UNIVERSIDADE ANHANGUERA DE SÃO PAULO
PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA
TERESA CRISTINA ETCHEVERRIA
O ENSINO DAS ESTRUTURAS ADITIVAS JUNTO A
PROFESSORAS DOS ANOS INICIAIS DO ENSINO
FUNDAMENTAL
São Paulo
2014
TERESA CRISTINA ETCHEVERRIA
O ENSINO DAS ESTRUTURAS ADITIVAS JUNTO A
PROFESSORAS DOS ANOS INICIAIS DO ENSINO
FUNDAMENTAL
Tese apresentada ao Programa de Pós-Graduação em
Educação Matemática, da Universidade Anhanguera
de São Paulo, como requisito parcial para a obtenção
do título de Doutora em Educação Matemática.
Orientadora: Profª. Drª Tânia Maria M. Campos
Coorientadora: Profª. Drª Angélica da F. Garcia Silva
São Paulo
2014
TERESA CRISTINA ETCHEVERRIA
O ENSINO DAS ESTRUTURAS ADITIVAS JUNTO A
PROFESSORAS DOS ANOS INICIAIS DO ENSINO
FUNDAMENTAL
BANCA EXAMINADORA:
____________________________________________
Profª Drª Tânia Maria Mendonça Campos – UNIAN/SP
(Presidente)
_____________________________________________
Profª Drª Sandra Maria Pinto Magina - UESC
(1º Membro Titular Externo)
_____________________________________________
Profª Drª Siobhan Victoria Healy- UNIAN/SP
(2º Membro Titular Interno)
____________________________________________
Profª Drª Veleida Anahi da Silva - UFS
(3º Membro Titular Externo)
_____________________________________________
Profª Drª Rosana Nogueira de Lima – UNIAN/SP
(4º Membro Titular Interno)
São Paulo
2014
3
Este trabalho é resultado de muitas renúncias,
estudo e comprometimento. Dedico este fruto ao meu
esposo Fernando Fernandes da Silva e ao meu
filho Miguel Etcheverria da Silva.
Sei que a presença desta Tese não preenche as
minhas frequentes ausências, mas espero que a
realização deste sonho compense a paciente espera
pelo meu tempo...
AGRADECIMENTOS
Quero expressar minha gratidão a todas as pessoas que fizeram parte da minha história
e contribuíram para minha formação. Como não posso citar o nome de todas, vou
destacar algumas que participam comigo deste momento especial.
À minha orientadora, Profª Drª Tânia Maria Mendonça Campos, por acreditar no meu
potencial e na minha capacidade de escrever, tornando-me uma pesquisadora autônoma.
À minha coorientadora, Profª Drª Angélica da Fontoura Garcia Silva pelas orientações
claras, pela sugestão de leituras e pelas palavras de confiança.
Às professoras da banca, Profª Drª Siobhan Victoria Healy (Lulu) e Profª Drª Rosana
Nogueira de Lima, pelas valiosas contribuições, instigações e correções feitas no trabalho.
À professora da banca, Profª Drª Sandra Maria Pinto Magina, pelas contribuições no
aporte teórico do trabalho.
Ao meu querido mestre, Prof. Dr. Roque Moraes (in memorian), por ter me ensinado a
escrever e por ser meu exemplo de Educador.
À grande Amiga, Profª Drª Vera Lucia Felicetti, por ser a companheira que esteve
presente em todas as etapas deste trabalho, desde a elaboração do projeto, contribuindo
com sugestões e críticas no texto produzido.
À minha Amiga de muitos anos, Profª Maria do Carmo Victorino, que, mesmo à distância e
com pouco tempo disponível, fez a revisão gramatical deste trabalho.
À Profª Drª. Lilian Nasser (UFRJ), ao Prof. Dr. Marco Antonio Moreira (UFRGS) e a
Profª Drª Adair Mendes Nacarato (USF) pelo envio de cópias de textos de Vergnaud e
Serrazina.
Aos meus professores do doutorado, da Universidade Anhanguera de São Paulo, pelo
conhecimento que me ajudaram a construir.
Aos meus colegas de doutorado, por terem me acolhido com carinho e
companheirismo, por dividirem comigo os momentos de estudo e, também, os
momentos de insegurança e cansaço.
À Escola e às professoras, que concordaram em participar desta pesquisa, demonstrando
interesse e boa vontade.
À minha família, com quem compartilho este grande momento de alegria, meus
queridos irmãos e irmãs, e em especial meu filho Miguel e meu esposo Fernando.
À CAPES, pelo auxílio financeiro durante o período de estágio na UNIAN/SP.
A Deus, por ser presença que ilumina meu caminho, o meu obrigada.
A autora
RESUMO
Este trabalho teve como objetivo principal identificar e compreender quais contribuições um
estudo do Campo Conceitual Aditivo, baseado na Teoria dos Campos Conceituais e na
reflexão sobre a ação docente, realizado, por meio de grupos de discussão, com professoras
dos anos iniciais do Ensino fundamental de uma escola municipal do interior de Sergipe, traz
para o aprendizado e ensino na resolução de problemas aditivos. Para alcançar esse propósito,
o aporte teórico se fundamentou, principalmente, na Teoria dos Campos Conceituais de
Vergnaud, em especial, no Campo Conceitual Aditivo. A metodologia se estruturou em três
etapas, chamadas de estudos. No Estudo 1, diagnóstico, para conhecer a realidade do contexto
educacional envolvido, aplicou-se um instrumento com 10 problemas aditivos a 248
estudantes do 2º ao 5º ano das 11 turmas dos anos iniciais do Ensino Fundamental da escola
escolhida. No mesmo momento, solicitou-se às professoras desses estudantes que elaborassem
seis problemas de adição e/ou subtração e foi coletado um exemplar de cada ano escolar (2º
ao 5º ano) do livro de Matemática adotado pela escola. No Estudo 2, grupo de discussão, de
posse da análise dos dados coletados no Estudo 1, foram realizados oito encontros de estudo
do Campo Conceitual Aditivo com as professoras dos anos iniciais do Ensino Fundamental da
escola envolvida. Os dados relativos ao desempenho dos estudantes nos dez problemas e as
estratégias utilizadas por eles nas resoluções dos mesmos, e também a classificação dos
problemas elaborados pelas professoras e os do livro de Matemática adotado pela escola
serviram para provocar discussões e reflexões no grupo de discussão, que iniciou com oito
professoras e finalizou com quatro. No Estudo 3, comparativo, foram realizadas duas
reaplicações do instrumento com os dez problemas, aos alunos: uma no mês seguinte ao
encerramento dos estudo com as professoras e, outra, seis meses depois do estudo. Nas
mesmas datas das reaplicações do instrumento aos estudantes, também as professoras
novamente elaboraram seis problemas aditivos. Os resultados das análises dos instrumentos
aplicados indicam que há uma relação entre os problemas aditivos elaborados pelas
professoras, os problemas de adição e subtração do livro adotado pela escola e o desempenho
dos estudantes nesse tipo de problema. Os resultados do trabalho realizado no grupo de
discussão revelam que o estudo do Campo Conceitual Aditivo com as professoras criou
algumas condições ampliadoras que contribuíram no aprendizado do ensino da resolução de
problemas aditivos, com destaque para a apropriação do conhecimento da classificação das
situações aditivas e do grau de complexidade das mesmas; da percepção de que a análise das
estratégias de resolução utilizadas pelos estudantes possibilita entender melhor as dificuldades
dos alunos, os tipos de representações e invariantes operatórias que já compreenderam e os
que ainda não compreenderam. Os resultados também mostraram que, durante o estudo,
foram reveladas algumas condições restritivas que limitam o aprendizado do ensino da
resolução de problemas aditivos; dentre elas ressalto a ênfase dada pelas professoras ao uso
do algoritmo como única possibilidade de resolução dos problemas, à proposta de situações
com menor grau de complexidade e o uso insuficiente de recursos materiais auxiliares para
ajudar os estudantes na superação das dificuldades enfrentadas.
Palavras-chave: Campo Conceitual Aditivo; Anos Iniciais do Ensino Fundamental;
Professoras; Grupo de Discussão.
ABSTRACT
This research study had as its main goal to identify and understand which contributions a
study of the Additive Conceptual Field, based in the Conceptual Field Theory and in the
observation of faculty actions, performed, by means of discussion groups, with teachers of the
first years of Elementary education of a municipal school within Sergipe, brings to the
learning and teaching of additive problems solving. To reach this goal, the theoretical
contribution was based, mainly, in the Theory of Conceptual Fields of Vergnaud, in special,
in the Additive Conceptual Field. The methodology was structured in three stages, called
studies. In Study 1, diagnostic, to know the reality of the educational context involved, an
instrument with 10 additive problems was applied to 248 students of the 2nd to 5th year in 11
classes of the first years of Elementary Education of the chosen school. At the same time, it
was requested to the teachers of these students to elaborate six addition and/or subtraction
problems and a sample of each school year (2nd to 5th year) was collected from the Math book
used by the school. In Study 2, discussion group, in possession of the data collected in Study
1, eight study meetings of the Additive Conceptual Field with the teachers of the first years of
Elementary School of the school involved. The data related to the performance of the students
in the ten problems and the strategies utilized by them in solving them, and also the
classification of the elaborated problems by the teachers and of the Math book used by the
school served to provoke discussion and reflection in the discussion group, which started with
eight teachers and ended with four. In Study 3, comparative, two reapplications of the
instrument with the 10 problems, on the students: one in the next month after the end of the
study with the teachers and, another, six months after the study. On the same date of the
reapplication of the problems on the students, the teachers also elaborated six additive
problems again. The results of the analysis of the applied instruments indicate that there is a
relation between the additive problems elaborated by the teachers, the problems of addition
and subtraction of the book used by the school and the students’ performance in this kind of
program. The results of the work performed in the discussion group revel that the study of
Additive Conceptual Field with the teachers created a few magnifying conditions which
contributed in the learning of the teaching of solving additive problems, with emphasis for the
appropriation of knowledge of the classification of additive situations and of their degree of
complexity; of the perception that the analyses of the resolution strategies used by the
students make possible to better understand the students’ difficulties, the types of
representations and operative invariables that they have already understood and the ones they
have yet to understand. The results also showed that, during the study, a few restrictive
conditions were revealed which limit the learning of the teaching of additive problem solving,
among them I highlight the emphasis given by the teachers to the use of the algorithm as only
possibility of problem solving, the proposal of situations with lower degree of complexity and
of the insufficient use of auxiliary material resources to help the students surpass the
difficulties faced.
Key-words: Additive Conceptual Field; First Years of Elementary Education; Teachers;
Discussion Group.
7
RÉSUMÉ
Cette étude visait à identifier et à comprendre ce que les contributions d'une étude du terrain
additif conceptuel, basé sur la théorie de champs conceptuels et de réflexion sur les actions
d'enseignement, realisée par des groupes de discussion avec les enseignants des premières
années de l'école primaire d’une école municipale à l'intérieur de Sergipe, apporte à
l'apprentissage et l'enseignement dans la résolution de problèmes additifs. Pour atteindre cet
objectif, le cadre théorique a été principalement basée sur la théorie des champs conceptuels
de Vergnaud, en particulier dans le champ conceptuel additif. La méthodologie a été
structurée en trois étapes: les études. Dans l'étude 1, le diagnostic, à savoir la réalité du
contexte éducatif impliqués, nous avons appliqué un instrument avec 10 problèmes additifs à
248 élèves de le CE2 jusqu'à la 6ème année, pour 11 classes des premières années du primaire
à l’école choisi. Dans le même temps, on a demandé aux enseignants de ces élèves à élaborer
six problèmes d'addition et / ou soustraction et aussi une copie de les livres de mathématiques
de chaque année scolaire (CE2 jusqu'à la 6ème année), adoptés par l'école, ont été recueillis.
Dans l'étude 2, la discussion de groupe, en possession de l'analyse des données recueillis dans
l'étude 1, huit réunions de l'étude conceptuelle champ additif avec les enseignants des
premières années de l'enseignement primaire en cause ont été réalisées. Les données sur le
rendement des élèves dans les dix problèmes et les stratégies utilisées pour eux dans les
résolutions de même et aussi la classification des problèmes produits pour les enseignants et
le livre de maths adoptée par l'école ont servi à susciter la discussion et la réflexion sur le
groupe de discussion, qui commence avec huit enseignants et a fini avec quatre. Dans l'étude
3, comparatif, deux nouvelles applications de l'instrument avec les dix problèmes ont eté
realisés, aux étudiants: Une, Une, dans le mois suivant la fin de l'étude avec les enseignants et
l'autre, six mois après l'étude. Aux mêmes dates de la nouvelle application de l'instrument
aux étudiants, aussi les enseignants ont de nouveau développé six additifs problèmes. Les
résultats des analyses des instruments utilisés indiquent qu'il existe une relation entre les
problèmes additifs élaborés par les enseignants, les problèmes d'addition et de soustraction du
livre adoptée par l'école et le rendement des élèves dans ce type de problème. Les résultats
des travaux effectués dans la discussion de groupe ont révélé que l'étude du terrain conceptuel
additif avec les enseignants a créé des conditions de grossissement qui ont contribué à
l'enseignement de la résolution de problèmes additifs d'apprentissage, en particulier,
l'appropriation de la classification des connaissances dans des situations d'additifs et de la
complexité de la même; la perception que l'analyse des stratégies de résolution utilisés par les
étudiants, permet de comprendre mieux ses difficultés, les types de représentations et les
invariants opératoires qu’ils ont déjà appris et ceux qui n'ont pas encore compris. Les résultats
ont également montré que lors de l'étude, certaines conditions restrictives qui restreignent
l’apprentissage de l’enseignement de la résolution des problèmes additifs, ont été révélés,
parmi eux, souligne l'importance accordée par les enseignants à l'utilisation de l'algorithme
comme la seule possibilité de résoudre les problèmes, les situations proposées avec une
complexité moindre et une utilisation insuffisante des ressources matérielles auxiliaires pour
aider les étudiants à surmonter les difficultés.
Mots-clés: Champ conceptuel additifs; Années de l'école primaire; enseignants; Groupe de
discussion.
8
LISTA DE FIGURAS
Figura 1.1.1 -
Teorema-em-ação para encontrar o estado final .................................
32
Figura 3.1.1 -
Exemplo de estratégia correta com desenhos........................................
111
Figura 3.1.2 -
Exemplo de estratégia correta com algarismos...................................... 111
Figura 3.1.3 -
Exemplo de estratégia correta com desenhos e algarismos...................
112
Figura 3.1.4 -
Exemplo de estratégia correta com complementação............................
113
Figura 3.1.5 -
Exemplo de estratégia correta com cálculo mental...............................
113
Figura 3.1.6 -
Exemplo de estratégia correta com ausência do sinal do algoritmo......
114
Figura 3.1.7 -
Exemplo de estratégia correta com erro no sinal do algoritmo.............. 115
Figura 3.1.8 -
Exemplo de estratégia correta com algoritmo errado............................
115
Figura 3.1.9 -
Exemplo de estratégia correta com resposta errada...............................
116
Figura 3.1.10-
Exemplo de estratégia incorreta – operação contrária...........................
117
Figura 3.1.11-
Exemplo de estratégia incorreta – multiplicação...................................
118
Figura 3.1.12-
Exemplo de estratégia incorreta – divisão.............................................
118
Figura 3.1.13-
Exemplo de estratégia incorreta – registro de número do enunciado....
119
Figura 3.1.14-
Exemplo de estratégia incorreta – registro de número aleatório............ 119
Figura 4.2.1 -
Quadro Valor-Lugar (CAVALU) construído pela pesquisadora..........
148
9
LISTA DE GRÁFICOS
Gráfico 3.1.1 -
Desempenho geral dos estudantes por ano escolar...............................
89
Gráfico 3.1.2 -
Desempenho geral dos estudantes por categoria.................................
90
Gráfico 3.1.3 -
Desempenho geral dos estudantes em cada problema.........................
90
Gráfico 3.2.1 -
Categorização dos problemas elaborados pelas professoras.................
122
Gráfico 3.3.1 -
Categorização dos problemas do livro de Matemática.........................
130
Gráfico 6.1.1 -
Desempenho geral dos estudantes por ano........................................
211
Gráfico 6.1.2 -
Desempenho geral dos estudantes por categoria................................
212
Gráfico 6.1.3 -
Desempenho geral dos estudantes em cada problema.........................
215
Gráfico 6.2.1 -
Categorização dos problemas elaborados pelas três professoras...........
221
Gráfico 6.2.2 -
Classificação, por extensões, dos problemas elaborados pelas três
professoras.....................................................................................
222
10
LISTA DE TABELAS
Tabela 1.1.1 -
Desempenho dos estudantes baianos por categoria e ano escolar (%)..
42
Tabela 2.6.1 -
Distribuição dos 248 alunos por ano escolar e idade...........................
80
Tabela 3.1.1 -
Desempenho geral dos 248 estudantes na categoria Composição.........
91
Tabela 3.1.2 -
Estratégias utilizadas pelos estudantes na resolução do P2...................
93
Tabela 3.1.3 -
Estratégias utilizadas pelos estudantes na resolução do P8...................
95
Tabela 3.1.4 -
Desempenho geral dos 248 estudantes na categoria Transformação.....
97
Tabela 3.1.5 -
Estratégias utilizadas pelos estudantes na resolução do P1...................
99
Tabela 3.1.6 -
Estratégias utilizadas pelos estudantes na resolução do P10.................
100
Tabela 3.1.7 -
Estratégias utilizadas pelos estudantes na resolução do P3...................
101
Tabela 3.1.8 -
Estratégias utilizadas pelos estudantes na resolução do P6...................
102
Tabela 3.1.9 -
Estratégias utilizadas pelos estudantes na resolução do P7...................
104
Tabela 3.1.10-
Desempenho geral dos 248 estudantes na categoria Comparação........
105
Tabela 3.1.11-
Estratégias utilizadas pelos estudantes na resolução do P9...................
106
Tabela 3.1.12-
Estratégias utilizadas pelos estudantes na resolução do P4a.................
107
Tabela 3.1.13-
Estratégias utilizadas pelos estudantes na resolução do P4b.................
108
Tabela 3.1.14-
Estratégias utilizadas pelos estudantes na resolução do P5...................
109
Tabela 3.2.1 -
Tabela 6.1.1 -
Problemas elaborados pelas professoras classificados por categoria e
extensões................................................................................................ 123
Problemas do livro de Matemática adotado pela escola classificados
por categoria e extensões....................................................................... 131
Desempenho de estudantes do 3º ano, em 2011 e 2012, por categorias 215
Tabela 6.1.2 -
Desempenho de estudantes do 3º ano, em 2011 e 2012, por problemas 217
Tabela 6.1.3 -
Estratégias utilizadas pelos estudantes na resolução dos problemas.....
219
Tabela 6.2.1 -
Classificação por categoria dos problemas elaborados pela P.Verde....
224
Tabela 6.2.2 -
Classificação por extensão dos problemas elaborados pela P.Verde..... 224
Tabela 6.2.3 -
Classificação por categoria dos problemas elaborados pela P.Azul......
225
Tabela 6.2.4 -
Classificação por extensão dos problemas elaborados pela P.Azul......
225
Tabela 6.2.5 -
Classificação por categoria dos problemas elaborados pela P.
Vermelho................................................................................................ 226
Classificação por extensão dos problemas elaborados pela P.
Vermelho................................................................................................ 226
Tabela 3.3.1 -
Tabela 6.2.6 -
11
LISTA DE QUADROS
Quadro 1.1.1Quadro 2.4.1-
Tipos de problemas das categorias composição, transformação e
comparação ...........................................................................................
Distribuição dos temas de estudo..........................................................
36
69
Quadro 2.4.2-
Objetivos e participantes dos encontros.................................................
70
Quadro 4.2.1-
Problemas elaborados pelas professoras no primeiro encontro.............
147
Quadro 4.2.2-
Problemas elaborados pelas professoras no segundo encontro..............
153
Quadro 4.2.3-
Problemas elaborados pelas professoras no terceiro encontro...............
159
Quadro 4.2.4-
Problemas elaborados pelas professoras no quarto encontro.................
163
Quadro 4.2.5-
Problemas elaborados pelas professoras no quinto encontro.................
166
Quadro 4.2.6-
Problemas elaborados pelas professoras no sexto encontro...................
168
Quadro 4.2.7-
Problemas elaborados pelas professoras no sétimo encontro................
170
Quadro 4.2.8-
Problemas elaborados pelas professoras no oitavo encontro.................
174
12
SUMÁRIO
INTRODUÇÃO.................................................................................................................................. 16
Minha experiência no e com o Ensino da Matemática .................................................................... 16
Pertinência do estudo ...................................................................................................................... 20
Organização do estudo .................................................................................................................... 23
CAPÍTULO 1 ..................................................................................................................................... 24
APORTE TEÓRICO E REVISÃO DE LITERATURA ........................................................................ 24
1.1 TEORIA DOS CAMPOS CONCEITUAIS ..................................................................................... 24
1.1.1 Campos Conceituais.............................................................................................................. 25
1.1.2 Campo Conceitual Aditivo ................................................................................................... 32
1.1.3 Resultados de pesquisas que discutem a resolução de problemas no Campo Conceitual
Aditivo ............................................................................................................................................ 39
1.2 ENSINO E APRENDIZAGEM DE MATEMÁTICA NOS ANOS INICIAIS DO ENSINO
FUNDAMENTAL.......................................................................................................................... 45
1.2.1 Ensino da Matemática nos Anos Iniciais do Ensino Fundamental ....................................... 45
1.2.2 Ensino da resolução de problemas aditivos .......................................................................... 47
1.3 APRENDIZAGEM MATEMÁTICA DE PROFESSORAS DOS ANOS INICIAIS DO ENSINO
FUNDAMENTAL EM UM GRUPO DE DISCUSSÃO ............................................................... 49
CAPÍTULO 2 ..................................................................................................................................... 54
METODOLOGIA DE INVESTIGAÇÃO ............................................................................................. 54
2.1 OPÇÕES METODOLÓGICAS ....................................................................................................... 54
2.2 DESIGN DE INVESTIGAÇÃO....................................................................................................... 58
2.3. ESTUDO 1 – DIAGNÓSTICO ....................................................................................................... 58
2.3.1 Instrumentos do Estudo 1 ....................................................................................................... 59
2.3.1.1 Instrumento dos alunos ................................................................................................... 59
2.3.1.2 Instrumento das professoras ............................................................................................ 64
2.3.1.3 Problemas do livro de Matemática adotado pela escola ................................................. 65
2.3.2 Análise do Estudo 1 .............................................................................................................. 65
2.3.2.1 Análise Quantitativa........................................................................................................ 65
2.3.2.2 Análise Qualitativa.......................................................................................................... 67
2.4 ESTUDO 2 – GRUPO DE DISCUSSÃO ........................................................................................ 67
2.4.1 Encontros .............................................................................................................................. 68
2.4.2 Dinâmica dos encontros ........................................................................................................ 69
2.4.3 Análise do Estudo 2 .............................................................................................................. 73
13
2.5 ESTUDO 3 – COMPARATIVO ...................................................................................................... 74
2.5.1 Análise do Estudo 3 .............................................................................................................. 75
2.6 CONTEXTO INVESTIGADO E TRAJETÓRIA DO TRABALHO .............................................. 76
2.6.1 Contexto Educacional ............................................................................................................ 76
2.6.1.1 Escola .............................................................................................................................. 77
2.6.1.2 Professoras ...................................................................................................................... 78
2.6.1.3 Alunos ............................................................................................................................. 80
2.6.2 Caminho e Planejamento ...................................................................................................... 81
CAPÍTULO 3 ..................................................................................................................................... 88
ANÁLISE DIAGNÓSTICA .................................................................................................................. 88
3.1 ANÁLISE DO INSTRUMENTO DOS ESTUDANTES ................................................................. 88
3.1.1 Análise quantitativa do instrumento aplicado aos estudantes ............................................... 88
3.1.1.1 Análise do desempenho geral dos estudantes ................................................................. 89
3.1.1.2 Análise do desempenho dos estudantes na categoria de Composição ............................ 91
3.1.1.3 Análise do desempenho dos estudantes na categoria de Transformação ........................ 96
3.1.1.4 Análise do desempenho dos estudantes na categoria de Comparação .......................... 104
3.1.2 Análise qualitativa do instrumento aplicado aos estudantes ............................................... 110
3.1.3 Síntese das análises do instrumento inicial aplicado aos estudantes................................... 120
3.2 ANÁLISE DO INSTRUMENTO DAS PROFESSORAS ............................................................. 121
3.2.1 Análise quantitativa dos problemas de adição e de subtração elaborados pelas professoras
..................................................................................................................................................... 122
3.2.2 Análise qualitativa dos problemas de adição e de subtração elaborados pelas professoras 124
3.2.3 Síntese das análises do instrumento aplicado às professoras .............................................. 129
3.3 ANÁLISE DOS PROBLEMAS DE ADIÇÃO E DE SUBTRAÇÃO DO LIVRO DE
MATEMÁTICA ADOTADO PELA ESCOLA ........................................................................... 129
3.3.1 Análise quantitativa dos problemas de adição e de subtração presentes no livro de
Matemática adotado pela escola .................................................................................................. 130
3.3.2 Análise qualitativa dos problemas de adição e de subtração presentes no livro de Matemática
adotado pela escola ...................................................................................................................... 132
3.3.3 Síntese das análises dos problemas de adição e de subtração do livro de Matemática adotado
pela escola .................................................................................................................................... 137
3.4 SÍNTESE DAS ANÁLISES DOS INSTRUMENTOS DO ESTUDO 1 ....................................... 137
3.5 REFLEXÕES SOBRE OS RESULTADOS DOS TRÊS INSTRUMENTOS DO ESTUDO 1 .... 138
CAPÍTULO 4 ................................................................................................................................... 141
EXPERIÊNCIA DE ENSINO NO GRUPO DE DISCUSSÃO ........................................................... 141
4.1 PRINCÍPIOS GERAIS .................................................................................................................. 141
14
4.2 ENCONTROS COM O GRUPO DE PROFESSORAS................................................................ 143
1º Encontro................................................................................................................................... 143
2º Encontro................................................................................................................................... 147
3º Encontro................................................................................................................................... 154
4º Encontro................................................................................................................................... 160
5º Encontro................................................................................................................................... 164
6º Encontro................................................................................................................................... 167
7º Encontro................................................................................................................................... 168
8º Encontro................................................................................................................................... 171
CAPÍTULO 5 ................................................................................................................................... 175
ANÁLISE INTERPRETATIVA .......................................................................................................... 175
5.1 CONTRIBUIÇÕES NA APRENDIZAGEM E ENSINO DA RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS
ADITIVOS ........................................................................................................................................... 176
5.1.1 Contribuições relacionadas ao conhecimento do Campo Conceitual Aditivo ..................... 176
5.1.1.1 Contribuições relacionadas aos conteúdos do Campo Conceitual Aditivo ................... 177
5.1.1.2 Contribuições relacionadas aos conteúdos do Campo Conceitual Aditivo, necessários
para ensinar a resolução de problemas aditivos ........................................................................... 179
5.1.2 Contribuições relacionadas ao conhecimento pedagógico do Campo Conceitual Aditivo .. 186
5.1.2.1 Contribuições relacionadas às estratégias de resolução e ao desempenho dos estudantes
no Campo Conceitual Aditivo ..................................................................................................... 187
5.1.3 Síntese das contribuições na aprendizagem do ensino da resolução de problemas aditivos 196
5.2 LIMITAÇÕES NA APRENDIZAGEM E ENSINO DA RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS
ADITIVOS ................................................................................................................................... 197
5.2.1 Limitações relacionadas ao conhecimento do Campo Conceitual Aditivo .......................... 197
5.2.1.1 Limitações relacionadas aos conteúdos do Campo Conceitual Aditivo ....................... 198
5.2.1.2 Limitações relacionadas aos conteúdos do Campo Conceitual Aditivo, necessários para
ensinar a resolução de problemas aditivos ................................................................................... 199
5.2.2 Limitações relacionadas ao conhecimento pedagógico do Campo Conceitual Aditivo ....... 202
5.2.2.1 Limitações relacionadas às estratégias de ensino do Campo Conceitual Aditivo......... 202
5.2.3 Síntese das limitações na aprendizagem do ensino da resolução de problemas aditivos ..... 205
5.3 ASPECTOS INSTITUCIONAIS E DE CONTEXTO ................................................................... 206
CAPÍTULO 6 ................................................................................................................................... 210
ANÁLISE COMPARATIVA .............................................................................................................. 210
6.1 ANÁLISE COMPARATIVA DO DESEMPENHO DOS ESTUDANTES .................................. 210
6.1.1 Análise comparativa do desempenho geral dos estudantes................................................. 211
6.1.2 Análise comparativa do desempenho dos estudantes por categorias .................................. 212
15
6.1.3 Análise comparativa do desempenho dos estudantes por problemas .................................. 214
6.1.4 Análise comparativa das estratégias de resolução utilizadas pelos estudantes ................... 217
6.1.5 Síntese das análises comparativas do desempenho dos estudantes ..................................... 219
6.2 ANÁLISE COMPARATIVA DOS PROBLEMAS ELABORADOS PELAS PROFESSORAS . 220
6.2.1 Análise geral dos problemas elaborados pelas três professoras .......................................... 220
6.2.2 Análise comparativa dos problemas elaborados por P. Verde ............................................ 223
6.2.3 Análise comparativa dos problemas elaborados por P. Azul .............................................. 224
6.2.4 Análise comparativa dos problemas elaborados por P. Vermelho ...................................... 225
6.2.5 Síntese das análises comparativas dos problemas elaborados pelas professoras ................ 226
CONSIDERAÇÕES FINAIS ........................................................................................................ 228
REFERÊNCIAS .............................................................................................................................. 241
APÊNDICES .................................................................................................................................... 246
APÊNDICE A – Instrumento aplicado aos estudantes nos Estudo 1 e 3 ..................................... 246
APÊNDICE B – Instrumento aplicado às professoras nos Estudo 1 e 3 ..................................... 248
APÊNDICE C - Instrumento aplicado às professoras no Estudo 2 ............................................. 249
APÊNDICE D – Alguns questionamentos da entrevista com as professoras .............................. 250
APÊNDICE E – Instrumento aplicado aos estudantes no Estudo 3............................................. 251
16
INTRODUÇÃO
Este trabalho tem como objetivo identificar e compreender contribuições de um estudo
do Campo Conceitual Aditivo, baseado na Teoria dos Campos Conceituais e na reflexão sobre
a ação docente frente à resolução de problemas aditivos, junto a professoras dos anos iniciais
do Ensino Fundamental, por meio de grupos de discussão.
Para justificar a realização deste estudo, inicio referindo-me a minha motivação
pessoal por meio do relato de algumas vivências profissionais e acadêmicas no e com o ensino
da Matemática e, na sequência, apresento alguns resultados de pesquisa para destacar a
relevância de um estudo deste tipo para a comunidade educacional e para a sociedade. Por
fim, apresento o modo como o estudo está organizado.
Minha experiência no e com o Ensino da Matemática
O presente estudo surgiu das minhas experiências enquanto professora dos anos
iniciais do Ensino Fundamental (1978 a 1988), professora de Didática da Matemática no
Curso Normal (1986 a 2003), professora da disciplina de Metodologia de Ensino de
Matemática em Curso de Pedagogia (2004 a 2008) e das minhas preocupações frente às
dificuldades apresentadas tanto pelos estudantes dos anos iniciais quanto pelas alunas do
Curso Normal e do Curso de Pedagogia em minha terra natal, Uruguaiana - RS.
Meus dez primeiros anos de prática docente aconteceram em turmas dos anos iniciais
do Ensino Fundamental de escolas públicas estaduais. Nos primeiros anos, atuei como
professora unidocente, ou seja, eu ensinava todos os componentes curriculares, inclusive
Ensino Religioso, Educação Artística e Educação Física; depois passei a ensinar somente
Matemática e Ciências para essas turmas. Aprendi muito com minhas colegas, com meus
alunos e com as mães ou responsáveis por eles. Realizávamos um trabalho sério, responsável
e comprometido com a aprendizagem. Durante esse período, participei de diversos cursos de
formação docente oferecidos, em sua maioria, pela Secretaria de Educação do Estado do RS.
Esse aprendizado me oportunizou trabalhar como professora de Didática da
Matemática no Curso Normal de uma escola pública de Ensino Médio. Essa experiência me
deu o privilégio de fazer parte de um grupo de educadores preocupados com a formação de
um cidadão autônomo, crítico e responsável. Com esse grupo, enfrentei desafios e conflitos
oriundos do nosso desejo de mudança, da nossa vontade de fazer o melhor pela educação
17
pública. Em especial, nesse grupo, fortaleci minha postura reflexiva, pois realizávamos
encontros periódicos de discussão para repensar nossa prática docente.
O conhecimento prático-teórico construído na ação docente nas escolas públicas
fortaleceu minha formação pessoal e profissional e contribuiu com a minha atuação como
professora de Metodologia de Ensino de Matemática do Curso de Pedagogia. Ao oportunizar
uma discussão teórico-prática sobre como ensinar Matemática nos anos iniciais do Ensino
Fundamental, retomei uma estreita relação com as graduandas, algumas já professoras e
outras ainda futuras professoras dos anos iniciais do Ensino Fundamental. Esse vínculo me
mostrou evidências que revelavam que os aprendizados matemáticos delas haviam se pautado
na memorização de regras. A precariedade do conhecimento matemático dessas alunas do
Curso de Pedagogia e minha experiência como professora no Curso Normal me instigaram a
investigar, no Mestrado, como a formação de um grupo de estudos se constitui numa
possibilidade de formação continuada de professoras dos anos iniciais do Ensino Fundamental
na área de ensino da Geometria.
Essa pesquisa foi desenvolvida com as quatro docentes dos anos iniciais do Ensino
Fundamental da escola pública estadual na qual eu lecionava em 2006. Essa escolha esteve
pautada no desejo de aprender mais sobre como ensinar Geometria, revelado por essas
professoras em reuniões na escola. Após a realização de treze encontros de uma hora e meia
cada um, foi realizada a análise dos registros feitos no diário de campo e das transcrições das
entrevistas com as professoras. A conclusão a que cheguei é que as discussões e reflexões
efetuadas nos encontros provocaram mudanças no ensino da Geometria realizado por essas
professoras. Essas mudanças estiveram sinalizadas nas alterações realizadas no fazer
pedagógico e na maneira de pensar o ensino de Geometria por essas profissionais. Também,
argumento que foi possível resgatar o ensino da Geometria nas turmas daquelas professoras,
qualificando o trabalho das mesmas a partir da constituição de grupos de estudos.
Embora na investigação realizada no Mestrado, o foco de discussão fosse o ensino da
Geometria, as professoras, frequentemente, expressavam suas preocupações frente às
dificuldades apresentadas pelas crianças na resolução de problemas. Além disso, realizar a
formação com as professoras me possibilitou perceber limitações delas referentes tanto ao
domínio de conteúdos matemáticos quanto ao ensino desses conteúdos, ao mesmo tempo em
que elas evidenciavam uma grande vontade de fazer melhor o seu fazer docente. Essa vontade
de algumas sempre me estimulou a buscar mais conhecimento em teorias que discutem o
ensino da Matemática nos anos iniciais do Ensino Fundamental para poder continuar
oportunizando espaços de discussão. Acredito que a semente plantada nessas discussões
18
encontre em algumas professoras dos anos iniciais do Ensino Fundamental um terreno fértil e
acaba germinando e anos após ainda colhemos alguns frutos, ao sermos procuradas por outras
professoras que, assim como aquelas, sentem vontade de aprender para fazer melhor.
Após o Mestrado, fui procurada pela coordenadora pedagógica de uma escola
municipal de Uruguaiana que me solicitou que desenvolvesse em sua escola um projeto
semelhante ao desenvolvido na escola estadual. No desejo de continuar resgatando e
qualificando o ensino da Geometria, em março de 2008, aceitei o convite dessa escola e
iniciei um projeto semelhante ao desenvolvido no Mestrado, mas com 23 professoras dos anos
iniciais do Ensino Fundamental daquela escola. Não consegui concluir o trabalho com essas
professoras, porque em junho de 2008 fui aprovada no concurso público para professora de
Ensino de Matemática na Universidade Federal do Recôncavo da Bahia – UFRB e, em agosto
de 2008, tomei posse nessa universidade. Entretanto, mantive contato com a coordenadora
pedagógica da escola, que me relatava algumas atividades de ensino da Geometria
desenvolvidas pelas professoras a partir das discussões quinzenais no grupo de estudos que
coordenei.
Enquanto professora da área de Ensino da Matemática na UFRB, participei como
pesquisadora-colaboradora no projeto intitulado “Um estudo sobre o domínio das Estruturas
Aditivas nas séries iniciais do Ensino Fundamental no Estado da Bahia - PEA”. Participar
desse projeto me proporcionou aprofundar estudos sobre a Teoria dos Campos Conceituais,
mais especificamente sobre o Campo Conceitual Aditivo, sobretudo no que se refere à
elaboração de situações-problema segundo os conceitos envolvidos em cada uma delas. O
contato com as escolas e a análise do desempenho dos estudantes me possibilitou conhecer
um pouco da realidade das escolas nordestinas no que se refere ao ensino da resolução de
problemas de adição e de subtração. A experiência como professora de ensino de Matemática
na UFRB me conduziu a aprovação em um concurso nessa área, na Universidade Federal de
Sergipe - UFS.
Como pesquisadora e professora na área de Ensino de Matemática, sempre tive
presente uma grande preocupação com o ensino dos números e das quatro operações
fundamentais, desvinculados da resolução de problemas, por acreditar que o domínio de
procedimentos de cálculo, de forma isolada, não desenvolve o pensamento matemático, não
garante que os estudantes se tornem capazes de mobilizar conhecimentos necessários para a
resolução de uma situação-problema. Minha experiência profissional, frequentemente, me tem
mostrado casos nos quais estudantes do Ensino Fundamental não conseguem resolver cálculos
19
básicos com números naturais, e a dificuldade se intensifica mais ainda quando lhes são
apresentadas situações-problema para serem resolvidas.
Esse fato reflete-se nos resultados apresentados nos dados do Índice de
Desenvolvimento da Educação Básica (IDEB) de algumas escolas. Em relação ao
desempenho em Matemática, os alunos das escolas municipais do município envolvido nesta
pesquisa saíram de um patamar de 2,4 em 2005 e chegaram a 3,4 em 2009. Embora esse
resultado evidencie que houve uma melhora gradativa, pois em 2007 o IDEB em Matemática
desse município foi 3,0, ainda assim, muito ainda precisava ser feito, com vistas a alcançar a
meta nacional brasileira para 2013, que foi 4,9 (BRASIL, 2010).
Ao conhecer essa realidade, e lembrando-me das necessidades evidenciadas pelas
professoras participantes dos outros projetos, dentre as quais destaco a dificuldade na
resolução de problemas, decidi propor um estudo que, ao mesmo tempo em que me permitisse
investigar este outro contexto, também já me oportunizasse intervir nele, contribuindo para
sua melhoria. Assim, surgiu a ideia de constituir um grupo de discussão com as professoras
dos anos iniciais do Ensino Fundamental de uma escola municipal do interior do estado de
Sergipe, para se estudar o ensino do Campo Conceitual Aditivo.
Assim, com esse propósito, neste trabalho de pesquisa que apresento, antes de
constituir o grupo de discussão com as professoras, realizei um estudo diagnóstico, nomeado
de Estudo 1, para conhecer a realidade do contexto educacional envolvido frente ao ensino e
aprendizado da resolução de problemas aditivos. Para tanto, apliquei um instrumento com dez
problemas aditivos a 248 estudantes do 2º ao 5º ano das 11 turmas dos anos iniciais do Ensino
Fundamental da escola escolhida, e solicitei às professoras desses estudantes que elaborassem
seis problemas de adição e/ou subtração. A aplicação do instrumento aconteceu no mesmo dia
para alunos e professoras e, nesse mesmo dia, coletei um exemplar de cada ano escolar (2º ao
5º ano) do livro de Matemática adotado pela escola.
De posse dos dados coletados no Estudo 1, constituí o grupo de discussão com as
professoras dos anos iniciais do Ensino Fundamental da escola envolvida, nomeado de Estudo
2. No grupo, foram realizados estudos do Campo Conceitual Aditivo com base na Teoria dos
Campos Conceituais (TCC). Os dados relativos ao desempenho dos estudantes nos dez
problemas, as estratégias utilizadas por eles nas resoluções dos problemas, a classificação dos
problemas elaborados pelas professoras e os do livro de Matemática adotado pela escola
serviram para provocar discussões e reflexões dos processos de ensino e de aprendizagem das
Estruturas Aditivas. O estudo no grupo de discussão começou com a participação de oito
professoras, mas somente quatro permaneceram até o final do trabalho.
20
No mês seguinte à conclusão do estudo com as professoras, houve uma segunda
aplicação do instrumento com dez problemas aos estudantes, e, após seis meses, foi realizada
uma terceira aplicação desse instrumento. Nas mesmas datas das reaplicações do instrumento
aos estudantes, também as professoras novamente elaboraram seis problemas aditivos (Estudo
3). Os dados coletados nessas reaplicações foram comparados com os dados da primeira
aplicação, realizada no Estudo 1.
Levando em consideração essas etapas de desenvolvimento do estudo, além do
objetivo geral já apresentado, em particular, tenho como objetivos específicos para o Estudo
1: (i) identificar o desempenho dos estudantes dos anos iniciais do Ensino Fundamental na
resolução de problemas aditivos, (ii) perceber a relação entre o desempenho dos alunos nos
problemas aditivos, os problemas elaborados pelas professoras e os apresentados no livro de
Matemática adotado pela escola. Para o Estudo 2: (iii) promover o ensino e a discussão das
noções do Campo Conceitual Aditivo junto às professoras dos anos iniciais do Ensino
Fundamental; (iv) discutir de modo crítico e reflexivo, no grupo, as relações percebidas entre
o desempenho dos alunos nos problemas aditivos, os problemas elaborados pelas professoras
e os apresentados no livro de Matemática adotado pela escola; (v) oportunizar, no grupo de
discussão, a reflexão sobre as estratégias utilizadas pelos estudantes na resolução dos
problemas de adição e subtração apresentados no instrumento inicial. Para o Estudo 3: (vi)
identificar possíveis contribuições do estudo das estruturas aditivas, realizado junto a um
grupo de professoras dos anos iniciais do Ensino Fundamental; e (vii) examinar se o estudo
realizado no grupo de discussão com as professoras interferiu no desempenho dos estudantes
na resolução de problemas de adição e subtração.
A partir dos objetivos da investigação, delineei a seguinte questão de pesquisa:
Quais contribuições um estudo do Campo Conceitual Aditivo, baseado na Teoria dos
Campos Conceituais e na reflexão sobre a ação docente, realizado com professoras dos anos
iniciais do Ensino Fundamental de uma escola municipal do interior de Sergipe, traz para o
aprendizado e ensino da resolução de problemas aditivos?
Pertinência do estudo
Um grande número de pesquisas que abordam as Estruturas Aditivas ou o Campo
Aditivo envolve alunos, algumas envolvem professoras, outras envolvem os alunos e suas
professoras, e ainda há algumas que envolvem alunos e o livro de Matemática adotado pela
21
escola. Contudo, nenhuma delas envolve as professoras, seus alunos e o livro de Matemática
adotado pela escola.
Os resultados dos estudos que têm como sujeitos alunos dos anos iniciais do Ensino
Fundamental apresentam alguns diagnósticos de desempenho desses estudantes. Esses
diagnósticos revelam que poucas crianças apresentam soluções diferentes por meio de
desenhos, da escrita alfabética e do cálculo mental; a maioria utiliza soluções com a continha
armada (FREITAS, 2005). Indicam, ainda, que os alunos interpretam mais facilmente os
problemas de transformações e composição de duas transformações, enquanto nos problemas
de comparação de estados o desempenho é mais baixo, e que as crianças conseguem
identificar facilmente qual operação realizar nos problemas de transformações e composição
de transformações, nos quais o enunciado dá um indício da operação. Também, que
apresentam maior dificuldade nos problemas de comparação (HEREBIA, 2007), nos
problemas com incongruência entre a operação a ser realizada e os verbos ou expressões
portadoras de informação e nas relações ou transformações que exigem inversão da sequência
temporal (GUIMARÃES, 2005). Guimarães (2005) complementa afirmando que não é
possível atribuir à frequência e à natureza dos problemas de estrutura aditiva nos materiais
didáticos utilizados, a origem das dificuldades dos alunos no momento da resolução e,
independente da forma de aplicação das provas (individual ou coletiva), o índice de acertos
foi menor nos mesmos problemas.
Os pesquisadores constataram que após uma intervenção com realização de problemas
aditivos, há um crescimento no desempenho dos alunos, indicando a superação de algumas
dificuldades, tais como a prática do cálculo mental e oral, e um desenvolvimento conceitual
dos mesmos em relação à classificação de diferentes problemas aditivos (SILVA, 2003) e que,
ao participarem de jogos, os estudantes se sentiram mais influenciados a resolver os
problemas matemáticos aditivos, utilizando a estratégia do cálculo mental (COSTA, 2011).
Ainda, foi percebido um avanço na capacidade de resolver situações aditivas, desde as mais
simples até as mais complexas, e que a utilização dos distintos suportes didáticos apresentou
supremacia no desempenho dos estudantes em duas categorias de situações-problema:
transformação de uma relação e composição de várias transformações (SANTANA, 2010).
Outros resultados complementam os já citados, destacando o avanço das crianças da 2ª e 3ª
séries, que ao construírem os significados da adição e da subtração, elaboram esquemas cada
vez mais avançados, demonstrando progresso, principalmente, na compreensão da operação
subtração (JUSTO, 2004).
22
Esses resultados apontam algumas dificuldades que podem ser interpretadas como
falta de familiaridade com alguns tipos de situações aditivas, dentre elas podem ser destacadas
as situações de comparação, e alguns avanços no desempenho dos estudantes, resultados de
intervenções realizadas pelos pesquisadores no ensino da resolução de problemas aditivos.
Os trabalhos que envolvem professoras dos anos iniciais do Ensino Fundamental
ressaltam que a prática pedagógica dessas docentes na sala de aula revela que elas
desconhecem a TCC; não dão importância à variedade de situações apresentadas por
Vergnaud (1996a); atribuem importância à tabuada e ao trabalho com o algoritmo da adição e
da subtração, como única forma de representação; e apresentam dificuldades quando as
situações apresentadas exigem raciocínios mais sofisticados (REGES, 2006).
Contudo,
durante um processo de formação sobre o Campo Conceitual Aditivo, as docentes envolvidas
apresentaram evidências de (re) construção de conceitos desse campo conceitual (SILVA,
2012).
Os resultados encontrados por esses autores, nos trabalhos realizados com as
professoras, revelam um diagnóstico similar ao encontrado nos estudos realizados com os
estudantes, pois as dificuldades apresentadas também podem ser interpretadas como falta de
familiaridade com alguns tipos de situações aditivas. E, assim como nos trabalhos realizados
com os estudantes, após o estudo, as professoras avançaram no aprendizado dos conceitos do
Campo Conceitual Aditivo.
É possível perceber, nos trabalhos que abordam o Campo Conceitual Aditivo, que os
resultados apresentam diagnósticos dos contextos investigados que respondem questões
relacionadas à compreensão dos conceitos, ao desempenho e às dificuldades dos estudantes
nas diferentes situações que compõem esse campo conceitual e ao conhecimento e
aprendizado das professoras na (re) construção desses conceitos. Entretanto, neles, não
encontrei resultados que analisem a relação entre o desempenho dos estudantes, os problemas
elaborados pelas professoras e os problemas presentes no livro de Matemática adotado pela
escola. Também neles, não foram destacadas contribuições de um estudo do Campo Aditivo
junto a professoras dos anos iniciais do Ensino Fundamental.
Diante do exposto e levando em conta: (i) que é nos anos iniciais do Ensino
Fundamental que alunos constroem os conceitos básicos da Matemática, tanto em relação aos
números como em relação às quatro operações fundamentais e a resolução de problemas; (ii)
a afirmação de Vergnaud de que “somente um conhecimento claro das noções a ensinar pode
permitir ao professor compreender as dificuldades encontradas pela criança e as etapas pelas
quais ela passa” (VERGNAUD, 2009, p.15) e (iii) a necessidade de se identificar e
23
compreender aspectos relacionados às contribuições presentes num estudo do Campo Aditivo
realizado com professoras dos anos iniciais do Ensino Fundamental, considero que este
estudo é pertinente.
Organização do estudo
Na introdução deste trabalho, comento minha experiência no e com o ensino de
Matemática, expresso os objetivos, a questão de investigação e fundamento a pertinência do
estudo, apresentando alguns resultados de pesquisas que discutem a resolução de problemas
aditivos. No primeiro capítulo, abordo temas centrais deste estudo: a Teoria dos Campos
Conceituais, o ensino e a aprendizagem da Matemática e a aprendizagem matemática de
professoras em um grupo de discussão. Nele, também apresento alguns resultados de
trabalhos de pesquisadores brasileiros que fizeram uso da Teoria dos Campos Conceituais
para estudar o Campo Conceitual Aditivo.
No segundo capítulo, apresento e justifico as opções metodológicas e o design de
investigação; descrevo os procedimentos e as técnicas de recolha e análise dos dados; e
exponho o contexto investigado e a trajetória do trabalho.
No capítulo três, realizo uma análise diagnóstica com os dados coletados no Estudo 1.
Essa análise, com viés quantitativo e qualitativo, busca dar a conhecer aspectos da
compreensão dos estudantes e das professoras deles sobre a resolução de problemas de
Estruturas Aditivas e, ainda, apresenta a classificação dos problemas aditivos presentes no
livro de Matemática adotado pela escola.
No capítulo quatro, destaco a experiência de ensino com as professoras no grupo de
discussão. Nele, comento os princípios gerais e a organização de cada um dos encontros.
No capítulo cinco, apresento a análise interpretativa realizada a partir dos registros
escritos relativos às idas à escola e aos encontros do grupo de discussão, e das transcrições das
entrevistas realizadas com as professoras que frequentaram os encontros.
No capítulo seis, realizo a análise comparativa dos dados relativos ao instrumento
aplicado aos estudantes e às professoras nos Estudos 1 e 3, para identificar indícios que
possibilitem perceber se o estudo realizado no grupo de discussão interferiu no desempenho
dos estudantes e na maneira das professoras elaborarem os problemas de adição e subtração.
No capítulo sete, faço referência às limitações do estudo realizado, enunciando
algumas recomendações para trabalhos futuros. Termino, apresentando as principais
conclusões tendo em conta as questões e os objetivos formulados.
24
CAPÍTULO 1
APORTE TEÓRICO E REVISÃO DE LITERATURA
Neste capítulo, abordo as ideias que fundamentam o aporte teórico da pesquisa. No
primeiro tópico, nomeado de Teoria dos Campos Conceituais, apresento definições e
elementos que a constituem e resultados de algumas pesquisas sobre o Campo Conceitual
Aditivo. No segundo tópico, intitulado Ensino e Aprendizagem da Matemática nos Anos
Iniciais do Ensino Fundamental, destaco aspectos relacionados ao ensino e à aprendizagem da
Matemática nos anos iniciais do Ensino Fundamental e, sobretudo, ao ensino da resolução de
problemas aditivos. No terceiro tópico, intitulado Aprendizagem matemática de professoras
dos anos iniciais do Ensino Fundamental em um Grupo de Discussão, discuto fatores
relacionados à formação matemática nos cursos de Pedagogia e à possibilidade de discussão
do ensino do Campo Conceitual Aditivo, por meio da constituição de um grupo de estudos.
1.1 TEORIA DOS CAMPOS CONCEITUAIS
Gérard Vergnaud, psicólogo, professor e pesquisador do Centro Nacional de Pesquisa
Científica (CNRS) da França, discípulo de Piaget, desenvolveu a Teoria dos Campos
Conceituais (TCC), na qual redireciona o foco de estudo piagetiano ao ter um olhar para além
das operações lógicas e das estruturas de pensamento, ao estudar sobre o funcionamento
cognitivo do “sujeito-em-situação”. Por esse motivo, o autor concebe a Teoria dos Campos
Conceituais como sendo “uma teoria cognitivista que visa fornecer um quadro coerente e
alguns princípios de base para o estudo do desenvolvimento e da aprendizagem das
competências complexas, nomeadamente daquelas que relevam as ciências e as técnicas”
(VERGNAUD, 1996a, p.155). Para ele, o funcionamento cognitivo do aluno se revela no
momento da realização das operações, pois elas representam a estrutura cognitiva elaborada.
Para esse estudo, tomou como referência o conteúdo a ser ensinado e a análise da formação
dos conceitos nos diferentes domínios do pensamento racional (VERGNAUD, 2009).
Também, aspectos como interação social, linguagem e simbolização, próprios da
teoria de Vygotsky estão presentes na TCC, tanto no processo de apropriação do domínio de
um campo conceitual pelo aluno, como na elaboração pelo professor de atividades que
oportunizem que estudantes desenvolvam esquemas de ação na zona de desenvolvimento
proximal (VERGNAUD, 1998).
25
Embora Vergnaud tenha priorizado o estudo dos campos conceituais das Estruturas
Aditivas e das Estruturas Multiplicativas, a TCC não é específica da Matemática. Atualmente,
por exemplo, ela tem despertado o interesse de pesquisadores da área de ensino de Ciências
(MOREIRA, 2004) ao explorarem conteúdos de Física e de Biologia a partir de campos
conceituais. Na Física, pode-se ilustrar com o estudo da Mecânica, Eletricidade e Termologia
que não pode ser feito de forma isolada, pois há conceitos que interligam esses campos.
Desta forma, fica destacado que “a teoria dos campos conceituais supõe que o âmago
do desenvolvimento cognitivo é a conceitualização” (VERGNAUD, 1996b, p118), o que
implica atribuir ao conhecimento, entendido tanto como “saber fazer” como “saber
expressar”, e as suas funções adaptativas, um lugar central na ação do sujeito. A linguagem e
o simbolismo representam um papel muito importante na conceitualização, porque por meio
delas os conceitos são expressos e adquirem sentido através das situações resolvidas pela
criança.
Nessa teoria, entende-se que os conteúdos devem ser abordados a partir dos campos
conceituais que os envolvem. Com especial atenção, neste trabalho, dá-se ênfase aos
conceitos relevantes no estudo do Campo Conceitual Aditivo. Entretanto, antes, faz-se
necessário deixar claro o que é um campo conceitual.
1.1.1 Campos Conceituais
Na TCC, o conhecimento é resultado de uma interligação de conceitos, o que acaba
formando uma rede complexa de conceitos, chamada de campo conceitual. Vergnaud
conceitua campo conceitual como sendo “um conjunto informal e heterogêneo de problemas,
situações, conceitos, relações, estruturas, conteúdos e operações de pensamento, conectados
uns aos outros e, provavelmente, entrelaçados durante o processo de aquisição”
(VERGNAUD, 1982, p.40).
Para o autor, o domínio de um campo conceitual é construído pelo aluno a partir da
superação de dificuldades conceituais enfrentadas ao longo de um largo período de tempo de
estudo, por meio da experiência, da maturidade e da aprendizagem. A experiência está
vinculada às vivências cotidianas de interação do sujeito com o objeto; a maturidade se refere
ao crescimento fisiológico e ao desenvolvimento do sistema nervoso; e a aprendizagem é um
fator que atua na construção do conhecimento do aluno e tem influência da atuação do
professor (planejamento, proposta).
26
Vergnaud (1982), também define campo conceitual como um conjunto de situações
cujo domínio requer o domínio de outros conceitos de naturezas distintas. No caso deste
estudo, devemos ter em mente que a compreensão dos conceitos que envolvem as operações
de adição e de subtração não surge a partir de uma única situação. Para que tal compreensão
ocorra, torna-se necessário que o indivíduo depare-se com diversas e distintas situações, pois
“os conceitos matemáticos traçam seus sentidos a partir de uma variedade de situações, e cada
situação normalmente não pode ser analisada com a ajuda de apenas um conceito”
(MAGINA, CAMPOS et al., 2008, p. 8).
Para se compreender a concepção de Campo Conceitual na TCC, além de
esclarecermos o entendimento de conceito, precisamos ter claro como essa teoria vê as
situações, os esquemas e as invariantes operatórias.
Uma abordagem didática referente à formação de conceitos matemáticos nos leva a
considerar o conceito como um conjunto de invariantes utilizáveis na ação. Assim, a definição
de um conceito está vinculada ao conjunto de situações que constituem as referências de suas
diferentes propriedades e ao conjunto de esquemas utilizados pelos sujeitos nessas situações
(VERGNAUD, 1996a, p. 166).
A ação operatória envolve a utilização de significantes explícitos (palavras,
enunciados, símbolos e signos) e isso é indispensável à conceitualização o que, segundo
Vergnaud (1996a), conduz a considerar que a formação de um conceito está apoiada em um
tripé de conjuntos, C (S, I, R), no qual:
S é um conjunto de situações, que dão sentido ao conceito (a referência);
I é um conjunto de invariantes sobre os quais repousa a operacionalidade dos
esquemas (o significado);
R é um conjunto de formas, que permitem representar simbolicamente o conceito, as
suas propriedades, as situações e os procedimentos de tratamento (o significante)
(VERGNAUD, 1996a).
Para estudar o desenvolvimento e o uso de um conceito no processo de sua
aprendizagem ou utilização, é preciso considerar esses três conjuntos ao mesmo tempo. Em
geral, não há correspondência biunívoca entre eles, o que significa que nenhum deles pode ser
excluído dessa relação. Ainda, é importante destacar que a noção de representação não se
reduz ao uso adequado de símbolos ou de signos, ela representa a interação entre o significado
(I) e o significante (R).
Neste trabalho, as situações (S) envolvidas dão sentido aos conceitos do Campo
Conceitual Aditivo; as invariantes operatórias (I) dão significado aos procedimentos
27
operatórios envolvidos na resolução dos problemas aditivos, representados pelos estudantes,
na maioria das vezes, pelo cardinal da soma ou da subtração, os significantes (R).
Com base em minha experiência com os estudantes baianos, busco ilustrar o tripé no
qual estão amparados os conceitos parte e todo. Para tanto, apresento duas resoluções de
estudantes do 3º ano do Ensino Fundamental para a seguinte situação-problema: Um aquário
tem 13 peixes de cor dourada e cinza. Cinco peixes são dourados. Quantos são os peixes
cinza?
Estudante 1
Resolução
Estudante 2
Resposta
13
- 5
8
Resolução
Resposta
5
Tem 8 peixes cinza
+ 8
8 peixes
13
A situação (S) apresentada tem como propósito dar sentido aos conceitos parte e todo.
Os dois estudantes evidenciam conhecer esses conceitos, contudo, as representações (R),
explícitas nos cálculos numéricos representados por eles, revelam indícios de que os
esquemas utilizados não foram os mesmos. A estratégia utilizada pelo Estudante 1 sinaliza
que ele compreende que “se tirarmos uma parte de um todo, sobra a outra parte” (I). Já o
cálculo numérico representado pelo estudante 2 indica que ele compreendeu que “a soma das
partes é igual ao todo” (I). É possível perceber que as invariantes operatórias têm relação com
as representações utilizadas pelos estudantes e com os conceitos presentes na situação.
Na TCC, o conceito de situação está relacionado ao sentido de “tarefa”. Para
Vergnaud “a ideia é que qualquer situação complexa pode ser analisada como uma
combinação de tarefas, cuja natureza e dificuldade próprias é importante conhecer”
(VERGNAUD, 1996a, p.167). Para o autor, uma situação pode envolver uma ou várias tarefas
e, em qualquer desses casos, pode envolver diferentes graus de complexidade. Contudo, a
dificuldade presente na resolução de uma situação que envolve várias tarefas não é resultado
da soma nem do produto das dificuldades das subtarefas presentes na resolução, mas o
fracasso em uma delas resulta no fracasso da situação como um todo.
Ao se referir às tarefas presentes numa situação, Vergnaud (2009) destaca aspectos
que podem tornar a situação mais ou menos complexa. Para o autor
De um modo geral, a complexidade cresce no interior de uma mesma classe de
problemas, com a dificuldade do cálculo necessário. Os números grandes ocasionam
mais dificuldades que os números pequenos, os números decimais, mais dificuldades
que os números inteiros [...] (VERGNAUD, 2009, p.212).
28
Na situação: “Um paulistano viaja de carro em férias. Ao sair de São Paulo seu
velocímetro marca 63.809km; na volta marca 67.351km. Quantos quilômetros ele percorreu
durante as férias?” (VERGNAUD, 2009, p.208), os valores dos estados inicial e final não
permitem que os estudantes utilizem o procedimento da “complementação”, comumente
utilizado em situações desse tipo, porque ficaria muito difícil partir do 63.809 e ir
completando até chegar no 67.351. Dessa forma, a resolução, obrigatoriamente, envolve o
procedimento da “diferença”, considerado mais complexo para o estudante. Por esse motivo,
o grau de complexidade de alguns problemas depende dos valores presentes nas situações.
Contudo, o autor ainda afirma que, embora a forma como os enunciados foram
redigidos e a quantidade de elementos sejam fatores que estejam relacionados com a maior ou
menor complexidade de uma situação, esses fatores estão subordinados aos conceitos
envolvidos na situação. Para ele, a TCC privilegia atividades que atribuem um papel essencial
aos próprios conceitos matemáticos.
Ao assumir para sua teoria que os processos cognitivos e as respostas dos sujeitos se
relacionam com as situações vivenciadas, Vergnaud (1996b) destaca duas ideias principais
inerentes a essa forma de conceber uma situação: variedade e história.
Para o autor, a ideia de variedade está presente nos diferentes tipos de situações que
contemplam um mesmo campo conceitual, e a ideia de história está presente no conhecimento
do sujeito referente às situações que aos poucos ele vai dominando. Parte desse conhecimento
é fruto das primeiras situações vivenciadas por ele envolvendo esses conceitos. Segundo
Vergnaud, muitas concepções que incorporamos vêm das primeiras situações que fomos
capazes de dominar ou de nossa experiência tentando modificá-las (VERGNAUD, 1996b).
No caso das situações que envolvem os conceitos do Campo Conceitual Aditivo, cujas
tarefas exigem uma adição, uma subtração ou uma combinação dessas operações, a ideia de
que o todo é resultado da junção de duas ou mais partes é uma ideia construída pela criança de
4 ou 5 anos a partir da vivência de situações cotidianas, nas quais ela compreende que juntar a
quantidade de bolinhas azuis com as amarelas lhe permite saber a quantidade total de
bolinhas, por exemplo.
Como já foi dito, um conceito necessita de uma variedade de situações para que se
torne significativo, pois são as situações que dão sentido ao conceito. Sentido este que não
está na forma como a situação foi apresentada, mas sim, na relação do sujeito com aquela
situação, ou seja, na ação do sujeito (comportamento e organização) frente à necessidade de
resolução da situação, o esquema que ele utiliza para lidar com aquela situação. No caso da
29
adição, o sentido dessa operação para um sujeito está no conjunto de esquemas que ele aciona
para tratar situações que implicam a ideia de adição sobre símbolos numéricos, algébricos,
gráficos e linguísticos que representam a adição (VERGNAUD, 1996a, p.179). Contudo, por
exemplo, uma situação de adição qualquer não evoca no sujeito todos os esquemas que ele
possui para resolver situações de adição, o que significa que o sentido de uma situação
particular não é o sentido de adição para essa pessoa. Trata-se de um conjunto de esquemas
que estão disponíveis e são possíveis para a resolução daquela situação. Dessa forma, faz-se
necessário compreender o entendimento de esquema na TCC.
Na TCC, é chamado de esquema “a organização invariante da conduta para uma dada
classe de situações” (VERGNAUD, 1996a, p.157). Os esquemas expressam os elementos
cognitivos que evidenciam a ação operatória do sujeito. Essa ação operatória pode envolver
competências que o sujeito dispõe, necessárias ao tratamento da situação, ou então envolver
um conjunto de competências que o sujeito ainda não dispõe. Para Vergnaud (1996a), o
conceito de esquema, embora funcione de maneira diferente em cada um desses casos, é
interessante para os dois, pelo seguinte: no primeiro caso, o sujeito evidencia competência em
situações que pertencem a uma mesma classe, realizando uma conduta muitas vezes
automatizada, organizada por meio de um esquema único; no segundo caso, o fato do sujeito
não dispor de todas as competências necessárias para a resolução daquela classe de situações,
o obriga a um tempo de reflexão e de exploração, a hesitações e tentativas abortadas a partir
do desenvolvimento sucessivo de diversos esquemas que podem se confrontar ou se
complementar e ,quando conduzem à solução procurada, possibilitam a construção de novos
esquemas.
Consideremos um aluno do 4º ano do Ensino Fundamental, competente na resolução
de situações que envolvem o algoritmo da subtração de números naturais e que irá efetuar a
subtração de 152 menos 27. A resolução desse algoritmo, normalmente, é apresentada sob a
forma de um conjunto de regras:
- escreve o número 152;
- escreve abaixo do 152 o número 27, começando pela coluna das unidades;
- em cada coluna, começando pela coluna das unidades, subtrai da quantidade que está
acima a quantidade que está abaixo (2 – 7). Como 2 é menor que 7, será necessário buscar
recurso na ordem superior (dezena). Nesse sentido, transformar uma dezena (das cinco
indicadas) em 10 unidades (ou como costuma-se dizer: “pedir emprestado”), agora temos 12 –
7 que é igual a 5. Escrever essa diferença na linha do resultado, na coluna das unidades;
30
- da mesma forma será feito nas outras colunas, progredindo da direita para a esquerda
até o término das colunas.
Embora as crianças que conseguem realizar toda essa sequência de operações sejam
competentes na resolução desse tipo de situação, é muito difícil para elas expressar o
procedimento descrito acima, pois ele envolve muitos conceitos implícitos. “Um esquema
assenta sempre uma conceitualização implícita” (VERGNAUD, 1996a, p. 159).
Algumas crianças não conseguem realizar toda essa sequência de operações. Vergnaud
(1996a) destaca que os erros mais frequentes dos alunos na resolução de operações de
subtração são: omitir o resto, subtrair o número menor do maior em cada coluna,
independentemente da sua posição em cima ou embaixo. Esses erros resultam de uma falta de
domínio dos conceitos relativos à notação e à estrutura do sistema decimal. Para o autor,
podem ocorrer alguns erros na execução automatizada de um esquema, mas não são esses
erros que explicam os principais equívocos conceituais. Existem elementos cognitivos
relacionados à enumeração e à conservação da igualdade que são ideias matemáticas
indispensáveis ao funcionamento desse esquema.
Assim, no que se refere à categoria de situações para as quais o sujeito dispõe de
competências, o conceito de esquema definido aplica-se facilmente. Entretanto, a observação
e a análise dos processos de resolução, das hesitações e dos erros dos alunos, “mostram que as
condutas em situações abertas são igualmente estruturadas por esquemas” (VERGNAUD,
1996a, p. 160). Para o autor, os esquemas utilizados por essas crianças, embora inadequados
para a situação em estudo, provém daqueles associados às aulas nas quais foram estudadas
situações que têm um parentesco com a situação que está sendo resolvida.
Podemos ilustrar com o caso de um estudante do 4º ano que, ao resolver uma situação
11
+6
porque usou o esquema
77
resolução da multiplicação ao adicionar o 6 a cada algarismo da primeira parcela.
aditiva, resolveu a operação 11 + 6 dessa forma:
de
É possível imaginar que esse fato ocorreu porque esse sujeito reconheceu analogias e
parentescos entre o cálculo numérico das operações de adição e de multiplicação,
evidenciando, entretanto, que ainda não domina as invariantes operatórias, presentes nas
regras de cada uma das operações em estudo.
Na resolução de problemas de adição e de subtração, crianças se deparam com
inúmeras dificuldades conceituais. A identificação de dados no enunciado e a combinação
destas informações nas operações corretas realizadas por alunos obedecem, em geral, a
esquemas que evidenciam domínio dessas situações.
31
Embora cada esquema esteja relacionado a uma classe de situações com características
bem definidas, ele pode ser aplicado pelo estudante a uma classe mais restrita do que aquela a
qual ele poderia ser aplicado com eficácia. Esse avanço ou ampliação da aplicação do
esquema será feito por meio de analogias entre as classes de situações nas quais o esquema já
era operatório para o estudante e as novas situações vivenciadas. Nesse processo, “o
reconhecimento de invariantes é, pois, a chave da generalização do esquema” (VERGNAUD,
1996a, p.161).
Nesse sentido, é possível perceber que um esquema é composto por regras de ações e
de antecipações voltadas à resolução de determinada situação-problema; entretanto, nem
sempre se reconhece que ele é geralmente composto por invariantes operatórias (“conceitosem-ação” e “teoremas-em-ação”) e por inferências (VERGNAUD, 1996a).
Esses “conceitos-em-ação” e “teoremas-em-ação” são operações invariantes contidas
nos esquemas. Segundo Vergnaud (1996a), existem invariantes operatórias de três tipos
lógicos: “proposições”, “função proposicional” e “argumento”.
As invariantes do tipo “proposição” são susceptíveis de serem verdadeiras ou falsas.
Os “teoremas-em-ação” são invariantes operatórias desse tipo. Para que se compreenda
melhor a ideia de teorema, Vergnaud (1996a) exemplifica com uma situação considerada por
ele bastante simples, que diz respeito a uma criança de 5 a 7 anos, na qual uma mãe
primeiramente pede a sua filha que conte quantas pessoas estão na sala da casa, depois pede à
menina que conte quantas pessoas estão no jardim e após pede que conte quantas pessoas ao
todo estão na sala e no jardim. No último pedido, a menina volta na sala e conta: um, dois,
três, quatro. Corre até o jardim e conta: cinco, seis, sete. Ela precisou recontar para informar o
total. O autor afirma que dois anos mais tarde, quando ela tiver 7 anos, não precisará recontar
para saber o todo, ela apenas dirá: 4 + 3 = 7. “Há um teorema matemático que dá conta dessa
competência. Esse teorema é simples. O cardinal do número de pessoas que estão na casa é
igual à soma dos cardinais: o cardinal da sala e o cardinal do jardim somados.”
(VERGNAUD, 1996b, p.14). Dito de outra forma, essa proposição afirma que “o todo é igual
à soma das partes” e é verdadeira para conjuntos que não possuem elementos comuns.
As invariantes do tipo “função proposicional” são indispensáveis na construção das
proposições. No estudo das Estruturas Aditivas, os alunos raramente conseguem explicitar os
conceitos da cardinal, parte, todo, estado inicial, transformação, relação quantificada;
contudo, fazem uso dos mesmos em suas ações, ao resolverem uma situação-problema. Por
exemplo, na situação: “Janet tinha 7 bolinhas de gude. Ela ganha 5 bolinhas de gude. Quantas
bolas de gude ela tem agora?” (VERGNAUD, 1998, p.174), há diferentes “conceitos-em-
32
ação” implicitamente envolvidos na compreensão da mesma: número e cardinal, ganho,
aumentar, transformação, estado inicial e final, adição. A conceitualização, embora implícita
para a criança, está presente na representação do teorema utilizado na resolução do problema.
Figura 1.1.1- Teorema-em-ação para encontrar o estado final
T
I
7
+5
F
?
O teorema-em-ação, presente no diagrama que expressa o esquema utilizado na
resolução do problema, é o seguinte: o cardinal do estado inicial somado ao cardinal da
transformação é igual ao cardinal do estado final. Ao representar esse esquema, o estudante,
implicitamente, evidencia que compreende os conceitos de cardinal, estado inicial e final,
transformação. É neste sentido que os conceitos-em-ação e os teoremas-em-ação se
interligam.
As invariantes de tipo “argumento” podem ser objetos materiais, personagens,
números, relações e mesmo proposições. Na resolução do problema citado por Vergnaud
(1998), o argumento numérico seria fazer o registro 7 + 5 = 12, pois ele representa o esquema
de resolução e nele estão presentes, mesmo que implicitamente, os conceitos-em-ação e os
teoremas-em-ação.
1.1.2 Campo Conceitual Aditivo
Como já destacado anteriormente, na Teoria dos Campos Conceituais há uma
interligação entre conceitos, o que acaba formando uma rede complexa de conceitos. Nela,
para que ocorra o desenvolvimento do conhecimento conceitual, este deve emergir a partir de
situações-problema, isto é, os docentes devem propor a seus alunos situações
problematizadoras que possuam significação para os mesmos para que, dessa forma, tenham
como objetivo desenvolver potencialidades para o surgimento e a aquisição de um conceito
e/ou de vários conceitos que nelas estejam envolvidos. Estudar e construir conceitos a partir
da vivência de situações torna o conhecimento útil, mas não se pode esquecer que o
desenvolvimento do mesmo se faz a longo prazo (VERGNAUD, 1996a).
33
As situações presentes em nosso cotidiano, tais como comprar balas, contar pessoas e
objetos, participar de jogos, são para uma criança atividades favoráveis ao desenvolvimento
das conceitualizações matemáticas relativas ao número e à adição e subtração. Entretanto, as
atividades do cotidiano nos oportunizam vivenciar um pequeno número de casos entre os
problemas possíveis que envolvem aqueles conceitos. No que diz respeito à atividade de
compras, Vergnaud (1996a, p.171) apresenta as seguintes possibilidades:
Terei dinheiro suficiente para comprar isto? para comprar isto e aquilo?
Com quanto ficarei se comprar isto?
Quanto me falta?
Valerá mais a pena comprar isto ou aquilo? Qual é a diferença de preço?
Para o autor, o tratamento dessas situações cotidianas pressupõe tanto a identificação
das questões, como das operações necessárias para lhes responder. Essa análise possibilita
uma classificação sistemática, que pode ser realizada em qualquer situação-problema.
Vergnaud (1996a) afirma que a classificação das relações de base e das classes de
problemas permite que se estude além do possível, presente nas situações habituais da vida,
ou seja, possibilita que as professoras identifiquem as classes de problemas que os estudantes
já dominam e proponham novas situações-problema, oportunizando a expansão do
conhecimento dos mesmos.
No estudo das estruturas Aditivas, Vergnaud (1996a) identificou seis relações de base
a partir das quais é possível elaborar problemas de adição e de subtração da aritmética
comum.
I. A composição de duas medidas numa terceira.
II. A transformação (quantificada) de uma medida inicial numa medida final.
III. A relação (quantificada) de comparação entre duas medidas.
IV. A composição de duas transformações.
V. A transformação de uma relação.
VI. A composição de duas relações. (VERGNAUD, 1996a, p.172)
Focamos este estudo nas classes de relações aditivas e, por isso, faz-se uso de alguns
tipos de situações de adições e de subtrações. O estudo desses diferentes tipos de situações,
habitualmente, não é feito nos anos iniciais do Ensino Fundamental; entretanto ele é muito
importante porque as dificuldades são distintas nos diferentes tipos de situações
(VERGNAUD, 2009).
As relações aditivas são relações ternárias, isto é, são relações que ligam três
elementos entre si. Por exemplo: três mais quatro é igual a sete. Relações ternárias podem ser
encadeadas de diversas maneiras, como vimos nas seis relações apresentadas por Vergnaud
34
(1996a), e resultar em diferentes estruturas aditivas. Neste trabalho, temos nosso foco apenas
nas três primeiras classes de esquemas ternários fundamentais:
Primeira categoria: duas medidas se compõem para resultar em uma terceira
Segunda categoria: uma transformação opera sobre uma medida para resultar em
outra medida
Terceira categoria: uma relação liga duas medidas (VERGNAUD, 2009, p.200)
Para representar os esquemas de resolução das situações em cada uma dessas
categorias, Vergnaud (2009) criou um código para ser utilizado no que ele denominou de
“esquema sagital”.
Símbolo
O que representa?
o retângulo
um número natural
o círculo
um número relativo
a chave vertical
a composição de elementos de
mesma natureza
a chave horizontal
a flecha horizontal
a flecha vertical
uma transformação ou uma
relação, quer dizer, a
composição de elementos de natureza
diferente (VERGNAUD, 2009, p.201)
A seguir, apresento um exemplo de situação-problema de cada uma das três primeiras
categorias identificadas por Vergnaud (1996a) com o código de representação criado pelo
autor.
A) Exemplo de um problema da primeira categoria: composição
Sobre a mesa da cozinha tem 8 copos de vidro e 7 copos de plástico. Quantos copos
têm sobre a mesa da cozinha?
Esquema de resolução correspondente:
8
15
7
Equação de resolução correspondente: 8 + 7 = 15
O sinal de + é a lei de composição que corresponde à adição das duas medidas.
35
B) Exemplo de um problema da segunda categoria: transformação
Roberto tinha 9 reais. Ganhou 5 reais de seu pai. Com quantos reais Roberto ficou?
+5
9
14
Equação de resolução correspondente: 9 + (+ 5) = 14
O sinal de + é a lei de composição que corresponde à aplicação de uma transformação
sobre uma medida.
C) Exemplo de um problema da terceira categoria: comparação
Pedro tem 13 anos. Ricardo tem 4 anos menos que Pedro. Quantos anos tem Ricardo?
13
-4
9
Equação de resolução correspondente: 13 + (- 4) = 9
Este exemplo corresponde a uma relação estática.
Cada uma dessas três categorias aborda diferentes conceitos que podem estar presentes
em situações com distintos graus de complexidade. Vergnaud (1982), ao se referir à
complexidade dos problemas aditivos, afirma que a mesma tem relação tanto com as
diferentes categorias, quanto com as diferentes classes de problemas que podem ser
formulados para cada categoria.
Magina, Campos et al. (2008) contribuem nessa discussão ao reconhecerem as
diferentes dificuldades presentes nas três primeiras categorias e apresentarem uma
classificação das mesmas em subcategorias (protótipo e extensões), com vistas a
possibilitarem aos professores um melhor entendimento sobre a formação e o
desenvolvimento de conceitos do Campo Aditivo por parte dos alunos.
Assim, para destacar os diferentes raciocínios presentes nas situações, Magina,
Campos et al. (2008) fazem uma discussão sobre os tipos de problemas considerando o grau
36
de complexidade dos mesmos, e os organizaram em subcategorias: protótipos e extensões (1ª,
2ª 3ª e 4ª).
Como já foram descritas anteriormente, as três categorias de base classificadas por
Vergnaud (1996a): composição, transformação e comparação, agora apresento no Quadro
1.1.1 os esquemas presentes nas situações envolvidas nesses tipos de problemas de acordo
com o proposto por Magina, Campos et al. (2008).
Quadro 1.1.1 – Tipos de problemas das categorias composição, transformação e comparação.
Fonte: Magina, Campos et al. (2008, p.51)
Observando o Quadro 1.1.1, percebe-se que problemas de menor complexidade são os
problemas protótipos. Neles, encontramos situações que envolvem conceitos de duas
categorias diferentes: composição e transformação. Nos protótipos de composição, temos
duas partes e queremos saber o todo, por exemplo: A mãe de Paulo foi à feira e comprou 7
maçãs e 5 peras. Quantas frutas a mãe de Paulo comprou na feira?
Nos problemas protótipos de transformação, conhecemos o estado inicial, a
transformação e queremos encontrar o estado final, por exemplo: Antônio tinha 8 carrinhos.
Seu pai lhe deu 2 carrinhos. Com quantos carrinhos Antônio ficou? As situações prototípicas
37
de transformação podem estar relacionadas a um esquema de juntar, quando há ganho, ou ao
esquema de retirar, quando há perda.
Os esquemas utilizados por uma criança na resolução das situações prototípicas se
desenvolvem em seu cotidiano ainda antes dela começar sua trajetória escolar, em situações
do cotidiano, por exemplo: ao contar quantas pessoas têm numa casa, quantos talheres e
pratos são necessários para o almoço, quantos brinquedos têm, etc. É a partir desses esquemas
de ação ela começa a compreender as operações de adição e de subtração.
Os problemas de 1ª extensão também envolvem esses dois tipos de situações, e
apresentam maior complexidade que os problemas protótipos. Eles podem ser de composição
com uma das partes desconhecida, por exemplo: Moema tem 13 doces, sendo balas e
chicletes. Sete são balas, quantos são os chicletes? Neste caso, o todo e uma das partes são
conhecidos, e a partir da subtração destes descobre-se a parte desconhecida. O procedimento
de resolução é a operação 13 – 7 = 6, entretanto, algumas crianças usam a ideia de completar,
ou seja, partem do 7 para chegar ao 13. Essa estratégia é eficiente para situações que
envolvem números pequenos (MAGINA, CAMPOS et al., 2008).
Os problemas de 1ª extensão também podem ser de transformação com a
transformação desconhecida, isto é, conhece-se o estado inicial e final e procura-se a
transformação ocorrida, por exemplo: Na prateleira da escola, havia 15 livros. Foram
colocados alguns livros nessa prateleira e agora há 22 livros nela. Quantos livros foram
colocados na prateleira?
As situações-problema de 2ª e 3ª extensão envolvem conceitos de comparação. Nas
situações de comparação, há uma comparação entre duas medidas, a relação ternária se
compõe de um referente (valor de referência), referido (valor do outro grupo) e da relação
entre os dois grupos.
Numa situação de 2ª extensão, são conhecidos o referente e a relação e temos que
obter o valor do referido, por exemplo: Vitória tem 18 figurinhas e Roberta tem 6 figurinhas a
menos que Vitória. Quantas figurinhas tem Roberta? Nessas situações, o referido tanto pode
ter uma medida a mais ou a menos do que o referente, por isso a solução pode ser uma adição
ou uma subtração. Independente disso, para que o estudante compreenda a situação e a
resolva corretamente, precisa perceber a relação como uma comparação das medidas.
Numa situação de 3ª extensão, conhecemos os dois grupos (referente e referido) e
desconhecemos a relação entre eles, por exemplo: Graziela e Juliana ganharam bombons de
presente. Graziela ganhou 5 bombons e Juliana ganhou 11 bombons. Quem ganhou mais
bombons? Quantos bombons a mais? A primeira pergunta é mais fácil para as crianças porque
38
basta que elas identifiquem corretamente os valores numéricos. Contudo, para responder à
segunda pergunta a criança precisa entender que a resposta “se refere à diferença entre as
quantidades e não as quantidades propriamente ditas” (MAGINA et al., 2008, p.44).
Na 4ª extensão, novamente temos problemas que envolvem duas categorias:
transformação e comparação. Eles apresentam um nível de complexidade maior do que os
problemas das extensões anteriores. Nos problemas de transformação da 4ª extensão, são
conhecidos o estado final e a transformação, e desconhece-se o estado inicial, por exemplo:
Michel tinha alguns bonés. Ganhou de aniversário 4 bonés, ficando com 11 bonés. Quantos
bonés Michel tinha antes?
Nos problemas de comparação da 4ª extensão, são conhecidos o referido e a relação e
se desconhece o referente, por exemplo: Carla e Rita tem reais guardados em seus cofrinhos.
Rita guardou 6 reais a menos que Carla. Sabendo que Rita guardou 14 reais, quantos reais
Carla guardou? Esse tipo de problema apresenta um grau maior de complexidade, pois o
referente é desconhecido, isto é, não sabemos quanto dinheiro Carla tem.
Essa variedade de situações com diferentes graus de complexidade exige que o
professor tenha clareza das dificuldades presentes nos problemas que propõe, para não ficar
repetindo situações que exigem do aluno sempre o mesmo raciocínio. Cabe a ele propor uma
ação planejada que oportunize a vivência de um conjunto de situações que envolvam
conceitos de naturezas distintas para evitar o insucesso de seus alunos na resolução dos
mesmos.
Vergnaud (2009), além de destacar as diferentes classes de situações dentro de cada
categoria como um dos fatores que podem dificultar a resolução das mesmas, também se
refere a outros aspectos presentes nos problemas que podem ocasionar insucesso, tais como:
“maior ou menor facilidade do cálculo necessário [...], ordem e apresentação das informações,
tipo de conteúdo e de relação focalizados” (VERGNAUD, 2009, p. 209).
A possibilidade das professoras estudarem aspectos destacados pelo autor, tais como:
categorias, classes de situações em cada categoria, forma de apresentação das situações e das
relações nelas contempladas, pode provocar mudanças nos processos de ensino e de
aprendizagem da Matemática.
39
1.1.3 Resultados de pesquisas que discutem a resolução de problemas no Campo
Conceitual Aditivo
Neste tópico, apresento os principais resultados de estudos de pesquisadores
brasileiros que se fundamentaram na Teoria dos Campos Conceituais (TCC) e tiveram como
tema o Campo Conceitual Aditivo. Organizei este texto tendo como critério os sujeitos que
participaram das pesquisas, assim, inicio expondo resultados de trabalhos que envolveram
apenas estudantes dos anos iniciais do Ensino Fundamental. Em seguida, comento resultados
de um estudo que envolveu estudantes e seus professores e de outro que envolve apenas
professores.
Começo, então, pelos resultados referentes ao desempenho de estudantes em estudos
diagnósticos realizados por pesquisadores. Os estudos de Nunes, Campos, Magina e Bryant
(2002) apresentam resultados de uma pesquisa realizada com estudantes das quatro séries
iniciais do Ensino Fundamental de escolas públicas do estado de São Paulo. Nessa pesquisa,
foi investigado o desempenho dos estudantes em situações das categorias de composição,
transformação e comparação. A aplicação do instrumento com problemas de adição e de
subtração foi realizada por uma professora da escola e ocorreu de forma individual.
Quanto ao desenvolvimento dos esquemas de ação e à formação dos conceitos
operatórios de adição e de subtração, os resultados apresentados pelos autores mostram que
nos problemas simples, de relação entre o todo e suas partes, o índice de acertos foi superior a
80% em todas as séries, o que indica que os estudantes não têm dificuldade de compreender
essas situações-problema. Nos problemas inversos de relação parte-todo, os resultados
apresentados sugerem que “menos da metade dos alunos da primeira série compreende a
relação inversa entre adição e subtração enquanto que a maioria dos alunos da quarta série
(mais de 80%) já compreende essa relação.” (NUNES, CAMPOS et al., 2002, p.48).
Buscando diagnosticar as competências das crianças ao resolver problemas do campo
aditivo, Magina e Campos (2004) realizaram um estudo a partir da aplicação de um
instrumento contendo cinco problemas com situações aditivas. Participaram estudantes de
anos iniciais do Ensino Fundamental de duas escolas públicas do estado de São Paulo. Os
resultados revelaram que os alunos da 1ª série têm mais facilidade na resolução de situações
prototípicas, tanto de composição como de transformação e têm mais dificuldade nos
problemas de comparação e nos problemas que envolvem situações dentro do contexto
espacial. As autoras ainda concluíram que o avanço das competências dos estudantes varia de
acordo com o tipo de problema e o tipo de contexto.
40
Ao investigar o desempenho de 254 alunos de oito turmas das séries iniciais (duas
turmas por série) em duas escolas da rede pública de São Paulo – SP, em cinco situações
aditivas, as pesquisadoras Magina e Campos (2004) buscaram identificar competências,
referentes às estruturas aditivas, que crianças trazem ao entrar na escola e como elas se
desenvolvem ao longo das quatro primeiras séries do ensino fundamental.
O instrumento foi aplicado por uma pesquisadora e três professoras da escola. A
aplicação aconteceu de forma coletiva em sala de aula. Cada criança resolvia individualmente
cada problema, após a leitura oral do mesmo, feita pela professora aplicadora.
As crianças se mostraram competentes na resolução de problemas com situações de
transformação, nas quais o estado inicial e a transformação são conhecidos, ou nas situações
de composição quando as partes são conhecidas. Contudo, não apresentaram competência
necessária para lidar com problemas que envolvem a comparação de quantidades dentro de
contextos espaciais ou a transformação com referentes desconhecidos.
Pesquisas como essas vêm sendo desenvolvidas com o intuito de identificar não só os
aspectos nos quais os estudantes são competentes, mas principalmente para conhecer os erros
mais comuns cometidos por eles ao resolverem as situações aditivas.
Neste mesmo sentido, Santana, Cazorla e Campos (2006) testaram 1021 estudantes do
1º e 2º ciclos do Ensino Fundamental, de seis municípios do sul da Bahia com o objetivo de
diagnosticar o desempenho dos discentes em situações aditivas de uma mesma classe, porém
em diferentes situações, utilizando a linguagem pictórica e outras representações do conceito
de número. O instrumento aplicado conteve 17 situações-problema de adição e subtração. A
aplicação ocorreu de forma coletiva, pelas professoras das turmas, em uma única seção.
Os resultados desse levantamento indicam que os estudantes resolvem mais facilmente
os problemas aditivos nos quais as situações apresentam de maneira explícita todos os
componentes. Ainda, que a representação figural dos dados, a ausência dos componentes do
problema, a escolha pelo estudante desses componentes e a procura da resposta entre números
listados e o significado do número enquanto medida no contexto espacial têm um impacto
negativo no desempenho dos discentes. As autoras complementam afirmando que esses
resultados parecem indicar que problemas envolvendo esses tipos de representações não são
trabalhados pelas professoras.
Magina, Santana, Cazorla e Campos (2010), ao analisarem as estratégias utilizadas por
esses 1021 alunos das séries iniciais do sul da Bahia ao resolverem 12 problemas dos 17 do
instrumento aplicado, perceberam que muitos colocaram apenas o valor da resposta e poucos
registraram os passos seguidos no processo de solução. Também, observaram que foram raros
41
os alunos que fizeram uso do registro com desenhos. Para as autoras, este fato pode ser sinal
de que o professor não incentiva outras formas de registros, que não seja a representação do
cálculo numérico, ou que os mesmos utilizaram o recurso do cálculo mental.
As autoras ainda destacaram uma queda significativa no percentual de acerto nos
problemas com situações de maior complexidade e nos que apresentavam incongruência
semântica entre as palavras-chave e a operação a ser realizada. Por outro lado, observaram um
crescente sucesso na resolução dos problemas considerados protótipos.
Os resultados obtidos no estudo realizado na Bahia contribuem, principalmente, com a
identificação de dificuldades enfrentadas pelos estudantes, pois ressaltam aspectos do
enunciado que podem tornar mais complexa a resolução do problema.
Santana (2010) busca compreender quais as principais dificuldades e que tipo de
material didático pode ser utilizado visando uma maior aprendizagem das estruturas aditivas,
ao “avaliar as contribuições que uma sequência de ensino que se apoia na classificação
proposta por essa teoria, traz para o domínio do campo aditivo por estudantes da 3ª série (4º
ano) do Ensino fundamental” (SANTANA, 2010, p.24).
Para alcançar esse objetivo, Santana (2010) trabalhou com 98 estudantes de quatro
turmas da 3ª série (4º ano) do Ensino Fundamental de uma escola pública da região sul da
Bahia. Duas turmas fizeram parte do Grupo Experimental e duas, do Grupo de Controle. Em
uma das turmas do Grupo Experimental, identificada como Grupo Material Didático (MD),
trabalhou com a sequência de ensino e fez uso do Material Dourado e do Ábaco de copinhos;
na outra, identificada como Grupo Diagramas de Vergnaud (DV), trabalhou com a sequência
de ensino e na metodologia fez uso dos diagramas de Vergnaud.
Para responder sobre as contribuições que uma sequência de ensino baseada na
classificação proposta pela Teoria dos Campos Conceituais traz para o domínio do Campo
Aditivo por estudantes da 3ª série, Santana (2010) realizou uma análise quantitativa e
qualitativa dos dados coletados. A análise quantitativa focou no desempenho dos estudantes
nos instrumentos diagnósticos, e revelou que, no pré-teste, os estudantes das quatro turmas
apresentaram patamares muito próximos de acerto. Já no pós-teste, os desempenhos indicaram
a separação em dois grupos: os experimentais e os de controle, com um crescimento
significativo no desempenho dos estudantes do grupo experimental e certa estagnação no
desempenho dos estudantes do grupo de controle (SANTANA, 2010). A análise qualitativa
focou nos tipos de erros mais cometidos e os esquemas de resolução utilizados pelos
estudantes dos grupos experimentais.
42
Dentre os principais resultados, a autora destaca que “não existem diferenças
significativas no desempenho geral dos estudantes que utilizaram os diferentes materiais
durante a intervenção de ensino, pois ambos originaram criação de significados para os
estudantes.” (SANTANA, 2010, pp. 271-272). Dessa forma, foi possível perceber que os
diferentes suportes didáticos contribuíram com a expansão do Campo Aditivo.
Em outra publicação, organizada por Santana e Correia (2011), na qual apresentam
dados de 5807 estudantes do 2º ao 5º ano de oito regiões da Bahia, os resultados do
desempenho geral por categoria mostram que os estudantes dos 2º e 3º anos apresentam
melhor desempenho nas categorias composição e transformação de uma relação estática
seguida pela transformação. Além disso, os estudantes dos 4º e 5º anos apresentam melhor
desempenho nas categorias transformação de uma relação estática e na composição. Os dados
coletados por Santana e Correia (2011) constam na Tabela 1.1.1 a seguir elaborada a partir
dos gráficos de desempenhos por ano escolar, apresentados pelas autoras.
Tabela 1.1.1 – Desempenho dos estudantes baianos por categoria e ano escolar (%)
CATEGORIAS
Ano
Transformação
Composição de
Escolar
Composição
Transformação
Comparação
de uma Relação
várias
Estática
Transformações
2º
32,4
25,2
20,2
31,7
12,7
3º
42,0
31,1
25,0
39,3
11,9
4º
50,5
40,5
31,0
50,6
14,4
5º
63,3
52,2
43,3
65,3
22,9
Fonte: Dados coletados por Santana e Correia (2011, p.22)
Também, com o propósito de comparar dados diagnósticos relativos ao domínio do
campo aditivo em contextos diferentes, Campos, Magina, Cazorla e Santana (2007) discutem
o desempenho dos 1021 estudantes de 1ª a 4ª séries, de escolas públicas da região sul da
Bahia com o desempenho de 782 estudantes de 1ª a 4ª séries, de escolas públicas da região
metropolitana do estado de São Paulo.
Os resultados gerais mostram que os estudantes paulistas obtiveram um desempenho
superior ao dos estudantes baianos. O desempenho dos grupos parte de patamares próximos
na 1ª série, entretanto, vai se distanciando nas séries mais avançadas. Esse fato é mais
evidente nos problemas protótipos e de 1ª extensão. Para as autoras, esse resultado pode ser
uma evidência de que se trata de um problema de ensino e, além disso, elas afirmam que o
contexto socioeconômico e cultural é outro fator a se considerar nesses resultados. Outro
resultado relevante apontado por elas é a interferência da linguagem e do ensino no
desempenho na solução dos problemas.
43
Guimarães (2005), na busca de diagnosticar outro contexto, desenvolveu uma pesquisa
com o objetivo de analisar a resolução de problemas do campo aditivo de alunos de turmas da
3ª série do Ensino Fundamental de duas escolas particulares e uma escola pública de Campo
Grande/MS. Teve como objetivo identificar em quais problemas os estudantes apresentavam
dificuldades, bem como os aspectos, de ordem cognitiva ou didática, condicionados a elas.
Para tanto, o trabalho foi organizado em duas etapas. Na primeira etapa, foram
selecionados e classificados os problemas de adição e de subtração constantes nos materiais
didáticos escolhidos (livro e apostila), de acordo com as seis categorias apresentadas por
Vergnaud (1996a). Na segunda etapa, as situações aditivas elaboradas pela pesquisadora
foram aplicadas aos estudantes da 3ª série.
Segundo a autora, os resultados mostraram que não é possível atribuir a origem das
dificuldades dos alunos, no momento da resolução dos problemas, à quantidade e ao tipo de
problema de adição e de subtração presentes nos materiais didáticos. Ainda, a autora afirma
que o índice de acertos foi menor nas categorias de transformação, comparação e composição
de duas transformações. Concluiu também que:
[...] o grau de dificuldade passou a ser maior quando os problemas: 1) apresentavam
incongruência entre a operação a ser realizada e os verbos ou expressões portadoras
de informação; 2) não buscavam os estados (inicial, intermediário ou final), mas sim
as relações ou transformações; 3) exigiam inversão da sequência temporal.
(GUIMARÃES, 2005, p. 4).
As constatações apresentadas nas pesquisas que têm os alunos como sujeitos,
destacam dificuldades que podem estar relacionadas ao ensino do Campo Conceitual Aditivo,
pois indicam que os estudantes não costumam resolver todos os tipos de situações aditivas.
Esse indicativo sinaliza que a realização de estudos teórico-práticos sobre esse campo
conceitual, com as professoras dos anos iniciais do Ensino Fundamental, pode contribuir com
o ensino e aprendizado do mesmo.
Dentre as pesquisas que envolvem os professores e seus alunos, ressalto o estudo de
Justo e Dorneles (2010), que teve como objetivo a implementação de um programa de
formação continuada de professores dos anos iniciais com vistas a aprimorar o desempenho
dos estudantes dos anos iniciais na resolução de problemas aditivos. Os sujeitos da pesquisa
foram alunos e professores de duas escolas, uma pública e uma privada, de uma cidade do
interior do RS. Os alunos foram separados em turmas controle e experimental, e testados em
três momentos: pré-teste (aplicado antes do trabalho com os professores), pós-teste1 (logo
após a aplicação do programa de ensino) e pós-teste2 (no início do ano letivo seguinte). Os
44
professores participaram de quatro oficinas sobre ensino e aprendizagem de problemas
aditivos.
A análise dos resultados feita pelas autoras mostra que, em ambas as escolas, as
turmas experimentais tiveram uma taxa de acertos mais elevada que as turmas de controle.
Tendo como foco os docentes, elas afirmam que:
[...] os professores aprenderam a ensinar com maior conhecimento de conteúdo, pois
eles passaram a conhecer a variedade semântica dos problemas aditivos e também a
identificar a sua diferença em termos daqueles que exigem raciocínios mais
sofisticados do que outros para serem resolvidos. Isso aprimorou a escolha dos
problemas matemáticos que eram propostos nas aulas, qualificando as situações de
aprendizagem. (JUSTO e DORNELES, 2010, p.121)
Com o objetivo de investigar as concepções de professores que atuam nos anos iniciais
da Educação Básica a respeito do Campo Aditivo, Silva e Garcia Silva (2012) analisaram
problemas de adição e subtração elaborados por três professoras da rede pública do estado de
São Paulo, que participaram do programa de formação continuada, desenvolvido em oito
encontros no primeiro semestre de 2011, como atividade do Projeto Observatório da
Educação. Os critérios de escolha das professoras foram o desenvolvimento de todas as
propostas sugeridas durante o processo de formação e o aceite em participar da entrevista.
A coleta dos dados foi feita em três momentos: antes, durante e depois do processo de
formação. Os problemas elaborados pelas professoras foram analisados de acordo com as
categorias de base propostas por Vergnaud (1996a): composição, transformação e
comparação.
Após analisar os problemas elaborados pelas professoras, os autores afirmam que
professores que atuam nos anos iniciais do Ensino Fundamental, inseridos em um programa
de formação continuada, podem (re) construir seus conhecimentos acerca do Campo Aditivo e
que o estudo em grupo fortalece o crescimento profissional dos docentes na medida em que o
grupo se consolida.
Os estudos do Campo Aditivo, realizados com professoras, revelam avanços no
aprendizado das docentes que podem contribuir na superação das dificuldades enfrentadas
pelos estudantes ao resolverem problemas de adição e subtração. Diante disso, faz-se
necessário continuar realizando estudos do Campo Conceitual Aditivo com docentes dos anos
iniciais para se buscar promover a melhoria do ensino e da aprendizagem matemática nos
anos iniciais do Ensino Fundamental.
45
1.2 ENSINO E APRENDIZAGEM DE MATEMÁTICA NOS ANOS INICIAIS DO
ENSINO FUNDAMENTAL
Para compreender a ação docente de professoras dos anos iniciais do Ensino
Fundamental frente ao ensino e à aprendizagem da Matemática, se faz necessário ressaltar
aspectos relativos ao aprendizado matemático dessas professoras e o que é priorizado no
ensino da Matemática nessas turmas, dando-se destaque à resolução de problemas aditivos.
1.2.1 Ensino da Matemática nos Anos Iniciais do Ensino Fundamental
Atualmente, cabe aos pedagogos a tarefa de ensinar Matemática às turmas de
estudantes dos anos iniciais. Segundo Moura (2005), o tempo previsto na proposta curricular
de alguns cursos de Pedagogia que formam com a possibilidade de atuação na Educação
Infantil e nos Anos Iniciais do Ensino Fundamental com relação ao estudo dos fundamentos
matemáticos, é muito exíguo para que se possa tentar corrigir deformações e lacunas na
formação matemática desses graduandos e, também, se oportunize que eles superem a
rejeição que muitos apresentam em relação à Matemática.
Esses professores e futuros professores, muitas vezes, não tiveram um bom
aprendizado matemático, o que acabou interferindo nas relações com o mesmo. Moura
(2005), em seus estudos, constatou que muitos graduandos têm uma relação com a
Matemática que não os satisfaz e dizem que não gostam de Matemática, não têm dom para
estudá-la e fracassaram em suas tentativas de aprendê-la. Outros veem a Matemática como
um desafio, e justificam que tiveram bons professores, se esforçaram para aprendê-la e a
consideram muito importante para a vida. Segundo a autora, a maioria dos graduandos do
Curso de Pedagogia pertence ao primeiro grupo.
Durante muito tempo, o ensino da Matemática, nas turmas dos primeiros anos
escolares, ficou centrado no ensino da aritmética. Saber aritmética correspondia saber as
tabuadas e saber fazer contas. Por isso, a maior parte do tempo da escola era gasto a ensinar
os algoritmos das quatro operações. Segundo Curi (2005), uma pesquisa realizada em 2001,
pela Fundação Carlos Chagas, revela que os professores dos anos iniciais do Ensino
Fundamental indicam as quatro operações aritméticas como um conteúdo essencial a ser
ensinado. Essa é uma visão ultrapassada e inadequada de quais as competências matemáticas
que todas as pessoas devem desenvolver.
46
O cálculo faz, naturalmente, parte integrante da matemática, mas aprender
procedimentos de cálculos isolados, só por si, não promove o contato dos alunos
com as ideias e os modos de pensar fundamentais da matemática e não garante que
eles sejam capazes de mobilizar os conhecimentos relevantes quando tiverem que
enfrentar mesmo as situações problemáticas mais simples surgidas num contexto
diferente. (ABRANTES, SERRAZINA e OLIVEIRA, 1999, p.18).
Ainda hoje, muitas professoras consideram que nos anos iniciais do Ensino
Fundamental as necessidades básicas em termos de formação matemática são as competências
elementares de resolução dos algoritmos das quatro operações aritméticas fundamentais. Na
realização de tarefas do cotidiano, o que é determinante não é a proficiência no cálculo,
frequentemente efetuado com o recurso da calculadora ou computador, mas sim um conjunto
de competências, tais como: identificar qual a operação adequada para a solução de uma
situação, localizar dados relevantes de uma tabela, interpretar um gráfico ou decidir a
sequência de passos necessários para a resolução de um problema.
Cabe à escola oportunizar que os estudantes desenvolvam capacidades e competências
matemáticas e estejam dispostos a usá-las, mesmo quando seja necessário mobilizar uma
gama de procedimentos e isso envolva um grande esforço de pensamento.
Para Abrantes, Serrazina e Oliveira (1999), o treino isolado e mecanizado de
procedimentos de cálculo não constitui um pré-requisito para o desenvolvimento de
capacidades ligadas ao raciocínio e à resolução de problemas e tampouco garante que os
alunos sejam capazes de utilizar na prática esses conhecimentos, ou seja, não será fazendo
muitas contas que os estudantes se tornarão capazes de identificar qual operação faz sentido
na resolução de um problema, pois não é por fazer muitos exercícios repetidos que os alunos
adquirem a capacidade de resolver problemas. No caso deste estudo, o conhecimento sobre as
regras de resolução dos algoritmos de adição e de subtração só se torna relevante quando
associado à capacidade de resolução de problemas envolvendo essas operações.
A capacidade de raciocinar logicamente e procurar generalizações são aspectos
essenciais que evidenciam a competência matemática de um estudante na resolução de
problemas. A atividade matemática de um sujeito em situação está alicerçada num repertório
de esquemas disponíveis, nos quais as invariantes operatórias contribuem para que sejam
testadas hipóteses e sejam encontradas generalizações, aspecto fundamental na aquisição de
competências matemáticas.
Embora essa competência se desenvolva gradualmente ao longo da Educação Básica,
o desenvolvimento desses aspectos do raciocínio matemático nos anos iniciais do Ensino
Fundamental contribui para que as crianças se tornem capazes matematicamente,
47
considerando-se o nível de ensino em que se encontram e, também, que estejam mais bem
preparadas para estudarem outros ramos da Matemática.
1.2.2 Ensino da resolução de problemas aditivos
Os Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN) destacam a resolução de problemas
como um dos caminhos que pode promover o ensino da Matemática. Os elaboradores dos
PCN entendem que os conceitos matemáticos devem ser abordados mediante a exploração de
problemas, ou seja, de situações em que os alunos precisem desenvolver algum tipo de
estratégia para resolvê-las e que “o aluno não constrói um conceito em resposta a um
problema, mas constrói um campo de conceitos que tomam sentido num campo de problemas.
Um conceito matemático se constrói articulado com outros conceitos, por meio de uma série
de retificações e generalizações.” (BRASIL, 1997, p. 33).
Se quisermos valorizar a capacidade de pensamento dos estudantes, será necessário
oportunizar que eles resolvam diferentes tipos de situações-problema. Tanto devem ser
propostos problemas que, embora solucionados com uma mesma operação matemática,
envolvem diferentes tipos de raciocínios e organização do pensamento, como problemas que
relacionam variados conceitos.
Ao mesmo tempo se faz necessário ter claro que um dos problemas do ensino da
resolução de problemas está em se conseguir que alunos saibam resolver problemas de forma
operatória e consigam saber explicar os esquemas e os conceitos utilizados em sua resolução
(VERGNAUD, 1996b). O autor afirma que mesmo professores têm dificuldade em fazer esse
trabalho de explicitação, que revela a forma como o sujeito organizou a sua atividade
intelectual.
Essa dificuldade na explicitação de certos conhecimentos implícitos, muitas vezes não
é percebida pelo professor, que deixa a cargo do aluno o trabalho de reconstrução desse
conhecimento. Vergnaud (1996b, p.15) destaca que “é preciso estar atento ao fato de que
muitas vezes a criança é incapaz de reconstruir esse conhecimento”.
Vou exemplificar essa dificuldade com o seguinte problema: Paulo tinha alguns reais e
deu 4 para seu irmão, ficando com 9 reais. Quantos reais Paulo tinha antes? Nesse problema,
conhecemos o resultado final e a transformação, e queremos saber o estado inicial. Apesar de
Paulo ter dado 4 reais ao seu irmão, o que nos remete a uma ideia de subtração, para saber o
estado inicial é preciso adicionar essa quantidade em reais. Essa situação exige um
pensamento reversível, isto é, embora o esquema de pensamento seja: total de reais – 4 reais =
48
9 reais, há um teorema em ação que diz que é preciso adicionar os reais doados para se chegar
ao estado inicial.
Esse exemplo identifica uma das muitas dificuldades que estão presentes no estudo das
situações das estruturas aditivas, adição e subtração. Vergnaud (1996b) destaca que algumas
situações aditivas não apresentam dificuldades apenas para as crianças, mas para todos, ao
longo da vida e principalmente por causa do positivo e do negativo.
Para exemplificar uma situação cuja solução passa pela ideia do negativo e do
positivo, o autor cita o seguinte problema: “Thierry jogou bolinhas de manhã e de tarde. Ele
perdeu 7 bolinhas de tarde mas ele não se lembra mais do que aconteceu de manhã. Ele faz as
contas e percebe que, ao todo, ele ganhou 5 bolinhas. O que aconteceu de manhã?”
(VERGNAUD, 1996b, p.17). De acordo com as pesquisas de Vergnaud (1996b), esse
problema é resolvido somente por 20% das crianças menores de 14 anos e mesmo para
pessoas maiores de 14 anos ele continua apresentando dificuldade. Essa dificuldade é oriunda
da situação contraintuitiva presente no problema. Para resolver o problema é preciso somar 5
e 7, entretanto a dificuldade está em entender que o que eu ganhei ao todo é positivo e a perda
de bolinhas na parte da tarde representa uma ideia negativa. “É preciso subtrair duas
transformações de sinais contrários, e isso é absolutamente contraintuitivo. Isto é, fazer uma
adição, quando nós pensamos em uma subtração.” (VERGNAUD, 1996b, p.17).
Na busca de aprofundar conhecimentos sobre os processos de ensino e de
aprendizagem da resolução de problemas aditivos para se possibilitar a superação de
dificuldades como a que foi exemplificada, como mostram os resultados apresentados
anteriormente, alguns estudos estão sendo realizados nessa área. Contudo, os resultados
dessas pesquisas evidenciam que o desenvolvimento da habilidade dos estudantes em resolver
problemas aditivos ainda requer uma substancial melhora.
Uma das possibilidades de se conseguir essa melhora está na análise reflexiva do erro
do aluno. Quando o professor reconhece que o erro faz parte do processo de aprendizagem,
“na medida em que o aluno se expõe e tanto ele como o seu professor se apercebem dos erros
e da sua origem” (ABRANTES, SERRAZINA e OLIVEIRA, 1999, p.25) se torna possível
falar sobre a dificuldade surgida, compreender melhor o que está em estudo, o que contribui
para uma aprendizagem mais significativa.
Essa análise construtiva do erro do aluno possibilita ao professor compreender melhor
como esses sujeitos estão pensando para resolver as atividades, ou seja, quais esquemas de
ação utilizaram, o que sinaliza para os conceitos envolvidos na resolução. Para Vergnaud
(1996b), é muito importante que o professor entenda o conceito de esquema como forma de
49
organização da atividade e compreenda que em alguns casos será preciso maior maturidade e
domínio dos conceitos envolvidos. Por exemplo, nos casos em que a linguagem escrita
presente na situação-problema sinaliza para uma subtração e para resolver é necessário que
façamos uma adição.
Outra possibilidade de se conseguir essa melhora está na necessidade de se oportunizar
aos professores estudos sobre o ensino da resolução de problemas aditivos. Para Vergnaud
(2009), todo o estudo oportunizado ao professor deve procurar dar-lhe um maior
conhecimento sobre a criança e lhe permitir ajustar permanentemente as modalidades de sua
ação pedagógica. No caso deste estudo, refletir sobre o fazer docente para poder ajustá-lo
frente às dificuldades apresentadas por alunos a partir da participação das docentes em um
grupo de discussão.
1.3 APRENDIZAGEM MATEMÁTICA DE PROFESSORAS DOS ANOS INICIAIS
DO ENSINO FUNDAMENTAL EM UM GRUPO DE DISCUSSÃO
É inegável que nos últimos vinte anos têm acontecido um intenso movimento de
reformas curriculares relacionadas ao ensino da Matemática, tanto na Educação Básica quanto
na formação inicial de professores. Entretanto, se os cursos de habilitação ao magistério
contribuíam pouco na formação matemática das futuras professoras dos anos iniciais do
Ensino Fundamental, os cursos de Pedagogia, em muitas instituições superiores, estavam e
ainda estão muito deficitários nesse aspecto. Estudos mostram que na grade curricular dos
cursos de Pedagogia, poucas disciplinas estão voltadas para a formação matemática desses
profissionais (CURI, 2005; MOURA, 2005).
A pouca ou inexistente discussão de pesquisas que refletem sobre as mudanças
curriculares no ensino da Matemática (teorias e práticas pedagógicas que as embasam) no
processo de formação docente fazem com que as novas propostas de ensino não cheguem à
sala de aula, o que ocasiona que muitas professoras somente reproduzam o modelo de ensino
que vivenciaram enquanto estudantes. Esse fato contribui para que se consolide uma cultura
de aula pautada numa rotina de ensino quase homogênea e num currículo que não contempla
os fundamentos de ensino propostos nas discussões contemporâneas da área da Educação
Matemática, o que leva muitas professoras dos anos iniciais do Ensino Fundamental a
continuarem com a abordagem de décadas anteriores, cuja prioridade estava na resolução de
cálculos e algoritmos desprovidos de compreensão e de significado para os alunos.
(NACARATO, MENGALI e PASSOS, 2009).
50
Acredita-se que a constituição de um grupo de discussão sobre o ensino do Campo
Conceitual Aditivo com professoras dos anos iniciais do Ensino Fundamental oportuniza uma
fundamentação teórica, baseada na relação entre teoria e prática, que tem como resultado a
ampliação do conhecimento matemático dessas docentes.
Shulman (1986) ao estudar como os professores ensinam conteúdos para alunos,
identificou características gerais, tanto do acervo de conhecimentos específicos do conteúdo
em questão, quanto de conhecimentos pedagógicos relacionados ao processo de ensino. O
autor concluiu que, para ensinar, os professores precisam de três categorias de conhecimento
do conteúdo: conhecimento específico do conteúdo, conhecimento pedagógico do conteúdo e
conhecimento do conteúdo curricular.
Para Shulman (1986), o conhecimento específico do conteúdo refere-se às
compreensões de conceitos, propriedades, esquemas de resolução, processos, etc. de uma área
específica de conhecimento. O conhecimento pedagógico do conteúdo, dentre outras coisas,
refere-se às teorias e princípios relacionados aos processos de ensinar certo conteúdo,
conhecimentos de processos cognitivos de aprendizagem que discutem como os alunos
aprendem o conteúdo, as dificuldades enfrentadas por eles e as capacidades que desenvolvem.
O conhecimento do conteúdo curricular refere-se ao conhecimento presente no currículo,
frequentemente organizado, por ano escolar, na forma de um conjunto de programas, e os
conhecimentos que servem para definir a indicação ou não do uso de certo currículo.
Ball, Thames e Phelps (2008), em continuidade aos estudos de Shulman (1986),
buscam aprofundar e ampliar o trabalho por ele realizado, e após levantarem novas hipóteses
sobre os conhecimentos que o professor utiliza para ensinar, sugerem que o “conhecimento
específico do conteúdo” poderia ser subdividido em conhecimento comum do conteúdo e
conhecimento especializado do conteúdo; e que o “conhecimento pedagógico do conteúdo”
poderia ser subdividido em conhecimento do conteúdo e de estudantes e conhecimento do
conteúdo e de ensino.
Para Ball, Thames e Phelps (2008), fazem parte do conhecimento comum do conteúdo
a resolução correta de um problema e o reconhecimento de uma resposta errada; e do
conhecimento especializado do conteúdo, compreender a natureza do erro cometido pelo
aluno. Os autores ainda destacam que se referem ao conhecimento do conteúdo e de
estudantes, a identificação dos erros comuns numa turma de alunos e dos motivos que os
estão levando a cometer esses erros; e do conhecimento do conteúdo e de ensino, o
conhecimento que o professor utiliza para fazer a escolha das tarefas e atividades que irá
propor aos alunos e dos materiais que irá utilizar para ensinar determinado conteúdo.
51
Segundo a concepção apresentada por Ball, Thames e Phelps (2008), neste trabalho,
no conhecimento do conteúdo matemático, estão contemplados conceitos e processos
matemáticos relacionados a números e operações e, no conhecimento especializado da
Matemática, a compreensão sobre a resolução de problemas aditivos, mais especificamente
sobre os diferentes tipos de situações-problema que exploram conceitos do Campo Aditivo.
No conhecimento do conteúdo e de estudantes, o desempenho dos estudantes nas situações
aditivas, os tipos de erros mais comuns cometidos por eles e as estratégias mais utilizadas na
resolução dos problemas. No conhecimento do conteúdo e de ensino, as escolhas dos
procedimentos e recursos a serem utilizados nas explicações das situações do Campo Aditivo.
Vergnaud (2009), ao apresentar os estudos sobre o aprendizado matemático das
crianças, ressalta aspectos relacionados ao ensino do Campo Aditivo quando destaca a
necessidade de se abordar diferentes classes de problemas com os alunos e, também, de as
professoras compreenderem que as situações apresentam diferentes graus de complexidade e
que seus alunos, de acordo com o nível de ensino em que se encontram, acharão mais fácil ou
difícil resolver.
Visto que, embora se reconheça que a aprendizagem requer um grande envolvimento
do aluno nas atividades, não se pode deixar de destacar a importância do papel do professor
nesse processo. “O professor é o elemento chave na criação do ambiente que se vive na sala
de aula. Cabe-lhe a responsabilidade de propor e organizar as tarefas a realizar e de coordenar
o desenvolvimento das actividades dos alunos” (ABRANTES, SERRAZINA e OLIVEIRA,
1999, p. 27). Os autores ainda ressaltam o professor como um sujeito que não está isolado,
mas sim integrado numa escola, num conselho de turma, num grupo disciplinar e que seu
trabalho é fortemente influenciado pelo contexto escolar que lhe é proporcionado pelas
estruturas de gestão e de coordenação pedagógica da escola.
Em seus estudos, Vergnaud (1996b) destaca que quando nos voltamos para o que
ocorre dentro da sala de aula se faz necessário interessar-se pelo conteúdo a ser ensinado, ou
seja, pelo conteúdo do conhecimento. O autor afirma que desenvolveu “a teoria dos campos
conceituais para tentar melhor compreender os problemas de desenvolvimento específicos no
interior de um mesmo campo de conhecimento” (VERGNAUD, 1996b, p.11). A discussão do
conteúdo do conhecimento e da forma como se dá o seu ensino oportuniza uma aprendizagem
às professoras, “contudo, a experiência e o envolvimento de cada um é que irá determinar o
quanto esse estudo será ou não útil para o mesmo” (VERGNAUD, 1996c, p.68). Não
podemos afirmar o quanto as discussões no grupo podem ser aproveitadas na ação docente,
pois, para tanto, se faz necessária a transformação do saber de referência de cada professora
52
em um conhecimento a ser ensinado. O conhecimento a ser ensinado é aquele indicado sob a
forma de programa, no caso das professoras deste estudo, pela Secretaria de Educação do
Município. É preciso então que ocorra a transformação do conhecimento a ser ensinado,
aquele previsto no programa de Matemática daquele ano escolar, em ensinamento
efetivamente ensinado na sala de aula (VERGNAUD, 1996c).
Assim, para que se efetive uma aprendizagem, as professoras precisam vivenciar
situações que desafiem suas ideias prévias, no caso deste estudo, sobre o ensino da resolução
de problemas aditivos. Para isso, a reflexão sobre a ação docente praticada diariamente na sala
de aula deve fazer parte das discussões no grupo.
A experiência advinda da ação docente praticada na sala de aula deve ser reconhecida
e valorizada num processo de aprendizagem que se propõe oportunizar a reflexão. Repensar e
argumentar sobre as maneiras que utiliza para ensinar, as dificuldades e sucessos obtidos ao
ensinar e o conhecimento que tem do conteúdo a ser ensinado é uma forma de refletir sobre a
ação realizada (SCHÖN, 1983).
A atitude reflexiva do professor frente a sua ação pedagógica, apesar de provocada no
coletivo do grupo de discussão, é um processo individual que pode levar o docente a (re)
construir
conhecimentos
e,
consequentemente,
progredir
profissionalmente.
Consequentemente, esse desenvolvimento profissional promove um aprofundamento na sua
capacidade reflexiva (SERRAZINA, 1999) e pode gerar mudança.
Professoras de anos iniciais do Ensino Fundamental, ao enfrentarem desafios em sua
prática, tais como troca de série, podem se sentir instigadas a mudar a partir da
implementação de uma inovação pedagógica. Essa inovação pode ser resultado de uma
pressão interna, oriunda do seu desejo de melhorar o ensino ou pode partir de uma pressão
externa, oriunda, por exemplo, do baixo desempenho de seus alunos.
Polettini (1998, p.91) reconhece que os desafios externos, como o desempenho dos
estudantes, podem influenciar a mudança, contudo o autor afirma que o desenvolvimento do
professor “não ocorre em resposta a desafios externos, mas em resposta às perturbações
internas”. Essa motivação interna propicia que professores modifiquem a sua prática de sala
de aula sem que estejam totalmente convencidos de que aquilo que estão a fazer se vá
repercutir positivamente nos alunos. Neste sentido, Garcia (1995, p.48) afirma que “as
inovações ou propostas de mudança devem ser “explicadas” aos professores com clareza
suficiente para que estes possam pôr em prática as novas ideias”. Entretanto, o autor destaca
que esta forma de entender a mudança pode ser adequada quando se trata de mudanças
menores, como introduzir uma nova modalidade de tarefas para os alunos, que pode ter sido
53
orientada por um professor com mais experiência e formação. Nesse caso, os professores
mesmo sem estarem convencidos de que os resultados serão positivos, incluem esses novos
métodos em suas práticas e, após observarem o funcionamento dos mesmos, decidem aceitálos ou recusá-los.
No caso deste estudo, a mudança ou não de postura das professoras frente ao estudo
proposto tem a ver com as experiências pelas quais elas passaram e a reflexão crítica realizada
sobre as mesmas. À medida que se tornarem conscientes da dificuldade de seus alunos em
resolver alguns tipos de situações-problema, puderem falar o que pensam sobre esses
resultados e como pretendem agir frente aos mesmos, estarão refletindo e, consequentemente,
construindo saber de experiência, pois estarão dando sentido ao que acontece em sua sala de
aula.
Contudo, tem-se que considerar que as docentes são pessoas diferentes. Essas
diferenças devem ser observadas até mesmo porque elas influenciam o grau de reflexão de
cada uma (POLETTINI, 1998). Neste trabalho, o que importa é que cada professora consiga
refletir sobre a ação que realiza ao ensinar a resolução de problemas do Campo Aditivo, e
consiga ter um entendimento claro sobre as competências de seus alunos e das competências
que eles precisarão ter quando estiverem nas séries seguintes.
Essa reflexão coletiva oportunizada em um grupo de discussão possibilita que se
apoiem mutuamente. “Ser desafiado e, ao mesmo tempo, apoiado por meio da interação social
é importante para ajudar-nos a clarificar aquilo que nós acreditamos e para ganharmos
coragem para perseguir nossas crenças.” (ZEICHNER, 2008, p.7).
Ainda, a discussão no coletivo do grupo oportuniza que se construam saberes advindos
da reflexão sobre a experiência dos colegas e, principalmente, sobre sua própria experiência, o
que, na opinião de Zeichner (2008), possibilita a compreensão e a melhoria do processo de
ensino, entendida por nós como mudança e desenvolvimento profissional. Para Polettini
(1998), do ponto de vista construtivista, a mudança e o desenvolvimento do professor podem
ser pensados como aprendizagem do professor.
Dessa forma, concluo ressaltando que os aspectos de ordem teórica enfocados neste
capítulo, e que dizem respeito à Teoria dos Campos Conceituais, com destaque para o Campo
Conceitual Aditivo, ao ensino e aprendizagem da matemática nos anos iniciais do Ensino
Fundamental e à aprendizagem matemática de professoras dos anos iniciais do Ensino
Fundamental num grupo de discussão, delinearam os objetivos deste trabalho, daí a
importância de argumentá-los.
54
CAPÍTULO 2
METODOLOGIA DE INVESTIGAÇÃO
Neste capítulo, busco apresentar e justificar as escolhas metodológicas utilizadas e o
design do estudo realizado. Para tanto, destaco a importância das abordagens quantitativa e
qualitativa nesta investigação. Ressalto os procedimentos de coleta de informações e de
constituição do material de estudo e, ainda, informo como será feita a análise de dados e a
triangulação entre os mesmos.
2.1 OPÇÕES METODOLÓGICAS
Para justificar minhas escolhas metodológicas, se faz necessário retomar os propósitos
deste estudo que tem como objetivo geral identificar e compreender contribuições de um
estudo do Campo Conceitual Aditivo, baseado na Teoria dos Campos Conceituais e na
reflexão sobre a ação docente frente à resolução de problemas aditivos, junto a professoras
dos anos iniciais do Ensino Fundamental, por meio de grupos de discussão. Neste sentido,
tenho como objetivos específicos para o Estudo 1: (i) identificar o desempenho dos estudantes
dos anos iniciais do Ensino Fundamental na resolução de problemas aditivos, (ii) perceber a
relação entre o desempenho dos alunos nos problemas aditivos, os problemas elaborados pelas
professoras e os apresentados no livro de Matemática adotado pela escola. Para o Estudo 2:
(iii) promover o ensino e a discussão das noções do Campo Conceitual Aditivo junto às
professoras dos anos iniciais do Ensino Fundamental; (iv) discutir de modo crítico e reflexivo,
no grupo, as relações percebidas entre o desempenho dos alunos nos problemas aditivos, os
problemas elaborados pelas professoras e os apresentados no livro de Matemática adotado
pela escola; (v) oportunizar, no grupo de discussão, a reflexão sobre as estratégias utilizadas
pelos estudantes na resolução dos problemas de adição e subtração apresentados no
instrumento inicial. Para o Estudo 3: (vi) identificar possíveis contribuições do estudo das
estruturas aditivas realizado junto a um grupo de professoras dos anos iniciais do Ensino
Fundamental; e (vii) examinar se o estudo realizado no grupo de discussão com as professoras
interferiu no desempenho dos estudantes na resolução de problemas de adição e subtração.
Tendo em conta esses objetivos e sua natureza, esta pesquisa faz uso das abordagens
quantitativa e qualitativa.
55
A natureza quantitativa está presente na descrição dos dados realizada na análise
diagnóstica (Estudo 1) referente ao conhecimento do Campo Aditivo dos sujeitos envolvidos
na pesquisa. Os dados quantitativos dessa análise, para além de diagnosticar o contexto
investigado, servem para provocar discussões sobre o desempenho dos estudantes nas dez
situações aditivas propostas, as relações entre os desempenhos deles nesses problemas com os
problemas de adição e/ou subtração elaborados pelas professoras, e os apresentados no livro
de Matemática adotado pela escola. A análise quantitativa das estratégias utilizadas pelos
estudantes na resolução dos dez problemas aditivos será utilizada para possibilitar a reflexão
sobre o aprendizado e dificuldades dos discentes na aquisição desse conhecimento. Na etapa
final da investigação (Estudo 3), os dados quantitativos servem para revelar indícios que
podem sinalizar se o estudo das Estruturas Aditivas, no grupo de discussão com as
professoras, interferiu no desempenho dos estudantes na resolução de problemas de adição e
subtração, o que pode ser um indicativo de que o estudo do Campo Conceitual Aditivo
contribuiu no aprendizado de conhecimentos relativos às estruturas aditivas.
A natureza qualitativa se revela na busca de compreender mudanças ocorridas no
desempenho dos estudantes e no ensino da resolução de problemas aditivos promovido pelas
professoras. A constituição da compreensão não se dá como um resultado, mas numa
trajetória na qual essas compreensões e os meios de obtê-las podem ser reconfigurados e a
transformação das ações docentes realizadas se relaciona às interações ocorridas entre as
participantes e delas com o conhecimento do Campo Conceitual Aditivo (BOGDAN e
BIKLEN, 1994).
Para Bogdan e Biklen (1994, p.194), “os dados quantitativos podem ter utilizações
convencionais em investigação qualitativa”, ou seja, os dados quantitativos podem fornecer
informações descritivas acerca dos sujeitos envolvidos, no caso deste estudo, acerca do
desempenho dos estudantes no Campo Aditivo, dos problemas elaborados pelas professoras e
dos contemplados no livro adotado pela escola sobre esse conteúdo. Esses dados podem
oportunizar que se descubram novos caminhos a explorar e questões a responder.
Neste estudo, os dados quantitativos complementam a análise qualitativa realizada nos
dados coletados nos Estudos 1 e 2 e caracterizam o contexto investigado. Contudo, mais
importante do que o valor dos números como descrição daquela realidade é a compreensão
revelada a partir daqueles dados descritivos (BOGDAN e BIKLEN, 1994, p.195). Os autores
ainda afirmam que por se acreditar que o desempenho cognitivo dos estudantes é afetado
pelas expectativas dos professores, “as técnicas quantitativas conseguiram demonstrar,
recorrendo a pré e pós-testes, que as mudanças se verificam” (BOGDAN e BIKLEN, 1994,
56
p.49) e as estratégias qualitativas possibilitam explicar o modo como as expectativas desses
professores se traduzem nas atividades, nos procedimentos e nas interações realizadas.
Para conhecer e descrever o contexto investigado quanto ao conhecimento do Campo
Aditivo, adotei a pesquisa descritiva, pois ela possibilita descrever aspectos relacionados ao
ensino e o aprendizado do Campo Conceitual Aditivo na escola participante e estabelecer
relações entre os dados coletados (GIL, 1999). O estudo descritivo aconteceu mediante a
aplicação de instrumentos aos alunos e professoras, e fornece uma visão momentânea da
compreensão dos mesmos quanto à resolução de problemas do Campo Aditivo. Esse estudo,
por meio da aplicação dos dez problemas aos estudantes, da solicitação da elaboração de seis
problemas pelas professoras e da classificação dos problemas de adição e subtração do livro
de Matemática adotado pela escola, produziu dados quantitativos, analisados de modo a
perceber o desempenho dos estudantes do 2º ao 5º ano dos anos iniciais do Ensino
Fundamental nessas situações-problema, inferir sobre o tipo de problema que as professoras
costumam abordar em suas aulas de matemática e o tipo de problema abordado no livro de
Matemática adotado pela escola. Ao mesmo tempo, a análise qualitativa desses dados
permitirá a descoberta de relações entre os mesmos e a natureza dessa relação (GIL, 1999).
Com o objetivo de compreender os resultados da pesquisa descritiva e, a partir dela,
aprofundar o conhecimento sobre o ensino e a aprendizagem do Campo Aditivo nos anos
iniciais e, também, compreender as mudanças provocadas pelas reflexões no grupo de
discussão, adotei a pesquisa explicativa (FIORENTINI e LORENZATO, 2006).
Por este trabalho de pesquisa em Educação Matemática envolver uma prática social,
na qual a coleta de dados ocorreu no local em que o problema acontece, ou seja, a própria
escola, ele caracteriza-se como trabalho de campo. Essa modalidade de coleta dos dados
torna-se uma opção importante, pois fornece elementos que nos permitem compreender e
provocar alguma transformação no contexto em estudo (FIORENTINI e LORENZATO,
2006, p.101).
Para interrogar esse contexto e coletar as informações, foram utilizados o instrumento
com os dez problemas aditivos (Apêndice A), o instrumento para elaboração dos problemas
pelas professoras (Apêndice B), os problemas do livro de Matemática adotado pela escola, os
registros no diário de campo e as entrevistas para que, ao triangular essas informações, se
possa obter maior fidedignidade. Por esse motivo, o conceito de triangulação está associado à
ideia de validade teórica (ERICKSON, 1986). A confrontação de diferentes tipos de dados
permite ao pesquisador minimizar alguma distorção inerente a qualquer tipo de coleta de
dados.
57
Este estudo fez a coleta de dados diretamente no campo e para tanto fez uso da
pesquisa-ação. O uso dos princípios da pesquisa-ação proporcionou às professoras
participantes do processo a oportunidade de discutirem a Teoria dos Campos Conceituais, em
especial do Campo Aditivo, elaborarem problemas de adição e subtração de acordo com os
conceitos e situações explorados nessa Teoria, refletirem e repensarem seu ensino. Ou seja, a
discussão sobre o ensino da adição e da subtração, articulado com as evidências reveladas nos
dados coletados, associados à ação docente realizada na sala de aula pelas professoras,
possibilitou repensar e transformar essa mesma ação, permitindo assim mudanças nos
processos de ensino e de aprendizagem do Campo Conceitual Aditivo.
Segundo Fiorentini (2004, p.69):
Na pesquisa-ação, portanto, o pesquisador se introduz no ambiente a ser estudado
não só para observá-lo e compreendê-lo, mas sobretudo para mudá-lo em direções
que permitam a melhoria das práticas e maior liberdade de ação e de aprendizagem
dos participantes.
Sendo assim, no grupo de discussão constituído com as professoras, foi possível
realizar uma observação constante do processo de reflexão-ação-reflexão originado das
etapas: discussão da teoria, ilustrada com a análise do desempenho e estratégias utilizadas
pelos estudantes nos dez problemas aditivos, elaboração de situações-problema pelas
professoras, aplicação dos problemas elaborados nas turmas dessas professoras, análise dos
resultados de desempenhos dos alunos nesses problemas e reelaboração de problemas
conforme as dificuldades apresentadas pelos estudantes, num estreito envolvimento com as
participantes do grupo de discussão.
O envolvimento das professoras no estudo e nas atividades realizadas no processo de
ação-reflexão-ação tornou-as pesquisadoras de sua própria prática e, a minha atuação, ao
promover o estudo e as discussões, uma pesquisadora participante que intervém nos rumos da
ação, orientada pela pesquisa que realiza (FIORENTINI, 2004).
O estudo no grupo de discussão buscou contribuir com a solução de um problema de
importância no contexto investigado, na qual pesquisadora e professoras trabalharam em
conjunto na busca e na aprovação de soluções para as dificuldades encontradas (DENZIN e
LINCOLN, 2006).
Diante do exposto, vale salientar que a intenção deste tipo de pesquisa não está na
descoberta de algo universal, mas no estudo detalhado de um caso específico para depois
compará-lo com outros casos estudados da mesma forma. Para este estudo, dado o objetivo e
as características do mesmo, optei por seguir o design de investigação que descrevo a seguir.
58
2.2 DESIGN DE INVESTIGAÇÃO
Na busca de identificar e compreender contribuições do estudo do Campo Conceitual
Aditivo na ação docente das professoras dos anos iniciais do Ensino Fundamental de uma
escola municipal do interior de Sergipe, frente à resolução de problemas aditivos, foi
necessário organizar este trabalho em três etapas. No Estudo 1, nomeado Diagnóstico, consta
a forma de coleta e de análise dos dados que justificam a realização do trabalho com o grupo
de professoras e serviram como material de apoio às discussões realizadas nos encontros. No
Estudo 2, nomeado Grupo de Discussão, constam as formas de registro e análise do trabalho
realizado com o grupo de professoras; e no Estudo 3, nomeado Comparativo, constam os
instrumentos e os procedimentos da análise comparativa entre os dados quantitativos dos
Estudos 1 e 3.
2.3. ESTUDO 1 – DIAGNÓSTICO
Por considerar que todo ensino deve basear-se em evidências (NUNES, CAMPOS et
al., 2002), realizei o Estudo 1 para (i) identificar o desempenho dos estudantes dos anos
iniciais do Ensino Fundamental na resolução de problemas aditivos, (ii) perceber a relação
entre o desempenho dos alunos nos problemas aditivos, os problemas elaborados pelas
professoras e os apresentados no livro de Matemática adotado pela escola.
Coletar evidências relativas ao aprendizado da resolução de problemas aditivos desse
contexto educacional possibilitou justificar a realização do estudo do Campo Conceitual
Aditivo com o grupo de professoras e, ao mesmo tempo, aproveitar os resultados para,
durante os encontros, provocar uma discussão reflexiva sobre a ação docente frente ao ensino
das Estruturas Aditivas.
Assim, coletei e analisei dados referentes: (i) ao desempenho em problemas de adição
e subtração de 248 alunos de turmas do 2º ao 5º ano dos anos iniciais do Ensino Fundamental
de uma escola municipal do interior de Sergipe; (ii) aos problemas de adição e/ou subtração
elaborados pelas dez professoras dessas turmas; e (iii) aos problemas de adição ou subtração
apresentados no livro de Matemática adotado por essa escola. Essas informações foram
organizadas a partir das categorias do Campo Conceitual Aditivo para possibilitarem às
professoras participantes refletirem sobre a forma como se ensina e se aprende em suas salas
de aula, a resolução de problemas envolvendo as operações de adição ou de subtração, o que
pode contribuir com a ação docente delas e na construção de conhecimento didático e
59
matemático, tanto no que diz respeito à gestão do conteúdo, quanto no que concerne à gestão
de aula.
A escolha da escola se deu a partir de uma indicação feita pela equipe pedagógica da
Secretaria de Educação do Município, por considerar que essa escola se mantém aberta à
participação em projetos e pelo número de turmas de cada ano escolar (mais de uma).
Também, por ser uma escola onde são desenvolvidos poucos projetos vinculados à
universidade. Após a aprovação da Diretora e Coordenadora Pedagógica da Escola, apresentei
o projeto a todas as professoras das turmas dos anos iniciais do Ensino Fundamental. O grupo
de professoras decidiu participar do projeto, após realizar uma discussão coletiva sobre as
implicações desta decisão. A diretora da escola, como forma de apoio ao projeto,
disponibilizou-se a considerar as horas de participação no mesmo como as horas de atividade
que as professoras deveriam cumprir na escola para complementar a carga de 25 horas
semanais.
2.3.1 Instrumentos do Estudo 1
Neste estudo, foram utilizados três instrumentos de investigação. Um deles destinado
aos alunos; outro, às professoras e o último instrumento de investigação foi o livro de
Matemática adotado pela escola.
2.3.1.1 Instrumento dos alunos
O instrumento inicial de investigação aplicado aos estudantes foi do tipo lápis e papel,
composto por problemas de adição e de subtração, elaborados pela pesquisadora, de acordo
com as relações aditivas de base propostas por Vergnaud (1996a) e por extensões, de acordo
com Magina, Campos et al. (2008) e teve como referência o instrumento validado por Santana
(2010) em sua pesquisa na Bahia. Esse instrumento esteve composto por dez situações, assim
distribuídas: duas de Composição (prototípica e 1ª extensão), cinco de Transformação
(prototípica, 1ª extensão e 4ª extensão) e três de Comparação (2ª, 3ª e 4ª extensão), conforme
ilustrado no aporte teórico (ver Apêndice A). Como é possível perceber, foram abordados
apenas os conceitos elementares das três primeiras classes de situações, e, também, nos
encontros com as professoras, que ocorreram após essa coleta inicial, somente esses conceitos
foram discutidos.
60
Optei pela quantidade de dez problemas e, também, por não utilizar variáveis
pictóricas (desenhos), levando em conta minha participação na aplicação de um instrumento
similar, com 18 problemas, nas escolas baianas, na qual pude constatar que muitas crianças
baianas da cidade de Amargosa, principalmente as de menor idade, não resolveram vários
problemas porque cansaram durante a resolução e evidenciaram não ter familiaridade com
situações, nas quais os dados estão representados por desenhos.
A seguir, apresento e comento cada um dos dez problemas contidos no instrumento
dos alunos.
Problema 1. Ricardo tinha 9 balas e deu 4 para seu irmão. Com quantas
balas Ricardo ficou?
Essa situação-problema é classificada como transformação protótipo que envolve
perda. Nela são conhecidos o estado inicial (tinha 9 balas) e a transformação (deu 4 para seu
irmão) e se que saber o estado final (Com quantas balas Ricardo ficou?). Nesse problema, a
palavra “deu” presente no enunciado pode fornecer uma “dica” relativa ao uso da operação
subtração, pois dá o sentido de retirar.
É uma situação considerada de pouca complexidade, pois as crianças fazem uso da
mesma em situações do cotidiano, bem antes de frequentar a escola (VERGNAUD, 1996a;
MAGINA, CAMPOS et al., 2008).
Problema 2. Sobre a mesa da cozinha tem 8 copos azuis e 6 copos
verdes. Quantos copos tem sobre a mesa?
Essa situação-problema é classificada como composição protótipo. Nela, “duas
medidas se compõem para resultar em uma terceira” (VERGNAUD, 2009, p.200), ou seja,
são dadas as duas partes (8 copos azuis e 6 copos verdes) e se procura saber o valor do todo
(Quantos copos tem sobre a mesa?). Também é uma situação do cotidiano e, por isso, os
estudantes costumam não ter dificuldade nela.
Problema 3. Pedro foi ao mercado fazer compras com 10 reais.
Quando saiu do mercado estava com 3 reais. Quantos reais Pedro
gastou no mercado?
Essa situação-problema é classificada como transformação de 1ª extensão e envolve
uma subtração. Nela se conhece o estado inicial, primeira medida (Pedro foi ao mercado fazer
compras com 10 reais), e o estado final, segunda medida (saiu do mercado com 3 reais), e se
61
quer conhecer o valor da transformação ocorrida (Quantos reais Pedro gastou no mercado?).
Nesse problema a palavra “gastou” presente no enunciado pode oferecer uma dica, pois dá o
sentido de retirar.
Problema 4. João tem 7 pares de sapatos. Júlia tem 14 pares de
sapatos.
a) Quem tem mais pares de sapatos?
b) Quantos pares a mais?
Essa situação-problema é classificada como comparação de 3ª extensão e envolve a
operação subtração. Nela, duas medidas conhecidas são comparadas. A primeira medida (João
tem 7 pares de sapatos) é o referido e a segunda medida (Júlia tem 14 pares de sapatos) é o
referente.
Essa situação tem uma complexidade um pouco maior, pois, apesar de serem
conhecidos os valores dos dois grupos, não fica explícito quem é o referente e quem é o
referido (MAGINA, CAMPOS et al., 2008).
Nesse tipo de situação, os estudantes costumam não ter dificuldade em reconhecer
qual das crianças tem maior quantidade de pares de sapatos, mas o mesmo não acontece
quando precisam responder “quantos pares a mais”.
Problema 5. Ana tem algumas blusas e Laura tem 6 blusas a menos
que Ana. Sabendo que Laura tem 13 blusas, quantas blusas tem Ana?
Essa situação-problema é classificada como comparação de 4ª extensão. Nela,
conhecemos o referido (Laura tem 13 blusas) e a relação (6 blusas a menos) e precisa-se
encontrar o referente (quantas blusas tem Ana?). Este problema é considerado de grande
complexidade porque não partimos do valor do referente para encontrar o referido, como
acontece nos outros problemas de comparação.
Problema 6. Carla tinha 6 reais. Depois que ganhou alguns reais de sua
mãe, ficou com 11 reais. Quantos reais Carla ganhou de sua mãe?
Essa situação-problema é classificada como transformação de 1ª extensão e envolve
uma adição. Nela, se conhece o estado inicial (Carla tinha 6 reais), e o estado final (ficou com
11 reais), e se quer conhecer o valor da transformação ocorrida (Quantos reais Carla ganhou
de sua mãe?). Como no enunciado aparece a expressão “ganhou” muitas crianças somam 6 +
11 e dizem que a resposta é 17.
62
Problema 7. Carlota tinha algumas bonecas e ganhou 5 bonecas de suas
amigas, ficando com 9 bonecas no total. Quantas bonecas Carlota tinha
antes?
Essa situação-problema é classificada como transformação de 4ª extensão e envolve
uma adição. Nessa situação, o estado inicial é desconhecido (Carlota tinha algumas bonecas) e
são conhecidos o estado final (ficando com 9 bonecas no total) e a transformação (ganhou 5
bonecas de suas amigas).
Problema 8. Sobre a mesa da cozinha tem 9 pratos de cores amarela e
vermelha. Três pratos são amarelos, quantos pratos são vermelhos?
Essa situação-problema é classificada como composição de 1ª extensão. Nesse tipo de
situação, é dada uma das partes (Três pratos são amarelos) e o todo (Sobre a mesa da cozinha
tem 9 pratos) e se precisa achar a outra parte. “O raciocínio requerido para resolver a situação
já não é mais intuitivo” (MAGINA et al., 2008, p. 38), porque, embora a relação parte-todo
geralmente nos remeta a uma adição, a solução do problema envolve uma subtração.
Problema 9. Carla tem 10 anos e Joana tem 3 anos a mais que ela.
Quantos anos tem Joana?
Essa situação-problema é classificada como comparação de 2ª extensão e envolve uma
adição. Nela, são conhecidos o referente (Carla tem 10 anos) e a relação (tem 3 anos a mais) e
se quer conhecer o referido (Quantos anos tem Joana?).
Para a resolução correta, é necessário que o estudante perceba a relação como uma
comparação entre as idades das pessoas, parta do valor de referência conhecido e adicione a
relação para descobri o valor do referido, desconhecido. Nesse problema, a palavra “a mais”
oferece uma “dica” que pode facilitar a resolução do problema.
Problema 10. Ricardo tinha 9 balas e ganhou 5 de seu pai. Com
quantas balas Ricardo ficou?
Essa situação-problema é classificada como transformação protótipo que envolve
ganho. Nela, são conhecidos o estado inicial (tinha 9 balas) e a transformação (ganhou 5 de
seu pai) e se que saber o estado final (Com quantas balas Ricardo ficou?). Nesse problema, a
palavra “ganhou”, presente no enunciado, pode fornecer uma “dica” relativa ao uso da
63
operação adição, pois dá o sentido de juntar o que tinha com o que ganhou. Assim como o
Problema 1, essa também é uma situação considerada de pouca complexidade.
O instrumento aplicado aos estudantes teve como propósito caracterizar e descrever o
desempenho desses sujeitos em relação à resolução de problemas de adição e de subtração.
Participaram da resolução dos problemas deste instrumento os estudantes de todas as turmas
do 2º ao 5º ano do Ensino Fundamental da escola escolhida. Escolhi aplicar apenas para
estudantes do 2º ao 5º ano porque são essas as turmas que correspondem às antigas 1ª a 4ª
séries. Participou também da aplicação a turma do Programa de Aceleração da Aprendizagem
(ACELERA)1.
A aplicação do instrumento aconteceu em uma única sessão, com uma duração média
de 43 min, contou com a participação de oito graduandos e três graduados do Curso de
Matemática – Licenciatura da UFS, e ocorreu no mesmo dia e horário para todas as turmas,
cada turma em sua sala de aula. Observou-se que o número de questões e o horário de
aplicação estivessem adequados às turmas para que a realização do mesmo não ficasse muito
cansativa (FIORENTINI e LORENZATO, 2006).
Nas turmas do 2º ano, os aplicadores realizaram uma leitura oral de cada problema, e,
após cada leitura, era disponibilizado um tempo suficiente para que todos resolvessem ou,
pelo menos, tentassem resolver o problema. Nos outros anos escolares, os estudantes,
individualmente, realizaram a leitura silenciosa e resolveram cada um dos problemas,
solicitando atendimento apenas quando tinham alguma dúvida. Antes de recolher o
instrumento, verificava-se o preenchimento dos dados idade e sexo, e se o estudante havia
resolvido os problemas.
Para Nunes, Campos et al. (2002, p. 61), a “aplicação de avaliações coletivamente e
usando números escritos sempre mostra um índice de acerto inferior nas classes iniciais”, isto
significa que quando os estudantes resolvem os problemas no coletivo da sala de aula e os
valores presentes nos enunciados dos problemas estão registrados com letras, por exemplo,
sete em vez de 7, os índices de acertos são menores. Apesar disso, resolvi aplicar
coletivamente, na sala de aula, o instrumento destinado aos alunos, por considerar que é dessa
forma que as professoras aplicam suas avaliações e, assim, mesmo correndo o risco de que os
resultados fossem um pouco inferiores, eles estariam mais próximos dos resultados
1
O Programa de Aceleração da Aprendizagem se destina a estudantes das três primeiras séries dos anos iniciais
que estejam alfabetizados e que tenham dois ou mais anos de defasagem em relação à idade regular para a série
na qual se encontram.
64
encontrados pelas professoras nas testagens realizadas durante o período dos encontros, no
Estudo 2.
Os dados referentes aos acertos dos estudantes foram registrados numa tabela do Excel
a partir da correção feita no protocolo individual dos mesmos. O acerto foi registrado com o
número “1”; o erro com o número “0” e não foram considerados meio acertos. Cada protocolo
foi identificado para que pudéssemos retornar a ele cada vez que fosse necessário. A
identificação dos protocolos aconteceu da seguinte forma: O protocolo “3B06” pertence ao
estudante nº 6 (06) da turma B (B), do 3º ano (3).
2.3.1.2 Instrumento das professoras
No instrumento aplicado às professoras, foi solicitado que cada uma elaborasse
espontaneamente seis (06) problemas de adição e/ou subtração. Nele, busquei encontrar
indícios acerca dos tipos de problemas envolvendo as operações de adição e de subtração que
propõem em suas aulas (Ver Apêndice B). Também, busquei coletar informações que me
possibilitassem caracterizar o grupo de professoras, tais como: nível de escolaridade,
formação profissional, tempo de serviço, número de horas semanais de trabalho (Ver
Apêndice C).
Participaram dessa elaboração as dez professoras das turmas do 2º ao 5º ano do Ensino
Fundamental da escola escolhida, no ano de 2011, que permitiram que seus alunos
respondessem ao instrumento inicial e que desejavam participar dos encontros no ano
seguinte. A elaboração dos problemas pelas professoras aconteceu no mesmo dia e horário em
que os alunos resolveram os problemas e no mesmo local, ou seja, na sala de aula. As
professoras do 1º ano não participaram porque seus alunos não responderam aos problemas do
instrumento destinado aos alunos.
Os problemas elaborados pelas professoras foram registrados numa tabela do Word, na
qual foi realizada a classificação dos mesmos de acordo com Vergnaud (1996a) e, por
extensões, de acordo Magina, Campos et al. (2008). Cada problema foi identificado para que
se pudesse retornar a ele cada vez que fosse necessário. A identificação dos problemas
aconteceu da seguinte forma: o problema “2AP1” indica o primeiro problema elaborado pela
professora da turma do 2º ano A. Nos problemas da professora da turma do ACELERA, a
identificação foi a seguinte: o problema “ACELP1” indica o primeiro problema elaborado por
ela.
65
2.3.1.3 Problemas do livro de Matemática adotado pela escola
No dia da aplicação dos outros instrumentos, solicitei que me emprestassem um
exemplar, de cada ano escolar, do livro de Matemática adotado, de maneira que eu pudesse
classificar os tipos de problemas de adição e de subtração ali contemplados. Recebi os
exemplares correspondentes aos quatro anos iniciais do Ensino Fundamental que participam
da pesquisa, ou seja, do 2º ao 5º ano. Em cada livro, foram selecionados os problemas nos
quais a resolução envolvia uma adição ou uma subtração.
Os problemas copiados do livro de Matemática adotado pela escola foram registrados
numa tabela do Word na qual foi realizada a classificação dos mesmos, de acordo com
Vergnaud (1996a) e, por extensões, de acordo com Magina, Campos et al. (2008). Cada
problema foi identificado para que se pudesse retornar a ele cada vez que fosse necessário. A
identificação dos problemas aconteceu da seguinte forma: o problema “2L1(p.30)” indica o
primeiro problema da página 30, do livro das turmas do 2º ano.
2.3.2 Análise do Estudo 1
A análise dos resultados deste estudo foi feita tanto numa abordagem quantitativa,
como qualitativa. Finalizada a análise, realizei uma síntese dos resultados, entrelaçando os
dados quantitativos referentes aos três instrumentos deste estudo: instrumento dos alunos,
problemas elaborados pelas professoras e problemas de adição e de subtração apresentados no
livro de Matemática adotado pela escola.
2.3.2.1 Análise Quantitativa
A análise quantitativa desses três instrumentos foi utilizada para garantir um
tratamento descritivo que me permitiu construir uma visão geral do contexto investigado
quanto ao ensino e a aprendizagem da resolução de problemas de adição e de subtração, e
oportunizou o estabelecimento de relações entre os resultados de desempenho dos estudantes
com a classificação dos problemas de adição e de subtração elaborados pelas professoras e
presentes no livro de Matemática adotado pela escola.
A análise do desempenho dos estudantes teve como referência a competência dos
mesmos na resolução dos problemas. Para Vergnaud (2009), a competência pode ser avaliada
segundo três aspectos: a) análise de acertos e erros, sendo mais competente o aluno que mais
66
acerta; b) análise do tipo de estratégia utilizada na resolução, sendo mais competente o
estudante cuja resolução for mais econômica ou mais rápida; e c) análise da capacidade de
escolher o melhor método para resolver um problema.
Considerando o desempenho dos estudantes como um reflexo direto da sua
competência em resolver problemas de adição e de subtração, fiz uso da análise de acertos e
erros. Assim, as respostas dadas aos 10 problemas foram categorizadas como certas,
atribuindo-se um ponto e não certas (erradas ou deixadas em branco), atribuindo-se zero
ponto; consequentemente, o desempenho do estudante no teste foi avaliado pelo número de
respostas corretas. Considerando-se que o Problema nº 4 solicita duas respostas, o número de
acertos variou de 0 a 11 pontos. Cada instrumento foi identificado e, após a correção dos
problemas, os resultados foram registrados por turma em planilhas do Programa Microsoft
EXCEL.
Os resultados do desempenho dos estudantes nos problemas do instrumento são
apresentados neste estudo, de acordo com as relações aditivas de base propostas por Vergnaud
(1996a): composição, transformação e comparação e, por extensões, de acordo com Magina,
Campos et al. (2008): protótipo, 1ª extensão, 2ª extensão, 3ª extensão e 4ª extensão.
A análise das produções escritas dos estudantes é, ou deveria ser, um dos aspectos
relevantes do planejamento dos docentes, levando-se em conta os propósitos de ensino de
cada disciplina (CURY, 2008). Por concordar com Cury (2008), analisei as estratégias
utilizadas pelos estudantes na resolução dos problemas. Considerei como estratégia o registro
numérico ou pictórico feito pela criança no espaço reservado para resolução e/ou resposta, por
conceber que o registro escrito na resolução do problema pode sinalizar qual foi a estratégia
utilizada por ela.
Para a análise das estratégias presentes nos espaços destinados para resolução e/ou
resposta, foi empregada a técnica de análise de erros (CURY, 2008). No primeiro momento,
foi realizada uma pré-análise, na qual as estratégias foram divididas em duas categorias
definidas a priori: estratégias corretas e estratégias incorretas.
Após uma nova exploração do material, emergiram as subcategorias. O grupo de
estudantes que utilizou uma estratégia correta fez uso de oito tipos diferentes de estratégias,
que estão representadas nas subcategorias: com desenhos, com algarismos, com desenhos e
algarismos, com complementação, com cálculo mental, com ausência ou erro do sinal do
algoritmo, com algoritmo errado, e com resposta errada. Os estudantes que utilizaram uma
estratégia incorreta fizeram uso de cinco diferentes tipos de estratégias, representadas nas
subcategorias: operação contrária, multiplicação, divisão, registro de número do enunciado e
67
registro de números aleatórios. A descrição detalhada de cada uma dessas subcategorias faz
parte do capítulo seguinte.
Os problemas elaborados pelas professoras, assim como os problemas apresentados no
livro de Matemática adotado pela escola, como já dito anteriormente, foram classificados de
acordo com as relações aditivas de base propostas por Vergnaud (1996a) e por extensões, de
acordo com Magina, Campos et al. (2008), o que propiciou comparar com os resultados do
instrumento dos alunos. A utilização de um mesmo critério de classificação oportunizou que
fosse possível comparar se os tipos de problemas nos quais os estudantes mais acertaram
foram os mais elaborados pelas professoras e eram mais contemplados no livro de Matemática
adotado pela escola. Da mesma forma, foram comparados os resultados dos tipos de
problemas nos quais os estudantes apresentaram menor índice de acertos.
2.3.2.2 Análise Qualitativa
A análise qualitativa deste estudo está apoiada na interpretação das estratégias de
resolução utilizadas pelos estudantes na resolução dos problemas referentes às três categorias
de base descritas por Vergnaud (1996a): composição, transformação e comparação.
Os dados coletados a partir da análise das respostas dos alunos permitiu uma
compreensão dos esquemas e das formas de representação simbólicas que são mais utilizadas
pelos estudantes e, da mesma forma, das que são pouco utilizadas por eles.
A análise das estratégias possibilitou verificar a existência de uma relação entre os
procedimentos utilizados pelos estudantes ao resolverem os problemas e a maneira de ensinar
a resolução de problemas pelas professoras, o que favoreceu um melhor conhecimento do
contexto investigado no que se refere ao ensino da adição e da subtração.
Também, a interpretação dos resultados da comparação dos dados quantitativos
possibilitou identificar uma relação entre o desempenho dos estudantes nos problemas, os
problemas elaborados pelas professoras e os contemplados no livro de Matemática adotado
pela escola, e compreender a natureza dessa relação.
2.4 ESTUDO 2 – GRUPO DE DISCUSSÃO
Por acreditar que existe uma relação entre o conhecimento matemático das professoras
e a atuação delas como ensinante na sala de aula, considero que a constituição de um espaço
de discussão e de reflexão sobre o ensino do Campo Aditivo pode provocar uma mudança no
68
conhecimento dessas docentes e, consequentemente, nos processos de ensino e de
aprendizagem dos alunos. É possível que, ao refletirem sobre os resultados dos desempenhos
dos seus alunos, as estratégias utilizadas por eles nas resoluções de situações aditivas, os tipos
de problemas que costumam propor e o que propõe o livro de Matemática adotado, elas
repensem sua metodologia de ensino do Campo Aditivo.
Por isso, escolhi formar o grupo de estudo e discussão com as professoras que ensinam
Matemática nas turmas dos anos iniciais do Ensino Fundamental dessa escola municipal do
interior do estado de Sergipe para (i) promover o ensino e a discussão das noções do Campo
Conceitual Aditivo junto às professoras dos anos iniciais do Ensino Fundamental; (ii) discutir
de modo crítico e reflexivo, no grupo, as relações percebidas entre o desempenho dos alunos
nos problemas aditivos, os problemas elaborados pelas professoras e os apresentados no livro
de Matemática adotado pela escola; e (iii) oportunizar, no grupo de discussão, a reflexão
sobre as estratégias utilizadas pelos estudantes na resolução dos problemas de adição e
subtração apresentados no instrumento inicial.
2.4.1 Encontros
Os encontros foram mensais, com duração de 3 horas cada, e aconteceram em uma
sala de aula do Campus Universitário Prof. Alberto Carvalho – UFS, no período de março a
novembro do ano de 2012. Estava previsto que os mesmos acontecessem na escola, entretanto
isso não foi possível por falta de espaço físico na mesma. Foram convidadas para participar as
11 professoras que atuavam como docentes nas turmas do 1º ao 5º ano do Ensino
Fundamental, no ano de 2012.
Como já destacado anteriormente, os encontros possibilitaram o estudo da teoria que
fundamenta o ensino do Campo Conceitual Aditivo e a discussão crítica e reflexiva sobre os
resultados percebidos entre o desempenho dos alunos no instrumento inicial e os problemas
elaborados pelas professoras e os apresentados no livro de Matemática adotado pela escola.
Também, nos encontros, foi oportunizada a reflexão sobre as estratégias utilizadas pelos
estudantes na resolução dos dez problemas de adição e de subtração do instrumento inicial.
Para tanto, os temas a serem estudados nos encontros foram distribuídos de acordo com as
categorias, ou seja, nos três primeiros encontros foram discutidas as situações de composição;
nos dois seguintes, as situações de transformação; e nos três últimos, as situações de
comparação, conforme descrito no Quadro 2.4.1, a seguir.
69
Quadro 2.4.1 - Distribuição dos temas de estudo
Encontros
Encontro 1
Encontro 2
Encontro 3
Encontro 4
Encontro 5
Encontro 6
Encontro 7
Encontro 8
Tema de Discussão
Problemas da categoria Composição – protótipo
Problemas da categoria Composição – 1ª extensão
Problemas da categoria Composição – protótipo e 1ª extensão
Problemas da categoria Transformação – protótipo e 1ª extensão
Problemas da categoria Transformação – 4ª extensão
Problemas da categoria Comparação – 2ª extensão
Problemas da categoria Comparação – 3ª extensão
Problemas da categoria Comparação – 4ª extensão
Elaborei uma dinâmica de planejamento para os encontros e procurei mantê-la até o
final. A intenção era que essa dinâmica oportunizasse às professoras entenderem como
acontece o desenvolvimento dos conceitos matemáticos vinculados ao Campo Conceitual
Aditivo; quais meios são utilizados por seus alunos para realizarem a tarefa proposta e quais
dificuldades enfrentam.
2.4.2 Dinâmica dos encontros
1º Momento: Apresentação da teoria relativa ao tema em estudo no encontro (por exemplo, no
primeiro encontro foram discutidas as situações protótipos da categoria composição) e
discussão dos dados coletados no Estudo 1 relativos ao tema em estudo nesse encontro. Como
as professoras não conheciam a Teoria dos Campos Conceituais, para fundamentar
teoricamente a discussão, no primeiro encontro, começou-se por um estudo geral sobre a
mesma.
Em cada categoria de situações aditivas estudada, a discussão ocorria a partir dos
dados de desempenho dos estudantes, da classificação dos problemas elaborados pelas
professoras e dos presentes no livro de Matemática adotado pela escola. Para complementar
os estudos, as professoras tiveram acesso, ao longo dos encontros, a alguns subsídios teóricos
sobre a Teoria dos Campos Conceituais, tais como os livros de Magina, Campos et al. (2008)
e Santana e Correa (2011).
2º Momento: As professoras, reunidas por ano escolar que lecionam, elaboraram problemas
relacionados ao tema em estudo no encontro para serem trabalhados em suas turmas. Após a
elaboração, os problemas eram apresentados ao grande grupo para que as colegas pudessem
contribuir, verificando clareza, correção ortográfica, grau de dificuldade na operação para a
série, e conferindo se os conceitos que envolvem a situação elaborada estavam de acordo com
o que foi proposto e discutido no encontro. Nesse momento, era oportunizado um espaço de
70
análise crítico-reflexiva que objetivava complementar as ideias discutidas, permitindo que as
professoras se apropriassem dos conceitos da categoria em estudo naquele encontro.
3º Momento: Cada professora aplicava em sua própria turma os problemas elaborados no
encontro e, posteriormente, no encontro seguinte, os dados relativos ao desempenho dos
estudantes eram apresentados ao grupo para que houvesse uma discussão coletiva dos
mesmos. Sempre que necessário era retomada a Teoria dos Campos Conceituais, no que se
refere ao Campo Aditivo.
O quadro a seguir apresenta os objetivos de cada encontro e informa quais os
participantes do mesmo.
Encontro
Encontro 1
Encontro 2
Encontro 3
Encontro 4
Quadro 2.4.2 – Objetivos e participantes de cada encontro
Professoras
Objetivos
Participantes
Conhecer a TCC e, mais especificamente, conceitos
e situações protótipos da categoria composição.
Relacionar o desempenho dos estudantes nessa
P. Rosa
categoria com os problemas elaborados pelas
P. Verde
professoras e os presentes no livro adotado pela
P. Azul
escola.
P. Vermelho
Discutir as estratégias utilizadas pelos alunos na
P. Branco
resolução dos problemas protótipos de composição.
P. Violeta
Elaborar problemas da categoria composição –
protótipo.
Conhecer os conceitos e situações presentes nos
problemas de 1ª extensão da categoria composição.
Relacionar o desempenho dos estudantes nessa
categoria com os problemas elaborados pelas
professoras e os presentes no livro adotado pela
P. Amarelo
escola.
P. Verde
Discutir as estratégias utilizadas pelos alunos na
P. Branco
resolução dos problemas de composição – 1ª
P. Violeta
extensão.
Elaborar problemas da categoria composição – 1ª
extensão.
Retomar os conceitos e situações protótipos e de 1ª
P. Amarelo
extensão da categoria composição e a discussão das
P. Verde
estratégias utilizadas pelos estudantes nesses tipos
P. Azul
de problemas.
P. Vermelho
Elaborar problemas da categoria composição, dos
P. Branco
tipos protótipo e 1ª extensão.
P. Violeta
P. Lilás
Conhecer os conceitos e situações presentes nos
problemas protótipos e de 1ª extensão da categoria
transformação.
Relacionar o desempenho dos estudantes nesses
tipos de problemas com os elaborados pelas
P. Amarelo
professoras e os presentes no livro adotado pela
P. Verde
escola.
P. Azul
Discutir as estratégias utilizadas pelos alunos na
resolução dos problemas de transformação, dos
tipos protótipo e 1ª extensão.
Elaborar problemas da categoria transformação –
protótipo e 1ª extensão.
Graduandos
e Graduados
1 graduando e
1 graduado
1 graduando
2 graduandos
-
71
Encontro
Encontro 5
Encontro 6
Encontro 7
Encontro 8
Objetivos
Conhecer os conceitos e situações presentes nos
problemas de 4ª extensão da categoria
transformação.
Relacionar o desempenho dos estudantes nessa
categoria com os problemas elaborados pelas
professoras e os presentes no livro adotado pela
escola.
Discutir as estratégias utilizadas pelos alunos na
resolução dos problemas de transformação - 4ª
extensão.
Elaborar problemas da categoria transformação – 4ª
extensão.
Conhecer os conceitos e situações presentes nos
problemas de 2ª extensão da categoria comparação.
Relacionar o desempenho dos estudantes nessa
categoria com os problemas elaborados pelas
professoras e os presentes no livro adotado pela
escola.
Discutir as estratégias utilizadas pelos alunos na
resolução dos problemas de comparação- 2ª
extensão.
Elaborar problemas da categoria comparação – 2ª
extensão.
Conhecer os conceitos e situações presentes nos
problemas de 3ª extensão da categoria comparação.
Relacionar o desempenho dos estudantes nessa
categoria com os problemas elaborados pelas
professoras e os presentes no livro adotado pela
escola.
Discutir as estratégias utilizadas pelos alunos na
resolução dos problemas de comparação- 3ª
extensão.
Elaborar problemas da categoria comparação – 3ª
extensão.
Conhecer os conceitos e situações presentes nos
problemas de 4ª extensão da categoria comparação.
Relacionar o desempenho dos estudantes nessa
categoria com os problemas elaborados pelas
professoras e os presentes no livro adotado pela
escola.
Discutir as estratégias utilizadas pelos alunos na
resolução dos problemas de comparação- 4ª
extensão.
Elaborar problemas da categoria comparação – 4ª
extensão.
Professoras
Participantes
P. Amarelo
P. Verde
P. Azul
P. Vermelho
P. Verde
P. Azul
P. Amarelo
P. Verde
P. Azul
P. Amarelo
P. Verde
P. vermelho
Graduandos
e Graduados
-
1 graduando
-
-
Para identificar e compreender contribuições de um estudo do Campo Conceitual
Aditivo na reflexão à ação docente de professoras dos anos iniciais do Ensino Fundamental de
uma escola do interior de Sergipe, frente à resolução de problemas aditivos, fiz uso de
instrumentos de coleta de dados para registrar o processo de ensino e discussão da teoria, tais
como o diário de campo, gravação em áudio e entrevista.
72
Diário de Campo
O diário de campo é um dos instrumentos de coleta de informação. Depois de voltar de
qualquer atividade realizada na escola ou com o grupo de professoras, é típico que o
investigador registre o que aconteceu. “Em adição e como parte dessas notas, o investigador
registrará ideias, estratégias, reflexões e palpites” (BOGDAN e BIKLEN, 1994, p.150).
No diário de campo, fiz descrições detalhadas que retratam desde a chegada das
professoras até os diálogos mais relevantes sobre o ensino e a aprendizagem da resolução de
problemas aditivos. Também, nele foram registradas todas as minhas idas à escola, minhas
impressões sobre o andamento do trabalho, contexto escolar, dificuldades surgidas e
incertezas, para que dessa forma ele cumpra o duplo papel de fornecer para a análise dados
descritivos e interpretativos.
Esse material contém o relato detalhado do que aconteceu no encontro e, ao destacar o
que é mais significativo, os registros estarão impregnados da minha leitura e da minha
maneira de interpretar os fatos. Fiorentini e Lorenzato (2006) apontam o alto grau de
subjetividade desse instrumento de coleta de informações e, por isso, recomendam que as
reflexões ou comentários pessoais do pesquisador sejam feitos à parte, sendo que são partes
inerentes ao processo.
Gravação em Áudio
A gravação em áudio me permitiu o registro detalhado de todas as discussões
ocorridas durante os encontros, o que me possibilitou complementar os registros feitos no
diário de campo.
Entrevista
Também, após o encerramento dos encontros, foi realizada uma entrevista
semiestruturada com cada uma das quatro professoras que permaneceu até o final dos
encontros. Para Fiorentini e Lorenzato (2006, p.120), “a entrevista, além de permitir uma
obtenção mais direta e imediata dos dados, serve para aprofundar o estudo”. Bogdan e Biklen
(1994, p. 134) reforçam a ideia desses autores ao afirmarem que “especialmente no final do
estudo, quando se procura informação específica” o pesquisador organiza encontros
individuais com os sujeitos com vistas à condução de uma entrevista mais formal.
73
Nesta pesquisa, a entrevista foi usada para identificar interpretações das professoras
em relação ao estudo realizado, e buscar compreender as possíveis mudanças ocorridas tanto
no que diz respeito ao conhecimento em relação ao conteúdo quanto no desenvolvimento da
sua ação docente, bem como nos resultados demonstrados pelos alunos na resolução dos
problemas. Ela foi do tipo semiestruturada por partir de questões que me permitiram
inferências nos pontos relevantes, segundo meu interesse, sobre fatos e questões discutidos
nos encontros e nos resultados de desempenho dos estudantes de cada professora na segunda
aplicação do instrumento com os dez problemas aditivos, no final de 2012. Procurei manter
um clima de confiança, atitude de atenção e interesse e descontração para deixar a
entrevistada à vontade para expressar-se livremente.
Para que isso fosse possível, possibilitei que cada professora escolhesse o dia e o
horário que gostaria de ser entrevistada. As quatro entrevistas aconteceram na escola. Duas
delas aconteceram na sua sala de aula da própria professora e as outras duas aconteceram no
Laboratório de Informática, pois naquele horário era o único espaço disponível no qual não
seríamos interrompidas. As entrevistas ocorreram entre os dias 05 e 13 de dezembro de 2012.
2.4.3 Análise do Estudo 2
A análise dos instrumentos utilizados no Estudo 2, por serem informações em forma
de textos (registros do diário de campo feitos ao término de cada encontro, transcrição e
entrevistas) se deu pelo método de Análise Textual Discursiva. Segundo Moraes (2003) e
Moraes e Galiazzi (2007), as pesquisas qualitativas cada vez mais têm se utilizado de análises
textuais, pois buscam a compreensão do fenômeno.
A Análise Textual Discursiva é um processo que produz novos entendimentos e
compreensões, originado da desconstrução e reconstrução de materiais linguísticos e
discursivos do fenômeno investigado. “Envolve identificar e isolar enunciados dos materiais
submetidos à análise, categorizar esses enunciados e produzir textos, integrando nestes
descrição e interpretação, utilizando como base de sua construção o sistema de categorias
construído” (MORAES e GALIAZZI, 2007, p.112). Dessa forma, entende-se que a análise
textual discursiva representa um “processo auto-organizado” de compreensão, em que novos
entendimentos emergem a partir de uma sequência de três componentes: a desmontagem dos
textos, chamada de desconstrução e unitarização; o estabelecimento de relações, identificado
como processo de categorização; e a captação do novo emergente, no qual são expressas as
compreensões atingidas (MORAES e GALIAZZI, 2007).
74
Para realizar essa análise, comecei fazendo algumas leituras dos textos que fazem
parte dos instrumentos de coleta para ter conhecimento do “corpus”, conjunto de informações
da pesquisa. A partir daí, iniciei o processo de impregnação, que se constitui da leitura dos
registros no diário de campo e das quatro entrevistas, na busca de uma interpretação dos
significados. Após a leitura, realizei a constituição das unidades de sentido, que teve começo
com a desconstrução dos textos. “O processo de construção das unidades de sentido é um
movimento de explicitação e refinamento, no qual é essencial a capacidade de julgamento do
pesquisador” (MORAES e GALIAZZI, 2007, p.19). Cada unidade de sentido foi identificada
para que se soubesse a qual texto pertencia. No diário de campo, estavam registradas todas as
idas à escola e os relatos de cada um dos oito encontros, por isso, têm dois tipos de
identificação: “E.1.1” que indica a primeira unidade de sentido do primeiro encontro e
“V.E.1.1” que indica a primeira unidade de sentido da primeira ida à escola. Os trechos das
entrevistas das professoras foram identificados de acordo com a cor escolhida por elas.
Tendo como referência a questão e os objetivos da pesquisa, agrupei as unidades de
sentido em categorias iniciais, intermediárias e finais. Desse processo emergiram três
categorias que constituem a análise interpretativa.
No processo de construção das compreensões, o essencial não está na forma de
produção do texto, mas nas possibilidades do conjunto de categorias constituídas
representarem as informações do corpus em relação ao fenômeno investigado (MORAES,
2003). Dessa maneira, relacionei e interliguei as subcategorias formadas a partir do conjunto
de textos que fizeram parte do corpus e produzi um metatexto que representa uma
possibilidade de interpretação relacionada à questão em estudo.
2.5 ESTUDO 3 – COMPARATIVO
Por considerar que os dados quantitativos podem revelar indícios que possibilitam: (i)
identificar possíveis contribuições do estudo das estruturas aditivas junto ao grupo de
professoras dos anos iniciais do Ensino Fundamental de uma escola do interior de Sergipe; (ii)
perceber se o estudo realizado no grupo de discussão com as professoras interferiu no
desempenho dos estudantes na resolução de problemas de adição e subtração, realizei o
Estudo 3. Para tanto, realizei mais duas aplicações do instrumento dos alunos e das
professoras.
Na segunda aplicação, o instrumento aplicado aos 79 estudantes e às quatro
professoras que participaram do estudo até o final dos encontros, foi o mesmo aplicado aos
75
248 estudantes e às dez professoras das turmas que participaram do Estudo 1 (Apêndice A). A
aplicação ocorreu no mês seguinte ao da conclusão do estudo no grupo de discussão, no início
do mês de dezembro do ano de 2012. Assim como no Estudo 1, a aplicação do instrumento
foi feita por quatro graduandos do Curso de Matemática – Licenciatura, sob a supervisão da
pesquisadora, e ocorreu no mesmo dia e horário para as turmas do 3º ano, cada turma em sua
sala de aula. A aplicação às turmas do 1º e 2º ano aconteceu uma semana depois, em dias
diferentes, conforme horário disponibilizado pelas professoras. Como as professoras das
turmas de 4º e 5º anos deixaram de participar dos encontros, essas turmas não participaram
desta aplicação do instrumento.
A terceira aplicação aconteceu no mês de maio de 2013, seis meses após a conclusão
do estudo com as professoras, com o propósito de buscar evidências que possibilitassem
perceber se o aprendizado sobre a resolução de problemas, promovido no ano de 2012, ainda
se mantinha. Participaram dessa aplicação os estudantes das professoras que permaneceram
até o final dos encontros e as quatro professoras. Os estudantes foram identificados pela lista
de chamada das turmas e agrupados nas salas onde a maioria se encontrava. O instrumento
aplicado às quatro professoras foi o mesmo, entretanto, no instrumento aplicado aos 64 alunos
houve mudanças nos nomes próprios e nos objetos que fazem parte dos enunciados das
situações (ver Apêndice E). Essa reaplicação foi realizada somente pela pesquisadora, no
mesmo dia, mas em horários diferentes para cada grupo de estudantes.
2.5.1 Análise do Estudo 3
A análise do instrumento dos alunos aconteceu da mesma forma que no Estudo 1, ou
seja, fiz uso da análise de acertos e erros, e classifiquei as estratégias utilizadas pelos
estudantes na resolução dos problemas. Os resultados encontrados no desempenho dos
estudantes nestas segunda e terceira aplicações do instrumento foram comparados aos
resultados do desempenho dos estudantes na primeira aplicação do instrumento.
Os resultados deste estudo foram registrados em planilhas do Programa Microsoft
EXCEL, e analisados estatisticamente com o auxílio do software livre R, pacote Rcmdr,
versão 3.1.0 (R, 2014). Para verificar a existência de diferenças significativas entre os
percentuais de desempenho geral, por categorias e por problemas dos estudantes, foi utilizado
o teste t-student unilateral. O nível de significância utilizado foi de 5% e, em todos os casos,
os dados estatísticos foram acompanhados do p-valor, dando ao leitor a liberdade de extrair
suas próprias conclusões.
76
Considero que realizar uma investigação quanti-qualitativa, que tem como foco a
compreensão dos processos de ensino e de aprendizagem da resolução de problemas do
Campo Aditivo e que faz uso de dados quantitativos como ponto de partida e de chegada,
possibilita identificar contribuições de um estudo do Campo Aditivo na ação docente de
professoras dos anos iniciais do Ensino Fundamental relacionadas à resolução de problemas
aditivos. No entanto, para que se possa dar sentido aos dados coletados, se faz necessário
conhecer o contexto educacional investigado e o percurso percorrido.
2.6 CONTEXTO INVESTIGADO E TRAJETÓRIA DO TRABALHO
Neste tópico, apresento algumas características da escola, das professoras e dos
estudantes que participaram desta pesquisa, por considerar que o contexto educacional reflete
no trabalho realizado pela professora em sua sala de aula. Também, abordo o caminho
percorrido antes e durante a realização dos encontros mensais.
2.6.1 Contexto Educacional
Este estudo tem como base uma experiência de ensino que se fundamenta na Teoria
dos Campos Conceituais. Essa experiência se concretizou na constituição de um grupo de
discussão para estudo do Campo Conceitual Aditivo, procurando, assim, identificar
contribuições de um estudo das Estruturas Aditivas na aprendizagem da resolução de
problemas de adição e subtração por professoras e estudantes dos anos iniciais do Ensino
Fundamental.
O trabalho realizado pelas professoras em sala de aula é influenciado pelo contexto
educacional no qual ele acontece. Aspectos desse contexto, tais como os aspectos físicos, as
relações afetivas e profissionais, e a formação dos docentes podem ou não contribuir com o
processo de ensino desenvolvido. Diante disso, apresento aspectos do ambiente físico e
organizacional da escola e da formação profissional das docentes, visto que são determinantes
na delimitação e execução deste estudo. Ainda, descrevo alguns dados referentes à quantidade
e à idade dos estudantes que participaram deste estudo.
77
2.6.1.1 Escola
A escola investigada está localizada na zona urbana de uma cidade do interior do
estado de Sergipe, e foi construída em 1985 para atender as necessidades da comunidade na
qual está situada. No início, funcionou provisoriamente em uma casa de família e somente em
1991 recebeu a autorização do MEC para funcionar como escola de 1º grau. Atualmente, após
várias ampliações e reformas, a escola possui 11 salas de aula, uma secretaria, um
almoxarifado, uma cantina, uma sala de professores, um laboratório de informática e uma
pequena área aberta. A escola não possui biblioteca. Os livros enviados pelo governo ficam
em algumas prateleiras colocadas na sala dos professores.
No ano de 2012, a escola esteve constituída por um grupo de 33 professores, uma
diretora, duas coordenadoras pedagógicas e 865 alunos de turmas da Educação Infantil e
Ensino Fundamental. Desse total de alunos, 347 pertenciam às 12 turmas de estudantes dos
anos iniciais do Ensino Fundamental, a saber: três do 1º ano; duas do 2º ano; duas do 3º ano;
duas do 4º ano e três do 5º ano. Nesse ano, nas turmas de 5º ano, os componentes curriculares
foram divididos por área e atendidos por cinco professoras. Vale destacar que a diretora e as
coordenadoras pedagógicas são pessoas indicadas pela Secretaria de Educação do município e
mudam de acordo com as mudanças no governo municipal. A preferência é por pessoas que
não possuem vínculo anterior com a escola e as professoras que estavam nesses cargos são
redistribuídas para outras escolas.
Nesse ano, a organização didática e de ensino esteve sob a coordenação das duas
coordenadoras pedagógicas que acompanhavam o trabalho dos professores a partir de um
planejamento anual elaborado no início do ano, nas reuniões de abertura do ano letivo, das
quais participei. Não acontecem reuniões pedagógicas a não ser a realizada no início do ano
letivo. Os professores ensinam os conteúdos que constam no programa determinado pela
Secretaria de Educação do Município.
O livro de Matemática utilizado é o mesmo das outras escolas municipais, pois a
solicitação é feita pela Secretaria de Educação do município a partir da escolha das escolas,
ou seja, o município solicita para todas as escolas o livro escolhido pelo maior número de
escolas e que, no caso da escola investigada, não era o que foi escolhido pelas professoras.
As turmas são compostas, em média, por 35 alunos, que são distribuídos de acordo
com a idade. Em 2012, nas turmas dos anos iniciais do Ensino Fundamental, o espaço nas
salas estava adequado para o número de alunos, o que facilitava a organização das classes.
78
A avaliação se constitui de parecer para os estudantes da Educação Infantil e do 1º ano
dos anos iniciais do Ensino Fundamental, e notas, resultado de provas e trabalhos, para os
estudantes do 2º ao 9º ano do Ensino Fundamental. Para a realização das provas, a equipe
diretiva prevê uma semana sem aulas, a cada dois meses, na qual os estudantes comparecem à
escola apenas para realizar as provas.
Durante algumas observações de aulas das professoras que participaram deste estudo,
foi possível perceber que elas ensinam Matemática utilizando apenas o quadro e o giz para
expor e explicar os conteúdos. Entretanto, em um armário na secretaria pude encontrar vários
materiais que podem contribuir no processo de ensino da Matemática, tais como: jogo de
varetas, dominós, dama e xadrez; caixas de blocos lógicos; caixas de material dourado e
ábacos, entre outros. A diretora me informou que as professoras dos anos iniciais do Ensino
Fundamental usam muito pouco esses materiais.
2.6.1.2 Professoras
Como já foi dito anteriormente, do primeiro estudo, que aconteceu no ano de 2011,
participaram as professoras que evidenciaram interesse em fazer parte do grupo de discussão.
Entretanto, no início do ano de 2012 houve algumas mudanças de redistribuição das
professoras nas turmas dos anos iniciais do Ensino Fundamental constituídas na escola. Em
decorrências dessas mudanças, nem todas as professoras interessadas puderam participar dos
encontros. No início, o grupo contou com a participação de oito professoras.
Após o primeiro encontro, houve um período de greve dos professores municipais.
Esse fato dividiu o grupo de professoras, pois nem todas participaram da paralisação, o que
resultou na desistência de uma delas após um enfrentamento verbal com as colegas. No mês
de junho, após o recesso de São João, as duas professoras do 4º ano deixaram de participar:
uma porque foi morar em Salvador e a outra porque passou a ensinar Geografia às turmas dos
anos finais do Ensino Fundamental e, também, a professora do 5º ano se afastou para cuidar
da saúde. Dessa forma, quatro professoras permaneceram até o final de 2012.
Para permanecerem no anonimato, as professoras escolheram nome de cores para a
sua identificação. As cores escolhidas pelas professoras que permaneceram até o final foram:
P. Vermelho, P. Verde, P. Amarelo e P. Azul. As quatro professoras que participaram de
alguns encontros no início do trabalho foram identificadas com as seguintes cores: P. Rosa, P.
Branco, P. Violeta e P. Lilás. A seguir, destaco alguns dados sobre a experiência e formação
acadêmica de cada uma das quatro professoras que permaneceram até o final dos encontros.
79
A P. Verde tinha 23 anos de tempo de Magistério, em 2012 estava lecionando pela
primeira vez em uma turma de 2º ano, mas já possuía experiência em turmas de 4º e 5º anos.
Concluiu o Curso Normal Médio, cursou Pedagogia e realizou uma Pós-Graduação, em nível
de Especialização, em Português. Trabalhava num regime de 25 horas semanais. Desde o
primeiro contato com a investigadora, demonstrou interesse em participar deste projeto.
Durante o período de realização dos encontros, em 2012, mais de uma vez procurou a ajuda
da investigadora para resolver dificuldades enfrentadas em sua ação docente.
A P. Vermelho tinha 20 anos de tempo de Magistério. Em 2012, estava lecionando
pela quarta vez em uma turma de 3º ano, mas já possuía experiência em turmas de Pré-escola
e 2º ano. Concluiu o Curso Normal Médio, cursou Pedagogia e realizou uma Pós-Graduação,
em nível de Especialização, em Psicopedagogia. Trabalhava num regime de 25 horas
semanais. Sua participação sempre esteve condicionada à participação da Professora Azul,
pois elas têm uma parceria de trabalho que vem de muitos anos.
A P. Azul tinha 29 anos de tempo de Magistério. Em 2012, estava lecionando pela
primeira vez em uma turma de 3º ano, mas já possuía experiência em turmas de 2º e 5º anos.
Concluiu o Curso Normal Médio, cursou Letras - Português e realizou uma Pós-Graduação
em nível de Especialização em Metodologia de Ensino. Trabalhava num regime de 25 horas
semanais. Essa professora sempre evidenciou preocupação com a maneira de ensinar e com o
desempenho de seus alunos na resolução dos problemas.
A P. Amarelo tinha 15 anos de tempo de Magistério, era a professora mais nova do
grupo. Em 2012, estava lecionando pela terceira vez em uma turma de 1º ano, mas já possuia
experiência em turmas de Pré-escola, 2º, 3º e 5º anos. Concluiu o Curso Normal Médio,
cursou Pedagogia e realizou uma Pós-Graduação, em nível de Especialização, em
Psicopedagogia. Trabalhava num regime de 25 horas semanais. Ela gosta de trabalhar com
alunos pequenos e tem um vínculo afetivo muito forte com eles. Sempre demonstrou interesse
que seus alunos melhorassem o desempenho na resolução de problemas.
Como é possível observar, as quatro professoras têm habilitação para atuarem nas
turmas que lecionavam e possuem um tempo significativo de experiência docente, 15 anos ou
mais, como professoras dos anos iniciais do Ensino Fundamental, apesar de duas estarem pela
primeira vez atuando naquele ano escolar.
80
2.6.1.3 Alunos
Participaram do primeiro estudo, em 2011, 11 turmas de uma escola municipal do
interior de Sergipe, totalizando 248 estudantes, sendo 62 do 2º ano; 47 do 3º; 48 do 4º; 80 do
5º ano e 11 do Projeto Acelera. Desse total de estudantes, 105 são meninas e representam
42% do total; 143 são meninos, o que corresponde a 58% do total. A idade dos estudantes
naquele ano variou de 06 a 17 anos, perfazendo uma média de idade de 9,82 anos.
Quanto à correlação idade-ano escolar, levando em conta que o instrumento foi
aplicado em setembro e que, nesta época, muitas crianças já tinham aniversariado, considerei
como idade adequada em todos os anos escolares, um ano a mais do que o previsto na
legislação educacional brasileira, ou seja, 8 anos para o 2º ano, 9 anos para o 3º ano, 10 anos
para o 4º ano e 11 anos para o 5º ano.
Dessa maneira, a idade desse grupo de alunos deveria variar de 7 a 11 anos, entretanto,
como vimos ela variou de 6 a 17 anos, o que me levou a perceber que uma parte desse grupo
estava com idade avançada para o ano-escolar no qual estavam matriculados.
Tabela 2.6.1 - Distribuição dos 248 alunos por ano escolar e idade
Idade
Idade
Ano Escolar
Total
Adequada
Avançada
2º ano
53
9
62
3º ano
26
21
47
4º ano
38
10
48
5º ano
46
34
80
Acelera
0
11
11
Total
163
85
248
A relação entre o número de alunos em idade avançada e o total de alunos em cada ano
escolar variou muito. Em todos os anos escolares há alunos com idade fora da faixa etária
esperada para o ano escolar. No Acelera, conforme exigência para a constituição da turma,
todos tinham idade avançada para o ano escolar.
Em 2012, participaram da reaplicação do instrumento os 79 estudantes das turmas das
quatro professoras que se envolveram em todas as atividades da pesquisa. Desse grupo, 19
estudantes eram da turma do 1º ano; 16 da turma do 2º ano e 34 das duas turmas de 3º ano. A
turma do 2º ano estava composta por vinte e seis (26) estudantes, contudo no dia da
reaplicação os estudantes que estavam aprovados sem recuperação não compareceram.
Desse grupo de 79 estudantes, 34 são meninas e representam 44% do total; 44 são
meninos, o que corresponde a 56% do total. A idade deles nesse ano variou de 06 a14 anos,
perfazendo uma média geral de idade de 8,44 anos. No 1º ano, a média de idade foi de 7,1
81
anos; no 2º foi de 8 anos e no 3º foi de 9,15 anos. Considerando-se que a reaplicação do
instrumento aconteceu em dezembro, é possível afirmar que a maioria desses alunos estava
com idade adequada para o ano escolar que estava cursando, pois 66 tinham idade entre 6 e 9
anos e somente 12 tinham idade entre 10 e 14 anos.
2.6.2 Caminho e Planejamento
Apesar de não fazer parte do objetivo desta investigação, comento neste item os
contatos para organização e execução do projeto e os realizados com as professoras, na
escola, durante o período de realização dos encontros. Reconheço que essas etapas, além de
estarem marcadas pelos anseios, dúvidas e expectativas de todo o grupo, de certa forma
revelam o contexto no qual o trabalho foi desenvolvido.
O primeiro contato para execução deste trabalho foi com as coordenadoras da
Secretaria de Educação do Município de Itabaiana, em agosto de 2011, para apresentação do
projeto e coleta de informações sobre as escolas para posterior escolha de uma delas. Após a
conversa, foram indicadas algumas escolas e dentre elas as coordenadoras sugeriram uma por
considerarem que o grupo de professores da mesma evidenciava interesse em participar deste
tipo de trabalho.
Naquele mesmo mês, procurei a diretora e a coordenadora pedagógica dos anos
iniciais do Ensino Fundamental da escola sugerida para apresentação do projeto e realização
do convite para participação no mesmo. Foi solicitado pela coordenadora que o convite às
professoras fosse feito naquele mesmo dia, no horário do intervalo da aula. Onze professoras
ouviram a proposta e, no mesmo momento, disseram que tinham interesse em participar.
Nesse primeiro contato, ficou combinado que eu deveria voltar à escola para conversar com
todo o grupo de professoras dos anos iniciais do Ensino Fundamental da escola.
No dia 09/09/2011, voltei fora do horário de aula, para a realização da reunião com
todas as professoras das turmas dos anos iniciais do Ensino Fundamental e Educação Infantil.
Levei uma cópia impressa do projeto e apresentei slides sobre os principais tópicos do
mesmo. Após, houve um tempo de questionamentos e esclarecimentos sobre a execução da
proposta apresentada. Depois de uma semana, voltei à escola para saber a resposta sobre a
participação das docentes neste estudo. Como a resposta foi positiva, no mesmo dia já
conversei com as professoras sobre qual a melhor data para aplicação do instrumento
diagnóstico, e obtive da secretária o número exato de turmas e de alunos em cada turma. A
diretora se mostrou receptiva ao desenvolvimento do projeto desde o primeiro momento. Ela
82
disponibilizou as cópias do instrumento com os dez problemas para todas as turmas que
participaram do Estudo 1, e sugeriu que a aplicação do instrumento acontecesse no mês de
setembro, após a semana de provas dos alunos.
Para que a aplicação do instrumento acontecesse nas onze turmas no mesmo horário,
precisávamos de um número suficiente de pessoas de maneira que ficasse pelo menos uma em
cada turma, por isso foram convidados graduandos e graduados do curso de Matemática –
Licenciatura da Universidade Federal de Sergipe – UFS. Todos participaram dos dois
encontros de preparação para aplicação do instrumento. O primeiro encontro aconteceu no dia
09/09/2011, no qual fiz uma breve explicação sobre o projeto e sobre os procedimentos para a
aplicação do instrumento aos alunos e às professoras dos anos iniciais do Ensino
Fundamental.
Considero relevante destacar que quatro graduandos que participaram da aplicação do
instrumento, trabalharam de forma voluntária nesta pesquisa desde o começo da mesma,
frequentando as reuniões semanais de estudo da TCC com a pesquisadora e contribuindo em
todas as etapas do desenvolvimento do projeto.
No dia 16/09/11, já de posse das cópias dos instrumentos dos alunos e professoras,
realizei um segundo encontro com os graduandos e graduados, no qual distribuímos e
organizamos os instrumentos por turma e definimos quem ficaria responsável pela aplicação
dos mesmos em cada turma. Combinamos que nas turmas mais numerosas a aplicação seria
feita por duas pessoas, e que eu me manteria circulando pelas salas para ajudar no que fosse
necessário.
No dia 20/09/11, aconteceu a aplicação dos instrumentos em todas as turmas para
alunos e professoras. A aplicação transcorreu de maneira tranquila, pois as professoras já
haviam conversado com os estudantes sobre a realização daquela atividade. Nenhum
estudante se negou a participar. Estiveram presentes nesse dia 248 estudantes e as dez
professoras dos anos iniciais do Ensino Fundamental.
Em outubro de 2011, foi realizada a correção dos problemas do instrumento dos
alunos. Antes da correção, cada instrumento foi identificado de acordo com o ano escolar, a
turma e o número do aluno, conforme descrito na metodologia deste estudo. Os dados obtidos
por meio da correção foram registrados em tabelas do Excel.
Os dados registrados no Excel permitiram a elaboração de gráficos relativos aos
acertos dos estudantes em cada um dos problemas. Esses gráficos foram organizados em
slides e apresentados no Seminário realizado com as professoras no dia 08/11/2011 na própria
escola.
83
Algumas professoras ficaram surpresas com os resultados, pois esperavam que seus
alunos se saíssem melhor. Elas consideraram que a maioria das situações-problema do
instrumento era simples e, por isso, na opinião delas, o número de acertos deveria ser maior.
Algumas chegaram a ficar irritadas e argumentaram que costumavam trabalhar em aula
situações bem mais difíceis do que aquelas. No encerramento da reunião, combinei com elas
que voltaria a procurá-las no início do ano seguinte.
Em janeiro de 2012, liguei para a escola e fiquei sabendo que havia trocado a
coordenadora pedagógica dos anos iniciais do Ensino Fundamental. Por isso, no dia
26/01/2012, estive na escola para apresentar o projeto e conversar sobre o mesmo com a
coordenadora pedagógica que havia assumido a função. Nesse dia, fiquei sabendo que os 5º
anos em 2012 seriam por disciplina, logo só teria uma professora de Matemática para os
mesmos e, por esse motivo, duas professoras que demonstraram muito interesse em participar
dos encontros não participariam porque uma foi designada para lecionar Língua Portuguesa e
a outra, História e Geografia. Também nesse dia, a diretora da escola me convidou para
participar das reuniões de abertura do ano letivo.
Assim, no dia 09/02/2012, participei durante todo o dia da reunião administrativopedagógica da escola. No turno da manhã, a reunião foi coordenada pela diretora da escola e
aconteceu num mesmo ambiente para todos os professores da escola. Os assuntos tratados
foram: (i) distribuição das professoras nas turmas dos anos iniciais do Ensino Fundamental.
Foi ressaltado que as pedagogas estão habilitadas para trabalhar em qualquer turma dos anos
iniciais e, por isso, não deveriam se queixar da distribuição feita. Uma professora se
manifestou contra a distribuição dos professores do 5º ano por disciplina e não por turma; (ii)
número de alunos nas turmas da Educação Infantil, que passou de 20 para 25 por ser uma
exigência da Secretaria de Educação do município; (iii) verba disponível para ser gasta no ano
de 2012; (iv) número de reprovados nas turmas, houve destaque para o caso da 7ª série que
dos 50 estudantes apenas 17 foram aprovados; (v) critérios de avaliação utilizados pelos
docentes; (vi) planejamento, foi explicado que a partir desse ano os professores passariam a
entregar um planejamento por unidade e não mais anual como estavam fazendo.
No turno da tarde, o grupo de professores foi dividido, e eu participei da reunião
realizada com as professoras dos anos iniciais do Ensino Fundamental. A reunião foi
coordenada pela coordenadora pedagógica. Ela não conhecia as professoras e nem as
professoras a conheciam, por isso ela gastou um tempo do início da reunião se apresentando e
falando sobre a sua experiência profissional. Após, confirmou a distribuição das professoras
nas turmas, e orientou como deveriam fazer para preencher os quadros relativos ao
84
planejamento por unidade. No início da tarde, eu havia solicitado à coordenadora pedagógica
que abrisse um espaço para que eu pudesse combinar com as professoras dia, local e horário
do nosso primeiro encontro, por isso, antes das professoras começarem a realizar o
planejamento, ela me disponibilizou um tempo. No primeiro momento, buscamos qual dia da
semana ficaria melhor e foi escolhida a quarta-feira. Depois, houve uma discussão quanto ao
turno, se seria matutino, vespertino ou noturno, e por causa da aula delas ser pela manhã a
maioria optou pelo turno vespertino. Quanto ao local, a nossa intenção era a de que os
encontros acontecessem na própria escola, entretanto, na época, a escola estava com todas as
salas ocupadas, por isso, optamos por realizar os encontros no campus universitário da UFS.
Após a participação na reunião, voltei à escola no dia 05/03/2012 para lembrar às professoras
que nosso primeiro encontro aconteceria no dia 07/03/2012.
Entre o primeiro e o segundo encontro, estive na escola quatro vezes. Na primeira, em
19/03/2012, levei alguns livros que tratam de alfabetização para emprestar para uma das
professoras do 2º ano, pois no primeiro encontro ela comentou que nunca havia alfabetizado e
demonstrou interesse em estudar um pouco sobre o assunto.
Na segunda vez, em 21/03/2012, fui ver se estavam precisando de alguma ajuda na
elaboração dos problemas e no ensino dos mesmos. A P. Rosa me mostrou uma folha com
cinco problemas que ela elaborou para os alunos dela resolverem, antes dela aplicar os que ela
elaborou no 1º encontro. Li os problemas, e percebi que quatro deles eram de transformação,
embora todos envolvessem uma adição. Conversei com ela sobre isso, e ressaltei que
precisam estar atentas à situação que está sendo proposta e não somente ao cálculo que será
usado para a resolução. Essa conversa me fez ver que, no segundo encontro, seria preciso
retomar os conceitos com elas e destacar que o diferencial está na situação proposta. Nesse
mesmo dia, falei com a professora do 2º ano, que me disse que já estava lendo o livro sobre
alfabetização que emprestei, e que ele está ajudando-a na elaboração do trabalho. Falei
também com a professora do 3º ano, que me disse que faria as avaliações na semana seguinte,
e que depois faria a aplicação dos problemas
Na terceira vez, em 29/03/2012, estive na escola para conversar com as professoras do
turno da tarde, P. Violeta e P. Branco, sobre a aplicação dos problemas, mas se encontrava na
escola apenas a secretária, que me informou que as professoras haviam paralisado para
reivindicar aumento de salário.
Na quarta vez, 30/03/2012, voltei à escola para conversar com as professoras sobre a
aplicação dos problemas. Pedi licença à coordenadora pedagógica para colar na porta do
armário da sala dos professores o aviso com o convite para o 2º encontro, e fui conversar com
85
as professoras que estavam em suas salas de aula, pois não costumam frequentar a sala dos
professores.
Primeiro, cheguei à sala da professora do 2º ano que, quando me viu, novamente
comentou que estava pensando em me procurar. Ela me mostrou a folha com problemas
resolvidos pelas crianças, e comentou comigo que estava analisando os erros deles nos
problemas e que não estava entendo porque alguns alunos, em problemas idênticos só com
números diferentes, tinham errado um e acertado o outro. Solicitei que ela observasse as
quantidades envolvidas nos problemas. Nos dois, a solução envolvia a soma de três parcelas:
num deles a soma não passava de dez e no outro passava. Ela acredita que não seja esse o
motivo, pois um aluno errou porque com duas parcelas do problema formou um único número
e depois somou. Por exemplo, para somar 8 + 4 + 5 ele fez o seguinte registro: 8 4
+5
Solicitei que ela observasse todas as respostas erradas para ver se esse tipo de erro
também tinha sido cometido por outros alunos; levasse essas resoluções no segundo encontro
para discutirmos no grupo e pensasse sobre a discussão que tivemos no primeiro encontro
sobre a dificuldade dos estudantes em armar a conta. Depois, passei na sala das outras
professoras convidando para o próximo encontro.
Entre o segundo e o terceiro encontro, tive um encontro com a P. Verde na
universidade, e estive na escola cinco vezes. No encontro com a professora, em 9/04/2012,
ocorreu uma discussão sobre os problemas de composição – 1ª extensão, trabalhados no 2º
encontro. A professora estava mais preocupada em elaborar um problema que envolvesse uma
operação de subtração do que observar a situação presente no problema. Por ela ter se
queixado de alguns alunos com necessidades especiais, combinei que na segunda-feira
seguinte, 16/04/2012, faria uma observação na aula dela para ver em que poderia ajudá-la.
Depois desse combinado, minha ida à escola foi no dia 16/04/2012 para fazer a
observação na sala da P Verde. Estive na sala dela por 2 horas. No intervalo, fui à sala dos
professores e lá fui comunicada que os professores municipais entrariam em greve por tempo
indeterminado.
Depois do intervalo, sentei para conversar com a diretora e a coordenadora
pedagógica. Iniciei expondo a elas como estava acontecendo o trabalho do projeto, pois a
coordenadora, embora convidada, não estava comparecendo. Ela justificou a sua ausência,
argumentando que no dia dos encontros ela trabalha em outra escola. Após, expressei minha
vontade de contribuir com a melhoria da qualidade de ensino da escola por me considerar
parte desse processo. Relatei as dificuldades enfrentadas pelas professoras em sala de aula,
86
destacando algumas queixas delas relativas a número excessivo de alunos, alunos com
dificuldades de aprendizagem e indisciplina. Sugeri que fossem convidadas uma psicóloga e
uma psicopedagoga para orientarem as professoras no entendimento e na busca de solução
para os problemas que vivenciavam. Durante a conversa, a diretora me argumentou que a
escola comprou muitos recursos materiais e que as professoras não os utilizavam em suas
aulas. Coloquei meu trabalho à disposição delas, tanto para organizar uma reunião sobre o uso
dos recursos materiais disponíveis na escola como para convidar outros profissionais. A
diretora fez anotações e me agradeceu pela disponibilidade e sugestões.
Na segunda vez em que estive na escola, 02/05/2012, foi para levar uns livros que eu
havia prometido para a professora P. Verde. Lá, encontrei algumas professoras que
participavam do estudo e não aderiram à greve. A P. Verde me perguntou se teríamos
encontro naquela semana, na sexta-feira. Disse a ela que nosso encontro estava marcado para
aquela tarde, pois o combinado é que fosse sempre às quartas-feiras, mas que naquela semana
ele não aconteceria, pois algumas colegas estavam em greve.
Na terceira vez em que estive na escola, 16/05/12, fui combinar com as professoras o
dia do nosso 3º encontro. Percebi que algumas estavam desanimadas, principalmente a P.
Rosa, quando perguntei o motivo, ela me respondeu que estava desanimada porque as
crianças tinham esquecido tudo o que ela havia ensinado no primeiro mês (ela era professora
do 1º ano), que não tinha apoio nenhum da coordenadora pedagógica e que todo trabalho que
realizava não era reconhecido. Disse, também, que percebia que teria que fazer um
diagnóstico da turma para replanejar suas aulas. Tentei estimulá-la chamando-a para o nosso
próximo encontro. Quanto aos materiais discutidos no 2º encontro, encontrei na parede da sala
de aula da P. Verde o Quadro Valor-Lugar.
Na quarta vez, 21/05/12, fui à escola para conversar com as duas professoras que
lecionam à tarde e, também, para colar o cartaz que avisava sobre o 3º encontro no dia
23/05/2012. A secretária me informou que dia 23/05/2012 teria paralisação. Por esse motivo,
voltei à escola no dia seguinte, 22/05/2012, para confirmar o encontro do dia 23/05/2013 e,
apesar de ser um dia de paralisação da categoria, todas confirmaram presença no encontro. A
P. Verde me chamou na sua sala de aula para mostrar que estava trabalhando de acordo com o
que era discutido nos encontros e que já havia lido um dos livros que emprestei.
Entre o 3º e o 4º encontros, estive na escola cinco vezes. Na primeira, 24/05/2012, fui
comunicar a P. Amarelo que só poderia observar a aula dela do dia 31/05/2012. Encontrei-a,
na sala dos professores, comentando sobre o 3º encontro com professoras que não
participavam do projeto.
87
Na segunda vez, 31/05/2012, fui, então, observar a aula da P. Amarelo. Fiquei duas
horas na sala de aula dela.
Na terceira vez, 18/06/2012, estive na escola para confirmar o 4º encontro no dia
20/06/2012. Entretanto, as professoras me comunicaram que não poderia acontecer nesse dia,
pois estavam num ritmo muito acelerado, organizando a festa de São João. Por esse motivo,
transferi a data do 4º encontro para o dia 11/07/2012.
Na quarta vez, 09/07/2012, estive na escola para saber se o retorno às aulas era neste
dia. A coordenadora pedagógica me informou que as aulas começavam no dia 10/07/12.
Na quinta vez, 10/07/2012, retornei a escola para confirmar com as professoras o 4º
encontro no dia 11/07/2012. Passei em todas as salas convidando as professoras para o
encontro. Quando cheguei à porta da sala da P. Lilás vi que tinha outra professora lá. Essa
professora me comunicou que a P. Lilás estava de licença e que só retornaria no ano seguinte.
Entre o 4º e o 5º encontro, falei com as professoras algumas vezes pelo telefone e
somente estive na escola duas vezes: uma, no dia 06/08/2012, para confirmar o 5º encontro no
dia 08/08/2012 e outra, no dia 13/08/2012, para recombinar a data do 5º encontro para o dia
15/08/2012, pois na data marcada, 08/08/2012, somente compareceu a P. Verde. Passei nas
salas das professoras que costumam frequentar os encontros, quando cheguei na sala da P.
Violeta ela me justificou que não estava frequentando porque estava com problemas de saúde.
Entre o 5º e o 6º encontro, novamente, só estive duas vezes na escola, nos dias
05/09/2012 e 11/09/2012. Assim como no encontro anterior, no 6º encontro também a data
teve que ser remarcada, porque no dia do encontro as professoras avisaram que não poderiam
comparecer.
Entre o 6º e o 7º encontro, estive com as professoras duas vezes. Gostaria de destacar
que o 7º encontro foi agendado duas vezes. Na primeira data, 11/10/2012, ele não aconteceu
porque faleceu o irmão de uma funcionária da escola; na segunda data, 19/10/2012, não
aconteceu porque houve uma comemoração organizada pela equipe diretiva da escola pelo dia
do professor, na qual eu fui convidada e participei.
Entre o 7º e o 8º encontro, estive na escola duas vezes. Na primeira, em 31/10/2012,
para conversar com as professoras sobre a aplicação dos problemas e, a segunda, no dia
12/11/2012, para confirmar o 8º encontro no dia 13/11/2012.
O caminho descrito revela meu envolvimento com as professoras e com a equipe
diretiva da escola e contribui na compreensão de aspectos institucionais que influenciaram o
trabalho realizado com as docentes.
88
CAPÍTULO 3
ANÁLISE DIAGNÓSTICA
Neste capítulo, apresento a análise realizada nos dados coletados nos três instrumentos
do Estudo 1 com o objetivo de conhecer o contexto investigado quanto ao desempenho dos
estudantes na resolução de problemas de adição e de subtração, e buscar indicativos que
sinalizem quais tipos de problemas as professoras costumam trabalhar em suas aulas. Ao
mesmo tempo, esses dados serviram como subsídio para provocar a reflexão nos encontros do
grupo de discussão (Estudo 2). Assim, apresento as análises quantitativa e qualitativa dos
instrumentos de investigação aplicados antes da constituição do grupo de discussão com as
professoras. Para concluir, realizo uma comparação dos resultados de análise dos
instrumentos do Estudo 1 com os resultados encontrados nos estudos de outros pesquisadores.
3.1 ANÁLISE DO INSTRUMENTO DOS ESTUDANTES
Inicio com a análise do instrumento dos estudantes por considerar que neles estão os
dados que deram origem ao estudo realizado. Para tanto, foi feita, primeiramente, a análise
quantitativa seguida da análise qualitativa e, finalmente, uma síntese das análises do
instrumento.
3.1.1 Análise quantitativa do instrumento aplicado aos estudantes
A análise quantitativa do desempenho dos estudantes é feita a partir das respostas
apresentadas na resolução dos problemas. Como já informado na metodologia, para esta
análise, escolhi fazer uso da análise de acertos e erros. Assim, as respostas dadas aos 10
problemas foram categorizadas como certas, atribuindo-se um ponto e não certas (erradas ou
deixadas em branco), atribuindo-se zero ponto; consequentemente, o desempenho do
estudante no instrumento foi avaliado pelo número de respostas corretas. Considerando-se que
o problema nº 4 solicita duas respostas, o número de acertos variou de 0 a 11 pontos.
Os resultados do desempenho dos estudantes nos problemas do instrumento são
apresentados, primeiramente, de forma geral, para que se possa ter uma visão do todo. Em
seguida, os resultados são apresentados de acordo com as relações aditivas de base propostas
por Vergnaud (1996a) e por extensões, de acordo com Magina, Campos et al. (2008). Assim,
89
faço o agrupamento por categorias e, em cada categoria, destaco o desempenho dos estudantes
em cada uma das extensões da categoria em análise. Para registro dos percentuais nas tabelas
de desempenho, não fiz arredondamentos, apenas considerei uma casa após a vírgula.
Contudo, nas tabelas das estratégias utilizadas, fiz um arredondamento na casa dos décimos.
3.1.1.1 Análise do desempenho geral dos estudantes
Inicio apresentando a análise dos dados gerais relativos às respostas dos 248
estudantes no instrumento inicial. Primeiramente, analiso o desempenho geral dos estudantes
por ano escolar (Gráfico 3.1.1), por categoria (Gráfico 3.1.2) e por problema (Gráfico 3.1.3).
O Gráfico 3.1.1 mostra que o desempenho dos estudantes foi crescente do 2º ao 5º ano,
o que era esperado, tendo em vista o grau de maturidade e o conhecimento adquirido a cada
ano. O índice geral de acertos dos alunos do 2º e 3º anos foi abaixo de 50%. A diferença entre
os percentuais de acertos foi menor do 4º para o 5º ano (5%) e maior do 3º para o 4º ano
(20%). A diferença do 2º para o 5º ano foi de 32%. A turma do Acelera teve um índice de
desempenho de 50%.
Gráfico 3.1.1 – Desempenho geral dos estudantes por ano escolar
Fonte: Banco de dados da Autora
Analisando-se o desempenho por categoria, no Gráfico 3.1.2 a seguir, percebe-se que
o maior número de acertos ocorreu na categoria transformação (63%) e o menor na categoria
comparação (49%). O desempenho na categoria composição (59%) ficou um pouco abaixo da
categoria transformação, com uma diferença de 4%. Diferentemente dos resultados
encontrados neste estudo, estudos similares mostram que o melhor desempenho dos
estudantes foi na categoria composição (SANTANA, 2010).
90
Gráfico 3.1.2 – Desempenho geral dos estudantes por categoria
Fonte: Banco de dados da Autora
Observando-se os índices de acerto em cada problema constante no Gráfico 3.1.3,
percebe-se que o Problema 1 (P1) teve maior número de acertos (85%) seguido por P2 (74%)
e P10 (71%). Esses problemas, embora pertençam a diferentes categorias, têm o mesmo grau
de complexidade, são problemas protótipos, ou seja, são problemas considerados fáceis.
Gráfico 3.1.3 – Desempenho geral dos estudantes em cada problema
Fonte: Banco de dados da Autora
Nos problemas P6 e P7, o desempenho foi praticamente o mesmo (diferença de 1%).
Esses problemas pertencem à mesma categoria (transformação), entretanto, o P7 tem maior
grau de complexidade. Um fator que pode ter contribuído para que o desempenho dos
estudantes fosse semelhante é que, em ambas as situações, há uma incongruência semântica
entre a palavra-chave do problema e a operação a ser utilizada na resolução. Nesses
problemas, a palavra “ganhou” está presente no enunciado, entretanto, a solução exige uma
operação de subtração.
91
O P5 foi o problema com menor índice de acertos (32%). Os problemas P5 e P7 são de
4ª extensão e, por isso, considerados de maior complexidade. Segundo Magina, Campos et al.
(2008), os problemas classificados nessa extensão são os que requerem do aluno um
raciocínio aditivo mais sofisticado. É possível que os estudantes tenham errado mais nele do
que no P7 porque o P5 envolve uma situação de comparação, que tem no enunciado a
expressão “a menos”. Para Vergnaud (1982), o pouco sucesso de crianças em problemas cujo
enunciado faz uso de termos quantitativos como “a mais” e “a menos” tem mais relação com
o desenvolvimento cognitivo da criança do que com o significado da expressão. Schliemann
(2001) complementa a afirmação de Vergnaud ao explicar que a compreensão dessas
expressões com o sentido de uma relação ou de uma comparação entre dois valores depende
do desenvolvimento da capacidade de usar o raciocínio lógico, que é adquirida pela criança ao
longo dos anos iniciais.
3.1.1.2 Análise do desempenho dos estudantes na categoria de Composição
Nesta seção, considero os acertos dos estudantes na resolução dos problemas P2 e P8
do instrumento aplicado, que envolvem situações de composição. A Tabela 3.1.1 apresenta o
desempenho geral, por ano escolar, dos 248 estudantes nesses problemas. Os percentuais não
totalizam os 100% porque os dados apresentados na tabela correspondem ao número de
respostas corretas de cada grupo de estudantes.
Tabela 3.1.1- Desempenho geral dos 248 estudantes na categoria Composição
Composição
P2 –
Composição
Protótipo
P8 –
Composição
1ª Extensão
Total
2º Ano
(62 alunos)
3º Ano
(47 alunos)
4º Ano
(48 alunos)
5º Ano
(80 alunos)
Acelera
(11 alunos)
Total
(248 alunos)
F
%
F
%
F
%
F
%
F
%
F
%
35
56,4
29
61,7
39
81,2
72
90
10
90,9
185
74,6
22
35,4
14
29,8
25
52,1
48
60
1
9,0
110
44,3
57
45,9
43
45,7
64
66,7
120
75
11
50
295
59,4
Fonte: Banco de dados da Autora
Observando-se os percentuais de acertos nos dois problemas, percebe-se que o
desempenho dos estudantes foi crescente ano a ano, com exceção no P8 que o 3º ano teve um
percentual inferior ao do 2º ano. O percentual geral de acertos por ano escolar na categoria
composição variou de 45,7% no 3º ano a 75% no 5º ano. As diferenças entre os percentuais de
acertos nessa categoria foram muito diversas. Quase não existiu diferença entre o 2º e o 3º ano
92
(0,2% a favor do 2º ano); 21% entre o 3º e o 4º ano e 8,3% entre o 4º e o 5º ano. Acredito que
o desempenho do 3º ano foi inferior ao do 2º porque apesar de muitos alunos do 3º ano ainda
não terem aptidão leitora, nessas turmas, no momento da aplicação do instrumento, não foi
feita a leitura oral dos problemas pelo aplicador como aconteceu nas turmas do 2º ano.
Os dados da Tabela 3.1.1 mostram que, em todos os anos escolares, o número de
acertos foi superior no P2 (74,6%), com menor percentual (56,4%) no 2º ano e maior (90%)
no 5º ano. Tais dados vão ao encontro do que apresenta a literatura, pois segundo os
pesquisadores, problemas tipo o P2, no qual conhecemos as partes e precisamos juntá-las para
encontrar o todo, são problemas que mesmo crianças de 4 e 5 anos já não apresentam
dificuldade em resolver (VERGNAUD, 2009; MAGINA, CAMPOS et al., 2008).
No problema P8, o índice de acertos foi 44,3%, ficando inferior ao do P2. O menor
índice de percentual (29,8%) ocorreu nas turmas do 3º ano e o maior (60%) nas turmas do 5º
ano. Vale destacar que, nesse problema, a turma do Acelera teve um desempenho muito baixo
(9,0%), somente um aluno acertou essa questão. Na situação presente no P8, conhecemos o
todo e uma das partes e precisamos descobrir a outra parte. Nesse tipo de problema, algumas
crianças usam a complementação, pois a relação parte-todo relaciona-se com a adição,
entretanto, a solução dele envolve a operação subtração. Por esse motivo, o raciocínio
envolvido nele já não é mais intuitivo (MAGINA, CAMPOS et al., 2008).
Além dos aspectos destacados, outro fator que contribuiu para que o número de
acertos fosse menor no P8 foi o fato de que a quantidade “três” estava representada com letras
(Três) e não com o símbolo numérico (3). Vergnaud (1996b) considera que o principal em
uma situação são os conceitos que estão envolvidos, entretanto, ele reconhece que a forma
como os enunciados são redigidos é um fator que está relacionado ao menor ou maior grau de
complexidade da situação.
Na busca de compreender melhor esses resultados e investigar detalhes que podem
contribuir com a melhoria da ação docente e, consequentemente, no desempenho dos
estudantes, se fez necessária uma análise das estratégias utilizadas pelos estudantes, porque
elas nos revelam indícios de como eles pensaram para resolver o problema. As estratégias
corretas nos sinalizam quais processos são mais utilizados e quais ainda devem ser
trabalhados para que os estudantes construam o conceito em estudo. As estratégias erradas
nos fornecem informações que sinalizam quais aspectos ainda não foram compreendidos, se
há equívocos na utilização dos invariantes e na representação do esquema de ação, aspectos
esses de relevância didática, pois interferem no planejamento do professor.
Considero
importante destacar, que neste trabalho o “algoritmo” é entendido como o cálculo numérico,
93
que permite chegar ao resultado com um número finito de passos. Para Vergnaud (2009), uma
possibilidade de uso desse tipo de algoritmo é quando se tem dois números inteiros, escritos
em numeração de posição, e se precisa encontrar a soma. Ele explica:
Algoritmo: dispor os dois números um abaixo do outro, o algarismo das unidades do
segundo número sob o algarismo das unidades do primeiro, o algarismo das dezenas
sob o algarismo das dezenas, e assim por diante [...]. Calcular a soma dos dois
algarismos que se encontram na coluna das unidades [...]. Se a soma for inferior a
dez, escrever esse número como algarismo das unidades do número a ser obtido. Se
a soma for superior a dez, transportar a reserva de uma dezena para a coluna das
dezenas e escrever o resto (inferior a dez) como algarismo das unidades do número a
ser obtido. (VERGNAUD, 2009, p.310)
Assim, o cálculo numérico, chamado de “conta em pé ou conta armada”, feito pelos
estudantes no espaço reservado à resolução do problema, foi identificado como algoritmo.
A seguir, apresento na Tabela 3.1.2 a análise das estratégias utilizadas por esses alunos
na resolução do problema P2 e na Tabela 3.1.3 a análise na resolução do problema P8.
Tabela 3.1.2 - Estratégias utilizadas pelos estudantes na resolução do P2: Sobre a mesa da cozinha tem 8 copos
azuis e 6 copos verdes. Quantos copos têm sobre a mesa?
P2. Tipo de Estratégia
1.Com desenhos
Estratégia Incorreta
Estratégia Correta
2.Com algarismos
3.Com desenhos e
algarismos
4.Com
complementação
5.Com cálculo
mental
6. Com ausência ou
erro no sinal do
algoritmo
7.Com algoritmo
errado
8.Com resposta
errada
1.Operação contrária
F
ºººººººº +
ºººººº = 14
8
+6
14
ºººººººº +
ºººººº
8 + 6=14
2º Ano
%
3º Ano
F
%
F
4º Ano
%
F
5º Ano
%
Acelera
F
%
F
Total
%
9
14,5
1
2,1
-
-
4
5
-
-
14
5,6
16
25,8
20
42,6
39
81,3
55
68,8
10
90,9
140
56,6
-
-
1
2,1
-
-
2
2,5
-
-
3
1,2
......
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
......
6
9,7
5
10,7
-
-
-
-
-
-
11
4,4
1
1,6
2
4,2
-
-
3
3,8
-
-
6
2,4
3
4,8
-
-
-
-
8
10
-
-
11
4,4
4
6,5
-
-
4
8,3
1
1,2
-
-
9
3,6
8
- 6
14
+8 6
14
8+6=
13 ou 15
8–6=2
2
3,2
8
17,1
3
6,2
2
2,5
1
9,1
16
6,6
2.Multiplicação
8x6
-
-
2
4,2
1
2,1
3
3,8
-
-
6
2,4
3.Divisão
8:6
-
-
-
-
-
-
1
1,2
-
-
1
0,4
2, 8 ou 6
10
16,2
1
2,1
-
-
1
1,2
-
-
12
4,8
.......
8
12,9
6
12,8
1
2,1
-
-
-
-
15
6,0
Rabiscos
1
1,6
1
2,1
-
-
-
-
-
-
2
0,8
Em branco
2
3,2
-
-
-
-
-
-
-
-
2
0,8
Total
62
100
47
100
48
100
80
100
11
100
248
100
4.Registro de
número do
enunciado
5. Registro de
números aleatórios
Fonte: Banco de dados da Autora
94
Dos 248 estudantes, 194 utilizaram uma estratégia correta para resolver o problema;
50, uma estratégia incorreta; dois fizeram rabiscos e dois deixaram em branco. Dos 194 que
utilizaram uma estratégia correta, 140 resolveram com algarismos; 14 com desenhos, 11 com
cálculo mental, 11 com algoritmo errado, nove com resposta errada, seis com erro no sinal do
algoritmo e três com desenhos e algarismos.
Como vimos, a estratégia correta mais utilizada pelos estudantes, 140 respostas, o que
corresponde a 56,6% do total, foi a resolução com algarismos. Esse índice é um indicativo de
que esses alunos já se apropriaram da representação do cálculo com algarismos. Observa-se
que 17 estudantes resolveram com desenhos ou com desenhos e algarismos. Essas estratégias
costumam ser mais utilizadas pelos estudantes do 2º ano, entretanto, elas também foram
utilizadas pelos estudantes do 5º ano.
Como observado na Tabela 3.1.1 (p.91), neste problema, o desempenho esteve acima
de 50%. Assim, em todos os anos escolares, o número de estratégias corretas é maior do que o
número de estratégias incorretas. A diferença entre esses números é maior no 5º ano (82,6%),
evidenciando que muitos acertaram e poucos erraram; e, menor, no 3º ano (25,5%)
evidenciando que o número de alunos que acertou está mais próximo do número de alunos
que errou.
As estratégias de resolução com cálculo mental e com algoritmo errado foram
utilizadas por 11 estudantes cada uma, e juntas correspondem a 8,8% do total. É possível que
haja relação entre esses resultados. Escrever somente o resultado da operação pode ser um
indicativo de que o estudante considerou tão fácil resolver a situação que achou desnecessário
registrar o cálculo ou, então, de que ele sabia a resposta, pois resolveu mentalmente, mas não
sabia direito como representar numericamente o cálculo, da mesma forma como os que
representaram errado o algoritmo.
Dos 248 estudantes, nove deles, o que corresponde a 3,6%, utilizaram o esquema de
ação correto para a resolução dessa situação (8 + 6), evidenciando competência ao utilizarem
a organização invariante da conduta relacionada a esse tipo de situação, entretanto, erraram na
enumeração (contagem) das quantidades (VERGNAUD, 1996b).
Dos seis estudantes que realizaram o cálculo corretamente, mas utilizaram o sinal de
menos (-) para indicar a soma, três deles são alunos do 5º ano. Essa informação revela ou falta
de atenção no momento de realizar o algoritmo ou falta de domínio na representação dos
sinais dos algoritmos. Qualquer uma das hipóteses causa preocupação, pois são estudantes
com idade e anos de estudo suficientes para terem tal domínio.
95
Dentre as estratégias incorretas, as mais utilizadas foram: operação contrária (16);
registro de número aleatório (15) e registro de número do enunciado (12). Como mostra a
Tabela 3.1.2, a maioria dos alunos que utilizou alguma dessas estratégias está no 2º e 3º anos.
Realizar a operação contrária nesse tipo de situação-problema sugere que não houve
compreensão e interpretação da situação, o que também ocorreu com quem fez registros de
um número do enunciado ou aleatório. Ainda, é provável que esses alunos não tenham
conseguido realizar a leitura da situação-problema e, por isso, ou utilizaram números que
identificaram no enunciado do problema ou utilizaram números quaisquer.
Na resolução do problema P8, as estratégias utilizadas pelos estudantes foram as que
estão destacadas na Tabela 3.1.3, a seguir.
Tabela 3.1.3 - Estratégias utilizadas pelos estudantes na resolução do P8: Sobre a mesa da cozinha tem 9 pratos
de cores amarela e vermelha. Três pratos são amarelos, quantos pratos são vermelhos?
F
2º Ano
%
F
3º Ano
%
F
4º Ano
%
F
5º Ano
%
2
3,3
-
-
-
-
-
5
8,2
10
21,3
18
37,5
ººººººººº
9–3=6
-
-
-
-
-
3+6=9
-
-
-
-
......
13
20,3
2
1
1,6
-
P8. Tipo de Estratégia
1.Com desenhos
Estratégia Correta
2.Com algarismos
3.Com desenhos e
algarismos
4.Com
complementação
5.Com cálculo
mental
6. Com ausência ou
erro no sinal do
algoritmo
7.Com algoritmo
errado
8.Com resposta
errada
Estratégia Incorreta
1.Operação contrária
ººººººººº = 6
9
-3
6
9
+3
6
-9 3
6
9–3=
5 ou 7
Acelera
F
%
F
Total
%
-
-
-
2
0,8
29
36,3
1
9,1
63
25,4
-
1
1,2
-
-
1
0,4
4
8,3
2
2,5
-
-
6
2,4
4,2
3
6,2
12
15
-
-
30
12,1
2
4,2
-
-
3
3,8
-
-
6
2,4
-
-
-
1
2,1
-
-
-
-
1
0,4
2
3,3
-
-
1
2,1
2
2,5
1
9,1
6
2,4
9 + 3 = 12
4
6,5
10
21,3
11
22,9
13
16,2
3
27,3
41
16,5
2.Multiplicação
9x3
-
-
-
-
1
2,1
2
2,5
-
-
3
1,2
3.Divisão
9:3
-
-
-
-
-
-
3
3,8
-
-
3
1,2
8, 9 ou 3
12
19,5
16
34,1
5
10,5
9
11,2
2
18,1
44
17,9
......
15
24,3
6
12,8
3
6,2
3
3,8
3
27,3
30
12,1
1
2,1
4.Registro de
número do
enunciado
5. Registro de
números aleatórios
Rabiscos
4
6,5
Em branco
4
6,5
Total
62
100
47
100
-
-
-
-
-
-
5
2,0
1
2,1
1
1,2
1
9,1
7
2,8
48
100
80
100
11
100
248
100
Fonte: Banco de dados da Autora
Dos 248 estudantes que resolveram este problema, 115 utilizaram uma estratégia
correta, 121, uma estratégia incorreta, cinco fizeram rabiscos e sete deixaram em branco.
A Tabela 3.1.1 (p.91) mostra que no problema P8 somente no 4º e 5º anos o
desempenho esteve acima de 50%, o que nos indica que somente nessas turmas o número de
96
estratégias corretas é maior do que o número de estratégias incorretas. A diferença mais
significativa entre o número de estratégias corretas e incorretas (39,1%) a favor das incorretas
está no grupo de estudantes do 3º ano, no qual houve somente quatorze (14) acertos.
Dos 115 que utilizaram uma estratégia correta, 63 resolveram com algarismos; 30 com
cálculo mental; seis, com complementação; seis, com erro no sinal; seis, com resposta errada;
dois, com desenhos; um, com desenhos e algarismos e, um, com algoritmo errado.
Novamente neste problema, a estratégia mais utilizada pelos estudantes foi a resolução
com algarismos, 63 respostas, o que corresponde a 54,7% do total de estratégias corretas. A
estratégia de resolução com cálculo mental foi a segunda mais usada e correspondeu a 26%
das estratégias corretas.
É importante ressaltar que a situação proposta neste problema induziu alguns
estudantes a pensarem a partir da complementação das quantidades. Seis (06) deles, o que
corresponde a 5,2% dos que acertaram, em vez de fazerem o cálculo 9 – 3 = 6 para resolver o
problema, representaram o cálculo 3 + 6 = 9 e indicaram que a resposta era 6. Isso evidencia
que usaram o raciocínio aditivo ao partirem do 3 para chegar ao 9. Magina, Campos et al.
(2008), relatam que esse é um procedimento muito adotado por crianças da 1ª e 2ª séries,
entretanto, a Tabela 3.1.3 nos mostra que neste problema este raciocínio foi utilizado por
estudantes do 4º e 5º anos, o que corresponde a estudantes da 3ª e 4ª séries.
Dentre as estratégias incorretas, as mais utilizadas foram: registro de número do
enunciado (44), operação contrária (41) e registro de números aleatórios (30). A estratégia de
operação contrária foi mais utilizada por estudantes do 4º e 5º anos.
O maior número de estudantes que utilizou um número do enunciado está nas turmas
do 2º e 3º anos. É possível que o fato da quantidade “três” estar representada por extenso e
não com números tenha favorecido para que isto acontecesse. Muitas crianças operaram o 9
com o 8 presente na identificação “Problema 8”, pois como ainda não estavam aptos na
leitura, embora no 2º ano a mesma tenha sido feita pelo aplicador, foram os números que
identificaram no texto.
3.1.1.3 Análise do desempenho dos estudantes na categoria de Transformação
Nesta seção, considero os acertos dos estudantes na resolução dos problemas P1, P10,
P3, P6 e P7 do instrumento aplicado, que envolvem as situações de transformação. A Tabela
3.1.4 apresenta o desempenho geral, por ano escolar, dos 248 estudantes nesses problemas.
97
Tabela 3.1.4 - Desempenho geral dos 248 estudantes na categoria Transformação
Transformação
P1 – Transformação
Protótipo
(subtração)
P10 – Transformação
Protótipo
(adição)
P3 – Transformação
1ª Extensão
(subtração)
P6 – Transformação
1ª Extensão
(subtração)
P7 – Transformação
4ª Extensão
(adição)
Total
2º Ano
(62 alunos)
3º Ano
(47 alunos)
4º Ano
(48 alunos)
5º Ano
(80 alunos)
Acelera
(11 alunos)
Total
(248 alunos)
F
%
F
%
F
%
F
%
F
%
F
%
48
77,4
34
72,3
45
93,7
74
92,5
10
90,9
211
85,0
28
45,1
30
63,8
41
85,4
71
88,7
6
54,5
176
71,0
36
58,0
25
53,1
31
64,5
62
77,5
7
63,6
161
64,9
18
29,0
12
25,5
26
54,1
55
68,7
5
45,4
116
46,8
12
19,3
12
25,5
32
66,6
56
70
5
45,4
117
47,2
142
45,8
113
48,0
175
72,9
318
79,5
33
60
781
63,0
Fonte: Banco de dados da Autora
Observando-se os percentuais totais de acertos nos problemas, percebe-se que o índice
de acertos aumentou ano a ano. Contudo, quando se observa o percentual em cada um dos
problemas, se constata que em três deles os estudantes do 3º ano tiveram um percentual
abaixo dos estudantes do 2º ano.
O percentual geral de acertos nesta categoria foi menor no 2º ano com 45,8% e maior
no 5º ano com 79,5%. As diferenças entre os percentuais totais foram maior entre o 3º e o 4º
anos (24,9%) e menor entre 4º e 5º anos (6,6%) e 2º e 3º anos (2,2%).
Os percentuais mostram que o maior número de acertos ocorreu no problema P1
seguido do problema P10. Era esperado esse resultado, pois são problemas protótipos, ou seja,
são problemas que envolvem situações de adição e de subtração presentes nas experiências
cotidianas das crianças. O raciocínio envolvido nelas é intuitivo, e será utilizado pela criança
como um modelo – protótipo – por toda sua vida (MAGINA, CAMPOS et al., 2008).
Vale ressaltar que no P1 a situação envolve perda (subtração) e no P10 envolve ganho
(adição). Segundo Magina, Campos et al. (2008), a representação da situação de adição
costuma acontecer um pouco antes da de subtração, e a formação desses protótipos depende
de quanto contato a criança tem com esse tipo de situação. Os resultados da Tabela 3.1.4
revelam que os estudantes dessa escola dominam melhor a situação protótipo de subtração, o
que se contrapõe ao constatado por essas autoras. Considerando-se a afirmação delas de que
esse desempenho está relacionado à intensidade do contato das crianças com esse tipo de
situação, podemos inferir que essas são as situações nas quais esses estudantes têm maior
vivência.
98
Quando comparados os resultados dos problemas de 1ª extensão (P3 e P6), percebe-se
que, novamente, em todos os anos escolares, os estudantes se saíram melhor na situação
relacionada à ideia de retirar. Em alguns casos, como no 2º e 3º anos, chegou a dobrar o
número de estudantes que acertou o problema P3 em comparação com o P6.
Embora nas duas situações se conheçam os estados inicial e final e se precise descobrir
a transformação, o P6 torna-se mais difícil aos estudantes porque a palavra “ganhou”, presente
no enunciado, remete a uma situação de ganho, contudo a solução ocorre por meio da
operação de subtração.
Esta é, portanto, uma situação contra-intuitiva, uma vez que se contrapõe à primeira
representação de adição que a criança adquire desta operação. O uso da palavrachave ganhar, por exemplo, pode levar o aluno a não utilizar o cálculo relacional,
utilizando direto a soma dos valores. (MAGINA, CAMPOS et al., 2008, p.36)
A presença da palavra “ganhou” pode ter conduzido os estudantes à escolha de uma
estratégia incorreta e, por isso, o desempenho dos estudantes neste problema foi igual ou
inferior ao desempenho deles no problema P7, cuja complexidade é maior. Somente os
estudantes do 2º ano tiveram um menor índice de acertos no P7 (19,3%).
A seguir, apresento uma análise das estratégias utilizadas por esses alunos na
resolução dos problemas P1, P10, P3, P6 e P7. Começo com o problema P1 e pela discussão
dos dados presentes na Tabela 3.1.5.
No Problema P1, dos 248 estudantes que participaram do Estudo 1, 212 utilizaram
uma estratégia correta; 34, uma estratégia incorreta e, dois, deixaram em branco. Foi neste
problema que houve o maior número de acertos. Nele, em todos os anos escolares, o
percentual de acertos esteve acima de 70%.
Neste problema, dos 212 estudantes que utilizaram uma estratégia correta, 146
resolveram com algarismos; 35, com cálculo mental; 12, com desenhos; quatro, com desenhos
e algarismos; três, com algoritmo errado; um, com complementação e um com resposta
errada.
99
Tabela 3.1.5 - Estratégias utilizadas pelos estudantes na resolução do P1: Ricardo tinha 9 balas e deu 4 para seu
irmão. Com quantas balas Ricardo ficou?
P1. Tipo de Estratégia
1.Com desenhos
Estratégia Correta
2.Com algarismos
3.Com desenhos e
algarismos
4.Com
complementação
5.Com cálculo
mental
6. Com ausência
ou erro no sinal do
algoritmo
7.Com algoritmo
errado
2º Ano
%
F
3º Ano
%
F
4º Ano
%
F
5º Ano
%
Acelera
F
%
F
Total
%
8
12,9
2
4,3
-
-
2
2,5
-
-
12
4,8
18
29,0
21
44,7
42
87,4
59
73,7
6
54,5
146
58,9
ººººººººº = 9
–4=5
-
-
3
6,4
-
-
1
1,3
-
-
4
1,6
4+5=9
-
-
1
2,1
-
-
-
-
-
-
1
0,4
.......
20
32,3
4
8,6
-
-
11
13,6
-
-
35
14,1
2
3,2
3
6,4
2
4,2
-
-
3
27,3
10
4,1
-
-
1
2,1
1
2,1
1
1,3
-
-
3
1,2
-
-
-
-
-
-
1
1,3
-
-
1
0,4
2
3,2
5
10,6
1
2,1
1
1,3
1
9,1
10
4,1
ººººººººº = 5
9
- 4
5
8.Com resposta
errada
Estratégia Incorreta
F
1.Operação
contrária
9
+ 4
5
-9 4
5
9
- 4
6
9
+ 4
13
2.Multiplicação
9x4
1
1,6
1
2,1
2
4,2
2
2,5
-
-
6
2,4
3.Divisão
9:4
-
-
-
-
-
-
-
-
1
9,1
1
0,4
1, 9 ou 4
4
6,5
1
2,1
-
-
-
-
-
-
5
2,0
......
5
8,1
5
10,6
-
-
2
2,5
-
-
12
4,8
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
4.Registro de
número do
enunciado
5. Registro de
números aleatórios
Rabiscos
Em branco
2
3,2
-
-
-
-
-
-
-
-
2
Total
62
100
47
100
48
100
80
100
11
100
248
0,8
100
Fonte: Banco de dados da Autora
Embora a representação do cálculo com algarismos seja a resolução mais utilizada no
3º, 4º e 5º anos, no 2º ano a estratégia correta mais utilizada foi o cálculo mental. Esse dado
pode ser um indicativo de que esses estudantes ainda não dominam a representação numérica
do cálculo. Essa ideia é reforçada pelo número de estudantes do 2º ano que resolveu com
desenhos (12,9%).
As estratégias incorretas mais utilizadas foram: registro de números aleatórios (12);
operação contrária (10); multiplicação (6) e registro de número do enunciado (5). O registro
de números aleatórios ou do enunciado indica que esses estudantes ainda não conseguem
estabelecer uma relação entre os dados do problema. Os que realizaram a operação contrária
ou multiplicaram evidenciam que a relação que estabeleceram entre os dados está equivocada.
A Tabela 3.1.5 nos mostra que a maioria dos estudantes que cometeu esses erros está nas
turmas do 2º e 3º anos.
100
O próximo problema protótipo da categoria de Transformação é o P10. Na Tabela
3.1.6, apresento os dados da análise das estratégias utilizadas pelos estudantes na resolução
desse problema.
Tabela 3.1.6 - Estratégias utilizadas pelos estudantes na resolução do P10: . Ricardo tinha 9 balas e ganhou 5 de
seu pai. Com quantas balas Ricardo ficou?
F
2º Ano
%
F
3º Ano
%
F
4º Ano
%
F
5º Ano
%
Acelera
F
%
F
Total
%
3
4,8
-
-
-
-
3
3,7
-
-
6
2,4
16
25,8
23
48,9
34
70,8
49
61,2
3
27,3
125
50,4
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
.........
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
.........
9
14,5
5
9
- 5
14
10,6
3
6,3
15
18,7
-
-
32
12,9
-
-
2
4,3
4
8,3
4
5,0
3
27,3
13
5,3
.........
-
9
+5
15
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
3
4,8
1
2,1
1
2,1
2
2,5
1
9,1
8
3,2
9–5=4
5
8,1
4
8,6
4
8,3
4
5,0
2
18,1
19
7,7
9x5
.......
-
-
-
-
1
2,1
1
1,3
1
9,1
3
1,2
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
10, 9 ou 5
11
17,7
9
19,1
1
2,1
1
1,3
1
9,1
23
9,3
.......
10
16,2
2
4,3
-
-
1
1,3
-
-
13
5,2
P10. Tipo de Estratégia
1.Com desenhos
Estratégia Incorreta
Estratégia Correta
2.Com algarismos
3.Com desenhos e
algarismos
4.Com
complementação
5.Com cálculo
mental
6. Com ausência
ou erro no sinal do
algoritmo
7.Com algoritmo
errado
8.Com resposta
errada
1.Operação
contrária
2.Multiplicação
3.Divisão
4.Registro de
número do
enunciado
5. Registro de
números aleatórios
*********
+ ***** =
14
9
+5
14
......... + .....
9 + 5 = 14
Rabiscos
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
Em branco
5
8,1
1
2,1
-
-
-
-
-
-
6
2,4
Total
62
100
47
100
48
100
80
100
11
100
248
100
Fonte: Banco de dados da Autora
O problema P10, assim como o P1, é um problema considerado de pouca
complexidade. Esse aspecto ajudou para que o número de estratégias corretas (184) fosse o
triplo do número de estratégias incorretas (58).
Das 184 estratégias corretas, 125 são com algarismos; 32 são com cálculo mental; 13
não registraram ou erraram o sinal do algoritmo; oito estão com a resposta errada e seis estão
representadas por desenhos. Chama a atenção que dos 13 alunos que erraram o sinal do
algoritmo, oito sejam do 4º e 5º anos. É possível que isso evidencie falta de atenção no
momento da representação do cálculo, por considerarem uma questão fácil de ser resolvida ou
então que tenham dúvidas quanto à representação do sinal da operação. Vale destacar que
nenhuma criança representou com desenhos e algarismos a resolução e, também, que não
cometeram erros ao armar a conta.
101
As estratégias incorretas mais utilizadas foram: registro de número do enunciado (23);
operação contrária (19); registro de números aleatórios (13) e multiplicação (3). Percebe-se
que o número de estudantes que realizou uma operação contrária é semelhante do 2º ao 5º
anos. Entretanto, observa-se que quase a totalidade dos alunos que fez registros de números
do enunciado ou aleatórios pertence a turmas do 2º e 3º anos, demonstrando incapacidade de
estabelecer uma relação entre os dados do problema (KOCH, 2002).
Na Tabela 3.1.7, é apresentada a análise das estratégias usadas no terceiro problema P3, ele é do tipo Transformação – 1ª extensão.
Tabela 3.1.7 - Estratégias utilizadas pelos estudantes na resolução do P3: Pedro foi ao mercado fazer compras
com 10 reais. Quando saiu do mercado estava com 3 reais. Quantos reais Pedro gastou no mercado?
P3. Tipo de Estratégia
1.Com desenhos
Estratégia Correta
2.Com algarismos
3.Com desenhos e
algarismos
4.Com
complementação
5.Com cálculo
mental
6. Com ausência ou
erro no sinal do
algoritmo
7.Com algoritmo
errado
Estratégia Incorreta
8.Com resposta
errada
1.Operação
contrária
F
2º Ano
%
F
3º Ano
%
F
4º Ano
%
F
5º Ano
%
Acelera
F
%
F
Total
%
**********
=7
10
- 3
7
**********
10 – 3 = 7
1
1,6
-
-
-
-
3
3,7
-
-
4
1,6
13
21,0
19
40,4
25
52,0
49
61,2
4
36,4
110
44,4
-
-
1
2,1
-
-
-
-
-
-
1
0,4
3 + 7 = 10
-
-
-
-
-
-
1
1,3
2
18,1
3
1,2
.......
20
32,3
3
6,4
3
6,3
9
11,3
-
-
35
14,2
-
-
2
4,3
3
6,3
-
-
1
9,1
6
2,4
2
3,2
1
2,1
-
-
-
-
1
9,1
4
1,6
4
8,6
2
4,2
3
3,7
-
-
14
5,6
10
+ 3
7
3
- 10
7
10
- 3
6 ou 8
5
8,1
10 + 3 = 13
6
9,7
8
17,0
6
12,5
8
10,0
1
9,1
29
11,8
2.Multiplicação
3 x 10
-
-
-
-
8
16,6
6
7,5
1
9,1
15
6,0
3.Divisão
10 : 3
-
-
-
-
-
-
-
-
1
9,1
1
0,4
3, 10 e 3
3
4,8
7
14,8
-
-
1
1,3
-
-
11
4,4
........
9
14,5
2
4,3
-
-
-
-
-
-
11
4,4
4.Registro de
número do
enunciado
5. Registro de
números aleatórios
Rabiscos
1
1,6
-
-
-
-
-
-
-
-
1
0,4
Em branco
2
3,2
-
-
1
2,1
-
-
-
-
3
1,2
Total
62
100
47
100
48
100
80
100
11
100
248
100
Fonte: Banco de dados da Autora
No problema P3, dos 248 estudantes, 177 utilizaram uma estratégia correta; 67, uma
estratégia incorreta; três deixaram em branco e um fez rabiscos. Como observado na Tabela
3.1.7, o índice de acerto, em todos os anos escolares, esteve acima de 50% e as estratégias
corretas mais utilizadas foram: com algarismos (110) e com cálculo mental (35). No 2º ano,
novamente, a estratégia correta mais utilizada pelos estudantes foi o cálculo mental.
102
As estratégias incorretas mais utilizadas foram: operação contrária (29), multiplicação
(15), registro de número do enunciado (11) e registro de números aleatórios (11). Embora
nenhuma expressão presente no enunciado do problema nos remeta à ideia de multiplicação,
quinze (15) estudantes realizaram o cálculo 3 x 10 na resolução do problema, sendo que
quatorze (14) deles são do 4º e 5º anos. Isso pode ser devido ao fato das professoras estarem
intensificando o ensino da operação de multiplicação, quando da aplicação do instrumento.
O problema P6 também é do tipo Transformação – 1ª extensão. A seguir, apresento os
dados da análise das estratégias utilizadas pelos estudantes na resolução do mesmo.
Tabela 3.1.8 - Estratégias utilizadas pelos estudantes na resolução do P6: Carla tinha 6 reais. Depois que ganhou
alguns reais de sua mãe, ficou com 11 reais. Quantos reais Carla ganhou de sua mãe?
F
2º Ano
%
F
3º Ano
%
F
4º Ano
%
F
5º Ano
%
1
1,6
-
-
-
-
1
4
6,5
4
8,6
8
16,6
***** = 5
11 – 6 = 5
-
-
-
-
-
6 + 5 = 11
1
1,6
2
4,3
.......
7
14,5
1
11
- 6
5
-
-
6
9,6
P6. Tipo de Estratégia
1.Com desenhos
Estratégia Correta
2.Com algarismos
3.Com desenhos e
algarismos
4.Com
complementação
5.Com cálculo
mental
6. Com ausência
ou erro no sinal do
algoritmo
7.Com algoritmo
errado
Estratégia Incorreta
8.Com resposta
errada
1.Operação
contrária
***** = 5
11
- 6
5
11
- 6
6
-
-
Acelera
F
%
F
Total
%
1,3
-
-
2
0,8
19
23,8
1
9,1
36
14,5
-
-
-
-
-
-
-
10
20,8
15
18,7
2
18,1
30
12,1
2,1
5
10,3
15
18,7
-
-
28
11,3
-
-
2
4,2
1
1,3
-
-
3
1,2
5
10,6
2
4,2
6
7,4
3
27,3
22
8,9
-
-
1
2,1
2
2,5
-
-
3
1,2
11 + 6 = 16
17
27,4
23
48,9
15
31,2
17
21,2
4
36,4
76
30,6
2.Multiplicação
6 x 11
-
-
1
2,1
3
6,3
2
2,5
-
-
6
2,4
3.Divisão
11 : 6
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
6 ou 11
13
21,0
7
14,8
-
-
1
1,3
-
-
21
8,5
.......
7
11,3
2
4,3
2
4,2
1
1,3
1
9,1
13
5,3
Rabiscos
2
3,2
-
-
-
-
-
-
-
-
2
0,8
Em branco
4
6,5
2
4,3
-
-
-
-
-
-
6
2,4
Total
62
100
47
100
48
100
80
100
11
100
248
100
4.Registro de
número do
enunciado
5. Registro de
números aleatórios
Fonte: Banco de dados da Autora
No problema P6, dos 248 estudantes que participaram, 124 utilizaram uma estratégia
correta; 116, uma estratégia incorreta; seis deixaram em branco e dois fizeram rabiscos.
Embora este problema tenha o mesmo grau de complexidade do problema P3, nele o número
de acertos foi bem menor e, por isso, o número de estratégias corretas está bem próximo do
número de estratégias incorretas. A diferença é de oito acertos, o que representa 3,3% do total.
103
Neste problema, somente os estudantes do 4º e 5º anos tiveram um percentual de
acertos acima de 50%. Analisando as estratégias corretas mais frequentes, percebe-se que em
relação ao problema anterior houve um aumento na escolha da ideia de complementação. No
P3, apenas três estudantes fizeram uso desse artifício, e no P6, 30. Embora o P6 envolva uma
transformação aditiva, a solução é encontrada por meio da operação subtração e isso
favoreceu o uso da complementação, pois para muitos estudantes fica mais fácil pensar na
ideia de completar do que na de subtrair. No caso deste problema, eles partiram do 6 e foram
completando até chegar no 11, concluindo, assim, que Carla ganhou 5 reais.
Chama atenção a quantidade de estudantes que calculou corretamente, mas errou ao
fazer a representação do algoritmo (22), o que corresponde a 8,9% do total. Esse
procedimento incorreto aconteceu em todos os anos escolares, o que não era esperado para
alunos do 4º e 5º anos, entretanto tanto no 2º ano como no 5º ano, seis crianças cometeram
esse tipo de erro.
Acredito que a incongruência semântica entre a palavra “ganhou”, presente no
enunciado e, a operação subtração utilizada para a resolução, contribuiu para que 76
estudantes, o que corresponde a 30,6% do total, errassem ao optar por realizar a operação
contrária (adição).
A dificuldade gerada por essa incongruência semântica já foi constatada por outros
pesquisadores (CAMPOS, MAGINA et al., 2007; MAGINA, SANTANA et al., 2010;
SANTANA, 2010), que reconhecem que muitas professoras dos anos iniciais do Ensino
Fundamental costumam relacionar a adição com palavras como “ganhar, receber, mais”.
Na sequência, apresento, na Tabela 3.1.9, os dados da análise das estratégias utilizadas
pelos estudantes na resolução do problema P7, que é do tipo Transformação – 4ª extensão.
No problema P7, os estudantes tiveram um desempenho semelhante ao do P6, tanto no
número de estratégias corretas como incorretas. Dos 248 estudantes, 125 utilizaram uma
estratégia correta; 117, uma incorreta; três fizeram rabiscos e três deixaram em branco.
Nele, da mesma forma como no P6, somente os estudantes do 4º e 5º anos tiveram um
percentual de acertos superior a 50%. As estratégias corretas mais utilizadas foram: com
algarismos (56), com cálculo mental (29), com complementação (17) e com algoritmo errado
(13). Chama a atenção que dos treze que erraram a representação do algoritmo, cinco sejam
do 4º ano, pois entendemos que o cálculo necessário para se chegar à resposta não envolvia
nenhuma dificuldade para esse ano escolar (9 – 5 = 4).
104
Tabela 3.1.9 - Estratégias utilizadas pelos estudantes na resolução do P7: Carlota tinha algumas bonecas e
ganhou 5 bonecas de suas amigas, ficando com 9 bonecas no total. Quantas bonecas Carlota tinha antes?
Estratégia Correta
P7. Tipo de Estratégia
2º Ano
%
F
3º Ano
%
F
4º Ano
%
F
5º Ano
%
Acelera
F
%
F
Total
%
1.Com desenhos
.....
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
2.Com algarismos
9
-5
4
3
4,8
8
17,0
16
33,3
27
33,7
2
18,1
56
22,6
.....
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
5+4=9
-
-
-
-
4
8,3
13
16,3
-
-
17
6,9
.....
8
13,0
2
4,3
5
10,4
13
16,3
1
9,1
29
11,7
3.Com desenhos e
algarismos
4.Com
complementação
5.Com cálculo
mental
6. Com ausência
ou erro no sinal
do algoritmo
7.Com algoritmo
errado
8.Com resposta
errada
1.Operação
contrária
Estratégia Incorreta
F
2.Multiplicação
3.Divisão
4.Registro de
número do
enunciado
5. Registro de
números
aleatórios
9
+5
4
5
-9
4
9
-5
3
-
-
-
-
1
2,1
3
3,7
-
-
4
1,6
1
1,6
2
4,3
5
10,4
3
3,7
2
18,1
13
5,3
3
4,8
2
4,3
1
2,1
-
-
-
-
6
2,4
9 + 5 = 14
17
27,4
20
42,5
12
25,0
13
16,3
4
36,5
66
26,5
9x5
-
-
1
2,1
1
2,1
1
1,3
1
9,1
4
1,6
....
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
7, 5 e/ou 9
13
21,0
9
19,1
2
4,2
5
6,2
1
9,1
30
12,1
.....
12
19,4
2
4,3
1
2,1
2
2,5
-
-
17
6,9
3
4,8
-
-
-
-
-
-
-
-
3
1,2
Rabiscos
Em branco
2
3,2
1
2,1
-
-
-
-
-
-
3
1,2
Total
62
100
47
100
48
100
80
100
11
100
248
100
Fonte: Banco de dados da Autora
As estratégias incorretas mais utilizadas foram: operação contrária (66), registro de
número do enunciado (30) e registro de números aleatórios (17). Da mesma forma que no P6
foi grande o número de estudantes que adicionou (9 + 5) em vez de subtrair (9 – 5).
Novamente esses resultados nos levam a pensar sobre a influência da palavra “ganhou”
presente no enunciado. A cultura de ensinar a resolução de um problema a partir de “palavrachave” ou “palavra-dica” está muito arraigada no cotidiano escolar (SANTANA, 2010).
3.1.1.4 Análise do desempenho dos estudantes na categoria de Comparação
Nesta seção, considero os acertos dos estudantes na resolução dos problemas P9, P4a,
P4b e P5 do instrumento aplicado. A Tabela 3.1.10 apresenta o desempenho geral, por ano
escolar, dos 248 estudantes na categoria Comparação.
105
Tabela 3.1.10 - Desempenho geral dos 248 estudantes na categoria Comparação
Comparação
P9 – Comparação 2ª
Extensão (adição)
P4a – Comparação
3ª Extensão
P4b – Comparação
3ª Extensão
(subtração)
P5 – Comparação 4ª
Extensão
(subtração)
Total
2º Ano
(62 alunos)
3º Ano
(47 alunos)
4º Ano
(48 alunos)
5º Ano
(80 alunos)
Acelera
(11 alunos)
Total
(248 alunos)
F
%
F
%
F
%
F
%
F
%
F
%
22
35,4
23
48,9
32
66,6
52
65,0
4
36,3
133
53,6
33
53,2
29
61,7
40
83,3
71
88,7
8
72,7
181
73,0
12
19,3
16
34,0
22
45,8
46
57,5
4
36,3
100
40,3
9
14,5
17
36,1
21
43,7
28
35,0
4
36,3
79
31,8
76
30,6
85
45,2
115
59,8
197
61,5
20
493
49,7
45,4
Fonte: Banco de dados da Autora
O desempenho geral dos estudantes na categoria Comparação foi crescente ano a ano,
começou com 30,6% no 2º ano e foi a 61,5% no 5º ano. A diferença entre os percentuais de
acertos do 2º para o 3º ano e do 3º para o 4º ano foi a mesma (14,6%) e foi muito pequena do
4º para o 5º ano (1,7%).
Os dados da Tabela 3.1.10 mostram que o melhor desempenho dos estudantes nessa
categoria foi no problema P4a. O item “a” do P4 tinha o seguinte questionamento: “Quem tem
mais pares de sapato?”. É comum que crianças com menos de 8 ou 9 anos respondam
corretamente essa pergunta, entretanto, não respondam apropriadamente a segunda pergunta:
“Quantos pares a mais?”(MAGINA, CAMPOS et al., 2008). Isso se dá porque os estudantes
conseguem identificar corretamente os valores numéricos do problema, contudo, não
estabelecem uma relação entre os números de pares de sapato de maneira a realizar uma
subtração para identificar o valor da diferença entre eles. Essas autoras constataram “que à
medida que as crianças avançavam nas séries, a diferença de percentual de acerto entre a
primeira e a segunda parte do problema diminuía” (MAGINA, CAMPOS et al., 2008, p.44).
Entretanto, os dados da Tabela 3.1.10 mostram que embora o índice de acertos seja crescente
nas duas partes do problema P4, a diferença no percentual de acertos entre essas duas partes
foi 33,9% no 2º ano; 27,7% no 3º ano; 37,5% no 4º ano e 31,2% no 5º ano, o que não
representa uma diminuição ano a ano como o verificado com os estudantes da pesquisa
realizada por essas autoras.
No problema P5, o índice de acertos foi o mais baixo. Variou de 14,5% no 2º ano a
43,7% no 4º ano, o que significa que em todos os anos escolares o desempenho esteve abaixo
de 50%. Nele, os estudantes do 5º ano tiveram um desempenho abaixo dos estudantes do 3º e
4º anos.
106
Além do fato do P5 ser um problema da categoria comparação, categoria na qual os
estudantes tiveram menor desempenho (ver Gráfico 3.1.2, p.90), outro fator que contribuiu
para esse resultado foi o grau de complexidade da situação. Como já foi explicado no aporte
teórico, nesse tipo de situação, não se conhece o valor do referente, e isso dificulta a
resolução, pois se costuma pensar a partir dele para achar o resultado.
A análise das estratégias utilizadas pelos estudantes na resolução dos problemas que
envolvem situações de comparação possibilita uma melhor compreensão dos entendimentos e
dificuldades evidenciados nas representações numéricas apresentadas.
O problema P9 é do tipo Comparação – 2ª extensão. A seguir, apresento o problema e
os dados da análise das estratégias utilizadas pelos estudantes na resolução desse problema.
Tabela 3.1.11 - Estratégias utilizadas pelos estudantes na resolução do P9: Carla tem 10 anos e Joana tem 3 anos
a mais que ela. Quantos anos tem Joana?
F
2º Ano
%
F
3º Ano
%
F
4º Ano
%
F
5º Ano
%
Acelera
F
%
F
Total
%
1
1,6
-
-
-
-
-
-
-
-
1
0,4
16
25,9
18
38,2
27
56,2
41
51,3
4
36,3
106
42,7
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
.........
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
.........
3
4,8
4
8,6
3
6,3
8
10,0
-
-
18
7,3
2
3,2
1
2,1
2
4,2
3
3,7
-
-
8
3,2
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
10
+3
14
3
4,8
1
2,1
2
4,2
2
2,5
1
9,1
9
3,6
10 – 3 = 7
5
8,1
10
21,3
6
12,5
11
13,8
3
27,3
35
14,2
10 x 3
-
-
2
4,3
4
8,3
2
2,5
1
9,1
9
3,6
.......
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
10, 9 ou 3
15
24,3
9
19,1
4
8,3
8
10,0
1
9,1
37
14,9
.......
11
17,7
2
4,3
-
-
5
6,2
1
9,1
19
7,7
Rabiscos
3
4.8
-
-
-
-
-
-
-
-
3
1,2
Em branco
3
4,8
-
-
-
-
-
-
-
-
3
1,2
Total
62
100
47
100
48
100
80
100
11
100
248
100
P9. Tipo de Estratégia
1.Com desenhos
Estratégia Incorreta
Estratégia Correta
2.Com algarismos
3.Com desenhos e
algarismos
4.Com
complementação
5.Com cálculo
mental
6. Com ausência
ou erro no sinal do
algoritmo
7.Com algoritmo
errado
8.Com resposta
errada
1.Operação
contrária
2.Multiplicação
3.Divisão
4.Registro de
número do
enunciado
5. Registro de
números aleatórios
**********
+ **** = 13
10
+3
13
.......... + ...
10 + 3 = 13
10
10
- 3
3
13
13
.........
Fonte: Banco de dados da Autora
O número de acertos dos estudantes no problema P9 esteve acima de 50% (ver Gráfico
3.1.3, p.90). Dos 248 estudantes, 142 utilizaram uma estratégia correta; 100, uma estratégia
incorreta; três fizeram rabiscos e três deixaram em branco. Considero que a presença da
expressão “a mais” contribuiu para esse resultado.
107
A estratégia correta mais utilizada foi a resolução com algarismos (106), o que
corresponde a 74,6% do total de estratégias corretas. Vale destacar que somente um aluno fez
uso da representação com desenhos e nenhum, da representação com desenhos e algarismos.
As estratégias incorretas mais utilizadas foram: registro de número do enunciado (37)
seguido de operação contrária (35). Percebe-se que a expressão “a mais” não impediu que
14,2% do total de estudantes resolvesse o problema utilizando a operação de subtração.
O problema P4 é do tipo Comparação – 3ª extensão. Ele envolveu duas perguntas por
isso foi dividido em P4a e P4b. A seguir, apresento o problema com os dados da análise das
estratégias utilizadas pelos estudantes na resolução do mesmo.
Tabela 3.1.12 - Estratégias utilizadas pelos estudantes na resolução do P4a: João tem 7 pares de sapatos. Júlia
tem 14 pares de sapatos. a) Quem tem mais pares de sapatos?
2º Ano
F
%
3º Ano
F
%
F
23
37,1
26
55,3
37
77,1
65
81,3
5
9
14,5
2
4,3
3
6,2
6
7,5
4
6,5
1
2,1
-
-
-
11
17,7
17
36,2
6
12,5
3
Em branco
15
24,2
1
2,1
2
4,2
6
Total
62
100
47
100
48
100
80
P4a. Tipo de Estratégia
Resposta
Correta
1.Com escrita
correta
2.Com escrita
incorreta
3.Com registro
da quantidade
Resposta Incorreta
Julia, Júlia
Jlia, Jula,
Juliana
14 pares
João, 7 ou
21
4º Ano
%
F
5º Ano
%
Acelera
F
%
Total
F
%
45,4
156
62,9
-
-
20
8,1
-
3
27,3
8
3,2
3,7
-
-
37
14,9
7,5
3
27,3
27
10,9
100
11
100
248
100
Fonte: Banco de dados da Autora
Para análise da primeira pergunta (P4a), tive que criar a Tabela 3.1.12 diferente das
demais, com as categorias que emergiram das respostas dos estudantes ao questionamento:
“Quem tem mais pares de sapato?”, pois essa resposta não exige a realização de um cálculo
numérico.
O número de acertos geral dos estudantes na pergunta P4a esteve acima de 70% (ver
Gráfico 3.1.3, p.90). Magina, Campos et al. (2008) afirma que mesmo as crianças menores de
8 anos não têm dificuldade em reconhecer qual dos grupos tem o maior valor e qual valor é
esse. No caso deste problema, dizer que Júlia é quem tem mais pares de sapato e que ela tem
14 pares de sapato.
Algumas crianças (20), por ainda não saberem ler e escrever com fluência, tiveram
dificuldade em escrever a palavra Júlia e, outras (8), em vez de responderem com o nome da
menina, escreveram a quantidade de sapatos que ela tem.
Um grupo de 37 estudantes, o que corresponde a 14,9% do total, respondeu de forma
incorreta e, 27, o que corresponde a 10,9% do total deixaram em branco, ou seja, não
responderam.
108
O registro das respostas no instrumento aplicado revela que a identificação das
perguntas e do lugar para resposta em “a)” e “b)” pode ter prejudicado o número de acertos,
pois alguns deles, embora soubessem a resposta certa para o segundo questionamento, letra
“b”,
não sabiam onde escrevê-la e, por isso, escreveram-na em qualquer lugar do
instrumento, inclusive no lugar da resposta do questionamento da letra “a”.
Tabela 3.1.13 - Estratégias utilizadas pelos estudantes na resolução do P4b: João tem 7 pares de sapatos. Júlia
tem 14 pares de sapatos. b) Quantos pares a mais?
P4b. Tipo de Estratégia
1.Com desenhos
Estratégia Correta
2.Com algarismos
3.Com desenhos e
algarismos
4.Com
complementação
5.Com cálculo
mental
6. Com ausência
ou erro no sinal do
algoritmo
7.Com algoritmo
errado
Estratégia Incorreta
8.Com resposta
errada
1.Operação
contrária
*********
***** = 7
14
-7
7
.........
7 + 7 = 14
.........
14
+7
7
7
- 14
7
14
-7
6
14 + 7 = 21
2º Ano
F
%
3º Ano
F
%
F
4º Ano
%
F
5º Ano
%
Acelera
F
%
F
2
3,2
1
2,1
-
-
-
2
3,2
4
8,5
8
16,6
-
-
-
-
-
-
-
2
4,3
6
9,7
1
2
3,2
-
Total
%
-
-
-
3
1,2
22
27,5
2
18,2
38
15,4
-
-
-
-
-
-
-
1
2,1
2
2,5
-
-
5
2,0
2,1
8
16,6
15
18,7
-
-
30
12,1
2
4,3
2
4,2
2
2,5
-
-
8
3,2
-
2
4,3
3
6,3
1
1,3
2
18,1
8
3,2
1
1,6
2
4,3
-
-
2
2,5
-
-
5
2,0
18
29,1
12
25,5
14
29,1
17
21,2
3
27,3
64
25,9
2.Multiplicação
14 x 7
-
-
-
-
2
4,2
7
8,7
2
18,2
11
4,4
3.Divisão
14 : 7
-
-
-
-
-
-
-
-
1
9,1
1
0,4
11
17,7
10
21,2
7
14,6
10
12,5
-
-
38
15,3
7
11,3
3
6,4
1
2,1
1
1,3
-
-
12
4,8
Rabiscos
3
4,8
-
-
-
-
-
-
-
-
3
1,2
Em branco
10
16,2
8
17,0
2
4,2
1
1,3
1
9,1
22
8,9
Total
62
100
47
100
48
100
80
100
11
100
248
100
4.Registro de
número do
enunciado
5. Registro de
números aleatórios
4 ou 14
.......
Fonte: Banco de dados da Autora
Dos 248 estudantes, 97 utilizaram uma estratégia correta; 126, uma estratégia
incorreta; três fizeram rabiscos e 22 deixaram em branco. Foi o problema com maior número
de respostas em branco.
As estratégias corretas mais utilizadas foram: com algarismos (38) e com cálculo
mental (30). As estratégias incorretas mais utilizadas foram: operação contrária (64) e registro
de número do enunciado (38). Pode ser que a expressão “a mais”, presente na pergunta “b”,
tenha contribuído para que tantos estudantes tenham somado em vez de subtrair.
109
O problema P5 é do tipo Comparação – 4ª extensão. A seguir, apresento na tabela
3.1.14, os dados da análise das estratégias utilizadas pelos estudantes na resolução desse
problema.
Tabela 3.1.14 - Estratégias utilizadas pelos estudantes na resolução do P5: Ana tem algumas blusas e Laura tem
6 blusas a menos que Ana. Sabendo que Laura tem 13 blusas, quantas blusas tem Ana?
2º Ano
F
%
3º Ano
F
%
F
4º Ano
%
F
5º Ano
%
1
1,6
-
-
-
-
1
5
8,1
14
29,8
17
35,4
.........
-
-
-
-
-
.........
-
-
-
-
.........
1
1,6
3
-
-
P5. Tipo de Estratégia
1.Com desenhos
Estratégia Correta
2.Com algarismos
3.Com desenhos e
algarismos
4.Com
complementação
5.Com cálculo
mental
6. Com ausência
ou erro no sinal do
algoritmo
7.Com algoritmo
errado
Estratégia Incorreta
8.Com resposta
errada
1.Operação
contrária
2.Multiplicação
3.Divisão
4.Registro de
número do
enunciado
5. Registro de
números aleatórios
*********
****+***
*** = 19
13
+6
19
13
- 6
19
.........
Acelera
F
%
F
Total
%
1,3
-
-
2
0,8
21
26,2
2
18,1
59
23,9
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
6,4
1
2,1
6
7,5
1
9,1
12
4,8
-
-
1
2,1
-
-
1
9,1
2
0,8
1
1,6
-
-
1
2,1
-
-
-
-
2
0,8
13
+6
18
4
6,5
3
6,4
3
6,3
1
1,3
3
27,3
14
5,6
13 – 6 = 7
9
14,5
11
23,4
14
29,1
26
32,5
2
18,2
62
25,1
13 x 6
-
-
-
-
4
8,3
7
8,7
1
9,1
12
4,8
.......
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
13, 6 ou 5
14
22,6
5
10,6
4
8,3
13
16,2
1
9,1
37
14,9
.......
22
35,5
8
17,0
2
4,2
4
5,0
-
-
36
14,5
Rabiscos
2
3,2
-
-
-
-
-
-
-
-
2
0,8
Em branco
3
4,8
3
6,4
1
2,1
1
1,3
-
-
8
3,2
Total
62
100
47
100
48
100
80
100
11
100
248
100
Fonte: Banco de dados da Autora
Como dito antes, o problema P5 foi o que teve o menor número de acertos (32%),
porque o cálculo relacional necessário para sua solução é complexo, pois implica na inversão
da transformação direta (VERGNAUD, 2009).
Dos 248 estudantes, 91 utilizaram uma
estratégia correta; 147, uma estratégia incorreta; dois fizeram rabiscos e oito deixaram em
branco.
A estratégia correta mais utilizada foi a representação com algarismos (59),
corresponde a 23,8% do total. A estratégia incorreta mais utilizada foi operação contrária
(62), o que corresponde a 25% do total. Da mesma forma como no problema anterior, é
possível que a escolha por fazer uma subtração (9 – 5) em vez de uma adição (9 + 5) para
encontrar o resultado tenha a ver com a expressão “a menos”, presente no enunciado do
problema e, portadora de uma informação relacionada à subtração.
110
3.1.2 Análise qualitativa do instrumento aplicado aos estudantes
A análise qualitativa do instrumento dos estudantes buscou diagnosticar as ações deles
perante às situações-problema, por isso, tem como foco as estratégias que utilizaram na
resolução dos problemas. São destacados os invariantes operatórios e as representações
simbólicas, seja na forma de registro numérico e/ou pictórico, apresentado no espaço
destinado à resolução.
A produção escrita, apresentada no papel, nem sempre corresponde ao esquema de
pensamento elaborado pelo estudante para resolver aquela situação-problema. Por esse
motivo, o entendimento da produção matemática do estudante não pode ficar restrito à análise
das respostas escritas no instrumento aplicado, pois se corre o risco de gerar uma
interpretação equivocada do desempenho dos mesmos, “uma vez que o esquema é um produto
de ordem psicológica, apoiado na representação mental” (MUNIZ, 2009, p.45). Ainda assim,
se reconhece que a análise das respostas dos estudantes contribui para revelar evidências,
instigar questionamentos e provocar mudança no trabalho realizado pelas professoras na sala
de aula. Pensar sobre as ações presentes nas estratégias corretas ou incorretas utilizadas pelos
alunos e relacionar esses dados com os problemas que propõem nas aulas e com os problemas
de adição e de subtração presentes no livro de Matemática adotado pela escola possibilita às
professoras refletirem sobre o trabalho que realizam referente à resolução de problemas de
adição e de subtração. Também, a análise qualitativa pode oportunizar a identificação de uma
possível ligação dos erros com o tipo de problema proposto.
Vergnaud (1996a) considera que a análise das hesitações e erros dos alunos na
resolução dos problemas mostra que as condutas por eles tomadas sempre estão estruturadas
em esquemas. Assim, para que se possa buscar compreender os esquemas de resolução
utilizados pelos estudantes e conhecer as dificuldades enfrentadas por eles, foi realizada uma
análise qualitativa dos registros escritos feitos na resolução dos problemas, por considerar que
eles sinalizam qual foi a estratégia utilizada pelo estudante.
Conforme destacado na metodologia, o grupo de estudantes que utilizou uma
estratégia correta fez uso de oito tipos diferentes de estratégias de resolução: com desenhos,
com algarismos, com desenhos e algarismos, com complementação, com cálculo mental, com
ausência ou erro do sinal do algoritmo, com algoritmo errado e com resposta errada. O grupo
de estudantes que utilizou uma estratégia incorreta fez uso de cinco tipos diferentes de
estratégia: operação contrária, multiplicação, divisão, registro de número do enunciado e
registro de números aleatórios. Durante a análise quantitativa, faço algumas inferências sobre
111
o uso dessas estratégias pelos estudantes, mas reconheço que elas são apenas possibilidades.
A seguir, descrevo e analiso essas estratégias, começando pelas estratégias corretas.
Desenhos – foi classificada como estratégia correta com desenhos a resolução
realizada a partir da representação das quantidades com desenhos. A Figura 3.1.1 mostra a
solução dada por um estudante do 5º ano (5A37) que fez uso desse tipo de estratégia.
Figura 3.1.1 - Exemplo de estratégia correta com desenhos
Nesta solução, o estudante representou com desenhos cada uma das quantidades e,
numericamente, a resposta. Percebe-se que ele fez isso de forma organizada e os desenhos
correspondem aos objetos presentes na situação – copos. É importante destacar que nem todos
que utilizaram essa estratégia buscaram uma coerência entre o desenho e o objeto citado,
muitos fizeram desenhos quaisquer, tais como bolinhas e pauzinhos.
Um conhecimento que pode ser destacado é o que se refere à escolha da operação
correta para a solução do problema. Como é um estudante do 5º ano, é provável que ele saiba
explicar o teorema-em-ação que dá conta dessa competência: o número de copos sobre a mesa
é igual a soma do número de copos azuis com o número de copos verdes.
Algarismos - foi classificada como estratégia correta com algarismos a resolução que
apresenta o cálculo numérico correto. A Figura 3.1.2 apresenta a solução do estudante do 2º
ano (2A17) ao problema P7.
Figura 3.1.2 - Exemplo de estratégia correta com algarismos
112
Embora esse seja um problema de 4ª extensão e, por isso, considerado difícil, esse
estudante, com apenas 8 anos, conseguiu interpretá-lo, e fez o registro correto do algoritmo.
A representação utilizada pelo estudante traz indícios de que ele possui conhecimentos
sobre as regras relativas ao algoritmo da subtração. Porém, tendo em conta o grau de
complexidade da situação, a idade do estudante e o ano escolar em que ele estuda, é possível
que, quando questionado sobre o motivo que o levou a escolher a operação subtração, ele não
consiga expressar as razões que o levaram a tal escolha, o que revela que para ele esse é um
conhecimento ainda implícito (Vergnaud, 1996a).
Desenhos e algarismos - foi classificada como estratégia correta com desenhos e
algarismos a resolução cujas quantidades foram representadas com desenhos e também foi
realizado o registro do cálculo numérico. A Figura 3.1.3 mostra solução dada pelo estudante
do 5º ano (5C09), que fez uso deste tipo de estratégia.
Figura 3.1.3 - Exemplo de estratégia correta com desenhos e algarismos
Nesta solução, o estudante representou cada uma das quantidades com quadradinhos,
embora a situação se referisse a copos, e registrou a sentença matemática, mas não armou a
conta. Por ser um estudante do 5º ano, pode ter considerado que para quantidades pequenas
não se faz necessário armar a conta. Ele procedeu dessa forma em todas as questões do
instrumento.
Complementação - foi classificada como estratégia correta com complementação a
resolução cujo cálculo numérico evidenciou que o estudante complementou a quantidade
inicial para chegar à quantidade final. A Figura 3.1.4 mostra a solução dada pelo estudante do
5º ano (5B23) ao problema P6.
113
Figura 3.1.4 - Exemplo de estratégia correta com complementação
Nesse tipo de situação, o procedimento de resolução mais utilizado é a operação
subtração (11 – 6), todavia, esse problema é contraintuitivo (MAGINA, CAMPOS et al.,
2008), pois o enunciado refere-se a uma situação de ganho, o que favorece para que alguns
estudantes utilizem o procedimento de complementação (partir do 6 e ir completando até
chegar ao 11). Esse procedimento “somente é válido quando a transformação é positiva e
quando os números em jogo se prestam ao cálculo mental.” (VERGNAUD, 2009, p.211). O
uso da complementação foi mais frequente nas situações-problema P6 e P7, que são
transformações, respectivamente, de 1ª e 4ª extensões.
A representação do algoritmo feita pelo estudante do 5º ano revela que a solução foi
pensada a partir da adição. É possível que ele já soubesse que 6 + 5 = 11 e, por isso, para ele
ficou mais fácil pensar a partir da soma ou, então, ele utilizou o procedimento da
complementação ao calcular a quantidade necessária para ser acrescentada ao 6 para encontrar
o 11.
Cálculo Mental – foi classificada como estratégia correta com cálculo mental a
resolução que apresenta apenas o número que corresponde à resposta correta. A Figura 3.1.5
apresenta a solução dada por um estudante do 2º ano (2A18), que, acreditamos, fez uso desse
tipo de estratégia.
Figura 3.1.5 - Exemplo de estratégia correta com cálculo mental
114
Como é possível perceber, esse estudante somente registrou a resposta do problema. A
ausência da representação simbólica do esquema de resolução não permite que se façam
inferências sobre o número registrado, mesmo assim, foram levantadas algumas hipóteses.
Quando os estudantes apenas registraram o número que corresponde ao resultado final do
cálculo, uma das possíveis hipóteses é a de que eles resolveram mentalmente o problema e
que, por considerarem simples, apenas escreveram o resultado do cálculo. Contudo, se
reconhece que existem outras possibilidades, e dentre elas destaco: contagem nos dedos, cópia
da resposta do colega mais próximo e despreparo para realizar o registro do cálculo numérico.
Ausência ou erro no sinal do algoritmo - foram classificadas como estratégia correta
com ausência ou erro no sinal do algoritmo dois tipos de representação: (i) as cuja conta
armada está representada sem o sinal que indica a operação efetuada e (ii) as que o sinal
presente no conta corresponde a uma operação diferente da que foi realizada.
A Figura 3.1.6 apresenta a resposta dada pelo estudante do 4º ano (4B09) ao problema
P4 e ilustra o primeiro tipo de resolução.
Figura 3.1.6 - Exemplo de estratégia correta com ausência do sinal do algoritmo
Observa-se na representação numérica, apresentada pelo estudante, que ele armou de
forma correta a conta, colocando o valor da unidade 7 embaixo da unidade 4, subtraiu
corretamente 7 do 14, mas não registrou o sinal de menos. É possível que os estudantes que
não registraram o sinal da operação realizada tenham se esquecido de fazê-lo. Essa suposição
se ampara na observação de que esses estudantes colocaram sinal nos outros cálculos
numéricos do instrumento.
A Figura 3.1.7 apresenta a resposta dada pelo estudante do 4º ano (4B17) ao problema
P6 e ilustra o segundo tipo de representação.
115
Figura 3.1.7 - Exemplo de estratégia correta com erro no sinal do algoritmo
A resposta dada pelo estudante revela que ele resolveu corretamente o problema ao
adicionar 10 + 3, no entanto, o sinal que consta no algoritmo é o sinal de menos ( - ) que
corresponde à operação de subtração. As trocas que mais aconteceram foram do sinal de
“menos” pelo sinal de mais e do sinal de mais pelo de menos, como ilustrado na Figura 3.1.7,
entretanto alguns estudantes trocaram os sinais de mais (+) ou de menos (-) pelo sinal de
vezes (x).
Algoritmo errado – foram classificadas como estratégia correta com algoritmo errado
aquelas representações nas quais o estudante armou a conta incorretamente. A Figura 3.1.8
traz exemplos de dois tipos de procedimentos com erro no registro do algoritmo.
Figura 3.1.8 - Exemplo de estratégia correta com algoritmo errado
No primeiro procedimento, um estudante do 2º ano (2B14), registrou o minuendo e o
subtraendo um ao lado do outro e não colocou o sinal da operação. No segundo procedimento,
de um estudante do 3º ano (3B12), houve troca do minuendo pelo subtraendo. Embora tenha
escrito 6 – 11, o estudante efetuou a operação 11 – 6, o que pode sugerir que, para ele, essas
sentenças são iguais. Este tipo de erro, no qual o estudante subtrai o número maior do menor é
116
frequente em estudantes que não dominam a conceitualização da notação decimal
(VERGNAUD, 1996a).
Observando como os estudantes que cometeram esse tipo de representação
procederam nas outras situações-problema, percebe-se que agiram da mesma forma, o que
pode ser um indicativo de que esses alunos ainda não dominam o conjunto de regras que
fazem parte da resolução do algoritmo da subtração.
Resposta errada – foi classificada como estratégia correta com resposta errada aquelas
representações nas quais o estudante armou a conta corretamente, mas colocou uma resposta
errada. Na Figura 3.1.9, temos duas resoluções de estudantes do 4º ano ao problema P5 que
ilustram procedimentos que estão com erro na resposta.
Figura 3.1.9 - Exemplo de estratégia correta com resposta errada
O primeiro procedimento do estudante 4A22 mostra que ele escolheu a estratégia
correta de resolução que é somar 13 + 6, contudo, errou ao armar a conta posicionando a
unidade 6 na coluna da dezena 1, o que resultou na soma 73. O esquema utilizado revela o
conhecimento do estudante sobre a relação entre o algoritmo e as características do problema
(VERGNAUD, 1996a). Para o autor, o erro cometido pelo estudante ao adicionar 6 + 13,
resulta de uma conceitualização insuficiente da notação decimal.
Esse tipo de erro não é esperado em turmas de 4º ano. Santana (2010) também
encontrou esse tipo de erro entre os cometidos pelos estudantes da 3ª série que fizeram parte
de sua pesquisa. A autora também considerou inesperado que estudantes desse ano escolar
“ainda apresentem dificuldades em armar uma simples conta de adição ou subtração.”
(SANTANA, 2010, p.199).
117
O procedimento do estudante do 4º ano (4A01) ao problema P5 revela que ele
interpretou corretamente a situação-problema, entretanto, ao somar 3 + 6 encontrou 12 e não 9
e, por isso, o resultado da sua soma 13 + 6 foi 22, em vez de 19. Esperava-se que esse tipo de
erro só acontecesse nas turmas do 2º e 3º anos, porém, mesmo em diferentes proporções, ele
aconteceu em todos os anos escolares.
A seguir, descrevo e analiso as estratégias incorretas utilizadas pelos estudantes.
Operação contrária – foi classificada como estratégia incorreta – operação contrária, a
resolução na qual o estudante realizou a operação inversa da operação requerida para resolver
a situação. A Figura 3.1.10 mostra a resolução dada pelo estudante do 4º ano (4A22) ao
problema P7.
Figura 3.1.10 - Exemplo de estratégia incorreta – operação contrária
A representação apresentada pelo estudante mostra que ele adicionou (5 + 9), em vez
de subtrair (9 – 5) para encontrar a resposta correta. Esse tipo de erro foi o mais frequente. No
caso do P7, a palavra “ganhou”, presente no enunciado, pode ter influenciado a escolha da
operação adição pelo estudante, pois o levou a pensar em calcular a soma das quantidades, em
vez de calcular a diferença. Esse tipo de erro pode estar sendo reforçado pela forma como
algumas professoras ensinam a resolução de problemas, orientando que se a situação envolve
ganhar, então, a operação a ser realizada deve ser a adição (SANTANA, 2010).
Para Vergnaud (2009), o cálculo relacional necessário para a solução desse tipo de
problema é muito complexo porque a solução válida para todos os casos implica a inversão da
transformação direta. O autor ainda afirma que problemas desse tipo são muito difíceis,
mesmo com números menores que dez, e sugere procedimentos alternativos, como:
“complemento”, que consiste em buscar o que é preciso acrescentar e “estado inicial
hipotético”, que consiste em formular uma hipótese sobre o estado inicial.
118
Multiplicação - foi classificada como estratégia incorreta – multiplicação, a resolução
na qual o estudante multiplicou as quantidades presentes no enunciado do problema. A Figura
3.1.11 mostra a resolução dada pelo estudante do 5º ano (5C11) ao problema P3.
Figura 3.1.11 - Exemplo de estratégia incorreta – multiplicação
O cálculo numérico, presente na resolução do estudante, mostra que ele multiplicou
(10 x 3), em vez de somar (10 + 3). O enunciado do problema não remete a uma estratégia
que envolva multiplicação. Como essa estratégia foi mais utilizada por estudantes do 4º e 5º
anos, é possível que o fato das professoras estarem intensificando o trabalho com a operação
multiplicação, por meio do estudo da tabuada, tenha influenciado na utilização desse
procedimento.
Divisão - foi classificada como estratégia incorreta – divisão, a resolução na qual o
estudante optou por dividir as quantidades presentes no enunciado do problema. A Figura
3.1.12 mostra a resolução dada pelo estudante do 4º ano (5C03) ao problema P8.
Figura 3.1.12 - Exemplo de estratégia incorreta – divisão
O cálculo numérico, presente na resolução do estudante, mostra que ele dividiu (9:3),
em vez de subtrair (9–3). Assim como na estratégia incorreta anterior, o enunciado não remete
a uma ideia de divisão. Esse erro foi cometido por um pequeno número de estudantes do 4º e
5º anos.
119
Registro de número do enunciado - foi classificada como estratégia incorreta –
registro de número do enunciado, a resolução na qual o estudante operou o número que
identifica o problema com um dos valores do enunciado da situação. A Figura 3.1.13
apresenta a resolução dada pelo estudante do 3º ano (3B16) ao problema P8.
Figura 3.1.13 - Exemplo de estratégia incorreta – registro de número do enunciado
Observa-se que o estudante escolheu a operação correta para resolver a situaçãoproblema, contudo, em vez de subtrair 3 de 9, como pede a situação, o cálculo numérico
mostra que ele subtraiu 8 de 9, sendo que 8 não é uma quantidade de pratos, mas, sim, indica
que ele está resolvendo o oitavo problema. O que pode ter favorecido para o uso do 8 e não do
3 é o fato do 3 estar escrito com letras e não com algarismos. Embora tenha acontecido em
todos os anos escolares, este erro foi mais frequente nas turmas do 2º e 3º anos, talvez pelo
fato de que muitos estudantes dessas turmas ainda não estarem aptos à leitura.
Registro de números aleatórios - foi classificada como estratégia incorreta – registro
de números aleatórios a resolução na qual o estudante incluiu no cálculo numérico ou na
resposta, números que não fazem parte do contexto da situação a ser resolvida. A Figura
3.1.14 mostra a resolução dada pelo estudante do 5º ano (5C02) ao problema P5.
Figura 3.1.14 - Exemplo de estratégia incorreta – registro de número aleatório
Novamente, observa-se que o estudante escolheu a operação correta para resolver o
problema, mas em vez de somar 13 + 6, que são as quantidades presentes no enunciado do
problema, ele somou 10 + 4, que são quantidades aleatórias. O estudante operou corretamente
120
o 10 + 4 e escreveu por extenso a resposta catorze, todavia, não é possível fazer qualquer
afirmação sobre o porquê desse estudante ter utilizado esses valores.
Santana (2010) classificou como erro inconsistente os erros nos quais não foi possível
fazer inferências sobre o que estava registrado. Para a autora, tanto o registro de número do
enunciado como o de números aleatórios fazem parte dessa classificação.
3.1.3 Síntese das análises do instrumento inicial aplicado aos estudantes
Os dados da análise quantitativa, relativa ao índice de acertos dos estudantes nos
diferentes tipos de problemas do instrumento aplicado, revelam que o desempenho dos
estudantes foi crescente ano a ano e que esteve abaixo de 50% nas turmas de 2º e 3º anos. A
diferença entre os índices de acerto das turmas do 2º e 5º anos foi de 32%, e pode servir para
expressar o avanço no aprendizado das estruturas aditivas, desses alunos, nesses três anos.
O maior número de acertos foi na categoria transformação (63%), com destaque para
as situações menos complexas que envolvem a subtração. Esse resultado nos indica que esses
estudantes dominam melhor as situações protótipo de subtração, o que possibilita inferir que
essas são as situações mais trabalhadas em sala de aula. O menor índice de acertos foi na
categoria comparação (49%), com destaque para as situações nos quais o referente é
desconhecido. O desempenho na categoria composição (59%) esteve próximo ao da
transformação.
Também, os resultados mostram que nos problemas de menor complexidade,
chamados de protótipos (P1, P2, P10), o índice de acertos foi maior do que nos problemas de
maior complexidade (1ª a 4ª extensão). O menor índice de acertos ocorreu no P5 (32%), que
apresenta uma situação de comparação – 4ª extensão.
Os resultados mostram que esses estudantes apresentam dificuldade nas situações que
relacionam parte-todo, quando se conhece uma parte e o todo e se quer descobrir a outra
parte; nas situações com incongruência semântica entre a palavra-chave presente no
enunciado e a operação necessária para se resolver o problema; e em identificar o valor da
diferença entre duas quantidades que se relacionam.
Os dados da análise qualitativa complementam os resultados da análise quantitativa. A
análise qualitativa das estratégias dos estudantes buscou olhar mais detalhadamente para as
representações feitas por eles na resolução dos problemas aditivos do instrumento.
Foi possível observar o seguinte: (i) a forma de representação simbólica mais utilizada
pelos estudantes foi o registro do cálculo numérico com algarismos. Dentre os estudantes que
121
fizeram o uso desse tipo de representação, muitos ainda evidenciam que não dominam a
conceitualização da notação decimal, pois cometeram três tipos de erros: ausência ou troca de
sinal, por exemplo, o de adição pelo de subtração; montagem da conta, por exemplo,
posicionaram o algarismo das unidades embaixo do algarismo das dezenas; resposta errada,
por exemplo, a conta foi armada de forma correta, mas a resposta do algoritmo está errada;
(ii) muitos estudantes não realizaram nenhum registro numérico do esquema utilizado na
resolução, apenas escreveram o número correspondente à resposta no espaço indicado, o que
leva a pensar que podem ter calculado com o auxílio dos dedos; (iii) a representação pictórica
foi pouco utilizada, inclusive pelos estudantes de menor idade, porém, os que fizeram uso
desse procedimento o fizeram de forma clara e organizada. De acordo com o observado,
pode-se pensar que as professoras não estão incentivando o uso de diferentes formas de
representação e, como consequência, quase a totalidade dos estudantes resolve os problemas
por meio do algoritmo.
O tipo de erro mais frequente foi a realização da operação contrária. Entretanto, em
todos os problemas do instrumento, em menor ou maior quantidade, estudantes operaram um
dos valores do enunciado com o número que identifica o problema ou com números
aleatórios.
Essas informações são importantes porque é possível que, ao identificarem o
percentual de acertos na resolução dos problemas, as representações dos esquemas de
pensamento nas resoluções, e, principalmente, os erros mais frequentes de seus alunos, as
professoras possam compreender de que maneira eles organizam e concebem os
conhecimentos matemáticos estudados, para poder ajudá-los a superarem dificuldades que
podem estar impedindo que eles expressem corretamente os conhecimentos. Também, porque
os erros, quando cometidos por vários alunos de uma mesma turma, podem ser vistos como
um sinal de que há um problema de ensino, e se faz necessário que as professoras repensem a
sua prática de sala de aula (Magina, Campos et al., 2010).
3.2 ANÁLISE DO INSTRUMENTO DAS PROFESSORAS
A análise do instrumento das professoras serve para sinalizar o tipo de situaçõesproblema que elas estão trabalhando em suas aulas. Assim como no instrumento dos
estudantes, começo realizando uma análise quantitativa e, em seguida, realizo a análise
qualitativa dos problemas elaborados espontaneamente pelas professoras. Concluo com uma
síntese das análises do instrumento.
122
3.2.1 Análise quantitativa dos problemas de adição e de subtração elaborados pelas
professoras
Para que seja possível uma comparação com os resultados de desempenho dos
estudantes nos dez problemas do instrumento, realizo uma análise quantitativa dos problemas
elaborados pelas professoras por categoria e, dentro de cada categoria, destaco as extensões.
Cada professora elaborou, espontaneamente, seis problemas de adição e/ou subtração.
Como participaram dessa etapa dez professoras, tivemos um total de 60 problemas
elaborados. Desses 60 problemas, foi possível categorizar 91,7%, isto é, 55 problemas. Os
demais problemas, 8,3%, não foram classificados por serem do campo multiplicativo.
Dos 55 problemas classificados, 23 problemas, o que corresponde a 41,8%, são de
adição; 21, o que corresponde a 38,2%, são de subtração e 11, que correspondem a 20%, são
problemas que envolvem mais de uma adição e/ou subtração, chamados de Problemas Mistos
por Magina, Campos et al. (2008). Considero importante registrar que um terço dos
problemas elaborados pelas professoras do 5º anos foram classificados como Problemas
Mistos. Ressalto que, embora tenha classificado parte dos problemas como “Mistos”, não vou
aprofundar uma discussão sobre eles porque neste estudo são abordados problemas cuja
solução envolve somente um raciocínio. Assim, o universo de análise e discussão do
instrumento das professoras está composto pelos 44 problemas cuja resolução envolve uma
adição ou uma subtração.
A categorização desses problemas foi realizada, primeiramente, por categorias, e está
apresentada no Gráfico 3.2.1 e, após, em função da complexidade dos mesmos (prototípicos;
1ª; 2ª; 3ª e 4ª extensão), conforme pode ser observado na Tabela 3.2.1.
Gráfico 3.2.1 – Categorização dos problemas elaborados pelas professoras
Fonte: Banco de dados da Autora
123
Observando-se o Gráfico 3.2.1, fica evidente que o maior número de problemas
elaborados pelas professoras está na categoria transformação (52,3%), seguida pela categoria
composição (34,1%) e, por último, a categoria comparação (13,6%).
A Tabela 3.2.1, a seguir, mostra a distribuição desses problemas por ano escolar,
categoria e grau de dificuldade da situação apresentada.
Tabela 3.2.1- Classificação do problemas elaborados pelas professoras
Comparação
Transformação
Composição
Categorias/Extensões
F
2º
%
F
3º
%
F
4º
%
F
5º
%
Acelera
F
%
F
Protótipo
6
37,5
1
12,5
3
25,0
1
8,4
4
66,7
15
1ª Extensão
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
Protótipo
10
62,5
3
37,5
4
33,3
3
25,0
2
33,3
22
1ª Extensão
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
4ª Extensão
-
-
1
12,5
-
-
1
8,4
-
-
2
2ª Extensão
-
-
-
-
1
8,4
-
-
-
-
1
3ª Extensão
-
-
3
37,5
-
-
1
8,4
-
-
4
4ª Extensão
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
16
100
8
100
8
100
6
100
6
100
44
Total
%
34,1
Total
54,5
11,4
100
Fonte: Banco de dados da Autora
Observando-se a Tabela 3.2.1, é possível constatar que dos 44 problemas
classificados, 37 são do tipo protótipo, o que corresponde a 84% dos problemas elaborados.
Para Vergnaud (1996), os esquemas utilizados pela criança na resolução das situações
prototípicas se desenvolvem em seu cotidiano ainda antes dela começar sua trajetória escolar
e, a partir desses esquemas de ação, elas começam a compreender as operações de adição e de
subtração. Por esse motivo, é esperado que estudantes de todos os anos do Ensino
Fundamental se saiam bem na resolução de situações desse tipo. O percentual elevado de
problemas desse tipo, elaborados pelas professoras, pode servir como alerta, pois sinaliza que
elas estão reforçando um conhecimento que os alunos já dominam.
É importante salientar que, do grupo de problemas protótipos elaborados pelas
professoras, 34 % são de composição, ou seja, são situações relativas à relação parte-partetodo, como por exemplo: Na sala de aula há 19 meninos e 9 meninas. Quantos alunos têm na
sala? (2AP2). E os outros, 50 %, são de transformação. As situações protótipo de
transformação podem ser de dois tipos: aquelas que buscam o estado final quando a
transformação é positiva, por exemplo: Anita tem uma coleção de figurinhas contendo 74
figurinhas. Sua amiga Carla lhe deu mais 21. Quantas figurinhas Anita ficou? (4AP1) e
124
aquelas que buscam o estado final quando a transformação é negativa, por exemplo: Uma
cooperativa possuía 526 sacos de feijão para vender. Já vendeu 157 sacos. Quantos sacos de
feijão a cooperativa ainda tem? (5AP3)
Em todos os anos escolares, as professoras elaboraram um maior número de situações
protótipo de transformação, somente a professora da turma do Acelera elaborou mais
problemas da categoria composição.
O número de problemas elaborado nas extensões foi muito pequeno. A 3ª extensão,
que envolve apenas problemas de comparação do tipo Papai tem 62 anos e mamãe 57 anos.
Qual a diferença de idade entre os dois? (5BP4), teve quatro problemas, o que corresponde a
9,1%. A 2ª extensão, que também envolve somente situações de comparação, como por
exemplo: João tem 132 bolinhas de gude, Carlos, seu primo, tem uma centena a menos.
Quantas bolinhas de gude Carlos possui? (4AP4), teve somente esse problema, o que
corresponde a 2,3% do total.
Embora a 4ª extensão envolva situações tanto de comparação como de transformação,
foram elaboradas pelas professoras somente duas situações de transformação, como por
exemplo: Um número somado a 21 é igual a 64. Qual é esse número? (5BP3), o que
corresponde a 4,5% do total. Da 1ª extensão, as professoras não elaboraram nenhum
problema.
3.2.2 Análise qualitativa dos problemas de adição e de subtração elaborados pelas
professoras
Na análise qualitativa do instrumento das professoras, busco interpretar algumas
situações-problema elaboradas por elas, pois a análise dos problemas permite que se
identifique a natureza da situação abordada.
Esta interpretação tem relação com a análise realizada no instrumento dos estudantes
na resolução dos problemas, por isso, escolhi analisar um problema de cada tipo, de acordo
com a classificação proposta por Vergnaud (1996a) e Magina, Campos et al.(2008), que
contempla tanto as categorias quanto as extensões.
Assim, a seguir, descrevo e analiso alguns problemas elaborados pelas professoras,
começando pela categoria composição. Nesta categoria, as professoras elaboraram somente
problemas do tipo protótipo, deixando de elaborar situações de 1ª extensão.
O problema 2BP4, elaborado pela professora do 2º ano, foi classificado como
composição – protótipo, porque nele se conhecem as duas partes e se quer descobrir o todo.
125
Protocolo
Situação-problema
2BP4
Numa caixinha, há 235 bolinhas de gude
azuis e, em outra caixinha, há 230 bolinhas
de gude brancas. Se colocarmos todas as
bolinhas numa mesma caixinha, ela ficará
com quantas bolinhas?
Diagrama
235
?
230
Neste problema, a relação ternária parte-parte-todo está representada como mostra o
diagrama de resolução: primeira parte - 235 bolinhas de gude azuis; segunda parte - 230
bolinhas de gude brancas e o todo é o que se precisa encontrar, ou seja, se colocarmos todas
as bolinhas numa mesma caixinha, ela ficará com quantas bolinhas.
É uma situação considerada simples, porque a ideia envolvida nela é a de juntar partes
cujos valores são conhecidos e essa ideia representa a primeira situação de adição que a
criança compreende (VERGNAUD, 1996a; MAGINA, CAMPOS et al., 2008). Por esse
motivo, o desempenho dos estudantes, nesse tipo de situação costuma ser muito bom, mesmo
para os que estão no 1º ano escolar. Como mostra a Gráfico 3.1.3, (p.90), os discentes que
participaram desta pesquisa tiveram um índice geral de acertos superior a 70% no problema
P2, que corresponde ao tipo composição – protótipo, o que indica que a maioria dos alunos
domina este tipo de situação. Aliado ao bom desempenho dos estudantes está o fato de que
este tipo de situação foi elaborado pelas professoras de todos os anos escolares, o que pode ser
um indício de que as professoras estejam trabalhando com ele em suas aulas.
Na categoria transformação, as professoras elaboraram problemas dos tipos protótipo e
4ª extensão, deixando novamente de fora as situações de 1ª extensão.
O problema 3AP3, elaborado pela professora P. Azul, foi classificado como
transformação – protótipo, porque nele conhecemos o estado inicial, a transformação e
queremos descobrir o estado final.
Protocolo
Situação-problema
Diagrama
- 15
3AP3
Paulo tinha 54 carrinhos, deu 15 a seu primo.
Com quantos carrinhos Paulo ficou?
54
?
Neste problema, a relação ternária está representada da seguinte forma: estado inicial –
tinha 54 carrinhos; transformação - deu 15 ao primo e o estado final é o que se procura
126
descobrir; neste caso, com quantos carrinhos Paulo ficou. Nele, a transformação é negativa
sobre o estado inicial. Para resolver o problema, é preciso subtrair a transformação do estado
inicial (54 – 15). Neste tipo de situação, o desempenho dos estudantes foi superior a 80% e
este foi o tipo de situação mais elaborado pelas professoras. Estes dados podem estar
sinalizando que há uma relação entre o desempenho dos estudantes na resolução dos
problemas e os tipos de problemas elaborados pelas professoras.
Também, temos situações com essa mesma estrutura, mas com a transformação
positiva sobre o estado inicial como mostra o problema 4AP1, elaborado pela professora do 4º
ano.
Protocolo
Situação-problema
Diagrama
+ 21
4AP1
Anita tem uma coleção de figurinhas
contendo 74 figurinhas. Ganhou de sua amiga
Carla 21 figurinhas. Com quantas figurinhas
Anita ficou?
74
?
No problema 4AP1, para descobrir o estado final, com quantas figurinhas Anita ficou,
é preciso somar o estado inicial e a transformação (74 + 21).
As situações de transformação protótipo foram elaboradas pelas professoras de todos
os anos escolares. Elas também são consideradas simples, porque a associação da palavra
“deu”, com a operação de subtração e da palavra “ganhou”, com a operação de adição,
“constituem as primeiras representações que as crianças formam sobre essas operações”
(MAGINA, CAMPOS et al., 2008).
Embora em número bem reduzido, as professoras também elaboraram situações que
contemplam algumas extensões. O problema 3BP5, elaborado pela professora do 3º ano,
exemplifica uma situação classificada como transformação – 4ª extensão, porque nele
conhecemos a transformação e o estado final e queremos descobrir o estado inicial.
Protocolo
Situação-problema
Diagrama
67
3BP5
Papai vendeu 67 relógios e ainda ficou com
25. Quantos relógios Papai tinha?
?
25
Neste problema, a relação ternária está representada da seguinte forma: transformação
- vendeu 67 relógios, estado final – ficou com 25 e precisa-se descobrir o estado inicial -
127
quantos relógios Papai tinha. Nele, para se descobrir o número de relógios que Papai tinha
tem que ser realizada uma adição (67 + 25), que representa uma ideia inversa da que está
presente na transformação, que é a ideia de subtrair (vendeu 67 relógios). Problemas deste
tipo são muito complexos porque a solução “implica a inversão da transformação direta e o
cálculo do estado inicial pela aplicação ao estado final desta transformação inversa”
(VERGNAUD, 2009, p.211). Para Vergnaud (2009), problemas deste tipo, mesmo quando
envolvem quantidades pequenas, são muito mais difíceis que os problemas do tipo protótipo.
A pequena quantidade de problemas deste tipo elaborado pelas professoras pode ter relação
com o baixo desempenho dos estudantes no problema de transformação – 4ª extensão (abaixo
de 50%).
Também, em número muito reduzido, as professoras elaboraram situações que
contemplam as situações de comparação. O problema 4AP4, elaborado pela professora do 4º
ano, exemplifica uma situação classificada como comparação – 2ª extensão. Nele,
conhecemos o referente e a relação e queremos descobrir o referido.
Protocolo
Situação-problema
Diagrama
?
4AP4
João tem 132 bolinhas de gude; Carlos, seu
primo, tem uma centena a menos do que ele.
Quantas bolinhas de gude Carlos possui?
-100
132
Neste problema, a relação ternária está representada da seguinte forma: referente João tem 132 bolinhas de gude, relação – Carlos, seu primo, tem uma centena a menos do
que ele e precisa-se descobrir o referido - quantas bolinhas de gude Carlos possui. Para se
descobrir o número bolinhas de gude que Carlos possui tem que ser realizada uma subtração
(132 - 100). Embora as professoras tenham elaborado poucos problemas deste tipo, o
desempenho dos estudantes neles não costuma ser muito baixo, porque a palavra “menos”,
presente no enunciado, sinaliza para a operação subtração.
O problema 3BP1, elaborado pela professora do 3º ano, exemplifica uma situação
classificada como comparação – 3ª extensão. Neste tipo de problema, são conhecidos o
referente e o referido e temos que encontrar a relação.
128
Protocolo
Situação-problema
Diagrama
9
3BP1
Paulinho tem 16 anos. Joãozinho tem 9 anos.
Quantos anos Paulinho é mais velho que
Joãozinho?
?
16
Neste problema, a relação ternária está representada da seguinte forma: referente Paulinho tem 16 anos, referido – Joãozinho tem 9 anos e precisa-se descobrir a relação quantos anos Paulinho é mais velho que Joãozinho. Identificar qual dos meninos é o mais
velho não é difícil para as crianças, no entanto, identificar a relação entre a idade dos
meninos, subtraindo as idades, é mais difícil e só foi conseguido por 40% dos estudantes das
turmas investigadas numa situação semelhante à esta, o que indica que este tipo de situação
deve ser mais trabalhada pelas professoras.
As situações de comparação – 4ª extensão não foram elaboradas pelas professoras. O
pequeno número de situações de 1ª a 4ª extensão, elaboradas pelas docentes, reafirma o
indicativo de que elas estão enfatizando o trabalho com as situações menos complexas, as
situações protótipos.
Situações-problema
protótipo
envolvem
raciocínios
intuitivos
formados
espontaneamente na resolução de situações matemáticas cotidianas, como as exemplificadas
nos problemas elaborados pelas professoras. Magina, Campos et al. (2008) destacam que para
ampliação do campo conceitual aditivo, os estudantes precisam também compreender as
situações de 1ª à 4ª extensão. Contudo, ao contrário dos problemas protótipos, a compreensão
dessas extensões não se dá de maneira espontânea, necessitando, portanto, da intervenção do
professor para serem aprendidos.
A intervenção do professor no momento da escolha e da elaboração dos problemas a
serem propostos serve para controlar a maior ou menor facilidade tanto da situação quanto do
cálculo necessário na resolução. Por exemplo, é importante que o professor observe qual
categoria e o tipo de extensão que a situação proposta contempla e o grau de complexidade no
interior de uma mesma classe de problemas, no cálculo. “Os números grandes ocasionam
mais dificuldades que os números pequenos, os números decimais, mais dificuldades que os
números inteiros, [...] certos números impedem a utilização de certos procedimentos porque
eles não se prestam a cálculos muito simples.” (VERGNAUD, 2009, p.212).
129
3.2.3 Síntese das análises do instrumento aplicado às professoras
Os resultados presentes nos dados quantitativos mostram que, dos 44 problemas
elaborados pelas professoras, cuja solução envolve uma adição ou uma subtração, 23 (52,3%)
deles foram classificados na categoria transformação; 15 (34,1%), na categoria composição e
seis (13,6%), na categoria comparação.
Ainda, a classificação quanto ao grau de complexidade revela que mais de 80% dos
problemas classificados são do tipo protótipo, considerados por Vergnaud (2009) como os
mais simples, porque para se chegar a solução basta se aplicar uma transformação direta
quando ele for da categoria transformação, ou se fazer uma adição das partes quando ele for
da categoria composição. Dentre as situações protótipos elaboradas, 34% correspondem a
situações de composição e 50% a situações da transformação. Vale ressaltar que todas as
professoras elaboraram problemas do tipo protótipo. Esse dado sinaliza que as professoras
podem estar enfatizando situações que envolvem conhecimentos que os alunos já dominam,
pois são construídos na vivência de situações do cotidiano, em detrimento da compreensão de
conhecimentos mais complexos do Campo Aditivo, presentes nas situações de 1ª à 4ª
extensão, que necessitam da intervenção do professor para serem aprendidos (MAGINA,
CAMPOS et al., 2008).
A quantidade de problemas elaborados que envolvem situações com maior grau de
complexidade foi muito pequena (15,9%), e esteve restrita às situações de 2ª, 3ª e 4ª extensão.
As professoras não elaboraram problemas de 1ª extensão.
Os dados da análise qualitativa dos problemas elaborados pelas professoras reforçam
os resultados da análise quantitativa. Eles revelam que a maioria das situações elaboradas por
elas são de pouca complexidade, ou seja, representam situações vivenciadas no cotidiano do
estudante e, por isso, considerados fáceis.
Estes resultados, ao serem comparados com os resultados do desempenho dos
estudantes, possibilitam que as professoras, ao reconhecerem uma relação entre os mesmos,
reajustem a prática de ensino da resolução de problemas aditivos.
3.3 ANÁLISE DOS PROBLEMAS DE ADIÇÃO E DE SUBTRAÇÃO DO LIVRO DE
MATEMÁTICA ADOTADO PELA ESCOLA
A análise dos problemas de adição e de subtração do livro de Matemática adotado pela
escola serve para sinalizar o tipo de situações-problema ali propostos e que complementam o
130
trabalho das professoras em sala de aula. Assim, como nos instrumentos dos estudantes e das
professoras, começo realizando uma análise quantitativa e, na sequência, realizo a análise
qualitativa dos problemas presentes nos livros que correspondem do 2º ao 5º ano escolar.
Concluo com uma síntese das análises realizadas.
3.3.1 Análise quantitativa dos problemas de adição e de subtração presentes no livro de
Matemática adotado pela escola
Para uma comparação dos problemas de adição ou subtração do livro com os
resultados de desempenho dos estudantes nos problemas do instrumento aplicado e com a
classificação dos problemas elaborados pelas professoras, realizo a análise quantitativa por
categoria e extensões dos problemas de adição e de subtração presentes no livro de
Matemática adotado pela escola.
Em cada exemplar do 2º ao 5º ano, identifiquei os problemas nos quais a resolução
envolvesse uma adição ou uma subtração. No caso da adição, também incluí os problemas
que envolviam três parcelas, desde que a resolução necessitasse de somente um raciocínio.
Dos quatro exemplares analisados, foram identificados e classificados 92 problemas, assim
distribuídos por ano escolar: 34, no 2º ano; 31, no 3º ano; 15, no 4º ano e, 12, no livro do 5º
ano.
Dos 92 problemas classificados, 48, o que corresponde a 52,2%, são de adição e 44, o
que corresponde a 47,8%, são de subtração.
A classificação desses problemas foi realizada, primeiramente, por categorias e está
apresentada no Gráfico 3.3.1 e, após, em função da complexidade dos mesmos (prototípicos;
1ª; 2ª; 3ª e 4ª extensão), conforme pode ser observado na Tabela 3.3.1.
Gráfico 3.3.1 – Categorização dos problemas do livro de Matemática
Fonte: Banco de dados da Autora
131
Vemos, no Gráfico 3.3.1, que o maior número de problemas de adição e de subtração,
cuja resolução envolve somente um raciocínio, está na categoria transformação (48,9%),
seguido pela categoria composição (32,6%) e, por último, a categoria comparação (18,5%). É
possível perceber uma semelhança destes dados com os do Gráfico 3.2.1 (p.122), que informa
sobre os problemas de adição e de subtração elaborados pelas professoras. Tanto na
elaboração das professoras, como no livro de Matemática adotado pela escola, a maior
quantidade de problemas foi classificada na categoria transformação.
Tabela 3.3.1- Classificação dos problemas do livro de Matemática adotado pela escola
Comparação
Transformação
Composição
Categorias e Extensões
2º
3º
4º
5º
Total
F
%
F
%
F
%
F
%
F
Protótipo
6
17,7
12
38,7
2
13,3
8
66,7
28
1ª Extensão
1
2,9
-
-
1
6,7
-
-
2
Protótipo
20
58,9
10
32,3
2
13,3
-
-
32
1ª Extensão
1
2,9
2
6,4
4
26,7
1
8,3
8
4ª Extensão
1
2,9
-
-
4
26,7
-
-
5
2ª Extensão
1
2,9
-
-
-
-
-
-
1
3ª Extensão
4
11,8
7
22,6
2
13,3
3
25,0
16
4ª Extensão
-
-
-
-
-
-
-
-
-
34
100
31
100
15
100
12
100
92
%
32,6
Total
48,9
18,5
100
Fonte: Banco de dados da Autora
A Tabela 3.3.1 nos mostra que a maior concentração de problemas está no tipo
protótipo. Dos 92 problemas classificados, 60 são do tipo protótipo, o que corresponde a
65,2% do total. Como já foi dito antes, esse tipo de situação é de pouca complexidade e, por
isso, são considerados fáceis. Do grupo de problemas protótipos, presentes no livro de
Matemática adotado, 30,4% são de composição, como por exemplo: Em um laboratório há 8
ratos marrons e 5 ratos brancos. Quantos ratos há no total? (2L1, p.124) e 34,8% são de
transformação, como por exemplo: Tenho 7 mangas na minha sacola. Com quantas ficarei se
comprar as 5 mangas do monte? (3L1, p.14) ou Em uma caixa havia 17 frutas. Tirei 3.
Quantas frutas sobraram? (3L2, p.16)
O número de problemas elaborados nas extensões foi muito variado. Houve um maior
número nas situações de comparação - 3ª extensão (16), como por exemplo: Joana plantou em
sua horta 27 pés de alface e Mário plantou em sua horta 12 pés de alface. Quantos pés de
alface Joana plantou a mais que Mário? (3L1, p.42), o que corresponde a 17,4% do total,
132
seguido por dez (10) problemas da 1ª extensão com situações de composição, por exemplo:
Jurema colocou em uma mesma bandeja 80 docinhos. Numa parte, ela colocou 50
brigadeiros e, na outra parte, completou com cajuzinhos. Quantos cajuzinhos Jurema
colocou na bandeja? (4L1, p.71) e situações de transformação, como por exemplo: Pela
manhã, Paulo colocou na vitrina da padaria 372 docinhos para vender. No final do dia, ele
viu que restavam 121 docinhos. Quantos docinhos foram vendidos nesse dia? (4L1,p.62), que
correspondem a 10,8% do total.
Da 4ª extensão, foram encontrados cinco (5) problemas, todos de transformação, como
por exemplo: João ganhou 124 figurinhas de seu tio e ficou com 734 figurinhas. Quantas
figurinhas João tinha inicialmente? (4L1, p.65), o que corresponde a 5,4% do total. Na
situação de comparação - 2ª extensão, foi classificado apenas o problema a seguir: André e
Lucas são vizinhos. Um dia, enquanto jogavam futebol de botão, começaram a conversar
sobre a idade deles. Lucas disse: - Eu tenho sete anos. André respondeu: - Você é dois anos
mais novo do que eu. Quantos anos André tem? (2L1, p.57). Esse problema corresponde a
1,1% do total.
Como já foi comentado antes, o trabalho com situações que envolvem diferentes
extensões é muito necessário e importante para que o estudante consiga ampliar seus
conhecimentos sobre o Campo Conceitual Aditivo.
3.3.2 Análise qualitativa dos problemas de adição e de subtração presentes no livro de
Matemática adotado pela escola
A análise qualitativa dos problemas de adição e de subtração presentes no livro de
Matemática adotado pela escola é muito semelhante à análise realizada nos problemas
elaborados pelas professoras. Também, nela busco interpretar algumas situações-problemas,
identificando a natureza da situação abordada.
Nesta análise, busco identificar uma relação com a análise realizada no instrumento
dos estudantes na resolução dos problemas e nos problemas elaborados pelas professoras; por
isso, escolhi analisar um problema de cada tipo, de acordo com a classificação proposta por
Vergnaud (1996a) e Magina, Campos et al.(2008), que contempla tanto as categorias quanto
as extensões.
Para tanto, descrevo e analiso alguns problemas do livro de Matemática adotado pela
escola, começando pela categoria composição. Nessa categoria, os autores elaboraram
problemas do tipo protótipo e 1ª extensão.
133
O problema 3L1(p.41) do livro do 3º ano foi classificado como composição –
protótipo porque são conhecidas as partes e se precisa descobrir o todo.
Protocolo
Situação-problema
Juliana encontrou no pomar 3 cestas
contendo laranjas. Na primeira cesta havia 44
3L1(p.41) laranjas, na segunda havia 25 e na terceira
havia 10 laranjas. Quantas laranjas havia nas
três cestas?
Diagrama
44
25
?
10
As partes conhecidas são “Na primeira cesta havia 44 laranjas, na segunda havia 25 e
na terceira havia 10 laranjas.” e o todo que se precisa encontrar é “quantas laranjas havia
nas três cestas”. Neste problema, temos que juntar as três partes para formar o todo. Embora
ele envolva três partes e não duas, a situação está dentro da ideia protótipo de adição. No
problema acima, é provável que as crianças não tenham dificuldade no cálculo das três
parcelas, pois as somas não passam de 9, sendo assim, é uma situação considerada simples.
Do tipo composição – 1ª extensão, destaco o problema 2L1(p.67) do livro do 2º ano.
Neste problema, são conhecidas uma parte e o todo, e se deseja saber a outra parte.
Protocolo
Situação-problema
Diagrama
4
Tatiana tem 10 camisetas. Somente 4 dessas
2L1(p.67) camisetas são brancas. Quantas camisetas
com outras cores Tatiana tem?
10
?
A primeira informação que consta no enunciado “Tatiana tem 10 camisetas“ indica o
total; a segunda informação “Somente 4 dessas camisetas são brancas” indica a parte
conhecida e a parte que se precisa encontrar está no questionamento “Quantas camisetas com
outras cores Tatiana tem?”.
Este tipo de problema é um pouco mais difícil que o anterior, porque o raciocínio para
resolver a situação, já não é mais intuitivo (MAGINA, CAMPOS et al., 2008). Segundo a
autora, isto acontece porque, apesar da situação parte-todo relacionar-se com a ideia de
adição, a solução dele envolve uma subtração. Por isso, muitos estudantes resolvem este tipo
de problema com o procedimento da complementação, ou seja, partem do 4 e vão contando
até chegar ao 10.
134
As situações de transformação, contempladas nos quatro livros, foram as seguintes:
protótipo, 1ª extensão e 4ª extensão. O problema 2L1(p.56), do livro do 2º ano, foi
classificado como transformação – protótipo, porque nele são conhecidos o estado inicial e a
transformação e se deseja descobrir o estado final.
Protocolo
Situação-problema
Diagrama
+2
2L1(p.56) Lurdes tinha 7 anéis e ganhou 2 de sua prima.
Quantos anéis ela tem agora?
7
?
Como já comentado anteriormente, este é um problema simples. Nele, a transformação
é positiva (ganhou 2) sobre o estado inicial (tinha 7 anéis). Para resolvê-lo, é preciso adicionar
a transformação ao estado inicial (7 + 2). Este tipo de situação foi o mais frequente,
principalmente, nos livros do 2º e 3º anos.
O problema 5L1(p.125), do livro do 5º ano, foi classificado como transformação – 1ª
extensão, porque nele se conhecem os estados inicial e final, e se quer descobrir a
transformação.
Protocolo
Situação-problema
A mãe de Gabriel olhou o valor da conta de
água, que era de 32,70 reais, e combinou com
5L1(p.125) todos de sua casa para economizarem água.
No mês seguinte, o valor da conta de água foi
de 28,50 reais. Quanto eles economizaram
nesse período?
Diagrama
?
32,70
28,50
Neste problema, a transformação entre os estados é o que deve ser calculado e
representa o valor economizado; o estado inicial é o valor da conta no primeiro mês (32,70
reais) e o estado final é o valor da conta no mês seguinte (28,50 reais). Vergnaud (2009)
destaca que há dois principais procedimentos para o sucesso da resolução neste tipo de
problema: ou o estudante adota o procedimento da “diferença”, que consiste em subtrair o
valor do estado final do estado inicial para encontrar o valor da transformação, ou utiliza o
procedimento do “complemento”, que consiste em encontrar, no caso do problema
5L1(p.125), sem realizar a subtração, o que deve ser retirado do estado inicial para se chegar
135
ao estado final ou, então, o que deve ser acrescentado ao estado final para se chegar ao estado
inicial.
Embora em pequena quantidade, este tipo de problema foi mais encontrado no livro do
4º ano. Visto que este tipo de problema é mais complexo que as situações protótipos, o
sucesso na resolução dele ocorre um pouco mais tarde; é pertinente que ele esteja mais
presente no livro do 4º ano.
O problema 4L2(p.72), do livro do 4º ano, foi classificado como transformação – 4ª
extensão, porque são conhecidos o estado final e a transformação e se quer descobrir o estado
inicial.
Protocolo
Situação-problema
Diagrama
-16
Pedro colecionava miniaturas de carros.
4L2(p.72) Vendeu 16 e ficou com 47. Quantas
miniaturas Pedro tinha inicialmente?
?
47
No problema 4L2(p.72), a solução implica a inversão da transformação direta, ou seja,
em vez de se subtrair o 16 do estado inicial, será preciso adicioná-lo ao estado final (47), para
encontrar a resposta. Esta forma de pensar para organizar o cálculo, o torna mais complexo
que os problemas 2L1(p.56) e 5L1(p.125), destacados anteriormente.
Como já destacado anteriormente, neste tipo de situação, “o procedimento do
“complemento” [...] somente é válido quando a transformação é positiva e quando os números
em jogo se prestam ao cálculo mental” (VERGNAUD, 2009, p.211).
Este tipo de problema somente foi encontrado nos livros do 2º e 4º anos, sendo que
com maior frequência no 4º ano, o que é aconselhável se for levada em conta a complexidade
da situação.
Na categoria comparação, foram classificados problemas de 2ª e 3ª extensão. O
problema 2L1(p.57), do livro do 2º ano, foi classificado como comparação – 2ª extensão,
porque são conhecidos o referente e a relação e se quer descobrir o referido.
136
Protocolo
Situação-problema
André e Lucas são vizinhos. Um dia,
enquanto jogavam futebol de botão,
2L1( p.57) começaram a conversar sobre a idade deles.
Lucas disse: - Eu tenho sete anos. André
respondeu: - Você é dois anos mais novo do
que eu. Quantos anos André tem?
Diagrama
?
Referido
+2
7
Referente
Nos problemas de comparação “é necessário que o aluno perceba a “relação” como
uma comparação entre os grupos (MAGINA, CAMPOS et al., 2008, p.41), neste caso, uma
comparação entre as idades de André e Lucas. Para solucionar o problema 2L1( p.57), o
estudante deve partir da idade de Lucas (que é o valor de referência), adicionar 2 (que é a
relação entre as idades dos dois meninos), para obter a idade de André.
Nos exemplares do livro de Matemática adotado pela escola, com este tipo de
situação, somente foi encontrado o problema acima. Embora seja um problema mais
complexo que os protótipos ou de 1ª extensão, como dito na identificação do problema, ele
está no livro das turmas do 2º ano.
O problema 3L1(p.117), do livro do 3º ano, foi classificado como comparação – 3ª
extensão, porque são conhecidos os dois grupos, referente e referido, e se busca a relação.
Protocolo
Situação-problema
Diagrama
383
3L1(p.117)
No colégio de Marcos há 842 meninos e
383 meninas. Quantos meninos há a mais
que meninas nessa escola?
Referido
?
842
Referente
Este problema tem uma complexidade um pouco maior que a do problema de
comparação – 2ª extensão, porque é necessário identificar quem é o referente e quem é o
referido. Nele, o mais importante é que o estudante entenda que a pergunta não se refere às
quantidades, mas sim, à diferença entre as quantidades (842 – 383).
Apesar da quantidade de problemas da categoria comparação ter sido a menor, foram
classificados problemas desse tipo nos exemplares do 2º, 3º, 4º e 5º anos, com maior
frequência no 3º ano.
137
3.3.3 Síntese das análises dos problemas de adição e de subtração do livro de
Matemática adotado pela escola
A análise realizada nos problemas de adição ou de subtração presentes no livro de
Matemática adotado pela escola revela maior ênfase nas situações da categoria transformação
com quase 50% do total, seguida pela composição (32,6%) e, em menor número, as da
categoria comparação (18,5%).
Quanto ao grau de dificuldade das situações propostas, apesar de terem sido
classificados problemas em quase todas as extensões, pois só não foram encontrados
problemas envolvendo as situações de comparação – 4ª extensão, a ênfase ficou nas situações
de menor complexidade, chamadas prototípicas, com 65% do total de problemas
classificados.
Esses dados são importantes, porque quando comparados aos resultados de
desempenho dos estudantes e aos dados da classificação dos problemas elaborados pelas
professoras, podem oportunizar uma reflexão, no grupo de discussão, sobre como está
acontecendo o ensino da resolução de problemas aditivos nessas turmas.
É necessário que as professoras se questionem sobre os tipos de problemas que
costumam trabalhar com seus alunos; sobre a proposta de ensino da resolução de problemas
aditivos presente no livro de Matemática que utilizam, e sobre o desempenho dos discentes
nos diferentes tipos de problemas do Campo Conceitual Aditivo, para que observem a relação
entre esses resultados. É possível que, ao coletarem evidências dessa relação, se proponham a
repensar sua maneira de ensinar esse conteúdo.
3.4 SÍNTESE DAS ANÁLISES DOS INSTRUMENTOS DO ESTUDO 1
A análise realizada nos três instrumentos utilizados no Estudo 1 ilustra o contexto
educacional investigado em relação ao ensino da resolução de problemas de adição e de
subtração em turmas dos anos iniciais do Ensino Fundamental.
Os dados revelam que o desempenho geral dos estudantes foi crescente ano a ano do
2º ao 5º ano. Na categoria transformação houve o maior número de acertos, e na categoria
comparação, o menor número de acertos. Quanto ao grau de dificuldade dos problemas,
percebe-se que, nas situações protótipos, consideradas mais fáceis, o desempenho dos
estudantes foi superior às que envolvem maior complexidade (1ª à 4ª extensão).
138
As estratégias corretas mais utilizadas foram a resolução com algarismos e com
cálculo mental, e as estratégias incorretas mais utilizadas foram a operação contrária e o
registro de números do enunciado.
Foi possível constatar que nas situações que apresentaram incongruência semântica
entre a palavra-chave e a operação a ser realizada os estudantes tiveram um desempenho
menor, pois muitos realizaram a operação contrária.
Agrupando as situações-problema elaboradas pelas professoras, constata-se que o
maior número de problemas elaborados por elas foi da categoria transformação, e quanto ao
grau de complexidade, o maior número foi do tipo protótipo.
Quanto às situações-problema de adição e de subtração que constam no livro de
Matemática adotado pela escola, também constata-se que o maior número foi da categoria
transformação e que, quanto ao grau de complexidade, o maior número foi do tipo protótipo.
3.5 REFLEXÕES SOBRE OS RESULTADOS DOS TRÊS INSTRUMENTOS DO
ESTUDO 1
Os resultados da análise do instrumento aplicado às professoras revelaram indícios que
sinalizam para o tipo de problema que as professoras costumam trabalhar, ou seja, é possível
que os problemas elaborados sejam do mesmo tipo dos problemas comumente trabalhados por
elas em sala de aula. Esta conjetura está amparada na relação entre os dados de análise do
instrumento dos alunos e das professoras. Se a hipótese de que os problemas mais elaborados
pelas professoras são os mais trabalhados em aula for verdadeira, as professoras estão
enfatizando situações-problema com pequeno grau de complexidade, ao invés de ensinarem,
principalmente, os problemas de 1ª à 4ª extensão, que exigem raciocínios mais sofisticados
(MAGINA, CAMPOS et al., 2008).
O mesmo se deu quando se analisou os problemas de adição e de subtração presentes
no livro de Matemática adotado pela escola, ou seja, também neles há uma ênfase nas
situações de menor complexidade – protótipo – e um maior número de problemas foi
classificado na categoria transformação. Esses dados mostram que é possível que essas
situações sejam as mais trabalhadas em sala de aula.
Essa possibilidade pode ter favorecido para que o desempenho dos estudantes tivesse
estreita relação com as duas situações destacadas por Vergnaud (1996a): as situações em que
o sujeito dispõe das competências necessárias para resolver a situação dada, que neste estudo
são as de transformação, pois as evidências sugerem que são as mais trabalhadas pelas
139
professoras; e as situações em que o sujeito não dispõe de todas as competências necessárias
para resolver a situação dada, no caso deste estudo são as da categoria comparação, porque
são as menos trabalhadas pelas professoras.
Nos resultados quantitativos do instrumento dos estudantes, foi possível perceber
semelhança com resultados de outros trabalhos. Estudos anteriores feitos com crianças dos
anos iniciais do Ensino Fundamental, como os de Magina, Campos et al. (2008), Santana
(2010), Campos, Magina et al. (2007), Magina, Santana et al. (2010) e Guimarães (2005),
comentam sobre dificuldades relacionadas à resolução de problemas aditivos, que também
foram evidenciadas pelos estudantes, sujeitos desta pesquisa, na resolução do instrumento
deste estudo. Dentre elas, destaco a identificação da quantidade desconhecida nas situações de
composição, quando conhecemos uma parte e o todo; nas situações de transformação positiva,
com raciocínio contraintuitivo, e nas situações de comparação, especialmente nas em que
conhecemos o referido e a relação e queremos encontrar o referente.
Também, neste estudo e no dos pesquisadores citados, os resultados mostram uma
relação inversa entre o número de acertos dos estudantes e o grau de complexidade da
situação-problema, o que significa que, quanto maior a complexidade do problema, menor a
frequência de acertos.
Da mesma forma que nos estudos similares, foi possível perceber que a ausência de
uma congruência semântica entre a palavra-chave e a operação a ser realizada dificulta a
escolha da operação correta. Os estudantes acertam mais os problemas nos quais fica fácil
identificar a operação a partir da palavra-chave presente no enunciado, o que pode ser um
indicativo de que eles fazem a escolha da operação para a resolução pelo significado da
palavra-chave e não pela compreensão da situação-problema.
Vale salientar que, nos estudos similares, os estudantes apresentaram maior taxa de
acertos na categoria composição e na categoria transformação, o maior número de acertos foi
nas transformações positivas. Entretanto, os resultados do Estudo 1 desta pesquisa mostram
que os estudantes deste estudo obtiveram maior taxa de acertos na categoria transformação,
com destaque nas transformações negativas.
No que se refere às estratégias utilizadas pelos estudantes na resolução dos problemas,
também foi possível encontrar semelhança com os estudos de pesquisadores como Santana
(2010) e Magina, Santana et al. (2010). A estratégia correta mais utilizada foi a realização
correta do cálculo numérico e a estratégia incorreta mais frequente foi a realização da
operação contrária ou inversa.
140
Concluo este capítulo ressaltando a relevância dos resultados das análises realizadas
nos três instrumento do Estudo 1, no que se refere ao conhecimento do Campo Conceitual
Aditivo, pelo contexto investigado. Os dados revelaram uma relação entre o desempenho dos
estudantes na resolução de problemas de adição e de subtração, os problemas aditivos
elaborados pelas professoras e os presentes no livro de Matemática adotado pela escola, ao
tempo em que provocaram reflexões sobre o ensino e a aprendizagem desse Campo
Conceitual.
141
CAPÍTULO 4
EXPERIÊNCIA DE ENSINO NO GRUPO DE DISCUSSÃO
Neste capítulo, descrevo a experiência de ensino com as professoras, por ser ela o foco
central deste estudo, que tem como objetivo identificar e compreender contribuições de um
estudo do Campo Conceitual Aditivo, baseado na Teoria dos Campos Conceituais e na
reflexão sobre a ação docente frente à resolução de problemas aditivos, junto a professoras
dos anos iniciais do Ensino Fundamental, por meio de grupos de discussão.
Assim, começo me referindo aos princípios gerais que embasaram a experiência de
ensino junto às professoras, ressalto os aspectos teóricos relacionados à importância da
postura reflexiva frente às evidências de desempenhos de seus estudantes, que poderão
promover mudança em suas práticas de sala de aula quanto à resolução de problemas das
estruturas aditivas. Em seguida, descrevo e comento o estudo desenvolvido em cada um dos
encontros.
4.1 PRINCÍPIOS GERAIS
A ideia de que o aprendizado e, consequentemente, o desenvolvimento profissional do
professor acontece a partir da sua participação em cursos que não levam em consideração a
sua experiência profissional e o contexto educacional no qual atuam, vem sendo questionada
por investigações que valorizam a ação docente do educador, suas concepções e a prática que
realiza em sala de aula.
Na prática da sala de aula, docentes se deparam com uma variedade de dificuldades,
muitas de grande complexidade. Por isso, cada vez mais esses profissionais buscam conhecer
melhor esses problemas a fim de encontrar uma solução para os mesmos. Essa busca, além de
possibilitar o esclarecimento e a resolução do problema, “contribui, também, para o
desenvolvimento profissional dos participantes e para o aperfeiçoamento das organizações em
que eles se inserem.” (PONTE e SERRAZINA, 2003, p.12).
Vergnaud (1996a) considera que esse movimento de voltar-se para olhar mais
detalhadamente o que acontece na sala de aula possibilita que as professoras se interessem
mais pelo conteúdo que ensinam. Esse interesse pode proporcionar que haja um maior
aprofundamento do conteúdo a ensinar.
142
Quando essa ação acontece em parceria com seus pares, na interação de um grupo de
discussão,
[...] criam-se sinergias que possibilitam uma capacidade de reflexão acrescida e um
aumento das possibilidades de aprendizagem mútua, permitindo, assim, ir muito
mais longe e criando melhores condições para enfrentar, com êxito, as incertezas e
obstáculos que surgem. (BOAVIDA e PONTE, 2002, p.2-3)
Assim, a reflexão sobre como está acontecendo o ensino da resolução de problemas de
adição e de subtração em suas salas de aula faz parte das discussões no grupo. Comentar com
as colegas a experiência de ensino vivenciada e as dificuldades e os sucessos obtidos ao
ensinar, além de possibilitar um repensar da prática realizada, oportunizam a superação de
incertezas e a construção de aprendizados.
O percurso de aprendizagem das professoras durante a experiência de ensino sobre a
resolução de problemas de adição e de subtração levou em conta três aspectos que considero
importantes no processo de superação das dificuldades matemáticas enfrentadas por alunos
dos anos iniciais do Ensino Fundamental: (i) a ação do professor determina, em grande
medida, os resultados dos processos de ensino e de aprendizagem (PONTE, 2009); (ii) o
conhecimento aprofundado do conteúdo a ensinar permite ao professor compreender melhor
as dificuldades apresentadas por seus alunos (VERGNAUD, 2009) e (iii) todo ensino deve
basear-se em evidências (NUNES, CAMPOS et al., 2002).
A ideia da influência da ação do professor nos resultados dos processos de ensino e de
aprendizagem e da relação entre o conhecimento do conteúdo a ensinar e a compreensão das
dificuldades de seus alunos estão presentes nos estudos de Bromme (1994), citado por
Serrazina (1999), ao afirmar que há uma relação muito estreita entre o conhecimento do
professor e o seu ensino, e que este afeta o que ele faz na sala de aula e o que os alunos
aprendem.
Assim, considerei pertinente optar por uma experiência de ensino que tem subjacente
uma perspectiva baseada na ação-reflexão-ação defendida por Schön (1983), e que valoriza a
experiência advinda da ação docente praticada na sala de aula.
Levando em conta esses aspectos, a experiência de ensino voltada para o estudo do
Campo Conceitual Aditivo permitiu discutir de modo crítico e reflexivo as relações
percebidas entre o desempenho dos alunos nos problemas de adição e de subtração do
instrumento aplicado, os problemas elaborados pelas professoras e os apresentados no livro de
Matemática adotado pela escola. Também, oportunizou a reflexão sobre as estratégias
utilizadas pelos estudantes na resolução dos problemas aditivos.
143
4.2 ENCONTROS COM O GRUPO DE PROFESSORAS
Nesta parte, descrevo o trabalho realizado com o grupo de professoras nos oito
encontros, durante o ano de 2012. Em cada encontro, identifico o tema em estudo naquele dia,
as professoras presentes e ressalto algumas discussões coletivas. Esta descrição faz parte do
processo de pesquisa e auxilia na compreensão das contribuições do trabalho desenvolvido.
1º Encontro
O primeiro encontro com as professoras no grupo de discussão aconteceu no dia 7 de
março de 2012, às 13h30min, em uma sala de aula do Campus Prof. Alberto Carvalho – UFS.
Nele, o tema de discussão foram as situações de composição do tipo protótipo. Participaram
dele seis professoras: P. Rosa e P. Verde do 2º ano, P. Azul e P. Vermelho do 3º ano, P.
Branco do 4º ano, P. Violeta do 5º ano, uma graduanda e um graduado do curso de
Matemática – Licenciatura.
No primeiro momento, dei as boas-vindas e enfatizei a importância da participação
delas neste estudo. Depois, entreguei a ficha para que preenchessem com os dados
profissionais, e conversamos sobre a data dos próximos encontros. A partir da minha
disponibilidade e da delas, organizamos o cronograma com as datas dos oito encontros.
Ao concluirmos essa etapa, realizei uma exposição oral com slides para retomar os
objetivos do projeto e apresentar alguns princípios e concepções que embasam a Teoria dos
Campos Conceituais. Para tanto, busquei subsídio nos estudos de Vergnaud (1996a, 2009),
Magina, Campos et al. (2008) e Nunes, Campos et al. (2002). Durante a exposição, fui
ilustrando o assunto com exemplos das resoluções dos estudantes nos problemas do
instrumento do Estudo 1, ou seja, da etapa diagnóstico. Essa apresentação inicial teve como
propósito fornecer informações teóricas importantes para que as professoras pudessem
entender melhor como os alunos aprendem conceitos matemáticos relacionados à resolução de
problemas de adição e de subtração.
Durante as explicações, as professoras quase não fizeram questionamentos. A partir do
pouco envolvimento oral evidenciado, foi possível perceber que algumas não estavam muito
atentas. O interesse delas aumentou no momento em que comecei a discussão sobre os dados
coletados na etapa diagnóstico (Estudo 1) referentes ao desempenho dos alunos na categoria
composição – protótipo e na classificação dos problemas elaborados por elas, e aumentou
ainda mais quando se fez uma discussão sobre os dados da tabela, na qual apresentei as
144
estratégias de resolução dos alunos. Entretanto, não evidenciaram muito interesse na
classificação dos problemas do livro adotado pela escola, e me justificaram dizendo que o
livro não é muito usado com a turma porque não tem um número suficiente para todos os
alunos.
A variação da intensidade da atenção e envolvimento das professoras nos diferentes
momentos do primeiro encontro revelou um maior interesse pelos momentos de discussão nos
quais era possível elas relatarem e questionarem a prática realizada em sala de aula. Essa
postura reflexiva sobre a própria prática oportuniza a compreensão do ensino que realizam
(ZEICHNER, 2008). Contudo, essa capacidade de refletir sobre a prática que desenvolvem na
sala de aula pode aprofundar-se na medida em que essas docentes tiverem mais conhecimento
(SERRAZINA, 1999), no caso deste estudo, da teoria que aborda o ensino da resolução de
problemas de adição e de subtração.
Durante a discussão dos dados relativos à classificação dos problemas que elas
elaboraram, a professora do 5º ano foi logo dizendo que ela havia criado problemas de
multiplicação, pois trabalha muito com problemas desse tipo. Destaquei que algumas
professoras elaboraram problemas envolvendo dobro e triplo e que esses problemas não foram
categorizados como do campo aditivo, pois a situação apresentada neles está relacionada ao
campo multiplicativo.
Dos problemas elaborados pelas professoras e classificados como protótipos da categoria
de composição, coloquei no slide os cinco abaixo, para serem comentados por elas.
•
Na sala de aula, há 19 meninos e 9 meninas. Quantos alunos têm na sala?
•
Mamãe comprou 32 laranjas, 17 abacates e 22 maçãs. Quantas frutas mamãe comprou
ao todo?
•
O pai de José tem 53 anos, a mãe, tem 45. Qual é a soma da idade dos dois juntos?
•
Em um colégio, estudam 1230 alunos no período da manhã e 980, à tarde. Quantos
alunos estudam no colégio?
•
José tem 8 anos; Maria, sua irmã, 11 e seu primo Antônio tem 9. Quantos anos têm os
três juntos?
A maior discussão ficou em torno do quarto problema. As professoras consideraram que
desses cinco problemas ele é o mais difícil, pois apresenta números mais altos e, também,
porque na opinião delas, é mais difícil “armar a conta”. A professora, que lecionou uma turma
de 2º ano em 2012, chegou a afirmar que os alunos dela, que passaram para o 3º ano
resolveriam o cálculo, se a conta estivesse armada.
145
P. Azul disse: Nesse momento, agora, eu acho que eles teriam dificuldade nessa conta
(a conta é 1230 + 980).
Pesquisadora: A dificuldade seria armar a conta ou realizar a soma?
P. Rosa: A dificuldade seria armar a conta.
P. Azul: Isso, para armar a conta.
Como elas estavam enfatizando somente a questão de armar a conta, resolvi
questionar: Eles não teriam dificuldade em somar o 8 com o 3 ou o 9 com o 2? É importante
vocês começarem a perceber onde está a dificuldade dos alunos.
P. Rosa: Na soma eles sabem sim. Alguns alunos dela foram meus no ano passado, e
eu não sei se eles conseguiriam armar a conta, mas somar, sim.
Pesquisadora: Estou percebendo que a P. Rosa está colocando que as crianças
dominam o processo de soma.
P. Rosa: É, dominam.
P. Azul: Sim, se der armado eles resolvem.
Pesquisadora: Só que eles têm dificuldade em armar a conta por causa da quantidade
de algarismos no número (números com 3 ou 4 algarismos).
P. Rosa: No ano passado eu dava as contas armadas.
Com a intenção de envolver as outras professoras fiz o seguinte questionamento: A P.
Rosa está colocando que as crianças dominam a questão da soma, mas eles teriam dificuldade
em armar a conta, o que vocês acham?
Para a P. Branco, do 4º ano, a dificuldade na resolução do cálculo está na quantidade
representada, ou seja, somar números que envolvam unidades e dezenas é mais difícil do que
somar números que envolvam apenas unidades. Ela deu o seguinte exemplo:
P. Branco: A soma 21 + 7 é mais difícil para o aluno do que a soma 7 + 9.
A fala das professoras evidencia que para seus alunos a troca de unidades por dezenas
não é tão difícil quanto somar números com mais de um algarismo. Também, na discussão, as
professoras continuaram enfatizando a dificuldade dos alunos em armarem o cálculo.
Vergnaud (2009) considera que o problema está na relação entre a regra da adição e as
operações que ela representa sobre os objetos e os conjuntos. O autor sugere o trabalho com
bases diversas, sobretudo com as pequenas (base três, base quatro), para fazer compreender o
paralelismo entre os objetos e o algarismo das unidades e, assim, sucessivamente.
Na sequência, foi solicitado que elas se organizassem por ano escolar para elaborarem
dois problemas do tipo composição - protótipo. Entreguei uma folha de papel A4 com espaços
definidos para elas fazerem o registro dos problemas elaborados (Relatório de Atividade).
146
Antes de começarem a elaboração, foram retomadas as explicações sobre a TCC apresentadas
no início do encontro.
Durante a elaboração dos problemas, surgiram alguns comentários sobre a aplicação
contínua dos problemas para que eles pudessem superar as dificuldades apresentadas.
Destaquei que elas também iriam analisar o tipo de erro que os alunos estavam cometendo,
para poderem planejar os próximos problemas de forma a ajudá-los a superarem esses erros.
A P. Rosa relatou que já estava com essa preocupação e exemplificou:
P. Rosa: Neste caso aqui (referindo-se à segunda situação elaborada pela dupla do 2º
ano, no qual o aluno teria que somar 12 + 5) eu coloquei um grau de dificuldade pra eles, pra
saber a unidade onde ele encaixaria aqui (referindo-se ao fato de verificar se o aluno
conseguirá armar a conta colocando o 5 embaixo do 2).
Ainda durante a elaboração, surgiram comentários sobre a data de aplicação dos
problemas que estavam elaborando, já levando em conta que isso deveria acontecer antes do
segundo encontro do grupo. Algumas argumentaram que tinham muito pouco tempo até a
realização da primeira avaliação e que não tinham tempo para trabalhar a resolução de
problemas, pois tinham que trabalhar outros conteúdos. Então, fiz o seguinte questionamento:
Se temos como conteúdo do mês, trabalhar as operações, o que vocês acham de nós
trabalharmos as operações na resolução de problemas?
P. Rosa: É
P. Vermelho: Como falta ainda conteúdos a dar, podemos envolver problemas.
P. Rosa: De continha assim, professora, eu dei como se fosse aquelas expressõezinhas
(referindo-se a expressão matemática que indica a operação). Até agora só fiz aquilo. Pra
adiantar em adição e subtração, eu estava pretendendo aplicar isso aqui neles (referindo-se
aos problemas que estava elaborando).
Pesquisadora: Mas tu vais começar pelos problemas da testagem?
P. Rosa: Não, eu vou resolver vários probleminhas com eles e depois vou testar.
P. Vermelho: O que me preocupa mais é a parte da leitura. Eu me preocupo demais.
Eu me preocupo muito porque eles não sabem ler. Eles não sabem ler, como vão interpretar
os problemas?
Comentei sobre a contribuição da resolução de problemas no processo de aquisição da
aptidão leitora. Enfatizei o fato de que os problemas são histórias matemáticas e a resolução
dos mesmos contribui para que os alunos desenvolvam habilidades de leitura, compreensão e
interpretação de textos.
147
Depois dessa conversa, passamos para o último momento do encontro, no qual as
professoras apresentaram para o grupo maior os problemas elaborados e comentaram como
pensaram fazer a aplicação dos mesmos. A professora do 4º ano, P. Branco, e as do 2º ano, P.
Rosa e P. Verde tiveram facilidade para elaborar os problemas. A professora do 5º ano foi
quem teve maior dificuldade para elaborar os problemas. A dificuldade foi tanta que ela
precisou da ajuda do grupo para realizar essa tarefa. Os problemas elaborados foram os
seguintes:
Quadro 4.2.1 - Problemas elaborados pelas professoras no primeiro encontro
2º ANO
3º ANO
4º ANO
5º ANO
Situação 1 - Na sala de aula, há 6 meninas e 4 meninos. Quantos alunos tem ao todo
na sala de aula?
Situação 2 - No birô, têm 12 lápis pretos e 5 lápis verdes. Quantos lápis tem ao todo
no birô?
Situação 1 - No 3º ano “A”, há 30 alunos; já no 3º ano “B”, há 29 alunos. Quantos
alunos tem ao todo no 3º ano?
Situação 2 - Papai colheu 31 sacas de tomate, 23 sacas de cenoura e 42 sacas de
batatas. Qual a quantidade de verduras legumes colhidas por papai?
Situação 1 - Marize tem 12 lápis de cor, ganhou mais 6. Com quantos lápis ficou?
(Problema da categoria Transformação)
Situação 2 - Numa turma de 4º ano, há 13 meninos e 17 meninas. Quantos alunos
existem na turma?
Situação 1 - Maria foi à feira e comprou 37 laranjas, 24 bananas, 35 abacaxis e 15
maçãs. Quantas frutas ela comprou ao todo?
Situação 2 - Num colégio, no turno matutino, há 1263 alunos; no vespertino, 682.
Quantos alunos estudam nessa escola?
Considero que este primeiro encontro foi produtivo. As professoras participaram com
interesse das discussões, e fizeram questão de relatar situações de ensino e de aprendizagem
que vivenciavam em suas salas de aula. O assunto que teve maior destaque, neste encontro,
foi a dificuldade evidenciada pelos estudantes em armar a conta. Percebi que as professoras
do 2º ano se sentiram responsáveis porque não ensinam esse procedimento aos alunos ao
preferirem dar as contas armadas para eles resolverem. Um aspecto que merece ser citado é o
fato de algumas professoras não demonstrarem muito interesse no momento da explicação da
teoria, o que refletiu no momento da elaboração dos problemas, pois foi necessário retomar as
explicações.
2º Encontro
O segundo encontro com as professoras aconteceu no dia 04 de abril de 2012, às
13h30min, no mesmo local do primeiro encontro, e teve como tema de discussão as situações
de composição do tipo 1ª extensão. Compareceram quatro professoras: do 2º ano a P. Verde;
148
do 1º ano a P. Amarelo; do 4º ano a P. Branco, do 5º ano a P. Violeta e uma graduanda. Duas
professoras chegaram próximo das 14 horas.
No início, devido à dificuldade apresentada pelas crianças em armar a conta, eu levei o
material Quadro Valor-Lugar (CAVALU - Figura 5.1), e provoquei uma pequena discussão
sobre o uso dele nas aulas. Partimos dos erros cometidos pelos alunos, e fomos conversando
sobre como utilizar esse recurso para ajudá-los a armar corretamente a conta. Presenteei-as
com todo o material necessário para trabalhar com o Quadro Valor-Lugar (o CAVALU do
tamanho de uma cartolina, um saco com algarismos e tabelas para os alunos registrarem os
números formados). Apesar de Vergnaud não ter citado este material, o uso dele vai ao
encontro das orientações do autor quando ele se refere às regras da adição, ao explicar sobre a
representação do cardinal da união como sendo o resultado das representações dos cardinais
dos conjuntos presentes na situação. Para Vergnaud (2009), os agrupamentos de dez em dez
são colocados em paralelo com o código da numeração de posição (coluna das unidades,
coluna das dezenas, coluna das centenas, etc.) e pela regra da adição juntam-se unidades a
unidades, dezenas a dezenas, etc.
Sugeri que as resoluções dos problemas fossem realizadas com o auxílio desse
material, que as crianças armassem a conta nele e que, enquanto as crianças estivessem
colocando os algarismos no quadro, as professoras fossem questionando sobre essa colocação.
Por exemplo, para resolver o problema: No parque, brincam 9 meninas e 6 meninos. Quantas
crianças brincam no parque?, sugeri solicitarem que um aluno representasse no CAVALU a
soma 9 + 6.
Figura 4.2.1 – Quadro Valor-Lugar (CAVALU) construído pela pesquisadora
Também, destaquei a importância delas deixarem o aluno elaborar as suas hipóteses,
dessa forma não seriam elas que fariam a soma no material, elas pediriam para um aluno fazer
149
e acompanhariam o que estava sendo feito, fazendo questionamentos. Por exemplo, quando a
criança colocasse o 9 no CAVALU, elas deveriam discutir com a turma a partir do que o
aluno fez, isto é, se ele colocasse o 9 na coluna das dezenas poderia ser questionado: Quanto
tem na coluna das unidades? Se não tem nada, então, podemos colocar o zero? Qual número
foi representado? 90 é igual a 9? Mesmo os alunos do 1º ano, que tem 6 anos, precisam já ir
percebendo essa diferença, que decorre do nosso sistema de numeração ser posicional.
A P. Verde questionou: Se o aluno colocar o 6 em cima do 9?
Pesquisadora: Vai fazer diferença somar 6 + 9 ou 9 + 6?
P. Verde: Mesmo eles olhando eles sabem que o 9 é maior do que o 6, mas colocam o
6 em cima.
As professoras concordaram que não faria diferença somar 6 + 9 ou 9 + 6, mas
nenhuma das delas se referiu à comutatividade da operação adição.
Na sequência, reafirmei a importância do uso de recursos materiais no ensino de
Matemática. Nesse momento, houve alguns comentários sobre a construção de recursos
materiais, e algumas professoras disseram que não gostam de utilizar materiais.
P. Verde: Eu não gosto, eu corrijo no quadro, gosto de ensinar no quadro.
As professoras relataram que estão habituadas a ensinar no quadro, utilizando somente
o giz, e argumentaram que os estudantes aprendem mais rápido quando elas explicam no
quadro. Diferentemente delas, Vergnaud (2009) considera que, no plano pedagógico, é
produtiva a realização de exercícios que envolvem a passagem de um material a outro, ou a
passagem de uma representação à outra, diz ele: “Passar de um material ao número escrito
correspondente e, reciprocamente, passar do desenho de um conjunto a um material [...] é um
meio seguro de fazer as crianças compreenderem, sem dificuldade, o sistema de numeração.”
(VERGNAUD, 2009, p. 174). E, complementa explicando que essa afirmação também é
válida para a adição, cuja explicação pode ser feita por exercícios com diferentes materiais,
tais como: objetos, pacotes, pacotes de pacotes, etc.; objetos amarrados com barbantes para
formar agrupamentos de primeira ordem, segunda ordem, etc.
Como durante a conversa sobre o uso de materiais foi falado sobre a resolução com
cálculo mental, e resolvi questionar: Por que eu sei que 9 + 6 dá 15? Como vocês organizam
o pensamento para chegar nesse resultado?
(Silêncio)
Pesquisadora: Como vocês pensam para somar 9 + 6?
P. Azul: Cálculo mental
Pesquisadora: Como fazem o cálculo mental?
150
(Silêncio)
Pesquisadora: Vocês fazem tão automaticamente que nem pensam como fazem.
P. Verde: Êta, os meninos iam somar nos dedos.
Pesquisadora: E vocês, como fazem?
P. Branco: Geralmente eu coloco o maior em cima.
P. Amarelo: Eu digo assim: coloquem o 9 na mente e lembrem-se que vocês tem 9,
agora juntem o 6.
Essa conversa foi importante porque trouxe para a discussão diferentes esquemas de
resolução que revelaram algumas condutas (contar nos dedos, partir do primeiro valor, neste
caso, do número 9) que são orientadas por elas no ensino da resolução dos problemas
aditivos. Também, revelou que algumas professoras utilizam “condutas em grande medida
automatizadas, organizadas através de um esquema único” (VERGNAUD, 1996a, p. 156),
evidenciando que aprenderam a partir de regras e ainda hoje repetem essas regras, sem
refletirem sobre o processo que está envolvido na resolução.
Em seguida, solicitei que relatassem para o grupo como tinha ocorrido a aplicação dos
problemas e quais os resultados de desempenho dos alunos na resolução dos mesmos. Do
grupo de professoras que compareceu no primeiro encontro, apenas três haviam aplicado os
problemas aos estudantes: P. Rosa, P. Verde e P. Azul. Duas delas, P. Violeta e P. Branco
justificaram a não aplicação por terem feito paralisação e, também, porque nesse período
aplicaram as avaliações da primeira unidade. Embora P. Rosa e P. Azul tenham aplicado os
problemas aos alunos, elas não compareceram neste encontro, por isso somente a P. Verde
tinha os resultados de desempenho dos alunos para comentar com as colegas.
A P. Verde solicitou que eu expusesse o slide que estava com os problemas elaborados
no encontro passado. Fiz isso e chamei a atenção para a elaboração dos mesmos, destacando
que devem estar bem claros, inclusive no momento da pergunta. E que mesmo tendo sido feita
a leitura oral dos problemas, não foi percebido que um deles era da categoria transformação.
P. Verde explicou que os problemas que elaborou junto com a colega no primeiro
encontro foram aplicados antes, não na forma de teste e, por isso, ela e a colega elaboraram
outros para trabalhar em aula e aplicar como testagem. Ela relatou que ao todo trabalhou com
dez (10) problemas de composição protótipo.
Na discussão dos resultados, surgiu novamente a questão relacionada a armar a conta.
P. Verde disse que alguns alunos, ao somarem 12 + 6, colocaram o 6 embaixo do 1, na casa
das dezenas, e mesmo assim conseguiram o resultado 18. Na opinião dela, isso indica que o
aluno fez cálculo mental para resolver o problema, mas que ainda não sabe armar o cálculo.
151
Depois, a P. Verde apresentou a situação de uma menina, que havia sido aluna de P.
Amarelo no ano anterior e que, na opinião de P. Amarelo, tem facilidade de aprendizagem.
Diz ela: Propus dois problemas e nos dois a resolução envolve três parcelas, cada uma só
com unidades, a menina acertou um e errou o outro.
Lemos os problemas para o grupo. No primeiro problema, dizia o seguinte: Eu tenho 5
lápis, 2 canetas e 5 borrachas. Quantos materiais escolares eu tenho? No outro dizia: Eu
tenho 5 lápis, 2 canetas e 2 borrachas. Quantos materiais escolares eu tenho?
As resoluções da menina foram as seguintes:
No primeiro problema, ela realizou a operação: 5 2
+5
No segundo, a operação:
5
2
+2
P. Amarelo: Ela foi minha aluna no ano passado. É uma excelente aluna.
Pesquisadora: O que vocês acham que aconteceu? Por que a mesma criança resolveu
corretamente a segunda situação e não resolveu corretamente a primeira?
P. Amarelo: Em minha opinião, como eu conheço a menina, eu acredito que foi falta
de atenção no momento de armar a conta.
P. Branco: Ela acertou a segunda porque não fez associação com a primeira.
Comentamos sobre o fato da representação numérica do esquema de resolução nem
sempre ser suficiente para revelar o entendimento da produção matemática do estudante
(MUNIZ, 2009). No caso descrito acima, se faz necessário conversar com a estudante para se
compreender porque ela acertou uma representação do algoritmo e errou a outra, sendo que os
esquemas de resolução são semelhantes, ou seja, duas adições que possuem o mesmo número
de parcelas.
Depois dessa discussão sobre o desempenho dos estudantes da P. Verde, realizei a
apresentação dos slides sobre a Teoria dos Campos Conceituais. Embora neste encontro, o
tema fosse os problemas da categoria composição - 1ª extensão, devido à dificuldade
apresentada pelas professoras no momento de elaboração das situações-problema no encontro
anterior, iniciei o estudo retomando os fundamentos da TCC e reexpliquei as situações
prototípicas de composição. Assim como no encontro anterior, as explicações sempre
partiram da análise realizada nos instrumentos do Estudo 1.
Ressaltei que elas não haviam elaborado nenhum problema desse tipo, e que no livro
de Matemática foram classificados somente dois problemas do tipo composição – 1ª extensão.
Após, solicitei que observassem as estratégias corretas e incorretas dos alunos. Ao olhar para
152
os percentuais dos erros, a P. Violeta comentou: o problema é que trabalhamos muito pouco
com resolução de problemas.
Pesquisadora: Todos concordam com a fala da P. Violeta, de que vocês trabalham
pouco a resolução de problemas?
P. Azul: Eu trabalho pouco, quero ver se este ano trabalho mais.
P. Amarelo: Até eu, este ano eu vejo assim, é importante trabalhar mais problemas.
Assim quando chega no 2º ano o aluno já está com o pensamento mais formado.
Essa discussão revela observações importantes relacionadas ao número de problemas
que elas costumam trabalhar com seus alunos. As professoras já começaram a perceber que
alguns erros dos estudantes ocorrem devido à falta de trabalho com situações-problema.
Na sequência, fiz orientações para a elaboração de dois problemas do tipo composição
– 1ª extensão. Nesse dia, como esteve presente uma professora de cada ano escolar, as
docentes acabaram produzindo os problemas coletivamente, trocando ideias com as colegas
dos outros anos escolares, e registrando no Relatório de Atividade. Novamente, antes da
elaboração, foram retomados os conceitos abordados sobre a categoria composição.
Dessa vez, as professoras tiveram mais dificuldade ao elaborar os dois problemas para
aplicarem a seus alunos. Acabavam elaborando problema de transformação negativa pois,
para elas, o que importava é que a conta fosse de subtração. Tive que exemplificar com
situações-problema e retomar várias vezes os conceitos envolvidos nas situações de
composição – 1ª extensão e, mesmo assim, algumas só conseguiram elaborar porque tiveram a
ajuda das colegas.
As professoras demonstraram insegurança no início da elaboração, e pediram para ler
cada problema elaborado. As professoras do 2º e a do 4º ano leram o primeiro problema que
elaboraram:
P. Verde: Um livro tem 58 páginas, foram lidas 13 páginas. Quantas páginas faltam
para serem lidas?
P. Branco: João tinha, na sua mercearia, 680 laranjas. Vendeu 350 laranjas. Quantas
ainda têm para serem vendidas?
Pesquisadora: O nosso propósito hoje é o de elaborar situações que envolvam duas
partes e o todo. Por isso questionei: nessas situações onde estão as duas partes que irão
formar o todo?
A minha pergunta possibilitou que a professora do 4º ano percebesse o que deveria ser
diferente na situação e, ela disse: Se eu mudar de laranjas para frutas e depois, cito dois tipos
de frutas, acho que vai dar...
153
Com o intuito de ajudar as colegas, a professora do 1º ano pediu para ler o problema
que elaborou.
P. Amarelo: No estojo de Luan, tem 10 materiais que são lápis e borracha. Seis são
lápis, quantas são borrachas?
Comentei a situação elaborada por ela. Observem que na situação lida por P.
Amarelo, conhecemos o todo e uma das partes, e queremos saber a outra parte. Os 10
materiais representam o todo, a parte conhecida são os seis lápis e a parte que queremos
saber é a quantidade de borrachas.
Para que se pensasse sobre o que estava acontecendo, solicitei que se lembrassem dos
dados coletados no Estudo 1, e questionei: qual foi a categoria em que as crianças de vocês se
saíram melhor?
P. Branco: Transformação.
Pesquisadora: E qual foi a categoria de problemas mais elaborada por vocês?
P. Branco: Transformação.
Pesquisadora: Vocês conseguem perceber que a tendência de vocês é elaborar
situações de transformação?
P. Branco: É, eu trabalho mais desse tipo, transformação.
Após essa discussão, as professoras que haviam elaborado situações de transformação
refizeram os problemas, que são os seguintes:
Quadro 4.2.2 - Problemas elaborados pelas professoras no segundo encontro
1º ANO
2º ANO
4º ANO
5º ANO
Situação 1 – Eduarda tem 8 doces, sendo balas e bombons. 5 são balas. Quantos são
os bombons?
Situação 2 – No estojo de Luan, tem 10 materiais que são lápis e borrachas. 6 são
lápis. Quantas são as borrachas?
Situação 1 – Sobre a mesa da professora, tem 8 folhas azuis e brancas. 5 folhas são
azuis. Quantas são as folhas brancas?
Situação 2 – Numa sala de aula, tem 38 alunos. Se 14 são meninas, quantos são os
meninos?
Situação 1 – João tinha, na sua mercearia, 680 laranjas e maçãs. 350 são laranjas,
quantas são as maçãs?
Situação 2 – Em uma festa infantil havia 2987 salgados e doces. 1599 eram salgados,
quantos são os doces?
Situação 1 – Em uma escola, há 1240 alunos, sendo 597 do sexo masculino. Quantos
alunos são do sexo feminino?
Situação 2 – No ano de 2011, numa escola municipal com 2640 alunos, 1898 foram
aprovados. Quantos reprovaram?
É possível perceber que os problemas elaborados são muito semelhantes, isso se deve
ao fato de que, por não terem o hábito de elaborar problemas desse tipo, tiveram que usar
como modelo o problema P8 do instrumento do Estudo 1.
154
No final do encontro, entreguei para cada professora uma cópia do artigo “Discutindo
a avaliação frente ao erro” da autora Carmen Avani Eckhardt (Educação Matemática em
Revista – RS, da SBEM do RS, nº 1, janeiro/junho de 1999 – Ano I). Solicitei que fizessem
uma leitura em casa para conversarmos sobre ele no encontro seguinte. Apesar de não ser um
texto de Vergnaud, sugeri a leitura deste texto para que percebessem como um conhecimento
mais detalhado das dificuldades enfrentadas pelos alunos pode influenciar as escolhas
pedagógicas feitas pelo professor.
Neste segundo encontro, ocorreram discussões menos efusivas, talvez até pelo
reduzido número de participantes. No momento da explicação da teoria, as professoras
evidenciaram um pouco mais de interesse. Acredito que isso aconteceu porque foram
retomadas as explicações do encontro anterior, e essa reexplicação possibilitou outro contato
com ideias que, para elas, eram novas. Além da dificuldade evidenciada por elas na
elaboração das situações-problema, merece destaque a reflexão inicial realizada a partir dos
resultados do desempenho dos estudantes da P. Verde, nos problemas que elaborou e aplicou
em suas aulas de Matemática.
3º Encontro
O terceiro encontro com as professoras aconteceu no dia 23 de maio de 2012, às
13h30min, no mesmo local dos dois primeiros encontros, e teve como tema de discussão as
situações de composição do tipo protótipo e 1ª extensão. Desta vez, compareceram sete
professoras: P. Amarelo, P. Verde, P. Azul e P. Vermelho, P. Lilás e P. Branco, P. Violeta, e
dois graduandos do curso de Matemática – Licenciatura. Novamente algumas professoras
chegaram depois das 14h.
Enquanto esperava que chegassem, ainda com o intuito de oferecer possibilidades que
contribuíssem na superação das dificuldades evidenciadas pelos estudantes, apresentei e
disponibilizei para uso o “Material Base Dez ou Material Dourado”, que serve para trabalhar,
dentre outras coisas, com a composição e a decomposição de quantidades, e com as quatro
operações. Distribui entre elas o material, e propus algumas atividades para que
compreendessem como utilizá-lo em suas aulas. Desta vez, não doei a elas o material, pois o
mesmo encontra-se disponível na secretaria da escola. As professoras já conheciam o
material.
Com esse material, o aluno pode representar as quantidades e realizar as operações por
meio das trocas entre unidades, dezenas e centenas. Esse material contribui, pois oportuniza o
155
reagrupamento das unidades em grupos de dez, das dezenas (dez unidades) em grupos de dez
(centena), etc., uma ação que propicia a aprendizagem do sistema de numeração decimal
(VERGNAUD, 2009).
Após discutirmos sobre a possibilidade de uso do material, comecei a desenvolver a
proposta planejada para este encontro. Ao realizar o planejamento do terceiro encontro, levei
em consideração que: i) as professoras estavam devolvendo os Relatórios de Atividade
Desenvolvida sem registrar as estratégias corretas de resolução utilizadas por seus alunos, o
que pode ser um indicativo de que todos os alunos que acertaram utilizaram a mesma
estratégia de resolução, que suponho seja a conta armada, ou que as professoras não
entenderam essa etapa do relatório; ii) ao realizar a análise do instrumento aplicado, percebi
que muitas crianças que acertaram o problema, representaram apenas a conta armada; iii) um
grupo significativo de crianças, principalmente as menores, escreveu somente o número da
resposta, sem expressar como pensar para chegar naquele número; iv) no Encontro 2, no
momento da elaboração dos problemas para serem aplicados em suas turmas, as professoras
evidenciaram não ter se apropriado da ideia central dessa situação (composição – 1ª extensão)
pois, com exceção de uma professora, todas as outras elaboraram problemas de transformação
negativa. Elas entenderam que bastava ter uma quantidade e tirar uma parte dela. A maior
dificuldade esteve em elas entenderem que no problema tínhamos que ter duas partes que
formavam um todo, ideia principal da composição, e que o todo e uma das partes deveriam
ser conhecidos e que resolver o problema consistia em descobrir o valor da parte
desconhecida.
Pelas observações destacadas, pelo distanciamento do segundo encontro e por ser a
primeira participação da P. Lilás no grupo, planejei fazer, no terceiro encontro, uma retomada
das situações de composição trabalhadas nos encontros anteriores. Devido ao período de
paralisação do corpo docente da escola, foi necessário realizar um replanejamento do
cronograma dos encontros.
Após essa parte inicial, propus que começássemos comentando sobre o artigo
“Discutindo a avaliação frente ao erro” da autora Carmen Avani Eckhardt, que foi entregue no
final do encontro passado. Das três professoras que estavam no segundo encontro, somente a
P. Amarelo havia lido e estava com o texto em mãos. Pedi que ela comentasse a parte do texto
que considerou mais interessante e ela comentou o seguinte:
P. Amarelo: Eu li que é muito importante não fazer uma avaliação só do tipo está
certo ou está errado. A gente tem que observar a forma que ele usou para chegar naquele
resultado. E a tentativa de acerto, a gente vai trabalhar em cima daquela tentativa, porque
156
significa que ele aprendeu já alguma coisa. Por exemplo, ele organizou os números, somou
cada algarismo da conta na vertical e chegou no resultado 23, esse resultado não é o correto,
mas ele usou uma estratégia para resolver aquela adição, só que ele ainda não domina todo
o processo da conta.
Aproveitando o comentário da P. Amarelo, destaquei a importância de observarem o
caminho percorrido pelo estudante e a estratégia de solução dele, para que possam contribuir
mais efetivamente no aprendizado das crianças.
Quando questionei se alguém havia utilizado o CAVALU ou o Material Base Dez, três
professoras disseram que usaram o CAVALU; nenhuma utilizou o Material Base Dez.
Destaquei que os materiais, tanto o que foi doado, como o Base Dez, são materiais da escola
e, por isso, podem ser utilizados por todas as professoras dos anos iniciais do Ensino
Fundamental, mesmo as que não frequentam os encontros mas que, para isso, elas deveriam
socializar com as colegas o que acontece nos encontros. Nesse momento, a P. Amarelo
explicou que o “clima na escola está horrível”, se referindo ao relacionamento, porque as
professoras que paralisaram entraram em confronto com as que não paralisaram. Destaquei a
importância da realização de um trabalho coletivo, da construção com seus pares e do espaço
no grupo de discussão para que aconteça essa mudança, ou seja, que elas passem a socializar
os conhecimentos com as colegas que não estão frequentando.
Depois dessa discussão, foram apresentados e discutidos os desempenhos dos
estudantes nos problemas elaborados no segundo encontro. Retornaram os relatórios do 1º, 2º
e 5º anos. Dessa vez, já foi possível conversar sobre as estratégias corretas utilizadas pelos
estudantes, pois as professoras fizeram registros das mesmas. As crianças dos 1º e 2º anos
utilizaram esquemas semelhantes, utilizando desenhos, contagem nos dedos, cálculo mental e
conta armada. As crianças do 5º ano resolveram com a conta armada. Quanto às estratégias
incorretas utilizadas por eles, o erro mais frequente cometido pelos estudantes do 1º e 2º anos
foi armar a conta e, pelos estudantes do 5º ano, foi resolver a adição ou a subtração presentes
no algoritmo.
A professora do 2º ano destacou que o seu maior problema era conseguir que os
estudantes escrevessem a resposta completa, isto é, não colocassem como resposta somente o
número. Diz ela: Não tem jeito eles conseguirem escrever a resposta assim. Por exemplo, se
perguntou quantos são os pratos vermelhos eles precisam escrever: os pratos vermelhos são
6, mas isso não acontece.
Enfatizei a importância de continuar orientando que eles escrevam respostas
completas, pois ao longo do ano letivo eles iriam avançar nesse aspecto. Complementei que
157
essa forma de registro da resposta contribui para que as crianças aprendam a elaborar frases.
Foi possível perceber na fala da P. Amarelo um indício de que, a partir do que observam no
desempenho de seus alunos, estão refletindo sobre o que acontece em suas aulas.
P. Amarelo: É isso, já vi que também em relação a armar a conta, tenho que
continuar enfatizando e usando os materiais, pois é ao longo do ano que eles vão dominar
esse conhecimento.
Essa postura de refletir sobre a sua ação em sala de aula e sobre o desempenho de seus
estudantes, destacada por Schön (1983), possibilita que as professoras descubram soluções,
sejam delas próprias ou oriundas da discussão coletiva, para superar problemáticas surgidas
na prática de ensinar a resolução de problemas.
Na sequência, retomei os slides sobre a Teoria dos Campos Conceituais e sobre os
conceitos envolvidos nos problemas da categoria de composição. Como os conceitos já eram
conhecidos pelas professoras, houve uma maior interação durante a discussão dos mesmos.
Como o desempenho dos estudantes já havia sido discutido nos encontros anteriores,
neste encontro, em vez de novamente conversarmos sobre as estratégias erradas utilizadas
pelos alunos, discutimos sobre diferentes esquemas de resolução do problema, pois considerei
que essa discussão poderia contribuir na superação das dificuldades nomeadas anteriormente.
Para provocar a discussão, solicitei que se reunissem e distribui uma folha de papel A4
com quatro problemas elaborados por elas no instrumento aplicado no Estudo 1, para serem
resolvidos com mais de uma estratégia de solução. A P. Amarelo formou uma dupla com P.
Verde; as duas professoras do 3º ano, P. Azul e P. Vermelho, formaram outra dupla; e as duas
professoras do 4º ano, P. Branco e P. Lilás, formaram um trio com a professora do 5º ano, P.
Violeta.
Comentarei algumas respostas e comentários referentes ao primeiro problema dos
quatro propostos. Na atividade, foi solicitado que as professoras elaborassem diferentes
maneiras de resolver os problemas abaixo. Algumas maneiras deveriam ser com a conta
armada e outras sem armar a conta.
O primeiro problema proposto na atividade foi o seguinte: O pai de José tem 53 anos;
a mãe tem 45. Qual é a soma da idade dos dois juntos?
As professoras do 1º e 2º anos quiseram começar comentando como haviam pensado.
P. Amarelo: No primeiro problema, encontramos duas possibilidades de solução sem
armar a conta: uma foi o material dourado, representamos com desenhos o material e, a
outra, foi a conta deitada (expressão matemática). Com a conta armada só pensamos na
possibilidade
158
53
+ 45
98
A dupla do terceiro ano, em todos os problemas, quando solicitava uma resolução sem
a conta armada, fez a expressão matemática e, quando solicitava a conta armada, o cálculo
apresentado acima.
As professoras do 4º e 5º anos, no espaço que solicitava a conta, além das
possibilidades das professoras do 3º ano, fizeram o seguinte procedimento:
50
3
90
+40
+5
+ 8
90
8
98
A partir do procedimento apresentado por elas, questionei: O que vemos nessa
possibilidade apresentada por elas?
P. Amarelo respondeu: Está trabalhando com a decomposição.
Aproveitei a fala da P. Amarelo e exemplifiquei três possibilidades de solução sem
armar a conta, usando a decomposição.
53 + 40 = 93
93 + 5 = 98
50 + 40 = 90
3+5=8
90 + 8 = 98
53 + 2 = 55
55 + 40 = 95
95 + 3 = 98
Escolhi apresentar essas possibilidades de resolução para que as professoras
percebessem que é possível resolver o cálculo sem “armar a conta”, atividade priorizada por
elas e, também, porque essa maneira de resolução ajuda os alunos a compreenderem “que um
mesmo algarismo representa um número n vezes maior, em base n, se ele estiver colocado na
segunda coluna à esquerda, do que colocado na coluna das unidades” (VERGNAUD, 2009,
p.174). Por exemplo, ao decomporem o 53 em 50 + 3, compreendem que no número 53 o
algarismo 5 representa 5 dezenas e o algarismo 3 representa 3 unidades. Essa compreensão
contribui na realização das adições.
As professoras ficaram surpresas com as possibilidades que apresentei. As poucas
possibilidades de procedimentos apresentadas por elas indicam que, principalmente as
professoras do 3º ano, costumam trabalhar somente com um esquema de resolução, o
algoritmo na forma de conta armada. Apesar de fazerem uso dos diagramas de Vergnaud
(2009) na resolução dos problemas que elaboram nos encontros, nenhuma das professoras
representou a solução dessa forma.
159
Ao compararem os diferentes esquemas de resolução surgidos, julgaram que a conta
armada seria mais difícil para o aluno do que as outras possibilidades de resolução
apresentadas. Por esse motivo, questionei: O que vemos então, o processo que escolhemos
para ensinar é o mais fácil ou mais difícil?
P. Amarelo: Mais difícil. Sem contar que o aluno não compreende que esse 1 que vai
lá em cima vale 10.
Pesquisadora: Então, ao que parece, embora vocês considerem a conta armada a
possibilidade mais difícil é a que vocês escolheram para ensinar?
P. Vermelho: Não é o que escolhemos, é o que aprendemos.
P. Amarelo: Eu aprendi assim, por isso ensino assim. É nesse jeito que estou apta. Eu
aprendi assim, tradicional.
P. Lilás: O livro apresenta outras possibilidades, é que a gente passa batido, porque
[a gente] quer ensinar do jeito que aprendeu.
A partir da fala da P. Vermelho e da P. Lilás, comecei a pensar que, apesar das
professoras considerarem mais difícil para o aluno a resolução com a conta armada, é esse
procedimento de resolução que elas ensinam, porque para elas é o mais fácil, porque é ele que
elas dominam. A fala da P. Vermelho confirma isso, diz ela: É o que eu domino e aí trabalho
com segurança, se eu mudar vou confundir a cabeça do aluno.
Com base nas falas das docentes, procurei enfatizar como é importante o aluno
conhecer várias possibilidades, porque quando se ensina mais de um procedimento, ele pode
escolher qual o caminho que considera mais fácil. Se for ensinado somente de uma forma,
temos duas possibilidades: ou ele faz daquela maneira ou ele não sabe fazer.
Após essas discussões, solicitei que se organizassem por ano escolar, e elaborassem
dois problemas: um do tipo composição protótipo e, outro, de 1ª extensão. Os problemas
elaborados e apresentados para o grupo maior são os que estão no Quadro 4.2.3.
1º ANO
2º ANO
3º ANO
Quadro 4.2.3 - Problemas elaborados pelas professoras no terceiro encontro
Situação 1 – Mamãe foi à feira e comprou 6 maçãs e 4 goiabas. Quantas frutas
Mamãe comprou ao todo?
Situação 2 – Rick tem 8 figurinhas de futebol e animais. 3 são de animais. Quantas
são as de futebol?
Situação 1 – Em um pasto, há 36 vacas e 46 bois. Quantos animais há no pasto?
Situação 2 – Na chácara de Pedro, há ao todo 15 cavalos brancos e pretos. 10 são
brancos. Quantas são os cavalos pretos?
Situação 1 – Maria tem 63 anos e sua irmã tem 55 anos. Qual é a idade das duas
juntas?
Situação 2 – Em uma escola diurna há 879 alunos. No turno da manhã, estudam 345
alunos. Qual o número de alunos que estudam no turno da tarde?
160
4º ANO
5º ANO
Situação 1 – Maria tem R$ 158,00 e Luís tem R$ 195,00. Quantos reais têm os dois
juntos?
Situação 2 - Numa fazenda, havia 163 bois e cavalos. 72 eram bois. Quantos eram os
cavalos?
Situação 1 – Em uma livraria, tem 2708 livros de História e 1046 livros de Geografia.
Quantos livros de História e Geografia têm na livraria?
Situação 2 - Um feirante foi ao mercado e comprou 1284 laranjas e maçãs. 608 são
laranjas. Quantas são as maçãs?
Foi importante a retomada dos conceitos da categoria composição, já abordados nos
dois primeiros encontros, pois as discussões deixaram evidente que havia muitas dúvidas
sobre eles. Embora as professoras estivessem elaborando pela segunda vez as situações de
composição – 1ª extensão, ainda apresentaram dificuldades, e foi necessária a ajuda do grupo
todo para que não caíssem novamente no erro de elaborarem situações de transformação.
Merece destaque a reflexão sobre as diferentes possibilidades de resolução sem armar a conta
e com a conta armada, pois revelou que algumas professoras somente dominam a regra do
procedimento do cálculo numérico com troca de unidades por dezenas e dezenas por centenas.
4º Encontro
O quarto encontro com as professoras aconteceu no dia 11 de julho de 2012, às
13h30min, no mesmo local dos encontros anteriores e teve como tema de discussão as
situações de transformação do tipo protótipo e 1ª extensão. Compareceram três professoras: P.
Amarelo, do 1º ano; P. Verde, do 2º ano e P. Azul, do 3º ano. Das sete que compareceram no
terceiro encontro, duas deixaram de dar aulas para turmas dos anos iniciais, logo, apenas
cinco foram convidadas para o encontro.
A ausência das colegas surpreendeu o grupo. Isso motivou que conversássemos sobre
a participação, importância das discussões e dificuldades enfrentadas por elas. Todas
colocaram que estavam gostando de participar dos encontros, pois agora já estavam pensando
diferente no momento de elaborar um problema.
P. Amarelo: Nos ajuda a trabalhar com diferentes tipos de problemas. Estávamos
acostumados a trabalhar com problemas do tipo “eu tenho tanto, dei tanto, quanto sobrou”
ou “somar tantos disso com tanto daquilo”. Só trabalhávamos dessa forma.
P. Verde: Quando a gente vai elaborar um problema, pensa duas vezes sobre o que
vai elaborar.
As professoras P. Amarelo e P. Verde falaram sobre os avanços que conseguiram com
os alunos, a partir das contribuições que fiz no dia em que realizei a observação em suas
aulas. A P. Amarelo deu um depoimento sobre o avanço dos seus alunos na resolução de
161
problemas, mesmo este assunto não constando na lista de conteúdos do 1º ano, diz ela: No
meu caso, 1º ano, não está no conteúdo resolver problemas, mas eu tenho quatro alunas que
já resolvem sozinhas os problemas. Pra elas, eu não preciso nem ler o problema.
Ao fazer o planejamento deste encontro, levei em consideração que: i) as questões
sobre horário de chegada e saída devem ser retomadas; ii) o limite de numeração utilizado nos
problemas elaborados pelas professoras está muito baixo e algumas estão se queixando que
precisam trabalhar valores maiores com os alunos, por isso, será necessário que haja um
controle nas quantidades propostas; iii) as docentes ainda se preocupam mais com o cálculo
envolvido na solução do problema do que com a situação ali presente.
Com base nessas observações, entreguei a elas um resumo com o registro dos
conceitos envolvidos na categoria composição e com os esquemas (diagramas com o cálculo
relacional) utilizados nas situações protótipo e 1ª extensão, para que possam consultar no
momento em que estiverem elaborando problemas para as suas aulas.
Na sequência, conversamos sobre os resultados da aplicação dos problemas elaborados
no terceiro encontro (dados coletados no relatório de atividade desenvolvida). Novamente, os
erros mais destacados pelas professoras foram troca de sinal e dificuldade em armar a conta.
Depois dessa conversa, propus a leitura e a discussão de fragmentos do livro
Repensando adição e subtração: contribuições da Teoria dos Campos Conceituais, de Magina,
Campos et al. (2008), que tratam sobre competência e concepção. Essa leitura foi sugerida
para oportunizar que as professoras tirassem de foco a operação no momento de elaborar as
situações-problema e pudessem compreender que a competência do estudante na resolução de
problemas de adição e de subtração está na sua capacidade de resolver diversos tipos de
situações-problema com diferentes graus de complexidade e não somente na sua habilidade
em operar um cálculo numérico. Também, foi destacada a responsabilidade do professor em
escolher qual tipo de problema irá propor para o aluno resolver, para tornar seu aluno
competente. Foram propostos os problemas a seguir:
Problema A: Ao redor da mesa de jantar de minha casa estão sentados 4 garotos e 7
garotas. Quantas crianças estão sentadas ao redor da mesa de jantar?
Problema B: Maria comprou uma boneca por R$ 4,00 e ficou com R$ 7,00 na
carteira. Quanto ela possuía antes de fazer a compra?
Problema C: Carlos tem 4 anos, Maria é 7 anos mais velha que Carlos. Quantos
anos tem Maria?
Problema D: Roberto foi jogar videogame. Ao fim da primeira fase do jogo ele tinha
perdido 4 pontos. Ele, então, foi para a segunda e última fase do jogo. Ele terminou
o jogo com 7 pontos ganhos. O que aconteceu na segunda fase? (MAGINA,
CAMPOS et al., 2008, p.20)
162
Ressaltei que, embora a resolução desses quatro problemas seja feita pelo mesmo
algoritmo, o sucesso na resolução dos mesmos varia de acordo com a idade, associada à
escolaridade da criança (MAGINA, CAMPOS et al., 2008). Depois, solicitei que resolvessem
os problemas e fizemos uma leitura e discussão sobre a resolução. Parti do seguinte
questionamento: O que vocês perceberam nesses problemas?
P. Amarelo: Eu vi que os problemas são de complexidade bem diferente, do mais
simples a um bem mais complexo, até eu fiquei bem embaralhadinha para resolver o último.
Nenhuma das professoras conseguiu resolver o último problema. A P. Azul foi a única
que entendeu a ideia do problema, embora não tenha chegado à resposta.
P. Amarelo: Eu me embananei, porque na primeira fase ele perdeu, então, ele tinha
ganhado.
Pesquisadora: Ele perdeu 4. Ele não tinha nada.
P. Amarelo: E pra perder não tem que ter? Como alguém vai perder o que não tem?
Mesmo após toda a discussão, algumas ficaram com dúvida. Elas consideraram que
esse problema era muito difícil para ser resolvido pelas crianças.
Na sequência, fiz a explicação das situações de transformação, com a ajuda dos slides.
Antes, retomei os tipos de problema de composição já estudados. Durante a discussão dos
desempenhos das crianças nos problemas do instrumento aplicado e dos problemas elaborados
por elas, as professoras perceberam que o desempenho das crianças é melhor nos problemas
mais trabalhados. Foi uma discussão que envolveu a participação de todas. Durante as
discussões das situações de transformação, fomos comparando com as situações de
composição, para que fossem percebidas as diferenças entre esses dois tipos de situações.
Ao serem apresentados os resultados de desempenho dos estudantes nos problemas
P10. Ricardo tinha 9 balas e ganhou 5 de seu pai. Com quantas balas Ricardo ficou? e P1.
Ricardo tinha 9 balas e deu 4 para seu irmão. Com quantas balas Ricardo ficou?, foi
comentado sobre o porquê das crianças se saírem melhor no P1, cuja solução envolve uma
subtração.
P. Amarelo: Olhe, em todas as séries eles se saíram melhor
P. Verde: Porque na soma passa de 10 e eles não tem mais de dez dedos para somar e
na subtração é menos de 9.
P. Azul: Pode ser que eles estejam mais acostumados a perder do que ganhar.
P. Amarelo: Pode ser que as crianças que foram testadas tenham sido mais
trabalhadas nesse tipo de situação.
163
Após essa fala da P.Amarelo, passamos a discutir os problemas de transformação
protótipo, elaborados por elas e os presentes no livro adotado pela escola. Elas perceberam
que os dados mostram que há uma relação entre o desempenho das crianças nos problemas e o
tipo de problema que está sendo proposto nas aulas, e que, se elas mudarem o ensino na sala
de aula, é possível reverter essa situação.
Neste encontro, propus a elaboração de quatro problemas (dois de transformação
protótipo, dois de transformação – 1ª extensão), e fizemos o controle das quantidades que
seriam utilizadas nos problemas. Ficou assim: 1º ano até 20; 2º ano até 50; 3º ano até 200. Os
problemas foram elaborados de acordo com esses critérios. Quando tinham alguma dúvida,
perguntavam para mim ou para uma colega.
No final, os problemas elaborados (Quadro 4.2.4) foram lidos, discutidos no grupo e
entregues no Relatório de Atividades.
1º ANO
2º ANO
3º ANO
Quadro 4.2.4 - Problemas elaborados pelas professoras no quarto encontro
Situação 1 – Transformação protótipo
a)Luan tinha 8 carrinhos e ganhou mais 5 da sua mãe. Com quantos carrinhos ele
ficou?
b) Witney colheu 12 flores no jardim e deu 7 para a professora. Com quantas flores
Witney ficou?
Situação 2 – Transformação – 1ª extensão
a) Mateus tinha 9 bolinhas de borracha. Depois que comprou mais algumas, ficou
com 13. Quantas bolinhas ele comprou?
b) Emerson foi ao sítio e colheu 20 frutas. Quando chegou em casa só estava com 7.
Quantas frutas ele comeu no caminho?
Situação 1 – Transformação protótipo
a) Maria tinha 48 frutas e ganhou mais 27 da sua mãe. Com quantas frutas ela ficou?
b) Fabio tinha 38 figuras e deu 23 a sua prima. Com quantas figuras ele ficou?
Situação 2 – Transformação – 1ª extensão
a) Paulo tinha 22 copos de plástico. Depois que ganhou alguns de seu tio, ficou com
49. Quantos copos de plástico Paulo ganhou de seu tio?
b) Luís foi à feira com 40 reais. Quando saiu da feira estava com 18 reais. Quantos
reais Luís gastou na feira?
Situação 1 – Transformação protótipo
a) Arnaldo tinha 151 balas e ganhou mais 29 balas de sua irmã. Quantas balas ele
ficou?
b) Priscila ganhou 138 borrachas de seu pai. Deu 7 borrachas para sua prima. Quantas
borrachas restaram?
Situação 2 – Transformação – 1ª extensão
a) Sônia tinha 79 reais. Depois que ganhou alguns reais de sua tia, ficou com 100
reais. Quantos reais Sônia ganhou de sua tia?
b) Beatriz foi ao G. Barbosa com 135 reais. Quando saiu do G. Barbosa, estava com
53 reais. Quantos reais Beatriz gastou no G. Barbosa?
164
Talvez porque os conceitos envolvidos nas situações tenham mudado, as professoras
tiveram dificuldade para elaborar o diagrama do cálculo relacional em cada uma das
situações-problema elaboradas. Pela primeira vez, o encontro se estendeu até às 17h30min.
A participação das professoras, nas discussões foi muito constante, e revelou
envolvimento no tema, talvez porque compareceram só três. Não houve dificuldade na
elaboração dos problemas transformação – protótipo, pois é esse o tipo de problema que elas
mais trabalham. Neste encontro, merecem destaque as discussões e as reflexões realizadas
quanto à importância de observarem os diferentes tipos de situações presentes nos problemas,
em vez de estarem atentas somente ao cálculo numérico a ser feito na resolução do mesmo.
5º Encontro
O quinto encontro com as professoras aconteceu no dia 15 de agosto de 2012, às
13h30min, no mesmo local dos encontros anteriores e teve como tema de discussão as
situações de transformação do tipo 4ª extensão. Compareceram quatro professoras: P.
Amarelo, do 1º ano; P. Verde, do 2º ano; e P. Azul e P. Vermelho, do 3º ano.
A primeira professora que chegou foi a do 2º ano. Ela entregou os relatórios e ficou
conversando comigo sobre o desempenho dos alunos nos problemas. Expressou a sua
preocupação em ver que as crianças não estavam se saindo bem nos problemas. Expliquei a
ela que o grau de dificuldade dos problemas estava aumentando, e que era natural seus alunos,
principalmente porque ainda são novinhos, estarem com mais dificuldade. Ficou evidente que
ela estava percebendo a importância de estar sempre testando as crianças para coletar
evidências sobre o desempenho das mesmas. Também se deu conta que, assim como está
sempre testando as crianças em relação à resolução de problemas, da mesma forma deve testálas em relação à leitura e interpretação, pois precisa das evidências para perceber as
habilidades que conseguiram desenvolver e as que ainda precisam ser mais trabalhadas.
Com a chegada das colegas, passamos a conversar sobre a aplicação dos problemas
elaborados no quarto encontro. Foi destacado pela professora do 2º ano que os alunos que
acertaram “calcularam com os próprios dedos” ou, então, “riscaram pauzinhos na carteira”.
A professora do 1º ano relatou que as crianças se saíram bem nos três primeiros problemas
que aplicou, mas que tiveram dificuldade no último (ver Quadro 4.2.4, p.163), diz ela:
P. Amarelo: As crianças se saíram bem nos três primeiros, agora, no último, ninguém
acertou. Aí eu entendi qual foi a dificuldade deles. Vê só o problema: Emerson foi ao sítio e
colheu 20 frutas. Quando chegou em casa só estava com 7. Eles ainda não estavam sabendo
165
colocar o 7 embaixo do 20 para subtrair. Alguns colocaram embaixo do 2; outros, colocaram
no meio. Aí foi o problema.
Pesquisadora: Mas conseguiram retirar 7 de 20?
P. Amarelo: Alguns conseguiram, mas resolver com o cálculo certinho, nenhum
conseguiu.
Pedi, então, que destacassem os erros mais frequentes cometidos pelos alunos na
resolução desses problemas. A professora do 1º ano reafirmou a dificuldade de seus alunos
em armar a conta; a professora do 2º ano destacou que o erro mais cometido por seus alunos
foi na identificação do sinal da operação, ou seja, quando era uma adição colocavam o sinal
de menos, e, também, na realização das subtrações, pois muitos colocaram o subtraendo no
lugar do minuendo. Tanto P. Amarelo como P. Verde destacam uma dificuldade relacionada à
representação simbólica e às invariantes operatórias necessárias para o registro do algoritmo
da adição.
P. Verde disse que busca auxiliar os alunos na superação dessas dificuldades,
“propondo a realização de problemas em duplas e trabalhando com situações do dia a dia”.
Destaquei a importância deste trabalho, para que tenham claro as dificuldades de seus alunos
e, assim, possam rever a sua prática de ensino da resolução de problemas com vistas a obter
um melhor desempenho deles na realização destas atividades. Ainda, salientei que a
dificuldade em representar corretamente o algoritmo (armar a conta) está vinculada ao
domínio da numeração de posição e a conceitualização que lhe está associada, a
decomposição dos números (VERGNAUD, 1996a), e que o uso dos recursos materiais
sugeridos nos encontros pode contribuir com a superação dessa dificuldade.
Na sequência, propus uma retomada sobre os conceitos envolvidos nos tipos de
problemas das categorias composição e transformação. Durante a retomada das explicações,
percebi que as docentes ainda evidenciavam não ter clareza dos mesmos. Apenas a professora
do 1º ano expressou clareza em relação aos conceitos trabalhados nas diferentes categorias.
Após essa retomada, expliquei os esquemas de transformação – 4ª extensão no quadro,
solicitando a ajuda delas. Para terem um material escrito para consulta, entreguei a folha com
explicações, conceitos e diagramas referentes à categoria transformação.
Quando comentei os resultados do Estudo 1 no tipo de problema transformação – 4ª
extensão, elas perceberam que não trabalhavam com esse tipo de problema e que, no livro de
Matemática adotado pela escola, eles apareciam muito pouco. Nesse momento, aconteceu
uma pequena discussão sobre o processo de escolha do livro adotado.
P. Vermelho: Tem que haver modificação nos livros.
166
Pesquisadora: Fiz a coleta de dados no livro que vocês escolheram e foi adotado pela
escola.
P. Vermelho: Mas não foi aquele o escolhido pelo professor, o escolhido foi outro.
P. Amarelo: O escolhido foi outro, mas a maioria das outras escolas escolheu aquele.
P. Verde: O livro tem que ser o mesmo para todas as escolas, porque quando falta
livro numa pode vir de outra, não foi assim que disseram?
Essa discussão foi importante, pois serviu para alertá-las que, na escolha do próximo
livro de Matemática, elas deverão ficar mais atentas aos tipos de problemas propostos e
também ao direito que têm de escolherem o livro mais adequado para as suas turmas.
A seguir, solicitei que elaborassem dois problemas de transformação – 4ª extensão e
chamei a atenção para o limite de numeração que seria utilizado nos problemas. A professora
do 2º ano foi a primeira a dizer que teria dificuldade para elaborar, por esse motivo formou
dupla com a professora do 1º ano.
Os problemas elaborados foram lidos para todo o grupo e, desta vez, as professoras do
3º ano é que tiveram um pouco mais de dificuldade, principalmente a P. Azul.
1º ANO
2º ANO
3º ANO
Quadro 4.2.5 - Problemas elaborados pelas professoras no quinto encontro
Situação 1 – Jaiane tinha algumas petecas e ganhou mais 6 de seu pai, ficando com 18
petecas ao todo. Quantas petecas ele tinha antes?
Situação 2 – Em uma classe, tinham alguns alunos e 7 mudaram para outra classe,
ficando apenas 15 alunos nesta classe. Quantos alunos tinham antes na classe?
Situação 1 – Vitor tinha algumas bolinhas de gude e ganhou 13 de seu tio, ficando
com 27 bolinhas de gude ao todo. Quantas bolinhas de gude Vitor tinha antes?
Situação 2 – Em uma classe, tinham alguns alunos e 9 mudaram para outra classe,
ficando apenas 17 alunos nesta classe. Quantos alunos tinham antes na classe?
Situação 1 – Em uma construção, tinham alguns operários; chegaram mais 255,
ficando com 510 operários ao todo. Quantos operários havia na construção antes?
Situação 2 – A professora Paula tinha alguns livros de Literatura Infantil. Deu 35 para
a professora de Português e ficou com 12. Quantos livros ela tinha antes?
O grupo de professoras, que permanece frequentando os encontros, é pequeno. Fica
evidente que, apesar de em cada encontro serem retomados todos os conceitos trabalhados nas
diferentes categorias, algumas ainda não conseguem ter clareza quanto ao tipo de situação
presente em um problema. Neste encontro, as professoras tiveram dificuldade tanto na
elaboração dos problemas quanto no registro do diagrama que representa o esquema. Quanto
aos resultados que trazem de seus alunos, elas afirmam que eles ainda mantêm a dificuldade
em armar a conta. Merece destaque a discussão realizada sobre a escolha do livro de
Matemática a ser adotado pela escola, pois revelou que o poder de escolha delas é limitado.
167
6º Encontro
O sexto encontro com as professoras aconteceu no dia 12 de setembro de 2012, às
13h30min, no mesmo local dos encontros anteriores, e teve como tema de discussão as
situações de comparação do tipo 2ª extensão. Compareceram duas professoras: P. Verde do 2º
ano e P. Azul do 3º ano e um graduando do curso de Matemática - Licenciatura.
O primeiro tópico de discussão foi os erros apresentados pelos estudantes na resolução
dos problemas que as professoras estão aplicando em suas aulas. Discutimos sobre os
resultados de desempenho presentes nos relatórios entregues, dos problemas desenvolvidos,
nos quais estava destacada a dificuldade das crianças em armar a conta e em registrar o sinal
correto da operação. Para superar essas dificuldades, foi sugerida a utilização do CAVALU e
de recursos materiais de contagem para explicarem situações do tipo: 9 – 4 = 5, pois várias
crianças resolvem mentalmente o cálculo correto, mas registram 4 – 9 = 5. Em relação aos
alunos que não escreveram o sinal ou que colocaram o sinal trocado, ficou combinado que
continuariam questionando sobre onde estava indicada a operação realizada. Novamente a P.
Verde se queixou dos alunos que só queriam escrever o número como resposta em vez de
escreverem a frase completa. Orientei que esses aprendizados acontecem ao longo do ano e,
por isso, deveriam continuar trabalhando e cobrando esses procedimentos dos alunos e
utilizando nas aulas os recursos materiais sugeridos, pois é o trabalho contínuo e
sistematizado que produzirá o desenvolvimento dos conceitos das Estruturas Aditivas.
Após essa discussão, propus uma retomada oral dos conceitos envolvidos nas
situações das categorias trabalhadas anteriormente (composição e transformação). Durante
essa discussão, foi comentada a dificuldade evidenciada pelas crianças na resolução dos
problemas de transformação – 4ª extensão. A P. Verde considerou que “as crianças não se
saíram muito bem, porque ela trabalhou uma pequena quantidade de situações desse tipo”. A
P. Azul informou que “pouco menos do que a metade dos seus alunos acertou” e, por isso, ela
considerou que “eles se saíram mais ou menos”.
Depois, fiz a explicação das situações de comparação – 2ª extensão. Destaquei as
estratégias corretas e os erros cometidos pelos alunos.
Solicitei que identificassem as estratégias corretas mais utilizadas pelas crianças na
resolução do Problema 9. João tem 10 anos e Eduardo tem 3 anos a mais que ele. Quantos
anos tem Eduardo? As duas professoras disseram: “resolução correta com algarismos”. Na
opinião delas, isso acontece porque é a maneira mais praticada, ou seja, é o procedimento que
elas mais ensinam e, por isso, o que as crianças mais dominam. Dentre as estratégias com
168
erros, elas destacaram: “operação contrária, registro de números do enunciado, e de números
aleatórios”. Para a professora do 2º ano, “o professor ter esse conhecimento e colocar em
prática” ajuda na superação dessas dificuldades; já a professora do 3º ano acredita que é
preciso “trabalhar mais a resolução desse tipo de problema”, para que os alunos melhorem o
desempenho.
Também foram discutidos os dados do Estudo 1, que mostraram que nenhum
problema deste tipo foi elaborado por elas e que o número de problemas deste tipo no livro de
Matemática foi muito reduzido. As professoras reconheceram que não trabalham este tipo de
situação e colocaram que suas colegas também não trabalham.
Na sequência, propus a elaboração de dois problemas do tipo comparação – 2ª
extensão. Os problemas elaborados foram lidos pelas duas professoras. Embora não tivessem
elaborado este tipo de problema no instrumento aplicado no Estudo 1, estas professoras não
tiveram dificuldade em elaborar as situações que constam no Quadro 4.2.6.
2º ANO
3º ANO
Quadro 4.2.6 - Problemas elaborados pelas professoras no sexto encontro
Situação 1 – Beatriz tem 9 canetas e Luís tem 7 canetas a mais que ela. Quantas
canetas tem Luís?
Situação 2 – Ester tem 19 reais e Fábio tem 6 reais a menos que ela. Quantos reais
tem Fábio?
Situação 1 – Diego tem 6 cadernos e Rian tem 4 cadernos a mais que ele. Quantos
cadernos tem Rian?
Situação 2 – Arnaldo tem 13 figurinhas e Pedro tem 9 figurinhas a menos que ele.
Quantas figurinhas Pedro tem?
A participação oral das professoras, no encontro, foi contínua e coerente com o tema
em discussão. Durante a retomada dos conceitos abordados nas categorias anteriores, as
professoras ainda expressaram algumas dúvidas, principalmente quanto à identificação do tipo
de situação. Merece destaque a reflexão realizada sobre as estratégias utilizadas pelos
estudantes na resolução do problema P9, porque possibilitou que repensassem a sua prática de
ensinar a resolução de problemas e, também, as operações de adição e de subtração.
7º Encontro
O sétimo encontro com as professoras aconteceu no dia 24 de outubro de 2012, às
13h30min, no mesmo local dos encontros anteriores, e teve como tema de discussão as
situações de comparação do tipo 3ª extensão. Compareceram três professoras: P. Amarelo do
1º ano, P. Verde do 2º ano e P. Azul do 3º ano.
169
No primeiro momento, foi feita uma discussão sobre as estratégias utilizadas pelos
alunos na resolução dos problemas de comparação – 2ª extensão. Foi um momento
importante, pois evidenciou que elas permanecem focadas na dificuldade de alguns alunos em
armarem a conta. Ao retomar a necessidade delas continuarem utilizando o CAVALU e o
material Base Dez durante as explicações, a professora do 2º ano argumentou que trabalhou
com o CAVALU apenas uma vez, e considerou que já não era mais necessário pois, quando
questionava os alunos, respondiam corretamente. Argumentei que, de fato, vários estudantes
mostraram que haviam entendido, mas que ainda havia um grupo que não havia entendido e
que eles continuavam necessitando das explicações com o auxílio desses materiais. Ao
verificar as resoluções das crianças, foi possível ver que utilizaram uma estratégia correta de
resolução, entretanto, erraram ao montar o cálculo. Por exemplo, no cálculo 19 - 6, em vez de
colocarem o 6 embaixo do 9, colocaram o 6 embaixo do 1. Como já foi destacado
anteriormente, este tipo de erro, apresentado pelos estudantes do 2º ano, está entre os mais
frequentes e resulta de uma conceitualização insuficiente da notação decimal (VERGNAUD,
1996a).
Depois, comecei a apresentação dos slides. Como sempre, fiz uma retomada oral, com
questionamentos sobre as categorias anteriores, antes de expor as situações da categoria
comparação – 3ª extensão. Durante a retomada das situações de composição e transformação,
as professoras se manifestaram falando sobre a importância deste processo de discussão para
o seu trabalho na sala de aula.
P. Verde: Professora, quando eu vou elaborar um problema eu fico pensando: esse
problema é de qual extensão? Eu não chego a dizer que eu aprendi a dar todos os nomes das
diferentes categorias e extensões, mas eu estou buscando aplicar mais problema para os
meninos.
P. Rosa: Como ela falou, eu também estou buscando aplicar mais problemas e
também observando o tipo de problema que será aplicado. Têm uns que eles tiram de letra e,
têm outros, que eles sentem mais dificuldade.
A partir da fala delas, comentei sobre a importância de se darem conta de que
necessitavam aumentar o número e variar o tipo de problema que estavam propondo em suas
aulas, para que pudessem oportunizar que seus alunos ampliassem o conhecimento relativo à
resolução de problemas de adição e de subtração. “É através das situações e problemas a
resolver que um conceito adquire sentido para a criança.” (VERGNAUD, 1996a, p.156).
P. Rosa: Na verdade, eu antes trabalhava só com quarto ano e quarto ano é mil
maravilha pra essas coisas, mas quando vem para terceiro ano; segundo ano, aí já complica.
170
Naquele dia, quando vocês aplicaram os problemas, eu, pra mim, aquilo ali, bom, eu disse: a
professora vai ficar tão triste nesta escola; pra mim, ali ia ser uma decepção. (Ela está se
referindo à aplicação do instrumento do Estudo 1)
Ao ouvir esse comentário, questionei: O que vocês pensam: os alunos deste ano estão
melhor preparados para resolver estes problemas?
P. Verde: Eu acho pouco tempo ainda. Eu penso assim, se eu pegasse esses meninos
no próximo ano, se fosse eu a professora, aí sim...
P. Rosa: Tranquilamente, eu acho. Depois que eu comecei a participar destes
encontros, para mim melhorou muito. É uma grande busca de conhecimento, porque eu não
trabalhava desta maneira. Eu, toda vida trabalhei problemas, acabava o assunto, por
exemplo, adição, aí vinha problemas, mas não deste tipo.
Após essa discussão, foram comentados os resultados de desempenho dos estudantes
no problema P4 do instrumento do Estudo 1. Os resultados de análise mostraram que as
crianças se saem bem na primeira pergunta deste tipo de problema, no entanto, não
conseguem identificar a diferença entre os valores. Da categoria comparação, este foi o tipo
de problema mais elaborado pelas professoras e, também, o que mais apareceu no livro de
Matemática adotado pela escola.
As professoras consideraram que este tipo de problema era fácil, e ficaram surpresas
que o índice de acertos não tenha sido maior. Na sequência, solicitei que elaborassem dois
problemas deste tipo para aplicarem em suas aulas de Matemática.
1º ANO
2º ANO
3º ANO
Quadro 4.2.7 - Problemas elaborados pelas professoras no sétimo encontro
Situação 1 – Vitor tem 6 figurinhas. Henrique tem 19 figurinhas. Quem tem mais
figurinhas? Quantas figurinhas a mais?
Situação 2 – Yalle tem 7 bonecas. Jaiane tem 13 bonecas. Quem tem menos bonecas?
Quantas bonecas a menos?
Situação 1 – Maria tem 9 bonecas. Rita tem 12 bonecas. Quem tem mais bonecas?
Quantas bonecas a mais?
Situação 2 – Paulo tem 8 lápis. Pedro tem 16 lápis. Quem tem menos lápis? Quantas
lápis a menos?
Situação 1 – Sônia tem 18 canetas e Paulo tem 12 canetas. Quem tem mais canetas?
Quantas canetas a mais?
Situação 2 – Osaneide tem 15 figurinhas e Pedro tem 12 figurinhas. Quem tem menos
figurinhas? Quantas figurinhas a menos?
As docentes não tiveram dificuldades para elaborar problemas do tipo comparação – 3ª
extensão pois, embora não trabalhassem muito com esse tipo de situação, as consideram
fáceis. Neste encontro, merece destaque a fala das professoras quanto à capacidade que
171
adquiriram de poderem identificar qual tipo de situação está presente no problema, seja ele
copiado de um livro ou elaborado por elas.
8º Encontro
O oitavo encontro com as professoras aconteceu no dia 13 de novembro de 2012, às
13h30min, no mesmo local dos encontros anteriores, e teve como tema de discussão as
situações de comparação do tipo 4ª extensão. Compareceram três professoras: uma do 1º ano,
uma do 2º ano e uma do 3º ano.
Enquanto esperávamos uma colega chegar, foi conversado sobre a data da reaplicação
do instrumento às crianças e também da entrevista com elas. Ficou combinado que a coleta de
dados deveria acontecer na primeira quinzena de dezembro, na própria escola. Após, as
professoras fizeram a escolha do nome fantasia para ser utilizado neste relatório.
Depois desses acertos, começou-se uma discussão sobre a aplicação dos problemas de
comparação – 3ª extensão e como os estudantes se saíram na resolução dos problemas. A P.
Verde considerou que a presença da palavra “mais” ou da palavra “menos” facilita no
momento da escolha da operação que será realizada.
P. Verde disse: Eu achei que tendo a palavra mais e menos aí não tem problema. O
problema é quando, por exemplo, no último problema, coloquei unidade e dezena, aí os que
erraram não colocam unidade embaixo de unidade.
Questionei: Então os alunos ainda estão com a dificuldade de armar a conta?
P. Amarelo: Já os meus não tiveram esse problema, eles colocaram unidade embaixo
de unidade. 1º ano, repare, e eles já têm essa noção. Agora, assim, a questão “a”, quase
todos acertaram, só que alguns sem escrever, porque têm aqueles que não sabem mesmo
escrever.
Depois, busquei saber a opinião delas sobre como as crianças tinham se saído na
resolução desses problemas.
P. Verde: Tem aqueles que não sabem de nada e aí não adianta ter a palavra “mais”
ou “menos”. A maioria dos erros foi na troca de sinal e no armar a conta.
P. Vermelho falou referindo-se ao comentário feito por P. Verde: Eles não
interpretam o problema.
Pesquisadora: E os teus, P. Amarelo?
172
P. Amarelo: Os meus, como eu estava falando, em armar a conta não tiveram
dificuldade, mas têm muitos que armaram unidade embaixo de unidade certinha, mas passam
o traço abaixo do primeiro termo e, aí, não resolvem, deixam o outro termo como resposta.
Mesmo sendo este o último encontro, já fica evidente, desde o início, que a
preocupação com a representação simbólica do algoritmo se mantém. Destaquei que, se os
alunos continuavam com dificuldade em armara conta, seria bom utilizar o CAVALU e o
Material Base Dez nas explicações para auxiliá-los a superar essa dificuldade, pois nesse
material é possível destacar o valor posicional dos algarismos e, também, trabalhar a
decomposição dos números.
P. Amarelo: Mas eles já sabem colocar unidade embaixo de unidade. Eles já sabem
porque eu pego muito no pé deles sobre isso.
P. Verde: Eles pensam que colocaram no lugar certo, mas quando eu mostro, eles
dizem “Ôche, e fui eu que coloquei, foi?”
P. Amarelo: A questão é que, nesse tipo de problema, tanto apareceu a palavra mais
como a palavra menos, mas os dois problemas eram resolvidos com uma conta de menos.
Alguns souberam fazer sozinhos, uns 5 alunos, mas os que não leem não conseguiram
responder.
Pesquisadora: Como orientaram a resolução destes problemas?
P. Amarelo: Eu fiz assim: coloquei o problema no quadro pra eles copiarem aí, depois
que copiaram, eu disse: vá fazendo; aí deixei fazerem sozinhos. As meninas, que fizeram
sozinhas, só sentiram um pouco de dificuldade de fazer a resposta escrita, aí eu orientei um
pouco a partir de questionamentos do tipo: leia a pergunta; o que está perguntando; como
você vai colocar essa resposta? Depois que esses fizeram, recolhi os deles e fui em ajuda
daqueles que sabem ler um pouco, mas não estavam conseguindo fazer sozinhos. Aí eu fui
questionando, alguns conseguiram fazer e teve outros que não conseguiram fazer de forma
alguma, aí eu não ajudei mais.
Comentei que, apesar de somente 5 alunos da turma de P. Amarelo terem acertado a
resolução dos problemas, isso era muito bom, levando-se em conta a idade deles (a maioria
tem 6 anos), que são problemas de comparação – 3ª extensão e que resolveram sozinhos.
Depois dessa conversa, foi feita uma discussão sobre as situações de comparação – 4ª
extensão. Durante a discussão, solicitei que sugerissem formas de resolução para o problema:
Maria tem algumas balas e José tem 8 balas a mais que Maria. Sabendo que José tem 15
balas, quantas balas tem Maria? P. Amarelo sugeriu: “Fazendo 15 – 8”. Perguntei se essa
seria a única possibilidade que os alunos usariam; a P. Vermelho respondeu: “Não, muitos
173
fariam somando 7 + 8”. Concordei com P. Vermelho e falei que já tínhamos duas
possibilidades de resolução.
Então, fui ao quadro e registrei a representação abaixo. Algumas professoras
argumentaram que costumam fazer este esquema junto com as crianças.
balas de Maria
?
balas de José
+ 8 =
15
Salientei que elas reforçassem que a pergunta se referia ao número de balas de Maria
e, por isso, a resposta era 7. Surgiu a ideia de que para as crianças do 1º e 2º anos fosse
explicado com desenhos, por exemplo, IIIIIII + 8 = 15.
Da mesma forma, foi discutido o outro problema de comparação – 4ª extensão: Maria
tem algumas balas e José tem 8 balas a menos que Maria. Sabendo que José tem 15 balas,
quantas balas tem Maria?
balas de Maria
?
balas de José
- 8 =
15
As professoras destacaram que, na primeira situação, Maria tem menos balas do que
José e, na segunda situação, Maria tem mais balas que José, porém a resolução dos dois
problemas envolve a operação inversa. As docentes, P. Verde e P. Vermelho, comentaram que
estavam com dificuldade para compreender essas situações.
Comentei sobre o grau de complexidade das situações comparação – 4ª extensão e
destaquei o baixo desempenho das crianças nesse tipo de problema. Também, os dados do
Estudo 1, mostraram que situações desse tipo não foram elaboradas pelas professoras e nem
constam no livro de Matemática adotado pela escola.
Na sequência, apresentei a elas o quadro com as estratégias utilizadas pelas crianças na
resolução do problema P5 do instrumento dos alunos, e solicitei que destacassem as
estratégias corretas mais utilizadas pelas crianças e justificassem a escolha de seus alunos.
Elas responderam “com algarismos, por ser a mais praticada em sala de aula”. Quanto às
estratégias com erros utilizadas pelas crianças, elas responderam “operação contrária,
registro de número do enunciado e números aleatórios” e apontaram como possível causa
para esse tipo de erro “falta de prática de problemas desse tipo e falta de leitura com
interpretação por parte dos alunos”. Apontaram como possibilidades de superação para esses
174
erros “trabalhar mais problemas desse tipo com os alunos, mostrar as possíveis
possibilidades de resolução dos mesmos e trabalhar mais leituras e interpretações.”.
Após, as professoras elaboraram os problemas para serem aplicados em suas turmas
(Quadro 4.2.8). A professora P. Vermelho teve um pouco de dificuldade na elaboração dos
problemas. Mesmo olhando um problema desse tipo, ela não conseguia concluir fazendo a
pergunta do problema, ou seja, ela não conseguia saber o quê deveria perguntar. Ela foi
ajudada por mim e pela colega P. Amarelo.
1º ANO
2º ANO
3º ANO
Quadro 4.2.8 - Problemas elaborados pelas professoras no oitavo encontro
Situação 1 – Kamille tem algumas balas e Emerson tem 7 balas a mais que Kamille.
Sabendo que Emerson tem 16 balas, quantas balas tem Kamille?
Situação 2 – Adonnys tem alguns carrinhos e Matias tem 12 carrinhos a menos que
Adonnys. Sabendo que Matias tem 25 carrinhos, quantos carrinhos Adonnys tem?
Situação 1 – João tem algumas bolinhas de gude e Pedro tem 9 bolinhas de gude a
mais que João. Sabendo que Pedro tem 18 bolinhas de gude, quantas bolinhas de gude
tem João?
Situação 2 – Fábio tem alguns reais e Daniel tem 8 reais a menos que Fabio. Sabendo
que Daniel tem 19 reais, quantos reais tem Fábio?
Situação 1 – Ricardo tem algumas figurinhas e Marta tem 88 figurinhas a mais que
Ricardo. Sabendo que Marta tem 122 figurinhas, quantas figurinhas tem Ricardo?
Situação 2 – Jennefe tem algumas bonecas e Maria Clara tem 42 a menos que
Jennefe. Sabendo que Maria Clara tem 21 bonecas, quantas bonecas tem Jennefe?
Os problemas elaborados são todos muito parecidos. As professoras tiveram
dificuldade para elaborar problemas do tipo comparação – 4ª extensão, porque não
costumavam propor este tipo de situação e, por isso, as situações são semelhantes, só
mudando os personagens e as quantidades. É importante destacar que as professoras do 1º e
do 2º ano encerraram os encontros se queixando da dificuldade das crianças em aprenderem a
armar a conta. Embora algumas sugestões tenham sido feitas para a superação dessa
dificuldade, as respostas das crianças evidenciam que a mesma não foi superada por todos.
Armar a conta é um significante explícito e, por isso, indispensável à conceitualização.
Contudo, no estudo e aprendizado do Campo Conceitual Aditivo devem ser considerados os
três conjuntos que fazem parte do tripé (S, I, R), pois não existe bijeção entre eles, “não se
pode, pois, reduzir o significado, nem os significantes, nem as situações.” (VERGNAUD,
1996a, p.166).
175
CAPÍTULO 5
ANÁLISE INTERPRETATIVA
Neste capítulo, realizo a análise dos dados coletados nos instrumentos do Estudo 2.
Assim, realizo a análise textual discursiva dos registros realizados no diário de campo com
minhas impressões sobre as visitas à escola e encontros, e das entrevistas semiestruturadas
realizadas após a conclusão dos encontros de discussão com as professoras. Nesta análise,
procuro discutir aspectos relacionados ao estudo do Campo Conceitual Aditivo junto às
professoras, que podem ser identificados como condições ampliadoras ou restritivas no
aprendizado do ensino desse campo conceitual. Destaco, mais uma vez, que o texto produzido
representa uma das muitas possibilidades de interpretação dos dados coletados.
PROCESSOS DE APRENDIZAGEM E DE ENSINO DO CAMPO ADITIVO NO
GRUPO DE DISCUSSÃO
Para compreender de que forma o processo de discussão da TCC, no grupo de estudo,
contribuiu no aprendizado e ensino das Estruturas Aditivas pelas professoras, após
desmembrar as unidades de sentido, busquei agrupá-las estabelecendo relações que me
levaram a identificar que um grupo se referia ao conhecimento da teoria estudada e o outro, ao
ensino desse conhecimento. As categorias constituídas, apesar de não terem sido definidas
apriori, estão embasadas nas ideias defendidas por Shulman (1986) e Ball, Thames e Phelps
(2008). Segundo Moraes e Galiazzi (2007), quando isso acontece, essas categorias,
construídas a partir das múltiplas vozes que emergem dos textos, são denominadas de
categorias emergentes. Também, nesse sentido, estão agrupadas as unidades de sentido que
abordam as dificuldades presentes no processo.
Dessa forma, este texto está organizado em três partes. Na primeira, intitulada
Contribuições na aprendizagem do ensino da resolução de problemas aditivos, analiso
condições ampliadoras relacionadas ao ensino e aos aprendizados relativos ao conhecimento
do Campo Conceitual Aditivo e ao conhecimento pedagógico do mesmo. Na segunda,
intitulada Limitações na aprendizagem do ensino da resolução de problemas aditivos, analiso
condições restritivas relacionadas às dificuldades enfrentadas pelas professoras ao ensinarem
e aprenderem esses conhecimentos. Concluo com a terceira parte, na qual comento Aspectos
176
institucionais e de contexto, que influenciaram no desenvolvimento deste trabalho, em
diferentes momentos do mesmo.
5.1 CONTRIBUIÇÕES NA APRENDIZAGEM E ENSINO DA RESOLUÇÃO DE
PROBLEMAS ADITIVOS
Para que fosse possível avançar no aprendizado de como ensinar a resolução de
problemas de adição e de subtração nos anos iniciais do Ensino Fundamental, foi proposto às
professoras um estudo dos conteúdos relativos ao Campo Conceitual Aditivo. Durante esse
estudo, foram reveladas algumas condições ampliadoras, por mim interpretadas como
contribuições, categorizadas segundo as ideias de Shulman (1986), em dois grupos. No
primeiro grupo, estão as contribuições relacionadas ao conhecimento do Campo Conceitual
Aditivo (conhecimento específico do conteúdo) e, no segundo grupo, as contribuições
relacionadas ao conhecimento pedagógico do Campo Conceitual Aditivo (conhecimento
pedagógico do conteúdo).
5.1.1 Contribuições relacionadas ao conhecimento do Campo Conceitual Aditivo
O estudo das Estruturas Aditivas, como destacado anteriormente, aconteceu a partir
das reflexões realizadas frente ao desempenho dos estudantes na resolução dos problemas do
instrumento do Estudo Diagnóstico e das discussões sobre os conceitos e as situaçõesproblema, que fazem parte do Campo Conceitual Aditivo. Desse estudo, resultaram alguns
aprendizados específicos do Campo Conceitual Aditivo.
Esses aprendizados ampliaram o conhecimento das professoras e, por isso, entendidos
como contribuições, foram categorizados na visão de Ball, Thames e Phelps (2008), em:
contribuições relacionadas aos conteúdos do Campo Conceitual Aditivo (conhecimento
comum do conteúdo), e contribuições relacionadas aos conteúdos do Campo Conceitual
Aditivo, necessários para ensinar a resolução de problemas aditivos (conhecimento
especializado do conteúdo).
Nas contribuições relacionadas aos conteúdos do Campo Conceitual Aditivo, estão
contemplados os conhecimentos para identificar estratégias corretas e incorretas nas
resoluções apresentadas pelos estudantes, decorrentes do conhecimento usado pelas
professoras para resolver os problemas. Nas contribuições relacionadas aos conteúdos do
Campo Conceitual Aditivo necessários para um ensino eficiente da resolução de problemas
177
aditivos, estão contemplados os conhecimentos sobre o reconhecimento das diferentes
categorias e de suas extensões e os conhecimentos sobre a natureza dos erros dos alunos.
5.1.1.1 Contribuições relacionadas aos conteúdos do Campo Conceitual Aditivo
Conhecer o conteúdo resolução de problemas das Estruturas Aditivas envolve, entre
outras coisas, realizar corretamente as operações de adição e de subtração; resolver problemas
com elas; reconhecer um cálculo errado e uma estratégia incorreta de resolução de um
problema aditivo.
O estudo do Campo Conceitual Aditivo, no grupo, criou condições que oportunizaram
a reflexão sobre as estratégias de resolução utilizadas pelos alunos. Embora fossem
comentadas tanto as estratégias corretas como as incorretas, o foco de interesse das
professoras recaiu sobre as estratégias incorretas. Para Magina, Campos et al. (2010), a análise
dos erros favorece a identificação de dificuldades que ajudam o professor a compreender
melhor o processo cognitivo do aluno. As autoras ainda destacam que “quando um tipo de
erro é cometido por vários alunos de uma mesma sala, pode ser sinal de um problema de
ensino” (MAGINA, CAMPOS et al., 2010, p.47). Neste estudo, o erro mais comentado pelas
professoras, talvez por ser o mais frequente, foi o cometido ao armar a conta. Esse tipo de erro
está relacionado a um dos conjuntos que compõe o tripé (S, I, R), necessário para a
conceitualização, a representação simbólica, usada para expressar um esquema de pensamento
empregado na solução do problema.
A conversa sobre um erro de representação, cometido por um estudante da P.
Vermelho, evidencia que ela reconhece que a estratégia de resolução, utilizada pelo aluno,
está correta, mas que o algoritmo, apresentado por ele, está incorreto.
Pesquisadora - O problema P6 diz: Carla tinha seis reais, depois que ganhou alguns
reais de sua mãe ficou com 11 reais. Quantos reais Carla ganhou de sua mãe?
Quero que vejas os cálculos que teus alunos fizeram. Um deles fez assim: 6 – 11= 5.
P. Vermelho – Sim, ele só armou de maneira contrária, ele sabe que onze tira 6 vai
ficar 5.
Pesquisadora - Quando eles fazem assim, tu consideras certo, se fosses tu que
tivesses proposto o problema, tu considerarias certo?
P. Vermelho - Eu considero, porque ele só armou de maneira errada, em vez de
colocar o 11 em cima, ele colocou o 6, ele sabe que 11 tira 6 dá 5
Pesquisadora - Mas a conta está armada de maneira correta?
P. Vermelho - Não, não tá não.
Pesquisadora - Se de seis tira onze, quanto que dá?
P. Vermelho - Fica cinco.
Pesquisadora - Fica menos cinco.
P. Vermelho – Então, mulher: menos cinco, como?
178
Alunos da P. Azul, também, cometeram esse mesmo erro ao resolverem o problema
P6. Ela pensa o seguinte: “Porque ele colocou seis menos onze, eu corrigiria errado. O
correto é onze menos seis. [...] Para mim, isso pode ser falta de atenção.”.
Essa discussão levou a uma conversa sobre as operações no conjunto dos Números
Inteiros e sobre as propriedades da operação subtração, ao perceberem que essa operação não
possui a propriedade comutativa, porque 11 – 6 é diferente de 6 – 11. Ainda, foi discutido que
os algoritmos são apresentados sob a forma de um conjunto de regras (VERGNAUD, 1996a)
e que, no algoritmo da subtração de números naturais, a regra é colocar primeiro o cardinal
que expressa a maior quantidade.
Foram destacados, ainda, os erros relacionados à representação do sinal da operação
realizada.
Pesquisadora - No problema “Pedro foi ao mercado com dez reais. Pedro saiu do
mercado com três reais. Quantos reais Pedro gastou no mercado?”, um aluno teu
fez este registro: 10 + 3 = 7. O que tu pensas sobre essa resolução?
P. Azul - Acho que aí ele atrapalhou, ele achava que era adição em vez de
subtração, entendeu? Veja que ele somou aqui 10 + 3.
Pesquisadora - Se não olhássemos para o sinal, o que pensaríamos?
P. Azul - Que ele colocou o sinal errado.
Pesquisadora – Então, ele se confundiu na hora de colocar o sinal?
P. Azul - Na verdade, ele já sabe de cabeça. Têm muitos que têm dificuldade de ler,
aí já vai atrapalhando.
Pesquisadora - A resposta é 7. Se tu estivesses corrigindo esta prova e o aluno
fizesse este cálculo aí, tu darias certo ou errado?
P. Azul - Eu não dou nem certo e nem errado. Se era pra valer ponto eu dava meio
ponto, porque ele acertou o resultado; ele errou o sinal, porque ele fez a troca do
menos pelo mais.
Pesquisadora - O que ele está mostrando para nós com essa resolução?
P. Azul - O sinal, que ele ainda não domina qual é o sinal da operação subtração.
O importante na conversa com a professora é que ela conseguiu perceber que o
estudante utilizou um esquema de pensamento correto ao realizar o cálculo 10 – 3 = 7, embora
tenha registrado 10 + 3 = 7, e que a dificuldade dele está na representação simbólica do sinal
da operação, ou seja, ele errou na escolha do símbolo utilizado para representar o conceito de
retirar.
As falas destacadas, oriundas das transcrições das entrevistas das professoras, revelam
o conhecimento dessas docentes em relação ao conteúdo resolução de problemas de adição e
de subtração. Percebe-se que as discussões têm como foco saber fazer o cálculo numérico
necessário para resolver o problema, conhecimento relativo à representação simbólica do
esquema de ação utilizado. Vergnaud (1982) ressalta que os conceitos e os símbolos estão
interligados como se fossem dois lados da mesma moeda, e que se deve tomar cuidado para
ver os alunos usarem os símbolos, à luz do que eles significam nos conceitos.
179
5.1.1.2 Contribuições relacionadas aos conteúdos do Campo Conceitual Aditivo,
necessários para ensinar a resolução de problemas aditivos
O estudo do Campo Conceitual Aditivo, realizado nos encontros, criou condições que
ampliaram o aprendizado específico de conhecimentos desse campo conceitual, necessários
para um ensino eficiente da resolução de problemas de adição e de subtração. Por meio desse
estudo, as professoras perceberam que existe uma grande variedade de situações num mesmo
campo conceitual (VERGNAUD, 1996a) e que, para oportunizarem o desenvolvimento da
competência de desenvolver problemas aditivos de seus alunos, tinham que variar o tipo de
situação e o grau de complexidade das mesmas (MAGINA, CAMPOS et al., 2008).
Assim, reconhecer as diferentes situações que compõem o campo conceitual das
Estruturas Aditivas permitiu que as professoras pudessem elaborar problemas envolvendo as
três categorias e, ao mesmo tempo, identificar os grupos de problemas mais fáceis e, os mais
difíceis. Diz a P. Azul:
É claro, depois dos encontros, pra falar a verdade eu melhorei mais. A gente não
trabalhava dessa forma. Eu, professora, ou qualquer uma de nós, temos que
trabalhar mais nas dificuldades que eles mais sentem, por exemplo, não em
problemas como o primeiro (está se referindo aos problemas protótipos) que eles já
vêm trabalhando desde o primeiro ano. Como eles já estão no 3º ano, temos que
trabalhar de uma forma mais difícil um pouco, com problemas de maior
complexidade e não só maior complexidade, mas problemas de diferentes tipos. (P.
Azul)
A P. Verde refere-se a essa melhoria no momento em que aborda sobre a sua
preocupação em trabalhar com os alunos problemas com diferentes graus de complexidade,
ou seja, problemas que contemplem as diferentes extensões propostas por Magina, Campos et
al. (2008). Segundo ela
Melhorou, porque quando eu ia elaborar os problemas eu pensava que tipo de
problema era aquele, assim, era de 1ª extensão, 2ª extensão, 3ª extensão, entendeu?
Não sei se eles chegaram a atingir esses conhecimentos. Mas é isso, sempre que eu
ia elaborar um problema, eu pensava nos tipos de problemas e pegava os materiais
dos encontros para consultar, porque eu ainda não domino sem olhar lá. (P. Verde)
Ao afirmarem que precisam trabalhar mais as dificuldades dos alunos e que para isso
precisam variar os tipos de problema propostos, as professoras evidenciam que estão saindo
de uma proposta baseada em atividades rotineiras, que não correspondem a nenhuma
aquisição significativa (SERRAZINA, 2003), pois envolvem conhecimentos que os alunos já
dominam. Também, as docentes manifestam preocupação com o desenvolvimento de
180
competências relacionadas à resolução de problemas de adição e de subtração, pelos
estudantes, o que implica a aprendizagem dos conceitos do Campo Conceitual Aditivo.
Vergnaud (1993) afirma que cada conceito comporta várias propriedades, cuja
pertinência pode variar de acordo com a situação que está sendo tratada. Ao ampliarem seus
conhecimentos sobre conceitos e categorias, que fazem parte das Estruturas Aditivas, as
professoras adquiriram um conhecimento especializado desse conteúdo. Esse conhecimento
possibilitou identificar que costumavam propor aos estudantes problemas de um mesmo tipo,
ou seja, de uma mesma situação.
A maneira que eu vivenciei nos encontro foi para melhor, entendeu? Por exemplo, a
gente fazia os probleminhas diretamente, assim: “João tem 15 figurinhas e Maria,
20; quantas figurinhas tem os dois ao todo”? Era assim, aí nos encontros nós já
vimos que isso mudava. Para nós professores, que não trabalhávamos desta
maneira, porque eu não trabalhava, ajudou bastante, surgiram situações que nós
não trabalhávamos nada. (P. Azul)
Essa professora ainda afirma que, após o estudo no grupo de discussão, houve uma
mudança, principalmente em relação ao grau de complexidade dos problemas propostos aos
alunos e que essa mudança está presente “na forma de como trabalhar”; agora, ela também
propõe a resolução de problemas mais complexos.
Antes, era uma coisa e agora mudou totalmente, os problemas não são mais
trabalhados como eu trabalhava antes! Antes era um tipo de problema muito fácil,
não dificultava para os alunos e agora, mesmo eles sentindo mais dificuldades, eles
têm mais entusiasmo, vontade de resolver, entendeu? (P. Azul)
P. Vermelho fez uma observação semelhante à da P. Azul ao afirmar que mudou a
maneira de elaborar os problemas, diz ela: “Eu sabia de uma maneira e você trouxe, assim, de
outra maneira diferente da que eu sabia. Eu fazia já com todos os dados. Eu dava a
numeração no inicio e pedia no final.” A professora está querendo explicar que não elaborava
problemas como o P5, no qual o enunciado começa com “Ana tem algumas blusas...”, mas
sim, problemas com situações do tipo do P1 (tinha 9 e deu 4) que são mais simples.
Também a P. Amarelo destaca uma mudança relacionada à escolha dos problemas a
serem trabalhados com os estudantes no que se refere ao grau de complexidade dos mesmos,
diz ela.
Antes eu pensava assim, qualquer probleminha que envolva adição e subtração tá
bom, mas não levava em consideração a situação envolvida e a realidade deles. [...]
A gente tinha aquela ideia de trabalhar só aqueles probleminhas que vinham dos
livros. Aqueles que os alunos não conseguiriam resolver, a gente deixava pra lá, não
queria ver tirar nota fraca, não queria ver se prejudicando. Agora, a gente viu que
181
não é assim, pelo contrário, elaborando problemas de tipos diferentes vai levar o
nosso aluno a melhorar, a clarear seus horizontes em relação à matemática, vai
ajudar eles a aprenderem a resolver os cálculos matemáticos através dos
problemas. (P. Amarelo)
As falas revelam que as professoras ampliaram a percepção referente à dificuldade
presente na resolução dos problemas. Vergnaud (2009), ao comentar sobre a classificação dos
problemas, destaca que em algumas situações a solução do problema, é a mais simples que se
pode imaginar e não representa dificuldade para as crianças, entretanto, em outras, a solução é
mais complexa e ocasiona insucessos até para estudantes maiores.
Essa busca de compreensão, pelas docentes, do processo de ensino que realizam e do
que podem realizar, sinaliza uma postura reflexiva frente às suas experiências e à experiência
vivenciada no grupo de discussão, que Schön (1983) denominou de “reflexão sobre a ação”. A
reflexão realizada pelas professoras vai ao encontro das orientações de Vergnaud (1996a,
p.190), pois o autor esclarece que “o funcionamento cognitivo do sujeito em situação depende
do estado dos seus conhecimentos, implícitos ou explícitos”, merecendo atenção a
complexidade relativa das classes de problemas, os procedimentos, as representações
simbólicas e a análise dos principais erros. Também, Magina, Campos et al. (2008) ressaltam
que o professor deve estar atento às dificuldades, que são inerentes a cada tipo de situação
para não ficar repetindo problemas que requerem do aluno sempre o mesmo raciocínio.
Ter acesso a esse conhecimento mais aprofundado da TCC, mais especificamente do
Campo Conceitual Aditivo, oportunizou que as professoras se apropriassem de um
conhecimento especializado desse conteúdo. Para Ball, Thames e Phelps, (2008), esse
conhecimento pode ser considerado um “conhecimento especial”, pois ele só é necessário
para quem ensina a resolução de problemas aditivos. É um conhecimento que o professor
deve adquirir para poder ajustar sua ação pedagógica de maneira a contribuir com o
desenvolvimento da ação operatória dos estudantes.
Estar de posse desse conhecimento especializado oportunizou que, ao reelaborarem os
problemas do instrumento de investigação, as professoras se mantivessem atentas aos
diferentes tipos de problemas presentes nas três categorias estudadas: composição,
transformação e comparação.
A P. Azul considerou que “foi bom” elaborar novamente seis problemas de adição e de
subtração e que se sentiu melhor no momento da elaboração porque, ao elaborar os problemas
solicitados durante os encontros, adquiriu “mais experiência”, diz ela: “Este ano, para
elaborar os problemas para as aulas, a gente já estava mais segura e foram os encontros da
182
gente que ajudaram bastante.” Ela ainda explicou que agora tinha mais segurança em como
elaborar os problemas, porque já tinha clareza de que “não bastava ter uma subtração ou
adição na resolução”, era preciso estar atenta no tipo de situação presente no enunciado do
problema. Ela continua dizendo: “[...] no ano passado, fizemos problemas idênticos, tudo bem
parecido. E agora não, essas reuniões de estudo da gente já fizeram com que a gente
entendesse melhor que é preciso trabalhar com diferentes situações e, por isso, fizesse
problemas de vários tipos.”.
A preocupação em elaborar situações-problema que contemplassem as três categorias
estudadas e os diferentes graus de complexidade presentes nessas categorias foi uma
constante na fala das professoras. Esta é uma evidência de que entendem que, para serem
competentes no Campo Aditivo, os alunos precisam ser capazes de resolver diversos tipos de
situações-problemas, com diferentes graus de complexidade (MAGINA, CAMPOS et al.,
2008).
P. Verde - O meu medo era se eu elaborei de 1ª e de 2ª extensão e tudo mais...
Pesquisadora - Trabalhaste as três categorias, e nas extensões, tu trabalhaste
protótipo que é o mais simples; depois, trabalhaste 1ª extensão, que já é um
pouquinho mais difícil, e também de 3ª extensão, que é mais difícil ainda
P. Verde - Graças a Deus, tô satisfeita que eu cheguei aí, quer dizer professora, que
eu aprendi um pouquinho.
P. Amarelo - Naquele momento, nem todos os conceitos estavam na minha cabeça.
Pra gente elaborar tem que estar com os conceitos em mãos pra elaborar dos três
tipos, de forma diferente. Então, ali, naquele momento, eu elaborei os que estavam
na minha mente no momento. Os que eu me identifiquei, que eu gostei aquele tipo de
problema, que eu achei interessante, que adequava com a minha turma do 1° ano,
que eles não sentiriam tanta dificuldade para resolver. Aí, elaborei mais de um tipo
e, por isso, deixei alguns sem elaborar.
Pesquisadora - Nos problemas que elaboraste, tu contemplaste composição,
transformação e comparação, ou seja, as três categorias trabalhadas nos encontros.
Conseguiste fazer do tipo protótipo, fizeste os de primeira extensão e fizeste os de
segunda extensão e, como acabaste de falar, não fizeste da terceira e da quarta
extensão, porque são mais complexos.
Embora no momento da reelaboração dos problemas, as professoras não tivessem em
mãos os registros escritos sobre a TCC o quê, na opinião delas, contribuiria para que
pudessem abordar as diferentes extensões propostas por Magina, Campos et al. (2008), elas
conseguiram contemplar as três relações de base propostas por Vergnaud (1996a). Essa
preocupação também foi registrada em conversas realizadas nos encontros.
P. Verde – Hoje, quando vou elaborar um problema, eu fico pensando: esse
problema é de qual extensão, como é? Eu não chego a dizer que eu aprendi tudo,
não, mas sei que tenho que aplicar mais problema para os meninos.
Pesquisadora - E pra ti, P. Azul?
183
P. Azul - Como ela falou, aplicar mais problemas e, também, assim, o tipo de
problema que será aplicado. Tem uns que eles tiram de letra e tem outros que eles
sentem mais dificuldade. (E.7.2)
O desafio de ensinar a resolução de problemas passa pela clareza de conhecimento da
complexidade da situação presente no enunciado. Por isso, “elaborar situações-problema
significa fazer escolhas adequadas tanto de situações didáticas, quanto de debates,
explicações, representações e formulações que auxiliem os alunos a construírem novos
conceitos.” (MAGINA, CAMPOS et al., 2008, p.10-11).
O estudo dos conceitos matemáticos envolvidos no Campo Conceitual Aditivo e dos
esquemas de ação necessários à resolução das situações deu-lhes um maior conhecimento
sobre as noções para ensinar a resolução de problemas e esse conhecimento permitiu-lhes
buscar compreender a natureza dos erros cometidos por seus alunos (VERGNAUD, 2009).
Os registros do diário de campo descrevem uma parte de uma visita à escola e uma
parte de uma discussão que abordam reflexões sobre os erros dos estudantes.
Primeiro, cheguei na sala da P. Verde; quando me viu, novamente comentou que
estava pensando em me procurar. Ela me mostrou a folha com problemas resolvidos
pelas crianças e comentou comigo que estava analisando os erros deles nos
problemas e que não estava entendo porque alguns alunos, em problemas idênticos
só com números diferentes, tinham errado um e acertado o outro. Solicitei que ela
levasse esse material para ser discutido no próximo encontro. (V.E.2.3)
P. Verde apresentou a situação: Disse ela: Propus dois problemas e nos dois a
resolução envolve três parcelas, cada uma só com unidades; a menina acertou um e
errou o outro. No primeiro problema, dizia o seguinte: Eu tenho 5 lápis, 2 canetas e
5 borrachas. Quantos materiais escolares eu tenho? No outro dizia: Eu tenho 5
lápis, 2 canetas e 2 borrachas. Quantos materiais escolares eu tenho?
No primeiro problema, a menina escreveu: 52
+5
e, no segundo:
5
+2
2
P. Amarelo: Ela foi minha aluna no ano passado. É uma excelente aluna.
Pesquisadora: O que vocês acham que aconteceu? Por que a mesma criança
resolveu corretamente a segunda situação e não resolveu corretamente a primeira?
P. Amarelo: Em minha opinião, como eu conheço a menina, eu acredito que foi falta
de atenção no momento de armar a conta.
P. Branco: Ela acertou a segunda porque não fez associação com a primeira.
(E.2.5)
Os dois problemas em discussão envolvem uma situação prototípica da categoria
composição que não necessitaria do cálculo numérico para sua solução, pois as quantidades
poderiam ser somadas nos dedos. Contudo, as representações realizadas pela estudante
evidenciam que, em um dos problemas, a solução apresentada por ela expressa uma relação
incorreta entre os dados numéricos presentes no problema.
184
A representação simbólica expressa na forma de cálculo numérico foi um assunto que
esteve muito presente nas discussões do grupo de estudos, evidenciando ser a maior
preocupação das professoras.
Vergnaud (1993) considera que os registros escritos da
operação numérica contribuem para que se perceba a relação entre a solução apresentada pelo
estudante e os dados numéricos presentes na situação, porém, ao mesmo tempo, o autor
destaca que esses registros pouco contribuem para que se perceba a relação entre a solução e a
situação presente no problema.
As representações dos esquemas, utilizados pelos estudantes na resolução das relações
ternárias presentes nos problemas, evidenciaram dificuldades referentes à realização do
cálculo numérico.
P. Azul: Nesse momento, agora, eu acho que eles teriam dificuldade nessa conta (a
conta é 1230 + 980).
Pesquisadora: A dificuldade seria armar a conta ou realizar a soma?
P. Rosa: A dificuldade seria armar a conta.
P. Azul: Isso, para armar a conta.
Pesquisadora: Eles não teriam dificuldade em somar o 8 com o 3 ou o 9 com o 2?
P. Rosa: Na soma eles sabem sim. Alguns alunos dela foram meus no ano passado e
eu não sei se eles conseguiriam armar a conta, mas somar, sim.
Pesquisadora: Estou percebendo que a P. Rosa está colocando que as crianças
dominam o processo de soma.
P. Rosa: É, dominam.
P. Azul: Sim, se der armado, eles resolvem.
Pesquisadora: Só que eles têm dificuldade em armar a conta por causa da
quantidade de algarismos no número (números com 3 ou 4 algarismos).
P. Rosa: No ano passado, eu dava as contas armadas. (E.1.7)
Esses apontamentos, registrados no diário de campo, trazem discussões coletivas sobre
dificuldades dos alunos ao realizarem as representações dos cálculos numéricos,
principalmente no momento de armar a conta. O diálogo deixa claro que a dificuldade em
armar a conta identificada pela professora do 3º ano (P. Azul), tem relação com a maneira de
ensinar as operações, praticada pela professora do 2º ano (P. Rosa). É possível que, para
ajudar seus alunos a encontrarem o resultado correto de uma soma, P. Rosa considerasse que
deveria dar as contas armadas. Ao fazer essa escolha, a docente estava possibilitando que os
alunos fizessem uso de algumas invariantes operatórias relacionadas às regras da adição,
assim descritas por Vergnaud (2009, p.171): “juntam-se unidades a unidades, dezenas a
dezenas, etc.; obtém-se um resto se o número encontrado ultrapassa dez, etc.”.
Entretanto, o procedimento de dar as contas já armadas para as crianças resolverem
estava suprimindo o uso de outras invariantes operatórias, que fazem parte do princípio
fundamental da numeração e, consequentemente, da regra da adição. Essas invariantes estão
relacionadas à escrita dos números em numeração de posição, ou seja, colocar unidade abaixo
185
de unidades, dezenas abaixo de dezenas, centenas abaixo de centenas e, assim,
sucessivamente.
No caso em discussão, de fazer
1230
+ 980 .
Ao mesmo tempo em que comenta sobre como deve ser feita a explicação da adição de
duas quantidades, quando do agrupamento em grupos de dez, o autor afirma que “o problema
fundamental da aprendizagem da numeração e da regra da adição reside justamente na relação
entre o número escrito e a quantidade que ele representa, e na relação entre a regra da adição e
as operações que ela representa sobre os cardinais e sobre os conjuntos.” (VERGNAUD,
2009, p.172).
A troca de informações sobre essas dificuldades apresentadas pelos alunos que
passaram do 2º para o 3º ano contribuiu para que as professoras do 3º ano repensassem alguns
aspectos do planejamento, ao focar na superação das mesmas. Também, as professoras do 2º
ano, perceberam que necessitavam ajudar os alunos a compreenderem a regra da adição e,
para isso, era importante trabalhar com os agrupamentos de dez (pacotes de dez), e orientar no
procedimento de representação do cálculo numérico.
Esses momentos de discussão coletiva no grupo de professoras reforçam a ideia de
reflexão como uma prática social, na qual os pares se apoiam e um contribui no crescimento
do outro (ZEICHNER, 2008).
Outro procedimento incorreto, que provocou discussão, foi a resolução feita por um
aluno da P. Vermelho.
Pesquisadora - No P3, observa o que o aluno fez:
10
+3
43
P. Vermelho - Ele armou certo.
Pesquisadora - Sim, mas observa o resultado.
P. Vermelho - Mas a soma fez 43.
Pesquisadora - Por que ele colocou 43? Quero que tu observes como ele pensou
para chegar ao resultado 43.
P. Vermelho - Não sei...
Pesquisadora - Tu não estás ensinando multiplicação para eles?
P. Vermelho - Multiplicação e divisão. Ah, ele fez 3 + 0 = 3, 3 + 1 = 4, usou o
procedimento da multiplicação para fazer a adição, só que em vez de multiplicar 3 x
0 e 3 x 1 ele somou 3 + 0 e 3 + 1.
A professora conseguiu perceber que as regras operatórias utilizadas por essa criança
estavam relacionadas à operação multiplicação, trabalhada recentemente, e, talvez por isso,
ainda em destaque. Para Vergnaud (2009, p.172), um trabalho com as diversas técnicas de
186
ensino da numeração “deve se propor a fazer compreender a relação entre as operações sobre
os objetos e conjuntos, e as operações sobre os símbolos numéricos”, e quando realizado dessa
maneira, contribui para a superação de dificuldades como a apresentada pelo aluno da P.
Vermelho.
Essa busca de compreender a origem dos erros dos alunos, nos cálculos, pode
contribuir com o processo de ensino e, consequentemente, com a aprendizagem dos estudantes
(ABRANTES, SERRAZINA e OLIVEIRA, 1999). A postura reflexiva frente ao erro dos
estudantes, aos tipos de problemas trabalhados e à representação dos esquemas revela algumas
contribuições do estudo das Estruturas Aditivas, na ação docente das professoras. A aquisição
dos conhecimentos especializados do Campo Conceitual Aditivo, pelas docentes, criou
condições que possibilitaram desenvolver melhor esse conteúdo em sala de aula, pois
aprenderam a ensinar com maior compreensão e clareza, ao conhecerem a variedade
semântica e os diferentes graus de complexidades presentes nas situações do Campo Aditivo.
5.1.2 Contribuições relacionadas ao conhecimento pedagógico do Campo Conceitual
Aditivo
Faz parte do conhecimento pedagógico do conteúdo o conhecimento exclusivo para o
ensino (SHULMAN, 1986), ou seja, os conhecimentos sobre os aprendizados dos estudantes,
as estratégias que utilizam e os erros mais comuns; o conhecimento de diferentes
procedimentos de ensino e de abordagens eficientes para a superação das dificuldades dos
estudantes e de certos aspectos do conteúdo, neste caso, do conhecimento sobre o ensino da
resolução de problemas de adição e de subtração.
Na visão de Ball, Thames e Phelps (2008), o conhecimento pedagógico do conteúdo
(conhecimento pedagógico do Campo Conceitual Aditivo) se subdivide em: conhecimento
sobre as estratégias e o desempenho dos estudantes no Campo Conceitual Aditivo
(conhecimento do conteúdo e dos estudantes) e conhecimento das estratégias para ensino do
Campo Conceitual Aditivo (conhecimento do conteúdo e de seu ensino).
No conhecimento sobre as estratégias e o desempenho dos estudantes no Campo
Conceitual Aditivo, estão contemplados os conhecimentos sobre o desempenho dos
estudantes e sobre os erros mais comuns cometidos por eles e os conhecimentos sobre as
estratégias mais utilizadas. No conhecimento das estratégias para ensino do Campo
Conceitual Aditivo estão contemplados os conhecimentos sobre elaboração e aplicação dos
187
problemas, os conhecimentos sobre os materiais utilizados nas explicações e os
conhecimentos sobre a compreensão das estratégias de resolução utilizadas pelos alunos.
5.1.2.1 Contribuições relacionadas às estratégias de resolução e ao desempenho dos
estudantes no Campo Conceitual Aditivo
Ter conhecimento sobre as estratégias presentes na resolução dos problemas e o
desempenho dos estudantes envolve observar atentamente os erros mais comuns cometidos
pelos alunos. Compreender porque os alunos cometem esses erros oportunizou que as
professoras identificassem dificuldades na maneira como as informações estavam presentes no
enunciado do problema.
Pesquisadora - No problema P8: “Sobre a mesa da cozinha, tem 9 pratos de cores
amarelas e vermelhas. Três são amarelos, quantos são de cor vermelha?” Este
problema poucas crianças acertaram. Esse problema é fácil, médio ou difícil?
P. Vermelho - É fácil, eu acredito que eles erraram por causa da palavra três. Eles
têm dificuldade quando você põe em forma de palavra, eles não sabem.
P. Verde – Isso não seria porque o número três estava em palavra?
Santana (2010) também identificou este tipo de dificuldade, que chamou de
“desconsideração de números por extenso”. Para a autora, os estudantes esquematizam a
resolução utilizando somente as quantidades representadas com algarismos, no caso do
problema P8, desconsideram o “três”. Segundo Vergnaud, “a forma pela qual as informações
são apresentadas tem, naturalmente, um papel na complexidade dos problemas.”
(VERGNAUD, 2009, p.213), o que pode influenciar negativamente o desempenho dos
estudantes.
Visto que, compreender as dificuldades dos alunos envolve conhecer o desempenho
deles nos diferentes tipos de situações, também foram observados os desempenhos dos
estudantes nos problemas em que a maioria da turma acertou. Para as professoras, esse
desempenho é devido ao trabalho realizado por elas com esse tipo de situação.
Pesquisadora - No P1: “Ricardo tinha nove balas; deu quatro para seu irmão. Com
quantas balas Ricardo ficou?” das 26 crianças que fizeram o teste, 24 acertaram o
problema. Qual a tua opinião sobre esse resultado, por que consideras que eles se
saíram melhor nesse problema?
P. Azul - Esse tipo de problema eu sempre trabalhava muito, por isso eles não têm
dificuldade.
Pesquisadora - Pra ti, esse é um problema fácil ou difícil?
P. Azul – Fácil.
188
Os alunos de P. Verde apresentaram bom desempenho tanto no P1 (Ricardo tinha 9
balas e deu 4 para seu irmão. Com quantas balas Ricardo ficou?) como no P2 (Sobre a mesa
da cozinha, tem 8 copos azuis e 6 copos verdes.Quantos copos têm sobre a mesa?). Estes dois
problemas são do tipo protótipo, o que significa que são problemas mais simples, só que um é
de transformação e, o outro, de composição.
Pesquisadora - O que contribuiu para este resultado?
P. Verde - A minha preocupação em elaborar problemas deste tipo.
Pesquisadora - Nos problemas que elaboraste, não tem nenhum de composição tipo
protótipo, mas tem um de tipo transformação protótipo, eu quero que tu me digas se
tem relação entre eles e o desempenho dos teus alunos no instrumento?
P. Verde - Eu trabalhava mais com esse tipo de problema e, por isso, eles tiveram
melhor desempenho. Embora não tenha elaborado no dia que a senhora solicitou,
porque eu estava preocupada em elaborar de todos os tipos para mostrar que eu
tinha adquirido todos os conhecimentos, entendeu?
A professora justifica que, embora não tenha elaborado esse tipo de situação nos seis
problemas do instrumento, esse foi o tipo de situação que mais trabalhou em sala de aula. As
explicações, presentes nas falas de P. Azul e P. Verde, indicam que elas têm clareza de que o
desempenho de seus estudantes na resolução de problemas está relacionado ao seu ensino, ou
seja, as crianças se saem melhor nos problemas mais trabalhados em sala de aula. Esse fato é
condição para que as diferentes noções sejam compreendidas pelos alunos. Vergnaud (1982)
reforça essa ideia ao afirmar que a expansão dos conhecimentos do Campo Aditivo passa,
necessariamente, pelo seu ensino. Assim, cabe ao professor identificar conhecimentos que o
estudante ainda não domina e criar situações-problema que ajudem a expandir esse
conhecimento e, consequentemente, melhorar seu desempenho.
Quanto à possibilidade de melhoria no desempenho dos estudantes, P. Vermelho
considera que melhorou “muito pouco”, para ela “É muito difícil mudar, assim, de repente, já
vem da pré-escola trabalhando mais problemas do tipo transformação.” P. Verde diz:
“melhorou, até você tem prova disso” e acredita que a melhora só não foi maior porque
“faltou prática, foi muito pouco tempo para eu trabalhar com essa quantidade de problemas
envolvendo diferentes situações.”. Para P. Amarelo, “melhorou principalmente na
interpretação”, apesar de que “o primeiro ano é um ano que eles têm um pouco de dificuldade
de resolver o problema, porque muitos não leem. Aqueles que já leem não sentiram
dificuldade para fazer.” Ela conclui dizendo que o desempenho dos estudantes, na resolução
dos problemas do instrumento, foi o esperado.
Eu já esperava mais ou menos este resultado, porque no primeiro ano eles ainda são
muito novos, vieram de uma turma de pré que não trabalha de forma nenhuma
problema na pré-escola, tá entendendo? O que eles viram começou aqui, este ano.
189
Eu acredito que nos anos seguintes já tenham uma base, que nos anos seguintes eles
vão progredir. Eu também não trabalhei tanto o que deveria ter trabalhado, eu me
preocupei muito com a leitura, entendeu? Estes encontros me levaram a trabalhar
um certo tanto com eles, que se não fosse estes encontros eu ia trabalhar bem menos
ainda, tá entendendo? (P. Amarelo)
Novamente, na fala de P. Amarelo, é possível perceber evidências de que as
professoras consideram que a intensificação do trabalho com a resolução de problemas das
Estruturas Aditivas pode promover algum tipo de melhoria no aprendizado dos estudantes.
Contudo, para que o aprendizado dos estudantes se efetive e se amplie, além da mudança na
quantidade de problemas trabalhados, deve ser observado que os tipos de situações, esquemas
e representações ensinados não sejam sempre os mesmos, para não restringir os aprendizados
dos mesmos.
O aprendizado dos estudantes, na resolução dos problemas desenvolvidos em sala de
aula, era registrado em relatórios. Os dados registrados nos relatórios oportunizaram que as
professoras refletissem sobre o desempenho de seus alunos e sobre as estratégias de resolução
utilizadas por eles. Num dos registros feitos no diário de campo, de visita à escola, consta que
P. Verde entregou os relatórios e conversou sobre o desempenho dos alunos nos
problemas. Expressou a sua preocupação em ver que as crianças não estavam se
saindo bem nos problemas. Foi bom ver que a professora percebe a importância de
estar sempre testando as crianças para coletar evidências sobre o desempenho das
mesmas. (V.E.6.2)
A necessidade de coletar evidências sobre o desempenho das crianças na resolução dos
problemas de adição e subtração criou condições que possibilitaram às professoras
perceberem que esse procedimento também poderia ser utilizado em outras áreas.
Ao conversar com a P. Verde sobre o desempenho das crianças, surgiu a questão
da alfabetização das mesmas. Ela se deu conta de que assim como está sempre
testando as crianças em relação à resolução de problemas, também deve testá-las
em relação à leitura e interpretação, pois precisa dessas evidências para redigir o
parecer final de desempenho de cada criança. (V.E.6.3)
Esse aspecto ficou evidente em algumas conversas realizadas na escola com as
professoras, quando refletiam sobre sua prática de sala de aula e “revelavam perceber a
necessidade de fazer um diagnóstico do desempenho de seus alunos para repensar seu
planejamento. A atitude evidenciava uma postura condizente com a de um professor que
pesquisa e reflete sobre a sua prática” (V.E.3.2), uma aprendizagem que resulta em
desenvolvimento profissional (ZEICHNER, 2008; POLETTINI, 1998).
190
5.1.2.2 Contribuições relacionadas às estratégias de ensino do Campo Conceitual Aditivo
O estudo e esforço - valor do trabalho do professor - “devem procurar dar-lhe um
maior conhecimento sobre a criança e permitir-lhe ajustar permanentemente as modalidades
de sua ação pedagógica” (VERGNAUD, 2009, p.15).
No caso deste estudo, a possibilidade de aprofundar os conhecimentos relativos às
Estruturas Aditivas permitiu que as professoras compreendessem melhor as dificuldades
apresentadas pelos alunos. Esse entendimento contribuiu para que realizassem um ajuste nos
valores presentes nas situações-problema. As professoras buscaram propor situações que
envolvessem cálculos nos quais os estudantes estavam cometendo erros. Isso pode ser
percebido na fala da P. Rosa, quando ela justifica a escolha das quantidades presentes no
problema que elaborou.
Neste caso aqui (referindo-se à segunda situação elaborada pela dupla do 2º ano, no
qual o aluno teria que somar 12 + 5), eu coloquei um grau de dificuldade pra eles,
pra saber a unidade onde ele encaixaria aqui (referindo-se ao fato de verificar se o
aluno conseguirá armar a conta colocando o 5 embaixo do 2). (E.1.10)
A fala da professora sinaliza que a discussão sobre as estratégias incorretas e os erros
cometidos pelos alunos nos algoritmos possibilitou que repensassem a abordagem de ensino
que utilizavam e realizassem um trabalho voltado para a superação das dificuldades dos
discentes.
Para P. Amarelo, o aprendizado no grupo de discussão resultou em mudança na forma
de ensinar a resolução dos problemas de adição e de subtração, o que possibilitou o uso de
diferentes esquemas de resolução.
Mudei a forma de ensinar, é que eu pude ensinar para os meus alunos várias formas
de resolver, não só da forma da conta, mas também com desenho. Antes, quando a
gente falava os probleminhas para eles era um terror, porque eles não sabiam fazer.
Eles mudaram a sua maneira, eles mudaram o pensamento em relação aos
problemas. Eles viram que não tem só uma forma de resolução e que podemos
representar através do desenho a resolução e, então, melhorou. (P. Amarelo)
A fala da P. Amarelo vem ao encontro da fala de Magina, Campos et al. (2010) que,
ao analisarem as estratégias utilizadas por estudantes baianos, concluíram que o pouco uso de
registros icônicos na resolução dos problemas pode ser um sinal de que os professores não
incentivam o uso de outras formas de registro, como por exemplo o desenho, frequentemente
utilizado por crianças pequenas. O uso de diferentes esquemas de resolução, que podem ter
191
suas representações em diagramas, algoritmos ou desenhos, permite a utilização de diferentes
invariantes operatórias.
Da mesma forma, P. Azul reflete sobre a possibilidade de utilizar recursos materiais
como auxílio na superação das dificuldades evidenciadas pelas crianças. Para ela, além de
“treinar mais, trabalhar mais os problemas deste tipo” o uso de algum recurso material
“ajudava bastante”. Para resolver o problema P4 do instrumento, ela sugere “colocar uma
criança com desenhos de pares de sapato e, a outra, também e pedir para eles fazerem a
comparação, assim eles iriam entender melhor.”. É possível que, de posse dos recursos
materiais, os estudantes possam estruturar melhor a resolução do problema e perceber que as
quantidades devem ser subtraídas, para que se descubra a diferença entre elas.
P. Verde pensa que “o uso do CAVALU oportunizou que as crianças organizassem
melhor unidades, dezenas e centenas. Na hora que eles vão armar, eles sabem onde está a
dezena e a centena naquele material, entendeu?” Ela acredita que é possível ajudar mais as
crianças se “trabalhar mais, mostrar mais, interpretar mais o problema”; para ela, o mais
importante é aumentar a quantidade e afirma “Eu acho que tudo é uma questão de prática.”
Vergnaud se refere à representação da numeração, quando afirma que “nada é mais
fecundo, no plano pedagógico, do que exercícios de passagem de um material a outro, ou de
uma representação à outra.” (VERGNAUD, 2009, p.174). Ele sugere que o estudante passe da
representação da quantidade com materiais à representação com números escritos e depois
passe da representação do número escrito ao desenho de um conjunto. Para ele, essas
atividades são um meio seguro de ajudar as crianças a compreenderem o sistema de
numeração. O material utilizado pela P. Verde ajuda as crianças a compreenderem o princípio
fundamental da numeração, destacado por Vergnaud (2009), ao explicar sobre o valor
posicional que um algarismo assume ao ser colocado na coluna das unidades, dezenas ou
centenas e, assim, por diante.
Além do uso de alguns recursos materiais, também o aumento do número de
problemas com situações da categoria comparação revela um ajuste na ação pedagógica das
professoras. A P. Azul afirma que, antes dos encontros de estudo, ela não trabalhava com
situações da categoria comparação, “dificilmente trabalhava, foi depois dos encontros que eu
fui trabalhar, mas mesmo assim eles não pegaram muita prática com isso, eles ficam meio
confusos quando vão fazer a diferença entre um e outro, eles ficam confusos, em descobrir
quanto alguém tem a mais.”.
A dificuldade apresentada pelos alunos da P. Azul foi destacada por Magina, Campos
et al. (2008) ao explicarem que crianças menores de 9 anos costumam não responder
192
apropriadamente a pergunta na qual precisam fazer a diferença entre as quantidades e, por
Vergnaud (1982), ao afirmar que esse tipo de dificuldade está relacionada ao nível de
desenvolvimento cognitivo da criança.
Nesse sentido, ao refletir sobre o estudo do Campo Conceitual Aditivo no grupo de
discussão, P. Amarelo destaca algumas contribuições do mesmo, que lhe permitiram repensar
sua maneira de ensinar a resolução dos problemas aditivos e as operações.
[...] foi proveitoso porque ampliou nosso conhecimento em cima dos problemas,
levou a gente a perceber que precisamos trabalhar mais com eles. Ampliou nosso
horizonte também em relação aos cálculos, porque é mais fácil trabalhar cálculo
matemático nas situações problemas do que uma coisa solta, uma conta seca, solta,
né... que não leva os alunos a pensarem, conta feita mecanicamente, nos dedos ou
sei lá como. (P. Amarelo)
No que se refere à contagem com os dedos, vale destacar que esse esquema de
resolução é uma estratégia básica de operação, muito utilizada por crianças pequenas, como é
o caso dos alunos da P. Amarelo. Para Vergnaud (1993), o esquema de enumeração de
quantidades utilizado por crianças pequenas, seja na contagem dos dedos ou de objetos,
abrange uma organização invariante, essencial para o funcionamento do mesmo, tais como:
coordenação entre os movimentos dos olhos e gestos, e dos dedos das mãos em relação às
quantidades. Para o autor, aos poucos os estudantes vão se apropriando de esquemas mais
elaborados, que fazem uso de outras invariantes.
Para que os estudantes se apropriem desses conhecimentos, antes de qualquer coisa, se
faz necessário intensificar o trabalho com a resolução de problemas aditivos. A percepção de
que era necessário aumentar o número de problemas a serem trabalhados foi reafirmada nas
falas de P. Amarelo e P. Verde.
Eu estou trabalhando mais problemas este ano do que o ano passado, com certeza.
No ano passado, quase não trabalhei problemas, mas como nós tivemos estes
encontros, já me clareou a ideia que é importante trabalhar problemas, que é
necessário, pois leva os alunos a terem um raciocínio lógico mais claro, então
acredito que melhorou bastante. (P. Amarelo)
Por causa dos encontros, eu trabalhei mais a resolução dos problemas. Sempre
tinha aquela expectativa de pensar: eu tenho que trabalhar mais problemas, porque
é importante para mais adiante. (P. Verde)
As professoras perceberam a importância de se trabalhar um maior número de
problemas. Vergnaud (1996a) afirma que a experiência é um fator importante no aprendizado
e que ela só pode ser adquirida com a prática. Para as docentes, o estudo das Estruturas
Aditivas, no grupo de discussão, criou condições favoráveis ao aumento da quantidade de
193
problemas propostos aos estudantes, pois oportunizou que percebessem a necessidade de que
seus alunos ampliassem os conhecimentos relativos à resolução de problemas aditivos.
Esse aumento no número de problemas propostos aos alunos revela uma mudança na
prática dessas docentes que pode contribuir com a melhoria da aprendizagem do Campo
Conceitual Aditivo de seus estudantes, se ele estiver relacionado às diferentes categorias e
graus de complexidade presentes nas situações.
O estudo das situações que compõem as Estruturas Aditivas não só possibilitou que as
professoras aprofundassem seu conhecimento matemático relacionado à resolução de
problemas como, também, percebessem que a apropriação desse conhecimento provocou
mudanças na sua forma de trabalhar a resolução de problemas. Para P. Azul, os alunos deste
ano estão mais bem preparados que os alunos da turma do ano passado.
Eu acho que meus alunos deste ano estão melhores [...] depois que eu comecei a
participar destes encontros para mim melhorou muito. É uma grande busca de
conhecimento, porque eu não trabalhava desta maneira. Eu, toda vida, trabalhei
problemas, acabava o assunto, por exemplo, adição, aí vem problemas, mas não
desse tipo. (P. Azul)
O depoimento da P. Azul ratifica os comentários de Jutta e Dorneles (2010) ao
afirmarem que ainda é muito comum a prática de ensinar os algoritmos das operações e, em
seguida, propor a aplicação destes em problemas. Para as autoras, essa prática contribui para
que os alunos aprendam, que para solucionar um problema, só se precisa organizar no formato
de um algoritmo os valores dados na situação. O abandono da prática de trabalhar problemas
somente após o ensino do algoritmo oportunizou que os problemas fossem trabalhados de
forma diferente.
[...] se encontrou formas mais práticas para ensinar a resolver os problemas,
entendeu? E de trabalhar melhor com adição e subtração, porque foi assim uma
maneira diferente só que essa diferença foi uma coisa que ajudou a classe. (P. Azul)
A fala da P. Azul, embora não explique quais foram as formas mais práticas de
ensinar, evidencia um ajuste na sua maneira de ensinar que ajudou os alunos a
compreenderem melhor as situações presentes nos problemas e, por isso, evidenciassem maior
interesse em resolvê-las.
[...] melhorou o interesse deles de resolver, eles não tinham muito, entendeu?
Agora, eles ficam entusiasmados, eu acho que a maneira que nós trabalhamos os
problemas. Tinha problema que era passado e eles não entendiam como resolver,
eles não sabiam de nada, entendeu como é que é? Agora, eles já conseguem. (P.
Azul)
194
Serrazina (2003) acredita que para ser competente na resolução de um tipo de tarefa, o
estudante não só deve ter os conhecimentos necessários e a capacidade de identificá-los e
mobilizá-los, como, ainda, a disposição para fazê-lo efetivamente.
Da mesma forma, para ajustarem a ação pedagógica, as professoras necessitam estar
dispostas para fazê-lo. A disposição delas, em melhorar a prática de ensinar a resolução de
problemas, foi instigada a partir das reflexões realizadas frente ao desempenho dos alunos. No
registro relativo ao primeiro encontro, feito no diário de campo, consta que “O interesse delas
aumentou no momento que comecei a apresentação dos dados coletados na etapa
diagnóstica: desempenho dos alunos e classificação dos problemas elaborados por elas.”
(E.1.3) Pode ser que o baixo desempenho dos estudantes no instrumento do estudo
diagnóstico, apesar de ser um desafio externo, tenha causado uma perturbação interna nas
professoras capaz de influenciar a prática de ensinar a resolução de problemas (POLETTINI,
1998).
A perturbação interna pode ter sido provocada por reflexões realizadas sobre essa
prática. Quando questionada sobre o desempenho de seus alunos nos problemas protótipo de
transformação, P. Amarelo afirma: “Acredito que eles tenham se saído melhor nesses porque
esses são mais fáceis para faixa etária deles, nível do primeiro ano e, também, porque são os
tipos de problemas que eu trabalhei mais com eles.” Ela complementa: “Eu trabalhei também
os mais difíceis para eles terem uma noção que existe este tipo de problema, mas eu me
dediquei mais a trabalhar com eles sobre esses que eles mais acertaram.”.
Para P. Amarelo, a discussão da análise das estratégias utilizadas pelos estudantes
contribuiu na forma dela ensinar os problemas de adição e de subtração, porque segundo ela
“a gente aproveita das estratégias que o aluno usa para descobrir seus erros e seus acertos
para trabalhar em cima deles. A gente descobre o erro e que estratégia ele usou e a gente vai
lá naquele erro e trabalha com aquele erro para melhorar, para levar ele ao acerto.”.
Faz parte do conhecimento pedagógico de um professor conhecer os esquemas de
resolução utilizados por seus alunos. A reflexão sobre o desempenho dos estudantes, realizada
em todos os encontros, buscou oportunizar que as professoras adquirissem esse conhecimento
e passassem a ter familiaridade com as formas de representação mais utilizadas e, também, os
erros mais comuns.
Na turma da P. Amarelo, as formas de representação mais utilizadas pelos alunos
foram: com desenhos e com algarismos. Para ela isso aconteceu, porque
195
[...] trabalhei muito com desenho para as crianças que não conseguiam ler e tinha
que realizar o cálculo com a conta. O cálculo mental é justamente os alunos com
estágio mais avançado de desenvolvimento, eles já fazem o cálculo mental e não
querem nem fazer a conta; já sabem a resposta e querem dar a resposta. Com
algarismo teve bastante acerto, quase a metade da turma. Os que fizeram a continha
são os que têm mais paciência, que já leem o problema, que já interpretam certo,
dominam a formalização, já sabem fazer o cálculo corretamente, a resposta, tudo
certinho. (P. Amarelo)
A fala da P. Amarelo revela que ela tem conhecimento de que a forma de
representação utilizada por seus alunos tem relação com o nível de compreensão que eles têm
da situação e com o domínio das regras necessárias para a representação do esquema
escolhido.
Da mesma forma, ao comentarem sobre o desempenho das crianças que responderam
o instrumento do Estudo 1, as professoras perceberam no quadro com a análise das estratégias
utilizadas na resolução dos problemas, que a estratégia correta mais utilizada foi “a resolução
com algarismos, por ser a mais praticada em sala de aula”. Perceberam, também, que as
estratégias com erros mais utilizadas foram: “operação contrária, registro de número do
enunciado e números aleatórios”. Apontaram como possível causa para esse tipo de erro
“falta de prática de problemas desse tipo e falta de leitura com interpretação por parte dos
alunos”, e como possibilidades de superação para esses erros “trabalhar mais problemas
desse tipo com os alunos, mostrar as possíveis possibilidades de resolução dos mesmos e
trabalhar mais leituras e interpretações.” (E.8.4)
É possível observar que não só a complexidade maior ou menor de cada uma das
situações apresenta dificuldade para os estudantes, por esse motivo o professor deve estar
atento aos esquemas representados nos algoritmos para que, mesmo nos insucessos das
crianças, percebam que “existem elementos que permitem ver o que a criança compreendeu e
o que ela não compreendeu, e de, assim sendo, apoiar-se nos próprios insucessos para fornecer
as explicações necessárias.” (VERGNAUD, 2009, p.212).
A discussão sobre os conhecimentos da TCC relativos ao Campo Conceitual Aditivo e
a reflexão sobre as estratégias de resolução utilizadas pelos alunos criaram condições que
possibilitaram a compreensão e a melhoria do processo de ensino da resolução de problemas
e, segundo Zeichner (2008), isso revela mudança e desenvolvimento profissional.
196
5.1.3 Síntese das contribuições na aprendizagem do ensino da resolução de problemas
aditivos
A análise realizada sobre os registros feitos no diário de campo, referentes aos
encontros e visitas à escola e às entrevistas com as professoras, revelou condições
ampliadoras que contribuíram com o aprendizado do ensino da resolução de problemas
aditivos. Essas condições estão relacionadas ao conhecimento do Campo Conceitual Aditivo e
ao conhecimento pedagógico do mesmo, na ação de ensinar a resolução de problemas de
adição e de subtração em turmas dos anos iniciais do Ensino Fundamental.
Dentre as contribuições vinculadas ao domínio do conhecimento do Campo Aditivo,
vale destacar o aprendizado das professoras frente ao conhecimento do conteúdo resolução de
problemas aditivos no que se refere à análise da representação simbólica da resolução do
algoritmo. As professoras identificaram erros na representação simbólica utilizada pelos
estudantes, tais como: troca de sinal da operação e montagem errada da conta.
Quanto ao conhecimento especializado, necessário ao ensino da resolução de
problemas do Campo Aditivo, os registros escritos revelam contribuições do estudo
relacionadas ao entendimento das professoras de que: existe uma grande variedade de
situações que pertencem a um mesmo campo conceitual; se faz necessária a proposição de
problemas com diferentes graus de complexidade, para que seus alunos dominem os conceitos
envolvidos nessas situações; devem ser mais trabalhadas as situações nas quais os estudantes
tiveram pior desempenho; e precisam conhecer a natureza dos erros cometidos pelos
estudantes no uso da representação simbólica e de esquemas de resolução.
A análise também revelou que foram criadas algumas condições referentes ao
conhecimento pedagógico do Campo Conceitual Aditivo. O estudo com as professoras
contribuiu para que ampliassem os conhecimentos sobre os aprendizados dos estudantes ao
identificarem aspectos do enunciado do problema que trazem dificuldades a eles, como por
exemplo, o uso de números por extenso; reconhecerem os tipos de problemas nos quais eles
têm melhor desempenho, o que sinaliza conceitos, esquemas e invariantes que eles já
dominam; e aprenderem a coletar evidências sobre o desempenho de seus alunos.
Ainda, foram percebidas contribuições do estudo na ampliação dos conhecimentos
relativos ao aprendizado de estratégias de ensino da resolução de problemas aditivos. Foi
possível identificar alguns ajustes na ação pedagógica das professoras quanto ao número de
problemas trabalhados (houve um aumento); a maneira de ensinar a resolver os problemas (a
professora do 1º ano passou a ensinar também com desenhos); ao uso de algum recurso
197
material (CAVALU). Os ajustes se ampararam nas análises de desempenho e estratégias de
resolução utilizadas pelos alunos e tinham como propósito ajudá-los na superação das
dificuldades.
Considero importante destacar que as discussões ocorridas durante o estudo do Campo
Conceitual Aditivo criaram condições que favoreceram o desenvolvimento da postura
reflexiva das professoras frente ao ensino da resolução de problemas aditivos.
5.2 LIMITAÇÕES NA APRENDIZAGEM E ENSINO DA RESOLUÇÃO DE
PROBLEMAS ADITIVOS
Durante o aprendizado matemático das professoras no grupo de discussão, foram
reveladas algumas condições restritivas, por mim interpretadas como limitações na trajetória
do estudo realizado. Assim como nas contribuições, as limitações observadas foram
organizadas, segundo as ideias de Shulman (1986), em dois grupos. No primeiro grupo, estão
as limitações relacionadas ao conhecimento do Campo Conceitual Aditivo (conhecimento
específico do conteúdo) e, no segundo grupo, as limitações relacionadas ao conhecimento
pedagógico do Campo Conceitual Aditivo (conhecimento pedagógico do conteúdo).
5.2.1 Limitações relacionadas ao conhecimento do Campo Conceitual Aditivo
Ao olhar mais detalhadamente as limitações, novamente se organizaram as
subcategorias segundo a visão de Ball, Thames e Phelps (2008). Dessa forma, as limitações
relativas ao conhecimento específico do conteúdo (conhecimento do Campo Conceitual
Aditivo) se subdividiram em: limitações relacionadas ao conhecimento do Campo Conceitual
Aditivo (conhecimento comum do conteúdo) e limitações relacionadas ao conhecimento do
Campo Conceitual Aditivo necessário para ensinar resolução de problemas (conhecimento
especializado do conteúdo).
Nas limitações relacionadas ao conhecimento do Campo Conceitual Aditivo, estão
contempladas as dificuldades relacionadas ao conhecimento mais aprofundado do sistema de
numeração decimal, de diferentes procedimentos para resolução de cálculos numéricos e da
resolução de problemas de maior complexidade. Nas limitações referentes ao conhecimento
do Campo Conceitual Aditivo necessário para o ensino eficiente da resolução de problemas
aditivos, estão contempladas as dificuldades referentes ao conhecimento das competências
198
matemáticas necessárias à resolução de um problema, à representação dos esquemas de
pensamento e às relações presentes nas situações.
5.2.1.1 Limitações relacionadas aos conteúdos do Campo Conceitual Aditivo
As discussões realizadas nos encontros sobre as dificuldades dos alunos na resolução
dos problemas permitiram identificar, na fala das professoras, dificuldades referentes ao
conhecimento do conteúdo.
Uma discussão que permeou a tarde foi sobre a natureza da dificuldade
apresentada nos cálculos. Algumas professoras, principalmente P. Branco,
consideram que a dificuldade na resolução do cálculo está na quantidade
representada, ou seja, somar números que envolvam unidades e dezenas é mais
difícil do que somar números que envolvam apenas unidades. Por exemplo, para
elas 21 + 12 é mais difícil para o aluno do que 7 + 9. (E.1.6)
A dificuldade pode estar relacionada ao esquema de resolução escolhido pelo discente
e ao domínio da regra da adição. Se um aluno está aprendendo as propriedades do número e
ainda não aprendeu a estrutura do sistema de numeração decimal vai ter muita facilidade com
9 + 7, porque vai resolver calculando nos dedos. Para ele, é mais difícil resolver 21 + 12,
porque essa soma é difícil de fazer nos dedos. Entretanto, se o aluno já domina as regras da
adição, a soma de 21 + 12 será considerada fácil.
Ao que tudo indica, um conhecimento mais aprofundado do sistema de numeração
decimal e de diferentes procedimentos para resolução de cálculos numéricos, permitiria às
professoras identificarem com mais segurança a natureza das dificuldades de seus alunos.
“Somente um conhecimento claro das noções a ensinar pode permitir ao professor
compreender as dificuldades encontradas pela criança e as etapas pelas quais ela passa.”
(VERGNAUD, 2009, p.15).
Essa dificuldade também se manifestou no momento em que as professoras foram
solicitadas a apresentarem diferentes possibilidades de registro do cálculo para um mesmo
problema.
Após a discussão sobre a teoria, entreguei uma folha com 4 problemas de
composição, 2 do tipo protótipo e 2 do tipo 1ª extensão, para elas resolverem
utilizando diferentes possibilidades de resolução, seja com a conta armada ou sem a
conta armada. Meu objetivo foi de investigar quais as possibilidades que elas
ensinam para seus alunos. As poucas possibilidades de procedimentos apresentadas
por elas indicou que, principalmente as professoras do 3º ano, costumavam
trabalhar somente com a possibilidade do cálculo numérico. (E.3.5)
199
Saber representar a resolução de um problema somente de uma forma, que é o cálculo
numérico no seu formato convencional, muitas vezes feito a partir de regras memorizadas,
revela pouco conhecimento do conteúdo que deve ensinar e a falta desse conhecimento é uma
condição que restringe o ensino e o aprendizado do Campo Conceitual Aditivo. Da mesma
forma, a dificuldade evidenciada na resolução de um problema de maior complexidade revela
pouco conhecimento na resolução de situações que envolvem mais de um raciocínio.
Depois que resolveram os problemas que estavam na folha xerocada, questionei: O
que observaram nos problemas?
P. Amarelo: Eu vi que os problemas são de complexidade bem diferente, do mais
simples a um bem mais complexo, até eu fiquei bem embaralhadinha para resolver o
último.
Percebi que nenhuma delas conseguiu resolver o último problema. P. Azul foi a
única que entendeu a ideia do problema, embora não tenha chegado à resposta.
Mesmo após toda a discussão, ainda ficaram com dúvida. Elas consideraram que
esse problema era muito difícil para ser resolvido pelas crianças. (E.4.2)
O último problema a que se refere o registro é o seguinte: “Roberto foi jogar
videogame. Ao fim da primeira fase do jogo ele tinha perdido 4 pontos. Ele, então, foi para a
segunda e última fase do jogo. Ele terminou o jogo com 7 pontos ganhos. O que aconteceu na
segunda fase?” (MAGINA, CAMPOS et al., 2008, p.20) Essas autoras, apoiadas nas pesquisas
de Vergnaud (1982), afirmam que somente 25% dos estudantes de 11 anos conseguem
resolver este tipo de problema. Assim sendo, as professoras estão certas ao afirmarem que
seus alunos teriam dificuldade em resolvê-lo, entretanto, o fato de nenhuma delas ter
conseguido resolver evidencia uma limitação relacionada ao domínio desse conteúdo.
5.2.1.2 Limitações relacionadas aos conteúdos do Campo Conceitual Aditivo, necessários
para ensinar a resolução de problemas aditivos
Para ensinar a resolução de problemas aditivos de maneira eficiente, é necessário que
as professoras dominem os conceitos matemáticos e os diferentes tipos de representações
relacionados a esse conteúdo. P. Vermelho reconhece que teve dificuldade em utilizar os
diagramas, para representar os esquemas com as resoluções dos problemas.
P. Vermelho: Eu senti dificuldade em resolver da maneira da qual você ensinou.
(Está se referindo à utilização dos diagramas)
Pesquisadora: E tu percebeste que teus alunos tiveram dificuldade?
P. Vermelho: Tiveram dificuldade, muito mais que eu ainda.
P. Azul: Tive dificuldade em como trabalhar com as crianças. Não porque eu não
soubesse trabalhar, mas tinha dúvida se eles iam entender direitinho, pela mudança,
porque a gente não tinha prática de trabalhar desse jeito. Então, isso é uma
200
mudança. Aí o meu medo era deles não entenderem a maneira como eu estava
trabalhando ali.
As falas das professoras revelam dificuldades enfrentadas por elas na tentativa de
mudar a forma de ensinar. A dificuldade destacada por P. Vermelho e P. Azul se refere à
representação do esquema de pensamento no diagrama. A necessidade de compreender as
relações presentes nas situações-problema e a simbologia proposta por Vergnaud (2009)
dificultou a elaboração dos esquemas de resolução nos problemas que elaboravam. É possível
que essa dificuldade das professoras tenha restringido o ensino de diferentes esquemas de
resolução, favorecendo, assim, que o uso do algoritmo fosse enfatizado.
Conhecer as relações presentes nas situações que identificam cada categoria foi uma
dificuldade que esteve presente durante todo o processo. No início, as professoras, ao
elaborarem um problema, mantinham o hábito de colocarem atenção apenas no cálculo
necessário para a resolução do mesmo.
Quando elaborava sem pensar nisso que a gente apreendeu, não era difícil, bastava
ser um problema de adição e subtração, mas saber a categoria e a extensão, eu
senti dificuldade. (P. Verde)
P. Rosa veio sentar ao meu lado e me mostrou uma folha com cinco problemas (que
considerava da categoria composição – protótipo) que elaborou para eles
resolverem antes dela aplicar os que ela elaborou no nosso encontro. Li os
problemas e percebi que quatro deles eram de transformação, embora todos
envolvessem uma adição. Conversei com ela sobre isso e ressaltei que precisam
estar atentas à situação que está sendo proposta e não ao cálculo que será usado
para a resolução. (V.E.2.1)
Dessa vez, as professoras tiveram dificuldade para elaborar os dois problemas de
composição – 1ª extensão para aplicarem a seus alunos. Acabavam elaborando
problema de transformação negativa pois, para elas, o que importava é que a conta
fosse de subtração. Tive que retomar a ideia apresentada e os conceitos envolvidos
nas situações de composição – 1ª extensão e, mesmo assim, algumas só
conseguiram elaborar porque tiveram a contribuição das colegas. (E.2.3)
Os registros revelam que, ao elaborar um problema, as professoras tinham como foco
a operação a ser realizada na resolução da situação. O que significa que a relevância estava no
tipo de operação, ou seja, se queriam trabalhar adição, elaboravam ou copiavam do livro de
Matemática vários problemas cuja solução envolveria uma adição, não importava que o
raciocínio para resolução fosse sempre o mesmo e que, muitas vezes, era sempre o mais
simples. Essa postura das professoras limita o aprendizado dos estudantes, pois explora a
resolução de situações similares, com variação somente dos valores e dos objetos presentes no
problema.
Por esse motivo, nas situações classificadas como de maior complexidade, a
dificuldade das professoras, em elaborar os problemas ficou mais evidente.
201
Depois, solicitei que elaborassem dois problemas de transformação – 4ª extensão. A
P. Verde foi a que primeiro resmungou evidenciando que teria dificuldade. P.
Vermelho e P. Azul fizeram juntas, pois lecionam turmas do mesmo ano; P. Amarelo
e P. Verde fizeram juntas, embora não lecionem turmas do mesmo ano, pois P.
Verde estava com dificuldade. (E.5.4)
A P. Vermelho teve dificuldade na elaboração dos problemas de comparação – 4ª
extensão. Mesmo olhando um problema desse tipo, ela não conseguia concluir
fazendo a pergunta do problema, ou seja, ela não conseguia saber o quê deveria
perguntar. (E.8.5)
A professora reconhece essa dificuldade em elaborar os problemas de 4ª extensão, e a
sua insegurança em trabalhar problemas desse tipo com os estudantes.
Tive dificuldade na maneira de como elaborar os problemas, principalmente os
problemas dos encontros finais. Senti dificuldade em elaborar no dia do encontro e
também em aplicar. Não gosto de aplicar uma coisa que eu não estou me sentindo
segura. (P. Vermelho)
Vergnaud (1996c, p. 68) afirma que “a transformação do conhecimento a ser ensinado
em ensinamento efetivamente ensinado em sala de aula” é muito importante e tem a ver com
um repertório de esquemas em campos de atividades diferentes, por exemplo, os campos:
técnico, afetivo e das relações em equipe; e com a experiência adquirida. É possível que a
competência adquirida pelas professoras ao longo dos anos de trabalho docente esteja limitada
há algumas condições de estudo da Matemática, que restringem a sua maneira de se apropriar
de novos conhecimentos, como a TCC.
Por terem pouca ou nenhuma experiência na elaboração e resolução desses tipos de
situações-problema, conforme constatado no instrumento diagnóstico, as professoras tiveram
dificuldade na elaboração e na aplicação dos mesmos.
A dificuldade em elaborar problemas com situações que contemplassem a categoria
em estudo, até agora, evidencia uma dificuldade na compreensão da ideia central
da situação em estudo, no caso da composição, dos conceitos: parte, todo, juntar.
Duas professoras, P. Violeta e P. Vermelho, ainda não conseguiram se apropriar
dessa ideia. A maior dificuldade está na elaboração de uma situação do tipo
composição – 1ª extensão. Não é por acaso que, dos 60 problemas elaborados no
instrumento da etapa diagnóstico, apenas um foi do tipo composição – 1ª extensão.
(E.3.8)
O pequeno número de problemas do tipo composição – 1ª extensão (01), elaborado
pelas professoras na primeira coleta de dados, sinaliza uma condição restritiva no ensino da
resolução de problemas aditivos. Essa restrição é oriunda do desconhecimento da variedade
semântica dos problemas aditivos. Os registros do diário de campo revelam que as professoras
demoraram para se apropriar dos conhecimentos específicos do Campo Conceitual Aditivo,
202
por esse motivo, no início de cada encontro, eram retomados os conceitos abordados nas
categorias anteriormente trabalhadas.
Antes de abordar a categoria transformação – 4ª extensão, retomei todas as outras
categorias trabalhadas. Durante as explicações das categorias, percebi que, mesmo
retomando os conceitos, elas ainda evidenciavam não ter clareza dos mesmos.
Apenas P. Amarelo expressava ter clareza dos conceitos que estavam sendo
trabalhados. (E.5.2)
A dificuldade evidenciada pelas professoras em se apropriarem dos conceitos e dos
esquemas presentes nas diferentes situações envolvidas em cada categoria pode se tornar uma
limitação no ensino do Campo Conceitual Aditivo, ao influenciar as escolhas das situações
que irão trabalhar com seus alunos. É provável que situações nas quais apresentem maior
dificuldade sejam pouco trabalhadas, e isso restringe o processo de ensino da resolução de
problemas aditivos.
5.2.2 Limitações relacionadas ao conhecimento pedagógico do Campo Conceitual
Aditivo
Ao categorizar as limitações relativas ao conhecimento pedagógico do Campo
Conceitual Aditivo, emergiram somente categorias relacionadas às limitações no uso do
conhecimento das estratégias para ensino do Campo Conceitual Aditivo (conhecimento do
conteúdo e de seu ensino) (BALL, THAMES e PHELPS, 2008).
Nas limitações relacionadas ao conhecimento do Campo Conceitual Aditivo e de seu
ensino, estão contempladas as dificuldades relacionadas ao conhecimento das estratégias de
ensino do cálculo numérico, do uso de recursos materiais auxiliares na resolução das
operações e de diferentes procedimentos de realização de um cálculo.
5.2.2.1 Limitações relacionadas às estratégias de ensino do Campo Conceitual Aditivo
Ao aumentarem a quantidade de problemas trabalhados em sala de aula e fazerem um
acompanhamento individual do desempenho de cada estudante, as professoras começaram a
perceber que muitos alunos erravam o resultado do algoritmo, porque realizavam de forma
incorreta o cálculo numérico, e que elas, sem perceberem, estavam contribuindo para que esse
tipo de erro acontecesse.
203
Conversando sobre os erros dos alunos ao armarem o cálculo, as professoras do 2º
ano revelaram que já dão as contas armadas para os alunos resolverem, pois não
querem correr o risco de que eles não saibam armar. Assim, sentiram-se
responsáveis por estarem contribuindo para esse tipo de erro. (E.1.5)
A estratégia de ensino da realização dos cálculos utilizada pelas professoras impedia
que a criança se apropriasse de todo o processo de resolução do algoritmo que inclui, para
além de saber somar algarismos isolados, compreender a estrutura do sistema de numeração
decimal.
P. Azul apresenta uma dificuldade revelada por muitas crianças ao armarem o cálculo
de subtração com o subtraendo acima do minuendo.
P. Azul: Era o nove em cima, nove menos cinco igual a quatro. Eles trocam o lugar
do número né, eles colocaram o cinco em cima.
Pesquisadora: Vê que são várias crianças que estão fazendo isso. Pensam certo,
mas estão errando no procedimento do cálculo.
P. Azul: Verdade. Mas eles nunca viram assim, na sala eu sempre armo a conta
certinha, coloco o sinal certinho. Mostro para eles como é. Isso vem da cabeça
deles mesmo
Pesquisadora: Isso nos leva a pensar o quê?
P. azul: Precisamos trabalhar mais os problemas, trabalhar mais os sinais e
também como armar os cálculos.
Ainda em relação à realização do cálculo, P. Amarelo destaca outra dificuldade de
seus alunos. Diz ela: “Os meus, como eu estava falando, sabem armar a conta, mas têm
muitos que armaram unidade embaixo de unidade certinha, mas passam o traço abaixo do
primeiro termo e aí não resolvem, deixam o outro termo como resposta.” (E.8.2)
Os registros indicam que, além de que no 2º ano a criança não era trabalhada no
procedimento de armar a conta; no 3º ano, as regras que fazem parte da realização do
algoritmo eram ensinadas de forma mecânica, sem compreensão dos passos realizados e
sempre de uma mesma maneira, o que sinaliza uma limitação na formação dessas professoras,
que restringe a escolha das estratégias de ensino a serem utilizadas por elas. Estudos
comprovaram que o ensino da Matemática, nas turmas dos anos iniciais do Ensino
Fundamental, “tem um caráter eminentemente instrumental, com predominância de atividades
rotineiras, centradas na identificação e uso de algoritmos aplicados de forma mecânica.”
(CONTRERAS e BLANCO, 2001, p.213)
As professoras que participaram deste estudo, embora reconhecessem a dificuldade de
seus alunos no procedimento de realização do cálculo, tiveram dificuldade no uso de material
para contribuir com a superação dessa dificuldade, pois consideraram que bastaria utilizá-lo
uma vez, para que todos os alunos compreendessem.
204
Conversando com P. Verde sobre as estratégias utilizadas por seus alunos na
resolução dos problemas de comparação – 3ª extensão, consegui perceber que
vários alunos erraram na montagem da conta, por isso, destaquei a necessidade
dela continuar utilizando o CAVALU e outros recursos materiais nas aulas. Ela me
argumentou que trabalhou com o CAVALU apenas uma vez, pois considerou que já
não era mais necessário, porque quando ela questionava eles respondiam
corretamente. Argumentei que vários alunos mostravam que haviam entendido, mas
que ainda havia um grupo que não havia entendido e que eles continuavam
necessitando daquele material para superarem a dificuldade que evidenciavam ao
montarem o cálculo. Foi conversado sobre o tempo de aprendizagem de cada
criança. Após, discuti com ela que várias crianças se saíram bem, pois conseguiram
elaborar uma estratégia correta de resolução, no entanto, erraram porque
montaram o cálculo de maneira errada.
Exemplo:
19
o estudante colocou o 6 abaixo do 1, em vez de colocar
-6
abaixo do 9. (E.7.1)
Esse relato revela a dificuldade das professoras em compreenderem que o recurso
material deve ser usado várias vezes, até que o aluno compreenda o conteúdo que, neste caso,
é a organização do sistema de numeração decimal, e não uma única vez como material
ilustrativo.
Outro material que aparece na fala das professoras é o livro de Matemática adotado
pela escola. P. Vermelho considera que “para haver mudanças tem que haver no geral, até
nos livros, como veio o da gramática, por exemplo. Mas só mudar a gramática, e os outros
como é que ficam?”.
A fala da professora revela o descontentamento com os livros adotados pela escola. A
pequena quantidade de problemas com maior complexidade contemplados no livro de
Matemática fomentou uma discussão sobre o processo de escolha do mesmo.
Pesquisadora: Nos livros tinha apenas quatro problemas desse tipo (4ª extensão).
P. Vermelho: Tem que haver modificação nos livros.
Pesquisadora: Fiz a coleta de dados no livro que vocês escolheram e foi adotado
pela escola.
P. Vermelho: Mas não foi aquele o escolhido, o escolhido foi outro.
P. Amarelo: O escolhido foi outro, mas a maioria das outras escolas escolheu
aquele.
P. Azul: O livro tem que ser o mesmo para todas as escolas, porque quando falta
livro numa pode vir de outra, não foi assim que disseram? (E.5.3)
Essa discussão realizada no quinto encontro revelou que a escolha do livro de
Matemática adotado pela escola fica à mercê da escolha das outras escolas municipais. Essa
exigência da Secretaria de Educação do Município é uma condição que pode restringir o
ensino, pois o livro disponibilizado pelo governo não atendia as expectativas das professoras
daquela escola e, como identificado no diagnóstico, também não atende a proposta de ensino
das Estruturas Aditivas presente na TCC.
205
Este aspecto institucional influencia a ação prática das professoras na sala de aula
(ZEICHNER, 2008), pois elas ficam limitadas ao uso de um recurso material que não
corresponde aos seus objetivos de ensino da Matemática, pois não contempla uma proposta
que priorize o desenvolvimento de conceitos matemáticos por parte dos alunos, tal como
defende a TCC.
O desenvolvimento dos conceitos presentes nas situações aditivas requer um trabalho
amplo com problemas que contemplem todas as categorias, o uso de diferentes esquemas de
resolução e formas de representação simbólica. No dia em que foram discutidas diferentes
possibilidades de resolução de um cálculo, a maioria das docentes ficou surpresa com as
possibilidades apresentadas, e argumentaram que desconheciam os procedimentos
apresentados.
A P.Vermelho justificou que só soube fazer uma possibilidade, que foi a expressão
matemática, chamada de conta deitada, e a conta armada, pois é só isso que ela
conhece, foi assim que aprendeu e é nessa proposta de ensino que ela se sente
segura. (E.3.6)
Observa-se que o pouco conhecimento dos diferentes procedimentos de realização de
um cálculo numérico limita o processo de ensino desenvolvido pelas professoras ao que elas
aprenderam de Matemática na Escola Básica e gera insegurança frente ao que estava sendo
estudado.
5.2.3 Síntese das limitações na aprendizagem do ensino da resolução de problemas
aditivos
A análise dos registros feitos no diário de campo referentes aos encontros e visitas à
escola, e às entrevistas com as professoras, revelou condições restritivas que limitaram o
aprendizado do ensino da resolução de problemas de adição e de subtração em turmas dos
anos iniciais do Ensino Fundamental. As condições restritivas estão relacionadas ao conteúdo
do Campo Conceitual Aditivo e ao conhecimento pedagógico necessário para ensiná-lo.
Dentre as limitações relacionadas ao domínio do conhecimento do Campo Conceitual
Aditivo, destaca-se a dificuldade das professoras em resolverem os problemas com maior grau
de complexidade e em identificarem a natureza de alguns tipos de erros cometidos pelos
alunos.
Quanto às limitações referentes ao conhecimento especializado dos conteúdos do
Campo Conceitual Aditivo, necessário para ensinar a resolução de problemas, ressalta-se a
206
dificuldade das professoras em utilizarem e, também, em ensinarem aos alunos o diagrama
para representação do cálculo relacional; em fazerem uso de mais de um esquema de
resolução, pois só resolviam com o algoritmo; em reconhecerem as relações presentes nas
situações porque, ao elaborarem os problemas, colocavam atenção apenas na operação
necessária para a resolução do mesmo; e em elaborar as situações com maior grau de
complexidade.
Foram identificadas limitações relativas às estratégias de ensino da resolução de
problemas aditivos, um conhecimento pedagógico do conteúdo. Os dados revelam dificuldade
das professoras em se apropriarem de diferentes procedimentos de realização de cálculo. Essa
dificuldade pode estar vinculada à insegurança que sentem ao se afastarem da forma como
aprenderam na Educação Básica. Também, foi possível perceber dificuldade no uso de
recursos materiais necessários para auxiliar na superação das dificuldades apresentadas pelos
estudantes.
5.3 ASPECTOS INSTITUCIONAIS E DE CONTEXTO
Durante a trajetória de estudo no grupo de discussão, diversos fatores influenciaram a
realização do trabalho. Os fatores destacados nos registros do diário de campo e das
entrevistas se referem a aspectos institucionais e de contexto, como: número de encontros,
local de realização do estudo, atrasos e ausências das professoras nos encontros.
Das quatro professoras que permaneceram até o final dos encontros, duas
consideraram que a realização dos oito encontros foi suficiente para o estudo das estruturas
aditivas. Para P. Azul, “a quantidade de encontros foi suficiente para a gente estudar a
Teoria” e P. Amarelo afirma: “Acredito que foi sim, porque você sempre passava o material
para nós e mesmo sendo poucos encontros, o material que você disponibilizava nos favorecia
para nos manter por dentro do assunto.”.
Entretanto, P. Verde considerou que
Foi pouco tempo pra gente aprender muita coisa, pois era muito conhecimento,
muita informação, se tivesse mais tempo eu mesma tinha aprendido mais para
elaborar os problemas e também para aprender se era desse tipo ou desse outro.
Para mim, foi pouco, eu não aprendi o suficiente não, não vou dizer que aprendi...
Teria que ser um número maior de encontros, de quinze em quinze dias. (P. Verde)
P. Vermelho afirma que “o estudo deve durar mais tempo, com certeza”. As falas das
professoras, apesar de apresentarem opiniões que se contrapõem quanto a quantidade de
encontros ter sido suficiente ou não, revelam que o tempo de estudo influenciou na
207
apropriação dos conhecimentos relativos ao ensino e à aprendizagem da resolução de
problemas aditivos.
Um aspecto do contexto que influenciou a participação das professoras nos encontros
foi o local de realização dos mesmos. Como destacado no capítulo da metodologia, na escola
não havia espaço disponível para a realização dos encontros, por isso os mesmos tiveram que
acontecer no Campus da Universidade Federal de Sergipe. Algumas professoras consideraram
que “O horário foi bom, eu só não concordei com o local, muito longe... poderia ser aqui na
escola e não fora.” (P. Vermelho); “Assim, a dificuldade foi a distância, o deslocamento da
gente até o local. Se tivesse um local, um espaço aqui na escola, seria bem melhor.” (P.
Amarelo). No entanto, para P. Azul “[...] o local não atrapalhou, o dia, para mim, foi
maravilhoso”. Apesar de que, para ela, o local tenha sido adequado, ela reconhece que, às
vezes, teve dificuldade em ir, “não por causa da distância, mas, porque às vezes eu tinha
outras coisas pra resolver, mas eu deixava para outro dia e ia.” Essa dificuldade também foi
sentida pela P. Amarelo: “[...] a gente tinha muita coisa para fazer, faltou tempo para nos
dedicarmos mais, não só nos encontros, mas também em casa, trabalhar mais, elaborar mais
problemas, tá entendendo?”.
Contribuíram para a falta de tempo das professoras os compromissos familiares com o
almoço e a escola dos filhos, o que provocou constantes atrasos no horário de chegada aos
encontros.
Às 13h30min, estávamos com tudo organizado e ficávamos esperando as
professoras. A primeira professora chegou às 13h45min e as outras, foram
chegando, sendo que a última chegou às 14h30min. (E.1.1)
O registro feito no diário de campo revela atrasos no horário de chegada. Esse atraso
reduzia o tempo de estudo das Estruturas Aditivas e prejudicava o desenvolvimento da
atividade inicial que tinha como propósito fortalecer o entrosamento, fator que trouxe
limitações ao estudo, em decorrência da pouca convivência entre as professoras em seu
ambiente de trabalho.
Voltei à escola, para conversar com as professoras sobre a aplicação dos
problemas. Nesse horário, é o intervalo. Fui à sala dos professores e lá encontrei
apenas a P. Rosa e outras professoras que não participam do projeto. P. Rosa me
comunicou que as colegas não frequentam a sala dos professores. Considerei
estranha essa atitude pois, no meu entender, evidencia que não existe entre elas um
bom relacionamento. Na vez anterior em que estive na escola, isso também havia
acontecido, mas imaginei que fosse apenas naquele dia, pois as professoras me
informaram que estavam atendendo alguns alunos. (V.E.2.2)
208
Saí da escola preocupada com o que vi. Penso que a postura das professoras
ficando em suas salas de aula durante o período do recreio, é uma grande evidência
de que as coisas não estão bem por lá. Antes P. Rosa e P. Violeta sempre estavam
na sala dos professores; agora, nem elas estão frequentando esse espaço que
considero de grande importância para a socialização de ideias e propostas, pois é o
único espaço coletivo que existe, considerando-se que não são realizadas reuniões
semanais ou mensais de estudos e discussão sobre as necessidades da escola. (V. E.
3.3)
Os registros de visitas feitas à escola revelam um afastamento entre as professoras,
provocado por desentendimentos. Esses conflitos ideológicos e de relacionamento afetivo e
profissional influenciaram a participação de algumas professoras nos encontros. P. Rosa
deixou de participar dos mesmos após uma discussão sobre a recuperação dos dias não
trabalhados, com as colegas não grevistas que participavam dos encontros. Para Vergnaud
(1996c, p.67), “na vida profissional, como na família, deve-se aprender a cooperar, mas
também a gerir conflitos.”. Algumas professoras não souberam lidar com os conflitos
ideológicos, decorrentes do posicionamento de paralisar as atividades docentes.
P. Amarelo ficou a me contar sobre as brigas que estavam acontecendo dentro da
escola por causa da greve. Eu já havia desconfiado disso, pois percebi um clima se
insatisfação e discórdia dentro da escola. (V. E. 3.6)
Essa dificuldade de relacionamento entre as professoras impediu a socialização dos
recursos materiais auxiliares discutidos nos encontros e a troca de ideias e sugestões em
relação aos problemas trabalhados com as crianças. Pesquisadores comentam que o trabalho
do professor “é fortemente influenciado pelo ambiente que lhe é proporcionado pelas
estruturas de gestão e de coordenação pedagógica da escola.” (ABRANTES, SERRAZINA e
OLIVEIRA, 1999, p. 28).
Também, os compromissos com o contexto familiar, algumas vezes, impediram as
professoras de participarem dos encontros.
Quando estava saindo de casa para ir à universidade recebi um telefonema da P.
Amarelo avisando que não poderia comparecer ao encontro porque não tinha com
quem deixar o filho e também por não ter feito os últimos relatórios. Falei que ela
poderia ir mesmo sem os relatórios, mas ela disse que de qualquer forma não iria
porque não tinha com quem deixar o filho de 7 anos. Ela, também, me comunicou
que as professoras P. Vermelho e P. Azul não iriam. (V.E.6.1)
O registro no diário de campo relata uma das vezes em que foi necessário trocar a data
do encontro, pois apenas uma das professoras poderia comparecer. A ausência delas, em
alguns dias, fez com que as datas do cronograma inicial fossem repensadas mais de uma vez,
para conseguirmos cumprir os oito encontros até o mês de novembro.
209
No decorrer deste capítulo, analisei as produções escritas oriundas das anotações no
diário de campo e das transcrições das entrevistas. As unidades de sentido foram
categorizadas de forma a identificar contribuições de um estudo do Campo Conceitual
Aditivo com professoras dos anos iniciais do Ensino Fundamental, no aprendizado do ensino
da resolução de problemas aditivos. Os resultados revelaram condições consideradas
ampliadoras, porque contribuíram com o aprendizado do ensino da resolução de problemas, e
condições consideradas restritivas, porque limitaram o aprendizado do ensino do Campo
Conceitual Aditivo. Ainda, foram identificados alguns aspectos institucionais e de contexto
que influenciaram o trabalho desenvolvido no grupo de discussão.
210
CAPÍTULO 6
ANÁLISE COMPARATIVA
Neste capítulo, realizo a análise comparativa dos dados coletados nos Estudos 1 e 3
com o objetivo de examinar se o estudo crítico-reflexivo, em grupo, interferiu no desempenho
dos estudantes na resolução de problemas de adição e de subtração; e, também, de identificar
possíveis mudanças nos tipos de problemas elaborados pelas professoras. Para tanto, realizo a
análise quantitativa dos dados oriundos dos instrumentos de investigação aplicados aos alunos
e professoras, antes e após a constituição do grupo de discussão.
Com vistas a alcançar esses objetivos, dividi a presente análise em duas partes. Na
primeira, com foco no desempenho dos estudantes, realizo a análise comparativa do
desempenho geral do grupo de estudantes procedendo, também, uma comparação com o
desempenho dos estudantes do ano anterior. Na sequência, detalho a análise discutindo os
desempenhos por categorias e por problemas. Finalizo com a análise das estratégias de
resolução utilizadas pelos discentes. Sempre que pertinente, faço uso de testes estatísticos
para reforçar as constatações. Na segunda, com foco nos problemas elaborados pelas
professoras, faço uma análise geral dos problemas elaborados e, na sequência, analiso a
elaboração individual de cada docente.
6.1 ANÁLISE COMPARATIVA DO DESEMPENHO DOS ESTUDANTES
A análise comparativa do desempenho dos estudantes faz uso dos resultados obtidos
nos três momentos de aplicação do instrumento. Participaram da primeira aplicação do
instrumento, em 2011, os 248 estudantes das turmas de 2º ao 5º ano dos anos iniciais. Da
segunda aplicação, no início de dezembro de 2012, participaram os estudantes das professoras
que frequentaram os encontros até o mês de novembro de 2012, que foram: uma turma de 1º
ano, uma turma de 2º ano e duas turmas de 3º ano, totalizando 79 estudantes. Da terceira
aplicação do instrumento, em maio de 2013, participaram os estudantes das quatro turmas
citadas que ainda estudavam na escola, totalizando 64. Os mesmos foram identificados pela
lista de chamada das turmas em que se encontravam.
Considerando que os estudantes do 1º e do 2º anos não participaram da primeira
aplicação do instrumento em 2011, pois os mesmos cursavam, respectivamente, a Educação
Infantil e 1º ano, a análise comparativa que apresento discute dados referentes ao desempenho
do grupo de estudantes que cursou o 2º ano em 2011, o 3º ano em 2012 e o 4º ano em 2013.
211
Em 2011, esse grupo contou com 62 alunos; em 2012, com 44 e, em 2013, com 33. O número
de estudantes é decrescente por dois motivos: (i) o número de reprovações do 2º para o 3º ano
é alto, porque não há reprovação no ano anterior; (ii) no início do ano de 2013 foi criada uma
nova escola de Ensino Fundamental no mesmo bairro da escola que participou do estudo, o
que motivou um grande número de transferências na escola, entre elas, alguns alunos das
turmas de 3º ano de 2012.
Da mesma forma que a análise diagnóstica feita no Estudo 1, esta análise está
amparada nos resultados de desempenho dos estudantes nos problemas do instrumento
aplicado. Na segunda aplicação, em 2012, foi utilizado o mesmo instrumento da primeira,
contudo, na terceira aplicação, em 2013, foram mantidas as situações e os valores propostos
nos problemas, mas foram mudados os personagens e os objetos envolvidos (Ver apêndice E,
p.251).
A discussão dos dados aqui apresentados ocorre, primeiramente, por ano (Gráfico
6.1.1), para que se possa ter uma visão do todo e, em seguida, os resultados são apresentados
de acordo com as relações aditivas de base propostas por Vergnaud (1996a) (Gráfico 6.1.2) e
por problemas (Gráfico 6.1.3). Para contribuir com a análise, conforme descrito na
metodologia, sempre que pertinente, faço uso de resultados estatísticos oriundos da aplicação
do teste t-student unilateral.
6.1.1 Análise comparativa do desempenho geral dos estudantes
Na busca de encontrar indícios que revelem mudanças no desempenho desses
estudantes, inicio apresentando uma análise comparativa dos percentuais de desempenho
desse grupo de alunos, nas três aplicações do instrumento (Gráfico 6.1.1)
Gráfico 6.1.1 – Desempenho geral dos estudantes por ano
Fonte: Banco de dados da Autora
212
O Gráfico 6.1.1 mostra que o desempenho geral dos estudantes foi crescente ano a
ano. Este resultado mostra uma melhora no desempenho, a qual pode estar relacionada ao
conhecimento adquirido por meio do trabalho realizado pelas professoras em suas aulas de
Matemática, mas, também, deve ser levado em conta o aumento no grau de maturidade das
crianças. Considerando-se que o maior índice de crescimento ocorreu do ano de 2011 para o
ano de 2012 (18%), esse indicativo fortalece a ideia de que o trabalho realizado pelas
professoras durante o ano de 2012, ao intensificarem a resolução de problemas em suas aulas
de Matemática, produziu alguma mudança no desempenho dos estudantes. Entretanto,
estatisticamente, essa diferença não pode ser considerada significativa, conforme resultados
obtidos no teste t-student unilateral (t(104) = 1,855, p = 0,071).
Se comparados o índice de desempenho geral destes estudantes com o dos estudantes
do 3º ano de 2011 (ver Gráfico 3.1.1, p.89), observa-se uma melhora no desempenho deste
grupo, pois os estudantes do 3º ano de 2011 alcançaram um índice geral de acertos de 47% e
os estudantes do 3º ano de 2012, um índice geral de acertos de 58%. Da mesma forma que a
comparação anterior, estatisticamente essa melhora no desempenho não foi significativa,
conforme resultados obtidos no teste t-student unilateral (t(104) = 1,056, p = 0,227).
Embora essa comparação não revele dados estatisticamente significativos, os mesmos
merecem ser observados, pois mostram um avanço no desempenho geral dos estudantes que
participaram das atividades.
6.1.2 Análise comparativa do desempenho dos estudantes por categorias
Para observar mais detalhadamente a mudança no índice de desempenho, apresento,
no Gráfico 6.1.2, a análise de desempenho geral por categoria.
Gráfico 6.1.2 – Desempenho geral dos estudantes por categoria
Fonte: Banco de dados da Autora
213
O gráfico, representado na Figura 6.1.2 mostra que, em todas as categorias, o índice de
desempenho foi crescente ano a ano. Na categoria composição, o percentual partiu de 45,9%
em 2011, quando os estudantes estavam no 2º ano; aumentou para 70,5% em 2012, quando
estavam no 3º ano; e chegou a 78,8% em 2013, no 4º ano. É possível observar que de 2011
para 2012 o índice de desempenho aumentou 24,6%, um índice, estatisticamente significativo,
segundo o teste t-student (t(104) = 2,632, p = 0,013), e de 2012 para 2013 aumentou 8,3%. O
avanço no desempenho dos estudantes nos problemas da categoria composição reflete um
resultado encontrado por Santana (2010) ao afirmar que o melhor desempenho dos estudantes
baianos da 3ª série foi na categoria composição. Segundo a autora, esses resultados são
esperados porque nessa categoria encontram-se as situações aditivas de menor complexidade
(protótipos e 1ª extensão).
O desempenho na categoria transformação, esteve um pouco abaixo do que o da
categoria composição. Partiu do mesmo patamar, 45,8% em 2011, aumentou para 66,4% em
2012, e chegou a 67,8% em 2013. O aumento de 20,6% no desempenho no período de 2011
para 2012, estatisticamente, é considerado significativo segundo o teste t-student (t(104) =
2,162, p = 0,039). Já no período de 2012 para 2013, o desempenho ficou praticamente
estagnado, tendo um aumento de 1,4%. Essa categoria apresenta situações aditivas com graus
de complexidade que podem ser menor (protótipo e 1ª extensão) e maior (4ª extensão). Nas
pesquisas feitas por Santana (2010) e Magina, Campos et al. (2008), os resultados foram
similares a estes.
Na categoria comparação, o desempenho foi o mais baixo. Partiu do patamar de 30,6%
em 2011, aumentou para 46% em 2012, e chegou a 61,4% em 2013, um aumento anual de
15,4%. Segundo o teste t-student, estatisticamente, esses avanços anuais não são
significativos para a diferença entre 2011 e 2012 (t(104) = 1,572, p = 0,115) e para a diferença
entre 2012 e 2013 (t(75) = 1,323, p = 0,165). Apesar do desempenho das crianças em 2013 ter
alcançado o índice de 61,4%, se compararmos com o desempenho dos estudantes do 4º ano
em 2011 (ver Tabela 3.1.10, p.105) que foi 59,8%, podemos dizer que não há diferença no
desempenho, o que pode ser um indício de que os avanços estejam relacionados ao avanço na
maturidade dos estudantes. A dificuldade na categoria comparação também foi evidenciada
pelas professoras, conforme destacado na análise interpretativa, o que pode ter favorecido
para que esse tipo de situação tenha sido pouco trabalhada.
Considero importante olhar mais especificamente para o ano de 2012, quando essas
crianças cursavam o 3º ano, pois foi o ano em que aconteceu o estudo do Campo Conceitual
Aditivo. Se comparados os percentuais de desempenho dos 47 estudantes das turmas de 3º
214
ano em 2011 com o dos 44 estudantes das turmas de 3º ano em 2012 em cada uma das
categorias, percebem-se alguns avanços.
Tabela 6.1.1 – Desempenho de estudantes do 3º ano, em 2011 e 2012, por categorias
Ano
2011
2012
45,7%
70,5%
48%
66,4%
45,2%
46%
Categoria
Composição
Transformação
Comparação
Fonte: Banco de dados da Autora
Os índices mostram que o desempenho dos alunos do 3º ano de 2012 foi superior nas
categorias composição e transformação em relação ao desempenho dos estudantes do 3º ano
em 2011. Na categoria composição, o índice de desempenho avançou em 24,8% em relação
ao dos estudantes da mesma série no ano anterior (2011); e na transformação, o avanço foi de
18,4%. As mudanças positivas nessas categorias são significativas, segundo o teste t-student
(t(89) = 2,999, p = 0,005), para a composição e não são significativas para a transformação (t(89)
= 1,805, p = 0,787). Na comparação, como já dito anteriormente, o índice de desempenho
permaneceu estagnado.
O crescimento nos percentuais da categoria composição pode ter relação com o fato de
que o estudo com as professoras começou por ela e, também, porque em todos os encontros,
conforme descrito na experiência de ensino, ela foi retomada, o que pode ter favorecido para
que a mesma fosse mais trabalhada.
Apesar de não ser estatisticamente significativo, o crescimento no índice da categoria
transformação é relevante, e evidencia que foram trabalhadas situações envolvendo relações
entre os estados inicial e final.
Preocupa o fato do índice de desempenho na categoria comparação, desses estudantes,
ter sido praticamente o mesmo dos estudantes do 3º ano em 2011; no entanto, esse resultado
está coerente com os depoimentos das professoras e os registros no diário de campo, nos quais
estão destacadas as dificuldades enfrentadas nos últimos meses do estudo, período em que
foram discutidas as situações-problemas classificadas na categoria comparação.
6.1.3 Análise comparativa do desempenho dos estudantes por problemas
Para identificar, mais especificamente, em quais situações a mudança foi mais
expressiva numericamente, se fez necessário analisar o desempenho dos estudantes em cada
um dos problemas.
215
Gráfico 6.1.3 – Desempenho geral dos estudantes em cada problema
Fonte: Banco de dados da Autora
O Gráfico 6.1.3 mostra que, quando comparados os desempenhos em 2011 e 2012, é
possível perceber que em 2012 o índice de desempenho dos estudantes aumentou em cada um
dos problemas. Esse crescimento variou de 6% no P3, que envolve uma situação na qual a
transformação é desconhecida, e alcançou 48% no P10, cuja situação envolve uma
transformação aditiva direta. A diferença entre o desempenho desses estudantes em 2011 e
2012 foi considerada significativa nos problemas P1 (t(104) = 2,936, p = 0,006), P2 (t(104) =
2,343, p = 0,026), P4a (t(104) = 2,396, p = 0,023), P5 (t(104) = 2,324, p = 0,026), P7 (t(104) =
2,171, p = 0,038) e P10 (t(104) = 6,525, p = 0,000). Esse dado é muito importante porque indica
que foi possível comprovar estatisticamente o avanço no desempenho desse grupo de
estudantes na metade dos problemas propostos no instrumento.
Merece, também, ser observado o desempenho dos estudantes no problema P3, pois os
resultados são dados que preocupam. A situação presente nele envolve uma transformação de
1ª extensão, na qual são conhecidos o estado inicial e o final e se quer descobrir a
transformação. A análise comparativa dos índices de desempenho nele preocupa, porque o
avanço do ano de 2011 para 2012, como dito anteriormente, foi de apenas 6% e de 2012 para
2013 houve um decrescimento de 3%. O desempenho nessa situação, nos três anos, esteve ao
redor dos 60%, o que mais preocupa é perceber que em dois anos de estudos (do 2º ao 4º ano)
não houve avanço no aprendizado desse tipo de situação, nem por meio do ensino proposto
pelas professoras e nem pela maturidade dos estudantes.
Quando comparados os resultados da reaplicação do instrumento em 2013 com os do
ano de 2012, observa-se que o desempenho dos estudantes se manteve em crescimento em
quase todos os problemas, merecendo destaque os índices de aumento no P9 (38,6%) e no P2
216
(22,7%) e de decrescimento no P1 (4,6%) e no P3 (3%). Os aumentos no índice de
desempenho no P9 e P2 são estatisticamente significativos (para P9 (t(75) = 3,594, p = 0,0009)
e para P2 (t(89) = 3,843, p = 0,0004)).
Nos problemas P5 e P7, embora o desempenho dos estudantes tenha tido um avanço, o
índice ainda ficou abaixo dos 50%. Esse avanço, apesar de pequeno, é relevante porque está
relacionado às duas situações de maior complexidade do instrumento (4ª extensão), cuja
solução envolve a operação inversa. Também, nessas situações, há uma incongruência entre a
expressão portadora de informação (menos, ganhou) e a operação realizada, o que aumenta o
grau de dificuldade do problema (GUIMARÃES, 2005). Da mesma forma, destaco o avanço
de desempenho na situação de comparação – 3ª extensão (P4b), na qual a resposta requer que
a criança calcule a diferença entre os dois valores por ser, também, uma situação de grande
dificuldade para estudantes dessa faixa etária (VERGNAUD, 1982; MAGINA, CAMPOS et
al., 2008).
Para olhar mais detalhadamente o desempenho dessas crianças, comparei os índices de
desempenho delas com os índices de desempenho das crianças que cursaram o 3º ano em
2011, antes da realização do estudo com as professoras. Assim, comparei os percentuais de
desempenhos dos estudantes das turmas de 3º ano em 2011 com o das turmas de 3º ano em
2012, em cada um dos problemas.
Tabela 6.1.2 – Desempenho de estudantes do 3º ano, em 2011 e 2012, por problemas
Ano
2011
2012
P1
72,3%
95,5%
P2
61,7%
77,3%
P3
53,1%
63,6%
P4a
61,7%
75%
P4b
34%
31,8%
P5
36,1%
34,1%
P6
25,5%
40,9%
P7
25,5%
38,6%
P8
29,8%
45,5%
P9
48,9%
43,2%
P10
63,8%
93,2%
Problema
Fonte: Banco de dados da Autora
Os dados da Tabela 6.1.2 mostram que houve aumento no índice de desempenho em
oito das onze respostas, contudo essa diferença de percentual só foi significativa nos
problemas P1 (t(89) = 3,205, p = 0,002) e P10 (t(89) = 3,688, p = 0,000). Os problemas P1 e P10
são classificados na categoria transformação – protótipo, o que indica que envolvem situações
217
muito simples. Neles, os alunos das turmas de 3º ano em 2012 obtiveram um índice de
desempenho acima de 90%, resultado similar ao encontrado por Magina,Campos et al. (2008).
O melhor desempenho dos estudantes das turmas de 2012 pode ser um sinal de que esse tipo
de problema foi mais trabalhado com essas turmas do que com as turmas de 2011.
Observa-se na Tabela 6.1.2, que os estudantes das turmas de 3º ano de 2011 tiveram
melhor índice de desempenho nos problemas P4b, P5 e P9 do que os estudantes das turmas de
3º ano de 2012. Apesar das diferenças não serem significativas, pois os percentuais têm
valores muito próximos, esse resultado inquieta e reflete dificuldades surgidas no período de
realização das discussões sobre esse tema, no estudo com as professoras em 2012. As
situações presentes nesses problemas são classificadas na categoria comparação e, para ambos
os grupos, os índices de desempenho ficaram abaixo de 50%, reafirmando resultados
encontrados por outros pesquisadores (SANTANA, 2011).
Conhecer esses dados permite que as professoras repensem as situações que propõem,
apercebam-se dos limites e dos avanços de seus alunos e os auxiliem na superação das
dificuldades (MAGINA, CAMPOS et al, 2008).
6.1.4 Análise comparativa das estratégias de resolução utilizadas pelos estudantes
A análise comparativa do desempenho dos estudantes no instrumento aplicado revelou
avanços no aprendizado dos mesmos, contudo, também é relevante no ensino da resolução de
problemas de adição e de subtração, que seja observado se houve mudanças nas estratégias
utilizadas pelas crianças na resolução dos problemas.
A Tabela 6.1.3 apresenta os dados gerais das estratégias utilizadas em cada ano de
aplicação do instrumento. Foram contabilizadas as dez respostas dadas aos problemas, ficando
de fora somente as respostas dadas à primeira pergunta do problema 4, indicada por P4a, pelo
motivo de que a sua análise esteve baseada num outro tipo de tabela. (ver Tabela 3.1.12,
p.107). Dessa maneira, o número de estudantes em cada ano foi multiplicado por dez, porque
foram consideradas as dez respostas de cada estudante, o que fez com que totalizassem 620
respostas em 2011 (2º ano), 440 em 2012 (3º ano) e 330 em 2013 (4º ano).
A comparação dos dados percentuais revela que a utilização da estratégia correta com
algarismos foi maior ano a ano. Partiu de 15,8% em 2011 e chegou a 51,2% em 2013, o que
pode ser uma evidência de que os estudantes aprimoraram essa forma de representação do
esquema de pensamento. Houve uma diminuição no uso da estratégia correta com cálculo
mental, que partiu de 15% em 2011 e chegou a 3,3% em 2013. Esse decrescimento é um
218
indício de que esses estudantes, ao aprenderem a representar de forma correta o algoritmo,
passaram a utilizá-lo mais. Esses resultados revelam que o trabalho desenvolvido pelas
professoras fortaleceu essa forma de representação simbólica. Ao mesmo tempo, sinalizam
que outras formas de representação, como a com desenhos, foram abandonadas pelos alunos,
o que pode ser um indicativo de um trabalho insuficiente nesse aspecto.
Tabela 6.1.3 - Estratégias utilizadas pelos estudantes na resolução dos problemas.
Ano
2011
Estratégia Correta
2013
%
F
%
F
%
1.Com desenhos
28
4,5
1
0,2
0
0
2.Com algarismos
98
15,8
171
38,8
169
51,2
3.Com desenhos e algarismos
0
0
0
0
2
0,6
4.Com complementação
1
0,2
6
1,4
13
3,9
5.Com cálculo mental
93
15,0
33
7,5
11
3,3
6. Com ausência ou erro no
sinal do algoritmo
8
1,3
14
3,2
10
3,0
7.Com algoritmo errado
13
2,1
23
5,2
15
4,5
8.Com resposta errada
25
4,0
23
5,2
19
5,7
85
13,7
117
26,6
74
22,4
1
0,2
15
3,4
0
0
0
0
1
0,2
0
0
106
17,1
17
3,8
10
3,0
106
17,1
6
1,4
7
2,1
19
3,1
0
0
0
0
Tipo de Estratégia
1.Operação contrária
Estratégia Incorreta
2012
F
2.Multiplicação
3.Divisão
4.Registro de número do
enunciado
5. Registro de números
aleatórios
Rabiscos
Em branco
37
5,9
13
2,9
0
0
Total
620
100
440
100
330
100
Fonte: Banco de dados da Autora
Os dados relativos ao uso da estratégia correta com algoritmo errado revelam um
aumento de 2011 (2,1%) para 2012 (5,2%), o que indica que as crianças estavam em processo
de aprendizado do algoritmo e, ao usá-lo mais, também erraram mais.
O avanço no aprendizado dos estudantes ainda pode ser notado na diminuição dos
dados relativos ao uso das estratégias incorretas: registro de número do enunciado e registro
de números aleatórios, que foi de 17,1% em 2011 e diminuiu, respectivamente, para 3,8% e
1,4% em 2012 e se manteve baixo em 2013. Esses dados são importantes porque evidenciam
que os estudantes avançaram no domínio da compreensão da situação, pois, em 2011, ao
somarem os dados numéricos do enunciado, eles demonstraram ser incapazes de estabelecer
relações entre os dados do problema, o que também foi verificado por Koch (2002).
As estratégias destacadas revelam avanços no domínio da realização do cálculo
numérico, todavia, preocupa observar que o índice relativo ao uso de estratégia incorreta
219
operação contrária aumentou de 2011 para 2012, passando de 13,7% para 26,6%. Esse
aumento indica que, apesar das professoras terem intensificado o trabalho com a resolução de
problemas, não foi dada ênfase ao procedimento de resolução chamado por Vergnaud (1996a)
de diagrama, que expressa a operação de pensamento utilizada. Foi possível perceber que a
operação contrária foi muito utilizada nas situações consideradas por Magina, Campos et al.
(2008) como contraintuitivas por se contraporem às primeiras representações adquiridas pela
criança, como por exemplo, nos problemas P6 e P7, os quais têm no enunciado a palavra
“ganhou” que remete a uma adição e a solução envolve uma subtração. Para essas autoras, o
uso da palavra “ganhou”, no enunciado, leva o aluno a realizar direto uma soma dos valores
sem utilizar o cálculo relacional.
6.1.5 Síntese das análises comparativas do desempenho dos estudantes
A análise comparativa do instrumento dos estudantes buscou identificar as mudanças
ocorridas no desempenho dos mesmos na resolução dos problemas do instrumento aplicado.
Os resultados mostram que o desempenho geral dos estudantes avançou ano a ano, com
destaque para o índice geral do ano de 2012 que foi de 58%, ficando acima do índice
alcançado pelos estudantes do 3º ano em 2011.
Quando comparados os dados por categoria, foi identificado que houve avanços nas
três categorias, mas que os maiores foram na categoria composição. Da mesma forma, do ano
de 2011 para 2012, houve avanços no desempenho dos estudantes em todos os problemas
propostos no instrumento, com variação da taxa de crescimento de 6% numa situação de
transformação – 1ª extensão (P3) a 48% numa situação de transformação – protótipo (P10).
A comparação das estratégias utilizadas pelos estudantes revelou um avanço no
aprendizado do cálculo numérico. Entretanto, houve também um aumento no uso da operação
contrária, o que sinaliza uma necessidade de se enfatizar o cálculo relacional.
Apesar dos dados estatísticos da análise comparativa revelarem que algumas
diferenças não são significativas, é possível inferir que elas representam indícios que refletem
avanços no desempenho dos estudantes, e esses avanços podem ser compreendidos como
resultado das contribuições do estudo sobre o Campo Conceitual Aditivo, realizado com as
professoras no grupo de discussão.
220
6.2 ANÁLISE COMPARATIVA DOS PROBLEMAS ELABORADOS PELAS
PROFESSORAS
Com o objetivo de buscar indícios que revelem alguma contribuição do estudo do
Campo Aditivo na forma das professoras conceberem o ensino da resolução de problemas
aditivos, realizei análises comparativas dos problemas elaborados por elas, nas três aplicações
do instrumento. Vale lembrar que, em cada uma das aplicações, cada professora elaborou,
espontaneamente, seis problemas de adição e/ou subtração.
A primeira e a segunda elaborações ocorreram em sala de aula, enquanto os estudantes
realizavam os dez problemas do instrumento e não houve consulta em materiais didáticos. Na
terceira elaboração, em 2013, entreguei o instrumento, solicitei a elas que elaborassem os seis
problemas e marquei um dia para passar para recolher. Dessa vez, elas tiveram acesso tanto
aos livros de Matemática que costumam utilizar, quanto aos materiais distribuídos nos
encontros.
Participaram da primeira elaboração, as dez professoras que lecionavam turmas do 2º
ao 5º anos, em setembro de 2011. Da segunda e da terceira elaboração, participaram as quatro
professoras que permaneceram no grupo durante todo o período dos encontros. P. Amarelo
não participou da primeira aplicação, porque em 2011 ela lecionava uma turma da Educação
Infantil e, por esse motivo, não foi feita uma análise comparativa dos problemas elaborados
por ela, pois ela somente participou das duas aplicações que aconteceram após a realização
dos encontros.
A discussão dos resultados da classificação dos problemas elaborados pelas três
professoras que participaram dos três momentos de elaboração (P. Verde, P. Azul e P.
Vermelho) aconteceu, primeiramente, por ano para que se tenha uma visão do todo e, em
seguida, apresento uma análise comparativa dos problemas de cada uma.
6.2.1 Análise geral dos problemas elaborados pelas três professoras
A classificação dos problemas elaborados pelas professoras, P. Verde, P. Azul e P.
Vermelho, foi realizada por categoria e está apresentada no Gráfico 6.2.1, e por extensões,
conforme mostrado no Gráfico 6.2.2.
Considerando-se que cada professora elaborou seis problemas em cada uma das três
aplicações do instrumento, temos um total de 18 problemas em cada ano. Desse total, no ano
de 2011, foram classificados 15 problemas, e em 2012 e 2013, 17 problemas em cada um. Os
221
cinco problemas, que não fazem parte desta análise, ou são de multiplicação ou são problemas
mistos.
Gráfico 6.2.1 – Categorização dos problemas elaborados pelas três professoras
Fonte: Banco de dados da Autora
O Gráfico 6.2.1 mostra que, em 2011, antes do estudo com as professoras, e em 2012,
após o encerramento dos encontros de estudo com as professoras, o maior número de
problemas elaborados pelas professoras foi na categoria transformação. É importante destacar
que, em 2012, as professoras não tiveram acesso ao material disponibilizado nos encontros e
nem ao livro de Matemática adotado pela escola. Dessa forma, é possível inferir que as
situações de transformações são as que as professoras mais dominam e, por isso, são as que
primeiro lhes vêm à mente e, pode ser, também, que sejam o tipo de situação que elas
costumam trabalhar.
Na aplicação do instrumento em 2013, como já referido, as professoras puderam
consultar o material dos encontros e o livro de Matemática adotado pela escola. O Gráfico
6.2.1 mostra um equilíbrio entre os índices de problemas elaborados em cada categoria. Isso é
muito positivo, pois indica que, com a ajuda do material disponibilizado nos encontros,
conseguem revelar a compreensão de que para ajudarem os estudantes a superarem as
dificuldades reveladas no diagnóstico e, assim, ampliarem seus conhecimentos sobre o Campo
Aditivo, precisam trabalhar situações problemas de todas as categorias.
A classificação por extensões mostrou o grau de complexidade das situaçõesproblemas elaboradas por essas três professoras.
222
Gráfico 6.2.2 – Classificação, por extensões, dos problemas elaborados pelas três professoras
Fonte: Banco de dados da Autora
O Gráfico 6.2.2 deixa claro que, mesmo após o estudo do Campo Conceitual Aditivo,
as professoras permaneceram elaborando um maior número de situações prototípicas, de
menor complexidade. Contudo, vale destacar que a quantidade de problemas protótipos foi
decrescente ano a ano e se aproximou da quantidade dos problemas de 1ª e 3ª extensões. É
importante observar, também, que em 2013 foram elaborados problemas que envolveram os
diferentes graus de complexidade. Esse resultado revela que as discussões realizadas nos
encontros criaram condições favoráveis ao entendimento de que precisavam variar o tipo e o
grau de complexidade da situação-problema trabalhada.
Dentre as situações de maior complexidade, as mais elaboradas foram as de 1ª e 3ª
extensões. Na 1ª extensão, estão os problemas que envolvem situações de composição e
transformação, como os problemas P8 e P3, respectivamente, do instrumento. No P8, são
conhecidos uma parte e o todo e, no P3, os estados inicial e final. Na 3ª extensão, estão os
problemas que envolvem situações da categoria comparação, como a do problema P4, na qual
se faz necessário calcular a diferença entre as quantidades conhecidas (referente e referido).
Pode ser que as professoras tenham elaborado um número maior de problemas desses tipos, se
comparado às outras extensões, porque perceberam que neles as crianças evidenciaram muita
dificuldade e elas tiveram dificuldade na elaboração, conforme destacado nos Estudos 1 e 2.
223
6.2.2 Análise comparativa dos problemas elaborados por P. Verde
A análise dos problemas elaborados por P. Verde está organizada em duas tabelas. Na
primeira, (Tabela 6.2.1), apresento os dados por categoria e, na segunda (Tabela 6.2.2), os
dados estão organizados por grau de complexidade da situação-problema elaborada.
Tabela 6.2.1- Classificação, por categoria, dos problemas elaborados por P. Verde
Composição
Transformação
Comparação
2011
4
2
2012
1
4
1
2013
2
2
2
Fonte: Banco de dados da Autora
A classificação, realizada nos problemas elaborados por P. Verde mostra que, em
2011, antes da discussão da TCC, ela somente elaborou problemas das categorias composição
e transformação e que, após a participação dela no grupo de estudos e discussão, ela elaborou
problemas que contemplam as três categorias. Essa preocupação da professora em elaborar
situações que envolvem diferentes conceitos vai ao encontro da fala de Vergnaud (2009),
quando o autor afirma que todo estudo e esforço do professor devem dar-lhe conhecimentos
que lhe permitam ajustar permanentemente sua ação pedagógica. Os problemas elaborados
por P. Verde revelam que ela conseguiu realizar um ajuste nos tipos de situações elaboradas.
A Tabela 6.2.2 mostra o grau de complexidade das situações elaboradas por P. Verde.
Tabela 6.2.2- Classificação, por extensão, dos problemas elaborados por P. Verde
Protótipo 1ª Extensão
2011
6
2012
2
3
2013
3
Fonte: Banco de dados da Autora
2ª Extensão
3ª Extensão
4ª Extensão
1
2
1
É possível observar na Tabela 6.2.2 que, antes do estudo da TCC, a professora
somente elaborou problemas do tipo protótipo, que são problemas simples, realizados até por
crianças de 4 ou 5 anos, que ainda não frequentam os anos iniciais do Ensino Fundamental
(VERGNAUD, 1996a). Entretanto, em 2012 e 2013, após a participação dela no grupo de
discussão, houve uma mudança. A professora diminuiu o número de situações mais simples e
aumentou o número de situações mais complexas, o que é um indicativo de que ela
compreendeu que, para auxiliar seus alunos a construírem novos conceitos, precisa propor
situações que estejam apoiadas em diferentes conhecimentos e graus de complexidade
(MAGINA, CAMPOS et al., 2008).
224
Vale salientar que, dos seis problemas de 1ª extensão elaborados, quatro são de
composição e dois são de transformação. Talvez isso tenha acontecido porque a primeira
grande dificuldade enfrentada por essa professora foi na elaboração dos problemas de
composição – 1ª extensão, daí ela ter se desafiado a elaborar situações desse tipo.
6.2.3 Análise comparativa dos problemas elaborados por P. Azul
Da mesma maneira que nos problemas elaborados por P. Verde, começo realizando a
análise por categoria dos problemas elaborados por P. Azul.
Tabela 6.2.3- Classificação, por categoria, dos problemas elaborados por P. Azul
Composição
Transformação
2011
3
2012
3
1
2013
3
1
Fonte: Banco de dados da Autora
Comparação
2
2
2
Em 2011, dos seis problemas elaborados por P. Azul, um não consta na Tabela, pois
foi classificado como Misto por envolver mais de uma operação. A Tabela mostra que nos
dois momentos de elaboração, após o estudo no grupo de discussão (2012 e 2013), P. Azul
elaborou situações-problema relacionadas às três categorias que foram estudadas. Talvez por
ter percebido que na primeira elaboração não havia contemplado a categoria composição, nas
duas elaborações seguintes, após o estudo, priorizou essa categoria.
É importante destacar que essa professora elaborou seis problemas que fazem parte da
categoria comparação, na qual os estudantes tiveram o menor desempenho (ver Gráfico 6.1.2,
p.212) e que, em 2011, estão em menor número, tanto nos problemas elaborados pelas
professoras (ver Gráfico 3.2.1, p.122), quanto nos problemas presentes no livro de
Matemática adotado pela escola (ver Gráfico 3.3.1, p.130), fato já destacado por Santos
(2006) em seu estudo sobre os tipos de problemas contemplados nos livros de Matemática do
2º ciclo do Ensino Fundamental.
Apesar de ter o cuidado de elaborar situações relacionadas às três categorias em
estudo, a Tabela 6.2.4 mostra que essa professora não esteve atenta ao grau de complexidade
presente nas situações que elaborou.
Tabela 6.2.4- Classificação, por extensão, dos problemas elaborados por P. Azul
Protótipo
1ª Extensão
2011
2
2012
4
2013
4
Fonte: Banco de dados da Autora
2ª Extensão
3ª Extensão
2
2
2
4ª Extensão
1
225
Dos 17 problemas classificados, 10 são do tipo protótipo e representam 58,8% do
total, ou seja, mais da metade dos problemas elaborados apresentam as situações simples que
podemos imaginar, porque para resolvê-las é suficiente juntar duas partes para formar um
todo ou aplicar uma transformação direta num estado inicial (VERGNAUD, 2009). Os outros
7 problemas, que correspondem a 41,2% do total, apresentam situações com maior grau de
complexidade.
A Tabela 6.2.4 mostra que a P. Azul manteve o grau de complexidade das situações
que elaborou, tanto antes como após o estudo, enfatizando situações protótipo e de 3ª
extensão. Esse desempenho da professora pode ser um indicativo de que ela compreendeu que
deve trabalhar situações das três categorias, contudo ainda não conseguiu elaborar situações
que contemplem diferentes graus de complexidade, o que possibilita a expansão dos
conhecimentos da criança na resolução de situações mais sofisticadas (MAGINA, CAMPOS
et al., 2008).
6.2.4 Análise comparativa dos problemas elaborados por P. Vermelho
A Tabela a seguir apresenta a classificação dos problemas elaborados por P. Vermelho
nos três momentos de aplicação do instrumento.
Tabela 6.2.5- Classificação, por categoria, dos problemas elaborados por P. Vermelho
Composição
Transformação
2011
1
2
2012
1
4
2013
1
2
Fonte: Banco de dados da Autora
Comparação
1
1
2
A Tabela 6.2.5 mostra que 15 problemas, dos 18 elaborados, foram classificados. Em
2011, foram retirados dois problemas por serem de multiplicação, e em 2013, um deles foi
classificado como Misto por envolver mais de uma operação e, por isso, não consta nessa
Tabela. Apesar de ter elaborado situações do campo multiplicativo, desatendendo as
orientações dadas; essa professora, tanto antes como após o estudo no grupo de discussão,
elaborou situações-problema que contemplam as três categorias, evidenciando que já
costumava explorar diferentes conceitos.
O grau de complexidade, presente nas situações elaboradas pela P. Vermelho, pode ser
observado na Tabela 6.2.6 a seguir.
226
Tabela 6.2.6- Classificação, por extensão, dos problemas elaborados por P. Vermelho
Protótipo
1ª Extensão
2011
3
2012
5
2013
2
1
Fonte: Banco de dados da Autora
2ª Extensão
3ª Extensão
1
1
1
4ª Extensão
1
Os dados mostram que, somente no terceiro momento de elaboração, a professora
conseguiu equilibrar o grau de complexidade presente nas situações, ou seja, ela elaborou
situações simples, chamadas de protótipo, e situações mais complexas de 1ª, 2ª e 3ª extensão.
Embora ela não tenha feito isso nos dois momentos em que elaborou os problemas sem
realizar consulta em outro material (2011 e 2012), o que indica que são esses os tipos de
problemas que vieram à sua mente, em 2013, quando teve a oportunidade de consultar algum
material, pois a elaboração foi em casa, revelou ter clareza de que para oportunizar o
desenvolvimento dessa competência, os estudantes necessitam resolver situações do Campo
Aditivo com diferentes graus de complexidade.
6.2.5 Síntese das análises comparativas dos problemas elaborados pelas professoras
A análise comparativa do instrumento das professoras buscou identificar indícios que
sinalizem alguma contribuição do estudo do Campo Conceitual Aditivo nos tipos de
problemas elaborados por elas. Para tanto, considerei dois aspectos: (i) categorias
contempladas e (ii) grau de complexidade das situações elaboradas.
Levando em conta esses aspectos, a análise comparativa revelou algumas mudanças
que sinalizam uma influência positiva do estudo sobre o Campo Conceitual Aditivo, realizado
no grupo de discussão. A primeira mudança se refere às categorias contempladas. Foi possível
observar que, nos dois momentos de elaboração, após a realização dos encontros, as duas
professoras que não haviam elaborado situações referentes às três categorias estudadas:
composição, transformação e comparação, passaram a fazê-las.
Quanto ao grau de complexidade das situações elaboradas, os dados revelam que,
mesmo após o estudo no grupo de discussão, as professoras continuaram enfatizando as
situações de menor complexidade, chamadas de protótipo, pois as mesmas foram elaboradas
em maior número, e apareceram em menor número as situações de maior complexidade.
Entretanto, mesmo observando que as situações mais complexas estão em menor número,
considero que o estudo das Estruturas Aditivas contribuiu para essas pequenas mudanças, pois
227
entendo que elaborar problemas com maior grau de complexidade foi uma das grandes
dificuldades evidenciadas pelas professoras durante o estudo no grupo de discussão.
Neste capítulo, realizei a análise comparativa do desempenho dos estudantes e das
estratégias de resolução utilizadas por eles nas três aplicações do instrumento e dos problemas
elaborados pelas professoras nesses momentos. Concluo o capítulo destacando que os avanços
no desempenho dos estudantes e as mudanças nos tipos de situações aditivas elaboradas pelas
professoras, sinalizam contribuições do estudo do Campo Conceitual Aditivo no grupo de
discussão.
228
CONSIDERAÇÕES FINAIS
Este trabalho teve como objetivo identificar e compreender contribuições de um
estudo do Campo Conceitual Aditivo, baseado na Teoria dos Campos Conceituais e na
reflexão sobre a ação docente frente à resolução de problemas aditivos, junto a professoras
dos anos iniciais do Ensino Fundamental, por meio de grupos de discussão.
Neste tópico, apresento uma síntese do estudo realizado e os principais resultados que
dele emergiram de acordo com o seu objetivo central e a questão de pesquisa que o nortearam.
Concluo trazendo para discussão um conjunto de limitações e recomendações do estudo e
faço uma reflexão pessoal acerca de alguns aspectos do trabalho desenvolvido.
Síntese do Estudo
Inicio apresentando as motivações e justificativas que me levaram a definir a
investigação em estudo: objetivos e questão de pesquisa que nortearam o percurso realizado.
No enquadramento teórico, abordei três temas que considerei relevantes para o
desenvolvimento do estudo: (i) Teoria dos Campos Conceituais (TCC), em especial o Campo
Conceitual Aditivo; (ii) ensino e aprendizagem da Matemática nos anos iniciais do Ensino
Fundamental; e (iii) aprendizagem matemática de professoras dos anos iniciais do Ensino
Fundamental em um grupo de discussão. No primeiro, faço referência às especificações
inerentes à TCC, tais como os principais princípios que a embasam e, dentro do Campo
Conceitual Aditivo, destaco a classificação das situações das três categorias abordadas:
composição, transformação e comparação. No segundo, faço algumas ressalvas sobre a
formação das professoras que ensinam Matemática nos anos iniciais e sobre o ensino da
resolução de problemas aditivos. No terceiro, comento sobre as aprendizagens matemáticas de
professoras em um grupo de discussão.
Para atingir o objetivo principal, o delineamento metodológico enquadrou-se numa
abordagem quanti-qualitativa e foi desenvolvido em três etapas. Na primeira etapa (Estudo 1),
realizei um estudo diagnóstico para conhecer a realidade do contexto educacional envolvido
frente ao ensino e ao aprendizado da resolução de problemas aditivos, que envolveu os
alunos, as professoras e o livro de Matemática adotado pela escola. A análise desses dados
forneceu informações relevantes para oportunizar discussões nos encontros de estudo do
Campo Conceitual Aditivo, realizados com as professoras, na segunda etapa (Estudo 2). Na
229
terceira etapa (Estudo 3), com o objetivo de buscar indícios no desempenho dos estudantes,
que sinalizassem contribuições do estudo realizado com as professoras, reapliquei os
instrumentos diagnósticos. Participaram do estudo diagnóstico 248 estudantes e 10
professoras dos anos iniciais do Ensino Fundamental; do estudo no grupo de discussão, 79
estudantes e quatro professoras; e do estudo comparativo, os 33 estudantes e as três
professoras que participaram dos três momentos de aplicação dos instrumentos.
A experiência de ensino com as professoras teve por base o estudo da TCC, com
ênfase no Campo Conceitual Aditivo, desenvolveu-se no período de março a novembro de
2012 e envolveu oito sessões de estudo. Em cada sessão, foram discutidos: um ou dois tipos
de situações aditivas; o desempenho dos estudantes no estudo diagnóstico; os problemas
elaborados pelas professoras; e os problemas presentes no livro de Matemática adotado pela
escola, referentes à situação em estudo. Também, as professoras elaboravam problemas do
tipo de situação em estudo naquele dia.
Para recolha dos dados, além do instrumento com dez problemas de adição e de
subtração aplicado aos alunos e da elaboração de seis problemas de aditivos pelas professoras,
foram realizados registros escritos no diário de campo, gravações em áudio dos encontros e
entrevista com as professoras. A análise do material coletado forneceu informações que
possibilitaram responder à questão de pesquisa delineada na introdução. Contudo, antes de
respondê-la, apresento uma síntese dos resultados obtidos nos Estudos 1 e 3.
Principais resultados
Com o objetivo de perceber se o estudo realizado no grupo de discussão com as
professoras interferiu no desempenho dos estudantes na resolução de problemas de adição e
de subtração; a relação entre o desempenho dos alunos nos problemas aditivos, os problemas
elaborados pelas professoras e os apresentados no livro de Matemática adotado pela escola; e
identificar possíveis contribuições do estudo das Estruturas Aditivas, nos problemas
elaborados pelas professoras, faço considerações sobre os dados coletados. Essas informações
revelam evidências do contexto investigado, e estão organizadas em cinco pontos: (i)
desempenho dos estudantes nos problemas de adição e de subtração; (ii) estratégias utilizadas
pelos estudantes e dificuldades apresentadas; (iii) problemas de adição e de subtração
elaborados pelas professoras; (iv) problemas de adição e de subtração presentes no livro de
Matemática adotado pela escola; e (v) relação entre os resultados dos instrumentos aplicados.
230
Vale destacar que as conclusões se referem aos estudantes e professoras que participaram de
todo o percurso de investigação, no período de setembro de 2011 a maio de 2013.
(i) desempenho dos estudantes nos problemas de adição e de subtração
Os resultados da análise dos dados, referentes ao índice geral de acerto dos estudantes
no instrumento aplicado, mostram que houve um avanço no desempenho dos mesmos. Ao
olhar os dados de desempenho por categoria, observa-se que o índice de desempenho dos
estudantes aumentou nas três categorias, com destaque para a composição, que teve um índice
estatisticamente significativo de aumento (24,6%). A categoria comparação foi a que teve o
menor índice de aumento (15,4%). Da mesma forma, quando se verifica o índice de
desempenho em cada uma das situações-problema, percebe-se crescimento em todas, com
destaque para uma situação prototípica de transformação que teve um crescimento de 48%. É
possível que esses avanços sejam uma evidência do amadurecimento próprio do sujeito, pois
relativo ao desenvolvimento na maturidade de cada um. Contudo, esses resultados também
podem estar sinalizando mudanças no trabalho realizado pelas professoras ao ensinarem a
resolução de problemas de adição e de subtração.
Merece destaque o inexpressivo avanço no desempenho dos estudantes na situação de
transformação – 1ª extensão (P3), na qual são conhecidos o estado inicial e o final e se deseja
descobrir a transformação. No P3, o desempenho das crianças partiu de um patamar de 58%
de acertos em 2011, e chegou a 64% em 2012: um crescimento apenas de 6%, e de 2012 para
2013, decresceu 3%, o que significa que o trabalho desenvolvido pelas professoras não
chegou a superar essa dificuldade dos estudantes. Em contrapartida, foi significativo o avanço
no desempenho dos estudantes na situação de transformação – 4ª extensão (P7), na qual são
conhecidos o estado final e a transformação e se quer descobrir o estado inicial. A resolução
do problema P7 é mais complexa do que a do P3. No P7 o desempenho dos alunos partiu de
um patamar de 19,3% de acertos em 2011, e chegou a 38,6% em 2012: um crescimento de
19,3%, e de 2012 para 2013, cresceu 10%. Esses resultados revelam que os avanços no
desempenho dos estudantes não estiveram relacionados ao grau de complexidade das
situações. Na análise da experiência de ensino, verifica-se que as professoras apresentaram
dificuldades na elaboração de situações com estado inicial desconhecido e uma tendência em
elaborar problemas com estado inicial e transformação conhecidos, por esse motivo esses
dados são relevantes.
231
Os resultados expressam uma relação inversa entre o desempenho dos estudantes e o
grau de complexidade da situação-problema, o que significa que o melhor desempenho dos
estudantes foi nas situações com menor grau de complexidade, as situações prototípicas de
composição e transformação. Nessas situações, o crescimento no índice de desempenho dos
estudantes foi significativo. Esses dados confirmam os resultados de Nunes, Campos et al.
(2002), que indicam índices acima de 80% de acertos em situações prototípicas. O menor
índice de desempenho foi nas situações com maior grau de complexidade, as situações de
comparação 3ª e 4ª extensões. Essa dificuldade é também apontada nas conclusões do estudo
desenvolvido por Herebia (2007), ao afirmar que os alunos apresentam maior dificuldade nos
problemas de comparação.
No estudo diagnóstico, os resultados gerais mostram que os estudantes tiveram melhor
desempenho na categoria transformação, diferentemente dos diagnósticos de outros contextos
investigados (MAGINA, CAMPOS et al., 2008; SANTANA e CORREIA, 2011), nos quais
os estudantes se saíram melhor na categoria composição.
(ii) estratégias utilizadas pelos estudantes e dificuldades apresentadas
A análise das estratégias de resolução utilizadas pelos estudantes revelou que o tipo de
esquema mais utilizado por eles é o algoritmo no formato de conta armada, representado com
algarismos. Ao utilizarem esse tipo de representação, os estudantes cometeram três tipos de
erros: ausência ou troca dos sinais de “mais” ou de “menos”, posicionamento errado dos
algarismos no algoritmo, e resolução errada do cálculo. Foi possível observar, também, que o
número de estudantes que fez uso do esquema de resolução com desenhos e com cálculo
mental foi decrescente na sequência de aplicações do instrumento. Esses resultados sinalizam
que, à medida que os estudantes se apropriam das regras operatórias da adição e da subtração,
eles abandonam outros esquemas de resolução. Essa constatação confirma os resultados
apontados por Freitas (2005) de que poucas crianças apresentam a solução através de
desenho, e que a maioria faz uso da conta armada. Os resultados alertam que é essencial que o
ensino da resolução de problemas aditivos se preocupe com o desenvolvimento de diferentes
estratégias e procedimentos de resolução, realçando os que são mais adequados à
complexidade e valores presentes nas situações.
As representações feitas pelos estudantes na resolução dos problemas mostram que
algumas palavras-chave presentes no enunciado do mesmo influenciam na escolha do
esquema de resolução a ser utilizado. Por exemplo, nas situações em que a palavra “ganhou”
232
faz parte do enunciado, muitas crianças realizaram uma adição, mesmo a situação
apresentando uma ideia contraintuitiva, cuja resolução envolve uma subtração. Por esse
motivo, o percentual de estudantes que fez uso de uma operação contrária à que a resolução
do problema necessitava, aumentou ao longo do período de investigação. Esse resultado vem
ao encontro das constatações feitas por Guimarães (2005) e Magina, Campos et al. (2010).
Essa dificuldade sinaliza uma necessidade de se enfatizar o trabalho com o registro do cálculo
relacional, ou seja, é preciso que, antes de montar e resolver o algoritmo com cardinais, os
estudantes registrem, representando com desenhos, conjuntos, diagramas ou outras formas, o
esquema que escolheu para resolver o problema.
(iii) problemas de adição e de subtração elaborados pelas professoras
A classificação dos problemas elaborados pelas professoras mostra que, antes do
estudo do Campo Conceitual Aditivo no grupo de discussão, 50% deles eram da categoria
transformação e 80% deles, envolviam situações simples, com baixo grau de complexidade,
cuja resolução requer uma transformação direta. Após o estudo, as professoras elaboraram
problemas que contemplam as três categorias, revelando conhecimento de que o Campo
Aditivo se constitui de uma gama de conceitos, tais como: parte, todo, transformar, retirar,
juntar, comparar, complementar, etc. A análise da experiência de ensino mostra que as
professoras ampliaram o trabalho com a resolução de problemas aditivos, contudo, apesar
disso, é possível perceber que, mesmo após o estudo, elas continuaram elaborando em maior
número as situações com baixo grau de complexidade.
Ao comparar esses resultados com os de desempenho dos alunos percebe-se
similaridade, o que pode ser um indicativo de que o trabalho com situações mais sofisticadas,
que possibilitam ao estudante ampliar os conhecimentos do Campo Conceitual Aditivo, deve
ser intensificado.
(iv) problemas de adição e de subtração presentes no livro de Matemática adotado pela
escola
A classificação dos problemas de adição e de subtração presentes no livro de
Matemática adotado pela escola revela que quase 50% das situações ali presentes são da
categoria transformação e o menor número é das situações da categoria comparação.
Informação apontada por Santos (2006), ao afirmar que os livros didáticos adotados pelas
233
escolas públicas abordam com menor frequência as situações de comparação. A análise
mostrou que, apesar de serem encontrados problemas com diferentes graus de complexidade,
há uma ênfase nas situações de menor grau de complexidade, com 65% do total de problemas
categorizados. É possível perceber nesses resultados uma similaridade com os resultados de
desempenho dos estudantes no estudo diagnóstico.
(v) relação entre os resultados dos instrumentos aplicados
Tal como referido anteriormente, na metodologia, o critério de classificação dos
problemas foi o mesmo nos três instrumentos para possibilitar um entrelaçamento entre os
resultados. Os resultados confirmam uma relação entre os problemas aditivos elaborados
pelas professoras, os problemas de adição e de subtração do livro adotado pela escola e o
desempenho dos estudantes nesses tipos de problemas. Nas análises dos instrumentos
aplicados antes do estudo com as professoras, houve destaque para as situações prototípicas
da categoria transformação, ou seja, nesse tipo de situação os estudantes tiveram o melhor
desempenho e foram essas as situações mais elaboradas pelas professoras e mais
contempladas no livro de Matemática adotado pela escola. Nessas situações-problema, se
conhece o estado inicial e a transformação e se precisa descobrir o estado final, o raciocínio
necessário para a resolução é simples, pois envolve fazer uma transformação direta.
Os resultados obtidos sugerem que os problemas presentes no livro de Matemática
orientam o trabalho realizado pelas professoras na sala de aula. Pode ser que as professoras
estavam enfatizando situações-problema com pequeno grau de complexidade porque também
no livro essas situações são enfatizadas, em detrimento das situações que exigem raciocínios
mais complexos. E, como consequência, nessas situações-problema, os estudantes tiveram
melhor desempenho.
Entretanto, após o estudo com as professoras, verifica-se que os estudantes passaram a
apresentar um melhor desempenho na categoria composição, como já explicado
anteriormente, porque foi a categoria mais trabalhada, contudo, a classificação dos problemas
elaborados pelas professoras revelou uma tendência ao equilíbrio, ou seja, os índices de
percentuais nas três categorias estão muito próximos. É possível que as professoras, apesar de
não terem colocado em prática uma quantidade suficiente e necessária de problemas para que
se conseguisse aumentar significativamente o índice de desempenho dos estudantes, se
empenharam em mostrar o que aprenderam. Considero que a postura das professoras deste
estudo, em elaborarem problemas das três categorias, evidencia que compreendem a
234
importância de se trabalhar os diferentes conceitos envolvidos nas situações-problema que as
constituem, e que esse é um aprendizado oportunizado pelo estudo do Campo Conceitual
Aditivo no grupo de discussão.
Os resultados deste estudo permitem recomendar que também as situações-problema
de adição e de subtração presentes no livro de Matemática dos anos iniciais do Ensino
Fundamental adotado pela escola sejam ajustadas, de maneira que possibilitem ajudar os
estudantes a ampliarem os conhecimentos relativos às Estruturas Aditivas, em vez de ficarem
enfatizando situações com um mesmo grau de complexidade.
O estudo comparativo não apresenta avanços surpreendentes, mas revela mudanças
que considero significativas na complexidade de um contexto de ensino. Apesar dessas
constatações, não é possível afirmar que existe uma relação determinista entre a apropriação
do Campo Aditivo pelas professoras e o melhor desempenho de seus alunos, pois não testei
pela segunda vez os estudantes das turmas das professoras que não participaram dos estudos
para ver o quanto eles avançaram. Porém, na aplicação do instrumento, após o estudo com as
professoras, foi observado que as crianças evidenciaram maior tranquilidade, segurança e
independência ao realizarem os problemas.
Resposta à questão de pesquisa
Este trabalho busca identificar e compreender contribuições do estudo do Campo
Conceitual Aditivo realizado com as professoras dos anos iniciais de uma escola do interior
de Sergipe e teve como orientação central o seguinte questionamento:
Quais contribuições um estudo do Campo Conceitual Aditivo, baseado na Teoria dos
Campos Conceituais e na reflexão sobre a ação docente, realizado com professoras dos anos
iniciais do Ensino Fundamental de uma escola municipal do interior de Sergipe, traz para o
aprendizado e ensino da resolução de problemas aditivos?
Com foco no objetivo e questão principal, as conclusões que emergiram dos resultados
analisados no trabalho, estão organizadas em três pontos: (i) condições ampliadoras que
contribuíram para o aprendizado e o ensino da resolução de problemas aditivos; (ii) condições
restritivas que limitaram o aprendizado e o ensino da resolução de problemas aditivos; (iii)
condições de contexto que interferiram no estudo no grupo de discussão.
235
(i) condições ampliadoras que contribuíram para o aprendizado e o ensino da resolução de
problemas aditivos
O estudo dos conhecimentos do Campo Conceitual Aditivo junto às professoras dos
anos iniciais do Ensino Fundamental criou condições que ampliaram o aprendizado e o ensino
desse campo conceitual, por essas docentes. Dentre essas condições, teve destaque a
apropriação do conhecimento do conteúdo do Campo Conceitual Aditivo, pois
compreenderam que o mesmo se constitui de situações que envolvem adições e subtrações;
que essas situações são classificadas por Vergnaud (1982) em diferentes categorias, neste
estudo destacadas apenas as três categorias de base: composição, transformação e
comparação; e que as situações presentes nos problemas envolvem diferentes graus de
complexidade. O aprendizado possibilitou que passassem a ensinar com maior domínio do
conhecimento especializado do conteúdo resolução de problemas aditivos. Esse resultado
também foi apontado por Justo e Dorneles (2010) ao afirmarem que, após a realização das
oficinas, as professoras passaram a ensinar com maior conhecimento de conteúdo, pois
conheceram a variedade semântica dos problemas de adição e de subtração e o grau de
complexidade dos mesmos.
Uma condição que despertou o interesse das professoras, e ampliou seus
conhecimentos, foram as discussões sobre as estratégias de resolução utilizadas pelos
estudantes. Essas discussões levaram-nas a perceber que a análise das estratégias utilizadas e,
principalmente, dos erros cometidos, permite coletar evidências sobre os esquemas de
resolução que os alunos utilizam e entender as dificuldades deles, pois possibilita
identificarem os tipos de representações e invariantes operatórias que eles já compreendem e
os que ainda não compreendem. Esse aprendizado permitiu às professoras refletirem sobre os
valores presentes nas situações-problema que propunham para ajudarem os estudantes a
superar a dificuldade em representar corretamente os algoritmos da adição e da subtração.
Outra condição que merece destaque foi o entendimento de que necessitavam
aumentar o número de problemas trabalhados e, para isso, precisavam abandonar a prática de
trabalhar a resolução de problemas somente após a conclusão de um assunto, como citado por
elas, a adição. As professoras perceberam que a experiência influencia no processo de
aprendizagem e que ela só pode ser adquirida com a prática (Vergnaud, 1996a), ou seja, para
que os estudantes se tornem competentes na resolução de problemas aditivos eles precisam
praticar essa atividade com frequência.
236
(ii) condições restritivas que limitaram o aprendizado e o ensino da resolução de problemas
aditivos
A análise mostra que o estudo do Campo Conceitual Aditivo, realizado com
professoras dos anos iniciais do Ensino Fundamental, não conseguiu intervir em algumas
condições que restringiram o aprendizado e o ensino desse campo conceitual, pelas docentes.
Inicio destacando a ênfase dada, por elas, ao uso do algoritmo como única possibilidade de
resolução do problema. Também Reges (2006) já havia ressaltado o uso do algoritmo da
adição e da subtração como única possibilidade de representação utilizada pelas professoras.
É possível que a escolha das professoras esteja pautada em evidências de suas práticas
anteriores, que lhes indicam que esse procedimento propicia aos alunos alcançarem o
resultado correto. Elas não estão erradas ao acreditarem que esse caminho leva ao resultado
correto, entretanto, assim como aconteceu com elas, as crianças adquirem um aprendizado
limitado a um único esquema de resolução. Limitar a resolução de um problema ao uso de um
único tipo de esquema impede o desenvolvimento de um repertório de esquemas e
representações, pois é por meio do uso de diversos esquemas de resolução que os estudantes
tornam-se capazes de enfrentar situações mais complexas, nas quais são desenvolvidos novos
esquemas e, consequentemente, novas invariantes operacionais (conceitos-em-ação e
teoremas-em-ação), adequadas para aquele âmbito de validade. Ao que tudo indica, um
conhecimento mais aprofundado de diferentes esquemas de resolução dos problemas aditivos
e de procedimentos de cálculos numéricos permitiria às professoras ajustarem a prática de
ensino que desenvolvem e, ao mesmo tempo, ajudarem os alunos a se apropriarem de
diferentes formas de representação do esquema de resolução.
Da mesma forma, a ênfase dada pelas professoras às situações de menor complexidade
também é uma condição que restringe o ensino da resolução de problemas aditivos, pois faz
com que os estudantes permaneçam com melhor desempenho nas situações prototípicas,
conforme mostram os resultados do Estudo 3, e não ampliem o conhecimento das situações de
1ª a 4ª extensão, que necessitam de intervenção do professor para serem compreendidos.
O uso insuficiente de recursos materiais é uma condição que restringe o aprendizado
dos estudantes, pelo fato de ser necessário um trabalho consistente com recursos materiais
adequados às dificuldades enfrentadas por eles. Santana (2010) comprovou que o uso do
material Base Dez contribui no aprendizado da resolução de problemas aditivos. Também, o
uso de um material inadequado por não atender a proposta de ensino da TCC, como o livro de
237
Matemática adotado pela escola, passa a ser uma condição restritiva, quando a professora se
limita ao uso do mesmo para trabalhar o ensino da resolução de problemas aditivos.
(iii) condições institucionais e de contexto que influenciaram o estudo no grupo de discussão
A análise dos registros no diário de campo revela que algumas condições referentes a
aspectos institucionais e de contexto influenciaram na realização do estudo do Campo
Conceitual Aditivo com o grupo de professoras. Destaco, primeiramente, o horário e o local
de realização dos encontros. Os frequentes atrasos no horário de chegada reduziram o tempo
de estudo em cada encontro, o que acabou limitando o tempo das discussões e inviabilizando
o desenvolvimento da atividade inicial para entrosamento. Quanto ao local, houve algumas
professoras que o consideraram bom e outras, ruim. Considero que o fato delas morarem
próximo da escola contribuiu para que desejassem que os encontros fossem na escola. Esses
dados indicam que aspectos como local e horário devem ser considerados prioritários, pois
deles depende a participação de um número maior ou menor de professoras.
Também, a ausência das professoras nos encontros influenciou no estudo, pois cada
vez que alguma faltava, no encontro seguinte ela ficava fora das discussões iniciais, porque
não havia aplicado os problemas aos alunos. Observa-se que o abandono e a ausência de
algumas professoras nos encontros foram em decorrência dos atritos entre elas, e dos
problemas familiares que vivenciaram.
Os registros revelam que algumas professoras consideraram insuficiente a quantidade
de oito encontros mensais para o estudo do Campo Aditivo. É possível que encontros
quinzenais mantivessem as docentes mais vinculadas ao estudo e ao trabalho com a resolução
de problemas em sala de aula.
Considero importante concluir comentando que foi possível identificar que esse grupo
de professoras tinha um modo particular de ensinar a resolução de problemas aditivos,
propondo maior número de situações de transformação; fazendo uso de um único tipo de
esquema, o algoritmo; enfatizando a representação numérica do mesmo, chamada de “conta
armada”; e explorando situações menos complexas. O estudo do Campo Conceitual Aditivo
no grupo de discussão criou algumas condições que contribuíram no aprendizado e no ensino
da resolução de problemas aditivos quanto aos tipos de situações, pois as professoras
passaram a variar e trabalhar um maior número de problemas. Contudo, vale destacar que as
condições criadas não foram suficientes e eficazes a ponto de ajudar as professoras a
238
superarem algumas condições que restringem a ação de ensinar a resolução de problemas
aditivos, levando em conta que as análises deixam claro que as docentes permaneceram
enfatizando o uso do algoritmo, como esquema de resolução, e a representação simbólica do
mesmo, fortalecendo, assim, o aprendizado das mesmas invariantes operatórias. Dessa forma,
os aspectos analisados, referentes às contribuições do estudo das Estruturas Aditivas no
aprendizado e no ensino da resolução de problemas aditivos, mostram que as ideias presentes
na TCC foram implementadas, parcialmente.
Recomendações e limitações do estudo
Como referido anteriormente, o estudo desenvolvido com as professoras no grupo de
discussão, mesmo que apoiado em dados quantitativos que oportunizaram a reflexão da
prática realizada em sala de aula teve caráter essencialmente interpretativo e, por isso, não há
pretensão de generalização. Os resultados encontrados estão vinculados ao aprendizado e à
ação docente das professoras e a proposta de intervenção desenvolvida. Ou seja, com outras
professoras, mesmo que pertencentes ao mesmo contexto educacional, ou com outra proposta
de intervenção é provável que os resultados sejam outros. No entanto, com o propósito de
contribuir com a realização de trabalhos similares, que possam surgir futuramente, apresento
algumas limitações e recomendações.
A participação de apenas uma escola e, consequentemente, o número reduzido de
professoras no estudo no grupo de discussão foi um fator que provocou limitações no trabalho
realizado. Discutir os dados de somente uma escola limitou a dar vistas aos resultados de um
único contexto educacional e fazer as reuniões com as quatro professoras que participaram até
o final dos encontros restringiu as discussões durante o estudo da TCC e a troca de
informações entre os pares na escola. Acredito que um estudo mais amplo, envolvendo um
maior número de escolas e professoras, poderia oportunizar discussões mais ricas em
experiências diferenciadas e a troca de ideias entre os pares também seria mais proveitosa,
pois oriunda de contextos diferentes.
O número de encontros realizados também foi um limitador do processo. Considero
que um maior número de encontros, prolongando o estudo para dois anos, possibilitaria que as
professoras se aprofundassem nos estudos sobre a TCC e se sentissem seguras em relação às
situações-problema que propõem aos seus alunos. Também, com mais tempo, seria possível
se investir no estudo de diferentes estratégias de solução para os problemas, conhecimento
que possibilita ao aluno desenvolver autonomia ao escolher qual caminho de resolução
239
escolher, para se romper com a resolução tradicional pela conta armada, tão utilizada pelas
professoras. Ainda, é possível que um maior número de encontros permitisse que as
professoras se apropriassem, e fizessem um maior uso, da representação do cálculo relacional
nos diagramas, proposta por Vergnaud (1996a).
Durante a realização das análises, percebeu-se uma limitação relacionada ao período
de aplicação do instrumento dos estudantes, embora fosse prevista inicialmente. A realização
de uma aplicação do instrumento aos alunos das professoras que decidiram participar dos
encontros, no início do ano de 2012, oportunizaria que as crianças fossem testadas no mesmo
ano, antes e depois da intervenção das professoras, e possibilitaria realizar entrevistas
individuais com alguns estudantes. A identificação nominal nos instrumentos possibilitaria a
realização da análise comparativa somente dos estudantes que participaram do início até o fim
do processo. Da mesma forma, a elaboração dos problemas pelas professoras, no início de
2012, possibilitaria fazer a análise comparativa dos problemas de todas que participaram até o
final, o que não ocorreu porque a professora do 1º ano, em 2011, lecionava numa turma da
Educação Infantil e, por isso, não participou da primeira elaboração.
Ainda foi identificada uma limitação referente às atividades realizadas no final do ano
de 2012. A realização dos encontros e do trabalho na sala de aula (proposição de problemas
para os alunos) nos meses de outubro e novembro foi muito complicada, porque são meses
que envolvem muitas festividades (por exemplo: dia da criança e do professor) e nesse
período as professoras estão preocupadas com a conclusão dos conteúdos que estão no
programa, o que favoreceu para que a categoria comparação fosse muito pouco trabalhada. A
realização de encontros quinzenais no período de março a setembro e com a observação
contínua do coordenador nos meses seguintes permitiria um acompanhamento mais intenso
do estudo realizado.
Além disso, o número de situações trabalhadas em cada categoria pode ser um
limitador no estudo. O afastamento de algumas professoras entre o 2º e o 3º encontro, por
motivo da paralisação, fez com que as situações da categoria composição fossem mais
trabalhadas, pois foram discutidas nos três primeiros encontros e propostas às crianças até 11
de julho de 2012, dia em que se começou a discussão sobre as situações da categoria
transformação. A definição de um número de situações a serem trabalhadas em cada categoria
oportunizaria um detalhamento dos dados de análise.
Ressalto que se faz necessário pensar na ênfase dada pelas docentes ao ensino dos
algoritmos das quatro operações, pois a mesma já foi identificada por pesquisadores
(ABRANTES, SERRAZINA e OLIVEIRA, 1999; REGES, 2006), em outros contextos, e
240
merece maior atenção, por poder tornar-se uma condição restritiva no aprendizado de teorias
como a TCC.
As limitações apresentadas, como destacado no início, podem ser entendidas como
recomendações para futuras pesquisas, pois são necessários mais estudos envolvendo
professoras, seus alunos e o livro de Matemática que utilizam, de modo a proporcionar uma
melhor compreensão de possíveis contribuições oriundas de um estudo do Campo Conceitual
Aditivo realizado em um grupo de discussão.
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246
APÊNDICES
APÊNDICE A – Instrumento aplicado aos estudantes nos Estudo 1 e 3
Qual a sua idade?______anos
___ Menino
___Menina
Problema 1. Ricardo tinha 9 balas e deu 4 para seu irmão. Com quantas balas Ricardo ficou?
Resolução (cálculos e/ou desenhos)
Resposta
Problema 2. Sobre a mesa da cozinha tem 8 copos azuis e 6 copos verdes. Quantos copos tem
sobre a mesa?
Resolução (cálculos e/ou desenhos)
Resposta
Problema 3. Pedro foi ao mercado fazer compras com 10 reais. Quando saiu do mercado
estava com 3 reais. Quantos reais Pedro gastou no mercado?
Resolução (cálculos e/ou desenhos)
Resposta
Problema 4. João tem 7 pares de sapatos. Júlia tem 14 pares de sapatos.
a) Quem tem mais pares de sapatos?
b) Quantos pares a mais?
Resolução (cálculos e/ou desenhos)
Resposta
a)
b)
Problema 5. Ana tem algumas blusas e Laura tem 6 blusas a menos que Ana. Sabendo que
Laura tem 13 blusas, quantas blusas tem Ana?
Resolução (cálculos e/ou desenhos)
Resposta
247
Problema 6. Carla tinha 6 reais. Depois que ganhou alguns reais de sua mãe, ficou com 11
reais. Quantos reais Carla ganhou de sua mãe?
Resolução (cálculos e/ou desenhos)
Resposta
Problema 7. Carlota tinha algumas bonecas e ganhou 5 bonecas de suas amigas, ficando com
9 bonecas no total. Quantas bonecas Carlota tinha antes?
Resolução (cálculos e/ou desenhos)
Resposta
Problema 8. Sobre a mesa da cozinha tem 9 pratos de cores amarela e vermelha. Três pratos
são amarelos, quantos pratos são vermelhos?
Resolução (cálculos e/ou desenhos)
Resposta
Problema 9. Carla tem 10 anos e Joana tem 3 anos a mais que ela. Quantos anos tem Joana?
Resolução (cálculos e/ou desenhos)
Resposta
Problema 10. Ricardo tinha 9 balas e ganhou 5 de seu pai. Com quantas balas Ricardo ficou?
Resolução (cálculos e/ou desenhos)
Resposta
248
APÊNDICE B – Instrumento aplicado às professoras nos Estudo 1 e 3
PROJETO DE PESQUISA: ”O ENSINO DAS ESTRUTURAS ADITIVAS JUNTO A
PROFESSORAS DOS ANOS INICIAIS”
Elabora seis problemas de adição e/ou subtração:
Problema 1:
Problema 2:
Problema 3:
Problema 4:
Problema 5:
Problema 6:
249
APÊNDICE C - Instrumento aplicado às professoras no Estudo 2
PROJETO DE PESQUISA: ”O ENSINO DAS ESTRUTURAS ADITIVAS JUNTO A
PROFESSORAS DOS ANOS INICIAIS”
QUESTIONÁRIO
Nome: ___________________________________________ Idade: ____________________
Habilitação em nível médio: ____________________________________________________
Habilitação em nível superior: __________________________________________________
Pós-Graduação: ______________________________________________________________
Tempo de serviço no Magistério: ________________________________________________
Turma em que leciona (2012): __________________________________________________
Tempo de serviço nessa série: ___________________________________________________
Séries em que já atuou: ________________________________________________________
Escola(s) onde atua: __________________________________________________________
Regime de trabalho: 20h ( )
30h ( )
40h ( )
50h ( )
60h ( )
250
APÊNDICE D – Alguns questionamentos da entrevista com as professoras
PROJETO DE PESQUISA: ”O ENSINO DAS ESTRUTURAS ADITIVAS JUNTO A
PROFESSORAS DOS ANOS INICIAIS”
Levando em conta que a entrevista é semiestruturada, os questionamentos a seguir
servem para sinalizar o direcionamento da conversa.
Questionamentos:
1. O que você percebe que mudou na sua forma de ensinar em relação à resolução de
problemas de adição e de subtração? E na sua prática de forma geral?
2. Você considera que houve mudanças na forma de seus alunos resolverem os problemas de
adição e de subtração?
3. Você considera que a aprendizagem de seus alunos na resolução de problemas de adição e
de subtração melhorou? Em que aspectos melhorou?
4. Em que aspectos você considera que seus conhecimentos acerca da Teoria dos Campos
Conceituais melhorou?
251
APÊNDICE E – Instrumento aplicado aos estudantes no Estudo 3
Qual a sua idade?______anos
___ Menino
___Menina
Problema 1. Pedro tinha 9 figurinhas e deu 4 para seu primo. Com quantas figurinhas Pedro
ficou?
Resolução (cálculos e/ou desenhos)
Resposta
Problema 2. Num aquário tem 8 peixes amarelos e 6 peixes azuis. Quantos peixes tem no
aquário?
Resolução (cálculos e/ou desenhos)
Resposta
Problema 3. Rafaela foi na cantina da escola fazer compras com 10 reais. Quando saiu da
cantina estava com 3 reais. Quantos reais Rafaela gastou na cantina?
Resolução (cálculos e/ou desenhos)
Resposta
Problema 4. Paulo tem 7 reais. Ricardo tem 14 reais.
a) Quem tem mais reais?
b) Quantos reais a mais?
Resolução (cálculos e/ou desenhos)
Resposta
a)
b)
Problema 5. Roberto tem algumas cartas e Murilo tem 6 cartas a menos que Roberto. Sabendo
que Murilo tem 13 cartas, quantas cartas tem Roberto?
Resolução (cálculos e/ou desenhos)
Resposta
Problema 6. Fernanda tinha 6 reais. Depois que ganhou alguns reais de sua madrinha, ficou
com 11 reais. Quantos reais Fernanda ganhou de sua madrinha?
252
Resolução (cálculos e/ou desenhos)
Resposta
Problema 7. Mariana tinha alguns lápis coloridos e ganhou 5 lápis coloridos de suas colegas,
ficando com 9 lápis coloridos no total. Quantos lápis coloridos Mariana tinha antes?
Resolução (cálculos e/ou desenhos)
Resposta
Problema 8. Na casa de Renato tem 9 animais entre pássaros e cães. Três são cães, quantos
são pássaros?
Resolução (cálculos e/ou desenhos)
Resposta
Problema 9. João tem 10 anos e Eduardo tem 3 anos a mais que ele. Quantos anos tem
Eduardo?
Resolução (cálculos e/ou desenhos)
Resposta
Problema 10. Leonardo tinha 9 reais e ganhou 5 de seu tio. Com quantos reais Leonardo
ficou?
Resolução (cálculos e/ou desenhos)
Resposta