGA.
PV
T1
T32
T33
T35
MV
R
Qt
FHreb
FUEL
Observa-se que a temperatura no estágio 1 é mais sensível a variações na vazão de
refluxo, assim como a temperatura no estágio 33 é mais sensível a variações na vazão média
de aquecimento do reboiler.
Vale salientar que os pares T32/ Qt e T35/ FUEL são inviáveis uma vez que as MV’s
estão situadas há uma distância considerável de sua respectiva PV tornando difícil seu
controle.
5.5 AVALIAÇÃO DA QUALIDADE DO FUNCIONAMENTO DAS MALHAS DE
CONTROLE PROJETADAS
A Figura 19 apresenta o fluxograma do processo em estudo, com as malhas de
controle obtidas segundo as técnicas de estrutura de controle anteriormente utilizadas.
Para avaliar a qualidade das malhas de controle projetadas realizou-se uma análise de
desempenho.
A avaliação de desempenho é possível graças a índices tais o ITAE (Integral do erro
absoluto vezes o tempo).
Índices não Intrusivos apresentam uma medida quantitativa do desempenho do sistema
e podem ser calculados através do acompanhamento da trajetória da variável controlada em
relação ao seu valor de referência. Uma malha é considerada uma estrutura de controle ótimo
quando seus parâmetros são ajustados de forma que o índice alcance um valor mínimo ou
40
máximo. Isso porque um sistema ótimo deve minimizar ou maximizar esse índice (MAIA et.
al, 2006 apud PANOEIRO et. al., 2012).
Figura 19 - Fluxograma da coluna depentanizadora e malhas de controle no Aspen Dynamics®.
De forma a quantificar o erro ocorrido por uma perturbação utilizou-se critérios
baseados na integral do erro absoluto multiplicado pelo tempo (IAE) que pode ser observada
na Equação (9). Esta, geralmente é utilizada para lidar com o problema de quantificação dos
erros iniciais quando a malha é oscilatória.


0
t e(t ) dt
(9)
A fim de calcular o índices de desempenho, efetuou-se um distúrbio no set point do
controlador e observou-se o comportamento da variável de resposta ou PV.
Os parâmetros de sintonia dos controladores foram obtidos através da sintonização dos
mesmos no simulador Aspen Dynamics®. Seus valores se encontram na Tabela 5.
Tabela 5 - Parâmetros de sintonia dos controladores.
Malha
T1 / R
T33 / FHreb
Parâmetros de sintonia
Ação
k
ti
86,2568
0,6235 Direta
17,8
4,1038 Inversa
41
Não foi possível a sintonia dos controladores de malhas T32/ Qt e T35/ FUEL, o que
reforça a inviabilidade na escolha desses pares. Assim, foram considerados os parâmetros por
default do próprio simulador, o que impossibilitou analisar o desempenho dessas malhas uma
vez que, dado um distúrbio, a ação do controlador não era suficiente para fazer a variável de
processo atingir o novo valor de referência.
Na Figura 20 a variável avaliada é a temperatura no estágio 33 da coluna
depentanizadora (PV33). O valor de referência inicialmente é 173,526 ºC e sofre um degrau
de 0,474ºC atingindo o valor de 174ºC.
PV, SP (°C)
Figura 20 - Comportamento da temperatura no estágio 33 da coluna dado um degrau no set point.
SP
174,2
174,1
174
173,9
173,8
173,7
173,6
173,5
173,4
0
0,5
PV33
1 Tempo(h) 1,5
2
2,5
Na Figura 21 a variável avaliada é a temperatura no primeiro estágio da coluna (PV1).
O valor de referência inicialmente é 76,5067 ºC e sofre um degrau de 1,4933ºC atingindo o
valor de 78ºC.
Figura 21 - Comportamento da temperatura no primeiro estágio da coluna dado um degrau no set point.
SP
78,5
PV1
PV, SP (°C)
78
77,5
77
76,5
76
0
0,5
1
Tempo(h)
1,5
2
42
A Tabela 6 mostra o índice de desempenho para as malhas consideradas na avaliação
de desempenho.
Valores pequenos para o ITAE são mais desejáveis e indicam emparelhamento
satisfatório.
Tabela 6 – Análise de desempenho das malhas de controle.
Malha
T1 / R
T33 / FHreb
Índice de Desempenho
ITAE
1,98367
1,20794
43
6 CONCLUSÕES
A elaboração deste trabalho possibilitou a materialização dos conceitos de controle
clássico de processos e das técnicas utilizadas para estruturas de controle multivariável, SVD e
RGA.
Com a aplicação da metodologia SVD na coluna depentanizadora de nafta obteve-se as
temperaturas nos estágios 1, 32,33 e 35 como as mais sensíveis e que possivelmente mais
influenciam na operação da unidade.
A reposta para o melhor emparelhamento dessas temperaturas com as variáveis
manipuladas consideradas para avaliação das metodologias, foi obtida através da RGA, a qual
informou que a T1 e a T33 são mais sensíveis a variações na vazão de refluxo e na vazão
média de aquecimento do reboiler, respectivamente. Embora esta técnica também tenha
informado os pares T32/Qt e T35/FUEL como dois dos melhores, uma análise crítica da
planta mostrou que eles são inadequados dado que a carga térmica no trocador de calor e a
vazão de gás combustível se encontram há uma distância considerável das variáveis de
processo à elas emparelhadas, o que dificulta seu controle.
A avaliação do desempenho das malhas de controle só foi executável para os pares
T1/R e T33/FHreb visto que não foi possível sintonizar os parâmetros dos controladores dos
demais pares reforçando a inviabilidade dos mesmos. Como resultado, obteve-se valores
pequenos para o índices intrusivo ITAE indicando que as malhas estão projetadas com o
emparelhamento satisfatório
Ao final deste trabalho, pôde-se constatar a importância da utilização de técnicas de
controle, como a SVD e a RGA, em processos industriais que devem gerar produtos cujas
especificações estejam de acordo com àquelas exigidas.
6.1 SUGESTÕES PARA TRABALHOS FUTUROS
Desenvolver uma ferramenta para projetos de malhas de controle, utilizando as
técnicas SVD e RGA, em plataforma VBA integrado com funções Fortran.
44
REFERÊNCIAS
ALVES, J. L. L. Instrumentação, Controle e Automação de Processos. Rio de Janeiro:
LTC, 2005.
ANDRADE, G. V. N. Projeto de Estrutura de Controle para uma Planta de Produção de
Etanol. Dissertação de mestrado. Universidade Federal do Rio de Janeiro. Rio de Janeiro, p.
114. 2008.
ARAÚJO, O. C. B. D.; BAYER, F. M. Controle automático de processos. Universidade
Federal Santa Maria : Colégio Técnico Industrial de Santa Maria. Santa MAria, p. 92. 2011.
BEGA, E. A. et al. Instrumentação Industrial. 2º. ed. Rio de Janeiro: Interciência, 2006.
BRISTOL, E. H. On a new measure of interaction for multivariable process control.
[S.l.]: IEE Transactions on Automatic Control, AC-11, pp 133-134, 1966.
FARINA, L. A. RPN - Toolbox: uma ferramenta para o desenvolvimento de estruturas
de controle. Dissertação de mestrado. Universidade Federal do Rio Grande do Sul. Porto
Alegre, p. 142. 2000.
FRANCHI, C. M.; RAVAGNANI, M. A. S. S. Sistema de Supervisão Aplicado a Coluna de
Destilação. Revista Tecnológica, Maringá, v. 20, p. 35-40, 2011.
HEIDRICH, A. Heurísticas para Projeto de Estruturas de Controle. Dissertação de
mestrado. Universidade Federal do Rio Grande do Sul. Porto Alegre, p. 144. 2004.
JESUS, E. F. D. Modelagem e controle de um processo de dosagem de carvão mineral e
de um processo de endurecimento de pelotas de minério de ferro. Dissertação de
mestrado. Universidade Federal do Espírito Santo. Vitória, p. 113. 2009.
JURADO, J. G. Diseño de sistemas de control multivariable por desacoplo con
controladores PID. Tese de doutorado. Universidad Nacional de Educación a Distancia.
Madrid, p. 249. 2012.
KETZER, F. Modelagem, Simulação e Controle de uma Coluna de Destilação
Descontínua Apropriada à Produção de Etanol em Pequena Escala. Dissertação de
Mestrado. Universidade Federal de Santa Maria. Santa Maria,RS. 2013.
LIU, T.; GAO, F. Industrial Process Identification and Control Design. [S.l.]: Springer,
2012.
LUYBEN, W. L. Process Modeling, Simulation, and Control for Chemical Engineers. 2º.
ed. [S.l.]: McGrAW-HILL, 1996.
MARTINS, A. T. Projeto de um Controlador PI-MIMO para uma Planta de Produção
do Poliestireno. Dissertação de Mestrado. Universidade Federal do Rio Grande do Sul. Porto
Alegre, p. 95. 2009.
45
MAZOTO, B. M.; FILHO, J. D.; MATTEDI, A. Departamento de Engenharia Elétrica :
Universidade Federal do Pará. Departamento de Engenharia Elétrica: Universidade
Federal
do
Pará,
2012.
Disponivel
em:
<http://www.eletrica.ufpr.br/anais/induscon/2012/Data/iREP1750.pdf>. Acesso em: 03
Agosto 2014.
MOORE, C. Application of Singular Value Decomposition to the Design, Analysis, and
Control of Industrial Processes, 1992.
MORAES, C. A. S. D. Modelagem, Controle e Minimização do Consumo de Energia de
uma Unidade de Fracionamento de Nafta. Dissertação de Mestrado. Universidade Estadual
de Campinas. Campinas,SP. 2004.
MORAIS, J. S. et al. Controle Multivariável Aplicado à um Forno de Fusão. Conferência
de Estudos em Engenharia Elétrica. Uberlândia-MG: [s.n.]. 2013. p. 6.
OLIVEIRA, I. ; ROCHA, R.; SOUZA, H. A. Sistema de Controle de Temperatura e
Umidade para um Ambiente Construído. 8º Congresso Iberoamericano de Engenharia
Mecânica. Cusco: [s.n.]. 2007. p. 8.
PANOEIRO, E. A. Índices não Intrusivos Utilizados no Ensino de Controle com Técnicas
de Identificação dm Malha Aberta. XL Congresso Brasileiro de Educação em Engenharia.
03 a 06 de setembro. Belém, PA . 2012.
PEREIRA, R. P. D. A. Implantação do Controlador Preditivo Multivariável DMC em
uma Planta Piloto. Dissertação de Mestrado. Universidade Federal do Espírito Santo.
Vitória, p. 99. 2011.
QUIRINO, P. P. D. S. Estratégias de Controle Aplicadas a Reatores de Polimerização de
Eteno em Solução. Dissertação de Mestrado. Universidade Federal da Bahia. Salvador. 2012.
RANGEL, F. B. Avaliação do Desempenho de Configurações de Controle Dual em
Colunas de Destilação. Dissertação de Mestrado. Universidade Federal do Rio de Janeiro.
Rio de Janeiro, RJ. 2010.
RIBEIRO, M. A. Controle de Processo. SCEA.com.br, Salvador, 2005. Disponivel em:
<http://cursos.scea.com.br/wp-content/uploads/2012/08/8.Controle-de-Processo.pdf>. Acesso
em: 02 Agosto 2014.
ROCHA, R. et al. Proposta de Planta Piloto: Controle de Vazão e Temperatura de Lìquidos.
Congresso Brasileiro de Ensino de Engenharia. Brasília: [s.n.]. 14 a 16 setembro 2004. p. 12.
SEBORG, D. E.; EDGAR, T. F.; MELLICHAMP, D. A. Process Dynamics and Control.
New York: John Wiley& Sons, 1989.
SEBORG, D. E.; EDGAR, T. F.; MELLICHAMP, D. A. Process Dynamics and Control. 2º.
ed. New York: John wiley & Sons, Inc., v. 2, 2004.
46
SHINSKEY, F. G. Sistemas de Control de Procesos: Aplicación, diseño, y sintonización.
[S.l.]: McGRAW-HILL, v. 1, 1996.
SILVA, E. A. D. Construção, modelagem e controle de um pêndulo invertido com CLP e
software SCADA. Dissertação de mestrado. Universidade Estadual Paulista "Júlio de
Mesquita Filho". Ilha Solteira, p. 79. 2013.
SKOGESTAD, S.; POSTLETHWAITE, I. Multivariable Feedback Control - Analysis and
Design. [S.l.]: John Wiley & Sons, 1996.
STEPHANOPOULOS, G. Chemical Process Control. Englewood Cliffs: Prentice Hall,
1984.
SVRCEK, W. Y.; MAHONEY, D. P.; YOUNG, B. R. A Real - Time Approach to Process
Control. 2º. ed. [S.l.]: John Wiley & Sons, v. 2, 2006.
SVRCEK, W. Y.; MAHONEY, D. P.; YOUNG, B. R. A Real -Time approach to Process
Control. 3º. ed. [S.l.]: John Wiley & Sons, Ltd, v. 3, 2014.
TORRES, B. S. Sintonia de Controladores PID em um Sistema Multimalha. Dissertação
de Mestrado. Universidade Federal de Minas Gerais. Belo Horizonte. 2002.
TRIERWEILER, J. O. A Systematic Approach to COntrol Structure Design. Ph.D. Thesis.
Universitat Dortmund. [S.l.]. 1997.
47
APÊNDICE A
Tabela 7- Matriz de ganhos estáticos do processo.
ΔPV1
ΔPV2
ΔPV3
ΔPV4
ΔPV5
ΔPV6
ΔPV7
ΔPV8
ΔPV9
ΔPV10
ΔPV11
ΔPV12
ΔPV13
ΔPV14
ΔPV15
ΔPV16
ΔPV17
ΔPV18
ΔPV19
ΔPV20
ΔPV21
ΔPV22
ΔPV23
ΔPV24
ΔPV25
ΔPV26
ΔPV27
ΔPV28
ΔPV29
ΔPV30
ΔPV31
ΔPV32
ΔPV33
ΔPV34
ΔPV35
ΔPV36
ΔPV37
ΔMV1
-8,502E-05
0,0003111
0,00073493
0,00097896
0,00110176
0,00115876
0,00118237
0,00118773
0,00118017
0,00116033
0,00112349
0,00106209
0,00095912
0,00078562
0,00048208
-8,155E-05
-0,0011304
-0,0021254
-0,0001354
-0,0003905
-0,0005164
-0,0005699
-0,000592
-0,000614
-0,0006487
-0,0007242
-0,0008659
-0,0011367
-0,00165
-0,00256
-0,0040242
-0,005967
-0,0076295
-0,0076484
-0,0056332
-0,0029347
-0,0008533
ΔMV2
-0,3693875
-0,3277077
-0,2999906
-0,2859236
-0,2793591
-0,2764415
-0,2752953
-0,2750869
-0,2756079
-0,2766499
-0,2785255
-0,2815473
-0,2863404
-0,2937386
-0,3058258
-0,3251027
-0,3521946
-0,3469846
-0,237575
-0,2313231
-0,2063152
-0,1875592
-0,1781813
-0,1750553
-0,1771393
-0,1886012
-0,2146511
-0,2636249
-0,3574046
-0,5262079
-0,7992108
-1,1659933
-1,490054
-1,5327758
-1,228513
-0,8065047
-0,4761921
ΔMV3
0,02048768
0,01320491
0,00855352
0,00619386
0,00509695
0,00462342
0,00445758
0,00446158
0,00458345
0,00483121
0,0052448
0,00591214
0,00697508
0,00869338
0,01157053
0,0166355
0,02511509
0,03030994
0,01112896
0,01162847
0,01064944
0,00977031
0,00939069
0,00969039
0,01092916
0,01368643
0,01922094
0,02973052
0,04871169
0,08038029
0,12569535
0,17310833
0,19466696
0,16967174
0,11454641
0,06219832
0,02739284
ΔMV4
10,5774579
6,40765582
4,16325863
3,0795027
2,58383772
2,36872239
2,29101914
2,28774742
2,33764109
2,44642565
2,63209553
2,93554719
3,42303288
4,21724194
5,55537379
7,91918861
11,8763291
14,2810404
5,24292491
5,81547522
5,70914445
5,52102078
5,45558646
5,60281368
6,08539179
7,10780304
9,14444626
13,0132504
20,0147227
31,7192868
48,6177
66,6284966
75,2985441
66,3749387
45,599542
25,5684607
12,1626043
48
APÊNDICE B
Tabela 8- Vetores U1 à U4 da matriz U obtida através da aplicação do método SVD.
-0.0707
-0.0428
-0.0279
-0.0206
-0.0173
-0.0159
-0.0153
-0.0153
-0.0157
-0.0164
-0.0176
-0.0196
-0.0229
-0.0282
-0.0372
-0.0529
-0.0954
-0.0351
-0.0389
-0.0382
-0.0369
-0.0365
-0.0375
-0.0407
-0.0475
-0.0611
-0.0870
-0.1337
-0.2120
-0.3249
-0.4452
-0.5032
-0.4436
-0.3048
-0.1709
-0.0813
0.1347
0.1799
0.1992
0.2079
0.2118
0.2134
0.2139
0.2137
0.2132
0.2120
0.2100
0.2067
0.2013
0.1922
0.1765
0.1467
0.0383
0.1183
0.1007
0.0793
0.0653
0.0578
0.0519
0.0440
0.0341
0.0174
-0.0148
-0.0683
-0.1463
-0.2312
-0.2500
-0.1195
0.1020
0.2361
0.2437
0.2035
-0.3122
-0.0553
0.0303
0.0635
0.0775
0.0836
0.0861
0.0869
0.0861
0.0833
0.0778
0.0682
0.0522
0.0249
-0.0227
-0.1096
-0.3145
-0.0478
-0.1261
-0.1914
-0.2298
-0.2503
-0.2600
-0.2654
-0.2623
-0.2509
-0.2298
-0.1903
-0.1193
-0.0218
0.0806
0.1575
0.1771
0.1210
0.0229
-0.0639
0.1447
0.0884
0.1133
0.1354
0.1482
0.1546
0.1577
0.1588
0.1586
0.1577
0.1554
0.1514
0.1441
0.1313
0.1077
0.0613
-0.1598
0.0053
-0.0203
-0.0301
-0.0332
-0.0325
-0.0292
-0.0204
-0.0083
0.0153
0.0601
0.1325
0.2333
0.3261
0.2889
0.0072
-0.3502
-0.4423
-0.2722
-0.0628
49
APÊNDICE C
Matrizes VT e S obtidas através da aplicação do método SVD.
0.0001
0.0215
-0.0025
-0.9998
VT=
S=
0.0030 0.0257 0.9997
-0.9997 -0.0115 0.0033
-0.0116 0.9996 -0.0257
-0.0214 -0.0028 0.0002
149.6675
0
0
0
0
1.0571
0
0
0
0
0.0149
0
0
0
0
0.0045
APÊNDICE D
Tabela 9- Ganhos dinâmicos
PV1
PV2
PV3
PV4
MV1
MV2
MV3
MV4
8,1273E-05
-0,0032823
0,00757641
-0,0027778
-0,0027045
0,01109192
0,00168953
-0,0018034
0,009719
0,056023
0,007832
-0,054752
6,63640552
-0,0801125
1,39047931
-27,889792
Tabela 10- Ganhos relativos
MV1
PV1
PV2
PV3
PV4
-1,0460789
1,81794903
-1,007011
2,0279095
MV2
MV3
MV4
136,583258 2,10806803 1,59385
-105,12092 3,0899785 -831,69
-881,93613 24,8545918 54,1529
681,203588 -2,0921021 -1,635