Universidade Tecnológica Federal do Paraná
UTFPR — Campus Pato Branco
Exercı́cios sobre Limites
1. O gráfico a seguir representa uma função f de [−6, 9] em R. Determine:
(a) f (2)
(b) lim− f (x)
x→2
(c) lim+ f (x)
x→2
(d) lim f (x)
x→2
(e) f (−2)
(f ) f (7)
2. Um gás (vapor d’água) é mantido à temperatura constante. A medida que o gás é
comprimido, o volume V decresce até que atinja um certa pressão (P ) crı́tica. Além
dessa pressão, o gás assume forma lı́quida. Observando a figura a seguir, determine:
(a)
(b)
lim V
p→100−
lim V
p→100+
(c) lim V
p→100
3. Dada a função f definida por:

 4 − x2 se x < 1
2
se x = 1
f (x) =

2 + x2 se x > 1
Esboce o gráfico de f e calcule o limite quando x tende a 1.
4. O gráfico a seguir representa uma função f de [−3, 4[ em R. Determine:
(a) f (1)
(b) lim− f (x)
x→1
(c) lim+ f (x)
x→1
1
5. Para a função representada graficamente na figura a seguir, determine, se existir, cada
item abaixo. Caso não exista, justifique.
(a) lim f (x)
x→0
(b) lim− f (x)
x→0
(c) lim+ f (x)
x→0
(d) lim f (x)
x→4
(e) lim− f (x)
x→4
(f ) lim+ f (x)
x→4
(g) f (4)
(h) f (0)
(i) f (−5)
6. Calcule o limite, se existir:
x4 − 8x3 + 18x2 − 27
x→3 x4 − 10x3 + 36x2 − 54x + 27
(a) lim (x3 + x2 + 5x + 1)
(l) lim
x→1
(b) lim (x3 − 2x2 − 4x + 3)
x−2
(m) lim √
x→2
2x − 4
x→−1
(c)
lim√ (4x3 − 2x2 − 2x − 1)
x→− 2
2
x−4
(n) lim √
x→4
x−2
x
√
(o) lim
x→0 2 −
4−x
x
(p) lim √
√
x→0
2− 2−x
√
2− 3+x
(q) lim
x→1
x−1
x
(r) lim √
x→0
x+1−1
√
1 + 2x − 3
(s) lim √
x→4
x−2
√
2x2 − 3x + 2 − 2
(t) lim √
x→2
3x2 − 5x − 1 − 1
x + 5x − 4
x→3
x2 − 5
x2 − 7x + 10
lim
x→2
x−2
x2 + 2x − 3
lim
x→−3
x+3
4
3x + x3 − 5x2 + 2x
lim
x→0
x2 − x
x3 − 4x + 3
lim 5
x→1 x − 2x + 1
x2 − 36
lim
x→6 x − 6
x2 − 1
lim
x→−1 x2 + 3x + 2
x5 − 32
lim
x→−2 x + 2
(d) lim
(e)
(r)
(g)
(h)
(i)
(j)
(k)
7. Calcule os limites no infinito, se existir:
x2 + x − 3
(a) lim
x→+∞ 3x2 − 4
(c) lim
r
x−3
2x2 + 6
(d) lim
r
4x + 3
2+x
x→+∞
3x − 2
(b) lim
x→−∞ 5x2 + 3
x→+∞
2
(e) lim
√
(f ) lim
√
x→+∞
x→+∞
1
(h) lim 2 + √
x→+∞
x
√
(i) lim x + x2 + 4
x2 + 1 − x
x2 + x − x
x→+∞
1
(g) lim √
x→+∞
x
8. Calcule
2x3 + 5x2 − 8
x→−∞ 4x5 − 8x + 7
5x3 − 2x2 + 1
(l) lim
x→−∞
x+7
2
x +x+1
(m) lim
x→−∞ (x + 1)3 − x3
(a) lim (5x3 − 3x2 − 2x − 1)
(k) lim
x→+∞
(b) lim (2x5 − x4 + 2x2 − 1)
x→−∞
(c) lim (−3x4 + 2x2 − 1)
x→−∞
(d) lim (3x4 + 5x2 + 8)
x→+∞
(e) lim (−5x3 + 3x − 2)
(3x + 2)3
x→−∞ 2x(3x + 1)(4x − 1)
√
x2 + x + 1
(o) lim
x→+∞
x+1
√
x2 + x + 1
(p) lim
x→−∞
x+1
2
2x − 3x − 5
√
(q) lim
x→+∞
x4 + 1
(n) lim
x→−∞
(f ) lim (−x2 + 3x − 2)
x→+∞
2x3 − 3x2 + x − 1
x→+∞
x2 + x − 3
2x2 + 1
(h) lim
x→−∞ x2 − 1
3x
(i) lim 2
x→−∞ x − 3
3x3 − 5x2 + 2x + 1
(j) lim
x→−∞ 9x3 − 5x2 + x − 3
(g) lim
2x2 − 3x − 5
√
x→−∞
x4 + 1
(r) lim
9. Calcule os limites laterais, se existir:
√
√
h2 + 4h + 5 − 5
(a) lim+
h→0
h
|x + 2|
(b) lim + (x + 3)
x→−2
x+2
|x + 2|
(c) lim − (x + 3)
x→−2
x+2
(
3 − x se x < −2
x
10. Seja f (x) =
se x > −2
2
(a) Determine lim + f (x) e lim − f (x)
x→−2
x→−2
(b) Existe lim f (x)? Se exite, qual é? Se não, por quê?
x→−2
(c) Determine lim + f (x) e lim − f (x).
x→−4
x→−4
(d) Existe lim f (x)? Se exite, qual é? Se não, por quê?
x→−4
11. Calcule os seguintes limites laterais:
(a) lim−
x→2
x
x→2 x − 2
x
(c) lim−
x→4 x − 4
x+2
x2 − 4
(b) lim+
3
(d) lim+
x→2
x+2
x2 − 4
x+6
x→6 x2 − 36
x
(f ) lim+ 2
x→3 x − 9
(e) lim+
 √
 1 − x2 se 0 ≤ x ≤ 1
12. Seja f (x) =
1
se 1 < x < 2

2
se x = 2
(a) Quais são o domı́nio e a imagem de f ?
(b) Em que pontos c existe lim f (x)?
x→c
(c) Em quais pontos existe apenas o limite à esquerda?
(d) Em quais pontos existe apenas o limite â direita?
13. Ache os limites lim− f (x), lim+ f (x) e lim f (x), caso existam.
x→a
x→a
x→a
|x − 4|
;a=4
x−4
|x + 5|
; a = −5
(b) f (x) =
x+5
1
; a = −8
(c) f (x) =
x+8
(a) f (x) =
14. Se 4x − 9 ≤ f (x) ≤ x2 − 4x + 7 para x ≥ 0, encontre lim f (x).
x→4
15. Se 2x ≤ g(x) ≤ x4 − x2 + 2 para todo x, encontre lim g(x)
x→1
16. Encontre as assı́ntotas verticais e horizontais das funções abaixo:
1
x−1
2x2 + x − 1
(b) y =
x2 − 1
x+4
x+3
x
(d) y = 2
x −1
(a) y =
(c) y =
17. Calcule o limite:
(a) lim 2x
x→+∞
x
1
(b) lim
x→−∞
3
x
1
(c) lim
x→0
3
4X−1
(d) lim 2
(g) lim log3 x
x→+∞
(h) lim+ log3 x
x→0
(i) lim ln x
x→+∞
(j) lim+ ln 2x
x→0
x→1
(e) limπ 2
sin x
(k) lim log 1 x
x→ 6
(f ) lim 3
x→+∞
4x5 −2x3 +2x
2x3 −x+1
2
(l) lim+ log 1 x
2
x→0
x→1
18. Mostre que:
√
1
x x1
(c) lim 1 +
= e3 = 3 e
x→0
3
4
(a) lim (1 + 3x) x = e12
x→0
1
(b) lim (1 + 2x) x = e2
x→0
4
4x
(d) lim 1 +
x→0
7
x1
1
=e
(e) lim (1 − x) x = e−1 =
4
7
x→0
1
e
1
x x1
= eπ
(f ) lim 1 +
x→0
π
19. Calcule os seguintes limites:
n+2
1
(a) lim 1 +
n→+∞
n
n
3
(b) lim 1 +
n→+∞
n
x
x
(c) lim
x→+∞
1+x
x+1
5
(d) lim 1 +
x→+∞
x
(g) lim
2
1+
x
(h) lim
1
1−
x
x→+∞
x→+∞
(i) lim
x→−∞
2
3
1
3 + e− x
(j) lim ln(x2 + 1)
x→+∞
(k) lim ln(x2 − 1)
x→−∞
√
(l) lim x − x2 − 1
1
(e) lim (1 + sin x) sin x
x→+∞
(f ) lim ex
x→−∞
x→+∞
20. Calcule os limites abaixo:
ln x3
x→1 x − 1
(g) lim (1 + sin x)cossec x (Fazer sin x = u)
ln(2 + x)
(Fazer x + 1 = u)
x→−1
x+1
(a) lim
(f ) lim
ln(3 + x)
(Fazer x + 2 = u)
x→−2
x+2
2x − 1
(c) lim
x→0
x
(b) lim
x→0
1
1+x x−4
(h) lim
x→4
5
x
10 − 1
(dividir por x o num. e den.)
(i) lim x
x→0 5 − 1
x
2
(j) lim 1 +
x→+∞
x
esin x − 1
x→0
sin x
(d) lim
ln(1 + x)2
x→0
x
(e) lim
21. Determine o limite das funções trigonométricas, se existirem:
(a) lim cos
x→+∞
1
x
sin(2x)
x→0 sin(3x)
(h) lim
θ
θ→0 cos θ
sin x
(c) lim
x→0 5x


cos x 
(d) limπ 
π
x→ 2
x−
2
sin x − sin π
(e) lim
x→π
x−π
(b) lim
sin2 (x)
x→0
x
(i) lim
tan2 (x)
x→0
x
(j) lim
sin x(1 − cos x)
x→0
2x2
(f ) lim
sin(3t)
t→0
2t
(k) lim+
(g) lim
t→π
5
sin(t)
t−π
22. Responda:
(a) Do gráfico de f mostrado abaixo, diga
os números nos quais f é descontı́nua e
explique por quê.
(b) Para cada um dos números indicados
na parte (a), determine se f é contı́nua
à direita ou à esquerda, ou nenhum deles.
23. Esboce o gráfico de uma função que é contı́nua em toda parte, exceto em x = 3 e é
contı́nua à esquerda em x = 3.
24. Esboce o gráfico de uma função que tenha descontinuidade de salto em x = 2 e uma
descontinuidade removı́vel em x = 4, mas seja contı́nua no restante.
25. Se f e g forem contı́nuas, com f (3) = 5 e lim [2f (x) − g(x)] = 4, encontre g(3).
x→3
26. use a definição de continuidade e propriedades dos limites para demonstrar que cada uma
das funções abaixo é contı́nua em um dado número a.
√
(a) f (x) = x2 + 7 − x, a = 4
(b) f (x) = (x + 2x3 )4 , a = −1
2x − 3x2
,a=1
(c) f (x) =
1 + x3
27. Explique por que a função é descontı́nua no número a dado. Esboce o gráfico da função.
(a) f (x) = ln |x − 2|; a = 2
( 1
se x 6= 1
(b) f (x) =
;a=1
x−1
2
se x = 1
x
e se x < 0
;a=0
(c) f (x) =
x2 se x ≥ 0

 x2 − x
se x 6= 1
2−1
;a=1
(d) f (x) =
x

1
se x = 1

 cos x se x < 0
0
se x = 0 ; a = 0
(e) f (x) =

2
1 − x se x > 0
28. Para quais valores da constante c a função f é contı́nua em (−∞, ∞)?
2
cx + 2x se x < 2
f (x) =
x3 − cx se x ≥ 2
29. Encontre os valores de a e b que tornam f contı́nua em toda parte.

x2 − 4



se x < 2
x−2
f (x) =
ax2 − bx + 3 se 2 < x < 3


 2x − a + b se x ≥ 3
6
30. Nos itens a seguir são dados f (x), a e L, bem como lim f (x) = L.
x→a
I) Determine δ > 0 para ε > 0 dado, de modo que satisfaça a definição de limite;
II) Prove tal limite.
(a) lim (2x + 4) = 10, ε = 0, 01
x→3
(b) lim (x + 2) = 5, ε = 0, 02
x→3
(c) lim (3x − 1) = −7, ε = 0, 1
x→−2
(d) lim (5x − 3) = 2, ε = 0, 05
x→1
(e) lim (4x − 5) = 3, ε = 0, 001
x→2
(f) lim (3 − 4x) = 7, ε = 0, 02
x→−1
7
Respostas - Limites
1. (a) 3
(b) 2
(c) 5
(d) 6 ∃
2. (a) 0,8
(b) 0,4
(c) Não existe
(e) 0
(f ) 0
3.
lim f (x) = 3
x→1
4. (a) 4
(b) -2
(c) 4
5. (a) +∞
(b) −∞
(c) Não existe.
(d) −∞
(e) −∞
(f ) Não existe.
(g) Não existe.
(h) Não existe.
(i) Não existe.
(j) Não existe.
6.
(f ) −6
(k) 80
(q) −
(a) 8
(b) 4
√
(c) −5 − 6 2
(d) 5
(e) −3
7. (a)
1
3
(b) 0
8. (a) +∞
(b) −∞
(c) −∞
(d) +∞
(e) +∞
2
9. (a) √
5
(l) 2
(m) 0
(n) 4
(g) −2
1
(h) −
3
(i) 12
(o) 4
√
(p) 2 2
(j) −2
(r) 2
4
(s)
3
5
(t)
14
(c) 0
(d) 2
(e) 0
(f ) 1
(g) 0
(h) 2
(i) +∞
(f )
(g)
(h)
(i)
(k) 0
(o) 1
−∞
+∞
2
0
1
(j)
3
(l) +∞
1
(m)
3
9
(n)
8
(b) 1
(c) −1
10. (a) lim+ f (x) = 2 e lim− f (x) = 1
x→2
1
4
x→2
8
(p) 1
(q) 2
(r) 2
(b) Não existe lim f (x), pois os limites laterais são diferentes.
x→2
(c) lim + f (x) = 7 e lim − f (x) = 7
x→−4
x→−4
(d) lim f (x) = 7, pois os limites laterais são iguais.
x→−4
11. (a) −∞
(b) ∞
(c) −∞
(d) ∞
(e) ∞
(f ) ∞
12. (a) D(f ) = [0; 2] e Im(f ) = [0; 1] ∪ {2}
(b) 0 < c < 1 e 1 < c < 2
(c) c = 2
(d) c = 0
13. (a) lim+ f (x) = 1, lim− f (x) = −1 e ∄ lim f (x)
x→4
x→4
x→4
(b) lim+ f (x) = 1, lim− f (x) = −1 e ∄ lim f (x)
x→5
x→5
x→5
(c) lim+ f (x) = ∞, lim− f (x) = −∞ e ∄ lim f (x)
x→8
x→8
x→8
14. 7
15. 2
16. (a) Horizontal: y = 0, vertical: x = 1
(b) Horizontal: y = 2, vertical: x = 1
9
(c) Horizontal: y = 1, vertical: x = −3
(d) Horizontal: y = 0, vertical: x = 1 e x = −1
√
(g) +∞
(i) +∞
(f ) 6
(h) −∞
(j) −∞
(c) e−1
(e) e
(g) 1
(i) 4
(k) +∞
(d) e5
(f ) 0
(h) 1
(l) 0
(d) 1
(f ) 3
(e) 2
(g) e
(j) +∞
√
(h) 5 e
1
(i)
log 5
(e) −1
(g)
17. (a) +∞
(c) 1
(e)
(b) +∞
(d) 8
2
(k) −∞
(l) +∞
18.
19. (a) e
(b) e3
20. (a) 1
(c)
1
log2 e
(b) 1
21. (a) 1
(b) 0
1
5
(d) 1
(c)
(f ) 0
22.
23. Infinitas soluções.
24. Infinitas soluções.
25. g(3) = 6
26.
10
3
2
2
3
(i) 0
(h)
(j) e2
(j) 0
(k) −1
27. (a) f (2) não está definido.
(b)
(c) lim f (x) não existe.
x→0
(d)
(e) lim f (x) 6= f (0)
x→0
28. c =
2
3
11
29. a = b =
1
2
Coletânea de exercı́cios elaborada pelos professores:
• Dra. Dayse Batistus;
• Msc. Ana Munaretto;
• Msc. Cristiane Pendeza;
• Msc. Adriano Delfino;
• Ms. Marieli Musial Tumelero
Digitação:
• 1a versão: Acadêmico Bruno Brito.
• Versão atual: Acadêmica Larissa Hagedorn Vieira e Professora Marieli
Musial Tumelero
Referência Bibliográfica:
ANTON, H., BIVENS, I. e DAVIS, S. Cálculo. vol. 1. Tradução: Claus I.
Doering. 8 ed. Porto Alegre: Bookman, 2007.
GUIDORIZZI, H. L. Um curso de cálculo, vol.1 e 2. 5a ed. LTC Editora,
Rio de Janeiro, RJ: 2002.
LEITHOLD, L. O cálculo com geometria analı́tica. Vol.1. 3a ed. São
Paulo: Harbra, 1994.
LIMA, J. D. Apostila de Cálculo I. UTFPR, Pato Branco, 2008.
STEWART, James. Cálculo. Vol. 2. 6a ed. São Paulo: Pioneira Thomson
Learning, 2009.
SWOKOWSKI, E. W. Cálculo com geometria analı́tica. Vol. 1. 2a ed.
São Paulo: Makron Books do Brasil,1994.
THOMAS, G. B. Cálculo. Vol. 1. 10a ed. São Paulo: Person, 2002.
12