Ensino Fundamental
Anos Finais
9o Ano – 3o Bimestre
Matemática
Sumário
Álgebra
Capítulo 25 – Equações do 2º grau . ...............................................................................58
Capítulo 26 – Equações do 2º grau: valor numérico .......................................................64
Capítulo 27 – Ainda equações do 2º grau . .....................................................................68
Capítulo 28 – Tabelas e gráficos .....................................................................................72
Capítulos 29/30 – A fórmula de Bháskara . ........................................................................78
Capítulo 31 – O discriminante da equação .....................................................................84
Capítulo 32 – Possibilidades ...........................................................................................87
Capítulo 33 – Equação do 2º grau ..................................................................................97
Geometria
Capítulos 14/15 – Ampliação e redução de figuras planas ..............................................100
Capítulo 16 – Semelhança ............................................................................................ 110
Capítulos 17/18 – Semelhança de triângulos ................................................................... 116
Capítulo 19 – Teorema de Pitágoras .............................................................................125
Capítulo 20 – Relações métricas no triângulo retângulo . .............................................132
55
56
Matemática
Apresentação
Como estudar Matemática
Assim como em outras matérias, não é decorando os exercícios que você aprenderá Matemática. Você precisa compreender a linguagem matemática e interpretá-la para encontrar
uma solução para os problemas e atividades que você está convidado a resolver. Lembre-se
de que há muitos caminhos para se resolver um problema matemático, siga aquele que você
considera mais fácil. Algumas dicas achamos interessante passar para você:
1o Preste atenção à aula. Quando o professor estiver explicando, preste atenção, pois
ele lhe dará dicas importantes para a sua aprendizagem.
2o Nunca fique com dúvidas em aula. Pergunte a seu professor e peça-lhe auxílio
para compreender determinado assunto ou atividade.
3o Mantenha um caderno organizado. Se seu professor fizer um resumo do conteúdo da aula ou acrescentar mais algumas informações, registre-os em seu caderno.
As resoluções de problemas e cálculos também devem ser registradas organizadamente em seu caderno. Dessa forma, quando for estudar, terá em mãos todo o material necessário.
4o Estude todos os dias. Faça a tarefa de casa com dedicação e da melhor forma que
conseguir. Esforce-se e, se tiver um tempinho a mais, resolva novamente alguma atividade que você fez em aula e que tenha deixado um pouco de dúvida. Dessa forma, quando
o professor fizer uma avaliação, você não precisará estudar tudo de uma só vez.
5o Seja perseverante, isto é, nunca desista. Quando você considerar difícil um conteúdo ou uma atividade, lembre-se de que você tem capacidade para superar as dificuldades. Tenha a certeza de que é comum não conseguirmos resolver um problema na
primeira tentativa.
6º Crie o hábito de conferir sua resposta. Após resolver um problema, leia-o novamente e verifique se sua resposta é coerente.
57
Álgebra
Capítulo
Matemática
25
Equações do 2o grau
Para começar
Reconhecer uma equação do 2º grau, seus coeficientes e classificá-la.
ATIVIDADE – Com todos os quadrados e retângulos desenhados abaixo, forme um
retângulo.
x
1
1
1
x
a)
x
Represente-o no quadriculado:
b) Quais são as dimensões desse retângulo formado?
c)
58
Qual é a área do retângulo formado?
• Situação 1
Para continuar
Equações de outro grau
Vamos observar algumas situações:
1a situação:
Um campeonato de futebol é disputado
por x equipes, que são divididas em dois
grupos, A e B, com o mesmo número de
equipes em cada grupo.
• Situação 2
x

Cada equipe disputa  − 1 jogos em
2

seu grupo. O campeão de cada grupo disputa o título em uma única partida. Se nesse campeonato está prevista a realização
de 181 jogos, qual o número x de equipes
participantes?
2a situação:
Um parque possui 136 m² para construir
a piscina retangular ABCD representada na
figura. A piscina terá uma parte retangular
mais funda, com 9 m de comprimento, e
outra parte quadrada mais rasa. Quais são
as dimensões da piscina?
ATIVIDADE 2 – Reorganize as equações de modo que todos os termos estejam
no 1º membro, ou seja, iguais a zero.
• Situação 1
C
A
x
B
9
x
D
ATIVIDADE 1 – Escreva uma equação que represente a solução de cada
situação.
59
• Situação 2
O 1o membro dessas equações é formado de polinômios resultantes de alguns
produtos notáveis que, consequentemente,
podem ser fatorados. Quais são eles?
Você pode notar que o maior expoente
de x é o 2; por isso, essas equações são
chamadas de equações de 2o grau.
Para continuar
Generalizando
ATIVIDADE 3 – Reescreva as equações das situações 1 e 2 de modo que as
potências de x estejam em ordem decrescente.
• Situação 1
Geralmente, as equações do 2o grau são
representadas pela forma normal ou reduzida:
ax2 + bx + c = 0
As letras a, b e c da forma reduzida são
os coeficientes dos termos da equação
e representam qualquer número real, com
exceção do coeficiente a, pois a deve ser
diferente de zero (a ≠ 0).
Por que a deve ser diferente de zero
(a ≠ 0)?
Porque, se a for igual a zero, a equação deixa de ser do 2o grau. Veja:
0
x 2 + 12 x + 3 = 0 ⇒ a = 0

0⋅ x 2 = 0
• Situação 2
0 + 12x + 3 = 0
(O termo x² “desapareceu”.)
12x + 3 = 0 (O maior expoente de x é 1,
portanto a equação é do 1º grau.)
Na equação x2 + 5x – 1 = 0 , temos a = 1,
b = 5 e c = –1.
Na equação –3x2 –6x + 2 =0, temos a = – 3,
b = –6 e c = 2.
Resolvendo outras situações
3a situação: Uma caixa foi montada a
partir de um quadrado de papelão de onde
foram retirados quadrados de 3 cm de lado,
um de cada canto, como mostra a figura.
60
Desse modo, o papelão ficou com 45 cm²
de área. Qual a medida inicial do lado da
caixa de papelão?
3
• Situação 4
3
3
3
3
3
x
x
3
3
4a situação: As áreas do quadrado e do
retângulo são iguais. Qual a medida do lado
do quadrado?
x
x
ATIVIDADE 2 – Reorganize as equações de modo que todos os termos estejam
no 1º membro da equação; escreva-as na
forma reduzida.
• Situação 3
8
5x
ATIVIDADE 1 – Escreva uma equação
para cada situação.
• Situação 3
• Situação 4
61
ATIVIDADE 3 – Você observou, ao
escrever as equações na forma reduzida,
que alguns termos estão faltando. Qual o
termo que falta em cada situação?
• Situação 3
• Situação 4
Para finalizar
A tradução de uma situação-problema
para a linguagem matemática é uma prática muito antiga (mais de 4000 a.C.) e é fundamental para sua resolução. A resolução
de problemas é uma prática diária para o
ser humano. E é com esses estudos matemáticos, que você aprende e desenvolve
na escola, que os problemas da vida real
tornam-se mais fáceis de resolver.
Hoje
EU
MAS
TENHO
SIM
ALGUMAS
DÚVIDAS
Fiz todas as
atividades.
Para continuar
Generalizando
As equações de 2o grau, na forma reduzida, que têm todos os coeficientes diferentes de zero são chamadas de equações
completas: ax2 + bx + c = 0.
Contudo, se na equação os coeficientes b
ou c, ou os dois, forem iguais a zero, a equação é chamada de equação incompleta:
ax2 + bx = 0 ou ax2 + c = 0.
Exemplos:
Equações completas
x2 – 5x + 12 =0
5x2 – 7x +9 =0
Equações incompletas
x2 – 5x =0
x2 + 12 =0
x2 =0
5x2 – 7x =0
62
Li o texto
teórico.
Compreendi
o que li.
O que eu mais gostei de
aprender hoje…
NÃO
TAREFA B – Observe os coeficientes de
cada equação do 2o grau e complete a tabela.
Para casa
TAREFA A – Reescreva as equações
da coluna A na forma reduzida e relacione-as as equações da coluna A com o grau da
coluna B.
A
B
y · (y + 2) = 0
1º grau
(4 – 3x)2 = 64
2º grau
(2z – 4)2 = 4z2 – 2z
3º grau
t4 – 5t2 + 4 = 0
4º grau
Equação
a
b
c
7z2 + 3z + 3 = 0
7
3
3
6y2 + y – 3 = 0
6
–3
–1t2 – 3t + 8 = 0
–1
8
– 3x2 + 4x – 5 = 0
TAREFA C – Classifique as equações
do 2º grau em completas ou incompletas.
(2x – 4)2 = 2x2 · (x – 2) + 48
Equação
Completa/
Incompleta
x2 – 9x + 20 = 0
16x2 + 9 = 0
– 2y2 + 3y – 31 = 0
4x2 + 2x = 0
9m2 + 6m + 1 = 0
–x2 + 64 = 0
63
Álgebra
Capítulo
Matemática
26
Para começar
Calcular o valor numérico de uma expressão do 2o grau.
ATIVIDADE – Paulo é dono de
uma fábrica de móveis. Para calcular o preço V de venda de cada móvel
que fabrica, ele usa a seguinte fórmula:
V = 1,5 ∙ C + R$ 10,00, sendo C o preço
de custo desse móvel. Considere que o
preço de custo de um móvel que Paulo fabrica é R$ 100,00. Então, ele vende esse
móvel por:
Equações do 2o grau:
valor numérico
Para continuar
Valor numérico da
expressão do 2o grau
Resolver uma equação significa determinar o valor da incógnita, o conjunto solução dessa equação ou, ainda, a raiz da
equação. Um número é raiz ou solução de
uma equação do 2o grau com uma incógnita se esse número, quando substituído pela
incógnita, transformar a equação numa
sentença verdadeira.
Uma equação de 2o grau pode ter até
duas raízes. Por quê?
Como o maior expoente de uma equação do 2o grau é 2 (x2), vamos pensar em
um número que, elevado ao quadrado,
dê 16, por exemplo:
x2 = 16
Logo, pensamos no número 4, porque
2
4 = 16.
Entretanto, não podemos nos esquecer de que (– 4)2 também é igual a 16.
Então, os números 4 e – 4 são os números que satisfazem a nossa condição
inicial. Pense um pouco mais sobre isso!
a) R$ 110,00
b) R$ 150,00
c) R$ 160,00
d) R$ 210,00
Encontrando as raízes de
uma equação do 2o grau
Considere a equação x2 – 28x + 160 = 0.
Vamos verificar se os números 8 e 10 são
soluções ou raízes dessa igualdade.
PARTE 1 – Comecemos pelo número 8.
• Substitua a incógnita x por 8.
2
– 28 ∙
+ 160 = 0
• Resolva a potência e a multiplicação indicadas.
–
+ 160 = 0
64
• Efetue a adição e a subtração.
=0
• Você classifica a sentença acima
como verdadeira ou falsa?
Se as operações do 1º membro resultaram em zero (0 = 0), a sentença é verdadeira. Se o resultado for diferente de zero,
a sentença é falsa.
PARTE 2 – Realize as mesmas atividades anteriores substituindo x pelo
número 10.
Isso significa que o número
é raiz da equação x 2 – 28x + 160 = 0.
ATIVIDADE 1 – Se o valor de x for igual
a 5, a área da figura será 200 cm²?
x
x
x
x
x
x
x
3x
ATIVIDADE 2 – Juca desafiou seu colega dizendo que ele não descobriria em
que número ele estava pensando. Se elevar ao quadrado o número pensado, somar
ao resultado o quádruplo do mesmo número e subtrair cinco, teremos zero como resultado. Será que Juca pensou no número
5 ou – 5?
65
Para finalizar
O cálculo do valor numérico é uma forma
de realizar a prova real para verificar se um
número é ou não solução de um problema e
pode ser feito mentalmente. Fazemos esses
tipos de cálculos sem que percebamos; por
exemplo, ao calcular o troco de um compra,
ao estimar a altura de algo ou de alguém em
relação à nossa altura. Então, abuse desses
cálculos.
Hoje
EU
MAS
TENHO
SIM
ALGUMAS
DÚVIDAS
Fiz todas as
atividades.
Li o texto
teórico.
Compreendi
o que li.
O que eu mais gostei de
aprender hoje…
66
NÃO
Para casa
TAREFA A – Verifique se os números – 4 e 3 são soluções da equação
x2 + 7x + 12 = 0.
TAREFA B – A figura é um quadrado.
A área do quadrado é dada pela expressão
A = a2 + 2ab + b2.
a
b
b
I
II
a
III
IV
Nessa expressão, a área correspondente ao termo 2ab é dada pela:
a) área do quadrado.
b) soma das áreas dos quadrados II e III.
c) soma das áreas dos retângulos I e IV.
d) soma das áreas do retângulo IV e do
quadrado III.
67
Álgebra
Capítulo
Matemática
27
Ainda equações
do 2o grau
Para começar
Resolver uma equação incompleta do 2º grau.
ATIVIDADE – Qual das figuras abaixo em relação à área hachurada representa a
expressão algébrica (m + 2)2?
a)
c)
2
2
m
m
m
2
b)
2
2
m
m
2
Para continuar
Fator comum em evidência
Muitas situações envolvem equações do
2 grau e podemos encontrar as soluções
usando casos simples de fatoração. Fatorar
uma expressão significa reescrevê-la utilizando um produto de fatores que a represente. O número 15, por exemplo, pode ser
escrito como 3 ∙ 5.
Utilizaremos esse caso quando o coeficiente c da equação for igual a zero (ax2 + bx =
= 0 c = 0).
68
2
m
2
d)
m
o
m
Colocar um fator comum em evidência
significa fatorar cada termo da equação e
encontrar um ou mais fatores que sejam
comuns a todos os termos da equação.
Vamos descobrir!
Vamos encontrar a solução da equação:
3x2 + 9x = 0.
PARTE 1 – Transforme cada termo
do 1o membro da equação num produto
3x2 + 9x = 0 de fatores.
3x2 + 9x = 0
∙
∙
+3∙
∙
=0
PARTE 2 – Circule os termos comuns
e vamos escrevê-los separadamente, em
evidência, fora dos parênteses; os termos
que não foram circulados não são comuns
e ficam dentro dos parênteses.
∙
∙(
+
)=0
PARTE 3 – Agora vamos encontrar os
valores de x. Primeiramente, torne o termo
que está fora dos parênteses igual a zero e
resolva a sentença.
∙
todos os termos em forma de potência e
depois escrevê-los na forma de um produto
de expressões, uma soma e uma diferença.
Vejamos:
Vamos resolver a equação x2 – 64 = 0.
PARTE 1 – Você se lembra de quando estudou fatoração: quando há diferença
de dois quadrados, podemos transformá-la
em produto da soma pela diferença. Para
isso, basta extrair a raiz quadrada dos dois
termos:
x2 – 64 = 0
=0
x=
PARTE 4 – Agora torne a expressão de
dentro dos parênteses igual a zero e resolva.
+
=0
PARTE 2 – Com esses dois termos,
basta escrever um produto de uma soma
entre eles e de uma diferença entre eles:
(
+
)∙(
–
)=0
x=
PARTE 5 – Você encontrou dois valores
para x.
.
Na primeira igualdade, x =
Na segunda igualdade, x =
.
Portanto, as raízes da equação 3x2 +
9x = 0 são
e
.
PARTE 3 – Nós já vimos que, quando
um produto é igual a zero, significa que um
ou os dois fatores são iguais a zero.
a) Dessa forma, igualando a zero o primeiro fator, temos:
+
=0
Portanto: x =
Para continuar
Diferença de quadrados
Utilizaremos esse caso quando o coeficiente b da equação for igual a zero e o
coeficiente c for negativo (ax2 – c = 0 b =
0). Fatorar pela diferença de quadrados significa reescrever uma expressão colocando
b) Igualando a zero o segundo fator, temos:
–
=0
Portanto: x =
PARTE 4 – Você encontrou os números
e
. Eles são as raízes
da equação x2 –64 = 0.
69
Para continuar
Resolvendo uma equação
através da operação inversa
A equação que acabamos de resolver por
fatoração pode ser resolvida de outra forma:
Vamos resolver a equação x2 – 64 = 0 de
outra maneira.
Passo 1 – Passe o termo c para o 2o
membro.
x2 – 64 = 0
x2 =
Passo 2 – A operação inversa da potenciação é a radiciação. Então podemos extrair a raiz dos dois membros. Dessa forma,
temos:
x2 = 64
x = ± 64
x=±
Passo 3 – Os dois valores que servem
como resultado da raiz encontrada acima
são: x = +
ex=–
Você encontrou os números
e
.
2
Eles são as raízes da equação x – 64 = 0.
Nas equações incompletas em que
c = 0, teremos sempre uma das raízes
da equação igual a zero.
Exemplo: 4x2 + 8x =0
0
x= 4
x=0
4x = 0
4x2 + 8x = 0
4x · (x + 2) = 0 x + 2 = 0 x = – 2
R.: Os números 0 e – 2 são raízes da
equação.
II. ax2 – c = 0 b = 0
A maneira mais simples é resolver a
equação através das operações inversas.
Coloca-se o termo c no 2º membro
usando-se a operação inversa (adição ou
subtração).
ax2 = – c
O coeficiente a dividirá o 2o membro.
c
x2 = −
a
Extraímos a raiz quadrada do 1o e do 2o
membros.
c
x=−
a
Exemplo: 9x2 – 36 = 0
9x2 = 36
x2 =
36
9
x2 = 4
Para continuar
Encontrando a generalização
Ao resolver equações incompletas do 2o
grau, vamos encontrar duas situações diferentes:
I. ax2 ± bx = 0 c = 0
Fatora-se o 1o membro da equação colocando-se os fatores comuns em evidência:
x ∙ (ax ± b) = 0.
Iguala-se cada fator a zero e resolve-se
cada nova equação, agora do 1º grau.
x = 0 ou ax ± b = 0
70
x=
±b
a
x= 4
x=±2
Resposta: Os números + 2 e – 2 são raízes da equação.
Na equação ax2 + c = 0, quando c é
um número positivo, não existe solução
ou raiz da equação. Dizemos, então, que
a solução é um conjunto vazio, pois não
existe raiz quadrada de número negativo.
Veja o exemplo:
x2 + 64 = 0
x2 = – 64
x =
− 64
ATIVIDADE 1 – Existem dois valores
de x que satisfazem a equação 2x2 – 8x = 0.
Quais são esses valores?
Hoje
MAS
TENHO
SIM
ALGUMAS
DÚVIDAS
EU
NÃO
Fiz todas as
atividades.
ATIVIDADE 2 – Determine os valores de t para que a expressão algébrica
(2t + 1)2 – 2 ∙ (2t + 1) seja igual a 8.
Li o texto
teórico.
Compreendi
o que eu li.
O que eu mais gostei de
aprender hoje…
ATIVIDADE 3 – A expressão x2 – a2 é
equivalente a:
a) –2ax
b) (x – a)2
c) (x + a)2
d) (x – a) ∙ (x + a)
Para casa
TAREFA – Observe o quadrado. Escreva uma equação e determine o valor de x.
x2
x
6
Para finalizar
As equações incompletas do 2º grau
são facilmente resolvidas com cálculo mental, porém a grande maioria dos problemas
pede uma justificativa, e nada melhor que
uma equação para justificar a resolução
mental de uma situação-problema.
71
Álgebra
Capítulo
Matemática
28
Tabelas e gráficos
Para começar
Resolver problemas que envolvam gráficos e tabelas.
ATIVIDADE – O gráfico mostra a contagem da população do Brasil obtida pelos censos e estimativas realizados pelo Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística (IBGE).
Evolução da população – Brasil
População (em milhões de habitantes)
200
184,0
180
157,1
160
146,8
140
119,0
120
93,1
100
80
70,1
51,9
60
40
40,7
20
0 1940 1950 1960 1970 1980 1991 1996 2007
IBGE
Analisando esse gráfico, pode-se afirmar que o primeiro ano em que se verificou
que a população brasileira ultrapassou a marca de 100 milhões de habitantes foi o de:
a) 1960.
b) 1970.
c) 1980.
d) 1991.
72
Para continuar
Gráficos e tabelas
Você vem estudando Estatística ao longo do Ensino Fundamental. Já sabe da importância de se analisar adequadamente um gráfico ou uma tabela. Por isso, hoje, você irá
resolver diversas atividades que envolvem gráficos e tabelas. Bom trabalho.
ATIVIDADE 1 – Foi perguntado a um total de 100 pessoas em uma cidade se frequentavam
cinema e se frequentavam teatro. A tabela abaixo resume o resultado desta pesquisa.
Cinema
Teatro
Sim
Não
Sim
52
8
Não
36
4
Se os dados dessa pesquisa forem transportados para o gráfico a seguir, a coluna pintada de laranja deve representar o número de pessoas que:
73
Número de pessoas
Legenda:
Pessoas que...
Pessoas que...
Pessoas que...
Pessoas que...
a)
b)
c)
d)
frequentam teatro e não frequentam cinema.
frequentam cinema e não frequentam teatro.
frequentam cinema e teatro.
não frequentam nem cinema nem teatro.
ATIVIDADE 2 – O aquecimento global traz graves consequências ecológicas. O aumento da temperatura dos oceanos, por exemplo, coloca em risco a flora e a fauna marinhas. O gráfico abaixo mostra como vem aumentando a temperatura dos oceanos desde
1860 e a projeção para os próximos anos. Considerando que a temperatura crítica para a
sobrevivência dos corais é de 29 oC, podemos afirmar que, segundo essa projeção, essa
temperatura será atingida:
Temperatura (Celsius)
30
29
28
27
26
25
0
a)
b)
c)
d)
74
1850
1900
entre os anos de 1950 e 2000.
entre os anos de 2000 e 2050.
entre os anos de 2050 e 2100.
após o ano de 2100.
1950
2000
2050
2100
ATIVIDADE 3 – Após medir a altura de cada um dos 27 alunos de uma turma, o professor resumiu os resultados obtidos em 5 classes, cujas frequências estão na tabela a
seguir.
Altura (em metros)
Frequência
1,52 a 1,55
7
1,56 a 1,59
9
1,60 a 1,63
5
1,64 a 1,67
4
1,68 a 1,72
2
É correto afirmar que:
a) 7 alunos têm altura entre 1,60 m e 1,63 m.
b) 16 alunos têm altura menor que 1,60 m.
c) 4 alunos têm altura entre 1,60 m e 1,63 m.
d) 5 alunos têm altura entre 1,68 m e 1,72 m.
ATIVIDADE 4 – O gráfico abaixo mostra como variou a temperatura em uma cidade
durante certo dia.
TEMPERATURA (ºC)
30
25
20
15
10
0
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24
Pode-se afirmar que:
a) a temperatura máxima foi atingida ao meio-dia.
b) a temperatura mínima ocorreu por volta das 4 horas da manhã.
c) no período entre 0 e 12 horas, a temperatura foi crescente.
d) no período entre 12 e 24 horas, a temperatura foi decrescente.
75
ATIVIDADE 5 – As médias de taxa de desemprego na Grande São Paulo no período
1991–1996 são apresentadas no gráfico abaixo. Com relação ao período apresentado no gráfico, podemos dizer que:
16
Desemprego (%)
15
14
13
12
11
10
1991
1992
1993
1994
1995
1996
Fonte SEP: convênio Seade-Dieese
a)
b)
c)
d)
a taxa de desemprego diminuiu no período 1993-1995.
a menor taxa de desemprego foi em 1995.
a taxa de desemprego aumentou no período 1991-1993.
a maior taxa de desemprego foi em 1996.
ATIVIDADE 6 – A figura abaixo apresenta o desempenho das vendas obtidas pela
Companhia Delta entre os anos de 1995 e 2001.
Movimento anual de vendas da Companhia Delta
1.000,00
500
400
300
200
100
0
1995
76
1996
1997
1998
1999
2000
2001
Com base nessas informações, qual o percentual (aproximado) a mais nas vendas
obtido pela Companhia Delta em 2001, em relação a 1995?
a) 43%
b) 60%
c) 75%
d) 100%
ATIVIDADE 7 – Para mostrar como se distribui a preferência dos alunos de uma escola por estilo de música (rock, MPB, funk ou pagode), foi preparado o gráfico abaixo, cuja
legenda foi omitida.
Se os alunos que preferem MPB correspondem a aproximadamente 25% do total, a
região correspondente no gráfico é:
a)
b)
c)
d)
77
Álgebra
Capítulos
Matemática
29/
30
A fórmula de Bháskara
Para começar
Conhecer e aplicar a fórmula de Bháskara.
Possibilidades
ATIVIDADE – Para achar as raízes da equação x2 – 7x + 12 = 0, Ana desenhou todas
as possibilidades pensando na área do retângulo indicada pelo 3º termo (12). Ela pensou
em retângulos com as seguintes dimensões:
Dimensões do
retângulo de
área 12
Representação
x
1
1 e 12
x
Verificação:
área de I + área de II = 7x
área I = ______________
1
área II = ______________
I
II
12
área I + área II = _______
área I = ______________
x
2
2e6
6
área II = ______________
I
x
II
2
área I + área II = _______
x
3
3e4
78
área II = ______________
I
x
II
a)
área I = ______________
3
4
área I + área II = _______
Em quais das possibilidades a área de I + área de II = 7x?
b) Quais as raízes da equação?
Para continuar
Resolvendo uma
equação de 2o grau
Como você pôde observar na atividade
inicial, é muito extensa a resolução de uma
equação de 2o grau na forma geométrica.
Vamos estudar outra forma que simplifica a
resolução, a qual foi desenvolvida há muitos anos.
Um pouco de história
Não é de hoje que os problemas que envolvem equação de 2º grau são resolvidos.
Essa constatação é provada por um registro feito por antigos babilônios há aproximadamente 4.000 anos.
A forma como se resolvia a equação não
era a mesma que a atual. Um dos motivos
para isso era que, naquele período, não
existia o conceito de número negativo. Muitos séculos depois, um sábio muçulmano,
Al-Kowarizmi, que você já conhece (lembra
da história dos algarismos indo-arábicos?),
propôs em uma de suas obras um método para resolver as equações de 2º grau.
Séculos mais tarde, um matemático hindu,
Bháskara Akaria, também buscou possíveis
soluções para resolver essas equações.
Mas a fórmula tal qual a conhecemos não
foi desenvolvida por ele, e sim por matemáticos franceses, como Viète e Descartes.
Mas, para nós, a fórmula que resolve
uma equação, do 2o grau ficou conhecida
como Fórmula de Bháskara.
A fórmula de Bháskara
Vamos demonstrar a fórmula de Bháskara. Talvez você ache um pouco complicada
a demonstração, mas ela só utiliza conceitos que você já aprendeu. E o mais interessante é que você pode, assim, perceber
como os matemáticos citados anteriormente chegaram à fórmula final.
Consideremos a equação ax2 + bx + c = 0,
em que a ≠ 0.
1º passo: Dividimos por a os dois membros da equação para tornar o coeficiente
de x2 igual a 1.
ax 2 bx c 0
+
+ =
a
a
a a
2º passo: Obtemos, então:
x2 +
b
c
⋅x+ =0
a
a
3º passo: Passemos o termo independente para o 2º membro da equação.
x2 +
b
c
⋅x =−
a
a
4º passo: Devemos completar o primeiro
membro com um número, para que seja um
trinômio quadrado perfeito:
Veja outro exemplo para que você
possa entender o número procurado.
Para verificar se um trinômio é quadrado
perfeito, devemos extrair a raiz quadrada
do 1º termo e do 3º termo.
O 2º termo deverá ser igual a 2 vezes
os resultados das raízes.
x2 + 6x + 9
x2
9
x
3
2 · x · 3 = 6x
Dessa forma, o trinômio será: ( x + 3 )2.
79
Para que o 1º membro da equação se
torne um trinômio quadrado perfeito, deve2
 b
mos adicionar o termo   . Para não al 2a 
terar a igualdade, somaremos esse mesmo
número ao 2º membro.
Portanto:
x2 +
2
bx  b 
c  b
+  = − + 
a  2a 
a  2a 
2
O trinômio quadrado perfeito do 1º membro será:
2
b

 b
 x +
 =  
2a
2a
2
c
−
a
2
b
b2
c

x
+
=
−


2
2a
a
4a
Calculando o mmc do 2º membro:

b 
 x + 2 a 
2
=
b2 − 4ac
4a 2
Extraindo a raiz quadrada dos dois termos, temos:
x+
b
b2 − 4 ac
=±
2a
4 a2
b
b2 − 4 ac
x+
=±
2a
2a
Subtraindo
b
de ambos os membros:
2a
x=−
x=
b
±
2a
2
b − 4 ac
2a
− b ± b2 − 4 ac
2a
Essa é a fórmula de Bháskara.
80
Generalizando
Você percorreu o caminho dos matemáticos para deduzir a fórmula de Bháskara,
que pode ser aplicada na resolução de
qualquer equação do 2º grau, e encontrou
a fórmula:
− b ± b2 − 4 ac
2a
Essa fórmula pode ser dividida em duas
menores, chamando-se a expressão b2 – 4ac
de discriminante da equação, o ∆ (lê-se delta).
Assim, teremos:
x=
−b ± ∆
, em que ∆ = b2 – 4ac
2a
Vamos utilizar a fórmula dessa maneira
(dividida), para facilitar nossos estudos.
x=
Resolvendo uma equação
completa de 2º grau
Vamos trabalhar com a equação da atividade inicial:
x2 – 7x + 12 = 0
Passo 1 – Identificando os coeficientes da equação
Como você sabe, a equação do 2º grau
é do tipo:
ax2 + bx + c = 0
Dessa forma, na nossa equação, temos:
a=1
b = –7
c = 12
Passo 2 – Calculando o discriminante
da equação
∆ = b2 – 4ac
∆ = (–7)2 – 4 ∙ 1 ∙ 12
∆ = 49 – 48 = 1
Passo 3 – Usando a fórmula de
Bháskara
x=
−b ± ∆
2a
Substituindo os valores de b, a e ∆:
x =
−( −7) ± 1
2⋅1
ATIVIDADE 2 – A área do quadrado a
seguir é 49 cm2. Assinale a alternativa que
mostra corretamente o valor de x, em cm.
Extraindo a raiz quadrada de 1, temos:
x+2
7±1
x =
2
Passo 4 – Calculando as raízes da
equação
Dessa fórmula, temos dois valores para x:
x1 =
x
2
=
7+1 8
=
= 4
2
2
7 −1
2
=
6
2
x+2
a)
b)
c)
d)
5
6
9
11
= 3
Passo 5 – Escrevendo o conjunto solução ou verdade
V = {3, 4}
ATIVIDADE 1 – Quais são as raízes da
equação x2 – 5x + 6 = 0?
a) 2 e 4.
b) 2 e 3.
c) 2,5 e 3,5.
d) 3 e 4.
ATIVIDADE 3 – Um quadrado cuja
medida do lado é (x + k) tem área dada
por x2 + 8x + 16.
x+k
x+k
Pode-se concluir que o valor de k é:
a) 2
b) 3
c) 4
d) 5
81
ATIVIDADE 4 – O conjunto solução da
equação 2x2 + 9x – 5 = 0 é:
a) 2 e 5.
b) – 2 e –5.
1
e 5.
c)
2
1
e –5.
d)
2
ATIVIDADE 6 – Em uma sala retangular, deve-se colocar um tapete de medidas
2 m × 3 m, de modo que se mantenha a
distância em relação às paredes, como indicado no desenho a seguir:
Sabendo que a área dessa sala é 12 m²,
o valor de x será:
x
3
x
x
2
x
a)
b)
c)
d)
0,5 m
0,75 m
0,80 m
0,05 m
ATIVIDADE 5 – Dada a equação
–5x –6x –1 = 0,sendo x1 e x2 suas raízes,
1
1
+
calcule o valor da expressão
.
x1 x 2
2
Para finalizar
A fórmula de Bháskara, chamada assim
apenas no Brasil, pode ser utilizada para
auxiliar o cálculo das raízes de uma equação de 2º grau, seja ela completa ou incompleta. Mesmo sendo aparentemente longa,
é muito útil.
82
Hoje
EU
Para casa
MAS
TENHO
SIM
ALGUMAS
DÚVIDAS
Fiz todas as
atividades.
NÃO
TAREFA – A maior raiz da equação
–2x + 3x + 5 = 0 vale:
a) – 1
b) 2
c) 1
d) 2,5
2
Li o texto
teórico.
Compreendi
o que li.
O que eu mais gostei de
aprender hoje…
83
Álgebra
Capítulo
Matemática
31
Para começar
Analisar o discriminante de uma equação.
ATIVIDADE – Qual dos discriminantes
abaixo é negativo?
a) x2 – 3x + 1 = 0
b) x2 – 3x + 2 = 0
O discriminante
da equação
Para continuar
O discriminante e o número de
raízes
Há uma relação entre o valor do discriminante ∆ e a quantidade de raízes da
equação.
• Quando ∆ é um número positivo, a
equação possui duas raízes.
Se ∆ > 0, x1 e x2 são números reais
diferentes (x1 ≠ x2).
• Quando ∆ é igual a zero, a equação
possui duas raízes iguais.
Se ∆ = 0, x1 e x2 são números reais iguais
(x1 = x2).
• Quando ∆ é um número negativo, a
equação não possui raízes.
Se ∆ < 0, não existem raízes reais.
Então, é possível saber quantas raízes
tem a equação calculando apenas o valor
de ∆.
ATIVIDADE – Por meio do cálculo do
discriminante, fale o que se conclui sobre
as raízes das equações abaixo
a) x2 –10x +25 = 0
c)
84
x2 – 3x + 6 = 0
b) x2 – 5x – 14 = 0
c)
ATIVIDADE 1 – Sabe-se que a equação 3y2 + 11y – 2m = 0 tem duas raízes reais diferentes.
a) A situação indica que a equação tem
duas raízes reais diferentes. Então ∆ é
maior, menor ou igual a zero?
x2 + 2x + 3 = 0
b) Interprete o resultado, ou seja, quais os
valores de m que satisfazem à condição?
Para continuar
Generalizando
Para encontrar o valor do coeficiente
de uma equação de 2º grau, dada uma
condição, usamos o cálculo de ∆ para encontrar esse valor. Veja o exemplo em que
vamos encontrar o valor de k na equação
x 2 + 6x – k = 0 para que essa equação
tenha duas raízes reais diferentes. Para
que isso ocorra, é necessário que ∆ > 0.
b2 – 4 ∙ a ∙ c > 0
62 – 4 ∙ 1 ∙ (–k) > 0
36 + 4 k > 0
4 k > –36
ATIVIDADE 2 – Sabe-se que a equação (s – 5) ∙ x2 – x + 8 = 0 tem duas raízes
reais iguais.
a) A situação indica que a equação tem
duas raízes reais iguais. Então ∆ é maior,
menor ou igual a zero?
b) Interprete o resultado, ou seja, quais os
valores de s que satisfazem à condição?
k > –9
Interpretando o resultado:
Para que a equação tenha duas raízes reais diferentes, k deve ser maior que
–9.
85
Para casa
Para finalizar
O discriminante ∆ tem grande importância no raciocínio envolvendo as equações
de 2º grau. Por esse motivo, muitos matemáticos usam a fórmula de Bhaskara separando o discriminante, e não da forma
como foi escrita inicialmente.
Hoje
EU
MAS
TENHO
SIM
ALGUMAS
DÚVIDAS
NÃO
Fiz todas as
atividades.
Li o texto
teórico.
Compreendi
o que eu li.
O que mais gostei de aprender hoje…
86
TAREFA – Determine o valor de p para
que a equação 4x2 – 4x + 2p – 1 = 0 tenha
duas raízes reais diferentes.
Álgebra
Capítulo
Matemática
32
Possibilidades
Para começar
Construir um espaço amostral.
ATIVIDADE –– Em uma caixa havia
quatro bolas numeradas de 1 a 4.
Mônica retirou duas bolas, uma de
cada vez, dessa caixa.
3
4
2
1
a) Quantas possibilidades de retirar duas
bolas ela possui?
Para continuar
As possibilidades
Para saber quantas eram as possibilidades de Monica retirar duas bolas, vamos
utilizar um recurso que é chamado de árvore das possibilidades. Você já o utilizou em
anos anteriores, mas agora vamos revê-lo
para dar a ele um novo enfoque.
Na árvore são colocadas todas as possibilidades de Mônica retirar duas bolas da
caixa. Se Monica retirasse a bola 1, ela teria as outras três bolas para retirar.
2
1
1
3
2
4
3
4
1
1
b) Quantas são as possibilidades de retirar duas bolas cuja soma seja 5?
3
2
4
4
2
3
Podemos verificar que há 12 possibilidades de Mônica retirar duas bolas da
caixa.
87
ATIVIDADE 1 – Por meio da árvore das possibilidades, determine as possibilidades de
se escolher uma bola de sorvete, uma cobertura e um tipo de casquinha na sorveteria:
Sabores de sorvete
Morango
chocolate
creme
ATIVIDADE 2 – Analisando a atividade
anterior, você poderia resolver de outra forma, sem fazer a árvore das possibilidades?
Cobertura
chocolate
caramelo
casquinha
cone
copinho
Para continuar
As possibilidades de ocorrer
Na atividade inicial, a seguinte pergunta
foi feita:
Quantas são as possibilidades de retirar duas bolas cuja soma seja 5?
Vamos analisar a árvore de possibilidades que já foi feita:
Analisando este ramo da árvore, é possível perceber que a soma 5 será obtida se
as bolas forem 1 e 4. Portanto, há uma possibilidade.
2
1
3
4
88
No outro ramo, teremos, também uma
possibilidade, com 2 e 3.
Nos outros ramos, também isso ocorre:
há uma possibilidade em cada um.
1
1
3
2
3
4
2
4
1
4
2
3
Portanto, há 4 possibilidades de haver
soma 5 na retirada de duas dessas bolas.
ATIVIDADE 1 – Verifique quantas são as possibilidades de se formar um sorvete de
morango com calda de chocolate em um copinho.
Para continuar
Probabilidade de ocorrer
Você viu, no exemplo das bolas, que há 12 possibilidades de se retirarem duas bolinhas
da caixa. Também você teve oportunidade de verificar que há 4 possibilidades de se retirarem duas bolinhas que somam 5. Falta apenas responder à seguinte questão:
Quantas chances, ou qual é a probabilidade de se retirarem duas bolinhas da caixa que
somem 5?
89
Para realizar esse cálculo, devemos pensar que há 4 possibilidades em 12. Isto é, nas
12 possíveis retiradas de duas bolas, há apenas 4 que somam 5.
Probabilidade =
número de possibilidades de se retirarem 2 bolinhas que somem 5
número de possibilidades de se retirarem 2 bolinhass da caixa
Dessa forma, teremos:
Probabilidade =
4
1
=
12 3
É possível dar esse resultado na forma de porcentagem: basta dividir 1 por 3, obtendo,
aproximadamente, o valor de:
Probabilidade =
4
1
= ≅ 33%
12 3
ATIVIDADE 1– Teresa jogou três vezes seguidas uma moeda para o alto e, quando
esta caiu, a menina observou se a face da moeda que havia ficado para cima era cara ou
coroa.
a) Complete a árvore das possibilidades, registrando as diferentes possibilidades de cair
cara ou coroa nos três lançamentos. Veja uma das possibilidades já registradas:
3º
2º
Lançamento Lançamento
1º
Lançamento
cara
90
cara
cara
Resultado
cara – cara – cara
b) Quantas possibilidades havia para
cada lançamento?
ATIVIDADE 2 – Uma caixa contém
cinco bolas numeradas de 1 a 5. Dela são
retiradas ao acaso duas bolas. Qual a probabilidade de que o maior número assim
escolhido seja o 4?
a)
c)
1
10
b)
1
5
c)
3
10
d)
2
5
e)
1
2
Quantos resultados foram obtidos?
d) Em quantos resultados obtivemos cara
apenas duas vezes?
ATIVIDADE 3 – Brasil e Argentina participam de um campeonato internacional
de futebol no qual competem oito seleções.
Na primeira rodada serão realizadas quatro
partidas, nas quais os adversários são escolhidos por sorteio. Qual é a probabilidade
de Brasil e Argentina se enfrentarem na primeira rodada?
a)
1
8
b)
1
7
c)
1
6
d)
1
5
e)
1
4
e) Qual a razão entre o número de vezes
em que o lado cara saiu duas vezes e o total
dos resultados?
91
ATIVIDADE 4 – Num saco, há 5 bolas
pretas e 2 brancas, todas iguais. A probabilidade de uma pessoa tirar uma bola branca do saco, de olhos fechados, é de:
a)
1
2
b)
1
7
c)
2
5
d)
2
7
ATIVIDADE 5 – Em uma rifa, os bilhetes são numerados de 1 a 100 e apenas
um número será sorteado. Pedro comprou
todos os números que são múltiplos de 7.
A probabilidade de Pedro ganhar o prêmio
é de:
a) 12%
b) 14%
c) 18%
d) 20%
Para continuar
Aprofundando alguns conceitos
Para determinar a probabilidade de um evento acontecer, devemos calcular a razão
entre o número de resultados (possibilidades) favoráveis e o número total de resultados
(possibilidades) possíveis.
número de resultados
(possib
bilidades) favoráveis
Probabilidade =
número total de resulttados
(possibilidades) possíveis
No exemplo das bolinhas da caixa, o total de possibilidades de se retirarem duas bolinhas
é chamado de número total de resultados possíveis. Já o número de possibilidades de se
retirarem 2 bolinhas que somem 5 é o número de resultados favoráveis.
O conjunto de todos os resultados possíveis é chamado de espaço amostral.
Vamos compreender melhor esses conceitos por meio de um exemplo:
Lourdes jogou um dado comum. Qual é a probabilidade de ela obter um número ímpar?
Você sabe que um dado possui as seis faces: 1, 2, 3, 4, 5 e 6. Dessa forma, temos:
92
Número total de resultados possíveis
6
Número de resultados favoráveis para que
ela possa obter um número ímpar
três (faces 1, 3 e 5)
Espaço amostral
1, 2, 3, 4, 5 e 6
ATIVIDADE 1
Número total de resultados possíveis
ATIVIDADE 2
Número total de resultados possíveis
ATIVIDADE 3
Número total de resultados possíveis
ATIVIDADE 4
Número total de resultados possíveis
ATIVIDADE 5
Retorne às atividades anteriores de 1 a 5 e complete para cada uma delas o quadro
a seguir:
Número total de resultados possíveis
Número de resultados favoráveis para que se possa
obter a mesma face da moeda nas 3 jogadas
Espaço amostral
Número de resultados favoráveis para que se
possa retirar o 4 como maior número
Espaço amostral
Número de resultados favoráveis para que Brasil e
Argentina se enfrentem na primeira rodada
Espaço amostral
Número de resultados favoráveis para que uma pessoa
possa tirar uma bola branca do saco, de olhos fechados
Espaço amostral
Número de resultados favoráveis para que
Pedro possa ganhar o prêmio
Espaço amostral
93
ATIVIDADE 6 – Paula ganhou uma
caixa com 50 bombons de mesmo tamanho e forma, dos quais 10 são recheados
com doce de leite, 25 com geleia de frutas
e 15 com creme de nozes. Retirando-se, de
olhos fechados, um bombom qualquer dessa caixa, a probabilidade de ele ser recheado com creme de nozes é:
a)
25
50
b)
15
50
c)
20
50
d)
5
50
ATIVIDADE 7 – Após corrigir as provas
de 30 alunos da mesma classe de 8ª série,
a professora de Matemática anotou, em ordem crescente, as notas a eles atribuídas:
1,0 – 2,0 – 2,5 – 3,0 – 3,0 – 4,0 – 4,0 – 4,0
– 4,0 – 5,0 – 5,0 – 5,0 – 5,5 – 5,5 – 6,0 – 6,0 –
– 6,0 – 6,0 – 6,0 – 6,5 – 6,5 – 7,0 – 7,5 – 7,5 –
– 7,5 – 8,0 – 8,0 – 8,5 – 9,0 – 9,0
Se a professora sortear uma dessas 30
provas, a probabilidade de que a nota a ela
atribuída seja maior do que 6,5 é:
a)
94
3
30
b)
9
30
c)
18
30
d)
24
30
Para casa
TAREFA A – Uma urna contém 8 cartões coloridos, sendo 2 brancos, 3 vermelhos, 1
verde e o restante azul.
a) Se Paulo for retirar um cartão, qual cor terá mais possibilidade de sair? Justifique sua
resposta.
b) Ao se retirarem dois cartões dessa urna, qual é a possibilidade de eles terem a mesma cor? Preencha o quadro abaixo com os dados do problema para encontrar esse resultado.
Número total de resultados possíveis
Número de resultados favoráveis para que Paulo
possa tirar dois cartões de mesma cor
Espaço
amostral
95
96
Álgebra
Capítulo
Matemática
33
Equação do 2o grau
Para começar
Relacionar as raízes e os coeficientes
da equação do 2º grau.
ATIVIDADE – No quadro a seguir, aparecem duas equações do 2º grau e suas respectivas raízes:
Equação 1
x2 – 5x + 6 = 0
raízes: 2 e 3
a)
Equação 2
x + 7x + 10 = 0
raízes:–2 e –5.
2
Para continuar
As raízes e os coeficientes
Você pôde constatar que os coeficientes
b e c de uma equação do 2o grau estão relacionados com as raízes dessa equação.
Mas será que isso sempre ocorre? Vamos
demonstrar a partir da equação geral do 2o
grau. Acompanhe a demonstração:
Vamos resolver a equação geral do 2º
grau utilizando Bhaskara:
ax2 + bx + c = 0
Some as raízes da equação 1. Qual é
x=
o resultado?
b) Multiplique as raízes da equação 1.
Qual é o resultado?
c) Compare os resultados obtidos e a
equação 1. O que você verificou?
−b ± ∆
2a
Sabemos que as raízes dessa equação
são:
x1 =
−b + ∆
2a
x2 =
−b − ∆
2a
Parte 1 – Somando essas duas raízes,
temos:
d) Some as raízes da equação 2. Qual é
o resultado?
e) Multiplique as raízes da equação 2.
Qual é o resultado?
f) Compare os resultados obtidos com a
equação 1. O que você verificou?
x1 + x2 =
−b + ∆
−b − ∆
+
2a
2a
x1 + x 2 =
−b + ∆ − b − ∆
−2b − b
=
=
a
2a
2a
Portanto, x1 + x2=
−b
.
a
Parte 2 – Multiplicando essas duas raízes, temos:
x1 ∙ x2 = − b + ∆ ⋅ − b − ∆ =
2a
2a
97
=
=
(− b + ∆ )(− b − ∆ )
4 a2
b2 − ∆
4a
2
=
=
(− b)2 − ( ∆ )2
b2 − b2 + 4ac
4a
2
4 a2
=
4ac
4a
2
=
b) x2 + x – 2 = 0
=
c
a
c
Portanto, x1 ⋅ x 2 = a .
Dessa forma, é possível verificar que a
soma e o produto das raízes estão relacionados com os coeficientes da equação.
c) x2 + 4x + 4 = 0
Exemplo: x2 + 6x – 16 = 0
A soma das raízes é igual a
b
= –6.
a
O produto das raízes é igual a
c
= –16.
x1∙ x2 =
a
x1+ x2 = −
d) x2 – 12x + 20= 0
Raízes
Produto –16
Soma –6
1 e –16 ou
16 e –1
1 ∙ –16 ou
16 ∙ (–1)
–––––
2 e –8
2 · (–8) = –16
–2 e 8
–2 e 8
–––––
4 e –4
4 e –4
–––––
2–8
= –6
ATIVIDADE 1 – Sem resolver a equação, determine as raízes das seguintes
equações:
a) x2 – 3x + 2 = 0
ATIVIDADE 2 – Quais são as raízes da
equação x2 + 10x +16 = 0?
a) 2 e 8
c) 5 e –5
b) –2 e –8
d) –16 e –4
ATIVIDADE 3 – Se Eduardo acertasse
os números que são as respostas a um desafio, sua tia daria a ele, em reais, o maior
valor entre as respostas do desafio.
98
Um número é elevado ao quadrado,
e do resultado deve-se subtrair oito vezes o valor desse número para resultar
20. Qual é esse número?
Hoje
MAS
TENHO
SIM
ALGUMAS
DÚVIDAS
EU
Eduardo acertou e recebeu de sua tia:
a) 20 reais
b) 12 reais
c) 10 reais
d) 8 reais
NÃO
Fiz todas as
atividades.
Li o texto
teórico.
Compreendi
o que li.
O que eu mais gostei de
aprender hoje…
ATIVIDADE 4 – A equação de 2o grau
x – x – 2 = 0 possui as raízes –1 e 2. Se dobrássemos o valor de cada uma das raízes,
a equação seria:
2
a)
b)
c)
d)
2x2 – 2x – 4 = 0
x2 – 2x – 4 = 0
2x2 – x – 6 = 0
x2 – 2x – 8= 0
Para casa
TAREFA – Resolva a equação
x – 5x + 6 = 0 por Bhaskara e por soma e
produto das raízes.
2
Para finalizar
Você viu que há outra maneira de se resolver uma equação de 2º grau. Escolha
sempre aquela que você considerar mais
simples.
99
Geometria
Capítulos
Matemática
14/
15
Ampliação e redução
de figuras planas
Para começar
Desenvolver experimentalmente a ampliação e a redução de figuras planas simples.
ATIVIDADE – Reproduza o desenho da figura 1, desenhada em uma malha quadrada de
1 cm x 1 cm, em cada uma das seguintes malhas:
C
D
B
E
A
Figura 1
Malha 1
C
D
B
A
100
E
Malha 2
C
D
B
A
E
101
Figura 1
C
D
B
E
A
Malha 3
C
D
B
A
102
E
Malha 4
C
D
B
E
A
Malha 5
C
D
B
A
E
103
Para continuar
Analisando o que ocorre
ATIVIDADE 1 – Com a régua, meça
os segmentos da figura 1 e os da transformação realizada na malha 1. Preencha a
tabela.
C
B
b) Quais os segmentos que tiveram as
medidas duplicadas?
D
c) Quais os segmentos cujas medidas
permaneceram inalteradas?
A
E
Medida do segmento
na figura 1
na malha 1
AB =
AB =
BC =
BC =
CD =
CD =
DE =
DE =
EA =
EA =
ATIVIDADE 2 – Responda:
a) O que aconteceu com a figura na malha 1 em relação à figura dada? A “forma”
da casa se manteve? Por quê?
104
d) Existem segmentos que não tiveram
as medidas duplicadas na reprodução da
malha 1, porém não permaneceram constantes? Quais são esses segmentos?
e)
Os ângulos retos foram alterados?
ATIVIDADE 3 – Copie as medidas dos
segmentos da figura 1 que você mediu na
atividade 1 e, com a régua, meça os segmentos da transformação realizada na malha 2. Preencha a tabela.
ATIVIDADE 5 – Copie as medidas dos
segmentos da figura 1 que você mediu na
atividade 1 e, com a régua, meça os segmentos da transformação realizada na malha 3. Preencha a tabela.
Medida do segmento
Medida do segmento
na figura 1
na malha 2
na figura 1
na malha 3
AB =
AB =
AB =
AB =
BC =
BC =
BC =
BC =
CD =
CD =
CD =
CD =
DE =
DE =
DE =
DE =
EA =
EA =
EA =
EA =
ATIVIDADE 4 – Responda:
a) A casa reproduzida na malha 2 está
deformada em relação ao desenho da figura 1? Por quê?
ATIVIDADE 6 – Responda:
a) O que aconteceu com a figura na malha 3 em relação à figura dada? A “forma”
da casa se manteve? Por quê?
b) As medidas dos segmentos foram alteradas?
b) Quais os segmentos que tiveram as
medidas duplicadas?
c)
c) Quais os segmentos cujas medidas
permaneceram inalteradas?
Os ângulos retos foram alterados?
105
d) Existem segmentos que não tiveram
as medidas duplicadas na reprodução da
malha 3, porém não permaneceram constantes? Quais são esses segmentos?
e)
Os ângulos retos foram alterados?
c)
Os ângulos retos foram alterados?
ATIVIDADE 9 – Copie as medidas dos
segmentos da figura 1 que você mediu na
atividade 1 e, com a régua, meça os segmentos da transformação realizada na malha 5. Preencha a tabela.
Medida do segmento
ATIVIDADE 7 – Copie as medidas dos
segmentos da figura 1 que você mediu na
atividade 1 e, com a régua, meça os segmentos da transformação realizada na malha 4. Preencha a tabela.
Medida do segmento
na figura 1
na malha 4
AB =
AB =
BC =
BC =
CD =
CD =
DE =
DE =
EA =
EA =
na figura 1
na malha 5
AB =
AB =
BC =
BC =
CD =
CD =
DE =
DE =
EA =
EA =
ATIVIDADE 10 – Responda:
a) O que aconteceu com a figura na malha 5 em relação à figura dada? A “forma”
da casa se manteve? Por quê?
ATIVIDADE 8 – Responda:
a) O que aconteceu com a figura na malha 4 em relação à figura dada? A “forma”
da casa se manteve? Por quê?
b) Quais os segmentos que tiveram as
medidas reduzidas à metade?
b) Quais os segmentos que tiveram as
medidas multiplicadas por 1,5?
106
Os ângulos retos foram alterados?
ANDREEADOBRESCU/DREAMSTIME.COM
c)
ATIVIDADE 11 – Compare as reproduções e diga quais delas são semelhantes à
casa original.
A réplica em miniatura de um carro.
Para continuar
Generalizando
SEBASTIAN KAULITZKI/DREAMSTIME.COM
MOKE/DREAMSTIME.COM
Você observou, nas atividades anteriores, que somente as reproduções das
malhas 4 e 5 são semelhantes à figura 1.
Isso significa que não houve deformação
nestas transformações, pois os segmentos de reta mantiveram-se proporcionais
e os ângulos internos, congruentes. Assim, vemos a ampliação e a redução das
figuras planas e podemos observar essas
figuras em vários exemplos do dia a dia.
Observe as imagens a seguir.
A maquete da Torre Eiffell, em Paris.
A imagem ampliada de uma célula.
107
ANDRESR/DREAMSTIME.COM
as imagens e colocá-las no papel. Observe
tudo aquilo que o cerca e veja se você reconhece objetos que são transformações de
um outro objeto.
Faça um exercício!
Pegue uma folha de papel, faça um buraco do tamanho de uma moeda de 1 real,
feche um dos olhos e olhe através desse
buraco. Você vai notar que muitas coisas
parecem “caber” nesse buraco, porém na
realidade elas nunca caberiam.
Interessante, não é? Isso é Física, é Ciência, é Matemática!
Hoje
EU
MAS
TENHO
SIM
ALGUMAS
DÚVIDAS
Fiz todas as
atividades.
Li o texto
teórico.
A fotografia de uma pessoa.
Para finalizar
Ao observar uma imagem na tela da TV
ou uma foto em um jornal, em uma revista ou
em qualquer tipo de mídia, reconhecemos a
figura, pois ela se mantém proporcional à figura que conhecemos originalmente, mesmo que esteja ampliada ou reduzida. E foi
observando a natureza que o homem descobriu essa semelhança. Assim, em razão da
curiosidade, o homem inventou o microscópio, capaz de ampliar milhões de vezes uma
imagem, possibilitando estudar as menores
partículas de nosso meio ambiente, e as câmeras fotográficas, que possibilitam reduzir
108
Compreendi
o que li.
O que eu mais gostei de
aprender hoje…
NÃO
Para casa
TAREFA – O gato II da figura abaixo é uma ampliação do gato I, ambos desenhados
em malha pontilhada. A distância entre dois pontos da malha II é uma vez e meia a distância entre os pontos da malha I.
I
a)
b)
c)
d)
II
Se o contorno do gato I mede p cm, qual é a medida, em cm, do contorno do gato II?
6p
3p
2p
1,5 p
109
Geometria
Capítulo
Matemática
16
Semelhança
Para começar
Desenvolver o conceito de semelhança.
ATIVIDADE – Dada a figura abaixo:
reproduzir a figura dobrando-a de tamanho.
Para continuar
Definindo semelhança a partir de uma construção
Você ampliou uma figura na atividade inicial. Se, na ampliação feita, a forma e os ângulos que se correspondem foram mantidos e se houve a proporcionalidade dos lados,
110
dizemos que a figura ampliada ou reduzida
é semelhante à figura original. Como a figura ampliada está na mesma posição que a
figura original, dizemos que essas figuras
são homotéticas.
Figuras homotéticas: figuras semelhantes com mesma disposição.
Como verificamos quando duas figuras
são semelhantes? Vamos estudar mais sobre semelhança construindo figuras semelhantes.
distância ou, de forma mais rápida e mais
precisa, coloque a ponta seca do compasso em O e abra o compasso até A. Não
feche o compasso, pois, com essa mesma abertura, você deverá colocar a ponta
seca do compasso em A e marcar na semirreta AO.
Da mesma forma é feito com as outras
semirretas. Agora é sua vez, faça o mesmo
com os outros vértices.
A’
B’
A
Primeiro passo: Marcar um ponto O a
certa distância da figura.
A
B
B
C
E
C
E
D
O
Segundo passo: Traçar as semirretas
AO, OB, OC, OD, OE. Já traçamos as semirretas AO e OB; agora é você quem deve
continuar.
A
B
O
D
Quarto passo: Una os pontos A’, B’, C’,
D’ e E’, que se tornarão os vértices da figura duplicada.
As duas figuras (ambas um pentágono)
são semelhantes, pois seus:
• lados correspondentes são proporcionais; neste caso, a razão de proporcionalidade é de 1 para 2;
• ângulos que se correspondem são
congruentes.
Identificando polígonos
semelhantes
C
E
O
D
Terceiro passo: Você pode decidir em
quantas vezes você quer ampliar ou reduzir. Vamos fazer a duplicação dessa figura,
por uma questão de espaço. Meça a distância entre O e A e dobre o valor dessa
Podemos identificar se dois polígonos são
semelhantes medindo os lados correspondentes e os ângulos que se correspondem.
Se os polígonos são semelhantes, a razão
de proporcionalidade ou semelhança é constante, ou seja, é a mesma para todos os lados
correspondentes. Os ângulos, que se correspondem, por sua vez, são congruentes.
Veja o exemplo a seguir, em que esses
polígonos são semelhantes.
111
A
B
3 cm
A
135º
2 cm
2 2 cm
1,5 cm
B
135º
1 cm
45º
45º
C
2 cm
C
D
5 cm
2,5 cm
D
Lado
AB
BD
CD
AC
Figura 1
3
2 2
5
2
Figura 2
1,5
2 2
2,5
1
Razão
2/1
2/1
2/1
2/1
Ângulo
A
B
D
C
Figura 1
90°
135°
45°
90°
Figura 2
90°
135°
45°
90°
Ângulos que se correspondem são congruentes.
ATIVIDADE 1 – Observe os losangos abaixo:
3 cm
120º
II
Quais desses losangos são semelhantes entre si?
a) I e II
b) II e III
c) II e IV
d) I e III
112
90º
2 cm
2 cm
I
60º
150º
III
IV
ATIVIDADE 2 – Analisando os polígonos abaixo, pode-se afirmar que:
B
5 cm
A
1,5 cm
E
3,
θ
2 cm
γ
γ
α
1,7 c
β
m
2,5
D
C
cm
B
10,5
cm
θ
A
6 cm
γ
γ
4,5 cm
α
E
β
5,1
cm
7,5
C
cm
D
Lados homólogos: lados que se correspondem.
a) são semelhantes, pois seus lados homólogos não são proporcionais.
b) não são semelhantes, pois os polígonos não possuem lados ordenadamente proporcionais.
c) são semelhantes, pois os lados que se correspondem são proporcionais.
d) são semelhantes, pois os lados que se correspondem são proporcionais e os ângulos
que se correspondem são iguais.
ATIVIDADE 3 – Dois terrenos retangulares são semelhantes e a razão de semelhan2
. Se o terreno maior tem 50 m de frente e 150 m de comprimento, quais são as
ça é
5
dimensões do terreno menor?
50 m
150 m
Rua
a)
c)
b)
d)
25 m e 75 m.
20 m e 60 m.
25 m e 30 m.
5 m e 15 m.
x
y
113
ATIVIDADE 4 – A planta de uma casa
foi feita na escala 1 : 50 (o que significa que
cada 1 cm na planta corresponde a 50 cm
no real). Sendo a cozinha de forma retangular, medindo na planta 9 cm e 10 cm, então
as dimensões reais dessa cozinha são:
a) 4 m e 5 m.
b) 4,5 m e 5 m.
c) 9 m e 10 m.
d) 18 m e 20 m.
ATIVIDADE 6 – O galo maior da figura é uma ampliação perfeita do menor.
Então:
N
M
O
R
S
ATIVIDADE 5 – Patrícia fez dois xales
semelhantes, um para si e outro para a filha, como na figura abaixo.
180 cm
90 cm
80 cm
ON
OS
=
OM OR
b)
ON
OR
=
OS
OS
c)
OM e ON são perpendiculares.
d) OM e ON são paralelos.
Para finalizar
x
Se o comprimento do xale da filha é a
metade do comprimento do xale da mãe, a
medida x vale, em cm:
a) 20
c) 35
b) 25
d) 40
114
a)
Apesar de estarem em posições diferentes, algumas figuras geométricas são semelhantes por apresentarem propriedades
semelhantes. Nossos olhos nos enganam,
por isso recorremos aos materiais de medição, como régua e compasso, e até a recortes para nos certificarmos da semelhança de figuras.
Hoje
MAS
TENHO
SIM
ALGUMAS
DÚVIDAS
NÃO
cm
Fiz todas as
atividades.
TAREFA A – A figura a seguir mostra
duas pipas semelhantes, mas de tamanhos
diferentes. Considerando as medidas conhecidas das duas pipas, o comprimento x
mede, em cm:
30
Li o texto
teórico.
x
EU
Para casa
75 cm
Compreendi
o que li.
90 cm
O que eu mais gostei de
aprender hoje…
a)
b)
c)
d)
20
25
35
40
TAREFA B – Na grade quadriculada a seguir, há 3 figuras semelhantes entre si e apenas uma que não é semelhante a nenhuma outra. Indique qual é esta figura que não é
semelhante às outras:
a)
b)
c)
d)
II
I.
II.
III.
IV.
I
IV
III
115
Capítulos
Matemática
Geometria
17/
18
Semelhança de
triângulos
Para começar
Estudar semelhanças de triângulos.
ATIVIDADE – Considere os dois triângulos abaixo:
F
C
A
a)
B
D
E
O
Quais são as dimensões do triângulo ABC?
b) Quais as dimensões do triângulo DEF?
c)
Complete o quadro abaixo com esses dados.
Lados
AB
BC
CA
DE
EF
FD
Triângulo ABC
Triângulo DEF
d) Qual é a razão de proporcionalidade entre esses triângulos?
116
Para continuar
Casos de semelhança de triângulos
Analisando os lados
Na atividade anterior, os triângulos possuem os lados homólogos proporcionais. Dessa
forma, podemos dizer que esses triângulos são semelhantes. Observe os triângulos dados a seguir:
A
A’
10 cm
8 cm
6 cm
B
C
14 cm
B’
7,5 cm
C’
10,5 cm
No exemplo anterior, os triângulos são semelhantes, pois:
AB
BC
CA
4
=
=
=
A'B' B'C' C'A' 3
Esse caso é, então, o lado-lado-lado (LLL).
Caso LLL – Dois triângulos são semelhantes se os lados homólogos são proporcionais.
Analisando os ângulos
Nos triângulos ABC e A’B’C’, os dois ângulos Bˆ e Bˆ ’ e Cˆ e Cˆ ’ que se correspondem
são congruentes. Dessa forma, os dois triângulos são semelhantes.
A
A
C
B
C
B
117
Como você já sabe, a soma dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180°. Dessa
 ≅ B'
 eC
 ≅ C'
 , então  ’.
forma, se B
Como os ângulos são congruentes, os lados homólogos são proporcionais.
Esse caso de semelhança é o ângulo-ângulo (AA).
Caso AA – Dois triângulos são semelhantes se dois ângulos que se correspondem
são congruentes entre si.
Analisando lados e ângulo
Sejam os triângulos ABC e A’B’C’, com lados AB e A’B’, BC e B’C’ proporcionais.
Se os ângulos compreendidos entre eles são congruentes, então esses triângulos são
semelhantes.
A’
A
C
B
C’
B’
Esse é o caso lado-ângulo-lado (LAL)
Caso LAL – Dois triângulos são semelhantes se dois lados que se correspondem
são proporcionais e os ângulos entre eles compreendidos são congruentes.
ATIVIDADE 1 – Verifique se estes dois triângulos são semelhantes. Em caso afirmativo, indique a razão de semelhança.
A
A’
80°
80°
70°
B
118
70°
50
C
B’
40
C’
ATIVIDADE 2 – Verifique se estes dois triângulos são semelhantes:
A
A’
20 cm
B
38 cm
76 cm
26 cm
C
40 cm
B’
80 cm
C’
1
ATIVIDADE 3 – Desenhe um triângulo semelhante ao triângulo ABC, de razão .
2
Não se esqueça de colocar as medidas desse triângulo.
A
4 cm
B
2 cm
5 cm
C
Para continuar
Algumas conclusões
Se dois triângulos são semelhantes e a razão de semelhança entre eles é k, então
essa será a razão de semelhança entre:
a) os lados homólogos.
b) os perímetros.
c) as medianas.
d) as alturas homólogas.
e) as bissetrizes homólogas.
119
Teorema fundamental
A
Se uma reta é paralela a um dos lados de um triângulo e intercepta os outros dois em lados distintos, então o triângulo que ela determina é semelhante
ao primeiro.
D
Vamos analisar esse teorema.
B
A
E
F
C
Dessa forma, do paralelogramo BDEF
temos que DE = BF .
Por Tales, temos que:
AE DE
=
AC BC
B
C
A
D
E
AD AE DE
=
=
AB AC BC
Como vimos, os ângulos que se correspondem são congruentes e os lados homólogos
são proporcionais, então os triângulos ABC e
ADE são semelhantes.
Vamos ver um exemplo: DE⁄⁄BC.
Sabemos pelo teorema que os triângulos
ABC e ADE são semelhantes. Dessa forma:
Portanto:
A
B
C
Dado o triângulo ABC, se traçarmos uma
reta paralela à base BC, teremos:
Como os ângulos B̂ e D̂ e Ĉ e Ê são
ângulos correspondentes, então:
B̂ D̂ e Ĉ Ê
4
4,5
D
Utilizando o teorema de Tales, temos:
AD
AE
e
AB
AC
Construindo por E uma paralela ao lado
AD (EF⁄⁄AD), temos:
5
E
B
C
6
AD AE DE
=
=
AB AC BC
AD 4,5
=
4
6
Igualando:
120
AD 4,5
=
4
6
AD = 3
Igualando
AE 4, 5
=
5
6
ATIVIDADE 2 – Os triângulos MNP e
MQR são semelhantes. Determine as medidas de MQ e RP.
AE = 3,75
ATIVIDADE 1 – Os triângulos MEU e
REI são semelhantes, com UM//RI. O lado
ME mede 12 cm. Qual é a medida, em cm,
do lado RE?
M
4 cm
E
Q
U
M
15 cm
R
a) 5
b) 20
c) 24
d) 36
45 cm
12 cm
R
5 cm
I
N
36 cm
P
121
ATIVIDADE 3 – Na figura a seguir temos:
AB = 6, AC = 8, BC = 10 e RS = 3. Sendo
RS //BC, calcular AR e AS.
A
R
B
S
ATIVIDADE 5 – Para as comemorações
de aniversário de uma cidade, foi construído um grande painel de forma triangular na
fachada de um edifício, sendo AB paralelo
a CD. Dados: VA = 10 m; AC = 5 m e CD =
18 m. Portanto, AB mede:
V
C
A
C
a)
b)
c)
d)
ATIVIDADE 4 – Os lados de um triângulo têm medidas 4, 9 e 6. O maior lado
de um triângulo semelhante a esse e que
possui perímetro 38 é:
a) 8
b) B
c) 18 d) 20
122
9 m.
12 m.
15 m.
16 m.
B
D
Para casa
Para finalizar
O triângulo é uma das figuras geométricas mais importantes e utilizadas no dia a
dia do homem. Você aprendeu mais algumas propriedades deles e poderá aplicar
esse conhecimento em diversas áreas profissionais. Observe algumas pontes, portões, edifícios, entre outras construções, e
veja se consegue observar os triângulos,
ocultos ou aparentes.
TAREFA A – Os lados de um triângulo
medem 12, 6 e 9 m. Se um triângulo é se1
melhante a este com razão de , calcular:
3
a) os lados do triângulo semelhante;
Hoje
EU
MAS
TENHO
SIM
ALGUMAS
DÚVIDAS
NÃO
Fiz todas as
atividades.
Li o texto
teórico.
Compreendi
o que li.
b) o perímetro do triângulo semelhante.
O que eu mais gostei de
aprender hoje…
123
TAREFA B – Os triângulos representados nas figuras a seguir são semelhantes.
P
9,6
A
5
80°
T
70°
4,5
6
80°
30°
B
C
R
Os comprimentos aproximados dos lados BC e PR são dados, respectivamente,
por:
a) 3,75 e 7,2.
124
b) 7,2 e 6,7.
c)
9,7 e 8,2.
d)
5,4 e 12,8.
Geometria
Capítulo
Matemática
19
Teorema de Pitágoras
Para começar
Estudar o teorema de Pitágoras.
ATIVIDADE – No quadriculado (1 cm x 1 cm) abaixo, foi desenhado um triângulo
retângulo em B.
A
C
B
a) Quais são as dimensões dos lados AB
e BC?
b) Qual é a dimensão do lado AC?
c) Quais seriam as dimensões dos lados
de um triângulo semelhante a esse com ra3
zão ?
2
Para continuar
Triângulo retângulo
e Pitágoras
Você já estudou o triângulo retângulo.
Vamos recordar a nomenclatura dos lados
de um triângulo retângulo. Os lados AB e
BC são denominados de catetos. O lado
maior, que é oposto ao ângulo reto, é denominado de hipotenusa: AC.
A
B
C
125
Esse triângulo é conhecido desde o tempo do antigo Egito. Os egípcios utilizavam
uma corda com 12 nós, de mesma distância entre estes. Essa corda era usada para
medir as propriedades após as enchentes
do rio Nilo. Com esses 12 nós é possível
formar um triângulo retângulo com 3, 4 e 5
nós nos lados.
A
12,5 cm
B
10 cm
C
A hipotenusa AC = 12,5 cm e o cateto
BC = 10 cm. Denominando o cateto AB de
x, temos:
(12,5)2 = 102 + x2
156,25 = 100 + x2
56, 25 = x2
7,5 = x
Você já estudou experimentalmente o
teorema de Pitágoras.
ATIVIDADE 1 – Determinar em cada
um dos triângulos abaixo a medida que
está faltando.
a)
M
A
B
30 cm
C
N
24 cm
P
Essa relação que chamamos de teorema
de Pitágoras mostra que o quadrado formado
na hipotenusa AC tem área igual à soma das
áreas dos quadrados construídos nos catetos
AB e BC.
Enunciando o teorema de Pitágoras,
temos:
O quadrado da medida da hipotenusa é
igual à soma dos quadrados das medidas
dos catetos.
Dessa forma, no exemplo acima:
52 = 32 + 42
25 = 9 + 16
Exemplo: Determinar a medida do cateto
AB do triângulo:
126
b)
Y
16 cm
X
12 cm
Z
8 cm
9 cm
17 cm
x
ATIVIDADE 2 – Já foi dito que o triângulo retângulo foi bastante utilizado em culturas muito antigas, como a dos egípcios,
que usavam a corda com 12 nós e formavam o triângulo com medidas de lados 3, 4
e 5. Usando a régua, encontre outro valor
inteiro para os três lados do triângulo.
a) 8 cm
b) 9 cm
Atividadec)1
18 cm d)
20 cm
12 cm
123 cm
ATIVIDADE 4 – A altura do tronco de
uma árvore é 7 m. Será fixada uma escada
a 1 m de sua base, para que um homem
possa podar os galhos. Qual o menor comprimento que esta escada deverá ter?
ATIVIDADE 3 – Na figura abaixo, o valor de x é:
7m
1m
127
a)
2 3m
c)
5 2m
b)
4 3m
d)
7 2m
Dessa forma, para calcular a diagonal de
um retângulo e de um quadrado, pode-se
utilizar o teorema de Pitágoras.
Em relação ao quadrado, temos que a diagonal será a hipotenusa de triângulos isósceles. Nos exemplos a seguir, um dos quadrados possui lados de medida 4 cm, e o outro,
de 7cm. As diagonais serão:
4 cm
Para continuar
d
A diagonal de um quadrado e
retângulo
Você estudou em anos anteriores a rigidez triangular. Você sabe, por exemplo, que
para um portão retangular de madeira ficar
estável é necessário que tenha uma madeira transversal que forme triângulos.
4 cm
d2 = 42 + 42 = 16 + 16 = 32
d=
32 = 4 2 cm
7 cm
A figura que representa o portão é um
retângulo, e a madeira transversal que liga
dois vértices opostos é chamada de diagonal. Observe que a diagonal forma dois triângulos retângulos. Portanto, a diagonal é
a hipotenusa desses dois triângulos.
128
d
7 cm
d2 = 72 + 72 = 49 + 49 = 98
d=
98 = 7 2 cm
Como você pôde observar, nas medidas
das duas diagonais aparece o lado do quadrado acompanhado de 2 . Portanto, para
calcular a diagonal de um quadrado, basta
substituir a medida do lado em ℓ na relação
indicada a seguir:
d=
2
ATIVIDADE 1 – Laura comprou um terreno quadrado com 784 m² de área.
a) Quanto mede cada lado desse terreno?
ATIVIDADE 2 – A medida da diagonal
da tela da televisão determina as polegadas
da TV. Gilberto quer comprar uma televisão
nova e não sabe se ela caberá no espaço reservado na estante da sala. Se a e stante tem
uma abertura quadrada de 35 cm de lado,
será que uma televisão quadrada de 32 polegadas cabe nesse espaço? Justifique sua
resposta sabendo que 1 polegada = 2,5 cm.
Use 2 = 1,4.
b) Qual é o perímetro do terreno que ela
comprou?
ATIVIDADE 3 – Pedro precisa de uma
tábua para fazer um reforço diagonal numa
porteira de 1,5 m de altura por 2 m de comprimento. O comprimento da tábua de que
ele precisa é de:
c) Laura dividiu o terreno ao meio por uma
de suas diagonais. Numa das partes, ela
pretende construir sua casa; na outra, um
pequeno pomar e uma horta. Para separar
as duas metades do terreno, ela usou fios
de arame, cada um com comprimento igual
à medida da diagonal. Qual é a medida de
cada pedaço de arame?
a) 1,5 m
b) 2,0 m c) 2,5 m
d) 3,0 m
129
ATIVIDADE 4 – A trave AB torna rígido
o portão retangular da figura. Seu comprimento, em centímetros, é:
A
80 cm
ATIVIDADE 6 – Os lados de um trapézio isósceles têm as seguintes medidas:
10 cm
B
8 cm
8 cm
60 cm
a) 50
b) 70
c) 100
d) 140
22 cm
a)
Calcule a sua altura:
28 cm
c) 4 7 cm
b) 14 cm
d)
2 7 cm
ATIVIDADE 5 – A medida da diagonal
d de um quadrado de lado x é:
x
d
a) 2 x
b) x
c) x 2
d) 3
130
Para finalizar
Muitos quadrados e triângulos são utilizados na construção civil e em muitas outras situações. Há muitas outras relações
dos triângulos, além do teorema de Pitágoras, que são utilizadas. Por isso, não fique
com nenhuma dúvida.
Hoje
EU
Para casa
MAS
TENHO
SIM
ALGUMAS
DÚVIDAS
NÃO
TAREFA A – Se a diagonal de um quadrado mede 60 2 m, quanto mede o lado
desse quadrado?
2
Fiz todas as
atividades.
Compreendi
o que li.
O que eu mais gostei de
aprender hoje…
60
Li o texto
teórico.
a)
b)
c)
d)
50 m
60 m
75 m
90 m
TAREFA B – Um retângulo tem dimensões 6 cm e 8 cm. A diagonal desse retângulo, em centímetros, é:
a) 10
b) 9,8
c) 9,5
d) 9
131
Geometria
Capítulo
Matemática
20
Relações métricas no
triângulo retângulo
Para começar
Estudar outras relações métricas do triângulo retângulo.
ATIVIDADE – O pico do Jaraguá, localizado no Parque Estadual de mesmo nome, na
cidade de São Paulo, foi tombado pela Unesco como Patrimônio da Humanidade, em 1994.
O pico tem aproximadamente 1,2 km de altura e de seu ponto mais alto pode-se avistar
objetos num raio de 55 km.
Um objeto O se encontra a 10 km do morro, uma pessoa P está no seu ponto mais alto,
como mostra o diagrama abaixo.
P
1,2 km
O
10 km
A distância entre essa pessoa e o objeto mencionado é de aproximadamente:
a) 1,717 km
c) 100,717 km
b) 10,071 km
d) 1007,174 km
132
Para continuar
Descobrindo as relações
Observe o triângulo ABC retângulo em A. Foi traçada a altura h relativa à hipotenusa BC. A
altura dividiu a hipotenusa em dois segmentos: BH, com medida m, e HC, com medida n.
Parte 1 – Utilize a régua para fazer as medições abaixo.
A
b
c
h
B
a)
b)
c)
d)
e)
m
H
C
n
Meça os catetos e a hipotenusa do triângulo ABC.
Meça a altura AH.
Meça a medida BH.
Meça a medida HC.
Preencha a tabela com esses dados:
Cateto AB
Cateto AC
c=
b=
Hipotenusa
BC
a=
Os segmentos m e n são chamados de
projeção do cateto sobre a hipotenusa.
Parte 2 – Analisando o triângulo ABH
A
c
h
Altura AH
h=
BH
m=
HC
n=
a) Eleve ao quadrado a medida c. O resultado é:
b) Determine o produto de a ∙ m. O resultado é:
c)
Compare os resultados obtidos.
Generalizando, temos:
B
m
H
c2 = a · m
133
Parte 3 – Analisando o triângulo ACH
A
H
b∙c = a · h
a) Eleve ao quadrado a medida h. O resultado é:
b
h
Generalizando, temos:
n
b) Determine o produto de m · n. O resultado é:
C
a) Eleve ao quadrado a medida b. O resultado é:
c)
b) Determine o produto de a · n. O resultado é:
Compare os resultados obtidos.
Generalizando, temos:
h2 = m · n
c)
Compare os resultados obtidos.
ATIVIDADE 1 – Determine a altura do
triângulo abaixo:
Generalizando, temos:
A
b2 = a · n
4 cm
3 cm
Parte 4 – Analisando o triângulo ABC
h
A
B
b
c
h
m
H
5 cm
n
C
B
a) Determine o produto de a · h. O resultado é:
b) Determine o produto de b · c. O resultado é:
c)
134
C
H
Compare os resultados obtidos.
ATIVIDADE 2 – Um motorista vai da
cidade A até a cidade E, passando pela cidade B, conforme mostra a figura:
ATIVIDADE 4 – As diagonais do losango
a seguir medem 42 cm e 40 cm. Calcule o
lado do losango.
A
B
16 cm
E
C
25 cm
Lembre-se de que as diagonais do losango se interceptam no ponto médio de
cada uma das diagonais.
Então, ele percorreu:
a) 41 km
b) 36 km
c) 15 km
d) 9 km
ATIVIDADE 3 – Calcule a altura e as
projeções dos catetos sobre a hipotenusa
no triângulo retângulo de catetos 12 cm e
16 cm.
Para finalizar
Há muitas relações no triângulo retângulo. Não é à toa que ele é um triângulo especial. Estude, para não esquecer nenhuma
dessas relações.
135
Hoje
EU
MAS
TENHO
SIM
ALGUMAS
DÚVIDAS
Fiz todas as
atividades.
Li o texto
teórico.
Compreendi
o que li.
O que eu mais gostei de
aprender hoje…
136
Para casa
NÃO
TAREFA – Uma praça tem a forma de
um triângulo retângulo, com uma via de
passagem pelo gramado, que vai do vértice
do ângulo reto até a calçada maior, como
ilustrado pela figura abaixo.
C
18 m
B
A
32 m
Sabendo que essa via divide o contorno maior do gramado em duas partes:
uma de 32 m e outra de 18 m, o contorno B
mede, em metros:
a) 60
b) 45
c) 40
d) 25