EXERCÍCIOS DE REVISÃO – MATEMÁTICA
2a SÉRIE – ENSINO MÉDIO
ASSUNTO : DETERMINANTES E SISTEMAS LINEARES
=========================================================================
1) Calcule o valor de cada determinante especificado a seguir:
a) Determinante da matriz A = (aij)2X2, em que aij = -i2- j.
b) Determinante da matriz B = (bij)2X2, em que bij = ( i – j)2.
c) Determinante da matriz C = (cij)2X2, em que cij = i – j , se i for par e cij = i + j, se i for ímpar.
d) Determinante da matriz I2 (identidade de ordem 2).
3 4
.
e) Determinante da matriz D = 5
3
2) Se m = 2 4
3 0
e n=
, calcule o valor da expressão m2 – n2.
1 5
4 4
3) Se p = 2
4) Se a = 1
4
3 4
e q=
, calcule x tal que p = q.
3 3
1
2
,b=
0
1
8 4
3
5) Se p = e q=
4 4
5
4
2 7
ec=
, resolva a equação ax2 + bx + c = 0.
5
1 5
, calcule log q p.
1
6) Use a Regra de Cramer para resolver cada sistema a seguir:
3 – 5 a) 2 5 9
b) – 4 3 2 2 4
5 2 7 c) 5 17
3 – 7 d) 5 6
7) Use a Regra de Cramer para resolver cada problema a seguir:
a) Num quintal há porcos e patos, num total de 56 animais e 156 pés. Quantos são os patos e quantos
são os porcos?
b) Num estacionamento há 48 veículos (somente motos e carros) num total de 118 rodas. Quantos
veículos de cada tipo há no estacionamento?
c) Um caixa eletrônico só trabalha com notas de 10 e de 25 reais. Se alguém saca 260 reais e leva 11
notas, quantas notas de cada espécie ele leva?
d) Um grupo de amigos foi comemorar o aniversário de um deles em um bar. Entre salgados e sucos,
foram consumidos 96 itens e a conta ficou por R4 176,00. Se cada suco custa R$ 1,50 e cada salgado
custa R$ 2,00, quantos sucos e quantos salgados foram consumidos?
8) Calcule o valor de cada determinante especificado a seguir:
a) Determinante da matriz A = (aij)3X3, em que aij = -2i2+ j.
b) Determinante da matriz B = (bij)3X3, em que bij = - ( i + j)2.
c) Determinante da matriz C = (cij)3X3, em que cij = 2i – j , se i for par e cij = i +2 j, se i for ímpar.
d) Determinante da matriz I3 (identidade de ordem 3).
2 1 2
e) Determinante da matriz 0 5 1.
4 4 1
3
9) Se m = 1
1
3 2
5 1
0 1. e n = 4 5
4 1
0 4
10) Se p = 0
0
4 4
1 0
11) Se a = 0 5
4 4
12) Use a Regra de
6
2
. e q = 0
4
4
2
2
1., calcule o valor da expressão m + n .
1
1 2
5 1. , calcule x tal que p = q.
2 4
0
1 1 0
1 1 2
2
1 , b = 0 1 1 e c = 0 5 1 , resolva a equação ax + bx + c = 0.
1
4 1 2
5 2 9
Cramer para resolver cada problema a seguir:
a) Num cofre há apenas moedas de 10, 25 e 50 centavos totalizando 16 moedas e R$ 4,45. Se o
número de moedas de 50 centavos é o dobro do número de moedas de 25 centavos, quantas moedas de
cada espécie há no cofre?
b) Num estacionamento, há 22 veículos, contando apenas com motos, triciclos e carros. Contando-se o
número de rodas, encontra-se 69. Sabe-se ainda que o número de rodas de carros é o triplo do número
de rodas de motos. Quantos veículos de cada tipo há no estacionamento?
13) No plano cartesiano, três pontos A(xA , yA), B(xB , yB) e C(xC , yC) estarão alinhados, ou seja,
serão de uma mesma reta, se, e somente se
1
1 = 0
1
a) Verifique se os pontos A(1, -3), B(5, 1) e C(0, -4) estão alinhados.
b) Determine a coordenada k de modo que os pontos P(k, 3), Q(1, 5) e C(0, 1) pertençam a uma
mesma reta.
c) Determine o real m de modo que os pontos R(m, 5), S(-1, -2m) e T(0, -1) sejam vértices de um
triângulo.
14) Se #
&
a) #
&
2!
2$
2'
!
$
'
"
%
(
"
% = 2, determine o valor de cada determinante a seguir:
(
"
b) %
(
!
$
'
#
&
3&
c) #
3'
$
!
3(
%
"
d) !
"
#
$
%
&
' (
2!
e) $
3'
2"
%
3(
2
# 3&
!
$
'
15) Sabendo que m = #
&
11
=
.
"
% , d = 2a , e = 2b e f = 2c, determine os valores de x tais que m =
(
16) Calcule o valor de cada determinante a seguir:
1 1
a) 2 3
4 9
1
5
25
8 −1 − 2 0
5
1
7
1 4
2
2 5
3
1 3 2
3 1 −2
17) Sabendo-se que det A significa “determinante
0
0
2
da matriz A”, At significa “transposta da matriz
2 1
.
A”e A-1 significa “inversa da matriz A” , calcule o valor da expressão E a seguir, sendo A = 1 2
E=
b) 10 2 14
*+,- ./ 0*+,- 01+,- 2
+,- 1
4
18) Se A = 2
c)
.
1
, calcule o valor da expressão det(At) + 2. det(A-1) – det A.
3
19) Usando o escalonamento resolva cada sistema a seguir :
2 x + 4 y = −2
a) 
3 x − 2 y = 5
 − 5 x + 3 y = −4
b) 
7 x − 5 y = 4
7 x − y = 30
c) 
2 x − 5 y = 18
x
 + 3y = 2
d)  2
5 x − y = −11
x + y + z = 1
2 x + y − 3 z = 8
3x − y + 3z = −8
5 x + 2 y + z = 8




f)  x − 3 y + z = 3
g) 2 x − 3 y + z = −9 h) − x + y + 2 z = 7
e) 2 x − y + z = 5
5 x − 2 y + 3 z = 12
5 x − y + 2 z = 26
7 x + y − 3z = −2
3x − 2 y + 3z = 0




mx + 3 y = 12
20) Qual é o valor de m para que o sistema 
tenha solução única ?
4 x − y = 10
21) Classificar e resolver cada sistema a seguir:
a)
 x + 2y = 5

3 x + 5 y = 13
b)
2x + y + 3z = 9

3x − 2y + 4z = 10
 x − 3y + z = 1

c)
 x + 2y + 3z = 2

2x + 4y + 5z = 3
2x + 4y + 6z = 4

3 x − 2 y = 6
d) 
− 6 x + 4 y = −12
22) Discuta cada sistema a seguir, em função dos parâmetros a e b:
 x + 2 y = 5b
a) 
3ax + 5 y = 13
 ax − 5 y = 5
b) 
2 x + 3by = 13
 x + ay + z = 2

c) 3x + 2 y − z = 3
x − 3 y + 4z = b − 2

23) Determine os valores de m e n para os quais o sistema abaixo é impossível.
24) Quais são as relações entre os parâmetros m, n e p que tornam o sistema abaixo
a) possível determinado?
b) possível indeterminado?
c) impossível?
 x + my + 2 z = 2

5 x + 4 y + 5 z = p
3x + 5 y + nz = 4

25) Usando a Regra de Cramer ou o Escalonamento, resolva cada Problema a seguir:
a) Um consumidor dispõe de certa importância para fazer compras. Se comprar 1 blusa, 1 tênis e 1
calça, faltarão R$ 30,00. Se comprar 1 tênis e 1 calça, sobrarão R$ 10,00 e se comprar 1 blusa e 1
calça, sobrarão R$ 20,00. Com base nessas informações, determine o preço da blusa, em reais
b) Uma herança de R$ 165.000,00 deve ser dividida entre três herdeiros: Álvaro, Beatriz e Carmem. O
valor que caberá a Beatriz corresponde à metade da soma do que receberão Álvaro e Carmem. Além
disso, a diferença entre o que receberá Carmem e o que receberá Álvaro é de R$ 20.000,00. Quanto
receberá Carmem?
c) Em três tipos de temperos verificou-se que , para cada tablete de 10 gramas ,
a) O tempero I tem 2 gramas de sal , 2 gramas de pimenta e 8 gramas de essência de carne.
b) O tempero II tem 2 gramas de sal , 1 grama de pimenta e 5 gramas de essência de carne.
c) O tempero III tem 3 gramas de sal , não contém pimenta e tem 3 gramas de essência de carne.
Ache todas as possíveis quantidades dos temperos I , II e III que contenham , simultaneamente ,
11 gramas de sal , 3 gramas de pimenta e 20 gramas de essência de carne. .
QUESTÕES DE VESTIBULARES :
4$5 = = 4$5 1
6
1) (CEFET– MG) – Sendo = "34 64$5 k∈Z, o valor de α é
π
π
0
, então, para todo x ≠ 8. ,
7
2"34 a) tg 2 x
b) sec 2 x
c) cos 2 x
d) sen 2 x
e) 2.sen x
: 5 7 6 3
e o sistema linear . Se det A =
6 2
6 – 10 14
= m + 1 e o sistema possui infinitas soluções, então o valor de α é
2) (CEFET– MG) – Considere a matriz A = a) 10
b) 11
c) 12
1
3) (CEFET– MG) – O(s) valor(es) de x para que a) -1
d) 13
2
0 1 = -8 é (são)
2 3
e) 14
b) 1
c) 3
d) -1 e 1
e) -1 e 3
– 3< 2
4) (CEFET– MG) – Para que o sistema ; 2 – 4< 5 tenha infinitas soluções, o valor de
: 5< 0
m + n é igual a
a) –2
b) 0
c) 2
d) 4
e) 8
5) (CEFET– MG) – Sendo x, y ∈ [0 ,
a) x + y = 0
0
=
e "34 4$5 π
1
4$5 "34 1
0 = 0, a relação entre x e y é
1
π
b) x + y =
c) x – y =
π
d) 2x – y = π
e) 2x + y = π
6) (CEFET– MG) – Sendo A = (aij), uma matriz quadrada de ordem 3 onde aij = i2 – 2ij + j2, então, o
determinante de A é
a) 8
b) 9
c) 10
d) 11
e) 12
21 – 3 4$ ( > ?
7) (CEFET– MG) – Seja A = (aij), a matriz quadrada de ordem 3 onde aij = ; ( – ? 4$ ( ? . O
( ? 4$ ( @ ?
valor do determinante de A é igual a
a) -57
b) -19
c) 0
d) 19
e) 57
1
8) (UF – PI) – Sejam M e N matrizes quadradas tais que M.N = 0
4
det M < 0, o valor do det N é igual a
a) -2
b) -1
c) 0
d) 1
e) 2
4
0
1
0 e M = -N.. Se
12 1
9) (UE – CE) – Se o determinante da matriz A = A
1
1
B = 1 : 1
1
1
D
a)
7
b)
2
2 é
: 2
3
√ :
√:
C é
√2
√ ,
então o determinante da matriz
D
c)
E
d)
E
7
10) (UFV – MG) – Seja A uma matriz inversível de ordem 2. Se det(2A) = det (A2), então o valor de
det A é
a) 3
b) 4
c) 2
d) 0
e) 1
11) (U.F.MG) – Determine todos os valores de a e b de modo que o sistema linear a seguir tenha
a) solução única ;
b) infinitas soluções ;
c) nenhuma solução .
 x + y + az = 2

3x + 4 y + 2 z = b
2 x + 3 y − z = 1

12) (U.F.MG) - Determine todos os valores de x , y e z que satisfazem o sistema
 x y z
3 .3 .3 = 1
 x
 2
 y z =4
 2 .2
 −x y z 1
4 .16 .4 =

4
 x + 2 y − 3z = 1

. 13) (U.F.MG) – Ache os valores de m para os quais o sistema 3 x − 4 y + 3z = 2m tenha soluções.
6 x + 2 y − 6 z = m 2

14) (U.F.MG) - Em três tipos de alimentos verificou-se que , para cada grama ,
a) O alimento I tem 2 unidades de vitamina A , 2 unidades de vitamina B e 8 unidades de vitamina C .
b) O alimento II tem 2 unidades de vitamina A , 1 unidade de vitamina B e 5 unidades de vitamina C .
c) O alimento III tem 3 unidades de vitamina A , não contém vitamina B e tem 3 unidades de
vitamina C .
Ache todas as possíveis quantidades dos alimentos I , II e III que forneçam , simultaneamente ,
11 unidades de vitamina A , 3 de vitamina B e 20 de vitamina C .
2 x + 3 y + z = 1

15) (U.F.BA) – No sistema 3 x − 3 y + z = 8 , determine o valor de z – xy .

2x + z = 0

mx + 3 y = 12
16) (U.F.PA) – Qual é o valor de m para que o sistema 
tenha solução única ?
4 x − y = 10
ax − 2 y = 1
17) (PUC-SP) – Determine a relação entre a e b para que o sistema 
tenha solução
bx + 4 y = 5
determinada .
3 x − 2 y = a
indetermi –
18) (CESCEM) – Determine os valores de a e b que tornam o sistema 
− 6 x + 4 y = b
nado .
ax − 2 y = 1
19) (PUC-RS) – Determine a relação entre a e b de modo que o sistema 
seja indebx
−
4
y
=
2

terminado .
x − z = 1

20) (PUC-SP) – Determine os valores de k de modo que o sistema kx + y + 3 z = 0 tenha solução
 x + ky + 3z = 1

única .
x + 2 y + z = 0

21) (U.F.PE) – Determine todos os valores de λ de modo que o sistema 2 x + y + λz = 0 tenha
3x + 3 y + λz = 0

solução única.
22) (PUC-SP) – Verifique quantas soluções tem o sistema abaixo .
 4x + y − z = 0

− x − y + z = 1
 2x − y + z = 2

2 x + 3 y = 1
23) (U.F.BA) - Discutir o sistema 
em função do parâmetro a .
4 x + ay = 5
x + y + z = 1

24) (CESCEA) – Discutir o sistema 2 x + 2 y + 2 z = 2 em função do parâmetro m .
3x + 3 y + mz = 3

x + y + z = k

25) (F.G.V. –SP) – Discutir o sistema  x − y − z = k em função do parâmetro k .
x + y − z = k

x + y = 2

26) (MACK –SP) – Discutir o sistema mx + y = 1 em função do parâmetro m .
x − y = m

4 x + 3 y = 5

tem solução ?
27) (PUC – SP) – Para que valores de b o sistema  x + y = 0
 x + by = b

28) (ITA – SP) - Qual deve ser a relação que a , b e c devem satisfazer para que o sistema abaixo
tenha pelo menos uma solução ?
 x + 2 y − 3z = a

2 x + 6 y − 11z = b
x + 2 y + 7 z = c

ax + y − z = 0

29) (CESGRANRIO) – Se o sistema  x − ay + z = 1 tem uma infinidade de soluções , determine
x + y = b

a e b.
x + 2 y + z = 1

30) (U.F.CE) – Se o sistema 2 x + y + 2 z = 1 não admite solução , calcule o valor de log 2m 32 .
 x + y + mz = 1

31) (CESGRANRIO) - Que condição deve satisfazer os parâmetros α e β para que o sistema
2 x + z = 1

αx + 3 y + 4αz = 4 não tenha solução ?
3x + αz = β
