Matriz
4. (Mackenzie 2014) Se a matriz
1. (Uerj 2015) Observe a matriz A, quadrada e de
ordem três.
 0,3 0,47 0,6 


A =  0,47 0,6
x 
 0,6
x
0,77 

Considere que cada elemento a ij dessa matriz é o
valor do logaritmo decimal de (i + j).
O valor de x é igual a:
a) 0,50
b) 0,70
c) 0,77
d) 0,87
2. (Ufsc 2014) Assinale a(s) proposição(ões)
CORRETA(S).
01) O sistema linear, abaixo, de duas equações a
duas incógnitas x e y, no qual os coeficientes
1
x + y + z 3y − z + 2



4
5
−5


 y − 2z + 3

z
0
é simétrica, o valor de x é
a) 0
b) 1
c) 6
d) 3
e) –5
5. (Uema 2014) Uma empresa da construção civil faz
3 tipos de casa: tipo 1, para casal sem filhos; tipo 2,
para casal com até 2 filhos e tipo 3, para casal com 3
ou mais filhos. A empresa de material de construção
Barateiro Umbizal fornece ferro, madeira, telha e tijolo,
para a primeira etapa da construção, conforme tabelas
de material e de preço.
Quantidade de Material Fornecido pela
Empresa Barateiro Umbizal
A, B, C e D são números primos distintos, tem
solução única.
 Ax + By = E

Cx + Dy = F
A B
02) A matriz 
 , na qual A, B, C e D são
C D
números inteiros positivos que não têm fator primo
comum, é inversível.
04) Se (x1, y1) e (x 2 , y 2 ) são dois pontos da reta
Tipo
da
Casa
Ferro
(feixe)
Madeira
Tipo 1
(m )
Telha
(milheiro)
Tijolo
(milheiro)
3
2
2
3
Tipo2
4
4
3
5
Tipo3
5
5
4
6
y1 
x
y = 3x, então a matriz  1
 é inversível.
 x2 y 2 
08) A equação log10 (x − 3) + log10 (x + 2) = log10 14
tem duas soluções reais.
16) log2 22013 > 2000.
32) Os gráficos das funções f : (0, + ∞ ) →
g : → , dadas respectivamente por
e
f(x) = log10 x e g(x) = 10 − x , não têm ponto
comum.
3. (Unicamp 2014) Considere a matriz
 a 1 1


A =  −1 0 b  , onde a, b e c são números reais.
 c −2 0 


3
Preço por Unidade de Material
Fornecido em reais
Feixe de
ferro
Madeira
500,00
(m )
Telha
(milheiro)
Tijolo
(milheiro)
600,00
400,00
300,00
3
Sabendo que a empresa construirá 2, 4 e 5 casas dos
tipos 1, 2 e 3, respectivamente, o preço unitário de
cada tipo de casa e o custo total do material fornecido,
para esta primeira etapa de construção, pela empresa,
em reais, é de
a) Encontre os valores de a, b e c de modo que
A T = − A.
b) Dados a = 1 e b = −1, para que os valores de c e d
 x   1
   
o sistema linear A  y  =  1  tem infinitas soluções?
 z   d
   
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Página 1
a)
b)
c)
d)
e)
Tipo 1
5.200,00
Tipo 1
4.400,00
Tipo 1
4.400,00
Tipo 1
4.400,00
Tipo 1
4.500,00
Tipo 2
7.100,00
Tipo 2
7.100,00
Tipo 2
7.100,00
Tipo 2
7.400,00
Tipo 2
7.100,00
Tipo 3
8.900,00
Tipo 3
9.100,00
Tipo 3
8.900,00
Tipo 3
8.900,00
Tipo 3
8.800,00
Custo total
83.300,00
Custo total
82.700,00
Custo total
81.700,00
Custo total
82.900,00
Custo total
82.400,00
6. (Ufg 2014) Um modelo matemático usado para a
ampliação de uma imagem consiste em considerar
uma transformação linear dada pela multiplicação de
uma matriz escala Es por uma matriz coluna A,
composta pelas coordenadas do ponto P, que forma
a imagem que será ampliada. Considerando as
matrizes A e Es dadas por
Ex
x
A =   e Es = 
y
0
0
,
E y 
em que E x e E y são fatores multiplicativos que
indicam a mudança da escala, então a matriz Q que
indica as novas coordenadas do ponto P, obtidas pela
multiplicação das matrizes Es e A, é:
 xE x 
a) 

 yE y 
E x + x 
b) 

E y + y 
 yE x 
c) 

 xE y 
0 
 xE x
d) 
yE y 
 0
E x x 
e) 

 y Ey 
7. (Uel 2014) Conforme dados da Agência Nacional
de Aviação Civil (ANAC), no Brasil, existem 720
aeródromos públicos e 1814 aeródromos privados
certificados. Os programas computacionais utilizados
para gerenciar o tráfego aéreo representam a malha
aérea por meio de matrizes. Considere a malha aérea
entre quatro cidades com aeroportos por meio de uma
matriz. Sejam as cidades A, B, C e D indexadas nas
linhas e colunas da matriz 4 × 4 dada a seguir.
Coloca-se 1 na posição X e Y da matriz 4 × 4 se as
cidades X e Y possuem conexão aérea direta, caso
contrário coloca-se 0. A diagonal principal, que
corresponde à posição X = Y, foi preenchida com 1.
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A B C D
A
B
C
D
1

0
0

1
0
1
1
1
0
1
1
0
1

1
0

1
Considerando que, no trajeto, o avião não pode
pousar duas ou mais vezes em uma mesma cidade
nem voltar para a cidade de origem, assinale a
alternativa correta.
a) Pode-se ir da cidade A até B passando por outras
cidades.
b) Pode-se ir da cidade D até B passando por outras
cidades.
c) Pode-se ir diretamente da cidade D até C.
d) Existem dois diferentes caminhos entre as cidades
A e B.
e) Existem dois diferentes caminhos entre as cidades
A e C.
8. (Insper 2014) Três amigos foram a uma papelaria
para comprar material escolar. As quantidades
adquiridas de cada produto e o total pago por cada um
deles são mostrados na tabela.
Amigo
Júlia
Bruno
Felipe
Quantidades compradas de
cadernos canetas lápis
5
5
3
6
3
3
4
5
2
Total
pago (R$)
96,00
105,00
79,00
Os preços unitários, em reais, de um caderno, de uma
caneta e de um lápis, são, respectivamente, x, y e z.
Dessa forma, das igualdades envolvendo matrizes
fornecidas a seguir, a única que relaciona
corretamente esses preços unitários com os dados da
tabela é
5 5 3 
a) [ x y z ] ⋅  6 3 3  = [96 105 79 ].
 4 5 2 
 x   5 5 3   96 
b)  y  ⋅  6 3 3  = 105  .
 z   4 5 2   79 
5 5 3 
c)  6 3 3  ⋅ [ x y z ] = [96 105
 4 5 2 
79 ].
5 5 3   x   96 
d)  6 3 3  ⋅  y  = 105  .
 4 5 2  z   79 
 x   96   5 5 3 
e)  y  ⋅ 105  =  6 3 3  .
 z   79   4 5 2 
9. (Upf 2014) Dadas as matrizes quadradas A, B e
C, de ordem n, e a matriz identidade In , de mesma
Página 2
ordem, considere as proposições a seguir, verificando
se são verdadeiras (V) ou falsas (F).
(
) ( A + B ) = A 2 + 2 AB + B2
(
) ( A − B ) = A 2 − B2
(
) CI = C
c) 32
d) 33
e) 34
2
2
A sequência correta de preenchimento dos
parênteses, de cima para baixo, é:
a) V – V – V.
b) V – F – V.
c) F – V – V.
d) F – F – V.
e) F – F – F.
10. (Uerj 2014) Considere a sequência de matrizes
(A1, A 2 , A 3 ,...), todas quadradas de ordem 4,
respectivamente iguais a:
 0 1 2 3   16 17 18 19   32 33 34 35 

 
 

 4 5 6 7  ,  20 21 22 23  ,  36 37 38 39  , ...
 8 9 10 11   24 25 26 27   40 41 42 43 

 
 

 12 13 14 15   28 29 30 31   44 45 46 47 
Sabendo que o elemento aij = 75432 é da matriz A n ,
determine os valores de n, i e j.
11. (Uern 2013) Sejam duas matrizes A e B :
i ⋅ j, se i ≤ j
A = (aij )3×3 , tal que aij = 
e B = A 2.
i + j, se 1 > j
Assim, a soma dos elementos da diagonal secundária
de B é
a) 149.
b) 153.
c) 172.
d) 194.
a
12. (Ufpe 2013) Seja 
c
 3 1

 . Indique a + b +
11 4 
b
 a inversa da matriz
d
c + d.
13. (Espm 2013) A distribuição dos n moradores de
um pequeno prédio de apartamentos é dada pela
5 
4 x
1 3
y  , onde cada elemento aij
matriz 
 6 y x + 1
representa a quantidade de moradores do
apartamento j do andar i.
14. (Pucrs 2013) Num jogo, foram sorteados 6
números para compor uma matriz M = (mij ) de ordem
2 × 3. Após o sorteio, notou-se que esses números
obedeceram à regra mij = 4i − j. Assim, a matriz M é
igual a _________.
1 2 3
a) 

5 6 7 
1 2 3
b) 

4 5 6 
3
c) 
7
3
d)  7
11
3
e) 2
 1
2 1
6 5 
2
6 
10 
7
6 
5 
15. (Unioeste 2013) Sendo A uma matriz quadrada e
n
n um inteiro maior ou igual a 1, define-se A como a
multiplicação de A por A , n vezes. No caso de A ser a
 0 −1
matriz 
 é correto afirmar que a soma
 −1 0 
A + A 2 + A 3 + K + A 39 + A 40 é igual à matriz
 20 −20 
a) 
.
 −20 20 
 40 −20 
b) 
.
 −20 40 
 0
c) 
 −40
 40
d) 
 −40
 20
e) 
0
−40 
.
0 
−40 
.
40 
0 
.
20 
16. (Ufrn 2013) Considere, a seguir, uma tabela com
as notas de quatro alunos em três avaliações e a
matriz M formada pelos dados dessa tabela.
Thiago
Maria
Sônia
André
Avaliação 1
8
6
9
7
Avaliação 2
9
8
6
8
Avaliação 3
6
7
6
9
Sabe-se que, no 1º andar, moram 3 pessoas a mais
que no 2º e que os apartamentos de número 3
comportam 12 pessoas ao todo. O valor de n é:
a) 30
b) 31
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Página 3
8

6
M=
9

7
9
8
6
8
equação matricial X ⋅ A = B, em que
6

7
6

9
B = [ 8 3], podemos afirmar que a
 1
1  
O produto M  1 corresponde à média
3  
 1
a) de todos os alunos na Avaliação 3.
b) de cada avaliação.
c) de cada aluno nas três avaliações.
d) de todos os alunos na Avaliação 2.
17. (Unicamp 2013) Considere a matriz
 1 α
 que depende do parâmetro real
A α =  1
−
−1
 α

α > 0.
(
)
2
a) Calcule a matriz A α + A 2α .
b) Um ponto no plano cartesiano com as coordenadas
x 
 y  é transformado pela matriz A α em um novo
 
ponto da seguinte forma:
 x + αy 
 x '
x  
.
=
A
=
α   1
 
 y '
 y   − x − y 
 α

Calcule o valor de α, sabendo que o sistema
 x   −6 
A α   =   admite solução.
y   2 
2 0 −1


18. (Ufsj 2013) A matriz inversa de A = 2 1 10  é
0 0 −1
1 
 −2 0


a) A =  −2 −1 −10 
 0 0
1 
1 2 0 −1 2 


b) A =  −1 1 11 
 0 0 −1 
2 2 0


c) A =  0 1 0 
 −1 10 −1
 −2 −2 0 


d) A =  0
−1 0 
 1 −10 1
19. (Fgv 2013) Sabendo que a inversa de uma matriz
 3 −1
A é A −1 = 
 , e que a matriz X é solução da
 −5 2 
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soma dos elementos da matriz X é
a) 7
b) 8
c) 9
d) 10
e) 11
1 1 2 
20. (Esc. Naval 2013) Sejam A = 
 e
 4 −3 0 
 5 0 −3 
B=
 e B' a transposta de B. O produto
 1 −2 6 
da matriz A pela matriz B' é
2 10 
9


a)  −8 6
0
 21 −21 −6 


 5 0 −6 
b) 

4 6 0 
 5

c)  0
 −6

 −1
d) 
 20
4

6
0 
11 

10 
 −1 10 
e) 

 −2 1 
3 0 
21. (Insper 2013) Considere as matrizes A = 
,
0 1
 x2 
0 3 
x
B=
,
X
=
e
Y
=
  . Se x e y são as

y
 y 2 
8 0 
 
0 
soluções não nulas da equação A ⋅ Y + B ⋅ X =   ,
0 
então x ⋅ y é igual a
a) 6.
b) 7.
c) 8.
d) 9.
e) 10.
22. (Uem 2012) Duas matrizes quadradas A e B, de
mesma ordem, são semelhantes, se existir uma matriz
C, possuindo a mesma ordem de A e B, de
determinante não nulo, tal que A = C−1BC . Com
relação a matrizes semelhantes, é correto afirmar que
01) matrizes com determinantes distintos podem ser
semelhantes.
02) a matriz identidade de ordem n× n só é
semelhante a si mesma.
04) se A é semelhante a B, então, necessariamente,
A 2 é semelhante a B2 .
Página 4
2 1
2 0 
08) se C = 
e B=

 , então
 1 1
0 1
 3 1
C−1BC = 
.
 −2 0 
16) se A é semelhante a B, então, 2A é semelhante a
2B.
c) a produção mensal de cada tipo de
parafuso.
d) a produção total de parafusos por
caixa.
e) a produção média de parafusos por caixa.
23. (Uern 2012) Sejam as matrizes
 2 3
4 0
M= 
, N=

 e P = M ⋅ N + N ⋅ M. O menor
 −1 0 
 1 5
elemento da matriz P é
a) – 7.
b) – 1.
c) – 5.
d) 2.
a b 
24. (Espm 2012) Sendo A = 
 uma matriz
c d 
quadrada de ordem 2, a soma de todos os elementos
da matriz M = A ⋅ A t é dada por:
2
2
2
2
a) a + b + c + d
2
b) (a + b + c + d)
2
2
c) (a + b) + (c + d)
2
2
d) (a + d) + (b + c)
2
2
e) (a + c) + (b + d)
25. (Ufg 2012) Uma metalúrgica produz parafusos
para móveis de madeira em três tipos, denominados
soft, escareado e sextavado, que são vendidos em
caixas grandes, com 2000 parafusos e pequenas, com
900, cada caixa contendo parafusos dos três tipos. A
tabela 1, a seguir, fornece a quantidade de parafusos
de cada tipo contida em cada caixa, grande ou
pequena. A tabela 2 fornece a quantidade de caixas
de cada tipo produzida em cada mês do primeiro
trimestre de um ano.
TABELA 1
Parafusos/caixa
Soft
Escareado
Sextavado
TABELA 2
Caixas/mês
Pequena
Grande
Pequena
200
400
300
JAN
1500
1200
Associando as matrizes
200 500 
A =  400 800 
e
300 700 
FEV
2200
1500
Grande
500
800
700
MAR
1300
1800
1500 2200 1300 
B=

1200 1500 1800 
às tabelas 1 e 2, respectivamente, o produto AxB
fornece
a) o número de caixas fabricadas no trimestre.
b) a produção do trimestre de um tipo de parafuso, em
cada coluna.
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Página 5
Resolução das Questões
Resposta da questão 1:
[B]
Sabendo que a11 = log(1 + 1) = log2 ≅ 0,3, tem-se que
[08] Incorreto. De fato, sabendo que
loga + logb = loga ⋅ b e
logc = logd ⇔ c = d, com a, b, c e
d reais positivos, temos
log(x − 3) + log(x + 2) = log14 ⇒ log(x − 3) ⋅ (x + 2) = log14
⇒ (x − 3) ⋅ (x + 2) = 14
⇒ x2 − x − 20 = 0
⇒ x = 5 ou x = −4.
x = a23
= a32
Porém, se x = −4, temos x − 3 = −4 − 3 = −7 < 0
e, portanto, segue que x = 5 é a única solução
real da equação dada.
= log(2 + 3)
= log5
 10 
= log  
 2 
= log10 − log2
[16] Correto. Sabendo que loga a = 1 e
≅ 1 − 0,3
loga bc = c ⋅ loga b, com 1 ≠ a > 0, b > 0 e c um
número real qualquer, temos
= 0,7.
log2 22013 = 2013 ⋅ log2 2 = 2013 > 2000.
Resposta da questão 2:
01 + 02 + 16 = 19.
[32] Incorreto. Note que f é crescente e g é
decrescente. Além disso, como f(1) = 0 <
[01] Correto. O sistema tem solução única se, e
somente se,
A B
C D
≠ 0 ⇔ AD − CB ≠ 0.
1
= g(1) e
10
1
= g(2), segue-se que os gráficos de
100
f e de g têm pelo menos um ponto em comum no
f(2) = log2 >
intervalo ]1, 2[ (na verdade, exatamente um ponto.
Esboce os gráficos de f e de g e verifique).
Daí, como A, B, C e D são números primos
distintos, segue-se que AD ≠ CB e, portanto, o
sistema possui solução única.
[02] Correto. Dado que A, B, C e D são números
inteiros positivos que não têm fator primo comum,
pelo Teorema Fundamental da Aritmética, seguese que AD ≠ BC e, portanto,
A B
C D
= AD − BC ≠ 0,
A B
o que implica em 
 invertível.
C D
[04] Incorreto. Se (x1, y1 ) e (x2 , y2 ) são dois pontos
da reta y = 3x, então a matriz
 x1

 x2
y1   x1 3x1 
=

y 2   x2 3x2 
não é invertível, pois a segunda coluna é
proporcional à primeira, o que acarreta
x1
y1
x2
y2
Resposta da questão 3:
a) Se A t = − A, então A é antissimétrica. Logo,
deve-se ter a = 0, b = 2 e c = −1.
b) Se a = 1 e b = −1, a matriz ampliada do sistema
1 1
 x   1
 1 1
   


A  y  =  1  é  −1 0 −1 1 . Logo, efetuando
 c −2
 z   d
0 d

   
as operações elementares sobre essa matriz,
obtemos a matriz equivalente
1
1 1 1



0
1
0
2

.
 0 0 −c c + d + 4 


Por conseguinte, o sistema possui infinitas soluções
se c = 0 e d = −4.
Resposta da questão 4:
[C]
A matriz dada é simétrica se tivermos
= 0.
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x + y + z = 4

3y − z + 2 = y − 2z + 3
 z = −5

x + y + z = 4

2y = −z + 1
 z = −5

x = 6

y = 3 .
 z = −5

A identidade (A + B)2 = A 2 + 2AB + B2
vale apenas se as matrizes A e B
comutarem, isto é, se AB = BA.
Portanto, a proposição é falsa.
A identidade (A − B)2 = A 2 − B2 é falsa, valendo
apenas quando AB = −BA.
Resposta da questão 5:
[C]
 500 
3 2 2 3


600 


Sejam Q =  4 4 3 5  e C = 
. A matriz
 400 
5 5 4 6




 300 
V = (vij )3×1, definida por V = Q ⋅ C, é dada por
 500 
3 2 2 3 
  4400 

  600  

 4 4 3 5  ⋅  400  =  7100  .
5 5 4 6 



 300   8900 


Portanto, sendo cada elemento vi1 da matriz V o
custo unitário da casa Tipo i, com i = 1, 2, 3, segue o
resultado.
Resposta da questão 6:
[A]
E x
ES ⋅ A = 
0
0   x  E x ⋅ x 0 ⋅ y   x ⋅ E x 
⋅
=
=
E y   y   0 ⋅ x E y ⋅ y   y ⋅ E y 
Sejam C = (c jk )n×n e I = (ikl )n×n . Assim, o termo geral
da matriz A = CI é dado por
n
a jl =
∑ c jk ⋅ ikl .
k =1
Além disso, como ikl = 0, se k ≠ l e ikl = 1, se k = l,
segue-se que a jl = c jl para todo j e todo l, com
j, l = 1, 2, K, n. Portanto, temos A = C e a proposição
é verdadeira.
Resposta da questão 10:
75432 = 4714 ⋅ 16 + 8
Logo, n = 4714 + 1 = 4715 e i = 3 e j = 1.
Resposta da questão 11:
[A]
A soma dos elementos da diagonal secundária da
matriz B é igual a
2
b13 + b22 + b31 = a11a13 + a12a23 + a13 a33 + a21a12 + a22
+ a23a32 + a11a31 +
+ a32a21 + a33a31
= 1 ⋅ 3 + 2 ⋅ 6 + 3 ⋅ 9 + 3 ⋅ 2 + 42 + 6 ⋅ 5 + 1 ⋅ 4 + 5 ⋅ 3 + 9 ⋅ 4
= 149.
Resposta da questão 7:
[A]
[A] Verdadeira, pode se ir de A até B passando por D.
[B] Falsa, pois A não possui conexão até B.
[C] Falsa, pois a43 = 0.
[D] Falsa, existe apenas um caminho passando por D.
[E] Falsa, existe apenas um caminho (ADBC).
Resposta da questão 8:
[D]
Os totais pagos por Júlia, Bruno e Felipe são dados,
respectivamente, por
Resposta da questão 12:
a b 
Se a matriz 
 é a inversa de
 c d
3a + 11b = 1

a b   3 1   1 0 
a + 4b = 0

⋅
=
⇔
c d 11 4  0 1
3c + 11d = 0
c + 4 d = 1

a = 4

b = −1
⇔
.
c = −11
d = 3

5x + 5y + 3z = 96, 6x + 3y + 3z = 105 e
4x + 5y + 2z = 79.
Portanto, a única alternativa que relaciona
corretamente os preços unitários com os dados da
tabela é a alternativa [D].
Resposta da questão 9:
[D]
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 3 1

 , então:
11 4 
Portanto,
| a | + | b | + | c | + | d | = | 4 | + | −1| + | −11| + | 3 | = 19.
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Resposta da questão 13:
[C]
Sabendo que os apartamentos de número 3
comportam 12 pessoas ao todo, temos:
5 + y + x + 1 = 12 ⇔ x + y = 6.
Portanto, o valor de n é dado por:
4 + 1 + 6 + x + 3 + y + 12 = 26 + 6 = 32.
Resposta da questão 14:
[C]
Temos
m12 m13 
m
M =  11

m
m
22 m23 
 21
 4 ⋅1− 1 4 ⋅1− 2 4 ⋅1− 3 
=

4 ⋅ 2 − 1 4 ⋅ 2 − 2 4 ⋅ 2 − 3
 3 2 1
=
.
7 6 5 
Resposta da questão 15:
[A]
 0 −1  0 −1  1 0 
A2 = 
⋅
=

 −1 0   −1 0   0 1 
 1 0   0 −1  0 −1
A3 = 
⋅
=

 0 1   −1 0   −1 0 
A partir daí pode-se observar que A elevada a
 0 −1
expoente ímpar resulta em 
 e A elevada a
 −1 0 
8

3
 1  6
1   3
M  1 = 
3   9
 1  3

7
3

9
3
8
3
6
3
8
3
8+9+6
6



3
3


7   1  6 + 8 + 7 

3    
3
,
1 =

6    9 + 6 + 6 
1

3   
3



9
7+8+9


3 
3


o que corresponde à média de cada aluno nas três
avaliações.
Resposta da questão 17:
α  1
 1
+ 1
a) A α + A 2α =  1
−
−1  −
 α
  2α
( A α + A 2α )
2
 2
= 3
−
 2α
3α   2
⋅ 3
−2   −
  2α
2α   2
= 3
−1  −
  2α
3α 

−2 

 1

3α   −
0 
2
=

1
−2  
  0 − 

2
b)
 1

− 1
 α
α
 .  x  =  −6 
   
−1  y   2 

 x + αy 

 =  −6 
x
 − − y   2 
 α

 x + αy = −6

 x
− α − y = 2

Multiplicando a segunda equação por α e somando
com a primeira, temos:
 1 0
expoente par resulta em 
 . A soma pedida
 0 1
poderá ser representada por:
0 + 0 = 2 α –6; portanto, para que a equação tenha
solução, o valor de α deverá ser 3.
 1 0
 0 −1  20 −20 
A + A 2 + A 3 + K + A 39 + A 40 = 20 
 + 20 
=
.
 0 1
 −1 0   −20 20 
Resposta da questão 18:
[B]
Determinante da Matriz A: det(A) = – 2
Resposta da questão 16:
[C]
Efetuando o produto, obtemos
 −1 2

Matriz dos cofatores da matriz A: A ' =  0
2
 1 −22

 −1 0

Matriz Adjunta da matriz A: A '' = (A')T =  2 2
0 0

0

0
2 
1 

−22 
2 
Logo, a inversa de A será dada por:
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1
1
0 − 
1  2
 −1 0
2
1

 
A −1 =
⋅  2 −2 −22  =  −1 1 11 
det(A) 
2   0 0 −1 
0 0




Resposta da questão 19:
[A]
Sabendo que A ⋅ A −1 = I, com I sendo a matriz
identidade de ordem 2, temos
X ⋅ A = B ⇔ X ⋅ A ⋅ A −1 = B ⋅ A −1
⇔ X ⋅ I = B ⋅ A −1
 3 −1
⇔ X = [8 3 ] ⋅ 

 −5 2
⇔ X = [ 24 − 15 −8 + 6 ]
⇔ X = [ 9 −2 ] .
Por conseguinte, a soma pedida é igual a 9 + ( −2) = 7.
Resposta da questão 20:
[D]
1
5
 1 1 2 
  5 + 0 − 6 1 − 2 + 12   −1 11

 ⋅  0 −2  = 
=

4
−
3
0

 
  20 + 0 + 0 4 + 6 + 0   20 10 
3
6
−


Resposta da questão 21:
[C]
Sabendo que x ≠ 0 e y ≠ 0, vem
0 
3 0   x 2   0 3   x  0 
A⋅Y +B⋅X =   ⇔ 
 ⋅  2 + 
⋅  =  
0 
0 1  y  8 0   y  0 
3x 2  3y  0 
+ = 
⇔
 y 2  8x  0 
3x 2 + 3y  0 
= 
⇔
 y 2 + 8x  0 
3x 2 + 3y = 0
⇔
2
 y + 8x = 0
Resposta da questão 22:
02 + 04 + 08 + 16 = 30.
(01) Falso.
A = C−1BC
AC−1 = C−1BCC−1
AC−1 = C−1B
det(AC−1) = det(C−1B)
det A = detB
(02) Verdadeiro.
(04) Verdadeiro.
A 2 = C−1B2C
AAC−1 = C−1BBCC−1
AAC−1 = C−1BB
det(AAC−1) = det(C−1BB)
det(AA)det(C−1) = det(BB)det(C−1 )
det(A 2 ) = det(B2 )
(08) Verdadeiro.
2 1
Sendo C = 
 e B=
 1 1
Temos:
2 0 
0 1


 1 −1 2 0   2 1  2 −1  2 1  3 1
C−1BC = 


=

=

 −1 2  0 1  1 1  −2 2   1 1  −2 0 
(16) Verdadeiro.
(2A) = C−1(2B)C
(2A)C−1 = C−1(2B)CC−1
(2A)C−1 = C−1(2B)
det((2A)C−1 ) = det(C−1(2B))
det(2A)det(C−1 ) = det(2B)det(C−1)
2n det(A) = 2n det(B)
Resposta da questão 23:
[A]
A matriz P é tal que
 y = − x 2
⇔
3
 x(x + 8) = 0
 x = −2
⇔
.
 y = −4
Portanto, x ⋅ y = (−2) ⋅ ( −4) = 8.
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 2 3 4 0 4 0  2 3
P=
⋅
+
⋅

 −1 0   1 5   1 5   −1 0 
 8 + 3 0 + 15  8 + 0 12 + 0 
=
+

 −4 + 0 0 + 0   2 − 5 3 + 0 
 11 15   8 12 
=
+

 −4 0   −3 3 
19 27 
=
.
 −7 3 
Portanto, o menor elemento da matriz
P é −7.
Resposta da questão 24:
[E]
a c 
Como A t = 
 , segue que
 b d
2
2
a b  a c  a + b ac + bd 
M= 
⋅
=

.
 

c d b d  ac + bd c 2 + d2 
Portanto, a soma pedida é
a2 + b2 + 2ac + 2bd + c 2 + d2 = a2 + 2ac + c 2 + b2 + 2bd + d2
= (a + c)2 + (b + d)2 .
Resposta da questão 25:
[C]
Se cada linha da matriz A representa o tipo de
parafuso e cada coluna da matriz B o mês de
produção, o produto das matrizes nos revelará a
produção mensal de cada tipo de parafusos.
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