Vibrações de Sistemas Mecânicos
Prof. Dr. Milton Dias Junior
1. Um movimento harmônico é descrito por x(t ) = X . cos(100.t + φ ) . As condições
iniciais são x(0) = 4 mm e x& (0) = 1 m . Encontre X e φ. Expresse x(t) na forma
s
x = A. cos(ω .t ) + B. sen (ω .t ) .
2. Determine a equação de movimento do sistema a seguir.
Figura 1: Exercício 2.
3. Uma barra uniforme de massa m e comprimento l está conectada no ponto A e presa
por cinco molas como mostra a figura. Encontrar a freqüência natural do sistema se
k = 2000 Nm , k t = 1000 Nm
, m = 10 kg e l = 5 m .
rad
Figura 2: Exercício 3.
4. Encontre a equação de movimento do sistema abaixo, considerando as barras rígidas
e de massa desprezível.
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Figura 3: Exercício 4.
5. Uma locomotiva de massa 2000 kg se movendo a uma velocidade de v = 10 m
é
s
parada no final da linha por um sistema mola-amortecedor como mostrado na figura.
Se a rigidez da mola é de 40 N/mm e a constante de amortecimento é de 20 Ns/mm,
determine:
(a) o deslocamento máximo da locomotiva após o engate no sistema molaamortecedor.
(b) O tempo necessário para que o sistema alcance o deslocamento máximo.
Figura 4: Exercício 5.
6. Um cilindro de massa m e momento de inércia de massa J o está livre para rolar sem
deslizamento, mas está preso por duas molas k1 e k 2 , como mostrado na figura.
Encontre a freqüência natural do sistema. Determine também o valor de a que
maximiza a freqüência natural do sistema.
Figura 5: Exercício 6.
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7. Uma barra rígida AB é articulada em A conforme a figura abaixo.
(a) Escrever a equação de movimento do sistema;
(b) Obter a expressão para a constante de amortecimento crítico e a freqüência
natural amortecida de vibração (assumir ξ < 1 ).
Figura 6: Exercício 7.
8. No sistema torsional mostrado a seguir é submetido ao amortecimento, obter:
(a) Equação de movimento do sistema;
(b) Assumir que a constante de amortecimento cT é desconhecido, mas que k T 1 ,
k T 2 e I são conhecidos, e que a freqüência f d amortecida de vibração foi
medida, obter uma expressão para o valor de cT .
Figura 7: Exercício 8.
9. Seja o sistema abaixo, onde x representa o deslocamento absoluto da massa m e y o
deslocamento absoluto da mola k. O ponto A é movido de acordo com a relação
y = Y . sen (ω .t ) .
(a) Construa o diagrama de corpo livre para a massa m;
(b) Escrever a equação do movimento para m;
(c) Obter a solução particular para o sistema ( x p );
(d) Determinar a relação para a força de compressão em A;
(e) Obter a expressão para força transmitida para o suporte em B.
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Figura 8: Exercício 9.
10. Para o sistema a seguir,
(a) Construir o diagrama de corpo livre para m;
(b) Escrever a equação do movimento;
(c) Obter uma solução particular para o sistema;
(d) Determine a relação para a força de compressão em A.
Figura 9: Exercício 10.
11. Um volante de massa 70 lb (31,75 kg), apoiado pela face interior do aro, oscila
como um pêndulo. Determinar o momento de inércia do volante em relação ao seu
eixo geométrico se o período de oscilação medido é 1,5 segundos. Considere a
distribuição de massa uniforme e o CG no centro geométrico. (12 in = 0,3048 m e
16 in = 0,4064 m)
Figura 10: Exercício 11.
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12. Um excitador de pesos excêntricos de contra-rotação é usado para determinar as
características vibratórias de uma estrutura de massa 400 lb. À velocidade de 900
rpm, um estroboscópio mostra a posição dos excêntricos no topo, no instante em que
a estrutura se desloca para cima, passando pela posição de equilíbrio estático. A
amplitude de deslocamento é 0,85 pol. Se o desbalanço de cada excêntrico é de 4
lb.pol, determinar:
(a) a freqüência natural do sistema;
(b) o fator de amortecimento da estrutura;
(c) a amplitude, a 1200 rpm;
(d) a posição angular dos excêntricos no momento em que a estrutura completa
seu deslocamento para cima da sua posição de equilíbrio.
Figura 11: Exercício 12.
13. Um cilindro de massa m ligado a uma mola de rigidez k é excitado através de atrito
viscoso c, por meio de um pistão de movimento y = Y . sen (ω .t ) . Determinar a
amplitude do movimento do cilindro e sua fase em relação ao pistão.
Figura 12: Exercício 13.
14. Considere um sistema com desbalanceamento de rotação como mostrado na figura
abaixo. A deflexão na ressonância é 0,05 m e a razão de amortecimento é medida
como ξ = 0,1 . A massa desbalanceada é estimada em 10%. Localize a
excentricidade e.
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Figura 13: Exercício 14.
15. O barco e o trailer mostrados são rebocados a uma velocidade v por uma estrada
ondulada. O contorno da estrada pode ser aproximado por uma curva senoidal de
comprimento de onda de l = 3 m e amplitude de Y = 12 mm . A deflexão estática
total d das molas e pneus devido ao peso do barco e trailer foi medida como 37 mm.
Assumindo que o amortecimento inerente do sistema seja viscoso e o fator de
amortecimento tenha valor de 5%, determine:
(a) a velocidade v para a qual o barco e trailer atingirão a ressonância;
(b) o valor da amplitude nesta condição;
(c) a amplitude de movimento quando o barco e trailer estiverem numa
velocidade de 80 km/h.
Figura 14: Exercício 15.
16. A estrutura da figura consiste em uma viga bastante rígida soldada a dois pilares
verticais. O momento de inércia de área I c , de cada pilar em relação ao eixo de
flexão é 54 cm4. Um excitador excêntrico de massa 25 kg é fixado à viga horizontal
de massa 1000 kg e usado para excitar a estrutura. A massa desbalanceada do
excitador é de 2,5 kg e possui uma excentricidade e de 50 mm. Pela variação da
rotação do excitador pode-se determinar o momento em que a ressonância ocorre, e
também a amplitude máxima de vibração nesta condição. A amplitude máxima
encontrada foi de 40 mm. Assumindo que a flexão da viga horizontal seja
desprezível e considerando os pilares engastados nas extremidades, determinar:
(a) a freqüência natural de vibração lateral do sistema estrutura + excitador;
(b) o fator de amortecimento do sistema;
(c) o fator de amplificação na ressonância.
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Assumir também que a massa dos pilares é muito pequena em relação à massa da
viga.
Dados:
I c = 54 cm 4
E = 21x1010 N / m 2
L=3m
l = 150 cm
I
K = 12 E. 3c
l
Figura 15: Exercício 16.
17. Um novo modelo de veículo é suspenso como um pêndulo, usando cabos fixados
aos eixos dianteiro e traseiro. Com l = 4,6 m o período de oscilação é de 4,3
segundos. Com l = 2,6 m , o período decresce para 3,3 segundos. Determine a
distância h entre os eixos e o centro de gravidade, conforme ilustra a figura.
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Figura 16: Exercício 17.
18. Determine a equação de movimento do sistema apresentado a seguir.
Figura 17: Exercício 18.
19. Uma pequena máquina apresenta um desbalanceamento rotativo no seu eixo
principal. A máquina pesa 300 N e, quando apoiada sobre isoladores elásticos de
vibração (que têm a função de mola e amortecedor), o deslocamento de equilíbrio
estático é de 50 mm. Além disso, quando a máquina é deslocada da posição de
equilíbrio e solta, o movimento subseqüente diminui de uma amplitude de 60 mm
para 3,5 mm em exatamente 3 ciclos. Uma amplitude de 0,5 mm é observada
quando a máquina opera na ressonância. (a) Determine a constante de
amortecimento do sistema; (b) determine o valor da massa desbalanceada,
considerando que está a uma distância de 38 mm do eixo de rotação e (c) determine
a amplitude em regime permanente quando a máquina opera a uma velocidade duas
vezes maior que a freqüência de ressonância.
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20. Um motor elétrico de massa 10 kg é montado sobre quatro molas idênticas. O motor
opera com velocidade constante de 1750 rpm. O raio de giração é 100 mm.
Assumindo que as molas não possuem amortecimento, escolha um projeto (um dos
valores de k indicados na tabela) em que a razão de transmissibilidade na direção
vertical é 0,194. Com este valor de k, determine a razão de transmissibilidade para a
vibração torsional (isto é, calcule em função de θ).
Tabela 1: Catálogo com propriedade de rigidez e amortecimento de isolamento (off-theshelf).
N°
R-1
R-2
R-3
R-4
R-5
M-1
M-2
M-3
M-4
M-5
k(103.N/m)
250
500
1000
1800
2500
75
150
250
500
750
c(N.s/m)
2000
1800
1500
1000
500
110
115
140
160
200
Figura 18: Exercício 20.
Respostas
1.
x = 0,0108 m
φ = −68,20°
2.
3
1
m&x& + kx = 0 (momento de inércia em relação ao CG é I CG = mr 2 )
2
2
3.
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9
ωn =
10kl 2
mgl
+ kt +
9
6 , I momento de inércia em relação ao ponto A.
A
IA
4.
[
]
a) m1 (b 2 + d 2 ) + m2 a 2 θ&& + ca 2θ& + (ka 2 − m1 gd )θ = m1 gb
b) 2m(b 2 + d 2 )θ&& + ca 2θ& + (ka 2 − 2mgd )θ = 2mgb
5.
a) Xmax = 0,7624 m
b) tparada = 0,2152 s
6.
a) ω n =
( k1 + k 2 )( a + R ) 2
J o + mR 2
b) − R < a < R
⇒ a=R
7.
a) ml 2θ&& + ca 2θ& + kb 2θ = 0
b) ω d =
4ml 2 b 2 k − c 2 a 4
2l 2 m
8.
c = 2 I ( k t1 + k t 2 ) − 4π 2 f d I 2
2
9.
b) m&x& + cx& + kx = kY sen(ω .t )
c) x p (t ) =
k 2Y 2

 cω  
sen  ω .t + arctan 

2
2
2
2
( mω − k ) + ( cω )
 mω − k  

2

(
kY )

 cω   
ω
d) FA = k Y sen(ω .t ) −
sen
.
t
+
arctan


 
2
2
(mω 2 − k ) 2 + (cω )
 mω − k  


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10
e) FB = cω
(kY )2

 cω  
cos ω .t + arctan 

2
( mω − k ) + ( cω )
 mω − k  

2
2
2
10.
b) m&x& + cx& + kx = kY sen(ω .t ) + ωYc cos(ω .t )
kY (k − mω 2 ) + (cω ) Y
2
c) x p (t ) = A sen(ω .t ) + B cos(ω .t );
A=
(k − mω )
2 2
+ ( cω )
2
eB=
cωY − cωA
k − mω 2
d) FA = kY sen(ω .t ) + cωY cos(ω .t ) − k . x p − c. x p
11.
ICG = 1,9677 kgm²,
1 kg = 2,205 lb e 1 m = 39,370 in
12.
a) ω n = 94,25 rad
s
b) ζ = 0,01176
c) X = 0,04568 in
d) φ = 2,3089°
Atenção: Texto do enunciado errado, corrigir pela nova lista disponibilizada
(11/04/2003).
13.
x p (t ) = A sen(ω .t + φ ) =
cYω
(cω )2 + (k − mω 2 )2

 cω  
sen  ω .t + arctan 

2 
 k − mω  

14.
e = 0,1 m
15.
a) v = 7,77 m/s
b) X ressonância = 0,1206 m
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11
c) X 80 km / h = 0,001739 m
16.
a) ω n = 28,05 rad
s
b) ζ = 0,001524
c)
mX
= 328
me e
17.
h = 0,1424 m
18.
m&x& +
k1 .k 2
x=0
4( k1 + k 2 )
19.
a) c = 128,08 kg/s
b) me = 0,12 kg
c) X = 198,82 µm
20.
a)
k = 516,71 kN
m
⇒
R − 2 ou
M −4
(depende
do
amortecimento
requerido)
b) Transmissibilidade de Momento = 0,1204 (para o valor de rigidez adotado no
item anterior)
Raio de giração: I o = m.rg2
Atenção: Corrigir na lista o valor da transmissibilidade para 0,194. (11/04/2003)
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