EXERCÍCIO – UNIDADE 6
Uma urna contém duas bolas brancas e três bolas vermelhas. Suponha que são
sorteadas duas bolas ao acaso, sem reposição. (Enunciado das questões 1 e 2)
1. Qual a probabilidade das duas bolas serem brancas?
a) 0,05
b) 0,08
c) 0,10
d) 0,12
e) 0,15
2. Qual a probabilidade das duas bolas serem vermelhas?
a) 0,30
b) 0,35
c) 0,40
d) 0,45
e) 0,50
3. Uma urna contém 2 bolas brancas e 3 bolas vermelhas. Retira-se 2 bolas sem
reposição. Qual a probabilidade da 2ª ser vermelha, dado que a 1ª é branca?
a)
b)
c)
d)
e)
0,20
0,30
0,35
0,40
0,45
4. Uma companhia de seguros analisou a freqüência com que 3.000 segurados
(1.500 homens e 1.500 mulheres) usaram o hospital no último ano. Os resultados
são apresentados na tabela:
Usaram o hospital
Não usaram o
hospital
Homens
250
Mulheres
320
1250
1180
Qual a probabilidade de que uma pessoa segurada use o hospital?
a) Pr= 0,19
b) Pr= 0,22
c) Pr= 0,26
d) Pr= 0,30
e) Pr= 0,31
5. Com base nos dados do exercício anterior, qual a probabilidade de uma
mulher ter usado o hospital?
a)
b)
c)
d)
e)
Pr= 0,08
Pr= 0,09
Pr= 0,107
Pr= 0,153
Pr= 0,166
6. No posto de saúde de uma cidadezinha do interior, 15.800 crianças foram
atendidas no último ano. A tabela abaixo relaciona a idade das crianças
atendidas.
Sexo
Masculino
Feminino
Total
2.000
4.500
1.800
8.300
800
2.500
4.200
7.500
2.800
7.000
6.000
15.800
Idade
< de 1 ano
1 – 4 anos
> 4 anos
Total
Qual a probabilidade de uma criança selecionada ao acaso ter 4 anos ou menos
e ser do sexo feminino?
a)
b)
c)
d)
e)
Pr= 0,209
Pr= 0,309
Pr= 0,410
Pr= 0,433
Pr= 0,456
7. Considere o problema 6 e suponha que escolhamos duas crianças ao acaso,
com reposição. Qual a probabilidade de que ambos sejam do sexo masculino?
a)
b)
c)
d)
e)
Pr=0,18
Pr= 0,20
Pr= 0,28
Pr= 0,31
Pr= 0,35
8. A tabela abaixo dá a distribuição de probabilidades dos quatro tipos de
sangue de indivíduos numa comunidade.
Probabilidades
A
0,30
0,70
De ter o tipo especificado
De não ter o tipo especificado
Tipos de Sangue
B
AB
0,20
0,10
0,80
0,90
O
0,40
0,60
Qual a probabilidade de que dois indivíduos desta comunidade, sorteados ao
acaso, tenham o tipo A e outro o tipo B?
a) Pr= 0,06
b) Pr= 0,20
c) Pr= 0,30
d) Pr= 0,32
e) Pr= 0,35
9. Na tabela abaixo, os números que aparecem são probabilidades relacionadas
com a ocorrência de A, B, A ∩ B, etc. Assim, P(A)=0,15, enquanto P(A ∩ B)= 0,06.
B
B
Total
A
0,06
0,17
0,09
0,68
0,15
0,85
Total
0,23
0,77
1,00
A
Verifique se A e B são independentes. Justifique sua resposta.
10. Os dados da tabela são referentes ao estudo efetuado por um psicólogo para
verificar a eficiência do tratamento com seus pacientes.
Sexo
Tipo de tratamento
Terapias Alternativas - (T)
Homens
(M)
Mulheres
(F)
Total
70
43
113
Uso de remédios - (R)
25
80
175
40
42
125
65
122
300
Somente análise - (A)
Total
Um paciente é escolhido ao acaso. Qual a probabilidade deste paciente fazer
somente análise, dado que é mulher?
GABARITOS COMENTADOS
Uma urna contém duas bolas brancas e três bolas vermelhas. Suponha que são
sorteadas duas bolas ao acaso, sem reposição. (Enunciado das questões 1 e 2).
1. Qual a probabilidade das duas bolas serem brancas?
Para resolver esta questão observe o exemplo do material.
a)
b)
c)
d)
e)
0,05
0,08
0,10
0,12
0,15
C2, 2 = 1 (observar tabela de coeficientes Binomiais)
C5, 2 = 10 (observar tabela de coeficientes Binomiais)
PRB =
1
= 0,10
10
Coeficientes Binomiais - Cn,k =
n
⎛n⎞
⎜⎜ ⎟⎟
⎝0⎠
⎛n⎞
⎜⎜ ⎟⎟
⎝1 ⎠
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
⎛n⎞
⎜⎜ ⎟⎟
⎝2⎠
⎛n⎞
⎜⎜ ⎟⎟
⎝3 ⎠
1
3
1
6
4
10
10
15
20
21
35
28
56
36
84
45 120
55 165
66 220
78 286
91 364
105 455
120 560
136 680
153 816
171 969
190 1140
⎛n⎞
⎜⎜ ⎟⎟
⎝4⎠
⎛n⎞
⎜⎜ ⎟⎟
⎝5 ⎠
n!
k! (n − k )!
⎛n⎞
⎜⎜ ⎟⎟
⎝6⎠
⎛n⎞
⎜⎜ ⎟⎟
⎝7⎠
1
5
1
15
6
1
35
21
7
70
56
28
126
126
84
210
252
210
330
462
462
495
792
924
715 1287 1716
1001 2002 3003
1365 3003 5005
1820 4368 8008
2380 6188 12376
3060 8568 18564
3876 11628 27132
4845 15504 38760
⎛n⎞
⎜⎜ ⎟⎟
⎝8 ⎠
⎛n⎞
⎜⎜ ⎟⎟
⎝9 ⎠
⎛n ⎞
⎜⎜ ⎟⎟
⎝10 ⎠
1
8
1
36
9
1
120
45
10
1
330
165
55
11
792
495
220
66
1716
1287
715
286
3432
3003
2002
1001
6435
6435
5005
3003
11440 12870 11440
8008
19448 24310 24310 19448
31824 43758 48620 43758
50388 75582 92378 92378
77520 125970 167960 184756
2. Qual a probabilidade das duas bolas serem vermelhas?
C3, 2 = 3 (observar tabela de coeficientes Binomiais)
a) 0,30
b) 0,35
c) 0,40
d) 0,45
e) 0,50
C5, 2 = 10 (observar tabela de coeficientes Binomiais)
PRV =
3
= 0,30
10
3. Uma urna contém 2 bolas brancas e 3 bolas vermelhas. Retira-se 2 bolas sem
reposição. Qual a probabilidade da 2ª ser vermelha, dado que a 1ª é branca?
a)
b)
c)
d)
e)
0,20
0,30
0,35
0,40
0,45
PB =
2
= 0,4
5
P(V / B ) =
3
= 0,75
4
Pr( A∩B ) = 0,6 ⋅ 0,5 = 0,30
4. Uma companhia de seguros analisou a freqüência com que 3.000 segurados
(1.500 homens e 1.500 mulheres) usaram o hospital no último ano. Os resultados
são apresentados na tabela:
Usaram o hospital
Não usaram o
hospital
Homens
250
Mulheres
320
1250
1180
Qual a probabilidade de que uma pessoa segurada use o hospital?
a) Pr= 0,19
b) Pr= 0,22
c) Pr= 0,26
d) Pr= 0,30
e) Pr= 0,31
PS =
250 + 320
= 0,193333... ≅ 0,19
3000
5. Com base nos dados do exercício anterior, qual a probabilidade de uma
mulher ter usado o hospital?
a)
b)
c)
d)
e)
Pr= 0,08
Pr= 0,09
Pr= 0,107
Pr= 0,153
Pr= 0,166
PS =
320
= 0,10666... ≅ 0,107
3000
6. No posto de saúde de uma cidadezinha do interior, 15.800 crianças foram
atendidas no último ano. A tabela abaixo relaciona a idade das crianças
atendidas.
Sexo
Masculino
Feminino
Total
2.000
4.500
1.800
8.300
800
2.500
4.200
7.500
2.800
7.000
6.000
15.800
Idade
< de 1 ano
1 – 4 anos
> 4 anos
Total
Qual a probabilidade de uma criança selecionada ao acaso ter 4 anos ou menos
e ser do sexo feminino?
a)
b)
c)
d)
e)
Pr= 0,209
Pr= 0,309
Pr= 0,410
Pr= 0,433
Pr= 0,456
PMa 4 =
800 + 2.500
≅ 0,209
15.800
7. Considere o problema 6 e suponha que escolhamos duas crianças ao acaso,
com reposição. Qual a probabilidade de que ambos sejam do sexo masculino?
a)
b)
c)
d)
e)
Pr=0,18
Pr= 0,20
Pr= 0,28
Pr= 0,31
Pr= 0,35
P2 Mo =
8.300 8.300
⋅
≅ 0,28
15.800 15.800
8. A tabela abaixo dá a distribuição de probabilidades dos quatro tipos de
sangue de indivíduos numa comunidade.
Probabilidades
A
0,30
0,70
De ter o tipo especificado
De não ter o tipo especificado
Tipos de Sangue
B
AB
0,20
0,10
0,80
0,90
O
0,40
0,60
Qual a probabilidade de que dois indivíduos desta comunidade, sorteados ao
acaso, tenham o tipo A e outro o tipo B?
PA, B = 0,30 ⋅ 0,20 = 0,06
a) Pr= 0,06
b) Pr= 0,20
c) Pr= 0,30
d) Pr= 0,32
e) Pr= 0,35
9. Na tabela abaixo, os números que aparecem são probabilidades relacionadas
com a ocorrência de A, B, A ∩ B, etc. Assim, P(A)=0,15, enquanto P(A ∩ B)= 0,06.
B
B
Total
A
0,06
0,17
0,09
0,68
0,15
0,85
Total
0,23
0,77
1,00
A
Verifique se A e B são independentes. Justifique sua resposta.
Para A e B serem independentes P(A ∩ B)= P(A).P(B)
P(A).P(B) = 0,15.0,0,23=0,03 ≠ 0,06 não são independentes.
10. Os dados da tabela são referentes ao estudo efetuado por um psicólogo para
verificar a eficiência do tratamento com seus pacientes.
Sexo
Homens
Mulheres
Total
(M)
(F)
Tipo de tratamento
Terapias Alternativas - (T)
70
43
113
Uso de remédios - (R)
Somente análise - (A)
Total
25
80
175
40
42
125
65
122
300
Um paciente é escolhido ao acaso. Qual a probabilidade deste paciente fazer
somente análise, dado que é mulher?
P(A/F) =
P( A ∩ F )
42 / 300 0,14
=
=
= 0,33
P( F )
125 / 300 0,42