GABARITO
Matemática D – Extensivo – V. 5
Exercícios
01)B
I. Falso. Pois duas retas determinam um plano quando
são concorrentes ou paralelas e distintas.
II. Falso. Pois duas retas podem ser perpendiculares
ou paralelas a um mesmo plano.
III.Verdadeiro. Pois os planos são paralelos.
c)Falso. Nem todas as retas que não se interceptam
são reversas.
d)Falso. Nem todas as retas que não são paralelas
são reversas, elas podem ser concorrentes.
e)Falso. Retas reversas não podem ser paralelas.
07)C
I. Falso. Elas podem ser reversas.
II. Falso. Pois se forem colineares determinam infinitos.
III.Verdadeiro. Por definição de plano.
IV.Verdadeiro. Por definição de retas reversas.
02)V - V - V - V
(V)Pois três pontos não colineares formam um plano.
(V) Pela definição de secante.
(V)Pela definição de semiplano.
(V)Pois uma reta e um ponto não pertencente à reta
formam um plano.
08)B
a)Falso. Basta rotacionar r em torno do eixo formado
pela intersecção de r e s.
b)Verdadeira. Pois duas retas concorrentes formam
um plano.
c)Falso. Pois r pode ser perpendicular a α.
d)Falso. Não necessariamente.
e)Falso. Não necessariamente.
03)B
a)Falso. Pois se r ∩ α = r então α ⊃ r, portanto r intercepta α.
b)Verdadeiro. Pois r ⊂ α e duas retas concorrentes
formam um plano.
c)Falso. Pois uma reta pode ser concorrente a r e
parelela a α.
d)Falso. Existem infinitas retas paralelas a r e não
contidas em α.
e)Falso. Pois uma reta pode ser perpendicular a α e
não interceptar r.
09)E
a)Falso. Pois existe um plano perpendicular a r no
ponto A.
b)Falso. Pois podem existir infinitas retas paralelas a
r não contidas em α.
c)Falso. Pois r ⊂ α.
d)Falso. Pois dois planos perpendiculares formam uma
única reta.
e)Verdadeiro. Pela definição de plano.
04)E
I. Verdadeiro. Pela definição de espaço.
II. Verdadeiro. Pela definição de reta.
III.Verdadeiro. Pela definição de plano.
10)D
05)E
a)Falso. Pois são necessárias duas retas concorrentes
ou duas retas paralelas distintas.
b)Falso. Pois são necessários uma reta e um ponto
fora da reta.
c)Falso. Pois duas retas reversas não definem um
plano.
d)Falso. Pois são necessárias duas retas paralelas
distintas.
e)Verdadeiro. Pela definição de plano.
06)A
a)Verdadeira. Pela definição de retas reversas.
b)Falso. Pois retas para serem reversas não estão
necessariamente contidas em um mesmo plano.
Se os pontos não são coplanares, então cada um se
encontra em um plano distinto, portanto determinam 4
planos.
11)E
a)Falso. Eles podem ser distintos dois a dois e colineares definindo infinitos planos.
b)Falso. Pois o ponto pode estar contido na reta formando infinitos planos.
c)Falso. Pois necessariamente eles terão uma reta em
comum e portanto infinitos pontos.
d)Falso. Por definição de plano.
e)Verdadeiro. Por transitividade.
Matemática D
1
GABARITO
17)A
12)B
Como os pontos A, B e C são não colineares dois a
dois, então são coplanares, portanto as arestas reversas
desse tetraedro são A e B, A e C e A e D.
4m
A
v
t
13)A
u
cumeeira
s
a)Verdadeiro. Não é possivel formar mais de uma
reta perpendicular em relação a um ponto p não
pertencente a α.
b)Falso. Idem a.
c)Falso. Passam infinitas retas paralelas a α pelo ponto
p.
d)Falso. Passam infinitos planos perpendiculares a α.
e)Falso. Passa apenas um plano paralelo.
r
4m
a)Verdadeiro.
b)Falso. São paralelas.
c)Falso. Pois t ∩ u = ∅
d)Falso. Pois t ∩ u = ∅
e)Falso. Pois r ∩ s = ∅
14)C
a)Falso. Pois existem infinitas retas pertencentes a α
que não são paralelas a r.
b)Falso. Pois r pode pertencer ao plano.
c)Verdadeiro.
d)Falso. Pois para serem perpendiculares é necessário
que as retas tenham uma intersecção.
e)Falso.
3m
18)C
15)C
a)Falso. Pois os planos podem ser perpendiculares
entre si e paralelos à reta.
b)Falso. Pois são paralelos.
c)Verdadeiro.
d)Falso. Pois as retas podem ser concorrentes e paralelas ao plano.
e)Falso. Eles podem ser perpendiculares entre si.
Basta contar as retas que não interceptam a reta r e
não são paralelas, totalizando 8 pares.
19)D
16)F - V - V - V - V.
I
J
H
G
E
F
r
K
L
M
s
(F)r e s são reversas.
(V)Pois r e s não possuem ponto e comum e não são
coplanares
(V)Por se tratar de um cubo.
(V)Pois r e s são reversas.
(V)Pois elas não se interseccionam.
2
N
a)Falso. Pois sua interseção é não nula e são planos
distintos.
b)Falso. É comum apenas ao plano EFH.
c)Falso.
d)Verdadeiro.
Matemática D
GABARITO
20)B
a)Falso. Eles podem ser concorrentes e não perpendiculares.
b)Verdadeiro.
c)Falso. r é perpendicular a α.
d)Falso.
e)Falso. Pois r é perpendicular a α.
21)18
01. Falso. Os planos que contêm r são perpendiculares
a α e β.
02.Verdadeiro.
04.Falso. r é paralelo ou está contido.
08.Falso.
16.Verdadeiro.
22)C
I. Falso. Eles podem ser reversos ou perpendiculares
e ainda ser paralelos a uma mesma reta.
II. Falso.
III.Verdadeiro.
IV.Falso. Os planos podem ser concorrentes ou perpendiculares e ainda assim um plano ser paralelo a
uma reta de outro.
23)B
a)Falso. Pois nem todas as retas α interceptam a reta
r.
b)Verdadeiro. Pois β e γ são perpendiculares a α.
c)Falso. Pois β e γ são perpendiculares a α.
d)Falso. Pois existem planos que não interceptam os
planos β e γ e são perpendiculares a α.
e)Falso. Pois eles são perpendiculares.
Conforme a figura é possivel perceber que, independentemente da posição de x, a reta que passa por x e
B sempre será perpendicular a d.
26)09
01. Verdadeiro. Pois r e s são paralelas, assumindo
assim o mesmo ângulo entre a reta e o plano.
02.Falso. Pois r e s podem formar um plano distinto
do formado por s e t.
04.Falso. Pois r e s definem um único plano mas não
todos os planos que contêm r ou s.
08.Verdadeiro. Pois as retas são paralelas.
16.Falso. Pois bastam duas retas paralelas distintas
para se formar um plano.
27)C
I. Verdadeiro. Pois os planos interceptados são paralelos e as retas formadas pertencem a um mesmo
plano.
II. Falso. As retas podem ser ortogonais ou reversas.
III.Falso. Os planos podem assumir qualquer posição
e ainda assim serem paralelas à reta.
IV.Verdadeiro. Por definição de reverso.
28)26
01. Falso. Pois a reta pode assumir qualquer ângulo
em relação a π.
02.Verdadeiro. Pois r é perpendicular a π.
04.Falso. Elas são ortogonais.
08.Verdadeiro. Por serem paralelas.
16.Verdadeiro.
32.Falso. Pois ou é paralelo a π e ortogonal a r ou
paralela a r e perpendicular a π.
29)V - F - V - V - V
24)A
I. Verdadeiro. Pois os planos são paralelos.
II. Verdadeiro. Pois as retas são perpendiculares ao
plano.
III.Verdadeiro. Pois se a reta é perpendicular ao plano
o plano que a contém também será.
25)D
(V)Pois as retas definem o plano.
(F) Já que em um espaço é possivel apenas três retas
distintas perpendiculares duas a duas.
(V) Pois todas as retas que passam por esse ponto são
perpendiculares à reta perpenducular ao plano.
(V)Por definição de perpendicularidade.
(V)Pela definição de plano.
b
x
d
α
c
A
B
t
Matemática D
3
GABARITO
30)E
a)Falso. Pode resultar em um ponto ou outro segmento
de reta.
b)Falso. Pode resultar em um ponto.
c)Falso. Pode resultar apenas em uma reta ou uma
semirreta.
d)Falso. Pode resultar em um segmento de reta ou
outros triângulos.
e)Verdadeiro. Basta a circuferência estar ortogonal ao
plano.
β
t
p
33)D
s
α
r
a)Falso. Não necessariamente.
b)Falso. Não necessariamente.
c)Falso. Elas não se encontram no mesmo plano.
d)Falso. Elas podem ser paralelas.
e)Verdadeiro. Conforme o desenho.
31)E
Sendo o poliedro convexo, temos que ele obedece à
relação de Euler, V + F = A + 2.
Números de arestas: número total de lados dividido por
4 . 3+3 . 4
= 12.
dois. A =
2
Portanto, V = A + 2 − F ⇒ V = 7
34)E
β
Basta relacionar os lados das figuras: o pentágono
aparece em A e 1, os lados retangulares em C e 2 e
os lados triangulares em B e 3.
35)E
s
A
α
r
Sendo o poliedro convexo, ele obedece à relação de
Euler.
Número de arestas: A =
12 . 5 + 20 . 6 180
=
= 90
2
2
Portanto, V + F = A + 2
V = 90 + 2 − 32
V = 60 vértices.
t
36)B
I. Verdadeiro. Conforme figura acima.
II. Verdadeiro. Pois α e β são perpendiculares.
III.Verdadeiro. Conforme figura acima.
IV.Verdadeiro. Conforme figura acima.
32)E
p
α
4
I. Falso. O número de arestas corresponde ao número
total de lados de cada face dividido por dois.
2. 3+4 . 5
A=
= 13
2
Como o poliedro é convexo, temos V + F = A + 2,
portanto:
V = 13 + 2 − 6
V=9
II. Verdadeiro. S = 360 . (V − 2) = 360 . 7 = 2520, enquanto, 28 . 90 = 2520
III. Verdadeiro. Conforme calculado em I
IV. Falso. Conforme calculado em I.
Matemática D
GABARITO
37)D
Sabendo quwe todo poliedro regular é convexo temos:
V+F=A+2
F = 30 + 2 − 12
F = 20.
01. Verdadeiro. Primeiro encontramos o número de
arestas supondo n = 4
2A = 2 . 5 + 4 . 4 + 4 . 3
A = 5 + 8 + 6 = 19
Desta forma como o poliedro é convexo temos:
V + F = A + 2, portanto
V = 19 + 2 − 10 = 11
02.Verdadeiro. Pois, as faces pentagonais e quadrangulares somam 6, portanto para o número de faces
ser 16, n deve ser 10.
04.Falso. Suponha n = 1 então:
2A = 2. 5 + 4 . 4 + 1 . 3
3
A=5+2.4+
2
29
A=
= 14, 5
2
Portanto, o número de arestas não seria inteiro.
O único que se enquadra na descrição é o c, pois é o
único que tem lado trapézoidal e fundo quadrado.
39)B
Substituindo, 5 + y = 9 ⇒ y = 4
43)27
38)C
Dessa forma:
4x + 3 y = 32 ⇒ 4x + 27 − 3x = 32

x + y = 9
x=5
Conforme a figura é possivel perceber que o novo poliedro será formado por 6 quadriláteros, 12 triângulos
e 2 hexágonos, portanto somando 20 faces.
40)A
08.Verdadeiro. Suponha n = 6, então
2A = 2 . 5 + 4 . 4 + 6 . 3
A = 22
O número de vértices é dado por:
1440 = 360 . (V − 2) ⇒ V = 6
Sendo assim, cada face do poliedro é um triângulo
equilátero, tratando-se de um octaedro, ou seja, 12
arestas.
Portanto V = 22 + 2 − 12 = 12
Sabendo que S = 360 . (V − 2), temos:
S = 360 . 10 = 3 600
16.Verdadeiro.
2A = 2. 5 + 4 . 4 + 3n
2 . 25 = 10 + 16 + 3n
50 − 26
=8
n=
3
41)E
Pela propriedade de poliedros convexos temos:
3F
2 .A = n .F ⇒ A =
2
44)D
Portanto pela relação de Euler, temos:
V+F=A+2
3F
20 + F =
+2
2
F = 40 − 4 = 36.
retas ab, af, ae e as. Como:
42)4F3 e 5F4
Pela relação de Euler:
V+F=A+2
9 + F = 18 ⇒ F = 9
Portanto, sejam x e y o número de quadriláteros e
triângulos respectivamente
4x + 3y = 2 −16
e
x+y=9
Basta verificar que no vértice A concorrem as arestas
AE, AF, AB e AD e na planificação temos no ponto as
AB ⇒ ab
AE ⇒ ab
AF ⇒ af
AD ⇒ as, então, usando o mesmo raciocíonio
AE ⇒ ae
BE ⇒ be
Matemática D
5
GABARITO
48)B
CE ⇒ cp
DE ⇒ eq
Portanto, D está relacionado ao menos com q e s.
L
45)C
Área da base (Ab):
2 3 82 3
Ab =
=
= 16 3 m2
4
4
H
Volume total do prisma:
At = Ab . h
At = 16 3 . 10 = 160 3
46)E
Como altura é igual à aresta, então h =  = 2.
Área hexagono regular (Ah)
 2 3 
 = 6 3
Ah = 6 . 
 4 
Área das faces laterais (Af):
Af = 3 . (L . H) = 3 . (6 3 . 8) = 144 3 cm2
Área da base:
2 3 64 3
Ab =
=
= 16 3 cm2
4
4
Área total do prisma (At)
At = 6 3 . 2 = 12 3
47)D
Portanto, o custo (C) é:
C = (144 3 + 16 3) . 0,05 = 13,60.
49)E
Área da base do prisma triangular:
a2 3
Abt =
4
Volume do prisma triangular:
a2 3
Vt =
.h
4
12 cm
10 cm
4 cm
eixo
comum
Área da base do prisma hexagonal:
 a 2 3 

Abh = 6 . 
 4 
Volume do prisma hexagonal:
 a 2 3 
 . h
Vh = 6 . 
 4 
Razão (R):
a2 . 3
.h
a2 . 3 . h
4
1
=
=
R= 2 4
. 2
4
a .6. 3 .h 6
a .6. 3
.h
4
6
O volume da peça será o volume total do prisma hexagonal menos o volume do prisma hexagonal menor.
2
VH = 6 . (12) . 3 . 10 = 2160 3 cm2
4
2
(
4
)
. 3 . 10 = 240 3 cm2
Vh = 6 .
4
Portanto o volume da peça é:
Vp = VH − Vh = 1920 3 cm2
Matemática D
GABARITO
50)D
C
53)a) 375 3 cm³
Área da base:
 2 3  6 . 25 3 75 3
 =
=
A = 6 . 
 4 
4
2
F
A
10 cm
Volume do prisma:
75 3
V=A.h=
. 10 = 375 3
2
h
8 cm
B
D
No caso o prisma representado por e.
6 cm
b)50 3 cm2
E
Basta descobrir a altura do prisma.
Como o volume é 120 cm2 temos: V = Ab . h ⇒
⇒ Ab . h = 120.
Com a secção temos:
Área da base (Ab):
6.8
Ab =
= 24 cm2
2
A
A
5 cm
Dessa forma,
AT = 2 . 24 + 5 . 8 + 5 . 6 + 5 . 10
AT = 48 + 40 + 30 + 50
AT = 168
120°
5 cm
C
C
Como o hexágono é regular temos que a base da
secção é um triângulo isósceles conforme a figura.
Pela lei dos cossenos encontramos AC:
(AC)² = 5² + 5² − 2 . 5 . 5 . cos120°
(AC)² = 50 + 25 = 75
AC = 5 3 cm, portanto a área da secção vale:
51)C
8m
H
3m
10 cm
Portanto,
120
h=
= 5 cm
24
AS = 10 . 5 3 = 50 3 cm²
54)C
Lado do quadrado da base ()
Altura inicial do prisma (h)
Volume inicial do prisma (Vi)
Vi = ² . h = ² . h
5m
H2 = 52 − 42
H= 9
H=3
Portanto, AT = 8 . 3 = 12 m², e
2
V = Ab . H
V = 12 . 3 = 36 m2
Volume após ser diminuído (Vf):
2
  h 2 h 2 . h
Vf =   . =
. =
 2  2 4 2
8
Portanto,
52)E
Um desenho que ele poderá reproduzir é o que não tem
semelhança alguma com o desenho do artista holandês.
D = Vi − Vf = ² . h −
D = 0,875 . ² . h
Matemática D
2 . h 7 2 . h
=
8
8
7
GABARITO
55)B
Basta diminuir o volume total do bloco do volume das
portas retiradas para formar o H.
AT = 2310 cm²
Material necessário para os vincos.
Mv = 2310 . 0,2 = 462 cm²
Área da base original:
Ao = 3a . 3a = 9a²
Área da base das portas:
Ap = 3a . a = 3a²
Material total necessário:
MT = 500 . (2310 + 462)
MT = 1386 . 10³ cm² = 138,6 . 104 cm²
Volume original
Vo = Ao . h0 = 9a² . 3a = 27a³
Volume das portas:
Vp = 2 . (3a² . a) = 6a³
Área total da embalagem:
AT = 2 . Ab + 6 . Al = 300 3 + 1800
Como 1 m² = 104 cm², temos MT = 138,6 m²
58)B
Portanto, o volume do sólido é:
V = Vo − Vp = 27a³ − 6a³ = 21a³
56)B
Como as embalagens têm a mesma capacidade de
armazenamento, V1 = V2, portanto h1 . A1 = h2 . A2, em
que A1 e A2 são áreas das bases das embalagens 1 e
2 respectivamente.
a2 3
a2 3
4 3 .6 1
=3 3 .6 2
4
4
4a12
4 . (2 3 )2
2
a2 =
=
= 16
3
3
a2 = 16 = 4
Área total das embalagens:
At1 = 6 . (h1 . a1) + 2 . (A1)
 2 3 . 3 

At1 = 6 . (4 3 . 2 3) + 2 . 6 .


4
At1 = 162 cm²
e
At2 = 6 . (h2 . a2) + 2 . (A2)
 4 . 3 

At2 = 6 . (3 3 . 4) + 2 . 6 .

4 
Como os pacotes são semelhantes, então: c = a . n,
d = b . n e hm = hM . n.
Tomo VM como o volume do pacote maior e Vm o volume
do menor. Portanto,
2V
a . b . hM
VM a . b . hM
=
=
= m
Vm c . d .hm a . n . b . n . hm . n Vm
Dessa forma,
1
2
1
= 3⇒n=3
1 n
2
Dessa mesma forma a soma total da área maior (SM)
e a da área do menor (Sm):
2(ab + b . hM + a . hM )
SM
=
Sm 2(na . nb + nb . nhM + na . nhM )
2(ab + b . hM + a . hM )
SM
=
Sm 2n2 (ab + b . hM + a . hM )
Portanto,
1
SM 1
S
⇒ M=34
= =
Sm n2  1 2
Sm
 
 3 2 
At2 = 72 3 + 12 3 = 84 3 ≅ 145,49 cm²
57)A
Primeiramente, calcula-se a área da base e da lateral
da embalagem:
102 3
2 3
Ab = b .
=6.
= 150 3
4
4
Al = 30 . 10 = 300
8
Matemática D
GABARITO
59)B
O segmento CD é igual a 10, como o segmento HI é igual
a x e é paralelo a CD, podemos dizer que o comprimento
do segmento que está faltando para HI ser igual a CD é
10 − x. Observando a figura verifica-se também que do
ponto J até o chão o segmento perpendicular a HI é igual
a 3. Podemos agora formar um prisma cuja a base é um
triângulo retângulo de catetos 3, (10 − x) e hipotenusa
igual a y. A sua altura é igual a 7 m.
y² = 3² + (10 − x)² (2)
Substituindo (1) em (2), temos:
(11 −x)² = 3² . (10 − x)²
121 − 22x + x² = 9 + 100 − 20x +x²
121 − 22x = 109 − 20x
2x = 12
x = 6 cm
y = 11 − 6 ⇒ y = 5 cm
Calculando o volume do prisma, temos:
Vp = Ab . h
 3 . 4 
Vp = 
.7
 2 
Vp = 42 m³
60°
H
10 cm
60°
6 cm
Primeiramente, calcula-se a altura h:
h = sen 60° . 6
3
h=6.
=3 3
2
Portanto a área da base:
3 3 . 6 18 3
=9 3
Ab =
=
2
2
Como o prisma é obliquo é necessário calcular H:
H = sen 60° . 10
3
H=
. 10 = 5 3
2
Portanto,
V = 9 3 . 5 3 = 135 cm²
60)A
Sabendo uma das dimensões da base triangular do
prisma calcula-se a base através da lei dos cossenos.
Sendo  = 20 cm = 0,2 m, temos
h = sen 30° . 0,2
h = 0,1 m
Então
b = 2 . (cos 30° . 0,2)
b = 0,2 3
Portanto, a área da base triangular do prisma (Ab)
b . h 0, 2 3 . 0,1
=
= 0,01 3
Ab =
2
2
Portanto, o volume do prisma é:
V = Ab . h = 0,01 3 . 3 = 0,03 3 m³
62)C
61)C
Sejam IJ = y e HI = x.
Como a soma das áreas desses retângulos é igual a
77 m² podemos escrever:
7x + 7 y = 77
7 . (x +y) = 77
x + y = 11
y = 11 − x (1)
O volume da piscina é igual a : 280 − 42 = 238 m³
O tempo total é: 8 000L corresponde a 8 m³
238 m3
t=
8 m3
t = 29, 75 h
t = 29 h e 45 min
A T = 2 . (xy + xz + zy)

⇒
z = 2y

A T = 4x 2
⇒ 2 [xy + x . (2y) + (2y) . y] = 4x² ⇒ xy + 2xy + 2y² = 2x²
⇒ 2y² + 3xy − 2x² = 0
−3x ± 9x ² − 4. (2) . (−2x ²) −3x ± 9x ² + 16x²
=
y=
2 . (2)
4
−3x ± 25x² −3x ± 5x
y=
=
⇒
4
4

−3 x + 5 x 2 x x


y =
=
=

 1
4
4
2

⇒

−3 x − 5 x − 8 x

y2 =
=
= −2x < 0 (não serve)


4
4


x 
Logo, V = x . y . z = x .   . 2 .
 2  
Matemática D
x  x 3
=
2  2
9