Escola de Engenharia Industrial Metalúrgica de Volta Redonda
Professora: Salete Souza de Oliveira Buffoni
Exercícios Resolvidos
Assunto: Integral Dupla
Comentários Iniciais:
É com imenso prazer que trago alguns exercícios resolvidos sobre integrais duplas e
suas aplicações. Espero que você tenha um conspícuo aprendizado do tema. Não
esqueça de constantemente recorrer aos livros, pois eles são excelente fonte de
aprendizado.
Qualquer Dúvida me escreva.
e-mail: [email protected]
Reflexão
" Doce é a Luz e ver o sol deleita os olhos.
Se tu viveres por muitos anos, que os desfrute todos,
sempre lembrando que os dias sombrios são numerosos
e tudo o que acontece é vaidade. Estejas feliz na tua juventude
e afasta a tristeza do teu coração. Anda segundo os desejos
do teu coração, conforme o que teus olhos vêem.
Mas fica sabendo que por tudo o que fizeres aqui,
Deus te pedirá conta."
Salomão 935 a. C
1
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1. Integral Dupla
∫∫ f (x, y )dxdy
R
∫ f (x, y )dx
y = cte
Exercícios Resolvidos
1.
x2
2
∫ ∫ ydydx
y =0 y =0
2
2
1 2x
y | dx
2 ∫0
0
2
1 4
x dx
2 ∫0
1 1 52
⋅ x |
2 5 0
1
(2)5 = 32 = 16
10
10 5
2.
1 2
∫ ∫ (x + 2 )dydx
0 0
1
2
∫ (x + 2 )y 0|
0
1
∫ (x + 2 )2dx
0
1
2 ∫ (x + 2 )dx
0
⎡ x2
⎤1
2⎢ + 2 x⎥ |
⎣ 2
⎦0
⎛5⎞
2⎜ ⎟ = 5
⎝2⎠
Outra forma:
2 1
∫ ∫ (x + 2)dxdy
0 0
2
1
x2
+
2
x
| dx
∫2
0
0
2
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2
5
∫ 2 dy
0
5 2
y| =5
2 0
Encontrou-se o mesmo resultado.
3.
e y
1
∫ ∫ x 2 + y 2 dxdy
1 0
e
∫
1
e
1
xy
arctg | dy
y
y0
∫ y (arctg1 − arctg0 )dy
1
1
e
∫
1
π
4
π
1π
dy =
y 4
4
e
∫
1
e
dy π
= Lny |
y 4
1
[ln e − ln 1] = π
4
2. Interpretação da Integral Dupla
∫∫ f (x, y )dxdy
R
Seja z = f ( x, y ) contínua na região R
(
)
Vi = f xi , y j ∆x i ∆y j
n
(
m
)
V ≅ ∑∑ f x i , y j ∆x i ∆y j
i =1 j =1
n
m
(
)
V = Lim ∑∑ f x i , y j ∆xi ∆y j
n →∞
m → ∞ i =1 j =1
V = ∫∫ f (x , y )dxdy
R
V = A ⋅ b ⋅ h se h = 1
V = A⋅b
fazendo
f (x , y ) = 1
∫∫ dxdy = AR
R
3
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1. Cálcule a área retangular R
z
2
6
y
2
R
4
x
AR = ∫∫ dxdy
R
⎧2 ≤ x ≤ 4
R⎨
⎩2 ≤ y ≤ 6
4
6
∫ ∫ dydx
AR =
x=2 y =2
4
∫
AR =
6
y | dx
2
x=2
4
∫ 6 − 2dx
AR =
x=2
4
AR =
∫ 4dx
x=2
4
AR = 4 x |
2
AR = 16 − 8 = 8
3. Cálculo de áreas por Integral Dupla
A = ∫∫ dxdy
R
4
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1. Determinar a área da região limitada pelas curvas y = x 3 e y = 4 x no 1º Quadrante.
0
2
⎧y = x3
⎨
⎩y = 4x
⎧0
⎪
x − 4 x = 0 ⎨+ 2
⎪− 2
⎩
3
⎧0 ≤ x ≤ 2
R =⎨ 3
⎩x ≤ y ≤ 4 x
2
A=
4x
∫ ∫ dydx
x =0 y = x 3
2
A=
4x
∫ y x| dx
3
0
x
∫ (4 x − x )dx = 4 2
2
A=
2
3
0
−
x4 2
|=4
4 0
2. Determinar a área da região limitada pelas curvas y = 2 x e y = x no 1º Quadrante.
y = 2x
y=x
0
2
5
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y 2 = 2x
e
y=x
⎧y = 2x
⎨
⎩y = x
2
x 2 = 2x
x 2 − 2x = 0
x( x − 2 ) = 0
⎧x = 0
⎨
⎩x = 2
⎧0 ≤ y ≤ 2
⎧⎪0 ≤ x ≤ 2
⎪
R⎨
ou R ⎨ y 2
⎪⎩ x ≤ y ≤ 2 x
≤x≤ y
⎪
⎩ 2
1
2
A=
2x 2
∫ ∫ dydx
x =0 y = x
1
⎞
⎛
2
⎜
A = ∫ 2 x − x ⎟dx
⎟
⎜
0⎝
⎠
2
3
2
x2 2
2 (2 ) 2 −
|
3
2 0
3
2
A=
2 2 −2
3
8
8 −6 2
=
A= −2 =
3
3
3
Outra forma
A=
( )
2
A=
y
∫ ∫ dxdy
y =0
x=
y2
2
⎛
y2 ⎞
⎜
⎟dy
A= ∫⎜y−
⎟
2
⎠
0⎝
2
y2 y3 2
A=
|
−
2
6 0
4 6 −4 2
A= 2− =
=
3
3
3
6
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4. Momento e Centro de Gravidade de Áreas Planas
( )
CG x; y
y
x
mx = A ⋅ y
my = A ⋅ x
4.1. Coordenadas do Centro de Gravidade
x=
my
A
mx
y=
A
A = ∫∫ dydx
R
m x = ∫∫ ydydx
R
m y = ∫∫ xdydx
R
1. Determinar as coordenadas do centro de gravidade da Região limitada no 1º
Quadrante por y = x 3 e y = 4 x .
8
0
2
7
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⎧0 ≤ x ≤ 2
R=⎨ 3
⎩x ≤ y ≤ 4 x
2
A=
4x
∫ ∫ dydx = 4
x =0 y = x 3
2
Mx =
4x
∫ ∫ ydydx
x =0 y = x 3
2
Mx =
4x
1
y
| dx
2 x∫=0 x 3
Mx =
1
16 x 2 − x 6 dx
2 x∫=0
2
(
)
1 ⎡ 16 x 3 x 7 2 ⎤
−
|⎥
⎢
2⎣ 3
7 0⎦
1 ⎡ 16 ⋅ 8 128 ⎤
−
Mx = ⎢
2⎣ 3
7 ⎥⎦
64 64 256
−
=
Mx =
3
7
21
Mx =
2
My =
4x
∫ ∫ xdydx
x =0 y = x 3
2
My =
∫
4x
xy | dx
x =0
∫ (4 x
x3
2
My =
2
)
− x 4 dx
x =0
4x3 x5 2
−
|
3
5 0
4 ⋅ 8 32 32 32 64
−
=
−
=
My =
3
5
3
5 15
My
64
16
=
=
x=
(
)
A
15 ⋅ 4 15
M
256
64
=
y= x =
A
21 ⋅ (4 ) 21
My =
⎛ 16 64 ⎞
C .G . = ⎜ ; ⎟
⎝ 15 21 ⎠
8
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2. y 2 = x; x + y = 2 e y = 0
1º Quadrante
⎧0 ≤ y ≤ 1
R⎨ 2
⎩y ≤ x ≤ 2 − y
⎧y2 = x
⎨
⎩x + y = 2
2
⎧S = −2
y 2 + y − 2 = 0⎨
⎩P = 1
1
1 2− y
A=∫
∫ dxdy
0 y2
0
2
1
2− y
0
y2
A = ∫ x | dy
1
(
)
A = ∫ 2 − y − y 2 dy
0
A = 2y −
A=
y2 y3 1
−
|
2
3 0
7
6
1 2− y
Mx =∫
∫ ydxdy
0 y2
1
2− y
0
y2
M x = ∫ yx | dy
1
(
)
M x = ∫ 2 y − y 2 − y 3 dy
0
M x = y2 −
Mx =
y3 y4 1
−
|
3
4 0
5
12
1 2− y
My =∫
∫ xdxdy
0 y2
1
My =∫
0
x 2 2− y
| dy
2 y2
9
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1
(
)
1
M y = ∫ 4 − 4 y + y 2 − y 4 dy
20
My =
y3 y5
1⎡
2
y
y
−
+
−
4
2
⎢
2⎣
3
5
⎤
|⎥
0⎦
1
1 1⎤
1⎡
4−2+ − ⎥
⎢
3 5⎦
2⎣
16
My =
15
M y 32
x=
=
A
35
M
5
y= x =
A 14
⎛ 32 5 ⎞
C.G. = ⎜ ; ⎟
⎝ 35 14 ⎠
My =
5. Momento de Inércia (Ix; Iy; I0)
yj
xi
I x = ∫∫ y 2 dxdy
R
I y = ∫∫ x 2 dxdy
R
I0 = I x + I y
ou
(
)
I 0 = ∫∫ x 2 + y 2 dxdy
R
1. Determinar os momentos de inércia I x ; I y e I 0 da região limitada pelas curvas
y 2 = 4 x; x = 4 e y = 0 no 1º Quadrante.
10
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y=2 x
0
4
⎧0 ≤ x ≤ 4
R⎨
⎩0 ≤ y ≤ 2 x
1
4 2x2
Ix = ∫
∫y
2
dydx
0 0
1
4
1 3 2x2
I x = ∫ y | dx
30
0
3
4
Ix =
1
8 x 2 dx
∫
30
5
8
24
Ix = x2 |
3 50
16
512
I x = ⋅ 32 =
15
15
1
4 2x2
Iy = ∫
∫x
2
dydx
0 0
1
4
2x2
I y = ∫ x 2 y | dx
0
0
5
2
4
I y = 2∫ x dx
0
7
4 4
Iy = x2 |
7 0
4
512
I y = ⋅ 128 =
7
7
512 512
I0 = I x + I y =
+
= 107,28
15
7
11
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2. y 2 = 4 x; x + y = 3; y = 0
3
1º Q.
y2
x=
4
x = 3− y
2
0
3
⎧0 ≤ y ≤ 2
⎪
R⎨ y 2
⎪ ≤ x ≤ 3− y
⎩4
⎧ y 2 = 4x
⎨
⎩x + y = 3
x = 3− y
y 2 = 4(3 − y )
⎧
⎪S = −4
y + 4 y − 12 = 0⎨
⎪ P = −12
⎩
2
⎧ y ' = −6
⎨
⎩ y" = 2
2 3− y
Ix = ∫
∫y
2
dxdy
2
dxdy
0 y2
4
Ix =
12
5
2 3− y
Iy = ∫
∫x
2
0 y
4
Iy =
46
7
I0 = I x + I y =
12 46
+
= 8,97
5
7
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6. Volume por Integral Dupla
z = f ( x, y )
z = f ( x, y )
(
)
Vi = f xi , y j ∆x∆y
∫∫ f (x , y )dxdy = V
R
V = ∫∫ zdxdy
R
⎧ z = f (x , y )
⎪
F (x , y , z ) = 0 ⎨ y = f (x , y )
⎪ x = f (x , y )
⎩
x+ y+z =3
3
z = 3− x − y
D → plano xy
y = 3− x − z
x = 3− y − z
D → plano xz
D → plano yz
3
3
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1. Determinar o volume do Sólido limitado pelos planos coordenados pelo plano
x + y + z = 3 no 1º octante.
3
3
3
⎧x = 0
⎪
Planos Coord .⎨ y = 0
⎪z = 0
⎩
⎧0 ≤ x ≤ 3
R⎨
⎩0 ≤ y ≤ 3 − x
3 3− x
V=
∫ ∫ (3 − x − y )dydx
x = 0 y =0
3
V = ∫ 3 y − xy −
0
y 2 3− x
| dx
2 0
3
⎛9
x2 ⎞
⎟dx
V = ∫ ⎜⎜ − 3 x +
2
2 ⎟⎠
0⎝
9
3x 2 x 3 3
x−
+
|
2
2
6 0
27 27 27
V=
−
+
2
2
6
9
V = u .v.
2
V=
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2. Determinar o volume do sólido limitado por z = 4 − x 2 ; x = 0; y = 6; z = 0; y = 0 .
6
z = 4 − x2
4
2
6
R
2
2 6
V = ∫ ∫ 4 − x 2 dydx
0 0
2
6
V = ∫ 4 y − x 2 y | dx
0
0
2
V = ∫ 24 − 6 x 2 dx
0
6
V = 24 x − 2 x 3 |
0
V = 48 − 16
V = 32u.v.
3. Determinar o volume do sólido limitado no 1º octante pelos cilindros
x2 + y2 = a2 e x2 + z2 = a2 .
z = a2 − x2
4
R
2
6
a
0
a
x2 + y2 = a2
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⎧⎪0 ≤ x ≤ a
R=⎨
⎪⎩0 ≤ y ≤ a 2 − x 2
a
V=
a2 − x2
∫ ∫
x =0
a 2 − x 2 dydx
y =0
a
V=
∫
a2 − x2
a2 − x2
|
dx
0
x =0
a
V=
∫
a 2 − x 2 ⋅ a 2 − x 2 dx
x =0
a
V=
∫a
2
− x 2 dx
x =0
x3 a
V = a x− |
3 0
3
a
V = a3 −
3
3
3a − a 3 2a 3
V=
=
u.v.
3
3
2
4. Determinar o volume do sólido limitado superiormente por z = 2 x + y + 4 e
inferiormente por z = − x − y + 2 e lateralmente pela superfície definida pelo contorno
x2
−2.
da região D limitada pelas curvas y = x − 4 e y =
2
2
4º Quad.
⎧y = x2 − 4
⎪
D⎨
x2
−2
⎪y =
2
⎩
⎧0 ≤ x ≤ 2
⎪
R⎨ 2
x2
x
−
≤
y
≤
−2
4
⎪
2
⎩
z1 = 2 x + y + 4
z2 = −x − y + 2
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x2
−2
2 2
∫ (z
V =∫
1
− z 2 )dydx
0 x2 −4
x2
−2
2 2
∫ (3x + 2 y + 2)dydx
V =∫
0 x2 −4
x2
−2
2 2
∫ (3x + 2 y + 2)dydx
V =∫
0 x2 −4
2
(
)
x2
−2
2
V = ∫ 3xy + y 2 + 2 y | dx
0
2
V = ∫−
0
x 2 −4
3x 4 3x 3
−
+ 5 x 2 + 6 x − 8dx
4
2
2
3x 5 3x 4 5 x 3
V =−
−
+
+ 3x 2 − 8 x |
5
8
3
0
96
40
V=
−6+
+ 12 − 16
5
3
338
V=
u.v.
15
17