GEOMETRIA DESCRITIVA A
10.º Ano
Métodos Geométricos Auxiliares I
Mudança de Diedros de Projecção
© antónio de campos, 2010
GENERALIDADES
Quando se utiliza o método da mudança do diedro de projecção é
necessário designar os planos de projecção e as projecções novas dos pontos
com uma nomenclatura específica.
O plano xy (o Plano Horizontal de Projecção) passa a ser designado por plano
1, com a projecção de um ponto A nesse plano a ser identificado como A1,
como normalmente o é.
O plano xz (o Plano Frontal de Projecção) passa a ser designado por plano 2,
com a projecção de um ponto A nesse plano a ser identificado como A2, como
normalmente o é.
O plano yz (o Plano Perfil de Projecção) passa a ser designado por plano 3,
com a projecção de um ponto A nesse plano a ser identificado como A3, como
normalmente o é.
Os novos planos que vão substituir planos existentes passam a ser
designados por plano 4, plano 5, etc.; com a projecção de um ponto A nesses
planos a serem identificados como A4, A5, etc., respectivamente.
A relação entre um novo plano de projecção e um existente deve sempre ser
de ortogonalidade entre os dois planos.
plano 2
A2
C2
B2
A
C C4
x
plano 4
A4
α
B
B4
x’
C1
A1
B1
plano 1
O método da mudança do diedro de projecção desenvolve-se com as partes
seguintes:
1 – Escolher o plano a ser substituído;
2 – Escolher a posição do novo plano de projecção a ser introduzido;
3 – Manter a projecção do objecto sobre o plano de projecção que se
mantém, mantendo as restectivas coordenadas;
4 – Determinar a nova projecção do objecto sobre o novo plano de
projecção a ser introduzido, com novas coordenadas.
TRANSFORMAÇÃO DE UM SEGMENTO DE RECTA
OBLÍQUO NUM SEGMENTO DE RECTA HORIZONTAL
Pretende-se determinar a V.G. do segmento de recta oblíquo [AB], via a
transformação num segmento de recta horizontal.
plano 2
B2
B2
A2
B
A2
B4
A
plano 4
x
A4
A1
2
1
x
A1
B1
plano 1
B1
TRANSFORMAÇÃO DE UM SEGMENTO DE RECTA
OBLÍQUO NUM SEGMENTO DE RECTA FRONTAL
Pretende-se determinar a V.G. do segmento de recta oblíquo [AB], via a
transformação num segmento de recta frontal.
plano 2
plano 4
B2
B2
B4
A2
A4
A2
B
A
x
A1
2
1
x
A1
B1
plano 1
B1
TRANSFORMAÇÃO DE UMA RECTA HORIZONTAL
NUMA RECTA DE TOPO
Pretende-se transformar a de recta horizontal h numa recta de topo.
plano 2
plano 4
A2
h2
h2
h
A4 ≡ (h4)
A2
A
2
1
x
x
h1
h1
A1
plano 1
A1
É dado um
segmento de
recta oblíquo
[AB], sendo A (1;
2; 4) e B (-3; 1;
2).
Determina a V.G.
do segmento de
recta [AB],
transformando-o
num segmento de
recta horizontal
com 2 cm de cota.
y≡ z
A2
B2
2
1
x
B1
A1
É dado um
segmento de
recta oblíquo
[AB], sendo A (1;
2; 4) e B (-3; 1;
2).
Determina a V.G.
do segmento de
recta [AB],
transformando-o
num segmento de
recta frontal com
3 cm de
afastamento.
y≡ z
A2
B2
2
1
x
B1
A1
É dada uma recta
frontal f, que
passa pelo ponto A
(2; 3) e faz um
ângulo de 30º
(a.d.) com o Plano
Horizontal de
Projecção.
f2
Transforma a
recta f numa
recta vertical.
A2
2
1
x
A1
f1
É dada uma recta
horizontal h, com
3 cm de cota e
faz um ângulo de
45º (a.e.) com o
Plano Frontal de
Projecção.
Transforma a
recta h numa
recta de topo.
A2
h2
2
1
x
A1
h1
É dada uma recta
oblíqua r, que passa
pelo ponto R (2; 1).
r2
A projecção
horizontal da recta r
faz um ângulo de 25º
(a.d.) com o eixo x.
S2
A projecção frontal
da recta r faz um
ângulo de 35º (a.d.)
com o eixo x.
Desenha as
projecções de um
segmento de recta
[RS], com 4 cm de
comprimento, situado
no 1.º diedro e contido
na recta r.
P2
R2
2
1
x
R1
S1
P1
r1
TRANSFORMAÇÃO DE UM PLANO VERTICAL NUM
PLANO FRONTAL
Pretende-se determinar a V.G. de um triângulo contido num plano vertical α,
via a transformação do plano α num plano frontal.
fα
plano 2
B2
B2
fα
A4
A2
plano 4
α
B4
C2
B
A2
C4
C
A
A1
2
1
x
x’
x
C2
A1
B1
C1
hα
plano 1
B1
C1
hα
TRANSFORMAÇÃO DE UM PLANO DE TOPO NUM
PLANO HORIZONTAL
Pretende-se a transformação de um plano de topo γ num plano horizontal.
fγ
plano 2
fγ
plano 4
γ
(h4γ)
x’
2
1
x
x
plano 1
hγ
hγ
É dado um
triângulo [PQR],
contido num plano
de topo, sendo P
(2; 3; 1), Q (-2; 4;
4) e R (1; 3).
y≡ z
Determina a V.G.
do triângulo.
fα
Q2
R2
P2
x
2
1
R1
P1
Q1
hα
É dado um rectângulo
[ABCD], contido num
plano vertical γ. O
plano γ faz um diedro
de 60º (a.e.) com o
Plano Frontal de
Projecção.
C2
A diagonal [AC] está
contida no β1,3, sendo
que A tem 2 cm de
cota e C tem 6 cm de
afastamento.
O lado [AB] do
polígono é vertical e
o lado [BC] é
horizontal.
Desenha as
projecções do
rectângulo e
determina a sua V.G.
fγ
i2
B2
A2
D2
2
1
x
A1 ≡ B1
C1≡ D1
hγ ≡ i1
É dado um plano
vertical δ, que faz um
diedro de 30º (a.d.)
com o Plano Frontal
de Projecção.
fδ
São dados dois
pontos A (1; 4) e B
(2; 0), pertencentes
ao plano δ.
Os pontos A e B são
vértices de um
triângulo equilátero
[ABC], contido no
plano δ.
Desenha as
projecções do
triângulo,
construindo a figura
em V.G., após
transformar o plano
δ num plano frontal
com 2 cm de
afastamento.
A2
C2
2
1
B2
x
A1
B1
C1
hδ
É dado um plano θ,
definido por duas
rectas, r e s,
concorrentes no
ponto P (1; 3).
Trata-se de um plano de topo (um
plano projectante frontal), pois as
projecções frontais das duas
rectas estão coincidentes.
r 2 ≡ s2
As projecções da
recta r são paralelas
entre si, e a sua
projecção horizontal
faz um ângulo de 40º
(a.d.) com o eixo x.
A recta s é passante,
e a sua projecção
frontal está
coincidente com a
projecção frontal de
r.
De que plano se
trata?
Transforma o plano θ
num plano horizontal
com 2,5 cm de cota.
F2
P2
R1 ≡ R2
F1
x
P1
s1
r1
2
1