1. VARIAÇÃO DA ENERGIA POTENCIAL
É o trabalho
t b lh realizado
li d para deslocar
d l
um corpo, com velocidade
l id d constante,
t t de
d um ponto
t a
outro num campo conservativo ( W = ∫ F .dl = 0 )
dU = −F
F.dl
Obs. sobre o sinal (-): um corpo, imerso num campo, fica sujeito á ação de uma força (F),
para deslocá-lo com velocidade constante deve-se aplicar uma força (-F).
2. DIFERENÇA DE POTENCIAL ( Vb - V a )
É o trabalho realizado,, por
p unidade de carga,
g , para
p deslocar uma carga
g de pprova,, com
velocidade constante, de um ponto ‘a’ até um ponto ‘b’.
dU −F.dl − q.E.dl
dV =
=
=
= −E.dl, logo
q
q
q
b
∆U
∆V = Vb − Va =
= − ∫ E.dl
a
q
Onde:
V – Potencial elétrico (ou simplesmente, potencial)
• Unidade: Volt (V), sendo que 1(V) = 1(J/C), logo a unidade
do campo
p E ppode ser expressa
p
em (V/m).
(
)
• Linhas de força apontam na direção do maior
para o menor potencial (potencial decrescente)
• Potencial de uma carga
g puntiforme:
p
considere uma carga de prova q0 que se
desloca com velocidade constante num campo
elétrico E, gerado por uma outra carga
puntiforme Q, logo a variação da energia potencial:
KQ
Q
dU = −F.dl = q0 .Er .ddr = − q0 .
ddr
r²
∆V = Vb − Va = − ∫
b
a
1 1
KQ
dr = KQ  − 
r²
 rb ra 
Se definirmos um potencial zero quando r = ∞ ,
o potencial num ponto r será:
V( r ) =
KQ
r
O ppotencial de uma carga
g ppuntiforme
f
é o trabalho por
p unidade de carga
g para
p
trazer uma
carga positiva desde o infinito até uma distância r, com velocidade escalar constante.
• Uma unidade de energia conveniente a nível atômico é o elétron-volt (eV), sendo que
1eV = 1, 6 x10−19 C.V = 1, 6 x10−19 J
i t é,
isto
é 1 Volt
V lt vezes a carga do
d elétron.
lét
EXEMPLO: Calcular o potencial elétrico devido a um próton a uma distância
r = 0,59 x10−10 m (distância da primeira órbita de Bohr) e a energia potencial quando
se coloca um elétron nesta posição.
Solução:
9 109 )(11, 66.10
9.10
10−19 )
(
Kq
K
O potencial é dado por: V =
=
= 27, 2V
r
0,59.10−10
A energia é dada por: U = q.V = −1, 6.10−19.27, 2 = −4,36.10−18 J
3. POTENCIAL DE UM SISTEMA DE CARGAS
PUNTIFORMES
O potencial devido a um sistema de cargas puntiformes é igual a soma dos potenciais,
no ponto
ponto, devido as cargas puntiformes individuais.
individuais
V =∑
i
K .qi
rio
Energia potencial eletrostática de um sistema de cargas puntiformes é o trabalho necessário
para transportar uma carga, com velocidade constante, do infinito até uma posição final.
W = q0 ∑
i
K .qi
rio
EXEMPLO: Três cargas puntiformes positivas de 2 µ C
estão nos vértices de um quadrado de lado 3m, como mostra
a figura.
fi
Calcular
C l l o potencial
i l V no vértice
é i desocupado
d
d eo
trabalho necessário para trazer uma carga positiva e colocá-la no vértice desocupado.
Solução:
O potencial devido as três cargas é:
V=
Kq1 Kq2 Kq3
+
+
r1
r2
r3
 2.10−6 2.10−6 2.10−6 
= 9.10 
+
+

3
3
3 2 

= 1, 62.104 V
9
O trabalho necessário para trazer uma carga até o vértice será:
W = q.V = ( 2.10−6 )(1, 62.104 ) = 3, 24.10−2 J
4. SUPERFÍCIES EQUIPOTENCIAIS
• Vimos
Vi
que o trabalho
t b lh efetuado
f t d contra
t o campo elétrico
lét i para deslocar
d l
uma carga de
d prova
q0 é ∆U = −q.E.∆l e a variação de potencial ∆V = −E.∆l
p
a E,, então o potencial
p
não se altera ( ∆V = 0 )
• Se o deslocamento ∆l for pperpendicular
•A maior variação do potencial ∆V ocorre quando ∆l é paralelo ou anti-paralelo ao campo E.
Quando ∆l é paralelo e tomarmos o limite temos:
E = − lim
∆V
dV
=−
dl
∆l
• Um vetor que tem a direção da maior variação da função escalar (paralelo ao campo E) e
que tem módulo igual a derivada da função com relação a distância,
distância como a fórmula anterior
é chamado de gradiente da função (no caso anterior ‘do potencial’).
• Numa superfície
p
equipotencial,
q p
o potencial
p
elétrico não se altera e o deslocamento de uma
carga sobre esta superfície não efetua trabalho.
5. CÁLCULO DO POTENCIAL ELÉTRICO
Existem 3 formas de calcular o potencial elétrico num ponto:
1 Devido a uma distribuição de carga em que se conhece E(l):
1.
∆V = − ∫ E.dl
2. Devido a uma distribuição de cargas puntiformes:
Kqi
V =∑
rio
i
3. Tratando de um elemento de carga
g dqq como pparte de uma distribuição
ç finita de
cargas (garante que potencial no infinito seja finito ou nulo)
K .dq
V =∫
r
EXEMPLO: Calcular o potencial elétrico a uma distância x de um plano infinito carregado
uniformemente com cargas positivas.
Solução:
O campo elétrico de um plano infinito carregado é dado por:
EX =
σ
2ε 0
Logo, o potencial V( X ) será:
x
V( x ) − V( 0) = − ∫ E X dx
0
= −∫
x
0
=−
σ
dx
2ε 0
σ
x
2ε 0
Onde V(0) é o potencial do plano infinito.
EXEMPLO: Calcular o potencial a uma distância ‘x’ sobre o eixo de um anel de raio ‘a’
carregado
g
com uma carga
g Q uniformemente distribuida.
Solução:
O potencial no ponto x devido ao anel será a
integral sobre o comprimento do anel
levando-se em consideração o potencial
d id a um elemento
devido
l
de
d carga dq
d a uma
distância s = a 2 + x 2
EX = −
dV
dx
KQ
1
= − 
2x
3/ 2
 2  ( x² + a² )
=
KQx
( x² + a² )
3/ 2
EXEMPLO: Calcular o potencial sobre o eixo de um disco de raio R, com densidade
superficial de carga σ
Solução:
O potencial de uma espira de raio r,
r largura dr,
dr e carga dq = σ .2
2π r.dr é (exemplo anterior):
dV =
Kdq
s
Logo:
V = ∫ dV = ∫
R
0
=
Kσ 2π r.dr
x2 + r 2
Kσπ x + r
1/ 2
2
= 2Kσπ
(
2
R
0
x2 + R2 − x
)
E campo elétrico:
E=−


dV
x
= 2 Kσπ 1 −

2
2
dx
x +R 

EXEMPLO: Calcular o potencial sobre o eixo de uma casca esférica de raio R, e carga total
Q uniformemente distribuída com densidade
σ
Solução:
Escolhemos um anel de carga com largura
Rdθ e comprimento 2π rsenθ A área deste
anel é:
dA = 2π Rsenθ .Rdθ = 2π R ² senθ dθ
A carga elétrica neste anel é:
dQ = σ dA = σ 2π R ² senθ dθ
Vimos que o potencial devido a este anel é:
dV =
KdQ
s
dV =
Kσ 2π R ² senθ dθ
((I))
s
Por outro lado podemos relacionar as variáveis s e
θ por:
dif
i d chega-se
h
a
s ² = r ² + R ² − 2rR
R cos θ ∴ que diferenciando
2s = 2rRsenθ dθ ↔
senθ dθ =
sds
(II)
rR
Substituindo (II) em (I) (elimina-se
θ da equação), temos
r+R
r+R
Kσ 2π R ²  sds
d 
s
dV
K
σ
π
R
=
=
2
 
∫
∫r − R s  rR 
 r  r −R
=
Kσ 2π R
Kσ 4π R ² KQ
2R =
2R
=
r
r
r
Para pontos fora da casca funciona como se fosse uma carga puntiforme na origem.
Para pontos dentro da casca muda o limite inferior.
inferior
R+r
Kσ 2π R
Kσ 4π R ² KQ
s
∫ dV = Kσ 2π R  r  R−r = r 2r = R = R
OBS.:
• Apesar do campo elétrico ser nulo dentro da casca esférica, o potencial é constante.
• A seguir mostraremos um modo mais fácil de se calcular o potencial devido a uma casca
esférica.
Sabemos que o campo elétrico devido a uma casca esférica é radial e é como se a carga fosse
puntiforme no centro da esfera:
EX =
KQ
x²
para x>R
Onde a carga Q = 4π R ²σ , que é a carga total sobre a
superfície. Logo:
V (r ) = ∫
r
0
K 4π R ²σ
KQ , para r>R
dx =
x²
r
O potencial dentro da esfera deve ser igual ao potencial
sobre a casca esférica, uma vez que o campo elétrico é nulo,
logo,
V (r ) =
Q para r<R
KQ
R
EXEMPLO: Calcular o potencial devido a uma esfera de raio R, carga total Q, com
Q
densidade volumar uniforme de carga igual a: ρ = 4
π R3
3
Solução: O campo elétrico fora da esfera é o mesmo de uma carga puntiforme Er =
e, portanto, o potencial será dado por V (r ) = KQ
R
O campo elétrico dentro da esfera é dado por:
Er =
KQr
R3
Como o campo elétrico no interior da esfera é nulo, o
potencial não será constante e deve aumentar quando
deslocarmos uma carga de prova em direção ao seu centro
(efetuar trabalho),
trabalho) logo:
r
KQr
1 KQ 2
V ( r ) − V (0) = − ∫ 3 dr = −
r
3
R
2
R
0
O potencial V(0) não pode ser zero (pois V(∞) =0 ), pode-se
escolher V(0) de tal forma que ocorra continuidade V em
r=R, isto é:
KQ
1 KQ 2
3 KQ
− V (0) = −
⇒
=
R
V
(0)
R
2 R3
2 R
KQ
r2
KQ
r2
(3 − 2 )
Logo, o potencial no interior da esfera será: V ( r ) =
2R
2R
R
EXEMPLO: Calcular o potencial a uma distância x de um fio comprido retilíneo
carregado uniformemente com densidade linear de carga λ
Solução: O campo elétrico a uma distância x devido a um fio retilíneo comprido carregado
é: Ex = 2K λ
x
Se o ppotencial a um a distância a é V(a),
( ), então o ppotencial a uma distância r do fio será dada
por:
V (r ) − V (a ) = ∫
r
a
2K λ
r
dx
d = −2 K λ ln
l
x
a
O potencial diminui com a distância mas V (∞) = 0 não pode ser zero,
zero portanto podemos
selecionar, convenientemente, V(a)=0, logo:
r
V (r ) = −2 K λ ln
a
6. REPARTIÇÃO DE CARGAS
¾
A diferença de potencial entre dois condutores, separados no espaço e com diferentes
potenciais, depende da forma geométrica deles e de sua separação e do excesso de carga
em cada
d um ddeles.
l
¾ A carga elétrica de dois condutores com potenciais diferentes, após o contato,se distribui
de modo que, no equilíbrio eletrostático, o campo seja nulo no interior de ambos.
¾ Repartição de carga: é o processo de transferência de carga de um condutor para outro até
que tenham o mesmo potencial.
¾ Gerador de Van Graff:
Baseia-se no pprincípio
p de que
q as cargas
g elétricas
tendem a se deslocar para a superfície externa de uma casca
esférica. Pode-se aumentar o potencial desta casca
KQ
carregando-a internamente (
)
R
através de um orifício (coloca-se carga interna e elas se
deslocam para a superfície para atingir o equilíbrio
eletrostático).
¾ Quando o campo elétrico (diferença de potencial) é muito alto, as moléculas de ar neste
p tendem a ficar ionizadas e o ar se torna condutor ocorrendo uma descarga
g elétrica
campo
(descarga em corona). Este efeito é limitado pela rigidez dielétrica do ar (que corresponde
a um campo de E max ≈ 3MN / C = 3MV / m para o ar e a descarga ocorre quando
(
KQ
KQ
=)V max > R.E max(= R 2 )
R
R
¾ Poder de Ponta: quanto menor o raio de curvatura de uma superfície condutora, maior
será a densidade de carga ( Q
Área ↓
) e o campo elétrico
(
KQ .
)
R ↓2
Na figura abaixo, temos um condutor anesférico;
•
O campo elétrico na extremidade A é maior que em B
•
A densidade de carga na extremidade A é maior que em B
•
O potencial elétrico nas extremidades A e B são iguais
Portanto,
•
A ruptura do dielétrico ocorre na região cujo raio da superfície tem menor curvatura
•
A ruptura do dielétrico pode ocorrer em potenciais baixos desde que o condutor tenha
pontas agudas.
•Andreza
A d
sousa e b
bruno claudio
l di