16.21 Técnicas de Projeto e Análise Estrutural
2º Trimestre de 2003
Unidade 10 – Princípio da energia potencial mínima e
Primeiro Teorema de Castigliano
Princípio da energia potencial mínima
O princípio dos deslocamentos virtuais aplica-se não importando a lei constitutiva. Atenção
restrita aos materiais elásticos (possivelmente não-lineares). Comece pelo PVD:
em
Substituindo a expressão pelas tensões para materiais elásticos:
e presumindo que o campo de deslocamento virtual é uma variação do campo de
deslocamento equilibrado
1
A expressão sobre as chaves é a variação da densidade da energia de deformação
Utilizando as propriedades de cálculo das variações
onde V é o potencial das cargas externas. Portanto:
que é conhecido como o Princípio da energia potencial mínima (PMPE). De fato, esta
expressão apenas diz que Ð é estacionário em relação às variações no campo de
deslocamento quando o corpo está em equilíbrio.
Podemos comprovar que, de fato, trata-se de um mínimo no caso de um material linear
Nós queremos demonstrar:
elástico:
Considere
O segundo, quarto e quinto termos desaparecem após invocarem o PVD. Temos então:
2
A integral é sempre 0, uma vez que
Cijkl é definida positiva. Portanto:
e
como buscávamos.
Primeiro teorema de Castigliano
Dado um corpo em equilíbrio sob a ação de N forças concentradas F1. A energia
potencial das forças externas é dada por:
onde uI são os valores do campo de deslocamento no ponto de aplicação das forças FI.
Imagine que, de alguma forma, podemos expressar a energia de deformação como uma
função de uI, ou seja:
3
Então:
Invocando PMPE:
Teorema: Se a energia de deformação pode ser expressa em termos de N deslocamentos,
correspondentes a N forças aplicadas, a primeira derivada da energia de deformação com
relação ao deslocamento uI é a força aplicada.
Exemplo:
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Observe que escrevemos U = U(u,v). De acordo com o teorema:
Ver solução no arquivo mathematica anexo.
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