Centro de Ensino Superior do Amapá-CEAP
Curso: Arquitetura e Urbanismo
Disciplina: Sistemas Estruturais
Disciplina: Sistemas Estruturais
Assunto: Estruturas Isostáticas
Prof. Ederaldo Azevedo
Aula 5
e-mail: [email protected]
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Disciplina: Sistemas Estruturais
5. Estruturas Isostáticas
5.1 Conceito de Estruturas Isostáticas
 Os vínculos restringem os graus de liberdade de
movimento da estrutura, provocando forças reativas
conhecidas como reações de apoio.
 Nas estruturas isostáticas as reações de apoio só
aparecem quando existem forças ativas (cargas
aplicadas).
 As cargas aplicadas são dadas ou facilmente
determináveis e as reações de apoio são as forças
procuradas ou as incógnitas.
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5. Estruturas Isostáticas
5.1 Conceito de Estruturas Isostáticas
 Nas estruturas isostáticas, o número de vínculos é o
essencialmente para impedir a mobilidade da estrutura, e
as reações de apoio, que surgem em função das cargas
aplicadas, são em número igual aos movimentos
restringidos.
 As reações de apoio são, portanto, forças com ponto de
aplicação e direção conhecidos.
 O conjunto, cargas aplicadas mais reações de apoio,
forma um sistema de forças em equilíbrio.
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5. Estruturas Isostáticas
5.2 Esquemas, representações e simplificações de
cálculo.
 As estruturas não são analisadas como elas ficarão
depois de serem concebidas, assim, a fim de estabelecer
um esquema de cálculo, ou modelo matemático,
algumas simplificações tornam-se necessárias, e estão
em geral associadas:
•à geometria: representação da estrutura por barra,
que representa o meio de seu eixo do elemento;
•ao sistema de forças: forças e momentos
concentrados e distribuídos;
•à análise numérica a ser efetuada: planas e
espaciais;
•à representação dos apoios.
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5. Estruturas Isostáticas
5.3 Unidades de Força e Momento.
 unidade de força e
 unidade de comprimento
Ex.:
tf/m;
kN/m;
N/cm;
e outros.
10 KN/m
unidades de força distribuída
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5. Estruturas Isostáticas
5.3 Unidades de Força e Momento.
unidade de momento
unidade de comprimento
tfm/m;
kNm/m;
Ncm/cm;
e outros.
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5. Estruturas Isostáticas
5.4 Resultantes dos carregamentos
 De acordo com a disposição dos esforços as forças
distribuídas podem ser representadas através de figuras
geométricas como: retângulos, triângulos, trapézio e
outros.
 A resultante de uma carga(força) distribuída ao longo
de um comprimento L, é determinado pela área delimitada
do intervalo(representado pela figura) sendo o ponto de
aplicação da resultante R coincidente com o centro de
gravidade do diagrama(figura abaixo).
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5.4 Resultantes dos carregamentos
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5. Estruturas Isostáticas
5.5 Vigas Isostática
 Cálculo das Reações
 Nas estruturas isostáticas constituídas por uma única
chapa, o número de equações de equilíbrio
disponíveis é igual ao número de incógnitas,
possibilitando o cálculo das reações de forma muito
simples.
VIGAS ISOS: Nº DE EQUAÇÕES = Nº DE INCÓGNITAS
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5. Estruturas Isostáticas
5.5 Vigas Isostática
 Cálculo das Reações
 Assim, supondo a estrutura no plano xy(planas), as
condições de equilíbrio é dado pelas equações:
∑(Fx=0)
∑(Fy=0)
∑(M=0)
 Onde Fx e Fy são as componentes das forças aplicadas
em relação aos eixos x e y, respectivamente e;
 M o módulo do momento das forças em relação a um
ponto qualquer do plano.
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5. Estruturas Isostáticas
5.5 Vigas Isostática
 Cálculo das Reações
 Poderão ser usadas, nos problemas práticos, também
como condições de equilíbrio, três equações de
momentos, desde que relativas a pontos não
pertencente à mesma reta(pontos não colineares):
Equações de
Momentos :
∑Ma=0
∑Mb=0
 Onde a, b e c são não colineares.
∑Mc=0
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5. Estruturas Isostáticas
5.5 Vigas Isostática
 Cálculo das Reações de Apoio:
 Exemplo de Aplicação:
 As Incógnitas (reações de apoio) são determinadas pelas
equações de equilíbrio e como são três equações,
normalmente são suficientes.
 A técnica para cálculo de reações consiste em “isolar”, a
estrutura da terra, mediante a retirada dos apoios,
aplicando-se na direção dos movimentos restringidos os
esforços incógnitos(encontrar o valor) correspondentes.
 O método para determinação das reações de apoio
adotado segue um roteiro de 04 passos:
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5.5 Vigas Isostática
 Cálculo das Reações de Apoio: Passo a Passo
 Exemplo de Aplicação:
 1º identificar e destacar dos sistemas os elementos
estruturais que serão analisados. Desenhar o modelo
estrutural (ME);
 2º traçar o diagrama de corpo livre (DCL) do elemento a
ser analisado; .
 O DCL consiste em isolar a estrutura da terra, mediante a
retirada dos apoios, aplicando-se na direção dos
movimentos restringidos os esforços incógnitos
correspondentes.
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5.5 Vigas Isostática
 Cálculo das Reações de Apoio: Passo a Passo
 Exemplo de Aplicação:
 3º determinar um sistema de referência (SR) para a
análise(xy);
 4º estabelecer as equações de equilíbrio da estática (EE);
∑Fx=0
∑Fy=0
∑M=0
.
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5.5 Vigas Isostática
 Cálculo das Reações de Apoio:
 Exemplo1: Viga isostática com carga distribuída simétrica.
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5.5 Vigas Isostática
 Cálculo das Reações de Apoio:
 Exemplo1: Viga isostática com carga distribuída simétrica.
 Equações de Equilíbrio (EE):

∑Fx=0
∑Fy=0
∑M=0

∑Fx=0
RH=0

∑Fy=0
RV1 + RV2 – q.L = 0

∑M=0 ;
 Para se fazer um somatório de momentos, é necessário
escolher um ponto fixo, que deverá estar localizado
dentro do sistema de referência adotado.
 Para maior facilidade é necessário conveniente que esse
ponto coincida com um ponto localizado sobre o
modelo estrutural onde houver maior número de
incógnitas.
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5.5 Vigas Isostática
 Cálculo das Reações de Apoio:
 Exemplo1: Viga isostática com carga distribuída simétrica.
 No exemplo em análise o ponto a ser escolhido é o ponto
A. A escolha do ponto para determinação dos momentos
é um passo muito importante, pois dependendo do ponto
escolhido, a resolução do problema pode ser simplificada
ou muito complicada.
 Assim,
∑Ma=0
(RH1.0) + (RV1.0) – (RV2.L) + (q.L.L/2)=0
q.L²/2- RV2.L=0 (multiplicando 1/L)
q.L/2 – RV2=0
RV2= qL/2
 Substituindo RV2 na equação
∑Fy=0
∑Fy=0
RV1 + qL/2 – qL =0
RV1 = qL/2
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




Cálculo das Reações de Apoio:
Exemplo1: Viga isostática com carga distribuída simétrica.
Respostas:
RV1=qL/2; RV2=qL/2; RH=0
Exemplo 2: Viga isostática com carga concentrada no
centro da viga.
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 Cálculo das Reações de Apoio:
 Exemplo 2: Viga isostática com carga concentrada no
centro da viga.
 Equações de Equilíbrio (EE):

∑Fx=0
∑Fy=0
∑M=0
∑Fx=0
RH=0
∑Fy=0
RV1 + RV2 – P = 0
RV1 = P – RV2
∑Ma=0
(RH1 . 0) + (RV1.0) – (RV2.L) + (P.L/2) = 0
P.L/2 – RV2.L=0
Multiplicando 1/L para simplificar temos RV2=P/2
Substituindo RV2 na equação
∑Fy=0
 ∑Fy=0
RV1=P – RV2
RV1=P/2
 Respostas:
 RV1= P/2; RV2= P/2; RH=0
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 Cálculo das Reações de Apoio:
 Exemplo3: Viga isostática com carga distribuída e uma
concentrada no centro da viga.
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 Cálculo das Reações de Apoio:
 Exemplo3: Viga isostática com carga distribuída e uma
concentrada no centro da viga.
 Equações de Equilíbrio (EE)
∑Fx=0
∑Fx=0
∑Fy=0
∑Fy=0
∑M=0
RH=0
RV1 + RV2 – q.L - P = 0
RV1 + RV2= P + qL
∑Ma=0
(RH1 . 0) + (RV1.0) – (RV2.L) + (q.L.L/2) + (P.L/2) = 0
P.L/2 + q.L²/2 – RV2.L =0 multiplicando 1/L para simplificar
P/2 + q.L/2 – RV2 =0
RV2 = P/2 + qL/2
Substituindo RV2 na equação
∑Fy=0
∑Fy=0
RV1 + RV2 = P + qL
RV1=P/2 + qL/2
Respostas:
RV1= P/2 + ql/2;
RV2= P/2+ qL/2; e RH=0
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 Cálculo das Reações de Apoio:
 Análise dos resultados obtidos nos três exemplos
anteriores:
1.A reação de apoio horizontal em todos os casos é igual a zero,
porque não existe, no modelo em análise, nenhuma força horizontal
ativa;
2.Quando uma viga está submetida a uma carga uniformemente
distribuída, as reações de apoio são iguais:RV1=RV2=q.L/2
3.Quando a viga está submetida a uma carga concentrada no meio do
seu vão, as reações de apoio também são iguais: RV1=RV2=P/2
4.Quando a viga estiver submetida a uma carga uniformemente
distribuída e a uma carga concentrada no meio do seu vão, as
reações de apoio são iguais ao somatório das reações dos dois casos
anteriores: RV1=RV2= qL/2 + P/2, isso acontece devido ao princípio da
superposição de efeitos.
5.As cargas uniformemente distribuídas são concentradas a um
determinado ponto. Esse ponto deve ser o baricentro da área de
atuação da carga. No caso de cargas uniformemente distribuídas de
seção constante, o baricentro é exatamente o centro do espaço de
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 Cálculo das Reações de Apoio:
 Análise dos resultados obtidos nos três exemplos
anteriores:
6.Em cargas triangulares, o baricentro está localizado a 1/3 do lado
maior.(abaixo);
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 Exercícios Resolvidos:
 1. Calcule as reações de apoio para a viga de 6m de
vão submetida ao carregamento de carga concentrada de
60KN aplicada no seu centro.
Equações de Equilíbrio (EE)
𝑭𝒙 = 𝟎
𝑭𝒚 = 𝟎
𝑭𝒙 = 𝟎
RH=0
𝑭𝒚 = 𝟎
RV1 + RV2 – 60 = 0
𝑴𝒂 = 𝟎
𝑴=𝟎
RV1 + RV2= 60
(RH1 . 0) + (RV1.0) + 60.3 - RV2.6 = 0
0+0+180 - RV2.6 =0
6RV2=180
RV2=180/6
RV2=30 kN
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 Exercícios Resolvidos:
 1. Calcule as reações de apoio para a viga de 6m de
vão submetida ao carregamento de carga concentrada de
60KN aplicada no seu centro.
Substituindo RV2 na equação RV1 + RV2= 60
𝑭𝒚 = 𝟎
RV1 = 30 kN
Respostas:
RV1= 30 kN;
RV2= 30 KN;
RH=0
RV1 + 30 = 60
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 Exercícios Resolvidos:
 2.Calcule as reações de apoio para uma viga de 6m de comprimento
submetida ao carregamento de carga uniformemente distribuída, de
Equações de Equilíbrio (EE)
8KN/m por todo o vão.
𝑭𝒙 = 𝟎
𝑭𝒚 = 𝟎
𝑴=𝟎
𝑭𝒙 = 𝟎
RH=0
𝑭𝒚 = 𝟎
RV1 + RV2 – (8.6) = 0
𝑴𝒂 = 𝟎
(RH1 . 0) + (RV1.0) + 48.3 - RV2.6 = 0
0+0+144 - RV2.6 =0
6RV2=144
RV2=144/6
RV2= 24 kN
Substituindo RV2 na equação RV1 + RV2= 48
𝑭𝒚 = 𝟎
RV1 = 24 kN
RV1 + RV2= 48
RV1 + 24 = 48
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 Exercícios Resolvidos:
 2.Calcule as reações de apoio para uma viga de 6m de comprimento
submetida ao carregamento de carga uniformemente distribuída, de
8KN/m por todo o vão.
Respostas:
RV1= 24 kN;
RV2= 24 KN;
RH=0
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 Exercícios Resolvidos:
 3.Calcule as reações de apoio para uma viga de 6m de comprimento
submetida ao carregamento de carga parcialmente distribuída, de
6KN/m a partir do primeiro terço do vão.
Equações de Equilíbrio (EE)
𝐅𝐱 = 𝟎
𝐅𝐲 = 𝟎
𝐌=𝟎
Fx = 0
RH=0
Fy = 0
RV1 + RV2 – (6.4) = 0
Ma = 0
(RH1 . 0) + (RV1.0) + 24.4 - RV2.6 = 0
0+0+96 - RV2.6 =0
6RV2=96
RV2=96/6
RV2= 16 kN
Substituindo RV2 na equação RV1 + RV2= 24
Fy = 0
RV1 + RV2= 24
RV1 + 16 = 24
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 Exercícios Resolvidos:
 4. Calcule as reações de apoio para uma viga de 6m de comprimento
submetida ao carregamento de carga distribuída triangular, sobre todo
o vão com 6KN/m na extremidade direita.
Equações de Equilíbrio (EE)
𝐅𝐱 = 𝟎
𝐅𝐲 = 𝟎
Fx = 0
RH=0
Fy = 0
RV1 + RV2 – (6.6/2) = 0
Ma = 0
6RV2=72
RV2=72/6
RV2= 12 kN
Substituindo RV2 na equação RV1 + RV2= 18
RV1 = 6 kN
RV1 + RV2= 18
(RH1 . 0) + (RV1.0) + 18.4 - RV2.6 = 0
0+0+72 - RV2.6 =0
Fy = 0
𝐌=𝟎
RV1 + 12 = 18
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 Exercícios Resolvidos:
 5. Calcule as reações de apoio para uma viga de 6m de comprimento
submetida a um momento externo(carga momento) de 30 kNm no
sentido horário, aplicado a 2m da extremidade esquerda.
Equações de Equilíbrio (EE)
𝐅𝐱 = 𝟎
𝐅𝐲 = 𝟎
Fx = 0
RH=0
Fy = 0
RV1 + RV2 = 0
Ma = 0
6RV2=30
RV2=30/6
RV2= 5 kN
Substituindo RV2 na equação RV1 = - RV2
RV1 = - 5 kN
RV1 = - RV2
(RH1 . 0) + (RV1.0) + 30 - RV2.6 = 0
0 + 0 + 30 - RV2.6 =0
Fy = 0
𝐌=𝟎
RV1 = -5
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 Exercícios Resolvidos:
 5. Calcule as reações de apoio para uma viga de 6m de comprimento
submetida a um momento externo(carga momento) de 30 kNm no
sentido horário, aplicado a 2m da extremidade esquerda.
Respostas:
RV1= - 5 kN;
RV2= 5 KN;
RH=0
Obs.: O sinal negativo de RV1 indica que o sentido correto da reação
é o oposto ao inicialmente arbitrado.
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 Exercícios Resolvidos:
 6. Calcule as reações de apoio para uma viga em balanço de 4m de
comprimento submetida a uma carga concentrada de 20 kN na sua
extremidade.
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 Exercícios Resolvidos:
 6. Calcule as reações de apoio para uma viga em balanço de 4m de
comprimento submetida a uma carga concentrada de 20 kN na sua
extremidade.
Equações de Equilíbrio (EE)
𝐅𝐱 = 𝟎
𝐅𝐲 = 𝟎
𝐅𝐱 = 𝟎
RH=0
𝐅𝐲 = 𝟎
RV1 – 20 = 0
𝐌𝐚 = 𝟎
𝐌=𝟎
RV1 = 20 KN
(RH1 . 0) + (RV1.0) + Ma + 20.4 = 0
0 + 0 + Ma + 80 =0
Ma = - 80 kNm
Obs.: O sinal negativo de Ma indica que o sentido adotado deste
momento foi errado portanto o sentido correto é o anti-horário.
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 Exercícios Resolvidos:
 7.Calcule as reações de apoio para uma viga bi-apoiada de 6m de
vão, submetida a uma carga distribuída de 8 kN/m, com um balanço
de 2m na extremidade esquerda submetida a um momento
externo(carga momento) de 20 kNm no sentido anti-horário localizado
à cinco metros do apoio esquerdo e uma carga concentrada de 10 kN
na extremidade.
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 Exercícios Resolvidos:
 7.
𝐅𝐱 = 𝟎
𝐅𝐲 = 𝟎
𝐌=𝟎
𝐅𝐱 = 𝟎
RH=0
𝐅𝐲 = 𝟎
RV1 + RV2 – 32 – 10 = 0
𝐌𝐚 = 𝟎
(RH . 0) + (RV1.0) + 32.2 - 20 - RV2.6 + 10.8= 0
0 + 0 + 64 – 20 - RV2.6 - 80 =0
6RV2=100 - 64
RV2=36/6
RV2= 6 kN
Substituindo RV2 na equação RV1 + RV2= 42
𝐅𝐲 = 𝟎
RV1 = 36 kN
RV1 + RV2 = 42
RV1 + 6 = 42
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 Exercícios Resolvidos:
 7.
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 Exercícios Resolvidos:
 8.Calcule as reações de apoio para o modelo estrutural de pórtico
abaixo:
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 Exercícios Resolvidos:
 8.Calcule as reações de apoio para o modelo estrutural de pórtico
abaixo:
Equações de Equilíbrio (EE)
𝐅𝐱 = 𝟎
𝐅𝐲 = 𝟎
𝐌=𝟎
𝐅𝐱 = 𝟎
3 - RH=0
𝐅𝐲 = 𝟎
RV1 – (4. 4,0)+ RV2 = 0
𝐌𝐛 = 𝟎
RH= 3 KN
RV1+ RV2 = 16 KN
+ (RV1 . 9) + (3.1,5) - (16.7) + Rh.0 + Rv2.0) =0
9RV1 + 4,5 – 112 +0 + 0=0
9RV1=107,5
RV1=11,94 KN
Substituindo RV1 na equação RV1 + RV2= 16
𝐅𝐲 = 𝟎
RV2 = 4,06 kN
11,94 + RV2 = 16
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 Exercícios Resolvidos:
 9.Calcule as reações de apoio para o modelo estrutural de treliça
abaixo:
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 Exercícios Resolvidos:
 9.Calcule as reações de apoio para o modelo estrutural de treliça
abaixo: Equações de Equilíbrio (EE)
Fx = 0
Fy = 0
M=0
Fx = 0
RH=0
Fy = 0
RV1 – 5 – 10 – 5 + RV2 = 0
Mb = 0
RH= 0
RV1+ RV2 = 20 KN
+ (RV1 . 16) - (5.12) - (10.8) –(5.4) + Rh.0 + Rv2.0=0
16RV1 - 60 – 80 - 20 +0 + 0=0
16RV1=160
RV1=10 KN
Substituindo RV1 na equação RV1 + RV2= 20
Fy = 0
RV2 = 10 kN
10 + RV2 = 20