UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO
INSTITUTO DE FÍSICA
GRUPO DE FÍSICA NUCLEAR TEÓRICA E FENOMENOLOGIA DE
PARTÍCULAS ELEMENTARES (FINPE)
1o Relatório FAPESP
Processo: 01/03060-7
Perı́odo: Julho de 2001 à Junho de 2002
Projeto: Constantes de Acoplamento a partir das Regras de Soma da
QCD
Rômulo Rodrigues da Silva
(Bolsista)
Dra. Marina Nielsen
(Orientadora)
São Paulo
— 10 de Junho 2002 —
Conteúdo
1 Resumo do plano inicial
1
2 Resumo das atividades desenvolvidas no perı́odo
3
3 Detalhamento dos progressos realizados
5
3.1
Lado da QCD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
3.2
Integrais para quarks leves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
3.3
Método de integração de Pauli-Villars
3.4
Regra de Soma para o méson ρ0
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
3.5
Transformada de Borel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
3.6
Tratamento numérico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
3.7
Abordagem Gráfica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19
4 Plano de Trabalho e etapas seguintes
2
21
Lista de Figuras
3.1
fρ20 (GeV)2 versus M 2 (GeV)2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19
3.2
mρ0 (GeV) versus M 2 (GeV)2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20
3
Lista de Tabelas
4
Capı́tulo 1
Resumo do plano inicial
A busca da evidência do surgimento do novo estado da matéria, o plasma de quarks e
gluons (QGP) está sendo bastante aguardada pelos fı́sicos. Espera-se que o QGP será
observado nas colisões de ı́ons pesados relativı́sticos na máquina RHIC, cujos experimentos estão sendo realizados no Laboratório Nacional de Brookhaven nos Estados
Unidos.
Teoricamente, a mais forte evidência da formação do QGP se deve a supressão do
méson J/ψ. Porém ainda não está claro como podemos usar a supressão do J/ψ como
uma assinatura da formação do QGP, pois nos experimentos no RHIC é de fundamental
importância ter um conhecimento melhor das interações dos mésons construidos a base
do quark charm (charmonium).
Nesta linha de entendimento das interações do charmonium, pretendemos calcular os fatores de forma e constantes de acoplamento, que fornecem os parâmetros
fundamentais para as teorias hadrônicas efetivas que possibilitam estudar o QGP.
Particularmente iremos estudar os vértices J/ψD∗D ∗ e ρD ∗ D ∗ .
Para realizar esse cálculo iremos utilizar as Regras de Soma da QCD, que é um
método aproximado de estudar os hadrons sob dois pontos de vista: o hadron de
uma forma elementar e ele como constituido de quarks e gluons. Do lado hadrômico
chamamos de aspecto fenomenológico, baseado em lagrangianas efetivas e o lado dos
quaks e gluons é o lado da QCD.
O funcional que permite essa identidade é a função de correlação de Wilson, que
1
2
seria análogo a função de polarização do vácuo da QED que aparece na correção de
primeiro loop para o propagador do fóton. Assim os observáveis da teoria entram
pelo correlator escrito com argumentos fenomenológicos, como a conservação parcial
da corrente axial (PCAC). Do lado da QCD o correlator será dado numa série de
termos envolvendo os campos dos quarks e gluons (OPE).
Porém essa igualdade não é imediata, pois o lado da QCD fornece soluções para
uma famı́lia de mésons, assim se faz necessário construir uma relação de dispersão
além de admitir a dualidade quark-hadron.
Capı́tulo 2
Resumo das atividades
desenvolvidas no perı́odo
No primeiro semestre de trabalho me empenhei apenas em entender o projeto de
pesquisa, pois o Instituto não ofereceu disciplinas de meu interesse nesse perı́odo. O
estudo se baseou na Regra de Soma do nucleon feito num caderno de notas pela minha
orientadora. Motivado por esse estudo, estudei QED [1, 2], Teoria de Campos [3, 4] e
formalizações matemáticas do Courant [5, 6]. Também participei do grupo de estudo
liderados pela minha orientadora e pelo professor Fernando Navarra, que se destinava
a estudar o livro de Teoria de Campos do Mandl [7]. Em Outubro, participei do estudo
do méson ρ, através do livro do Greiner [8] e do Pascual-Tarrachi [9], cujo grupo era
liderado pela professora Marina e pelo professor Fernando Navarra.
Desenvolvemos provas para as integrais renormalizadas de quarks leves via regularização do cutoff [10, 11], procedimento alternativo bem mais direto que o apresentado
no Greinner [8]. Também tratamos o correlator da QCD de modo análogo ao tensor
de polarização do vácuo da QED para a correção de primeiro loop para o propagador
do fóton, onde tratamos com quarks massivos e onde obtemos a estrutura do tensor de
correlação analogamente a QED. Além de usar o método de Pauli-Villars de integração
[3]. Conseguimos também mostrar a correspondêcia para quarks leves e obtemos o
mesmo resultado que usando as regras de Cutkosky.
Também realizamos a regra de soma do méson ρ e calculamos a correspondente
3
4
constante de decaimento só usando os termos perturbativos e dos condensados de
quarks, obtendo bons resultados.
No segundo semestre, passei três meses me preparando para o Exame de Qualificação, onde felizmente obtive aprovação nas disciplinas de Mecânica Quântica, Termodinâmica-Mecânica Estatı́stica e Mecânica Clássica.
Participei do VIII International Workshop on Hadron Physics realizado de
14 a 19 de abril de 2002 em Bento Gonçalves, RS, Brasil.
Atualmente estou cursando Teoria de Campos I e estou estudando o lado fenomenológico
da Regra de Soma da QCD. Além disso, participo de reuniões semanais do nosso grupo
de Regras de Soma de QCD.
Capı́tulo 3
Detalhamento dos progressos
realizados
Os cálculos na Regra de Soma em QCD (QCDSR) de dois pontos se centralizam no
funcional de correlação dado pelo tensor,
Πµν (q) = i
Z
d4 xeiqx < 0|T {jµ (x)jν‘ (0)}|0 >,
(3,0.1)
onde |0 > é o vácuo da QCD e jµ é a corrente de quarks, construı́do de modo semelhante
as correntes vetoriais de Dirac ψ̄γµ ψ na QED, porém na QCD existe o número quântico
cor. Na QCD as correntes podem ser construı́das para regra de soma de férmions como
o nucleon, cujo o procedimento de construção da corrente é bastante complexo ou para
o caso de mésons cuja a corrente é escrita de forma análoga a corrente de Dirac usual.
A outra corrente jν‘ é j̄ν para nucleons e para mesons carregados é simplesmente jν† .
A visualização do correlator como um diagrama de polarização do vácuo têm suas
origens na QED, onde no tratamento de primeiro loop para o propagador do fóton
temos esse mesmo tensor de polarização, onde a corrente é escrita em termos do elétron
e do pósitron, ψ̄γµ ψ. Assim a mesma representação gráfica é assumida na QCDSR.
3.1
Lado da QCD
Neste trabalho iremos apresentar os resultados obtidos com o méson K ∗ , formado dos
quaks s (strange) e d (down), onde nossos cálculos podem ser facilmente aplicados
5
6
para os mésons ρ e J/ψ, assim temos a sua corrente,
jµ (x) = δab s̄a (x)γµ db (x),
(3,1.2)
cuja soma é feita nos ı́ndices de cor, de modo a tornar o meson descolorido. Assim
ficamos com o problema de avaliar, Πµν (x) = i < 0|T {jµ (x)jν† (0)}|0 > . Abrindo os
produtos matriciais entre as matrizes gama e os campos dos quarks, onde esses são
tratados como operadores de segunda quantização, obtemos a expressão,
Πµν (x) = i
4
X
‘
‘
δab δa‘ b‘ [γµ ]ij [γν ]i‘ j ‘ < 0|T s̄ai (x)dbj (x)d¯bi‘ (0)saj ‘ (0)|0 > .
i,j,i‘ ,j ‘ =1
Usando o Teorema de Wick, obtemos uma série (OPE) de 4-termos para o produto temporalmente ordenado no vácuo da QCD. A principal propriedade desse vácuo
consiste na formação de condesados, coisa inexistente no vácuo da QED. Os condensados são produtos normais de dois campos de quarks avaliados num mesmo ponto
do espaço. Por outro lado produtos normais de mais de dois quarks não são considerados na QCD, assim temos na verdade 3 termos relevantes nesta série. Destaco o
fato que provamos o Teorema de Wick usando as relações de anticomutação com os
propadores de férmions, que irá fornecer o vácuo usual |0 >, cujo método é bastante
trabalhoso, mas nos fornece grande segurança. Assim temos os termos não nulos da
série,
‘
‘
< 0|T s̄ai (x)dbj (x)d¯bi‘ (0)saj ‘ (0)|0 >=
‘
‘
‘
‘
− < 0|T dbj (x)d¯bi‘ (0)|0 >< 0|T saj ‘ (0)s̄ai (x)|0 > + < 0| : s̄ai (x)saj ‘ (0) : |0 >< 0|T dbj (x)d¯bi‘ (0)|0 >
‘
‘
− < 0| : dbj (x)d¯bj ‘ (0) : |0 >< 0|T saj ‘ (0)s̄ai (x)|0 > .
Usando a primeira ordem de aproximação para os campos dos quarks, onde desprezamos a interação dos quarks com os gluons, obtemos os primeiros termos para a
série dos condensados, representados de modo geral por:
‘
< 0| : qjb (x)q̄jb‘ (0) : |0 >=
7
−
1
mq
‘
‘
< 0| : q̄(0)q(0) : |0 > δ bb δjj ‘ + i[γµ xµ ]jj ‘
< 0| : q̄(0)q(0) : |0 > δ bb ,
12
48
‘
< 0| : qjb (0)q̄jb‘ (x) : |0 >=
−
1
mq
‘
‘
< 0| : q̄(0)q(0) : |0 > δ bb δjj ‘ − i[γµ xµ ]jj ‘
< 0| : q̄(0)q(0) : |0 > δ bb ,
12
48
onde < 0| : q̄(0)q(0) : |0 > é um parâmetro da teoria, avaliado fenomenologicamente
ou via QCD na rede. Esse número simbolizamos simplesmente por < q̄q >.
Novamente despresando os efeitos dos gluons, temos que os produtos temporalmente ordenados são os propagadores de Feynman, desde que os quarks sejam calculados com o mesmo ı́ndice de cor, e como existem apenas três cores, ficamos com a
expansão final,
¯
s̄s
Πµν (x) = ΠPµνert (x) + Πdd
µν (x) + Πµν (x),
onde,
ΠPµνert (x) = i3tr[γµ SF (x, md )γν SF (−x, ms )],
¯
Πdd
µν (x) = −
3
¯ > tr[γν SF (−x, ms )γµ ] + 3i < dd
¯ > md tr[γν SF (−x, ms )γµ γρ xρ ],
< dd
12
48
Πs̄s
µν (x) = −
3
3i
< s̄s > tr[γµ SF (x, md )γν ] −
< s̄s > ms tr[γµ SF (x, md )γν γρxρ ].
12
48
O termo perturbativo é representado por uma bola fechada análogo ao que ocorre
no tensor de polarização da QED. Os diagramas dos condensados são representados
por linhas que não se fecham e são exclusivos da QCD. O termo perturbativo é o que
mais contribue, e no caso do J/ψ é o único que interessa.
3.2
Integrais para quarks leves
No caso de quarks leves podemos aproximar o propagador de Feynman, na seguinte
forma,
8
SF (x, m) =
Z
d4 p −ipx γµ pµ
m
e
[
+
],
(2π)4
p2 + i p2 + i
assim ficamos com o desafio de resolver integrais do tipo,
Z
d4 p e−ipx
,
(2π)4 p2 + i
para avaliarmos essa integral considere a inversão do denominador para positivo,
1
1
=
2
p + i
i
Z
∞
0
dαeiα(p
2 +i)
,
considerando o valor da integral gaussiana complexa [3, 6]
Z
∞
iαk 2
dke
=
−∞
s
π
,
−iα
e o ordenamento de Feynman para o produto temporalmente ordenado,
Fazendo uma mudança de variáveis, u =
√
i4 = 1.
1
,
α
e fazendo o limite → 0, chegamos
=
4
,
ix2
numa integral ordinária do tipo,
Z
∞
0
due
−ix2
u
4
calculada via integração na parcela u = −i|y| do plano complexo. Assim obtemos o
valor para a integral,
Z
d4 p
i4π 2
e−ipx
=
.
p2 + i
x2
Onde só com essa integral somos capazes de obter o termo perturbativo,
ΠPµνert (x) =
md ms
i3
[gµν x2 − 2xµ xν ] − i3 4 4 gµν ,
4
8
π x
4π x
cujo primeiro termo é igual ao do Greiner [8], porém o segundo termo ele não considerou.
Para obtermos o correlator no espaço de momentos, ficamos com o desafio de
avaliarmos integrais do tipo,
9
Z
d4 x
eiqx
.
(x2 )n
Considerando a regularização,
Z
1
1
=
2
n
n
(x − i)
(−i) (n − 1)!
∞
0
dααn−1 e−iα(x
2 −i)
,
e aplicando a integração gaussiana complexa, e as mesmas transformações aplicadas
na integral anterior, ficamos com a integral escrita proporcional a integral ordinária,
Z
∞
0
q2
ei 4 u
du n−1 ,
u
onde agora temos que escolher os processos da QCD. Na QCD os processos ocorrem
para q 2 → −∞, portanto devemos escolher a parte de baixo de um semi-cı́rculo de
integração complexa, assim transformamos essa integral complexa numa integral real
ordinária, do tipo,
Z
0
∞
q2
e4z
dz n−1 .
z
Aplicando a inversão,
1
1
=
n
z
(n − 1)!
Z
0
∞
dααn−1 e−αz ,
ficamos com essa expressão problemática,
iπ 2 (−1)n 24−2n 2 n−2
(q ) ln(−q 2 ) + (infinitos) + (Polinômios(q 2 )),
(n − 1)!(n − 2)!
felizmente o termo logaritmo dirvengente que fornece o infinito é desprezado e os termos
polinômiais são eliminados pela transformada de Borel, assim na Renormalização
da QCD-SR ficamos com a integral renormalizada,
Z
d4 x
eiqx
iπ 2 (−1)n 24−2n 2 n−2
=
(q ) ln(−q 2 ).
2
n
(x )
(n − 1)!(n − 2)!
Munido dessa expressão, somos capazes de calcular facilmente os termos do correlator no espaço dos momentos, assim ficamos com a nossa solução final,
10
¯
s̄s
Πµν (q) = ΠPµνert (q) + Πdd
µν (q) + Πµν (q),
onde,
ΠPµνert (q) = (gµν q 2 − qµ qν )
−
3
1
ln(−q 2 ) + gµν md ms 2 ln(−q 2 )
2
4π
4π
1 1
( gµν q 2 + qµ qν )
8π 2 6
Πdd
µν (q) = −
¯ >
< dd
(ms gµν q 2 − md qµ qν ),
q4
Πs̄s
µν (q) = −
< s̄s >
(md gµν q 2 − ms qµ qν ).
4
q
¯
(3,2.3)
Podemos ver que para o méson K ∗ só o primeiro termo perturbativo conserva a
corrente, pois lá não existe informação alguma sobre a massa dos quarks, assim a
quebra da corrente se deve pela diferença de massa entre os quarks. Para contornar
essa dificuldade para o méson K ∗ o procedimento consiste em supor uma estrutura
de corrente conservada para o nosso correlator e assim obtem-se esse novo correlator. Funcionaria como uma espécie de projeção desse nosso correlator, assim temos o
método,
Πµν (q) = (qµ qν − gµν q 2 )Π(q 2 ),
onde encontramos Π(q 2 ), pela contração,
Π(q 2 ) = −
1 µν
g Πµν (q),
3q 2
gerando a série para a nossa solução,
¯
Π(q 2 ) = ΠP ert (q 2 ) + Πdd (q 2 ) + Πs̄s (q 2 ),
assim ficamos com os termos (onde já estamos desconsiderando os termos polinômiais)
11
ΠP ert (q 2 ) = −
1
1 ln(−q 2 )
2
ln(−q
)
−
m
m
,
d s 2
4π 2
π
q2
Πdd (q 2 ) =
¯ >
− < dd
(−4ms + md ),
3q 4
Πs̄s (q 2 ) =
− < s̄s >
(−4md + ms ),
3q 4
¯
3.3
Método de integração de Pauli-Villars
Como vimos na contribuição perturbativa não entra o vácuo da QCD. A contribuição
perturbativa é igual ao tensor de polarização do vácuo, obtido na correção de primeiro
loop para o propagador do fóton [4, 3], desde que as massas dos quarks sejam iguais
a massa de elétron. Por esse método calculamos o nosso correlator no espaço de
momentos diretamente e sem precisar de nenhuma aproximação para as massas dos
quarks, assim temos a integral,
ΠPµνert (q) = i3
Z
d4 xeiqx tr[γµ SF (x, md )γν SF (−x, ms )],
com,
SF (x, m) =
Z
d4 p −ipx γµ pµ + m
e
[ 2
],
(2π)4
p − m2 + i
Ao inserir esse propagador no correlator iremos obter uma função delta, desaparecendo as integrais em d4 x e numa das variáveis de integração do propagador. Assim
ficamos com o correlator na forma,
ΠPµνert (q) = 12i
Z
d4 p pµ (p − q)ν + pν (p − q)µ − gµν (p2 − ~p~q − md ms )
.
(2π)4
(p2 − m2d + i)((p − q)2 − m2s + i)
Como sabemos que,
1
1Z ∞
2
2
=
dαeiα(k −m +i) ,
2
2
k − m + i
i 0
12
e aplicando a transformação,
pµ = k µ + λq µ ,
onde escolhemos o valor de λ de modo a gerar a integração gaussiana complexa, na
integração em d4 k, obtemos depois de muitos cálculos o correlator perturbativo, na
forma,
ΠPµνert (q) = (gµν q 2 − qµ qν )ΠC + gµν ΠR ,
onde,
ΠC = −
12i
ΠR = −
16π 2
Z
24
16π 2
∞
0
Z
0
Z
∞
0
Z
∞
dα1 dα2
0
∞
dα1 dα2
α1 α2
eif (α1 ,α2 )−(α1 +α2 ) ,
(α1 + α2 )4
1
eif (α1 ,α2 )−(α1 +α2 ) [iR(α1 , α2 ) − 1],
(α1 + α2 )3
com,
f (α1 , α2 ) = q 2
R(α1 , α2 ) = −q 2
α1 α2
− (m2d α1 + m2s α2 ),
(α1 + α2 )
α1 α2
+ md ms (α1 + α2 ) − i.
(α1 + α2 )
Para calcular essas integrais duplas usamos o método Pauli-Villars, que consiste
em transformar essas integrais em funções do parâmetro de escala, assim fazemos a
transformação de escala nessas integrais via,
αi −→ ραi .
Como o valor da integral é invariante por essa transformação, temos a identidade,
Π(ρ = 1) =
Z
0
∞
dρΠ(ρ = 1)δ(ρ − (α1 + α2 )),
onde aplicando a invariança de escala temos a nova identidade,
13
Π(ρ = 1) =
Z
∞
dρΠ(ρ)δ(ρ − (ρα1 + ρα2 )),
0
e usando a fatoração da delta de Dirac, obtemos o formato de integração de PauliVillars,
Π(ρ = 1) =
Z
∞
0
dρ
Π(ρ)δ(1 − (α1 + α2 )).
ρ
Assim ficamos com integrais ordinárias do tipo,
Z
∞
dρ if (α1 ,α2 )
e
,
ρ
∞
dρ if (α1 ,α2 )
e
,
ρ2
0
Z
0
onde já tomamos o limite → 0.
Essas integrais possuem uma divergência em ρ = 0 que é controlada pela troca do
limite inferior zero por um parâmetro de regularização η que tende à zero. Executando
essas integrais no plano complexo mudamos o eixo real pelo imaginário, onde nesse
momento devemos estar ciente que as regras de soma da QCD são calculadas em
q 2 < 0. Também fazendo uso dos processos de inversão de denominadores já discutido
e finalmente desprezando os infinitos, que são eliminados pela transformada de Borel,
obtemos as integrais,
ΠC =
24
16π 2
Z
1
0
dα1 α1 (1 − α1 )ln[−q 2 α1 (1 − α1 ) + m2d α1 + m2s (1 − α1 )],
12
md ms
ΠR =
16π 2
−
Z
Z
0
1
dα1 ln[−q 2 α1 (1 − α1 ) + m2d α1 + m2s (1 − α1 )]
1
12
2
2
(m
−
m
)
dα1 α1 ln[−q 2 α1 (1 − α1 ) + m2d α1 + m2s (1 − α1 )]
s
16π 2 d
0
Z
12 2 1
−
ms
dα1 ln[−q 2 α1 (1 − α1 ) + m2d α1 + m2s (1 − α1 )].
2
16π
0
14
É importante frisar que para quarks de massas iguais ou como ocorre com os
elétrons na QED, podemos ver a conservação da corrente ou seja ΠR = 0.
Para quarks leves, ou seja m2 = 0, podemos obter facilmente essas integrais, pois
eliminamos as massas dos quarks presentes no argumento do logaritmo, assim obtemos
o mesmo resultado das integrais de quarks leves já discutido anteriormente. Portanto
despresando os termos constantes, que serão eliminados pela transformada de Borel,
temos,
ΠPµνert (q) = (gµν q 2 − qµ qν )
1
3
ln(−q 2 ) + gµν md ms 2 ln(−q 2 ).
2
4π
4π
Comparando com Eq.(3,2.3), perdemos termos no método de Pauli-Villars, porém para
a QCD esses termos são realmente desprezados, assim podemos dizer que obtemos uma
bem sucedida correspondência.
Para quarks massivos temos que enfrentar essas integrais. Neste trabalho resolvemos para dois casos: méson K ∗ onde md = 0 e para o J/ψ onde md = ms = mc . Para
o K ∗ só nos interessamos em calcular a parte que conserva a corrente, pois essa é a
parte mais importante. Também porque queremos escrever uma relação de dispersão
e conectar com os cálculos feitos via Cutkosky que despreza os termos que quebram
corrente. A integração para o K ∗ é feita por integral por partes, porém para o J/ψ
precisei dos recursos do MapleV, assim ficamos com,
∗
2
ΠK
C (q )
−
1
q2
1 m2
1 m4
= 2 ln(1 − 2 ) − 2 2 + 2 4
4π
m
2π q
2π q
q2
1 m6
q2
3 m4
ln(1
−
)
+
ln(1
−
) + (números reais).
4π 2 q 4
m2
2π 2 q 6
m2
Para construirmos uma relação de dispersão devemos calcular a parte imaginária
desse correlator. Na região da QCD q 2 < 0 temos que o correlator é puramente
real, porém na relação de dispersão usa-se o conceito de continuidade analı́tica do
correlator assim extrapolamos o nosso correlator para uma região nova q 2 > 0, onde
está definida o integrando da relação de dispersão. Para que a função seja contı́nua
15
no plano complexo iremos calcular o nosso correlator para q 2 > m2 , obtendo a parte
imaginária,
Im[ ΠK
C (s)] = −
∗
1
m4 1
m2
+
[18
−
12
],
4π 24π s2
s
onde usamos ln(−1) = −iπ, para gerar a correspondência para quarks sem massa.
Para o J/ψ ficamos com o correlator,
J/ψ
ΠC (q 2 ) = −
onde no regime
1 m2
1 6q 4 − 12m2 q 2 − 48m4 1
q2
q2
√
[
−
ln(1
−
)
+
ln(|1
−
|)],
π2 q2
12π 2
2
4m2
4m2
q 2 q 4 − 4q 2 m2
√
q 4 − 4q 2 m2 → −q 2 , que representaria a região da QCD, poderı́amos
escrever esse correlator de modo semelhante ao do K ∗ e principalmente no limite
m → 0, reproduzimos a correspondência do correlator renormalizado sem massa já
discutido.
Novamente para obtermos a relação de dispersão na região de continuidade analı́tica,
q 2 > 4m2 , temos facilmente a parte imaginária do correlator onde adotamos
ln(−1) = iπ para gerar a correspondência, assim temos,
J/ψ
Im[ΠC (s)]
√
1 (s + 2m2 ) s − 4m2
√
,
=−
4π
s s
que é o mesmo resultado obtido pelo Cutkosky [13].
3.4
Regra de Soma para o méson ρ0
Realizamos o estudo do méson ρ0 pois desejamos reproduzir os resultados do Greinner
[8], obtendo assim os parâmetros numéricos necessários para um tratamento computacional. Também existe o interesse em reproduzir os resultados de Greinner, pois esse
utilizou os condensados de gluons, coisa que não fizemos.
A corrente para o méson ρ0 é dada por,
δab
0
jµρ (x) = √ [ūa (x)γµ ub (x) − d¯a (x)γµ db (x)],
2
(3,4.4)
16
assim podemos escrever o correlator em função do correlator do méson K ∗ , apenas
pelo renomeamento dos quarks,
0
Πρµν =
i
1 h K ∗ ∗
Πµν + ΠK
,
µν
s=d=u
s=d=d
2
logo obtemos uma corrente conservada para o méson ρ0 , onde usamos m2s = m2d = 0,
assim temos,
0
Πρµν (q) = (gµν q 2 − qµ qν )[
2m
1
ln(−q 2 ) − 4 < q̄q >],
2
4π
q
¯ > +mu < ūu >.
onde 2m < q̄q >= md < dd
Para obtermos a regra de soma devemos conhecer o lado fenomenológico, que constrói o correlator considerando a corrente do ponto de vista de modelos hadrômicos, que
será discutido em futuros relatórios, por hora, consideraremos apenas a contribuição
do estado fundamental:
ΠFµνen (q) = (gµν q 2 − qµ qν )[
fρ20
],
q 2 − m2ρ0
onde fρ20 é a constante de decaimento do méson ρ0 .
0
Assim considerando a Regra de Soma, Πρµν (q) = ΠFµνen (q), ficamos com a equação,
fρ20
2m
1
2
ln(−q ) − 4 < q̄q >= 2
,
4π 2
q
q − m2ρ0
(3,4.5)
válida na região da QCD q 2 → −∞.
3.5
Transformada de Borel
Com o objetivo de suprimir a contribuição dos estados excitados no lado fenomenológico
e suprimir a contribuição dos operadores de potências altas em q 2 do lado da QCD,
nós utilizamos a transformada de Borel na equação da Regra de Soma Eq.(3,4.5).
Inicialmente a transformada de Borel é motivada da identidade matemática, válida
para todo n inteiro,
17
(−1)n xn+1
n!
d
dx
!n 1
= 1.
x
Definindo a variável positiva Q2 = −q 2 , temos a transformada de Borel de uma função
f (Q2 ), dada por,
(−1)n (Q2 )n+1
n!
d
dQ2
!n
onde M 2 é finito, definido por,
f (Q2 ) = fe(M 2 ),
Q2 .
M =
n n→∞,Q2→∞
2
Definindo o operador de Borel como B[f (Q2 )] = fe(M 2 ), temos as transformadas
de Borel,
B[ln(Q2 )] = −M 2 ,
"
#
1
1
B
=
,
Q4
M2
#
"
2
1
− m2
M ,
=
e
B
Q2 + m2
vemos claramente que a transformada de Borel elimina qualquer polinômio. Para
transformadas de Borel do tipo B
h
ln(Q2 )
Q2
i
só podemos encontrá-la numericamente,
felizmente para este problema não temos essa transformada de Borel.
3.6
Tratamento numérico
Fazendo a transformada de Borel na Eq.(3,4.5), obtemos,
2
m 0
ρ
1
2m
2
2 − M2
M
+
<
q̄q
>=
f
.
e
0
ρ
4π 2
M2
(3,6.6)
Considerando o valor do Greinner [8] para A = 8π 2 < mq̄q >, como sendo de
A = −0.007GeV4 , ficamos com o problema numérico de termos uma constante de
decaimento como função da massa de Borel e da massa do méson.
18
No nosso método encaramos que a constante de decaimento experimental é obtida
via extremização da função,
∂fρ20 = 0,
∂M 2 m2
ρ0
assim obtemos as mesmas equações do Greinner [8], porém com uma outra perspectiva, onde a massa de Borel é fixada por essa equação de modo a obter a extremização.
Portanto ficamos com o problema de inverter a equação derivada pela extremização,
já que é conhecida a massa experimental do méson ρ0 ,
m2ρ0
=M
2
1−
1+
A
M4
A
M4
!
.
(3,6.7)
Obtido M 2 por inversão dessa equação, podemos determinar o valor da constante de
decaimento diretamente pela Regra de Soma Eq.(3,6.6).
A solução analı́tica de M(mρ ) recae num polinômio de grau 3, que possui uma
solução bastante extensa, neste ponto preferimos o cálculo numérico, novamente usando o MapleV obtemos duas soluções para a massa de Borel dada a massa experimental
do méson ρ0 cujo valor é 0.77GeV. Obtemos:
M 2 = 0.567GeV, M 2 = 0.099GeV,
(3,6.8)
e para a constante de decaimento, obtemos respectivamente,
fρ20 = 0.0399GeV2 , fρ20 = 0.2859GeV2 .
A primeira solução esta bem próxima do valor experimental fρ20 = 0.04GeV2 [12].
O que demostra o sucesso de nossa regra de soma, mesmo sem considerar os estados
excitados e o efeito dos gluons. Porém ficamos sem um critério sobre qual solução
escolher. Assim precisamos de uma abordagem gráfica.
19
3.7
Abordagem Gráfica
Na abordagem anterior vimos que não precisamos de nenhum gráfico, pois calculamos
a massa de Borel. Porém na filosofia do procedimento de Regra de Soma aplicada ao
oscilador harmômico [12] os pontos de extremização são seguramente soluções, porém
o teste da estabilidade dos observáveis é fundamental. Isso permite escolher a melhor
solução e neste caso faz-se necessário um gráfico de fρ20 (M 2 ). Assim temos o gráfico,
Figura 3.1: fρ20 (GeV)2 versus M 2 (GeV)2 .
Podemos ver claramente que na região em torno da primeira solução Eq.(3,6.8)
o erro é muito pequeno, isso torna o tratamento gráfico indispensável para qualificar
qual das soluções é a fisicamente aceita.
Um fato interessante é o gráfico da massa Eq.(3,6.7) do méson ρ0 em função
da massa de Borel, onde temos a existência de um único mı́nimo, que significaria
a formação de um méson ρ0 de massa de 0.52GeV. Também é interessante notar que
20
essa massa prevista teoricamente é bem próxima da massa de Borel Eq.(3,6.8).
Figura 3.2: mρ0 (GeV) versus M 2 (GeV)2 .
Correções como a introdução de estados excitados e dos termos dos gluons, nos
levariam a uma correção nessa massa teórica o que nos levaria a uma previsão correta
da massa do méson ρ0 .
Porém do ponto de vista da previsão da constante de decaimento, obtemos sucesso.
Capı́tulo 4
Plano de Trabalho e etapas
seguintes
Esse primeiro ano de projeto serviu para me fundamentar nas técnicas da regra de
soma. Atualmente estamos desenvolvendo o lado fenomenológico e as relações de
dispersão em detalhes, que servirá para inserirmos nos nossos cálculos os estados excitados, que possibilitarão calcular a massa dos mésons e também a sua constante de
decaimento. Nessa linha, seria interessante a regra de soma do méson sigma, cuja
verificação experimental é recente.
Pretendemos fazer cálculos com as funções de três pontos, que é o nosso objetivo de
Tese, mas sem esquecer dos fundamentos da Regra de Soma, nesta linha devemos fazer
um estudo das regras do Cutkosky, que é o método bem mais simples de obtenção da
parte imaginária do correlator, que os métodos que utilizamos nesse relatório, porém
a formalidade do método é desconhecida por mim.
Finalmente devemos inserir os gluons no nosso trabalho.
21
Bibliografia
[1] Walter Greiner e Joachin Reinhardt; Quantum electrodynamics, Springer, Berlim(1994)
[2] R.P. Feynman e A.R. Hibbs; Quantum mechanics and path integrals, McGraw-Hill, New
York(1965)
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[4] Claude Itzykson e Jean-Bernard Zuber; Quantum field theory, McGraw-Hill, New
York(1980)
[5] Richard Courant; Cálculo diferencial e integral I , Editora Globo, Porto Alegre(1963)
[6] Richard Courant; Cálculo diferencial e integral II , Editora Globo, Porto Alegre(1963)
[7] F. Mandl e G. Shaw; Quantum field theory, Jonh Wiley and Sons, Chichester(1984)
[8] Walter Greiner e Andreas Schafer; Quantum chromodynamics, Springer, Berlim(1994)
[9] P. Pascual e R. Tarrach; Qcd: renormalization for the practioner, Springer, Berlim(1984)
[10] Wesley Spalenza e José Alexandre Nogueiras, Revista Brasileira de Ensino de Fı́sica,
vol,22 Março (2000) 1
[11] M. Hans, Am.J.Phys. 51(8) 694 (1983)
[12] /editor, Mikhail A. Shifman; Vacuum struture and QCD sum rules, Amsterdam; New
York: North-Holland, (1992)
[13] R.D. Matheus, Relatório FAPESP, Março (2001-2002).
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