Olá, meus amigos!!!!
Hoje, depois desta árdua caminhada que fizemos juntos, aqui, no Ponto dos
Concursos, através do nosso curso de exercícios de raciocínio lógico, venho para
comentar a prova da GCU para o cargo de analista. Com base no que vimos
durante as aulas e levando em consideração as provas anteriores realizadas pela
ESAF, posso afirmar que este certame, no que tange a esta matéria, não fugiu do
padrão. Em relação às questões, seguem alguns comentários:
Questão 01 – Envolveu o assunto lógica da argumentação; foram apresentadas 4
premissas, todas compostas, interligadas pelo conectivo “se...então” e o
examinador pede ao candidato que formule uma conclusão baseado em tais
premissas. Nossa aula 03 cobriu este assunto!!!!
Questão 02 - Envolveu o assunto álgebra das proposições; foi apresentada uma
proposição e a banca exigia do candidato o conhecimento do conceito de negação
de proposições . Nossa aula 01 cobriu este assunto!!!!
Questão 03 – Tratava-se de trigonometria. Objeto de nossa aula 12, o candidato
deveria saber os valores dos senos e cossenos dos chamados ângulos notáveis e,
além disso, fórmula do cos (a – b). De fato, foi apresentado, no resumo da aula, os
valores dos senos e cossenos destes ângulos e tal fórmula encontrava-se no
último exercício resolvido de nosso material!!!
Questão 04 – Questão que abrangia o conceito de matriz deverá ser anulada em
virtude de um provável erro de digitação por parte da banca. Desconsiderando, tal
erro, podemos fazer uma analogia dessa questão ao problema que caiu na prova
AFC/STN 2005: “Considere duas matrizes quadradas de terceira ordem, A e B. A
primeira, a segunda e a terceira colunas da matriz B são iguais, respectivamente,
1
à terceira, à segunda e à primeira colunas da matriz A. Sabendo-se que o
determinante de A é igual a x3, então o produto entre os determinantes das
matrizes A e B é igual a:”, questão número 03 do nosso material, exercícios
resolvidos, aula 08.
Questão 05 – Questão de probabilidade idêntica ao problema da prova AFC/STN
2002: “Em uma sala de aula estão 10 crianças sendo 6 meninas e 4 meninos. Três
das crianças são sorteadas para participarem de um jogo. A probabilidade de as
três crianças sorteadas serem do mesmo sexo é”. Esta questão foi objeto do
nosso material – questão nº 1, exercícios resolvidos, aula 07.
Questão 06 - Envolveu o assunto de geometria. Nesta questão, a banca exigia o
conhecimento da propriedade de quadriláteros circunscritíveis; Objeto de nossa
aula nº11, mostro a vocês como se deduz esta propriedade com os
conhecimentos obtidos pela nossa aula.
PROVA AFC – CGU 2008 COMENTADA
1- Três meninos, Pedro, Iago e Arnaldo, estão fazendo um curso de informática. A
professora sabe que os meninos que estudam são aprovados e os que não
estudam não são aprovados. Sabendo-se que: se Pedro estuda, então Iago
estuda; se Pedro não estuda, então Iago ou Arnaldo estudam; se Arnaldo não
estuda, então Iago não estuda; se Arnaldo estuda então Pedro estuda. Com essas
informações pode-se, com certeza, afirmar que:
a) Pedro, Iago e Arnaldo são aprovados.
b) Pedro, Iago e Arnaldo não são aprovados.
c) Pedro é aprovado, mas Iago e Arnaldo são reprovados.
d) Pedro e Iago são reprovados, mas Arnaldo é aprovado.
e) Pedro e Arnaldo são aprovados, mas Iago é reprovado.
Premissas:
i.
se Pedro estuda, então Iago estuda. (V)
2
ii.
se Pedro não estuda, então Iago ou Arnaldo estudam. (V)
iii.
se Arnaldo não estuda, então Iago não estuda. (V)
iv.
se Arnaldo estuda então Pedro estuda. (V)
Para visualizarmos melhor a resolução, vamos reescrever a premissa ii:
ii.
se Pedro não estuda, então Iago estuda ou Arnaldo estuda. (V)
Não temos premissas formadas por proposições simples, nem premissas
formadas por proposições compostas interligadas somente pelo “e”. Sendo assim,
procuraremos uma premissa que contenha o menor número de proposições.
Ficaremos com a premissa i:
se Pedro estuda
, então
?
Iago estuda
?
(V)
Como escolhemos a premissa i, agora, devemos optar por uma das proposições
desta premissa e a ela atribuir um valor lógico: Vamos optar pela proposição
“Pedro estuda” e atribuir a esta proposição o valor lógico “V”.
se Pedro estuda
(V)
, então
Iago estuda
?
3
(V)
Pela tabela do “se...então”:
se Pedro estuda
, então
(V)
Iago estuda
(V)
(V)
Logo, Iago estuda!!!!
Vamos analisar, agora, a premissa iii, pois nela temos alguma informação sobre
Iago:
se Arnaldo não estuda,
então
?
Iago não estuda
(F)
(V)
Assim, pela tabela do “se...então”:
se Arnaldo não estuda,
então
(F)
Iago não estuda
(F)
(V)
Logo, Arnaldo estuda!!!!
4
Vamos à premissa iv:
se Arnaldo estuda
então
Pedro estuda
(V)
(V)
(V)
Não ocorreu nenhuma inconsistência!!!Assim, vamos à análise da premissa ii:
se Pedro não estuda,
então
Iago estuda
ou
Arnaldo estuda
(V)
(V)
(V)
(V)
(V)
Não ocorreu nenhuma inconsistência. Diante disto concluímos que:
•
Pedro estuda
•
Iago estuda
5
•
Arnaldo estuda
Assim, pelo enunciado, todos são aprovados!!!!
Portanto, a alternativa correta é a letra a.
2 - Maria foi informada por João que Ana é prima de Beatriz e Carina é prima de
Denise. Como Maria sabe que João sempre mente, Maria tem certeza que a
afirmação é falsa. Desse modo, e do ponto de vista lógico, Maria pode concluir
que é verdade que:
a) Ana é prima de Beatriz ou Carina não é prima de Denise.
b) Ana não é prima de Beatriz e Carina não é prima de Denise.
c) Ana não é prima de Beatriz ou Carina não é prima de Denise.
d) se Ana não é prima de Beatriz, então Carina é prima de Denise.
e) se Ana não é prima de Beatriz, então Carina não é prima de Denise.
Pelo enunciado, a declaração “Ana é prima de Beatriz e Carina é prima de
Denise” é falsa. Temos duas maneiras de fazer esta questão:
O primeiro modo, mais simples, é pela análise lógica da proposição,
Quando dizemos que uma proposição “p e q” é logicamente falsa, estamos
afirmando que pelo menos um não ocorreu, ou seja “não p ou não q”. Assim, a
negação de “Ana é prima de Beatriz e Carina é prima de Denise” é: “Ana não é
prima de Beatriz ou Carina não é prima de Denise”. Portanto, a alternativa correta
é a letra c
O segundo modo, por meio das conhecidas tabelas:
Partindo do princípio que:
Ana é prima de Beatriz – proposição p
Carina é prima de Denise – proposição q
6
Tabela-verdade
p
q
p∧q
V
V
V
V
F
F
F
V
F
F
F
F
Como queremos a negação, devemos achar uma proposição, dentre as
alternativas dadas, que tenha os valores lógicos contrários aos da proposição
inicial. Assim:
Alternativa A:
Ana é prima de Beatriz ou Carina não é prima de Denise.
Ana é prima de Beatriz – proposição p
Carina não é prima de Denise – proposição ~q
Tabela-verdade
p
q
~q
p ∨ ~q
V
V
F
V
V
F
V
F
V
F
F
F
V
Note que a alternativa a está fora, pois na ª linha o resultado é igual!!!!
Alternativa B:
Ana não é prima de Beatriz e Carina não é prima de Denise
Ana não é prima de Beatriz – proposição ~p
Carina não é prima de Denise – proposição ~q
Tabela-verdade
7
p
q
~p
~q
~p ∧ ~q
V
V
F
F
F
V
F
F
V
F
F
V
V
F
F
F
V
V
Note que a alternativa a está fora, pois na 2ª linha o resultado é igual!!!!
Alternativa C
Ana não é prima de Beatriz ou Carina não é prima de Denise.
Ana não é prima de Beatriz e Carina não é prima de Denise
Ana não é prima de Beatriz – proposição ~p
Carina não é prima de Denise – proposição ~q
Tabela-verdade
p
q
~p
~q
~p ∨ ~q
V
V
F
F
F
V
F
F
V
V
F
V
V
F
V
F
F
V
V
V
Todos os resultados diferentes, portanto, esta é a alternativa correta!!!!
3 - Sabendo que x = arc cos
2
1
e que y = arc sen , então o valor da expressão
2
2
cos(x - y) é igual a:
a)
6+ 2
4
b)
6− 2
4
8
c)
2
2
d)
3+
e)
2
2
2
Como x é o ângulo cujo cosseno é
Como y é o ângulo cujo seno é
2
, podemos concluir que x = 45º!!!!
2
1
, podemos concluir que y = 30º!!!!
2
Sabe-se, ainda, que: cos (a - b) = cos a.cos b + sen a.sen b, teremos que:
cos(45º - 30º) = cos 45º.cos 30º + sen 45º.sen 30º =
2 3
2 1
6
2
.
+
. =
+
=
2 2
2 2
4
4
6+ 2
4
Portanto, a alternativa correta é a letra a
4 - Qualquer elemento de uma matriz X pode ser representado por xij, onde i
representa a linha e j a coluna em que esse elemento se localiza. A partir de uma
matriz A (aij), de terceira ordem, constrói-se a matriz B(bij), também de terceira
ordem, dada por:
b11 = a31
b21 = a 21
b31 = a11
b12 = a32
b22 = a 22
b32 = a12
b13 = a33
b23 = a 23
b23 = a13
Sabendo-se que o determinante da matriz A é igual a 100, então o determinante
da matriz B é igual a:
a) 50
b) -50
c) 0
d) -100
9
e) 100
Questão que deverá ser anulada em virtude de um erro de digitação da
banca!!! Repare que o enunciado dá dois valores ao elemento b23!!! Com certeza,
o “b23” = a13, deveria ser o b33!!! Portanto, apresentarei, aqui, a resolução
considerando como b33
Repare que a matriz B é resultante da matriz A, porém com uma troca de
filas – o examinador troca a 1ª linha pela 3ª linha. Para este acontecimento, temos
a seguinte propriedade para cálculo dos determinantes:
•
Seja A uma matriz de ordem n ≥ 2. Se trocarmos de posição filas paralelas
(linhas ou colunas), obteremos uma nova matriz B tal que det B= (-1)n. det
A, onde n é o número de trocas feitas.
Assim, como foi feita uma troca: det B= (-1)1. det A = -1.100= -100. Assim, se a
questão estivesse digitada corretamente, a alternativa correta seria a letra d.
5 - Uma empresa de consultoria no ramo de engenharia de transportes contratou
10 profissionais especializados, a saber: 4 engenheiras e 6 engenheiros.
Sorteando-se, ao acaso, três desses profissionais para constituírem um grupo de
trabalho, a probabilidade de os três profissionais sorteados serem do mesmo sexo
é igual a:
a) 0,10
b) 0,12
c) 0,15
d) 0,20
e) 0,24
Teremos que calcular duas probabilidades
•
De serem sorteados 3 engenheiras; ou
•
De serem sorteadas 3 engenheiros
10
Primeira situação: Probabilidade de 3 engenheiras serem sorteados – P(Ea1) e P(Ea2) e P
(Ea 3)
Temos 10 profissionais, onde 4 são engenheiras, então a probabilidade do primeiro
profissional ser engenheira é:
P(Ea1) =
favoráveis
4
2
=
=
10 5
possíveis
Agora, cuidado!!! Já foi sorteado uma engenheira, portanto temos um total de 9
profissionais e deste total, 3 engenheiras. Sendo assim, a: probabilidade da segunda
engenheira será:
P(Ea2) =
3 1
=
9 3
Da mesma forma, como já foram sorteados 2 engenheiras, temos, agora, 8 profissionais e
destes profissionais, 2 engenheiras. Então, a probabilidade do último profissional ser do
sexo feminino é:
P(Ea3) =
2
1
=
8
4
Pelo princípio da multiplicação:
P(Ea1) e P(Ea2) e P(Ea3) =
2 1 1
2
1
. . =
=
5 3 4
60 30
Segunda situação: Probabilidade de 3 engenheiros serem sorteadas – P(Eo1) e P(Eo2) e
P(Eo3). Repare que o processo do cálculo das probabilidades é o mesmo!!!!
Temos 10 profissionais, onde 6 são engenheiros, então a probabilidade do primeiro
profissional ser engenheiro é:
P(Eo1) =
favoráveis
6
3
=
=
possíveis
10 5
11
Agora, cuidado!!! Já foi sorteado uma engenheiro, portanto temos um total de 9
profissionais e deste total, 5 engenheiros. Sendo assim, a: probabilidade do segundo
engenheiro será:
P(Eo2) =
5
9
Da mesma forma, como já foram sorteados 2 engenheiros, temos, agora, 8 profissionais e
destes profissionais, 4 engenheiros. Então, a probabilidade do último profissional ser do
sexo masculino é:
P(Eo3) =
4
1
=
8
2
Pelo princípio da multiplicação:
P(Eo1) e P(Eo2) e P(Eo3) =
3 5 1 15 1
. . =
=
5 9 2
90 6
O que o examinador quer é a probabilidade de ocorrer a primeira situação ou a segunda
situação, ou seja: [P(Ea1) e P(Ea2) e P(Ea3)] ou [P(Eo1) e P(Eo2) e P(Eo3)]. Pelo princípio
da adição:
[P(Ea1) e P(Ea2) e P(Ea3)] ou [P(Eo1) e P(Eo2) e P(Eo3)]=
1 1
6 1
+ =
= =0,20=20%
30 6 30 5
Logo, a alternativa correta é a letra b.
6 - Um quadrilátero convexo circunscrito a uma circunferência possui os lados a,
b, c e d, medindo (4 x - 9), (3 x + 3), 3 x e 2 x, respectivamente. Sabendo-se que
os lados a e b são lados opostos, então o perímetro do quadrilátero é igual a:
a) 25
b) 30
c) 35
12
d) 40
e) 50
Partamos da seguinte propriedade: Se de um ponto P qualquer forem
traçados dois segmentos tangentes a uma circunferência, então as medidas dos
segmentos determinados pelo ponto P e os respectivos pontos de tangência serão
iguais. Assim, teremos:
Assim, pela propriedade acima e com base na figura teremos:
•
FA = AI = w
•
ID = DH = p
•
HC = CG = m
•
GB = BF = z
Podemos deduzir que: AB + DC = AD + BC. Assim, com base nos dados do
enunciado, teremos:
(4 x - 9) + (3 x + 3) = 3 x + 2 x
7x – 6 = 5x
2x = 6
x=3
Assim, teremos:
a = (4 x - 9) = 4.3 – 9 = 3
13
b = (3 x + 3) = 3.3 + 3 = 12
c = 3x = 3.3 = 9
d = 2x = 2.3 = 6
Com isso o perímetro do quadrilátero será: a + b + c + d = 3 +12 + 9 + 6 = 30
Portanto, a alternativa correta é a letra b.
Por hoje é só!!!! Semana que vem estarei postando a resolução da prova de
raciocínio lógico para o cargo de Técnico da CGU.
Um abraço
Leandro
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