Revisão de Probabilidade
Magnos Martinello
Universidade Federal do Espírito Santo - UFES
Departamento de Informática – DI
Laboratório de Pesquisas em Redes Multimidia – LPRM
Motivação
Em qualquer modelo realístico representando um
fenômeno do mundo real deve ser levado em
conta a possibilidade da aleatoriedade.
Frequentemete , as quantidades que estamos
interessados podem exibir variações que
precisam ser integradas ao modelo.
Isso é geralmente feito se modelo for projetado
como probabilístico na sua natureza.
Objetivos
1. Definições:
Experimento
Espaço Amostral
Evento
Probabilidade
2. Operação entre Eventos e suas Probabilidades
3. Introdução a Variáveis Aleatórias
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Frequência Relativa X Probabilidade
Total de caras/
Número de Jogadas
1.00
0.75
0.50
0.25
0.00
0
25
50
75
Número de jogadas
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100
125
Definições Importantes
1. Experimento Aleatório
Experimento que pode ter resultados diferentes, mesmo que
seja repetido da mesma maneira.
Exemplo de experimento: jogar um dado, jogar uma moeda
2. Espaço Amostral (S)
Coleção de todos os resultados possíveis de um experimento
3. Evento
É um subconjunto do espaço amostral.
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Exemplos de Experimento e Espaço Amostral
Experimento
amostral
■
Espaço
● sobe , desce
Observar se o preço de
uma ação sobe ou desce de
● SS, SD, DS, DD
hoje para amanhã
■
O mesmo do item
anterior porém durante 2
dias.
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Diagrama de Venn
Visualização do Espaço Amostral
Experimento: observar o preço de uma ação dois
dias seguidos anotando se subiu ou desceu ao final
de cada dia.
Resultado
SS
DD
SD
DS
Evento:
o preço
desceu no
segundo
dia
S
S = {SS, SD, DS, DD}
Espaço Amostral
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Operação entre Eventos
■
1.
●
●
●
■
2.
Interseção entre A e B
Resultado em A e em B
operador lógico ‘E’
Símbolo ∩ (A ∩ B)
União entre A e B
Resultado ou em A ou em B
ou em ambos
● Operador lógico ‘ou’
●
Símbolo ∪ (A ∪ B)
●
A : subiu no primeiro dia
B: subiu no segundo dia
A
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B
Eventos Mutuamente Exclusivos
– Nunca ocorrem simultaneamente
desceu no
primerio dia
Espaço amostral
S
subiu no
primeiro dia

r no primeiro dia” e “descer no primeiro dia” são mutuamente exclusivo
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O que é probabilidade?
1. Medida Numérica da possibilidade de
ocorrência do evento
P(evento), P(A), Prob(A)
4. Está entre 0 e 1
6. A soma da probabilidade de todos os eventos
elementares é 1
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Método Clássico (Dedutivo)
•
Conhecimento
anterior (a priori)
do processo.
Exemplo:
P(i) = 1/6 ; i =
1,2,...,6
•
Deduzido a partir
da estrutura do
problema
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Método Empírico-Indutivo
1.
Dados reais coletados
2.
Depois do experimento (a
posteriori)
3.
P(Evento) = X / n
 Repetir o Experimento
n vezes
 Evento Observado X Vezes
Exemplo:
Observa-se que
uma ação subiu de
preço 55% dos
dias de pregão do
ano passado.
A probabilidade do
preço da ação
subir de hoje para
amanhã é de
55% ?
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Probabilidade Conjunta de
Eventos
•
Medida numérica da possibilidade de
ocorrência conjunta de A e B: P(A ∩ B) .
•
Métodos
 Regra da adição
 P (A ∪ B) = P(A) + P(B) - P ( A ∩ B )
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Probabilidade de Eventos Usando
Tabelas de Contingência
Evento
Evento
B1
B2
Total
A1
P(A1 ∩ B1) P(A1∩ B2) P(A1 )
A2
P(A2 ∩ B1) P(A2 ∩ B2) P(A2 )
Total
Probabilidade
Conjunta
P(B1 )
P(B2 )
1
Probabilidade Marginal
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Exemplo: Método da frequência relativa
Experimento: Observar os preços de duas ações X e Y durante
100 dias e verificar a cada dia se subiram ou desceram.
ação X
ação Y
subiu desceuTotal
Subiu
10/100 15/100 25/100
desceu
70/100 5/100 75/100
Total
80/100 20/100100/100
P(Y subiu)
P(X desceu e Y
subiu)
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P(X subiu)
Probabilidade Condicional
1. Probabilidade de um evento ocorrer dado
que outro já tenha ocorrido
2. Como muda a expectativa de que A ocorra
agora que sei que B ocorreu ? Se ela não
muda, então eles são independentes.
2. P(A | B) = P(A ∩ B) ,
P(B)
dado que X
subiu, qual a
prob. de Y
subir ?
X subiu
Y subiu
S
Evento (X e Y subiram)
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O fato de X subir
restringe o espaço
amostral
X subiu
(S)
Independência
1. A ocorrência de um evento não afeta a probabilidade de outro evento
ocorrer
ex: Jogar uma moeda duas vezes
2. Se A e B são Independentes
P(A | B) = P(A)
P(A ∩ B) = P(A)*P(B)
Caso contrário se A e B não são independentes
P(A | B) > P(A)
P(A ∩ B) = P(A | B)*P(B)
3. Atenção: eventos mutuamente exclusivos P(A ∩ B) = 0
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Exemplo
■
A probabilidade de duas ações x e y subirem ao
mesmo tempo é de 55%. Sabe-se que a probabilidade
de x subir é de 60%. Observou-se que a x
efetivamente subiu. Qual a probabilidade y subir
também ?
●
●
Eventos: A: a ação x subiu
B: a ação y subiu
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Exemplo
■
A probabilidade de uma ação subir dois dias seguidos é de 25%.
Sabe-se que a probabilidade dela subir em qualquer dia é de
50%. Verifique se o fato da ação subir em um dia influencia ela
subir no dia seguinte.
Eventos: A: subiu no primeiro dia
B: subiu no segundo dia
Os eventos A e B são independentes ?
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Regra de Bayes
■
A regra de Bayes é a base da chamada
P  A∩B 
estatística bayesiana.
P B / A P  A 
P  A/ B =
P B 
Lê-se
•Quando A ocorre, B tem a probabilidade P(B/A) de
ocorrer.
• A tem a probabilidade a priori P(A) de ter ocorrido.
• Sabendo que B ocorreu, então a regra de Bayes forne
a probabilidade aProfposteriori
P(A/B).
. Magnos Martinello
– UFES
Exemplo
■
Numa instituição de concessão de crédito, sabe-se pela
experiência que um cliente qualquer, sobre o qual nada
se conhece, tem 80% de probabilidade de ser honesto.
■
Mesmo um cliente honesto tem 10% de probabilidade
de não pagar uma prestação.
■
O cliente desonesto, por outro lado, tem o dobro de
chance de não pagar.
■
Um novo cliente não pagou no primeiro mês. Ele deve
ser considerado como desonesto?
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Solução
A1: O cliente é honesto, P(A1)=0.8
A2: O cliente é desonesto, P(A2)=0.2
B: O cliente não paga,
P(B/A1)=0.1 e P(B/A2)=0.2
P(B)= P(B/A1)P(A1)+P(B/A2)P(A2) = 0.1 x 0.8 + 0.2 x 0.2 = 0.12
P(A1/B) = P(A1) P(B/A1)/P(B) = 0.8 X0.1/P(B) = 0.08/P(B)=2/3
P(A2/B)= P(A2) P(B/A2)/P(B) = 0.2 X0.2/P(B) = 0.04/P(B)=1/3 <
P(A1/B)
Conclusão: O cliente provavelmente é honesto.
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Uso seqüencial da regra de Bayes
■
■
Uma das principais utilizações da regra de
Bayes é seu uso seqüencial
O objetivo é recalcular as probabilidades à
medida em que chegam novas informações
sobre a ocorrência de eventos
Probabilida
de
a priori de
A
Regra de Bayes
B ocorre
ou
B não ocorre
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Probabilida
de
a posteriori
Probabilidade a
posteriori
é agora a nova
probabilidade a priori
– UFES
Exemplo
■
No problema anterior, se o cliente não pagar um
segundo mês, qual a probabilidade dele ser honesto?
■
Durante quantos meses continuaremos a acreditar
que o cliente é honesto mesmo ele não pagando?
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Solução: o segundo mês
as probabilidades a
posteriori do exercício
A1: O cliente é honesto, P(A1)=2/3
anterior serão as
probabilidades a priori
A2: O cliente é desonesto, P(A2)=1/3
agora
as verossimilhanças
permanecemm as mesmas
B: O cliente não paga,
P(B/A1)=0.1 e P(B/A2)=0.2
a probabilidade de não pagar
aumentou
P(B)= P(B/A1)P(A1)+P(B/A2)P(A2) = 0.1 x 2/3 + 0.2 x 1/3 = 0.133 >
0.12
P(A1/B) = P(A1) P(B/A1)/P(B) = 2/3 X0.1/P(B) = 0.2/3P(B)=
P(A2/B)= P(A2) P(B/A2)/P(B) = 0.2 X 1/3/P(B) = 0.2/3P(B) = P(A1/B)
Conclusão: o cliente tanto pode ser honesto como não.
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Solução: o terceiro mês
A1: O cliente é honesto, P(A1)=0.5
A2: O cliente é desonesto, P(A2)=0.5
B: O cliente não paga,
P(B/A1)=0.1 e P(B/A2)=0.2
P(B)= P(B/A1)P(A1)+P(B/A2)P(A2) = 0.1 x 0.5 + 0.2 x 0.5 = 0.15 >
0.133
P(A1/B) = P(A1) P(B/A1)/P(B) = 0.5 X0.1/P(B) =0.05/P(B)=1/3
P(A2/B)= P(A2) P(B/A2)/P(B) = 0.5 X 0.2/P(B)
=0.10/P(B=2/3)>P(A1/B)
Conclusão: este cliente..... não sei não.
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