ISSN 2317-3300
Hipersuperfı́cies do R4 com curvatura escalar nula invariantes
por um subgrupo de isometrias
Jocelino Sato
Túlio Guimarães
[email protected]
[email protected]
Faculdade de Matemática - FAMAT, UFU, Uberlândia/MG
Palavras-chave: Hipersuperfı́cies Invariantes, Normal de Gauss, Curvatura Escalar, Equações
Diferenciais.
Resumo: Este trabalho trata das hipersuperfı́cies do R4 que possuem curvatura escalar S nula
e que são invariantes por um subgrupo de isometrias. Através de uma curva geratriz p.p.c.a.
γ(u) = (x(u), z(u)), podemos reduzir as equações diferenciais parciais das curvaturas escalares S
das hipersuperfı́cie O(n)-invariante ou O(n) × O(n)-invariante, num sistema de coordenadas locais, tornando-as equações diferenciais ordinárias em função das coordenadas da geratriz. Assim
podemos classificar as hipersuperfı́cies em R4 que são ou invariantes por O(3) ou por O(2)×O(2)
com curvatura escalar nula.
1
Introdução
As superfı́cies com curvatura constante constituem um tema muito pesquisado em Geometria
Diferencial. Os primeiros resultados nesta direção devem-se a Delaunay [2]. Muitos outros
matemáticos, como Hsiang, dedicaram-se ao estudo deste tema, adaptando as técnicas do R3
para dimensões maiores, para hipersuperfı́cies e para outros ambientes.
Ao estudarem hipersuperfı́cies em espaços Rn , com n > 3, os matemáticos definiram as curvaturas principais que caracterizam melhor as hipersuperfı́cies através das r-ésimas curvaturas
médias, dadas por:
Hr (p) =
X
 1  ki
16i1 <i2 <···<ir 6n 
n
r
1
ki2 · · · kir

sendo curvatura escalar a 2a ésima curvatura média:
S = H2 (p) =
2
(k1 .k2 + · · · + k1 .kn + k2 .k3 + · · · + k2 .kn + · · · + kn−1 .kn ).
n(n − 1)
Por meio da geometria equivariante, encontraram métodos que permitiram a construção de
exemplos de hipersuperfı́cies que são invariantes por um grupo G de isometrias com curvatura
escalar constante. A principal contribuição para esta área foi a classificação dos grupos de isometrias de baixa cohomogeneidade dados por Hsiang e Lawson [3]. Usando geometria equivariante
foi possı́vel construir contra-exemplos para a conjectura de Hopf [4].
Em nosso trabalho, seguimos [6] e [5] generalizando resultados da curvatura média para
curvatura escalar S de hipersuperfı́cies em Rn+1 e Rn+1 × Rn+1 invariantes pelos subgrupos
de isometrias O(n + 1) e O(n + 1) × O(n + 1), respectivamente. Focamos nosso estudo nas
hipersuperfı́cies em R4 com curvatura escalar S nula, classificando-as por meio de suas geratrizes.
2
Resultados
Para fazermos o estudo da curvatura escalar das hipersuperfı́cies invariantes por O(n + 1) ou
O(n + 1) × O(n + 1) utilizamos resultados obtidos na esfera. Parametrizamos a esfera Sn por:
Ψn (θ) = sen(θn ).Ψn−1 (θ1 , · · · , θn−1 ) ⊕ cos(θn )
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em que Ψ1 (θ) = sen(θ1 ) ⊕ cos(θ1 ) e θ = (θ1 , θ2 , · · · , θn ), temos como derivadas parciais
sen(θn )Ψn−1
⊕0
para i 6= n
θi
Ψnθi =
sendo ⊕ a soma direta. Assim temos:
cos(θn )Ψn−1 ⊕ (−sen(θn )) para i = n
Ψnθ1 ×Ψnθ2 ×· · ·×Ψnθn = (−1)n
n
Y
seni−1 (θi ).Ψn
hΨn , Ψnθ1 ×Ψnθ2 ×· · ·×Ψnθn i = (−1)n
i=1
2.1
n
Y
seni−1 (θi ).
i=1
Curvatura escalar de Hipersuperfı́cies O(n) ou O(n+1)×O(n+1)-Invariantes
As hipersuperfı́cies rotacionais, invariantes por O(n), são dadas pela união de órbitas Gγ(u) ,
onde γ(u) = (x(u), z(u)), u ∈ I, é uma curva geratriz parametrizada pelo comprimento de arco
(ppca), ou seja, [x0 (u)]2 + [z 0 (u)]2 = 1, contida no espaço de órbitas Q = {(x, z) ∈ R2 ; x > 0}.
Aqui x denota o raio da esfera e z sua altura em relação ao hiperplano xn+1 = 0.
Uma parametrização desta hipersuperfı́cie gerada por γ(u) = (x(u), z(u)) pode ser dada por
X(u, θ1 , . . . , θn ) = x(u).Ψn + z(u)en+2 = xΨn ⊕ z
tendo como derivadas parciais Xu = x0 Ψn ⊕ z 0 e Xθi = xΨnθi ⊕ 0 i = 1, · · · , n. Sabendo que
n
Y
n
Xu × Xθ1 × · · · × Xθn = x
seni−1 (θi ) z 0 Ψn ⊕ −x0 e pela curvatura escalar ser definida como
i=1
a soma das multiplicações das curvaturas principais duas a duas, nos permitindo cancelar as
mudanças de sinal da Aplicação Normal de Gauss em função do espaço, a definimos por
N = −z 0 Ψn ⊕ x0
sendo as curvaturas principais
k0 =
hdN (Xu ), Xu i
= (−z 00 x0 + x00 z 0 )
hXu , Xu i
ki =
−z 0
hdN (Xθi ), Xθi i
=
hXθi , Xθi i
x
∀i = 1, · · · , n.
Assim a curvatura escalar S dessas rotacionais geradas por γ(u) = (x(u), z(u)) é:
S(u) =
−2x00 x + (n − 1)(1 − (x0 )2 )
.
(n + 1)(x)2
Já as hipersuperfı́cies M 2n+1 ⊂ R2n+2 invariantes por O(n + 1) × O(n + 1) são dadas pela
união de órbitas Gγ(u) , onde γ(u) = (x(u), z(u)) é uma curva geratriz ppca contida no espaço
de órbitas Q = {(x, z); x > 0, z > 0}. Aqui x e z denotam os raios das esferas.
Uma parametrização explı́cita para a hipersuperfı́cie M é dada por
X(u, θ, θ̄) = x(u)Ψn (θ) ⊕ z(u)Φn (θ̄),
em que Ψn (θ) e Φn (θ̄) são parametrizações
em coordenadas esféricas da esfera Sn ⊆ Rn+1 ,
com θ = (θ1 , . . . , θn ) e θ̄ = θ̄1 , . . . , θ̄n , tendo como derivadas parciais Xu = x0 Ψn ⊕ z 0 Φn ,
Xθi = xΨnθi ⊕ 0 e Xθ̄j = 0 ⊕ zΦnθ̄ para todo i, j = 1, 2, · · · , n.
j
Da mesma forma que na seção anterior, calculamos a aplicação normal nestas hipersuperfı́cies
através do resultado
n
n
Y
Y
Xu ×Xθ1 ×· · ·×Xθn ×Xθ̄1 ×· · ·×Xθ̄n = (−1)n+1 xn z n seni−1 (θi ) senj−1 (θ̄j ) −z 0 Ψn ⊕ x0 Φn
i=1
j=1
[−z 0 Ψn
e a normal destas hipersuperfı́cies fica definida por N =
⊕ x0 Φn ] com curvaturas princi−z 0
x0
pais k0 = −z 00 x0 + x00 z 0 , ki =
e k̄j =
e curvatura escalar
x
z
1
−z 0 z + x0 x n − 1 [−z 0 z]2 + [x0 x]2
−z 0 x0
S(u) =
(−z 00 x0 + x00 z 0 )
+
+
n
.
2n + 1
xz
2
x2 z 2
xz
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2.2
2.2.1
Estudo das Hipersuperfı́cies em R4 com Curvatura Escalar Nula
Rotacionais O(3) em R4 com Curvatura Escalar Nula
A geratriz das hipersuperfı́cies rotacionais O(3) são soluções da E.D.O. de segunda ordem
2x00 x − (1 − (x0 )2 ) = 0,
que estudamos através da existência de uma integral primeira
V (x) = x 1 − (x0 )2 , com
V : R2 → R. Assim, além das geratrizes serem curvas em Q = {(x, z); x > 0}, são definidas
pelas curvas de nı́vel V1 (x) = c.
Teorema 1 - Dada a E.D.O. x.(z 0 )2 = c que define as geratrizes ppca de hipersuperfı́cies
rotacionais M 3 ⊂ R4 com curvatura escalar nula, se c = 0 então a hipersuperfı́cie é um hiperplano, mas se c > 0 então a geratriz da hipersuperfı́cie é uma parábola de equação z 2 = 4cx+4c2 .
Dem. Como x > 0 e por γ ser ppca logo (z 0 )2 = 1 − (x0 )2 > 0, então x (z 0 )2 > 0. Assim para
x (z 0 )2 = 0, teremos z 0 = 0, isto é, z é constante. Daı́ esta curva geratriz gera um hiperplano
contido em R3 ⊕ R a uma altura z.
Para x.z 02 = c > 0 temos x02 = 1 − z 02 = x−c
x . Tomando a derivada de z em função de x,
2
c
∂z
temos ∂x (x) = x−c . Logo as geratrizes ppca são parábolas de equação z 2 = 4cx + 4c2 .
2.2.2
Hipersuperfı́cies O(2) × O(2)-Invariantes em R4 com Curvatura Escalar Nula
Para este caso temos as coordenadas da geratriz γ (u) = (x (u) , z (u)) como soluções da E.D.O.
de segunda ordem 0 = (−z 00 x0 + x00 z 0 )(−z 0 z + x0 x) − z 0 x0 .
Estudamos essa equação pelo método usado por BOMBIERI, de GIORGI e GIUSTI [1]intro
z z0
e v = arctan
,
duzindo a mudança de coordenadas (x, z) 7−→ (w, v) em que w = arctan
x
x0
reduzindo ao estudo das órbitas de um campo vetorial X(w, v) = X1 (w, v), X2 (w, v) equivalente à E.D.O. acima, onde X1 (w, v) = 12 (sen 2w − sen 2v) e X2 (w, v) = 12 sen 2v estão definidos
num aberto de R2 .
π
π
= −X(w, v), (w, v) ∈
Sendo X π-periódico em cada coordenada e além disso X w+ , v+
2
2 π
π
0, π2 × 0, π2 e X w + , v −
= −X(w, v), (w, v) ∈ 0, π2 × π2 , π , podemos estudar o
2
2
2
campo vetorial somente no retângulo R = [0, π2 ] × [− π2 , π2 ], para obter a resolução em
todo o R .
π
π
A classificação
π dos pontos singulares em R são em (0, 0) repulsor, em 2 , ± 2 atratores e
π
em 0, ± 2 , 2 , 0 pontos de sela.
Através destas informações acima e fazendo algumas análises do campo por meio da teoria
sobre equações diferenciais temos uma descrição do retrato de fase do campo X:
Proposição 2 - As trajetórias do campo X em R são de uma das seguintes categorias:
1)
Existe
apenas três trajetórias horizontais com α-limite (0, v) e ω-limite ( π2 , v), onde v ∈
π
− 2 , 0, π2 .
2) Trajetórias com α-limite (0, 0) que entram no interior de R+ e a deixam em pontos da forma
(0, v), onde 0 < v < π2 .
3) Uma única trajetória com α-limite (0, 0) e ω-limite (0, π2 ).
4) Trajetórias com α-limite (0, 0) e ω-limite ( π2 , π2 ) possuindo uma tangente vertical nos pontos
(w, v) satisfazendo w = v ou v = π2 − w.
5) Uma única trajetória com α-limite ( π2 , 0) e ω-limite ( π2 , π2 ).
6) Trajetórias que entram no interior de R+ por pontos da forma ( π2 , v), 0 < v < π2 possuindo
ω-limite ( π2 , π2 ).
7) Todas as trajetórias intersectando R− , entram nessa região por pontos da forma (0, v1 ) e a
deixa por pontos da forma ( π2 , v2 ), onde v1 , v2 ∈ (− π2 , 0).
O lema abaixo nos dá uma boa noção de como serão as geratrizes γ(u) = (x(u), z(u)) destas
hipersuperfı́cies:
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v
1
2
3
6
4
5
w
1
7
1
Figura 1: Trajetórias do campo vetorial
Lema 3 - Seja M uma hipersuperfı́cie invariante por O(2) × O(2) em R4 , com curvatura
escalar nula, gerada pela curva ppca γ(u) = (x(u), z(u)) com z = z(x), então
2 !
d2 z
dz
dz
dz −1
=
1
+
−x
+
z
.
dx2
dx
dx
dx
Teorema 4 - As hipersuperfı́cies invariantes pela ação do grupo O(2) × O(2) em R4 com
curvatura escalar nula, pertence a uma das seguintes classes (Figura 1):
1) Cilindros, ou seja, hipersuperfı́cies da forma R2 × S1 .
2) Hipersuperfı́cies cuja geratriz intersecta a fronteira do espaço de órbita Q no eixo x, formando
π
um ângulo v com o eixo x, onde 0 < v < . Neste caso temos x 6= 0.
2
3) Hipersuperfı́cies cuja curva geratriz intersecta a fronteira do espaço de órbita Q no eixo x,
formando um ângulo π2 com ele.
4) Hipersuperfı́cies cuja curva geratriz tem uma singularidade em Q.
5) Hipersuperfı́cies cuja geratriz intersecta a fronteira do espaço de órbita Q no eixo z, formando
π
com ele.
um ângulo
2
6) Hipersuperfı́cies cuja geratriz intersecta a fronteira do espaço de órbita Q no eixo z, formando
π
um ângulo v com o eixo z, onde 0 < v < . Neste caso temos z 6= 0.
2
7) Hipersuperfı́cies cuja geratriz intersecta a fronteira do espaço de órbita Q em pontos da forma
(x, 0), x 6= 0 e (0, z), z 6= 0, em ambos os casos formando um ângulo diferente π2 com o eixo de
interseção.
Referências
[1] BOMBIERI, E.; DE DIORGI, E.; GIUSTI, E. Minimal cones and the Bernstein problem.
Invent. Math. 7, p. 243-269, 1969.
[2] DELAUNAY, C. Sur la surface de révolution don’t la courbure moyenne est constante. J.
Math. pure et appl. Série 16, 1841.
[3] HSIANG, W. Y.; LAWSON, H. B. Minimal submanifolds of low cohomogeneity, Journal of
Differential Geometry. vol. 5, p.1-38, 1971.
[4] HSIANG, W. Y.; TENG, Z. H.; Yu, W. C. New examples of constant mean curvature immersions of (2k − 1)-spheres into Euclidian 2k-space. Annals of Math. no 117 p.609-625,
1983.
[5] LEITE, M. L. Rotational hypersurfaces of space forms with constant scalar curvature.
Manuscripta Mathematica. v.67 no 1 p.285-304. :Ed. Springer-Verlag, 1990.
[6] PALMAS, O. O(2)×O(2)-invariant hypersurfaces with zero scalar curvature. Archives der
Mathematiques no 74 p.226-233. Basel: Ed. Birkhäuser Verlag, 2000.
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