Gravidade: energia potencial
Michael Fowler
Energia Potencial perto da Terra
Primeiro vamos fazer uma breve revisão da energia potencial gravítica junto à superfície da Terra, numa
sala por exemplo. A força gravítica é obviamente 𝐹𝐹 = 𝑚𝑚𝑚𝑚 apontando verticalmente para baixo.
Para levantar uma massa 𝑚𝑚, temos de aplicar uma força ascendente – 𝐹𝐹, que compense a gravidade de
modo a que a força total seja zero e o corpo posso mover-se a uma velocidade constante (ignorando a
resistência do ar, claro, e assumindo que lhe demos um pequeno impulso para iniciar o movimento). A
aplicação de uma força constante – 𝐹𝐹 enquanto a massa percorra uma distância Δ𝑟𝑟 requer um trabalho
−𝐹𝐹∆𝑟𝑟, e para elevar a massa 𝑚𝑚 de uma altura ℎ requer trabalho 𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎. Esta energia é armazenada e, é
chamada energia potencial, sendo “energia cinética potencial”, e escreve-se
𝑈𝑈 = 𝑈𝑈(ℎ) = 𝑚𝑚𝑚𝑚ℎ.
Repara na óbvia ambiguidade presente nesta definição de energia potencial: medimos ℎ a partir do chão,
a partir da mesa de trabalho ou o quê? Isso depende de quanto é que vamos elevar o nosso objecto antes de
o deixar cair e converter a energia potencial em cinética – mas o importante é que não interessa onde se
coloca o zero, a quantidade física de interesse é sempre a diferença entre as energias potenciais de duas
altitudes – é essa a energia cinética libertada quando o corpo cai entre uma e outra. (Talvez devêssemos
mencionar que alguma desta energia potencial poderá ir para outra forma de energia quando o corpo cai –
se a resistência do ar for apreciável, por exemplo, alguma poderá transformar-se em calor. Ignoraremos
essa possibilidade por agora.)
Para cima e para diante
Consideremos agora o trabalho involvido na elevação de algo até uma altura tão alta que o campo
gravítico da Terra se torna mensuravelmente mais fraco.
Ainda será verdade que a elevação de uma distância ∆𝑟𝑟 requer um trabalho – 𝐹𝐹Δ𝑟𝑟, mas agora 𝐹𝐹(𝑟𝑟) =
𝐺𝐺𝐺𝐺𝐺𝐺/𝑟𝑟 2 (para baixo). Portanto
𝑑𝑑𝑑𝑑 = −𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹 =
𝐺𝐺𝐺𝐺𝐺𝐺
𝑑𝑑𝑑𝑑
𝑟𝑟 2
e para acharmos o trabalho total necessário para elevar a massa 𝑚𝑚 da superfície da Terra (𝑟𝑟𝑇𝑇 desde o
centro da Terra) até um ponto à distância 𝑟𝑟 do centro temos de fazer um integral:
𝑟𝑟
𝐺𝐺𝐺𝐺𝐺𝐺 ′
1 1
𝑑𝑑𝑟𝑟
=
𝐺𝐺𝐺𝐺𝐺𝐺
�
+ �.
′2
𝑟𝑟𝑇𝑇 𝑟𝑟
𝑟𝑟 𝑇𝑇 𝑟𝑟
𝑈𝑈(𝑟𝑟) − 𝑈𝑈(𝑟𝑟𝑇𝑇 ) = �
Primeiro verifica que isto faz sentido nas proximadades da superfície da Terra, isto é, numa sala. Para esse
caso,
Portanto
𝑟𝑟 = 𝑟𝑟𝑇𝑇 + ℎ, ℎ ≪ 𝑟𝑟𝑇𝑇 .
1 1
𝑈𝑈(𝑟𝑟) − 𝑈𝑈(𝑟𝑟𝑇𝑇 ) = 𝐺𝐺𝐺𝐺𝐺𝐺 � + �
𝑟𝑟𝑇𝑇 𝑟𝑟
𝑟𝑟𝑇𝑇 + ℎ − 𝑟𝑟𝑇𝑇
= 𝐺𝐺𝐺𝐺𝐺𝐺 �
�
𝑟𝑟𝑇𝑇 (𝑟𝑟𝑇𝑇 + ℎ)
ℎ
≅ 𝐺𝐺𝐺𝐺𝐺𝐺 � 2 �
𝑟𝑟𝑇𝑇
= 𝑚𝑚𝑚𝑚ℎ
onde a única aproximação foi substituir 𝑟𝑟𝑇𝑇 + ℎ por 𝑟𝑟𝑇𝑇 no denominador, com um erro da ordem de ℎ/𝑟𝑟𝑇𝑇
partes por milhão para uma sala normal.
Para vermos como é que esta função potencial se parece em larga escala, longe da Terra, temos primeiro
de decidir onde é que é mais natural fixas o zero. A convenção usual é dizer que a energia potencial é nula
no infinito 𝑟𝑟 = ∞! A razão para isto é que se dois corpos estiverem muito longe um do outro, não têm
qualquer influência no movimento do outro, portanto não faz sentido incluir um termo na sua energia total
que inclua a sua interacção mútua.
Tomando a energia potencial nula no infinito dá uma forma mais simples
𝑈𝑈(𝑟𝑟) = −
𝐺𝐺𝐺𝐺𝐺𝐺
.
𝑟𝑟
Representamos aqui esta função, em unidades de raios terrestres. A energia está em unidades de
𝐺𝐺𝐺𝐺𝐺𝐺/𝑟𝑟𝑇𝑇 , sendo o -1 do lado esquerdo a superfície da Terra (𝑟𝑟 = 1) e parte inicial quase linear
corresponde a 𝑚𝑚𝑚𝑚ℎ.
Esta imagem representa o “poço” de potencial que é necessário subir à medida que nos afastamos da
Terra. Podemos imaginar que a Terra está no fundo desse poço de potencial tridimensional:
Ou, de uma perspectiva diferente:
Claro que isto é só a duas dimensões, mas é o suficiente para a maioria dos problemas gravitacionais: as
órbitas planetárias são bidimensionais. Um satélite numa órbita circular em torno da Terra pode ser
imaginado como uma partícula deslizando sem atrito dentro deste “cone” a uma altura fixa, numa órbita
elíptica a partícula deslizaria entre duas alturas diferentes.
Energia Potencial num sistema de dois corpos
O que eu quero dizer é, como é que generalizamos este modelo do “poço” de potencial gravítico num
plano para, por exemplo, a energia potencial combinada de uma massa sujeito aos campos gravíticos da
Terra e da Lua, como aconteceria numa vôo para a Lua.
Vimos no início da secção anterior que a diferença de energia potencial entre quaisquer dois pontos é dada
pelo trabalho realizado pela força gravítica:
𝑟𝑟2
𝑈𝑈(𝑟𝑟2 ) − 𝑈𝑈(𝑟𝑟1 ) = − � 𝐹𝐹 𝑑𝑑𝑑𝑑.
𝑟𝑟1
Não interessa qual é o caminho entre 𝑟𝑟1 e 𝑟𝑟2 : se o trabalho fosse diferente em dois caminhos diferentes,
poderíamos ganhar energia colocando uma massa a percorre-los, e assim construindo uma máquina de
movimento perpétuo. O facto de que isto não é verdade significa que o campo gravítico é conservativo: a
energia potencial gravítica é um dos termos da equação de conservação da energia.
Recorda da aula anterior que o campo gravítico obedece ao Princípio da Sobreposição: para achar a força
gravítica total numa massa devida aos campos da Terra e da Lua, simplesmente adicionamos os vectores
que representam as forças individuais. Daqui resulta imediatamente que, escrevendo 𝐹𝐹⃗ = 𝐹𝐹⃗𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇 + 𝐹𝐹⃗𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿
, a diferença de energia potencial entre dois pontos é simplesmente a soma dos dois termos.
Então a energia potencial de uma massa algures entre a Terra e a Lua é dada por
𝑈𝑈𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡 (𝑟𝑟) = −
𝐺𝐺𝑀𝑀𝑇𝑇 𝑚𝑚
𝐺𝐺𝑀𝑀𝐿𝐿 𝑚𝑚
−
|𝑟𝑟 − 𝑟𝑟𝐶𝐶𝐶𝐶 | |𝑟𝑟 − 𝑟𝑟𝐶𝐶𝐶𝐶 |
onde como é habitual 𝑈𝑈(∞) = 0 e 𝑟𝑟𝐶𝐶𝐶𝐶 , 𝑟𝑟𝐶𝐶𝐶𝐶 são as coordenadas dos centros da Terra e Lua
respectivamente.
Vale a pena visualizar este potencial combinado: parecer-se-ia com dois daqueles poços cónicos, um
muito mais pequeno que o outros, inseridos numa superfície quase plana. Indo em linha recta de um posso
a outro é como subir e descer um monte. No ponto mais alto da jornada a energia potencial será plana,
significando que a atracção gravítica da Terra compensa a da Lua, de modo que não é necessário realizar
trabalho para mover desse ponto. A energia potencial total nesse ponto é ainda negativa, claro, isto é,
inferior ao valor da energia (zero) na zona plana.
Potencial Gravítico
O potencial gravítico é definido como a energia potencial por unidade de massa, e é frequentemente
escrito como 𝜑𝜑(𝑟𝑟). Raramente o usaremos – os problemas que encontraremos involvem a energia
potencial de uma dada massa 𝑚𝑚. (Mas 𝜑𝜑(𝑟𝑟) é um conceito valioso em tratamentos mais avançados. É
análogo ao potencial electrostático, e na ausência de massas obedece à mesma equação em derivadas
parciais ∇2 𝜑𝜑(𝑟𝑟) = 0. )
Escape!
Quão rápido tem de se mover um projéctil assim que deixa a atmosfera para que consiga escapar ao campo
gravítico da Terra? Esta é a famosa velocidade de escape. Desprezando a espessura da atmosfera, o
projéctil precisa claramente de energia cinética suficiente para subir o poço,
1
𝐺𝐺𝐺𝐺𝐺𝐺
2𝐺𝐺𝐺𝐺
2
𝑚𝑚𝑣𝑣𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒
=
, 𝑣𝑣𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 = �
.
2
𝑟𝑟𝑇𝑇
𝑟𝑟𝑇𝑇
Este valor é cerca de 11.2 km/s. Para a Lua, a velocidade de escape é apenas 2.3 km/s, e é por essa razão
que a Lua não tem atmosfera: se inicialmente tinha alguma, o radiação do Sol foi suficiente para dar às
moléculas uma energia cinética térmica tal que a velocidade típica era superior à velocidade de escapa.
Numa atmosfera em equilíbrio térmico, todas as moléculas têm a mesma energia cinética média. Isto
significa que as moléculas mais leves movem-se, em média, mais rapidamente. Na Terra, todo o
hidrogénio ou hélio presentes na atmosfera inicial terão eventualmente escapado pela mesma razão.
Exercício: A lua de Saturno, Titã, é do mesmo tamanho que a nossa Lua, mas Titã tem uma espessa
atmosfera. Porquê?
Exercício: Imagina um túnel escavado através do centro da Terra, reemergindo do lado oposto do globo.
A força gravítica no túnel é 𝐹𝐹 = 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚/𝑟𝑟𝑇𝑇 , como deduzido acima.
(a) Encontra uma expressão para a energia potencial gravítica dentro do túnel. Considera-a nula no centro
da Terra.
(b) Agora esboça o gráfico da energia potencial como função da distância ao centro da Terra, começando
no centro mas movendo-se até bem longo do raio da Terra. Esta curva tem de ser contínua. Por convenção,
a energia é definida requerendo que seja nula no infinito. Como é que ajustarias a tua resposta para obter
este resultado?
Energia cinética e potencial numa órbita circular
A equação do movimento de um satélite numa órbita circular é
É imediato concluir que a energia cinética é
𝑚𝑚𝑣𝑣 2 𝐺𝐺𝐺𝐺𝐺𝐺
= 2 .
𝑟𝑟
𝑟𝑟
1
𝐺𝐺𝐺𝐺𝐺𝐺
1
1
= − 𝑈𝑈(𝑟𝑟),
𝐸𝐸𝑐𝑐 = 𝑚𝑚𝑣𝑣 2 = 2
2
2
𝑟𝑟
isto é, Energia Cinética = -1/2 Energia Potencial, pelo que a energia total numa órbita circular é metade
da energia potencial.
O movimento do satélite pode ser visualizado como andando à volta do poço de potencial circular que
vimos anteriormente. Quão rápido é que se move? É fácil verificar que para esta órbita circular
𝐺𝐺𝐺𝐺
𝑣𝑣𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜 = �
.
𝑟𝑟𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜
Recordando que a velocidade de escape desta órbita é 𝑣𝑣𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 = �𝑟𝑟
2𝐺𝐺𝐺𝐺
𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜
, temos que
𝑣𝑣𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 = √2𝑣𝑣𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜
Esta expressão relaciona a velocidade de um corpo numa órbita planetária circular com a velocidade
necessária para escapar à atracção gravítica do Sol, tendo essa órbita como ponto de partida.
Este resultado não é surpreendente: aumentando a velocidade por um factor de √2 duplica a energia
cinética, que seria então exactamente igual à energia potencial. O que significa que é exactamente a
energia cinética necessária para subir completamente até ao topo do “poço” de potencial.
Conclusão: a energia total de um planeta de massa 𝑚𝑚 numa órbita circular de raio 𝑟𝑟 em torno de um Sol
de massa 𝑀𝑀 é
𝐸𝐸𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡 = −
𝐺𝐺𝐺𝐺𝐺𝐺
.
2𝑟𝑟
Tradução/Adaptação Casa das Ciências 2009