10a . LISTA DE EXERCÍCIOS DE MATEMÁTICA ELEMENTAR I
Turma: 1o . perı́odo de Licenciatura em Matemática
Profa . Andréa Cardoso
Data: 21/07/2014
1. Calcule:
1
na base 0, 25
(a) o logaritmo de
64
√
(b) log8 2 2
(c) log√8 8 + log10 0, 01
(d) log2 8 − log 1 8
2
2. Resolva em R.
(j) e−5x = 0, 12
(a) 23x+1 = 128
(b) 5x
2 −5x+6
=1
(k) 2 · log x = log 4 + log(x + 3).
x
(c) 500(1, 2) = 800
(l) log3 (x2 − 5x + 5) = 0.
(d) (5x )2 − 4 · 5x = 5
1
2
(e) 7x −x−22 =
49
x x
8
(f) (3 ) = 9
(g) 5x
2 +x
(m) log 2x + log(1 + 2x ) = log 6
(n) 35x+1 ≥ 3x+9
x+5
−x+7
> 31
(o) 31
− 5−x = 0
(h) 4x + 8 = 6(2x )
(p) (log x)2 − 3 log x + 2 > 0
(i) 3x−2 = 5
(q) log0,1 x > log0,1 2
3. Para que valores de x existe logx (1 − x)?
4. Sabendo que log 2 ≈ 0, 301 e log 3 ≈ 0, 477, calcule o valor de log 450.
5. Calcule log 12, sabendo que log 2 = a e log 3 = b.
6. Calcule log2 a e log a2 , sabendo-se que log a = 0, 5
7. Se log a + log b = c, o valor de b é:
c
10c
c
c
(a)
(b) a (c)
(d)
a
10
a
log a
log c
(e) d log
a
8. Determine x, sabendo que log x = log b + 2 log c − 13 log a
9. Sendo a, b e c números positivos e diferentes de 1, simplifique a expressão:
loga b · logb c · logc a
10. Determine m de modo que a equação x2 − 2x − log m = 0 não tenha raı́zes reais.
11. Determine o domı́nio, o conjunto imagem e esboce o gráfico e faça o estudo do sinal das
funções modulares dadas abaixo.
(a) f (x) = |x + 1|
(b) f (x) = |x + 1| − 2
(c) f (x) = |1 − x|
(d) f (x) = |x − 3| − x
(e) f (x) = |x2 − 2x|
(f) f (x) = |x2 − 3x + 2|
(g) f (x) =
|x − 1|
x−1
12. As funções abaixo têm domı́nio real, encontre a lei que define cada uma delas.
13. Esboce o gráfico de cada uma das funções abaixo:
(a) f (x) = ( 13 )x
(b) f (x) = 4(2)
x
(c) f (x) = 2−x
(e) f (x) = log3 (x + 2)
(d) f (x) = log3 (x)
(f) f (x) = log3 (x2 + 2x)
14. Os gráficos abaixo representam funções logarı́tmicas. Determine a lei correspondente a
cada função.
15. Encontre a inversa e esboce o gráfico de cada uma das funções e de suas inversas, no
mesmo plano cartesiano. Determine o que se pede.
(a) f (x) = log 1 x, f ( 14 ), f (16), x tal que f (x) = 2.
4
(b) f (x) = log 1 x, f ( 15 ), f (5), x tal que f (x) = 2
5
1
(c) f (x) = log4 x, f (4), f ( 16
), x tal que f (x) = 2
(d) f (x) = log5 x, f (5), f (225), x tal que f (x) = 2
(e) f (x) = lnx, f (e), f (1), x tal que f (x) = 2
(f) f (x) = log√2 x, f (2), f (4), x tal que f (x) = 2
16. Faça o esboço dos gráficos de y1 = log(x), y2 = log(10x), y3 = log(100x), y4 = log(1000x).
O que você observa? Explique.
√
17. Esboce os gráficos de f (x) = ln( x) e de g(x) = 0, 5ln(x) num mesmo plano cartesiano.
O que você conclui? Explique.
18. Construa, em um mesmo plano cartesiano, os gráficos das funções f (x) = log2 (x),
g(x) = 1 + log2 (x) e h(x) = log2 (x + 1). Comparando os três gráficos, o que pode
ser observado?
19. Esboce o gráfico de f (x) = log(ex ). O que acontece? Porquê?
20. Encontre a inversa da função f (x) = 2 + ex+4 e dê domı́nio e imagem da mesma.
21. Numa população, a distribuição da renda é dada por
y=
4(10)8
x1,8
em que x é a renda mensal de cada pessoa.
(a) Quantas pessoas ganham pelo menos $ 6.000,00 por mês?
(b) Qual a menor renda das 1.000 pessoas com renda mais alta?
(c) Qual a menor renda das 4.000 pessoas com renda mais alta?
(d) Qual o gráfico de y em função de x?
22. O número de habitantes de uma cidade é hoje igual a 7.000 e cresce a uma taxa de 3% ao
ano. Qual o número de habitantes daqui a 8 anos? Daqui a quanto tempo a população
dobrará?
23. A quantidade de madeira em uma floresta jovem aumenta, anualmente, segundo a função
f (t) = 10et em que 10 é quantidade inicial de madeira em metros cúbicos, e é o número
de Euler e t é o número de anos.
(a) Qual é a quantidade de madeira após 1 ano? Após 2 anos?
(b) Quantos anos serão necessários necessários para que a quantidade de madeira seja
igual a 100 metros cúbicos?
(c) Quantos anos serão necessários necessários para que a quantidade de madeira seja
igual a a.
24. A altura média do tronco de certa espécie de árvore, que se destina à produção de madeira,
evolui, desde que é plantada, segundo o seguinte modelo matemática:
h(t) = 1, 5 + log3 (t + 1),
com h(t) em metros e t em anos.
(a) Se uma dessas árvores foi cortada quando seu tronco atingiu 3, 5m de altura, qual
foi o tempo (em anos) transcorrido do momento da plantação até o corte?
(b) Esboce o gráfico de crescimento.
25. Classifique as sentenças em V(verdadeira) ou F(falsa)? Justifique sua resposta.
(a) ( ) O domı́nio da função logarı́tmica f (x) = loga x é R+ .
(b) ( ) A função logarı́tmica f (x) = loga x é bijetora.
(c) ( ) Se f (x) = 8x e (a, b) pertence ao gráfico de f , então (a, b) pertence ao gráfico
de f −1 (x) = log8 x.
(d) ( ) Se f (x) = ln(x), então f −1 (x) = ex .
BOM TRABALHO!!!
Data da entrega da lista resolvida: 28/07/2014