A ARITMÉTICA DE INTERVALOS APLICADA À
ENGENHARIA
Dayanne G. Justino, Elisabete C. Oliveira, Guilherme C. A. Tolentino,
Igor S. Peretta, José R. Camacho.
Universidade Federal de Uberlândia, Faculdade de Engenharia Elétrica/Núcleo de Eletricidade Rural e
Fontes Alternativas de Energia, Uberlândia-MG, [email protected].
Resumo - Precisão e inteligência dos algoritmos é uma
exigência cada vez maior nos métodos modernos de
solução em Ciências Exatas e Engenharia. Ao se
considerar este aspecto é interessante utilizar
manipulações algébricas, em que, uma maior quantidade
de informação pudesse ser agregada aos resultados. Neste
trabalho foi feita uma análise introdutória à utilização da
Aritmética de Intervalos, onde se mostra com exemplos a
base da sua utilização e a sua importância para o ramo
das ciências exatas.
Palavras-Chave – Aritmética de Intervalos, Precisão,
Algoritmos, Estatística.
INTERVAL ARITHMETICS APPLIED TO
ENGINEERING
Abstract– Precision and intelligence of algorithms is a
growing requirement on modern methods of solution in
Exact Sciences and Engineering. When considering this
aspect is interesting to use algebraic manipulations in
which a greater amount of information could be
aggregated to results. In this work was made an
introductory analysis of the use of Interval Arithmetics,
which shows with examples the base of their use and
importance to the field of exact sciences.
Keywords – Interval Arithmetic, Precision, Algorithms,
Statistics
NOMENCLATURA1
AI
- aritmética de intervalos.
I. INTRODUÇÃO
As aproximações e arredondamentos da matemática
computacional são ferramentas muito utilizadas por muitos
cientistas e projetistas na área de tecnologia. Estes recursos,
entretanto, devem ser tratados com muito cuidado, sempre
levando em consideração as aproximações e a quantidade de
algarismos significativos [1]. A importância desta discussão
pode ser questionada quando o número de operações é
pequeno, ou no caso de experimentos de menor escala ou que
não tenham exigência de grande precisão. Mas mesmo nestes
casos a AI introduz informação adicional quando comparada
com a aritmética convencional. Em grandes projetos, onde o
número de operações matemáticas é muito grande, a precisão
dos números tem a sua importância bastante aumentada. O
número de algarismos significativos passa a tornar-se de
importância fundamental nos cálculos iterativos em grande
escala. O intuito neste caso é aumentar a precisão para que os
resultados dos cálculos forneçam a segurança desejada ao
projetista.
A AI fornece ao projetista, além dos resultados dos
cálculos, o grau de confiança que se pode ter em uma
determinada série de operações executadas.
Este tipo de cálculo garante mais segurança ao que vai ser
efetivamente executado. Isto pode representar, durante a
criação de um protótipo, uma maior confiança no produto
final com economia de peças e materiais.
Quando se faz cálculos para qualquer área no campo da
engenharia, é comum da parte do usuário a execução de
truncamento e arredondamento, ou a própria calculadora gera
erros de arredondamento ou de truncamento, podendo
produzir depois de um número significativo de iterações
grandes desvios no resultado final. A AI é um modelo de
cálculo no qual cada valor real pode ser representado por um
intervalo, entre um valor máximo e um mínimo, que garante
conter o valor real. É possível submeter esses intervalos às
quatro operações aritméticas básicas, da mesma forma que
qualquer número real. Como resposta do conjunto de
operações executadas temos um intervalo no qual existe
garantia de que nele está contida a resposta.
A AI é um importante recurso de cálculo em engenharia,
mas que é pouco explorado atualmente. Um dos motivos
para a pequena utilização desta ferramenta é a extensiva
utilização da aritmética de ponto flutuante considerando a
precisão nas casas decimais. Ao invés disso a AI fornece
precisão concentrada na diferença entre dois números, um
valor máximo e outro mínimo que representam o valor
calculado.
II. ARITMÉTICA DE INTERVALOS
Na AI um número real ou um intervalo é representado por
um par [a; b] de números reais, onde este par representa a
tolerância máxima e mínima de um número ou um intervalo
de números reais a ≤ x ≤ b. Por definição, cada número é
representado na AI por um intervalo de valores. Desta forma,
as operações matemáticas elementares precisam ter nova
definição para poderem ser utilizadas em matemática
computacional.
Um intervalo [a; b] tem natureza dual, porque é
representado por um par de números que também representa
um conjunto [a; b] = {x: a ≤ x ≤ b} de valores aceitos para a
sua representação numérica [2]. Por exemplo, um resistor
comercial de 1500Ω±1% pode ter um valor qualquer entre
1485 e 1515, este resistor seria representado pelo par [a; b]
=[1485; 1515] Ω.
É possível, portanto programar um computador para fazer
cálculos algébricos elementares utilizando a AI e fornecer
como resposta um intervalo. Neste intervalo estará a faixa de
valores possíveis para a resposta, ou mesmo a resposta
correta e a margem de erro superior e inferior para os
cálculos em questão. Na AI inicia-se portanto pelos cálculos
básicos da matemática definidos como se segue [3],[5]:
- soma de dois números ou intervalos:
[a; b] +[c; d] = [a + c; b + d]
(1)
- subtração de dois números ou intervalos:
[a; b]-[c; d] = [a – d; b - c]
(2)
- produto de dois números ou intervalos:
[a; b]*[c; d] = [min(ac, ad, bc, bd); max(ac, ad, bc, bd)].
(3)
- divisão de dois números ou intervalos:
[a; b]/[c; d] = [min(a/c, a/d, b/c, b/d); max(a/c, a/d, b/c,
b/d)]
(4)
1/[a; b] = [1/b; 1/a].
(5)
Suponha agora que se está medindo um campo retangular.
Não importa o quão cuidadosamente as estimativas sejam
feitas, nunca se estará certo das dimensões exatas. Pode ser
afirmado com confiança que os valores corretos estejam
dentro de certas margens. Neste caso admite-se com
confiança que o comprimento não é inferior a 68 e nem
superior a 72 metros, enquanto que a largura está entre 49 e
51 metros. Então se pode afirmar com idêntica confiança que
a área do campo esteja em algum valor entre 3.332m2 e
3.672m2. Isto é a aritmética de intervalos em ação:
[68; 72]*[49; 51] = [3.332; 3.672].
Os pares entre colchetes [a; b] significam os intervalos de
a até b inclusive, com a ≤ b.
III. LIMITAÇÕES DA ARITMÉTICA DE
INTERVALOS
De acordo com Franciosi [4], “uma das limitações da
aritmética intervalar refere-se ao rápido aumento dos limites
de erro dos resultados produzidos”.
Para o leitor entender essa limitação, são utilizados os
recursos da AI para cálculo de equivalência de resistências
verificamos que, ao calcular a equivalência de dois resistores
em paralelo mais um terceiro em série, temos duas formas de
fazê-lo:
- pela equação original:
=
+ (6)
- pela equação reduzida:
=
×
+ (7)
Como exemplo, na Figura 1, R1 e R2 são resistências de
1800Ω ± 1% e R3 é a resistência de 100 Ω ± 1%.
Fig. 1. Combinação de resistores.
Fazendo uso da aritmética convencional, as duas equações
fornecem resultados idênticos ( = 1000Ω).
É preciso ser cuidadoso com a AI, pois essas duas
configurações de cálculos dão resultados distintos, para a
configuração dos resistores da Figura 1.
Pela equação original se obtém:
= [990; 1.010]Ω
E pela equação reduzida é obtido o seguinte resultado:
= [972,3564; 1.028,3636]Ω.
Onde Req é a resistência equivalente dos três resistores em
arranjo série e paralelo na Figura 1; e é possível verificar que
⊆ . O aumento dos limites de erro do
resultado da equação reduzida indica que, para a aritmética
de intervalos, a maneira mais confiável de fazer o cálculo da
resistência equivalente quando temos resistores paralelos é
executar as operações em sua forma original.
Outro indicador que pode ajudar na escolha é que o
resultado da forma original possui como ponto médio o valor
da resistência equivalente calculado pela aritmética
convencional. Além disso, reproduz corretamente a
tolerância de ±1%, já que todas as resistências envolvidas
possuem a mesma tolerância.
No exemplo anterior, os resultados diferem porque o
conjunto dos números reais intervalares submetidos às
operações aritméticas não disporem da propriedade
distributiva, ou seja, em intervalos, tem-se que [a]([b]+[c]) ⊆
[a][b]+[a][c].
Isto porque a utilização da AI só faz sentido se usada com
outras ferramentas, isso porque os intervalos não constituem
um universo auto-suficiente [4].
IV. EXEMPLO DE APLICAÇÃO AOS CIRCUITOS
ELETRÔNICOS
Através da AI é possível verificar qual a probabilidade do
circuito de um transistor com polarização estável do emissor
mudar de região por influência de diferentes tolerâncias das
resistências usadas na montagem do circuito.
Para tanto, é necessário recordar que o transistor possui
três regiões de operação: regiões de corte, ativa e saturação.
Na região de corte, as junções base-emissor e base-coletor
são polarizadas reversamente; na região ativa, a junção baseemissor é polarizada diretamente e a junção base-coletor,
polarizada reversamente; já na região de saturação, as duas
junções, base-coletor e base-emissor são polarizadas
diretamente [6].
Do catálogo da Phillips, nas tabelas e gráficos que se
seguem, considera-se o modelo 1 os transistores BC107A /
BC108A, o modelo 2 os BC107B / BC108B / BC109B, e o
modelo 3 os BC108C / BC109C.
Tabela I
Cálculos analíticos do circuito
Modelo
1
2
3
Fig. 2. Circuito para a polarização de um transistor.
Neste exemplo utilizando o circuito da Figura 2,
consideram-se os valores base para as resistências do circuito
de três transistores dados na Tabela I, calculados para manter
o transistor testado na região ativa.
Os cálculos apresentados a seguir referem-se ao transistor
do modelo 1 e espera-se que o mesmo opere na região ativa.
Através do cálculo com álgebra convencional, são
considerados a fonte Vcc = 20V, e β = 180 (valor típico
apresentado pelo datasheet do fabricante [7]):
VBE~ 0,7 V
'(( )'*+
%& =
%& =
2∙
* ,-.+
=
(8)
20 − 0,7
19,3
=
∴
+ 181 ∙ 1.10
2,181 ∙ 101
34 = 5, 678
101
%9 = :%& = 180 ∙ 8,85 ∙ 10)1 ∴
(9)
3; = <, =>8
) ,2.
?9@ = 20 − 1,6. 10
(10)
.
10 + 1.10
∴ A;B = <C, DA
?9@ = ?&@ − ?&9 ∴ ?&9 = ?&@ − ?9@
(11)
A4; = −<E, CA
Onde:
β
- ganho de corrente contínua,
VBE - tensão base-emissor,
- corrente de base,
IB
IC
- corrente de coletor,
VCE - tensão coletor-emissor,
RB - resistência de base,
RE - resistência do emissor,
RC - resistência do coletor,
VBC - tensão base-coletor,
VCC - fonte de tensão continua.
Calculando esses valores para os três modelos na Tabela I,
tem-se:
IB (µA)
8,8675
8,4417
7,6715
IC (mA)
1,6000
2,4500
4,0000
VCE (V)
15,2115
12,6557
8,0323
VBC (V)
-14,5515
-11,9957
-7,3723
Pelos cálculos utilizando álgebra convencional, a
configuração proposta para os resistores de polarização
atende os requisitos de projeto para quaisquer dos
transistores, ou seja, o transistor a ser escolhido operará na
região ativa. Entretanto, o fabricante fornece um intervalo
possível para os ganhos em corrente contínua (β) dos
transistores. O fabricante dos resistores fornece também uma
tolerância para os mesmos. Como garantir que o transistor
utilizado estará operando na região ativa? A AI pode ajudar
muito neste caso.
A fonte CC utilizada para aplicar VCC é a FA-3030 digital
simétrica 30V/3A.
Fazendo os cálculos com os intervalos fornecidos pelos
fabricantes e utilizando as operações de AI, tem-se:
VCC = 20±1%V = [19,8; 20,2]V
β = [MIN MAX] (ver datasheet [8])
RC = [1,98; 2,02]KΩ (tolerância ±1%)
RB = [1.980; 2.020]KΩ (tolerância ±1%)
RE = [0,99; 1,01]KΩ (tolerância ±1%)
RC = [1,80; 2,20]KΩ (tolerância ±10%)
RB = [1.800; 2.200]KΩ (tolerância ±10%)
RE = [0,90; 1,10]KΩ (tolerância ±10%)
Os resultados estão apresentados na Tabela II (resistores
com tolerância ±1%) e na Tabela III (resistores com
tolerância ±10%).
Tabela II
Cálculos de VCE e VBC para Resistores ±1%
Modelo
?9@ = ?99 − %9 ,9 + @ .
Beta
180
290
520
1
2
3
Transistor Phillips
Resistores ±1%
β
VCE (V)
VBC (V)
[110; 220] [13,53; 17,43] [-16,88; -12,76]
[200; 450]
[7,50; 15,83]
[-15,08; -6,73]
[420; 800] [-0,07; 11,81]
[-11,26; 0,84]
Tabela IIII
Cálculos de VCE e VBC para Resistores ±10%
Modelo
1
2
3
Transistor Phillips
Resistores ±10%
β
VCE (V)
VBC (V)
[110; 220] [12,29; 17,89] [-17,34; -11,52]
[200; 450]
[5,07; 16,39]
[-15,84; -4,30]
[420; 800] [-4,01; 13,20]
[-12,65; 4,78]
Pode ser notado que o modelo 3 do transistor possui
regiões no intervalo de VCE e VBC que inviabilizam sua
operação em região ativa. Como analisar essa informação?
Com relação aos resistores utilizados para a polarização
dos transistores, utiliza-se recurso da estatística, pelo
Teorema do Limite Central, que rege o processo de
fabricação dos mesmos gera resistores com valores
distribuídos por uma curva normal, com média em seu valor
nominal.
(indesejável neste exemplo), pode-se
pode
calcular a área
destacada na Figura 5:
T
F[[Y\]] = J^
Fig.3. Curva normal (valor por probabilidade) para fabricação de
resistor R = (µ)Ω ±(100·2σ/µ)%
Ao determinar tolerâncias, é bastante conservador
aceitarmos os limites indicados como sendo duas vezes o
desvio padrão da amostragem [8]. Com
m isso, assume
assume-se que
95,4% dos resistores cairão dentro dos limites da tolerância,
como ilustrado na Figura 3.
Partindo do mesmo pressuposto, os intervalos calculados
para as tensões de polarização também definem curvas
normais
mais cuja média é equivalente ao ponto central ddo
intervalo. Com isso, é possível calcular a probabilidade de
certos subintervalos.
Para o cálculo da probabilidade P[sat] de o transistor
encontrar-se na região de saturação dentro do intervalo
encontrado para VCE (indesejável neste exemplo), pode-se
calcular a área destacada na Figura 4:
'
F[GHI] = J)TP+QRS
KLMN O
,UVW.
)
X
YZ
(8)
Onde x é o valor de VCE dentro do intervalo, µ é o ponto
central do intervalo de VCE e σ é calculado como a metade da
distância do ponto central a um dos
os extremos.
Fig.4. Curva normal (valor por probabilidade) para VCE; a área
da região em destaque equivale à probabilidade de valores abaixo
do VCEsat (saturação).
Fig. 5. Curva normal (valor por probabilidade) para VBC; a área
da região em destaque equivale à probabilidade de VBC assumir
valores positivos (polarização direta).
Para o cálculo da probabilidade P[pdir] de o transistor
encontrar-se com a junção base--coletor polarizada
diretamente dentro do intervalo encontrado para VBC
KLMN
O
,UVW.
X
)
YZ
(9)
Onde x é o valor de VBC dentro do intervalo, µ é o ponto
central do intervalo de VBC e σ é calculado como a metade da
distância do ponto central a um dos extremos.
Nas Tabelas IV e V são mostradas as probabilidades de
saturação e polarização direta do transistor para os 3 modelos
de transistores retirados da AI,
AI utilizando resistores de ±1% e
±10%.
Tabela IV
Resistores com tolerância ±1%
Modelo
1
2
3
Transistor Phillips
Tolerância (1%)
Saturação Polarização direta
[110; 220]
0,0%
0,0%
[220; 450]
0,0%
0,0%
[420; 800]
3,2%
4,3%
β
Tabela V
Resistores com tolerância ±10%
±10
Modelo
1
2
3
Transistor Phillips
Tolerância (10%)
β
Saturação Polarização direta
[110; 220]
0,0%
0,0%
[220; 450]
0,0%
0,0%
[420; 800]
15,4%
18,3%
Como pode ser observado para a configuração de
resistores dada, só é possível garantir que o transistor
conseguirá operar na região ativa se for do modelo 1 ou 2.
Para o modelo 3, existe a chance da tolerância
tolerâ
dos resistores
influenciar na região de opera
peração do mesmo. Por exemplo,
para resistores com tolerância de 10%, existe 18,3% de
chance numa linha de produção da placa montada com um
transistor do modelo 3 não ter sua junção base-coletor
base
polarizada
larizada corretamente (Tabela V).
Em outras palavras a AI como ferramenta foi mais útil
para o projetista do que a aritmética convencional, uma vez
que seus resultados podem garantir a operação
operaçã do transistor
desejada
esejada ou alertar para um possível
possí
mau funcionamento do
circuito.
V. CONCLUSÕES
Na AI a maneira mais correta
corret de se fazer cálculos é manter
a forma original das equações. A AI além de fornecer o
resultado dos cálculos fornece também resultados
resulta
adicionais
como o intervalo de valores possíveis para a resposta e a sua
tolerância.
Das aplicações acima se conclui que é necessário revisar a
estrutura dos cálculos computacionais
utacionais no que diz respeito à
AI e sua topologia.
Para aplicações
plicações em Ciências Físicas e Engenharia é
necessário investigar funções de intervalo, sua diferenciação
e integração utilizadas
izadas efetivamente em exemplos de análise
aplicada á problemas reais.
A utilização da AI oferece uma contribuição importante
para verificação de condições satisfatórias para a existência
de solução e de convergência de um algoritmo, análise de
erro, construção de limites de um conjunto solução, e a
construção de critérios naturais de parada para métodos
iterativos.
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
[1]
J. Stolfi, L. H. de Figueiredo; “Self Validated
Numerical Methods and Applications”; Brazilian
Mathematics Colloquium, IMPA, Rio de Janeiro, Brazil; 16
pp, July 1997.
[2]
R. E. Moore, R. B. Kearfott, M. J. Cloud.
“Introduction to interval analysis”, SIAM, United States of
America, 2009.
[3]
B. Hayes, “A Lucid Interval”, American Scientist,
Volume 91, Pages 484-488, November–December 2003.
[4]
B. R. T. Franciosi, “Representação Geométrica de
Intervalos”, PPGC da UFRGS, pp. 148, Março 1999.
[5]
G.I Hargreaves, “Interval Analysis in MATLAB”,
Numerical Analysis Report, No. 416, December 2009.
[6]
R. L Boylestad, L. Nashelsky, “Dispositivos
eletrônicos e teoria de circuitos”, Pearson Prentice Hall, 8
Ed, São Paulo, 2004.
[7]
Data Sheet BC107, BC108, BC109. NPN general
purpose transistor Phillips. 1997 Sep 03.
[8]
D. C. Montgomery, “Estatística aplicada e
probabilidade para engenheiros”, 4a Ed, Rio de Janeiro
1943.