Geração de Variáveis Aleatórias
Profa Msc. Eveliny Barroso
Universidade Federal de Mato Grosso
Departamento de Estatística
2013
Profa Msc. Eveliny Barroso (UFMT – DE)
Geração de Variáveis Aleatórias
2013
1 / 44
1
Geração de Variáveis Aleatórias Discretas
Método da Transformada Inversa
2
Geração de Variáveis Aleatórias Contínuas
Método da Transformada Inversa
Método da Aceitação e Rejeição
Profa Msc. Eveliny Barroso (UFMT – DE)
Geração de Variáveis Aleatórias
2013
2 / 44
Geração de Variáveis Aleatórias Discretas
Método da Transformada Inversa
Geração de Variáveis Aleatórias Discretas
Método da Transformada Inversa
Suponha que nós queremos gerar valores de uma Variável Aleatória
Discreta (VAD) X com f.d.p dada por:
IP (X = xj ) = pj ,
j = 0, 1, · · · ;
X
pj = 1.
(1)
j
Esta geração pode ser feita a partir de um número aleatório U
uniformemente distribuído entre 0 e 1. (U ∼ U(0, 1)).
Profa Msc. Eveliny Barroso (UFMT – DE)
Geração de Variáveis Aleatórias
2013
3 / 44
Geração de Variáveis Aleatórias Discretas
Método da Transformada Inversa
Método da Transformada Inversa
X


x0




 x1
=
..


.



 x
j
se
U < p0
se
..
.
p0 ≤ U < p0 + p1
se
Pj−1
i=0
pi ≤ U <
Pj
i=0 pi
Para 0 < a < b < 1, IP (a ≤ U < b) = b − a, tem-se que
IP (X = xj ) = IP
( j−1
X
i=0
pi ≤ U <
j
X
)
pi
= pj
(2)
i=0
X : Distribuição de interesse.
Profa Msc. Eveliny Barroso (UFMT – DE)
Geração de Variáveis Aleatórias
2013
4 / 44
Geração de Variáveis Aleatórias Discretas
Método da Transformada Inversa
Método da Transformada Inversa
O procedimento pode ser escrito algoritmicamente como:
Algoritmo
1
Gere um número aleatório U;
Profa Msc. Eveliny Barroso (UFMT – DE)
Geração de Variáveis Aleatórias
2013
5 / 44
Geração de Variáveis Aleatórias Discretas
Método da Transformada Inversa
Método da Transformada Inversa
O procedimento pode ser escrito algoritmicamente como:
Algoritmo
1
Gere um número aleatório U;
2
Se U < p0 , faça X = x0 e pare;
Profa Msc. Eveliny Barroso (UFMT – DE)
Geração de Variáveis Aleatórias
2013
5 / 44
Geração de Variáveis Aleatórias Discretas
Método da Transformada Inversa
Método da Transformada Inversa
O procedimento pode ser escrito algoritmicamente como:
Algoritmo
1
Gere um número aleatório U;
2
Se U < p0 , faça X = x0 e pare;
3
Se U < p0 + p1 , faça X = x1 e pare;
Profa Msc. Eveliny Barroso (UFMT – DE)
Geração de Variáveis Aleatórias
2013
5 / 44
Geração de Variáveis Aleatórias Discretas
Método da Transformada Inversa
Método da Transformada Inversa
O procedimento pode ser escrito algoritmicamente como:
Algoritmo
1
Gere um número aleatório U;
2
Se U < p0 , faça X = x0 e pare;
3
Se U < p0 + p1 , faça X = x1 e pare;
4
Se U < p0 + p1 + p2 , faça X = x2 e pare;
Profa Msc. Eveliny Barroso (UFMT – DE)
Geração de Variáveis Aleatórias
2013
5 / 44
Geração de Variáveis Aleatórias Discretas
Método da Transformada Inversa
Método da Transformada Inversa
O procedimento pode ser escrito algoritmicamente como:
Algoritmo
1
Gere um número aleatório U;
2
Se U < p0 , faça X = x0 e pare;
3
Se U < p0 + p1 , faça X = x1 e pare;
4
Se U < p0 + p1 + p2 , faça X = x2 e pare;
..
..
.
.
5
Profa Msc. Eveliny Barroso (UFMT – DE)
Geração de Variáveis Aleatórias
2013
5 / 44
Geração de Variáveis Aleatórias Discretas
Método da Transformada Inversa
Método da Transformada Inversa
Se xi , i ≥ 0, forem ordenados x0 < x1 < x2 < · · · e F represente a
P
função distribuição de X , então F (xk ) = ki=0 pi e X será igual a xj se
F (xj−1 ) ≤ U < F (xj )
Em outras palavras, após a geração do número aleatório U nós
determinamos o valor de X encontrado no intervalo [F (xj−1 ), F (xj )] em
que U está contido.
Profa Msc. Eveliny Barroso (UFMT – DE)
Geração de Variáveis Aleatórias
2013
6 / 44
Geração de Variáveis Aleatórias Discretas
Método da Transformada Inversa
Exemplo
Se nós queremos simular uma v.a. X com as seguintes probabilidades:
p1 = 0, 20; p2 = 0, 15; p3 = 0, 25; p4 = 0, 40;
onde
IP (X = j) = pj
Nós podemos gerar U e fazer como segue
Se U < 0, 20, faça X = 1 e pare;
Profa Msc. Eveliny Barroso (UFMT – DE)
Geração de Variáveis Aleatórias
2013
7 / 44
Geração de Variáveis Aleatórias Discretas
Método da Transformada Inversa
Exemplo
Se nós queremos simular uma v.a. X com as seguintes probabilidades:
p1 = 0, 20; p2 = 0, 15; p3 = 0, 25; p4 = 0, 40;
onde
IP (X = j) = pj
Nós podemos gerar U e fazer como segue
Se U < 0, 20, faça X = 1 e pare;
Se U < 0, 35, faça X = 2 e pare;
Profa Msc. Eveliny Barroso (UFMT – DE)
Geração de Variáveis Aleatórias
2013
7 / 44
Geração de Variáveis Aleatórias Discretas
Método da Transformada Inversa
Exemplo
Se nós queremos simular uma v.a. X com as seguintes probabilidades:
p1 = 0, 20; p2 = 0, 15; p3 = 0, 25; p4 = 0, 40;
onde
IP (X = j) = pj
Nós podemos gerar U e fazer como segue
Se U < 0, 20, faça X = 1 e pare;
Se U < 0, 35, faça X = 2 e pare;
Se U < 0, 60, faça X = 3 e pare;
Profa Msc. Eveliny Barroso (UFMT – DE)
Geração de Variáveis Aleatórias
2013
7 / 44
Geração de Variáveis Aleatórias Discretas
Método da Transformada Inversa
Exemplo
Se nós queremos simular uma v.a. X com as seguintes probabilidades:
p1 = 0, 20; p2 = 0, 15; p3 = 0, 25; p4 = 0, 40;
onde
IP (X = j) = pj
Nós podemos gerar U e fazer como segue
Se U < 0, 20, faça X = 1 e pare;
Se U < 0, 35, faça X = 2 e pare;
Se U < 0, 60, faça X = 3 e pare;
caso contrário, faça X = 4;
Profa Msc. Eveliny Barroso (UFMT – DE)
Geração de Variáveis Aleatórias
2013
7 / 44
Geração de Variáveis Aleatórias Discretas
Método da Transformada Inversa
Distribuição Geométrica
Consideremos tentativas sucessivas e independentes de um mesmo
experimento aleatório.
Profa Msc. Eveliny Barroso (UFMT – DE)
Geração de Variáveis Aleatórias
2013
8 / 44
Geração de Variáveis Aleatórias Discretas
Método da Transformada Inversa
Distribuição Geométrica
Consideremos tentativas sucessivas e independentes de um mesmo
experimento aleatório.
Cada tentativa admite sucesso com probabilidade p e fracasso com
probabilidade q, p + q = 1.
Profa Msc. Eveliny Barroso (UFMT – DE)
Geração de Variáveis Aleatórias
2013
8 / 44
Geração de Variáveis Aleatórias Discretas
Método da Transformada Inversa
Distribuição Geométrica
Consideremos tentativas sucessivas e independentes de um mesmo
experimento aleatório.
Cada tentativa admite sucesso com probabilidade p e fracasso com
probabilidade q, p + q = 1.
Seja X o “número de tentativas necessárias até a ocorrência do 1o
sucesso”.
Profa Msc. Eveliny Barroso (UFMT – DE)
Geração de Variáveis Aleatórias
2013
8 / 44
Geração de Variáveis Aleatórias Discretas
Método da Transformada Inversa
Distribuição Geométrica
Consideremos tentativas sucessivas e independentes de um mesmo
experimento aleatório.
Cada tentativa admite sucesso com probabilidade p e fracasso com
probabilidade q, p + q = 1.
Seja X o “número de tentativas necessárias até a ocorrência do 1o
sucesso”.
Logo X assume os valores:
Profa Msc. Eveliny Barroso (UFMT – DE)
Geração de Variáveis Aleatórias
2013
8 / 44
Geração de Variáveis Aleatórias Discretas
Método da Transformada Inversa
Distribuição Geométrica
Consideremos tentativas sucessivas e independentes de um mesmo
experimento aleatório.
Cada tentativa admite sucesso com probabilidade p e fracasso com
probabilidade q, p + q = 1.
Seja X o “número de tentativas necessárias até a ocorrência do 1o
sucesso”.
Logo X assume os valores:
X = 1, que corresponde ao sucesso e IP (X = 1) = p;
Profa Msc. Eveliny Barroso (UFMT – DE)
Geração de Variáveis Aleatórias
2013
8 / 44
Geração de Variáveis Aleatórias Discretas
Método da Transformada Inversa
Distribuição Geométrica
Consideremos tentativas sucessivas e independentes de um mesmo
experimento aleatório.
Cada tentativa admite sucesso com probabilidade p e fracasso com
probabilidade q, p + q = 1.
Seja X o “número de tentativas necessárias até a ocorrência do 1o
sucesso”.
Logo X assume os valores:
X = 1, que corresponde ao sucesso e IP (X = 1) = p;
X = 2, que corresponde ao fracasso (F) na 1a tentativa e sucesso (S)
na segunda; IP (X = 2) = IP (F ∩ S) = q × p;
Profa Msc. Eveliny Barroso (UFMT – DE)
Geração de Variáveis Aleatórias
2013
8 / 44
Geração de Variáveis Aleatórias Discretas
Método da Transformada Inversa
Distribuição Geométrica
X = 3, que corresponde ao fracasso (F) nas duas primeiras
tentativas e sucesso (S) na terceira;
IP (X = 3) = IP (F ∩ F ∩ S) = q 2 × p; e assim sucessivamente;
Profa Msc. Eveliny Barroso (UFMT – DE)
Geração de Variáveis Aleatórias
2013
9 / 44
Geração de Variáveis Aleatórias Discretas
Método da Transformada Inversa
Distribuição Geométrica
X = 3, que corresponde ao fracasso (F) nas duas primeiras
tentativas e sucesso (S) na terceira;
IP (X = 3) = IP (F ∩ F ∩ S) = q 2 × p; e assim sucessivamente;
X = k, que corresponde a FFF...FS e IP (X = k) = q k−1 × p; que
corresponde a f.d.p da geométrica.
Profa Msc. Eveliny Barroso (UFMT – DE)
Geração de Variáveis Aleatórias
2013
9 / 44
Geração de Variáveis Aleatórias Discretas
Método da Transformada Inversa
Distribuição Geométrica
X = 3, que corresponde ao fracasso (F) nas duas primeiras
tentativas e sucesso (S) na terceira;
IP (X = 3) = IP (F ∩ F ∩ S) = q 2 × p; e assim sucessivamente;
X = k, que corresponde a FFF...FS e IP (X = k) = q k−1 × p; que
corresponde a f.d.p da geométrica.
IE (X ) = 1/p; Var (X ) = q/p 2 ; Notação: X ∼ Geo(p).
Profa Msc. Eveliny Barroso (UFMT – DE)
Geração de Variáveis Aleatórias
2013
9 / 44
Geração de Variáveis Aleatórias Discretas
Método da Transformada Inversa
Distribuição Geométrica
Função acumulada até o (j − 1)-ésimo passo:
F (xj−1 ) =
j−1
X
IP (X = i) = 1 − IP (X > j − 1)
i=1
= 1 − IP (primeiras (j-1) tentativas são falhas)
= 1 − q j−1 , j ≥ 1.
Profa Msc. Eveliny Barroso (UFMT – DE)
Geração de Variáveis Aleatórias
(3)
2013
10 / 44
Geração de Variáveis Aleatórias Discretas
Método da Transformada Inversa
Distribuição Geométrica
Desta forma nós podemos gerar X pela geração do no aleatório U, onde
X será igual a cada valor “j” tal que:
1 − q j−1 ≤ U < 1 − q j
ou
q j < 1 − U ≤ q j−1
X pode ser definido como:
X = min j : q j < 1 − U
X = min {j : jlog(q) < log(1 − U)}
log(1 − U)
X = min j : j >
log(q)
Profa Msc. Eveliny Barroso (UFMT – DE)
Geração de Variáveis Aleatórias
2013
11 / 44
Geração de Variáveis Aleatórias Discretas
Método da Transformada Inversa
Distribuição Geométrica
Como X representa o no de tentativas até a ocorrência do 1o sucesso:
log(1 − U)
X = Int
+1
log(q)
log(1 − U)
X =
+1
log(q)
onde Int(y) ou by c é a parte inteira de y . Podemos substituir (1 − u)
por u e ainda teremos números entre 0 e 1. Resultando em:
log(U)
+ 1 ∼ Geo(p)
X =
log(q)
Profa Msc. Eveliny Barroso (UFMT – DE)
Geração de Variáveis Aleatórias
(4)
2013
12 / 44
Geração de Variáveis Aleatórias Discretas
Método da Transformada Inversa
Gerando a Distribuição Geométrica:
Algoritmo - Método da Transformada Inversa
1
Determinar o no de valores a serem gerados;
Profa Msc. Eveliny Barroso (UFMT – DE)
Geração de Variáveis Aleatórias
2013
13 / 44
Geração de Variáveis Aleatórias Discretas
Método da Transformada Inversa
Gerando a Distribuição Geométrica:
Algoritmo - Método da Transformada Inversa
1
Determinar o no de valores a serem gerados;
2
Gerar n valores de uma U(0, 1);
Profa Msc. Eveliny Barroso (UFMT – DE)
Geração de Variáveis Aleatórias
2013
13 / 44
Geração de Variáveis Aleatórias Discretas
Método da Transformada Inversa
Gerando a Distribuição Geométrica:
Algoritmo - Método da Transformada Inversa
1
Determinar o no de valores a serem gerados;
2
Gerar n valores de uma U(0, 1);
3
Determinar a probabilidade de sucesso “p” ou fracasso “q = 1 − p”;
Profa Msc. Eveliny Barroso (UFMT – DE)
Geração de Variáveis Aleatórias
2013
13 / 44
Geração de Variáveis Aleatórias Discretas
Método da Transformada Inversa
Gerando a Distribuição Geométrica:
Algoritmo - Método da Transformada Inversa
1
Determinar o no de valores a serem gerados;
2
Gerar n valores de uma U(0, 1);
3
Determinar a probabilidade de sucesso “p” ou fracasso “q = 1 − p”;
4
Criar uma matriz para guardar os valores a serem gerados;
Profa Msc. Eveliny Barroso (UFMT – DE)
Geração de Variáveis Aleatórias
2013
13 / 44
Geração de Variáveis Aleatórias Discretas
Método da Transformada Inversa
Gerando a Distribuição Geométrica:
Algoritmo - Método da Transformada Inversa
1
Determinar o no de valores a serem gerados;
2
Gerar n valores de uma U(0, 1);
3
Determinar a probabilidade de sucesso “p” ou fracasso “q = 1 − p”;
4
Criar uma matriz para guardar os valores a serem gerados;
5
Criar um “loop para gerar:
log(U)
X =
+1
log(q)
Profa Msc. Eveliny Barroso (UFMT – DE)
Geração de Variáveis Aleatórias
2013
13 / 44
Geração de Variáveis Aleatórias Discretas
Método da Transformada Inversa
Distribuição Poisson
A distribuição de Poisson pode ser utilizada de diversas formas:
No de sucessos em um dado intervalo de tempo ou espaço;
Profa Msc. Eveliny Barroso (UFMT – DE)
Geração de Variáveis Aleatórias
2013
14 / 44
Geração de Variáveis Aleatórias Discretas
Método da Transformada Inversa
Distribuição Poisson
A distribuição de Poisson pode ser utilizada de diversas formas:
No de sucessos em um dado intervalo de tempo ou espaço;
Envolve taxa de ocorrência de um dado experimento;
Profa Msc. Eveliny Barroso (UFMT – DE)
Geração de Variáveis Aleatórias
2013
14 / 44
Geração de Variáveis Aleatórias Discretas
Método da Transformada Inversa
Distribuição Poisson
A distribuição de Poisson pode ser utilizada de diversas formas:
No de sucessos em um dado intervalo de tempo ou espaço;
Envolve taxa de ocorrência de um dado experimento;
Quando na distribuição Binomial, “n” é grande e “p” é pequeno, X
se aproxima de uma Poisson;
Profa Msc. Eveliny Barroso (UFMT – DE)
Geração de Variáveis Aleatórias
2013
14 / 44
Geração de Variáveis Aleatórias Discretas
Método da Transformada Inversa
Distribuição Poisson
A distribuição de Poisson pode ser utilizada de diversas formas:
No de sucessos em um dado intervalo de tempo ou espaço;
Envolve taxa de ocorrência de um dado experimento;
Quando na distribuição Binomial, “n” é grande e “p” é pequeno, X
se aproxima de uma Poisson;
Enquanto que na Binomial contamos em “n” tentativas quantas
foram sucesso e quantas foram fracasso, na Poisson só conseguimos
contar o número de sucessos. Exemplo: Podemos contar quantas
pessoas foram infectadas pelo mosquito da dengue mas não temos
como saber quantas deixaram de ser infectadas.
Profa Msc. Eveliny Barroso (UFMT – DE)
Geração de Variáveis Aleatórias
2013
14 / 44
Geração de Variáveis Aleatórias Discretas
Método da Transformada Inversa
Gerando uma v. a com Distribuição Poisson
Uma variável aleatória X tem distribuição de Poisson com média λ se
sua f.d.p for da forma:
IP (X = i) = pi = e−λ ×
λi
i!
(5)
Para gerarmos n realizações de Poisson a partir da uniforme usaremos o
mesmo recurso definido anteriormente.
Profa Msc. Eveliny Barroso (UFMT – DE)
Geração de Variáveis Aleatórias
2013
15 / 44
Geração de Variáveis Aleatórias Discretas
Método da Transformada Inversa
Gerando uma v. a com Distribuição Poisson
i
IP (X = i)
Condição
Resultado
0
e−λ
Se U < p0
X =0
Se U < p0 + p1
X =1
Se U < p0 + p1 + p2
..
.
P
Se U < nj=0 pj
X =2
..
.
1
e−λ
×λ
2
..
.
e−λ ×
..
.
λ2
n
e−λ ×
λn
n!
2
Profa Msc. Eveliny Barroso (UFMT – DE)
Geração de Variáveis Aleatórias
X =n
2013
16 / 44
Geração de Variáveis Aleatórias Discretas
Método da Transformada Inversa
Gerando uma v. a com Distribuição Poisson
Generalizando pi+1 a partir de pi :
λi+1
(i + 1)!
e−λ λi
λ
pi+1 =
×
i!
(i + 1)
λ
= pi ×
, i ≥ 0.
(i + 1)
IP (X = i + 1) = pi+1 = e−λ ×
Profa Msc. Eveliny Barroso (UFMT – DE)
Geração de Variáveis Aleatórias
(6)
2013
17 / 44
Geração de Variáveis Aleatórias Discretas
Método da Transformada Inversa
Gerando uma v. a com Distribuição Poisson
Algoritmo - Método da Transformada Inversa
1
Gere um número aleatório u; (Ou gere n valores uniformes);
Profa Msc. Eveliny Barroso (UFMT – DE)
Geração de Variáveis Aleatórias
2013
18 / 44
Geração de Variáveis Aleatórias Discretas
Método da Transformada Inversa
Gerando uma v. a com Distribuição Poisson
Algoritmo - Método da Transformada Inversa
1
Gere um número aleatório u; (Ou gere n valores uniformes);
2
Faça i = 0, p = e−λ , F = p;
Profa Msc. Eveliny Barroso (UFMT – DE)
Geração de Variáveis Aleatórias
2013
18 / 44
Geração de Variáveis Aleatórias Discretas
Método da Transformada Inversa
Gerando uma v. a com Distribuição Poisson
Algoritmo - Método da Transformada Inversa
1
Gere um número aleatório u; (Ou gere n valores uniformes);
2
Faça i = 0, p = e−λ , F = p;
3
Se u < F , faça X = i e pare;
Profa Msc. Eveliny Barroso (UFMT – DE)
Geração de Variáveis Aleatórias
2013
18 / 44
Geração de Variáveis Aleatórias Discretas
Método da Transformada Inversa
Gerando uma v. a com Distribuição Poisson
Algoritmo - Método da Transformada Inversa
1
Gere um número aleatório u; (Ou gere n valores uniformes);
2
Faça i = 0, p = e−λ , F = p;
3
Se u < F , faça X = i e pare;
4
Se u ≥ F , faça p =
λp
(i+1) ,
F = F + p, i = i + 1;
Profa Msc. Eveliny Barroso (UFMT – DE)
Geração de Variáveis Aleatórias
2013
18 / 44
Geração de Variáveis Aleatórias Discretas
Método da Transformada Inversa
Gerando uma v. a com Distribuição Poisson
Algoritmo - Método da Transformada Inversa
1
Gere um número aleatório u; (Ou gere n valores uniformes);
2
Faça i = 0, p = e−λ , F = p;
3
Se u < F , faça X = i e pare;
4
Se u ≥ F , faça p =
5
Volte ao passo 3.
λp
(i+1) ,
F = F + p, i = i + 1;
Profa Msc. Eveliny Barroso (UFMT – DE)
Geração de Variáveis Aleatórias
2013
18 / 44
Geração de Variáveis Aleatórias Discretas
Método da Transformada Inversa
Gerando uma v. a com Distribuição Poisson
Exemplo
Seja U ∼ U(0, 1) e n = 5: U =
{0, 720903896; 0, 875773193; 0, 760982328; 0, 886124566; 0, 456480960}.
Gerar n valores de X com distribuição de Poisson com média 2.
Profa Msc. Eveliny Barroso (UFMT – DE)
Geração de Variáveis Aleatórias
2013
19 / 44
Geração de Variáveis Aleatórias Discretas
Método da Transformada Inversa
Distribuição de Bernoulli
Considere um experimento onde há apenas dois resultados possíveis.
Ao resultado de interesse, atribui-se o termo “Sucesso” e ao resultado
contrário ao interesse “Fracasso”. A função densidade de probabilidade
(f.d.p) dessa variável é da forma:
(
P(X = x) =
1 − p se
p
se
X = 0;
X = 1;
Onde X = 1 representa a ocorrência de “Sucesso” com probabilidade p e
X = 0 representa a ocorrência de “Fracasso” com probabilidade 1 − p.
Profa Msc. Eveliny Barroso (UFMT – DE)
Geração de Variáveis Aleatórias
2013
20 / 44
Geração de Variáveis Aleatórias Discretas
Método da Transformada Inversa
Gerando uma sequência de v.a’s de Bernoulli
Suponha que estamos interessados em gerar n variáveis aleatórias de
Bernoulli X1 , X2 , · · · , Xn independentes e indenticamente distribuídas
com parâmetro p. Essas variáveis podem ser geradas a partir da
distribuição Uniforme, através da geração dos números aleatórios
U1 , U2 , · · · , Un e
(
X
=
1 se
U≤p
0 se
U>p
Profa Msc. Eveliny Barroso (UFMT – DE)
Geração de Variáveis Aleatórias
2013
21 / 44
Geração de Variáveis Aleatórias Discretas
Método da Transformada Inversa
Distribuição Binomial
Seja X a v.a “No de sucessos em n realizações”. A função densidade de
probabilidade (f.d.p) dessa variável é da forma:
P(X = i) = pi =
n!
× p i (1 − p)n−i , i = 0, 1, 2, · · · , n;
i!(n − i)!
Profa Msc. Eveliny Barroso (UFMT – DE)
Geração de Variáveis Aleatórias
2013
(7)
22 / 44
Geração de Variáveis Aleatórias Discretas
Método da Transformada Inversa
Distribuição Binomial
Para gerarmos valores de uma distribuição Binomial podemos proceder
de duas formas:
1
Gerar uma sequência de n variáveis de Bernoulli e em seguida
somar os resultados. A determinação de valores de uma binomial
P
será da forma: Y = nj=1 Xj , fazendo “m” vezes teremos
Y ∼ Bin(m, p);
Profa Msc. Eveliny Barroso (UFMT – DE)
Geração de Variáveis Aleatórias
2013
23 / 44
Geração de Variáveis Aleatórias Discretas
Método da Transformada Inversa
Distribuição Binomial
Para gerarmos valores de uma distribuição Binomial podemos proceder
de duas formas:
1
Gerar uma sequência de n variáveis de Bernoulli e em seguida
somar os resultados. A determinação de valores de uma binomial
P
será da forma: Y = nj=1 Xj , fazendo “m” vezes teremos
Y ∼ Bin(m, p);
2
Também é possível gerar valores de uma distribuição Binomial de
forma similar ao procedimento adotado para gerar valores da
Poisson. Calculando o valor de pi+1 .
Profa Msc. Eveliny Barroso (UFMT – DE)
Geração de Variáveis Aleatórias
2013
23 / 44
Geração de Variáveis Aleatórias Discretas
Método da Transformada Inversa
Distribuição Binomial
Assim como na Poisson, para gerar o próximo valor, será calculado
IP (X = i + 1) = pi+1 em função de IP (X = i) = pi :
pi+1
=
pi
(
n!
i+1 (1 − p)n−i−1
(i+1)!(n−1−i)! × p
n!
i
n−i
i!(n−i)! × p (1 − p)
(i + 1)! = (i + 1) × i!
(n − i)! = (n − i) × (n − i − 1)!
pi+1 = pi ×
p
(n − i)
×
(1 − p) (i + 1)
Profa Msc. Eveliny Barroso (UFMT – DE)
Geração de Variáveis Aleatórias
2013
24 / 44
Geração de Variáveis Aleatórias Discretas
Método da Transformada Inversa
Distribuição Binomial
Algoritmo - Método da Transformada Inversa
1
Gere um valor aleatório U, U ∼ U(0, 1); Ou n valores;
Profa Msc. Eveliny Barroso (UFMT – DE)
Geração de Variáveis Aleatórias
2013
25 / 44
Geração de Variáveis Aleatórias Discretas
Método da Transformada Inversa
Distribuição Binomial
Algoritmo - Método da Transformada Inversa
1
Gere um valor aleatório U, U ∼ U(0, 1); Ou n valores;
2
Faça c =
p
1−p ,
i = 0, Pr = (1 − p)n e F = Pr ;
Profa Msc. Eveliny Barroso (UFMT – DE)
Geração de Variáveis Aleatórias
2013
25 / 44
Geração de Variáveis Aleatórias Discretas
Método da Transformada Inversa
Distribuição Binomial
Algoritmo - Método da Transformada Inversa
1
Gere um valor aleatório U, U ∼ U(0, 1); Ou n valores;
2
Faça c =
3
Se U < F , faça X = i e pare;
p
1−p ,
i = 0, Pr = (1 − p)n e F = Pr ;
Profa Msc. Eveliny Barroso (UFMT – DE)
Geração de Variáveis Aleatórias
2013
25 / 44
Geração de Variáveis Aleatórias Discretas
Método da Transformada Inversa
Distribuição Binomial
Algoritmo - Método da Transformada Inversa
1
Gere um valor aleatório U, U ∼ U(0, 1); Ou n valores;
2
Faça c =
3
Se U < F , faça X = i e pare;
4
Se U ≥ F , faça Pr =
p
1−p ,
i = 0, Pr = (1 − p)n e F = Pr ;
c(n−i)
(i+1)
× Pr , F = F + Pr e i = i + 1;
Profa Msc. Eveliny Barroso (UFMT – DE)
Geração de Variáveis Aleatórias
2013
25 / 44
Geração de Variáveis Aleatórias Discretas
Método da Transformada Inversa
Distribuição Binomial
Algoritmo - Método da Transformada Inversa
1
Gere um valor aleatório U, U ∼ U(0, 1); Ou n valores;
2
Faça c =
3
Se U < F , faça X = i e pare;
4
Se U ≥ F , faça Pr =
5
Volte ao passo 3.
p
1−p ,
i = 0, Pr = (1 − p)n e F = Pr ;
c(n−i)
(i+1)
× Pr , F = F + Pr e i = i + 1;
Profa Msc. Eveliny Barroso (UFMT – DE)
Geração de Variáveis Aleatórias
2013
25 / 44
Geração de Variáveis Aleatórias Discretas
Método da Transformada Inversa
Exercícios - VAD
1
A f.d.p da distribuição Binomial Negativa com parâmetros (r , p),
onde r é um inteiro positivo e 0 < p < 1 é dada por:
pj = P(X = j) =
(j − 1)!
× p r (1 − p)j−r , j = r , r + 1, · · ·
(j − r )!(r − 1)!
Notação: X ∼ BN(r , p); X : No de tentativas necessárias para a
obtenção do r -ésimo sucesso. Essa equação é obtida porque, para
que o r -ésimo sucesso ocorra na n-ésima tentativa devem ocorrer
(r − 1) sucessos nas primeiras (n − 1) tentativas e a n-ésima
tentativa deve ser um sucesso. Seja Y o número de tentativas
necessárias até a ocorrência do 1o sucesso. Notação: Y ∼ Geo(p).
P
Logo, X = ri=1 yi .
Profa Msc. Eveliny Barroso (UFMT – DE)
Geração de Variáveis Aleatórias
2013
26 / 44
Geração de Variáveis Aleatórias Discretas
Método da Transformada Inversa
Exercícios - VAD
1
a) Use o relacionamento entre a BN e a geométrica e obtenha o algoritmo
e programa em R para simular valores desta distribuição;
b) Verifique a relação pj+1 =
j(1−p)
j+1−r
o
× pj ;
c) Use o item (b) e crie um 2 algoritmo para gerar valores de uma
Binomial Negativa.
2
Apresente um (ou pelo menos um) método para gerar valores de uma
v.a.X , tal que:
e −λ λi /i!
IP (X = i) = Pk e −λ λj ,
j=0
i = 0, 1, · · · , k.
j!
Profa Msc. Eveliny Barroso (UFMT – DE)
Geração de Variáveis Aleatórias
2013
27 / 44
Geração de Variáveis Aleatórias Discretas
Método da Transformada Inversa
Exercícios - VAD
1
Apresente um método para gerar valores de X , onde
j+1 ( 12 )2j−1
IP (X = j) = 12
+ 3j , j = 1, 2, · · · .
2
Ana e José conversavam pela internet e resolveram jogar dados. Cada
vez que se lança o dado, o jogador ganha 1 ponto se sair face 6; e
perde 1 ponto se sair face 1. Para as outras faces a pontuação é nula.
Como eles não possuem um dado, resolveram criar um dado virtual
honesto. Crie um código no ambiente computacional R e simule o
jogo proposto. (Dica: runif (n, a, b))
Profa Msc. Eveliny Barroso (UFMT – DE)
Geração de Variáveis Aleatórias
2013
28 / 44
Geração de Variáveis Aleatórias Contínuas
Método da Transformada Inversa
Geração de Variável Aleatória Contínua
Um método geral para simular uma variável aleatória com distribuição
contínua, chamado de método da transformação inversa, baseia-se no
seguinte teorema:
Teorema
Seja X uma variável aleatória absolutamente contínua, com função de
distribuição FX (x). Então a variável aleatória U = FX (x) tem
distribuição uniforme no intervalo [0, 1].
Profa Msc. Eveliny Barroso (UFMT – DE)
Geração de Variáveis Aleatórias
2013
29 / 44
Geração de Variáveis Aleatórias Contínuas
Método da Transformada Inversa
Geração de Variável Aleatória Contínua
Proposição
Seja U ∼ U(0, 1). Para qualquer distribuição contínua F , se definirmos a
v.a X como
X = F −1 (U)
então X tem distribuição F .
Resulta da proposição que, para simular uma variável aleatória X com
uma distribuição contínua F , geramos um número aleatório U e
fazemos X = F −1 (U).
Profa Msc. Eveliny Barroso (UFMT – DE)
Geração de Variáveis Aleatórias
2013
30 / 44
Geração de Variáveis Aleatórias Contínuas
Método da Transformada Inversa
Geração de Variável Aleatória Contínua
Método da Transformada Inversa - Demonstração
Consideremos a nova variável U = FX (x). Esta variável toma valores no
intervalo [0, 1]. Como X é absolutamente contínua, FX (·) é não
decrescente e, portanto, tem inversa que designaremos por FX−1 (·). Em
consequência,
FU (u) = IP (FX (x) ≤ u)
= IP (X ≤ FX−1 (u)) = FX (FX−1 (u)) = u
FU (u) =
a
Prof



 0 se
u se


 1 se
(8)
u<0
0≤u<1
u≥1
Msc. Eveliny Barroso (UFMT – DE)
Geração de Variáveis Aleatórias
2013
31 / 44
Geração de Variáveis Aleatórias Contínuas
Método da Transformada Inversa
Geração de uma Variável Aleatória Exponencial
Características da Exponencial:
Distribuição da quantidade de tempo até que ocorra um evento
específico;
Profa Msc. Eveliny Barroso (UFMT – DE)
Geração de Variáveis Aleatórias
2013
32 / 44
Geração de Variáveis Aleatórias Contínuas
Método da Transformada Inversa
Geração de uma Variável Aleatória Exponencial
Características da Exponencial:
Distribuição da quantidade de tempo até que ocorra um evento
específico;
Exemplos:
Profa Msc. Eveliny Barroso (UFMT – DE)
Geração de Variáveis Aleatórias
2013
32 / 44
Geração de Variáveis Aleatórias Contínuas
Método da Transformada Inversa
Geração de uma Variável Aleatória Exponencial
Características da Exponencial:
Distribuição da quantidade de tempo até que ocorra um evento
específico;
Exemplos:
Quantidade de tempo até a ocorrência de um terremoto;
Profa Msc. Eveliny Barroso (UFMT – DE)
Geração de Variáveis Aleatórias
2013
32 / 44
Geração de Variáveis Aleatórias Contínuas
Método da Transformada Inversa
Geração de uma Variável Aleatória Exponencial
Características da Exponencial:
Distribuição da quantidade de tempo até que ocorra um evento
específico;
Exemplos:
Quantidade de tempo até a ocorrência de um terremoto;
Quantidade de tempo até que uma nova guerra tenha início; etc.
Profa Msc. Eveliny Barroso (UFMT – DE)
Geração de Variáveis Aleatórias
2013
32 / 44
Geração de Variáveis Aleatórias Contínuas
Método da Transformada Inversa
Geração de uma Variável Aleatória Exponencial
Características da Exponencial:
Distribuição da quantidade de tempo até que ocorra um evento
específico;
Exemplos:
Quantidade de tempo até a ocorrência de um terremoto;
Quantidade de tempo até que uma nova guerra tenha início; etc.
Função densidade: f (x) = λe −λx ,
x ≥ 0;
Profa Msc. Eveliny Barroso (UFMT – DE)
Geração de Variáveis Aleatórias
2013
32 / 44
Geração de Variáveis Aleatórias Contínuas
Método da Transformada Inversa
Geração de uma Variável Aleatória Exponencial
Características da Exponencial:
Distribuição da quantidade de tempo até que ocorra um evento
específico;
Exemplos:
Quantidade de tempo até a ocorrência de um terremoto;
Quantidade de tempo até que uma nova guerra tenha início; etc.
Função densidade: f (x) = λe −λx ,
x ≥ 0;
Função Acumulada: F (x) = 1 − e −λx ,
x ≥ 0;
Profa Msc. Eveliny Barroso (UFMT – DE)
Geração de Variáveis Aleatórias
2013
32 / 44
Geração de Variáveis Aleatórias Contínuas
Método da Transformada Inversa
Geração de uma Variável Aleatória Exponencial
Características da Exponencial:
Distribuição da quantidade de tempo até que ocorra um evento
específico;
Exemplos:
Quantidade de tempo até a ocorrência de um terremoto;
Quantidade de tempo até que uma nova guerra tenha início; etc.
Função densidade: f (x) = λe −λx ,
x ≥ 0;
Função Acumulada: F (x) = 1 − e −λx ,
x ≥ 0;
Função Inversa: X = −log (1 − U)/λ ou X = −log (U)/λ;
Profa Msc. Eveliny Barroso (UFMT – DE)
Geração de Variáveis Aleatórias
2013
32 / 44
Geração de Variáveis Aleatórias Contínuas
Método da Transformada Inversa
Geração de uma Variável Aleatória Gama
Definição
A v.a com função densidade dada por:
f (x) = λe −λx
(λx)r −1
,x > 0
(r − 1)!
é uma variável aleatória Gama com parâmetros (r , λ).
Outra forma de definir é via soma de Exponenciais. Seja Sr =
Pr
i=1 Xi
a variável aleatória que representa o tempo até a ocorrência do r -ésimo
evento e Xi ∼ Exp(λ). Logo, Sr ∼ Gama(r , λ).
Profa Msc. Eveliny Barroso (UFMT – DE)
Geração de Variáveis Aleatórias
2013
33 / 44
Geração de Variáveis Aleatórias Contínuas
Método da Transformada Inversa
Geração de uma Variável Aleatória Gama
Para simularmos valores de uma variável aleatória gama com
parâmetros (r , λ), usamos o fato de a distribuição gama ser a soma de r
variáveis aleatórias exponenciais, cada uma com parâmetro λ.
Portanto, se U1 , U2 , · · · , Ur são v.a’s independentes e uniformes no
intervalo (0, 1), então
r
X
1
1
X =−
logUi = − log
λ
λ
i=1
r
Y
!
Ui
i=1
possui a distribuição desejada.
Profa Msc. Eveliny Barroso (UFMT – DE)
Geração de Variáveis Aleatórias
2013
34 / 44
Geração de Variáveis Aleatórias Contínuas
Método da Transformada Inversa
Geração de uma Variável Aleatória Weibull
Características da Weibull:
Amplamente utilizada na prática devido a sua versatilidade,
principalmente em problemas no campo da engenharia;
Profa Msc. Eveliny Barroso (UFMT – DE)
Geração de Variáveis Aleatórias
2013
35 / 44
Geração de Variáveis Aleatórias Contínuas
Método da Transformada Inversa
Geração de uma Variável Aleatória Weibull
Características da Weibull:
Amplamente utilizada na prática devido a sua versatilidade,
principalmente em problemas no campo da engenharia;
Em fenômenos como a distribuição da vida útil de algum objeto,
especialmente quando o modelo de “elo mais fraco” se aplica para o
objeto. Isto é, considere um objeto formado por muitas partes e
suponha que este objeto estrague definitivamente quando uma das
partes para de funcionar. É possível mostrar (tanto teórica quanto
empiricamente) que a distribuição de Weibull fornece uma boa
aproximação para a distribuição da vida útil do objeto.
Profa Msc. Eveliny Barroso (UFMT – DE)
Geração de Variáveis Aleatórias
2013
35 / 44
Geração de Variáveis Aleatórias Contínuas
Método da Transformada Inversa
Geração de uma Variável Aleatória Weibull
A distribuição Weibull de três parâmetros possui um parâmetro de
vida mínima ν o qual representa a vida mínima da característica ou
componente sendo analisado, um parâmetro de forma β o qual
especifica a forma da distribuição, e um parâmetro de escala α o qual
representa a vida característica da distribuição. Todos esses três
parâmetros são positivos. A função densidade da distribuição Weibull
de três parâmetros é dada por:


0
n
f (x) =
β−1
 β x−ν
exp −
α
α
o
x−ν β
α
Profa Msc. Eveliny Barroso (UFMT – DE)
Geração de Variáveis Aleatórias
se
x ≤ν
se
x >ν
2013
(9)
36 / 44
Geração de Variáveis Aleatórias Contínuas
Método da Transformada Inversa
Geração de uma Variável Aleatória Weibull
Exercício 1: Mostre que a função distribuição da Weibull tem a
forma:
F (x) =


0
n
 1 − exp −
o
x−ν β
α
se
x ≤ν
se
x >ν
(10)
Exercício 2: Utilizando o método da transformada inversa gere n
valores de uma distribuição Weibull (Na geração faça ν = 0). Apresente
o algoritmo a ser utilizado e o programa na linguagem R. Apresente um
resumo descritivo e um histograma dos dados gerados.
Profa Msc. Eveliny Barroso (UFMT – DE)
Geração de Variáveis Aleatórias
2013
37 / 44
Geração de Variáveis Aleatórias Contínuas
Método da Transformada Inversa
Geração de uma Variável Aleatória Cauchy
Diz-se que uma variável aleatória tem uma distribuição de Cauchy com
parâmetro θ, −∞ < θ < ∞, se sua função densidade é dada por:
1
1
f (x) =
, −∞ < x < ∞.
π 1 + (x − θ)2
(11)
Exercício: Encontre a função acumulada da Cauchy e mostre que
valores de uma Cauchy podem ser gerados utilizando o método da
transformada inversa. Apresente os cálculos necessários para a
obtenção da função acumulada, da função inversa, algoritmo e
programa em R. Compare com o gerador do R.
Profa Msc. Eveliny Barroso (UFMT – DE)
Geração de Variáveis Aleatórias
2013
38 / 44
Geração de Variáveis Aleatórias Contínuas
Método da Aceitação e Rejeição
Método da Aceitação e Rejeição
Suponha que tenhamos um método para simular uma variável
aleatória com função densidade g (x).
Profa Msc. Eveliny Barroso (UFMT – DE)
Geração de Variáveis Aleatórias
2013
39 / 44
Geração de Variáveis Aleatórias Contínuas
Método da Aceitação e Rejeição
Método da Aceitação e Rejeição
Suponha que tenhamos um método para simular uma variável
aleatória com função densidade g (x).
Podemos usar esse método como base para simular uma
distribuição contínua com densidade f (x) fazendo a simulação de
Y a partir de g e então aceitando o valor simulado com uma
probabilidade proporcional a f (y )/g (y ).
Profa Msc. Eveliny Barroso (UFMT – DE)
Geração de Variáveis Aleatórias
2013
39 / 44
Geração de Variáveis Aleatórias Contínuas
Método da Aceitação e Rejeição
Método da Aceitação e Rejeição
Suponha que tenhamos um método para simular uma variável
aleatória com função densidade g (x).
Podemos usar esse método como base para simular uma
distribuição contínua com densidade f (x) fazendo a simulação de
Y a partir de g e então aceitando o valor simulado com uma
probabilidade proporcional a f (y )/g (y ).
Especificamente, seja c uma constante tal que
f (y )
≤ c,
g (y )
onde c = max
f (y )
g (y )
∀y ,
.
Profa Msc. Eveliny Barroso (UFMT – DE)
Geração de Variáveis Aleatórias
2013
39 / 44
Geração de Variáveis Aleatórias Contínuas
Método da Aceitação e Rejeição
Método da Aceitação e Rejeição
Temos a seguinte técnica para simular uma variável aleatória com
densidade f :
Figura: Método da rejeição para simular uma v.a X com função densidade f .
a
Prof
Msc. Eveliny Barroso (UFMT – DE)
Geração de Variáveis Aleatórias
2013
40 / 44
Geração de Variáveis Aleatórias Contínuas
Método da Aceitação e Rejeição
Método da Aceitação e Rejeição
Algoritmo
1
Gere Y a partir da densidade g e simule um número aleatório U,
U ∼ U(0, 1);
2
Se U ≤
f (Y )
cg (Y ) ,
faça X = Y . Caso contrário, retorne ao passo
anterior.
Teorema
i) A variável aleatória gerada pelo método da rejeição tem densidade f ;
ii) O número necessário de iterações do algoritmo é uma variável
aleatória geométrica com média c.
Profa Msc. Eveliny Barroso (UFMT – DE)
Geração de Variáveis Aleatórias
2013
41 / 44
Geração de Variáveis Aleatórias Contínuas
Método da Aceitação e Rejeição
Método da Aceitação e Rejeição
Exemplos:
1
Utilize o método da rejeição para gerar uma v.a com função
densidade:
f (x) = 20x(1 − x)3 ,
0 < x < 1.
Profa Msc. Eveliny Barroso (UFMT – DE)
Geração de Variáveis Aleatórias
2013
42 / 44
Geração de Variáveis Aleatórias Contínuas
Método da Aceitação e Rejeição
Método da Aceitação e Rejeição
Exemplos:
1
Utilize o método da rejeição para gerar uma v.a com função
densidade:
f (x) = 20x(1 − x)3 ,
2
0 < x < 1.
Utilizando o método da rejeição, gere valores de uma gama( 23 , 1).
Profa Msc. Eveliny Barroso (UFMT – DE)
Geração de Variáveis Aleatórias
2013
42 / 44
Geração de Variáveis Aleatórias Contínuas
Método da Aceitação e Rejeição
Método da Aceitação e Rejeição
Exercícios:
1
Utilize o método da rejeição para gerar uma v.a com função
densidade:
f (x) = 60x 3 (1 − x)2 ,
0 < x < 1.
Profa Msc. Eveliny Barroso (UFMT – DE)
Geração de Variáveis Aleatórias
2013
43 / 44
Geração de Variáveis Aleatórias Contínuas
Método da Aceitação e Rejeição
Método da Aceitação e Rejeição
Exercícios:
1
Utilize o método da rejeição para gerar uma v.a com função
densidade:
f (x) = 60x 3 (1 − x)2 ,
2
0 < x < 1.
A variável aleatória X tem função densidade de probabilidade:
f (x) = Ce x ,
0 < x < 1.
Profa Msc. Eveliny Barroso (UFMT – DE)
Geração de Variáveis Aleatórias
2013
43 / 44
Geração de Variáveis Aleatórias Contínuas
Método da Aceitação e Rejeição
Método da Aceitação e Rejeição
Exercícios:
1
Utilize o método da rejeição para gerar uma v.a com função
densidade:
f (x) = 60x 3 (1 − x)2 ,
2
0 < x < 1.
A variável aleatória X tem função densidade de probabilidade:
f (x) = Ce x ,
0 < x < 1.
a) Determine o valor da constante C ;
Profa Msc. Eveliny Barroso (UFMT – DE)
Geração de Variáveis Aleatórias
2013
43 / 44
Geração de Variáveis Aleatórias Contínuas
Método da Aceitação e Rejeição
Método da Aceitação e Rejeição
Exercícios:
1
Utilize o método da rejeição para gerar uma v.a com função
densidade:
f (x) = 60x 3 (1 − x)2 ,
2
0 < x < 1.
A variável aleatória X tem função densidade de probabilidade:
f (x) = Ce x ,
0 < x < 1.
a) Determine o valor da constante C ;
b) Forneça pelo menos um método para simular tal variável aleatória.
Profa Msc. Eveliny Barroso (UFMT – DE)
Geração de Variáveis Aleatórias
2013
43 / 44
Geração de Variáveis Aleatórias Contínuas
Método da Aceitação e Rejeição
Método da Aceitação e Rejeição
Exercícios:
1
Utilize o método da rejeição para gerar uma v.a com função
densidade:
f (x) = 60x 3 (1 − x)2 ,
2
0 < x < 1.
A variável aleatória X tem função densidade de probabilidade:
f (x) = Ce x ,
0 < x < 1.
a) Determine o valor da constante C ;
b) Forneça pelo menos um método para simular tal variável aleatória.
3
Simule valores de uma v.a X com a seguinte função distribuição:
F (x) = x n , 0 < x < 1
Profa Msc. Eveliny Barroso (UFMT – DE)
Geração de Variáveis Aleatórias
2013
43 / 44
Geração de Variáveis Aleatórias Contínuas
Método da Aceitação e Rejeição
Referências Bibliográficas
Casela, G. e Berger, R.L. (2010). “Inferência Estatística ”, Editora:
Cengage Learning.
Ross, S.M. (2006). “Simulation”, Fourth Edition. Editora: Academic
Press.
Ross, S.M. (2002). “Probability Models for Computer Science.”,
Editora: Academic Press.
Ross, S.M. (2010). “Probabilidade um curso moderno com
aplicações. ”, 8a Edição. Editora: Bookman.
1
Profa Msc. Eveliny Barroso (UFMT – DE)
Geração de Variáveis Aleatórias
2013
44 / 44