Semanas 3 e 4: Sistemas e
sua Classificação
DEFINIÇÃO
• Um sistema é um modelo matemático de um processo físico que
relaciona o sinal de entrada (excitação) com o sinal de saída
(resposta).
• Usaremos, como exemplo, x(t) como o sinal de entrada de um
sistema e y(t) como a resposta do sistema a esse sinal.
• Assim, a representação matemática desse sistema será:
•
• Onde T é a representação da regra que transforma x em y.
• Sabendo que um sinal é a representação de um valor que muda
no tempo, e que um sinal carrega consigo informação, podemos
também dizer que um sistema é a abstração de um processo ou
objeto que coloca um número de sinais dentro de algum
relacionamento.
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Sistemas com Uma ou Múltiplas
entradas e saídas
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3
Sistemas Contínuos e Discretos no Tempo
• Quando os sinais de entrada e saída do
sistema são sinais contínuos, isto é, tem
valores contínuos de amplitude e de tempo,
dizemos que o sistema é contínuo no tempo.
• Por outro lado, os sinais de entrada e saída
podem ser discretos. Quando isso ocorre, o
sistema é dito como discreto no tempo.
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Representação de Sistemas Contínuos e
Sistemas Discretos
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Sistemas Com Memória e Sem Memória
• Um sistema é dito ser um sistema sem memória quando a saída em
qualquer tempo depende somente da entrada naquele mesmo
tempo.
• Um exemplo de sistema sem memória é um resistor R onde o sinal
de entrada x(t) é a corrente e de saída y(t) é a tensão no resistor.
• O relacionamento de entrada e saída no Resistor é: y(t)=Rx(t) (Lei
de Ohm).
• Sistemas que dependam de fatores anteriores são ditos sistemas
com memória.
• Um exemplo de sistema com memória é um capacitor C que possui
a corrente x(t) como entrada e a tensão y(t) como sinal de saída.
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Exemplo de Sistema com Memória
• Sistema discreto onde a entrada e a saída
estão relacionados.
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SISTEMAS
Sistemas com memória
Sistemas sem memória
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Sistema Causal e Não Causal
• Um sistema é chamado de causal se sua saída y(t) em
qualquer tempo arbitrário t=t0 depende somente da
entrada x(t) para t t0..
• Isto é, a saída de um sistema causal no tempo presente
depende somente dos valores presentes ou passados
da entrada, não de valores futuros.
• Ou seja, nunca poderemos ter uma saída se não for
aplicado uma entrada!
• Um sistema é chamado de não causal se não for causal.
• Ex.: y(t)=x(t +1) p/ t=-1 ; y[n]=x[-n] p/ n=-1
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Exemplos de Sistemas não Causais
• A saída de um sistema causal no tempo presente
depende somente dos valores presentes ou
passados da entrada, não de valores futuros.
• Note que todos os sistemas sem memória são
causais. Más o inverso não é verdadeiro.
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Sistemas Lineares e Não Lineares
• Se o operador T satisfaz as condições (1) e (2) então ele
é dito ser um sistema linear e o operador é chamado de
operador linear.
• (1) Aditividade => Tx1=y1 e Tx2=y2 então
T{x1+ x2} = y1+ y2 para qualquer sinais x1 e x2 .
(2) Homogeneidade ou Escalar
T{x} = y para qualquer sinal de x e escalar .
• Qualquer sistema que não satisfaz as condições (1) e
(2) é chamado de sistema não linear.
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1
Sistemas Lineares e Não Lineares
As condições anteriores podem ser
combinadas numa única condição:
T 1 x1 (t )   2 x2 (t )   1 y1 (t )   2 y2 (t )
Exemplo de sistemas não lineares: y = x2 ; y =cos x.
Note que como consequencia da propriedade de
homogeneidade de sistemas lineares é que uma
entrada zero produz uma saída zero. Ou se =0 então a
saída também será zero.
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Sistemas Variantes e Invariantes no Tempo.
O deslocamento do sinal representa o que ocorre com o
sinal de saída em relação ao sinal de entrada.
Definindo o deslocamento como T, o deslocamento é dado
por:
y (t )
T
x(t )
Y (s)
H ( s) 
X ( s)
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Sistemas Variantes e Invariantes no Tempo.
• No domínio da frequência, o deslocamento do sinal é
chamado de H(s), onde s é a frequência, e H(s) é a
relação do sinal de saída com o sinal de entrada,
estando a saída e a resposta também no domínio da
frequência.
• Neste caso, chamamos H(s) de função de transferência
do sistema (FT).
• Para o cálculo e estudo de sistemas, é particularmente
interessante estudarmos sistemas no qual o
deslocamento do sinal não seja variável no tempo, pois
assim podemos trabalhar com um sistema no qual
apenas uma função será sua característica.
• Desta forma a FT é constante!
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Sistema Invariante no Tempo
Um sitema é invariante no tempo se para um
deslocamento no tempo (atraso ou avanço) do sinal de
entrada houver o mesmo deslocamento de tempo no sinal
de saída. Para sistemas contínuos teremos:
T {x(t  z )}  y(t  z )
E para sistemas discretos teremos:
T{x[n  k ]}  y[n  k ]
Um sistema que não satisfaz as equações acima é
chamado de variante no tempo.
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Sistemas Lineares Invarintes no Tempo
(Sistemas LTI)
• Sistemas lineares que também são invariantes
no tempo são ditos sistemas Lineares
Invariantes no Tempo ou Sistemas LTI (Linear
Time Invariant).
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Sistemas Estáveis
• Um sistema é dito ser um sistema estável se ele
satisfaz a condição de que um sinal de entrada
x(t) produz uma resposta também limitada y(t),
de forma que:
x(t )  k1  
y(t )  k2  
Note que K1 e K2 são constantes reais e finitas!
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Sistemas com Realimentação ou Feedback
• Sistemas com retroalimentação, também chamados de
sistemas de feedback ou retorno, são sistemas cuja
saída é controlada pela entrada.
• Um exemplo bastante prático de sistema
retroalimentado é uma estufa que tenha um sensor de
temperatura.
• Desejando manter a temperatura constante, um sensor
é instalado, junto com um ventilador ou um ar
condicionado.
• Caso a temperatura lida esteja mais alta que a
especificada, o sistema irá atuar para corrigir a saída.
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Sistemas com Realimentação ou Feedback
Num sistema de Feedback o sinal de saída retorna e é
adicionado a entrada do sistema.
x(t)
E
Sistema
y(t)
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RELAÇÕES IMPORTANTES:
j 2  1
 j  1
e j  1  j 
e
j
 1  j 
cos   1 
 j 
2
2
2
2!
2!

jsen   j ( 
e j
j
4
4!
3
 j 
 4  1 4  2 j
e j  1
3

2!
j   1
3!
3
3!


 ...

6
6!
5
3! 5!
 cos   jsen 
4
4!
 j
5
5!

6
6!
j
7
7!
e  jn  1
e  j 2n  1
...
...

7
7!
e
e
...)
e
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 j
2
j
 j
2
 j
2
j
j
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Fórmula de Euler
Identidades Trigonométricas
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21
Identidades Trigonométricas
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22
Expanção em Séries de Potências
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23
Funções Logarítmicas e Exponenciais
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24
Revisão sobre Números Complexos
f ( x)  cos(x)  j  sen( x)
f ` ( x)  sen( x)  j  cos(x)
f ( x)  j  sen( x)  j  cos(x)
`
2
f ( x)  j   j  sen( x)  cos(x) 
`
f ( x)  j  f ( x)
`
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Revisão sobre Números Complexos

`
f ( x)
dx   jdx
f ( x)
jx C
f ( x)  e
ln f ( x)   j  x  C
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Revisão sobre Números Complexos
• Onde j é o número complexo, x é a frequência e
C a defasagem do sinal.
• Normalmente trabalhamos com a defasagem
inicial sendo 0, para simplificar os cálculos.
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Exercícios Sobre Sinais e
Sistemas
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1) Um sinal contínuo x(t) é mostrado na figura abaixo, desenhe e
rotule cada um dos seguintes sinais:
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Resolução 1(a): SINAL DESLOCADO E ATRASADO EM RELAÇÃO
A REFERÊNCIA
t’ = t-2
t’ = 0 → t = 2
t’ = 1 → t = 3
t’ = 2 → t = 4
t’ = 3 → t = 5
t’ = 4 → t = 6
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Resolução 1(b): SINAL COMPRIMIDO EM RELAÇÃO A t E
AMPLITUDE AMPLIFICADA EM RELAÇÃO A t
t’ = 2t
t’ = 0 → t = 0
t’ = 1 → t = 1/2
t’ = 2 → t = 1
t’ = 3 → t = 3/2
t’ = 4 → t = 2
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Resolução 1(c): SINAL EXPANDIDO EM RELAÇÃO A t E
AMPLITUDE COMPRIMIDA EM RELAÇÃO A t
t’ = t/2
t’ = 0 → t = 0
t’ = 1 → t = 2
t’ = 2 → t = 4
t’ = 3 → t = 6
t’ = 4 → t = 8
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Resolução 1(c): SINAL TRANSLADADO EM 180°
t’ = -t
t’ = 0 → t = 0
t’ = 1 → t = -1
t’ = 2 → t = -2
t’ = 3 → t = -3
t’ = 4 → t = -4
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Resolução do exercício 1
Sinal atrasado de 2 unidades!
Sinal expandido de 2 unidades!
Sinal comprimido!
Sinal transladado de 180 graus!
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2) Um sinal discreto no tempo é mostrado na figura abaixo.
Desenhe e rotule cada um dos seguintes sinais:
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Resolução 2(a): SINAL DESLOCADO E ATRASADO EM 2
UNIDADES EM RELAÇÃO A REFERÊNCIA
n’ = n-2
n’ = -2 → n = 0
n’ = -1 → n = 1
n’ = 0 → n = 2
n’ = 1 → n = 3
n’ = 2 → n = 4
n’ = 3 → n = 5
n’ = 4 → n = 6
n’ = 5 → n = 7
n’ = 6 → n = 8
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Resolução 2(b): SINAL COMPRIMIDO EM 2 UNIDADES EM RELAÇÃO A n
n’ = 2n
n’ = -2 → n = -1
n’ = -1 → n = -1/2
n’ = 0 → n = 0
n’ = 1 → n = 1/2
n’ = 2 → n = 1
n’ = 3 → n = 3/2
n’ = 4 → n = 2
n’ = 5 → n = 5/2
n’ = 6 → n = 3
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Resolução 2(c): SINAL TRANSLADADO EM 180°
n’ = -n
n’ = -2 → n = 2
n’ = -1 → n = 1
n’ = 0 → n = 0
n’ = 1 → n = -1
n’ = 2 → n = -2
n’ = 3 → n = -3
n’ = 4 → n = -4
n’ = 5 → n = -5
n’ = 6 → n = -6
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Resolução 2(d): SINAL TRANSLADADO EM 180° E ADIANTADO
DE 2 UNIDADES EM RELAÇÃO A n.
n’ = -n+2
n’ = -2 → n = 4
n’ = -1 → n = 3
n’ = 0 → n = 2
n’ = 1 → n = 1
n’ = 2 → n = 0
n’ = 3 → n = -1
n’ = 4 → n = -2
n’ = 5 → n = -3
n’ = 6 → n = -4
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3) DADO O SINAL CONTÍNUO NO TEMPO ESPECIFICADO POR:
a) Determine a sequência
discreta no tempo obtida
pela amostragem uniforme
de x(t), com um intervalo de
amostragem de 0,25s:
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3) DADO O SINAL CONTÍNUO NO TEMPO ESPECIFICADO POR:
b) Determine a sequência
discreta no tempo obtida
pela amostragem uniforme
de x(t), com um intervalo de
amostragem de 0,50s:
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41
3) DADO O SINAL CONTÍNUO NO TEMPO ESPECIFICADO POR:
c) Determine a sequência
discreta no tempo obtida
pela amostragem uniforme
de x(t), com um intervalo de
amostragem de 1,00s:
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4) OS SEGUINTES SINAIS POSSUEM AMPLITUDE
DISCRETA, TEMPO DISCRETO E/OU SÃO DIGITAIS?
• Número de dias de chuva por mês.
Amplitude e tempo discretos.
• Média de temperatura alta por mês.
Amplitude contínua e tempo discreto.
• Temperatura atual.
Amplitude e tempo contínuos.
• População atual da china.
Amplitude discreta e tempo contínuo.
• Produção diária de leite de uma vaca.
Tempo discreto e amplitude contínua.
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