Regimes de escoamento
HIDRÁULICA – Marllus Gustavo F. P. das Neves
Energia específica
E y
Q
2
2
2gA
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Muitos fenômenos em canais podem ser
analisados com o princípio da energia
H = z + y + aU2/(2g)
Carga Altimétrica
Carga Cinética
Carga Piezométrica
A partir do fundo do canal (Bakmeteff em 1912)
Energia ou carga específica E = y + aU2/(2g)
Aquela disponível numa seção, tomando como
referência um plano horizontal passando pelo fundo
do canal, naquela seção
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Energia (carga) específica: é a distância
vertical entre o fundo do canal e a linha
de energia
Adotando a = 1 e da continuidade
Nova referência
(z = 0)
Datum
E y
Q2
2
2gA
y
Q
z
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Curvas y x E para Q = cte
e y x Q para E = cte
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E y
Q
2
2
2gA
Fixando-se uma vazão Q
E = E1 + E2 onde
E1 = y
f(y)
E2 = Q2/[2gA2]
E∞
Energia mínima Ec  yc  Profundidade Crítica
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Para um dado valor E > Ec
2 profundidades yf > yc e yt < yc
Profundidades alternadas
ou recíprocas
2 regimes de escoamento
recíprocos
yt  inferior, torrencial, rápido ou supercrítico
yf  superior, fluvial, lento ou subcrítico
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Duas situações (declividades):
1) Mesma vazão Q (uma curva)
2) Mesma Energia
3) Duas profundidades
Mesma hc
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diminuição no nível de energia disponível:
Regime supercrítico  diminuição de y
Regime subcrítico  aumento de y
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Até agora  uma curva de energia
associada a uma vazão
Acontece que em
um canal não passa
somente uma vazão
para um canal  família
de curvas, cada uma 
uma vazão
O aumento de Q produz um
aumento de y e também de yc
Uma determinada y pode ser
subcrítica ou supercrítica,
dependendo da Q em trânsito
yc 
2
Ec
3
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Para que servem estes conceitos?
HIDRÁULICA – Marllus Gustavo F. P. das Neves
Para que servem estes conceitos?
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É também de interesse prático a curva
y x Q para E = cte = E0
Q
E0  y 
2
2gA
2
Q2  2gA2 (E0  y)
Água em
repouso
Q  A 2g(E0  y)
Canal retangular de
largura b e tomando a
vazão por unidade de
largura q
q  2gy(E0  y)
Não há água
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Supor estrutura retangular, de largura
b, curta e queda livre a jusante
desprezível
Energia disponível E0
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Supor estrutura retangular, de largura
b, curta e queda livre a jusante
desprezível
HIDRÁULICA – Marllus Gustavo F. P. das Neves
Supor estrutura retangular, de largura
b, curta e queda livre a jusante
desprezível
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Número de Froude
Fr 
U
gyh
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Da equação de energia específica
dE
d 
Q2 

y

dy dy 
2gA2 
Como dA = Bdy
B
dy
A
dE
Q 2 dA
1
dy
gA3 dy
dE
Q2B
1
3
dy
gA
Aplicando a equação da continuidade

dE
AU 2 B
1
dy
gA3
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Fazendo B = A/yh dE
U
1
dy
gyh
Ou ainda
dE
 1  Fr 2
dy
2
Fr é o número de Froude
Igualando a expressão anterior a zero
Energia é mínima
(regime crítico)
Fr = 1
Além disso:
y < yc  dE/dy < 0 
1-Fr2 < 0  Fr > 1
y > yc  dE/dy > 0 
1-Fr2 > 0  Fr < 1
Ec
yc
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Fr
1  crítico
> 1  supercrítico
< 1  subcrítico
Exercício: um canal retangular de base 5m tem as
profundidades dadas em 1 e 2 e a vazão, determinar
o regime de escoamento quanto à energia específica
nestas seções
Fr 
U
gyh
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Interpretações do Número
de Froude
HIDRÁULICA – Marllus Gustavo F. P. das Neves
Fr 
U
gyh
1) É a razão entre as forças de inércia e as
forças gravitacionais
2) Razão entre a energia cinética e a energia
potencial
3) Razão entre a velocidade do escoamento e
a velocidade de propagação das
perturbações superficiais
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1) É a razão entre as forças de
inércia e as forças
Dy
gravitacionais
Dx
Volume elementar de um
fluido = DxDyDz em queda
livre
O peso (força
de gravidade)
força de
inércia
Dz
ρgDxDyDz
Dv
Dz
ρDxDyDz
 ρDxDy
Dv  ρDxDyv Dv
Dt
Dt
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ρvΔxΔyΔv
Força de inércia

Força de gravidade ρgΔxΔyΔz
Força de inércia
vΔ v

Força de gravidade g Δz
Dimensionalmente
 vΔ v   v2  l  dimensão

    característica
 g Δz   g l  do escoamento
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2) Razão entre a energia cinética
e a energia potencial
Como o numerador envolve velocidade  energia
cinética
Como o denominador envolve profundidade 
energia potencial
Fr = 1  equilíbrio entre energias cinética e
potencial
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3) Razão entre U e a velocidade de
propagação das perturbações
superficiais
Canal aberto com uma parede móvel na extremidade
e líquido inicialmente em repouso
Velocidade da onda em
Deslocamento relação ao líquido 
na parede
celeridade
VC se move
com a onda
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Aplicando as equações básicas sob as
idealizações:
- Escoamento permanente e incompressível
- Uniforme numa seção
- sem efeitos viscosos e de tensão superficial
- Variação hidrostática de pressão
- Forças de corpo inexistentes
Da equação da continuidade
Δy
ΔV  c
y  Δy
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Da equação da quantidade de
movimento

Δy 
Δy  ΔVc
g 1 

2y



Δy 
Δy 
 1 

Combinando as duas c  gy 1 


2y
y



2
A distribuição hidrostática de pressão é válida em
ondas de águas rasas  Dy << y
c   gy
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Se o líquido se move com velocidade V. A celeridade
é c e a velocidade que um observador num ponto fixo
do solo percebe é
Vw  V  gy
Celeridade absoluta da onda
V  gy Fr < 1,0 (regime subcrítico)
V  gy
Fr > 1,0 (regime supercrítico)
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Vw  V  gy
subcrítico  ondas podem se mover para montante
supercrítico  ondas não podem se mover para
montante
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c
c
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Regime crítico e
controle hidráulico
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Como visto anteriormente, o
escoamento crítico ocorre quando
U
Fr 
1
U  gyh
gyh
2
Q
A
Fazendo yh = A/B e substituindo U por Q/A
g
2
B
A
2
3
Ou ainda Q  A
Q2B = gA3
g
B
Tanto a área quanto a largura B são função de y e
este deve ser igual a yc
Podemos obter analiticamente expressões
para yc em seções com geometria conhecida
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Para seções retangulares (A = By)
Q B  gByc 
2
3
yc  3
Q2
B2g
Por razões de ordem prática  q = Q/B yc  3
q2
g
Exemplo: Determine yc em um canal triangular, com
taludes 1:1, transportando 14 m3/s
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Exemplo: mostre que, para um canal
retangular
3
2
Ec  yc ou yc  Ec
2
3
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Conceito de seção de
controle
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Condição crítica  limite entre os
regimes fluvial e torrencial
Assim, quando há mudança de regime, y tem
que passar por yc
Há diversas situações onde isto ocorre:
Passagem subcrítico  supercrítico
mudança de
declividade
I < Ic
Esc. junto à
crista de
vertedores
I > Ic
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Mudança de regime  y passa por yc
Passagem supercrítico  subcrítico
canal com mudança
de declividade
I > Ic
I < Ic
Saídas de comporta
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Nas seções de transição  y = yc
há uma relação unívoca
Relação esta conhecida
Seção de controle: é a
seção onde se conhece a
relação y x Q
Seção de controle onde ocorre yc  tipo crítico
Existem outros tipos de controle ...
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2
AR
Q
n
3
S
tipo canal  y determinada pelas características de
atrito ao longo do canal  ocorrência de escoamento
uniforme
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Artificial  associado uma situação
na qual y é condicionada por uma
ocorrência distinta do regime crítico
Exemplo: ocorrência associada ao nível de um
reservatório, um curso d’água, uma comporta, etc.
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Controles de montante e de
jusante
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É também de interesse prático a curva
y x Q para E = cte = E0
Q
E0  y 
2
2gA
2
Q2  2gA2 (E0  y)
Água em
repouso
Q  A 2g(E0  y)
Canal retangular de
largura b e tomando a
vazão por unidade de
largura q
q  2gy(E0  y)
Não há água
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A noção de controle hidráulico nos
faz identificar quando ocorre
controle de montante e de jusante
Supor estrutura retangular, de largura b, curta e
queda livre a jusante desprezível
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O que acontece se colocarmos uma
comporta a jusante e liberarmos a água
aos poucos?
O que acontece se colocarmos uma comporta a
montante e liberarmos a água aos poucos?
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Voltando ...
Escoamento subcrítico
 controle de jusante
Escoamento supercrítico  controle de montante
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Escoamento subcrítico  controle de
jusante, perturbações a jusante
podem ser sentidas a montante
perturbação
Escoamento
supercrítico 
controle de
montante, pois as
ondas não podem ir
para montante
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Exercício: Um canal retangular com largura de 8m
transporta uma vazão de 40 m3/s. Determinar a yc e
Uc
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Escoamentos uniforme
e gradualmente variado
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Tipo de escoamento utilizado em
projetos de canais
• Ponto de vista da energia  Perda de carga
devida ao escoamento turbulento é balanceada
exatamente pelo decréscimo de energia
potencial
• Ponto de vista das forças  Força da
gravidade é balanceada pela força de atrito
nas paredes e no fundo do canal
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O EU pode ocorrer em canais muito
longos, retos e prismáticos
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Equações básicas
HIDRÁULICA – Marllus Gustavo F. P. das Neves
Continuidade, quantidade de
movimento e energia
Idealizações:
1) Escoamento permanente e uniforme;
2) Escoamento à profundidade
constante (profundidade normal);
3) Escoamento incompressível;
4) Escoamento paralelo e à declividade baixa
5) Interação entre o fluido e a atmosfera
desprezível  perímetro em contato com a
atmosfera não vai ser incluída no perímetro
molhado
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Continuidade
V1A1ρ1  V2A2ρ2
Como A1 = A2
V1A1  V2A2
V1  V2
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Quantidade de movimento
Escoamento paralelo  distribuição de
pressão hidrostática
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Quantidade de movimento
Inclinação do canal pequena:
q ≈ 0  q ≈ senq ≈ tgq ≈ So
Rx  ρQV2  V1  FSx  FBx  ρQV2  V1 
Resultante das
forças em x
forças de
superfície
forças de
corpo
Da equação da continuidade FS x  FB x  0
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força de corpo  peso 
componente  Wsenq
força de superfície  força de
atrito Ff
A força de pressão líquida é zero -Ff  Wsenθ  0
Ff  Wsenθ
Ff  τpPl
Ff  τpAsup
Área superficial
de contato
(paredes e fundo)
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Energia
p1
p2
V
V
 z1 
  z2 
 ΔH
γ
2g γ
2g
2
1
2
2
V
V
y1  z1 
 y2  z2 
 ΔH
2g
2g
2
1
2
2
Para o escoamento permanente, incompressível e
uniforme
ΔH  z1  z2  LSo
•Perda de carga = desnível
•As linhas: de energia, piezométrica e de fundo do
canal paralelas
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V2
2g
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Características do escoamento
uniforme (EU)
•A profundidade, a área molhada, a velocidade, a
rugosidade e a forma da seção transversal
permanecem constantes;
•A linha de energia, a superfície da água e o fundo do
canal são paralelos
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Equações de
resistência: Chézy e de
Manning
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A força de resistência é dada por:
Ff  τpPl
Chézy (1769)  Assumindo tp proporcional à U2:
Ff = k l PV2, onde P é o perímetro molhado
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Substituindo na equação da QM e sabendo que
W=gAL (Aárea molhada)
γ
V  
k 
1
2
RhS
V  C RhS
onde C = (g/k)1/2
Coeficiente de rugosidade
Resultados experimentais mostram que a
dependência da inclinação (V ~ S1/2) é razoável,
mas a dependência com o Rh não é adequada
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Equação de Manning (1889)  descreveu
melhor a relação citada
1 2/3
V  Rh
S
n
2
AR
Q
n
No Sistema Internacional (SI)
3
S
Coeficiente de
rugosidade
HIDRÁULICA – Marllus Gustavo F. P. das Neves
Equação de Chézy (1769)
Assumindo tw proporcional à U2:
Ff = kLPU2, onde P é o perímetro molhado
Substituindo na equação da QM e sabendo que
W=gAL (Aárea molhada)
1
γ
U 
k 
2
RS
U  C RS
onde C = (g/k)1/2
Equação de Manning (1889)
2
1
De natureza completamente empírica U  R 3 S
n
No Sistema Internacional (SI)
Relação entre C e n no SI:
1 16
C R
n
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Estimação do
coeficiente de
resistência
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Aspectos teóricos e
práticos
HIDRÁULICA – Marllus Gustavo F. P. das Neves
Os valores precisos de n são sempre difíceis
de obter exceto para canais artificiais novos
mas, normalmente, a estrutura da superfície
dos canais é complexa e variável
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Assim como fator de atrito (condutos
forçados), o coeficiente n relaciona a tensão
de atrito com as características da
superfície em contato com o fluido
Existem modos para obter n em função do
fator de atrito para um tubo equivalente
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Da equação de Darcy-Weisbach
LV
ΔH  f
 SoL
D 2g
2
Equação da energia
do EU
Substituindo D por  4Rh (lembrar que, para
conduto circular, Rh = D/4)
1
f V
So 
4Rh 2g
2
n  Rh
C
6
f
8g
8g
f
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C e n  dependem de f  depende de
Re e de e
Mas é muito mais difícil determinar e em canais
A partir de um valor de Re  f constante 
aplicação das equações em escoamentos HR
Por causa
dessa
dificuldade 
utilizamos
valores
médios de n
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Procura-se um coeficiente constante que leve em
conta os fatores que o influenciam
•Rugosidade da superfície
•Vegetação
•Irregularidade do canal
•Obstrução
•Alinhamento do canal
•Erosão e sedimentação
•Cota e descarga
http://geografia7d2010.blogspot.com.br/2011/06/rios.html
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Método do SCS, método de
Cowan ou método da
incrementação
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Parte-se de um valor básico de n
O valor básico é tabelado e serve para um
canal reto, uniforme e liso  depois são
feitas correções no valor básico,
considerando os fatores mencionados
Também chamado método de Cowan
n = (n0 + n1 + n2 + n3 + n4) n5
Grau de meandrização
básico
Vegetação: densidade, altura,...
Variações de
seção
Obstruções: matacões,
transversal raízes, troncos,...
Irregularidades: erosões,
assoreamentos, depressões,...
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Tabela de valores de n
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Tabela publicada por Ven Te Chow em 1959. Possui
uma relação extensa de valores, função do tipo de
canal e das condições deste
Versões resumidas em todos os livros de hidráulica
As tabelas a seguir foram obtidas no livro Curso de
Hidráulica, de Eurico Trindade Neves
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Valores de n para Condutos Livres
Fechados
Condições
Natureza das Paredes
Muito boas
Boas
Regulares
Más
Tubos de ferro fundido sem revestimento
0,012
0,013
0,014
0,015
Idem, com revestimento de alcatrão
0,011
0,012*
0,013*
-
Tubos de ferro galvanizado
0,013
0,014
0,015
0,017
Tubos de bronze ou de vidro
0,009
0,010
0,011
0,013
Condutos de barro vitrificado, de esgotos
0,011
0,013*
0,015
0,017
Condutos de barro, de drenagem
0,011
0,012*
0,014*
0,017
Alvenaria de tijolos com argamassa de cimento; condutos
0,012
0,013
0,015*
0,017
Superfícies de cimento alisado
0,010
0,011
0,012
0,013
Superfícies de argamassa de cimento
0,011
0,012
0,013*
0,015
Tubos de concreto
0,012
0,013
0,015
0,016
de esgotos, de tijolos
* Valores aconselhados para projetos
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Valores de n para Condutos Livres
Artificiais Aberto
Condições
Muito
Natureza das Paredes
boas
Boas
Regulares
Más
Condutos de aduelas de madeira
0,010
0,011
0,012
0,013
Calhas de pranchas de madeira aplainada
0,010
0,012*
0,013
0,014
Idem, não aplainada
0,011
0,013*
0,014
0,015
Idem, com pranchões
0,012
0,015*
0,016
-
Canais com revestimento de concreto
0,012
0,014*
0,016
0,018
Alvenaria de pedra argamassada
0,017
0,020
0,025
0,030
Alvenaria de pedra seca
0,025
0,033
0,033
0,035
Alvenaria de pedra aparelhada
0,013
0,014
0,015
0,017
Calhas metálicas lisas (semicirculares)
0,011
0,012
0,013
0,015
0,0225
0,025
0,0275
0,030
0,017
0,020
0,0225*
0,025
Idem corrugadas
Canais de terra, retilíneos e uniformes
* Valores aconselhados para projetos
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Valores de n para Condutos Livres
Artificiais Aberto (continuação)
Condições
Natureza das Paredes
Muito boas
Boas
Regulares
Más
Canais abertos em rocha, uniformes
0,025
0,030
0,033*
0,035
Idem, irregulares; ou de paredes de pedras
0,035
0,040
0,045
-
Canais dragados
0,025
0,0275*
0,030
0,033
0,0225
0,025*
0,0275
0,030
0,025
0,030
0,035*
0,040
0,028
0,030
0,033
0,035
Canais curvilíneos e lamosos
Canais com leito pedregoso e vegetação nos
taludes
Canais com fundo de terra e taludes
empedrados
* Valores aconselhados para projetos
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Valores de n para Condutos Livres
Naturais Abertos (Arroios e Rios)
Condições
Arroios e Rios
Muito boas
Boas
Regulares
Más
(a) Limpos, retilíneos e uniformes
0,025
0,0275
0,030
0,033
(b) Idem a (a), porém com vegetação e pedras
0,030
0,033
0,035
0,040
(c) Com meandros, bancos e poços pouco profundos, limpos
0,035
0,040
0,045
0,050
(d) Idem a (c), águas baixas, declividades fracas
0,040
0,045
0,050
0,055
(e) Idem a (c), com vegetação e pedras
0,033
0,035
0,040
0,045
(f) Idem a (d), com pedras
0,045
0,050
0,055
0,060
(g) Com margens espraiadas, pouca vegetação
0,050
0,060
0,070
0,080
(h) Com margens espraiadas, muita vegetação
0,075
0,100
0,125
0,150
HIDRÁULICA – Marllus Gustavo F. P. das Neves
Outros métodos
HIDRÁULICA – Marllus Gustavo F. P. das Neves
Fotográfico  comparar nosso trecho de rio com
seções catalogadas (US Geological Survey)
Medição de velocidades  a partir da distribuição
de velocidades para o escoamento turbulento HR,
fazendo-se duas medições: a 0,8D e a 0,2D onde D
é a profundidade do fluxo
Empírico  relaciona-se n com algum diâmetro do
elemento de rugosidade, vindo da curva de
distribuição granulométrica
HIDRÁULICA – Marllus Gustavo F. P. das Neves
Cálculos com o
escoamento
permanente e uniforme
HIDRÁULICA – Marllus Gustavo F. P. das Neves
Dois casos práticos:
1) Verificação do funcionamento
hidráulico
2) Dimensionamento hidráulico
Caso 1  Qual a capacidade de condução de um canal
de determinada forma, declividade e rugosidade,
sabendo qual é a profundidade?
Caso 2  Quais as dimensões que deve ter o canal,
de determinada forma, rugosidade e declividade
para conduzir uma determinada vazão?
Qual a profundidade normal (yN ou y0)?
HIDRÁULICA – Marllus Gustavo F. P. das Neves
Manning (SI)
R
U
2
3
S
n
2
AR
Q
n
3
S
Condutância hidráulica
ou fator de condução
Determinação da profundidade normal por tentativa
e erro ou gráficos
2
AR
Q
n
3
AR
S
Função de yN
2
3

nQ
S
constante
HIDRÁULICA – Marllus Gustavo F. P. das Neves
Supondo um canal trapezoidal
A = (b + zy)y
P = b + 2y (1+z2)1/2
AR
2
3
A
 A 
P
5
b  2y 3 y
2
5
3
5
A 3

P
3
 b  2y 1  z 2 




2
3

y
1
z
b
nQ
S
Para resolver: adotam-se valores de yN, até igualar os lados
Ou constrói-se um gráfico y x AR2/3 e localiza-se o ponto
desejado que satisfaça o lado direito
HIDRÁULICA – Marllus Gustavo F. P. das Neves
Pode-se utilizar de gráficos
adimensionais. Por exemplo, para um
canal de seção trapezoidal:
yN/D ou yN/b x AR2/3/D ou AR2/3/b
Métodos numéricos também podem ser usados
(Newton, Bisecção,...)
As calculadoras científicas
atuais podem também
resolver este tipo de
problema
HIDRÁULICA – Marllus Gustavo F. P. das Neves
Exercício: calcular yN de um canal
trapezoidal: largura de fundo de 3m,
declividade 0,0016, n = 0,013. Ele tem que
ter a capacidade de transportar 7 m3/s.
O talude é de 1,5:1
y
A(m2) P(m) Rh(m)
Valor da constante
nQ
 2,275
S
Em uma planilha, faz-se
variar y
interpolando
yN = 0,793 m
0,750
0,755
0,760
0,765
0,770
0,775
0,780
0,785
0,790
0,795
0,800
0,805
3,09
3,12
3,15
3,17
3,20
3,23
3,25
3,28
3,31
3,33
3,36
3,39
5,70
5,72
5,74
5,76
5,78
5,79
5,81
5,83
5,85
5,87
5,88
5,90
0,542
0,545
0,548
0,551
0,554
0,557
0,560
0,562
0,565
0,568
0,571
0,574
AR2/3
2,058
2,082
2,107
2,132
2,158
2,183
2,209
2,234
2,260
2,286
2,313
2,339
HIDRÁULICA – Marllus Gustavo F. P. das Neves
Seção circular
Qmax não ocorre quando o tubo está repleto com fluido
mas sim quando y = 0,938D (ou θ = 5,28 rad = 303º).
Existem duas profundidades de escoamento que fornecem
a mesma vazão quando 0,929 < Q/Qmax < 1
HIDRÁULICA – Marllus Gustavo F. P. das Neves
Canais de rugosidade
composta
HIDRÁULICA – Marllus Gustavo F. P. das Neves
Algumas vezes temos que estimar o
valor de n equivalente ou
representativo de uma seção, cuja
rugosidade varia ao longo do perímetro
O que se faz então é dividir o perímetro em N
partes, cada uma das quais com seu valor de n
Depois, calcula-se o n equivalente ne
Horton (1933)  mais utilizada
Einstein e Banks (1950)
U1 = U2 = ... = UM
Ponderação pelo perímetro
molhado
2
3
 N
Pini3/2 

 i1

ne  

P







HIDRÁULICA – Marllus Gustavo F. P. das Neves
Descarga normal em canais
de seção composta
HIDRÁULICA – Marllus Gustavo F. P. das Neves
Quando o escoamento atinge a planície
de inundação, P aumenta muito
rapidamente
2
3
 N
Pini3/2 



ne   i1

P







superestima n
Alternativas:
1) Ponderar n pela área de cada
subseção;
2) Calcular a condutância hidráulica em
cada subseção e depois somá-las
HIDRÁULICA – Marllus Gustavo F. P. das Neves
N
Ponderação pela área
ne 
n A
i1
i
A
Soma de condutâncias hidráulicas
Q K S
K
N
K
i1
i
i
AiRi2/3
Ki 
ni
A2R22/3
K2 
n2
A1R12/3
K1 
n1
HIDRÁULICA – Marllus Gustavo F. P. das Neves
Seções de perímetro
molhado mínimo e vazão
máxima
HIDRÁULICA – Marllus Gustavo F. P. das Neves
O que há em comum nas 3 seções retangulares com
as dimensões abaixo? E o que há de diferente?
2
AR
Q
n
y
b
b=2m
Y=3m
b=3m
Y=2m
3
S
b = 2,3 m
Y = 2,61 m
HIDRÁULICA – Marllus Gustavo F. P. das Neves
Dimensionamento de canais 
simples e rápido do ponto de vista
hidráulico
Mas envolve outros fatores técnicos, construtivos e
econômicos
Presença de avenidas construídas ou projetadas
Limitação de profundidade (lençol freático, etc.)
...
Sempre que possível  usar seções de perímetros
molhados mínimos ou vazão máxima ou de eficiência
máxima
Procuram eficiência hidráulica e do ponto de
vista econômico (superfície de revestimento é
mínima)
HIDRÁULICA – Marllus Gustavo F. P. das Neves
Trapézio de perímetro molhado mínimo
A área e o perímetro molhados são:
A = (b + zy)y
P = b + 2y (1+z2)1/2
Utilizando a razão de aspecto
m = b/y
A  (m  zy)y2 Isolando y


P  m2 1z y

P  m2 1z
2
2

A
mz
y
1
z
b
substituindo na fórmula de P
Derivada de P em relação a
m e igualando a zero

m  2 1  z2  z

HIDRÁULICA – Marllus Gustavo F. P. das Neves

Ou ainda b  2y 1  z2  z

Para um canal retangular b  2y
y
b
y
y
HIDRÁULICA – Marllus Gustavo F. P. das Neves
Resultados não desejados que podem ocorrer:
1) Seções profundas  custos  de escavação
maiores, de rebaixamento de NA, não compensando
a economia no revestimento
2) velocidades médias incompatíveis com o
revestimento
3) Seções com b << y  dificuldades
construtivas
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Algumas
recomendações de
projeto
HIDRÁULICA – Marllus Gustavo F. P. das Neves
1) O projetista deve prever o “envelhecimento” do
canal  nprojeto = 10 a 15% maior que ntabelado
2) Deixar uma folga de 20 a 30% acima do nível
máximo de projeto, sobretudo para canais fechados
3) Preferir o método de soma de condutâncias
hidráulicas para cálculo de seções compostas
Q K S
K
N
K
i1
i
Ki 
2/3
AiRi
ni
HIDRÁULICA – Marllus Gustavo F. P. das Neves
As subseções são divididas por linhas
verticais imaginárias, não computadas
para o cálculo de Pi
A2R22/3
K2 
n2
A1R12/3
K1 
n1
4) A velocidade média  num intervalo que evite
deposições e erosões (tabela a seguir)
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5) Observar a inclinação máxima dos taludes
HIDRÁULICA – Marllus Gustavo F. P. das Neves
Escoamento
permanente e
gradualmente
variado
HIDRÁULICA – Marllus Gustavo F. P. das Neves
Caracterização do EGV
HIDRÁULICA – Marllus Gustavo F. P. das Neves
Escoamento permanente no qual as
características variam no espaço 
escoamento variado
Mudanças graduais  escoamento gradualmente
variado (EGV)
Mudanças bruscas  bruscamente variado
O contorno influencia mais que
o atrito com as paredes
O atrito
influencia mais
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EGV  declividade de fundo e da superfície livre não
são mais as mesmas
Da mesma forma  gradiente energético não é mais
paralelo ao gradiente do canal
Ocorrência de EGV:
- trechos iniciais e finais de canais
- transições verticais e horizontais graduais
- canais com declividade variável
Interesse do engenheiro  saber como se comporta
linha d’água
HIDRÁULICA – Marllus Gustavo F. P. das Neves
Natureza do EGV  mesma do uniforme:
Força motriz  gravidade;
Força resistente  atrito ao longo do canal
trecho final de canal
Declividade variável
HIDRÁULICA – Marllus Gustavo F. P. das Neves
Quando há um EGV em regime
subcrítico, em trechos a montante de
um controle artificial  curva de
remanso
Em uma determinada
seção:
y  profundidade da
água
yN  profundidade
normal
y – yN  remanso
HIDRÁULICA – Marllus Gustavo F. P. das Neves
Idealizações
•Canal de pequena declividade;
•Distribuição hidrostática de pressão (linhas de
corrente aproximadamente paralelas);
• perda de carga  equação de resistência do
escoamento uniforme
• n independe de y e é constante ao longo do canal
• A distribuição de velocidade é fixa  a cte
2/3
AR
Q
n
S
 Qn 
Sf  
2/3 
 AR 
2
Sf (gradiente energético) varia de seção para seção
HIDRÁULICA – Marllus Gustavo F. P. das Neves
Equação diferencial do
EGV
HIDRÁULICA – Marllus Gustavo F. P. das Neves
Das idealizações e da equação da energia
H = y + V2/2g + z ou H = E + z, onde E é a energia
específica
Tomando a derivada de H em relação a x (exprime a
variação espacial)
2

dH dy
d  V  dz



dx dx dx  2g  dx
O termo d(V2/2g)/dx pode ser decomposto:
V = Q/A,
A = f(y) e y = g(x)  A = f(g(x))
HIDRÁULICA – Marllus Gustavo F. P. das Neves
Isto resulta em:
2
2


d V
Q B dy
 - 2


dx  2g 
gA A dx
onde B  largura da superfície livre
dy
B
dA=Bdy
yh = A/B
A
Assim
2
2

dy
d V 
Q
2 dy



F
r
2


dx  2g 
dx
gA yh dx
2
Fr

2
Q B
3
gA
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Voltando à equação original
-Sf
2

dH dy
d  V  dz



dx dx dx  2g  dx
-S0
- Fr2dy/dx
Equação diferencial do escoamento gradualmente
variado (EDEGV)


dy
 Sf 
1  Fr2  S0
dx
dy S0  Sf

2
dx 1  Fr
HIDRÁULICA – Marllus Gustavo F. P. das Neves
Substituindo o termo de Sf pela
equação de Manning e o termo de Fr
pela sua equação
 nQ 

Sf  
2 
3
 AR 
2
Fr

2
Q B
gA3
2
Qn
S0  2 4/3
dy
A
R

2
dx
 Q B
 1 

3 
gA


2 2
HIDRÁULICA – Marllus Gustavo F. P. das Neves
Análise das linhas
d’água
HIDRÁULICA – Marllus Gustavo F. P. das Neves
S0 
Q 2n2
2 4/3
dy
A
R

Expressão utilizada para
2
dx
 Q B  estudos qualitativos da
1 

3  linha d’água

gA 

Vamos criar duas funções f1 e f2, tal que
1  f1
dy
 S0
dx
1  f2
f1 
Q2n2
2
A R
f2 
4/3
S0
2
Q B
gA3
HIDRÁULICA – Marllus Gustavo F. P. das Neves
f1 e f2 são funções de y decrescentes 
análise da linha d’água  análise do
numerador e do denominador da equação
diferencial
1  f1
dy
 S0
dx
1  f2
f1 
Q2n2
2
A R
4/3
S0
f2 
Q 2B
gA3
HIDRÁULICA – Marllus Gustavo F. P. das Neves
Análise do numerador  S0, Q e n = cte
f1 
Q2n2
A2R 4/3S0
Escoamento uniforme
1  f1 0
dy
 S0
dx
1  f2
dy
0
dx
HIDRÁULICA – Marllus Gustavo F. P. das Neves
Análise do denominador  idem
Regime subcrítico
f2 
Q 2B
gA3
Regime crítico
1  f1
dy
 S0
dx
1  f2 0
Regime supercrítico
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Análise da declividade  S0 variável
Para cada S0, há uma yN
Se S0 for igual a Sc  yN = yc
yN
A análise de S0  3 tipos de canais:
- declividade fraca ou moderada
-forte ou severa
-crítica
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nula
fraca
forte
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Análise da linha d’água, utilizamos o que foi dito
antes da seguinte forma:
f1 > 1 e f2 > 1  dy/dx>0  y cresce
f1 < 1 e f2 < 1  dy/dx>0  idem
1  f1
dy
 S0
dx
1  f2
f1 > 1 e f2 < 1  dy/dx<0
 y decresce
f1 < 1 e f2 > 1  dy/dx<0
 y decresce
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Classificação dos perfis
do EGV
HIDRÁULICA – Marllus Gustavo F. P. das Neves
Os perfis de linha d’água dependem:
1) da relação entre a declividade de fundo e a
declividade crítica
2) da relação entre y, yN e yc
Os perfis de
linha d’água
HIDRÁULICA – Marllus Gustavo F. P. das Neves
Perfis M (Mild Slope)
Declividade fraca
HIDRÁULICA – Marllus Gustavo F. P. das Neves
1  f1
dy
 S0
dx
1  f2
região 1
região 2
região 3
HIDRÁULICA – Marllus Gustavo F. P. das Neves
1  f1
dy
 S0
dx
1  f2
Na região 1
y  yN  dy/dx  0
y  ∞  dy/dx  S0
Na região 2
y  yN  dy/dx  0
y  yc  dy/dx  ∞
Na região 3
y0
dy/dx  limite finito
y  yc 
dy/dx  ∞
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Na região 2: Perto de yc, as Linhas de Corrente (LC)
não são mais retas e paralelas, contrariando as
idealizações  linha tracejada
1  f1
dy
 S0
dx
1  f2
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Na região 3: poderá haver ressalto com mudança
brusca da curva M3 para o escoamento uniforme ou
para a curva M1
1  f1
dy
 S0
dx
1  f2
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Ocorrências dos perfis M
M1  montante de uma barragem
M2  montante de uma queda brusca
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Ocorrências dos perfis M
M3  mudanças de inclinação, saídas de
comporta com abertura inferior a yc
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Perfis S (Steep Slope)
Declividade severa ou forte
HIDRÁULICA – Marllus Gustavo F. P. das Neves
1  f1
dy
 S0
dx
1  f2
região 1
região 2
região 3
HIDRÁULICA – Marllus Gustavo F. P. das Neves
Na região 1
y  yc  dy/dx  ∞
y  ∞  dy/dx  S0
1  f1
dy
 S0
dx
1  f2
Na região 2
y  yc  dy/dx  ∞
y  yN  dy/dx  0
Na região 3
y  yN  dy/dx  0
y0
dy/dx  limite finito
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Ocorrências dos perfis S
S1  montante de uma barragem,
estreitamentos, mudanças de S0
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Ocorrências dos perfis S
S2  canal de forte S0, alimentado por
reservatório, mudança de S0
S3  jusante de barragens e comportas
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Perfis C (Critical Slope)
Declividade crítica
Perfis H (Horizontal)
Perfis A (Adverso)
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Perfis C: caso limite dos perfis S – S0 diminui
Perfis A e H: casos limites dos perfis M quando S0
tende para 0 ou para um valor negativo,
respectivamente
A
M
H
C
S
HIDRÁULICA – Marllus Gustavo F. P. das Neves
1  f1
dy
 S0
dx
1  f2
região 1
região 3
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1  f1
dy
 S0
dx
1  f2
As curvas de remanso são o caso limite das curvas
M, quando S0  0
H2 e H3 ocorrem em situações análogas à curvas
M2 e M3
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Neste caso, A2 e A3 são similares a H2 e H3
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Regras gerais
HIDRÁULICA – Marllus Gustavo F. P. das Neves
1. Em um canal uniforme, um observador se
deslocando no sentido da corrente vê a altura
d’água diminuir, desde que a linha d’água esteja
entre yc e yN.
Se a linha d’água estiver fora da área entre yc e
yN  observador vê a altura d’água crescer
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interior
exterior
yN
yc
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2.Quando a linha d’água se aproxima de yN, ela o faz
assintoticamente
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3. Quando a linha d’água se aproxima de yc, ela tende
a cruzar esta profundidade em um grande mas
finito ângulo
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4. aplicação do conceito de seção de controle:
regime subcrítico  controle a jusante (M1 em
barragem, M2 em queda brusca)
regime supercrítico  controle a montante (M3
em comporta de fundo)
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5. curvas próximas
A
M
C
H
S
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Esboçar a linha d’água
HIDRÁULICA – Marllus Gustavo F. P. das Neves
Esboçar a linha d’água
resposta
HIDRÁULICA – Marllus Gustavo F. P. das Neves
Esboçar a linha d’água
HIDRÁULICA – Marllus Gustavo F. P. das Neves
Esboçar a linha d’água
resposta
HIDRÁULICA – Marllus Gustavo F. P. das Neves
Esboçar a linha d’água
HIDRÁULICA – Marllus Gustavo F. P. das Neves
Esboçar a linha d’água
resposta
HIDRÁULICA – Marllus Gustavo F. P. das Neves
Esboçar a linha d’água
yc
yN
R H2
S0 = 0
H3
S2
R
M3
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