Cálculo II – 2014.1 – Prof. Fausto Lima Custódio
Exercícios retirados de provas anteriores
1- Encontre a equação da reta tangente a superficie abaixo no ponto (3,0).
(
√
)
2- Encontre a equação da reta tangente a superficie abaixo no ponto (-1,1).
(
)
3- Suponha que em certa região do espaço o potencial elétrico seja dado por:
(
)
a) (2 pontos) Encontre a taxa de variação do potencial no ponto P(1,1,1) na direção do vetor v = i + j +
k.
b) (1 ponto) Em que direção o potencial varia mais rapidamente no ponto P?
c) (1 ponto) Qual a máxima taxa de variação do potencial em P?
4-Você está escalando uma montanha cuja forma é dada por:
Sabendo que o eixo x aponta na direção leste e o eixo y na direção norte, e que você está no ponto
(10, 10, 200) calcule:
d) (1 ponto) A taxa de variação da altura (z) na direção norte.
e) (1 ponto) A taxa de variação da altura (z) na direção sudeste.
f) (1 ponto) A direção em que a taxa de variação é máxima.
g) (1 ponto) A máxima taxa de variação.
5- A temperatura em um ponto é dada por:
(
)
Onde a temperatura está medida em oC e x,y e z em metros.
a. (2 Pontos) Qual a taxa de variação da temperatura no ponto (2,-1,2) na direção do ponto (3,3,3)?
b. (1 Ponto)Em que direção a temperatura aumenta mais rapidamente?
c. (1 Ponto) Qual a máxima taxa de variação da temperatura em oC/m?
d. (1 Ponto) Na direção da origem, ponto (0,0,0), a temperatura aumenta ou diminui?
6- Uma montanha tem seu formato representado pelo paraboloide:
(
e.
f.
g.
h.
)
√
(2 Pontos) Qual a taxa de variação da altura no ponto (2,2) na direção do ponto (0,0)?
(1 Ponto) Qual o ângulo de inclinação da montanha nas condições do item a?
(1 Ponto)Em que direção a altura varia mais rapidamente?
(1 Ponto) Qual a máxima taxa de variação da altura?
7- O potencial elétrico em uma região do espaço é dado por
(
)
a. Qual a taxa de variação do potencial no ponto P(1,2,5) na direção do vetor v = 2i + j – K.
b. Em que direção o potencial muda mais rapidamente no ponto P?
c. Qual a máxima taxa de variação em P?
8- Encontre os máximos e mínimos locais e pontos de sela.
d.
(
)
e.
(
)
9-Encontre dw/dt sendo:
A prova do formigueiro...
Esta prova se passa em um formigueiro no Egito antigo, em uma época onde haviam os simples mortais e
os sacerdotes, considerados uma raça superior. O que os simples mortais não sabiam é que a raça superior
era na verdade constituída por engenheiros, matemáticos, físicos e afins...
10- As formigas viviam em um formigueiro com a forma de um parabolóide, com equação dada por
(
)
onde as medidas estavam em cm. Certo dia uma formiga mortal encontra uma
√
sacerdote e pergunta: “Se eu caminhar na superfície do formigueiro, seguindo um caminho em que minha
altura não varie, qual será a forma de minha trajetória?” A sacerdote pensa “basta eu descobrir como são as
curvas de nível”. Faça um esboço das curvas de nível para esta superfície para ao menos dois valores de k.
11- A mortal reside num ponto de coordenadas (2,2) do formigueiro, e o sacerdote para demonstrar seu
poder, afirmava ser capar de determinar rapidamente a altura das moradas das vizinhas da mortal. O que a
mortal não sabia, é que a sacerdote estava usando uma aproximação linear para acelerar os cálculos.), faça a
linearização da função e use esta aproximação para calcular f(2,05;1,95).
12- Certo dia, a sacerdote profetiza para a mortal: “se um dia um gigante (humano) pisar no formigueiro, e
seu pé obedecer a uma certa equação, ele destruirá primeiro a sua casa, pois será o primeiro ponto a ser
atingido, por isso é importante que você continue pagando seus impostos para que tenhamos verba para
monitorar e calcular as trajetórias de todos os gigantes, para que possamos defender seu lar (?!?!)”. Sabendo
que para as formigas o pé humano pode ser aproximado por um plano, encontre a equação do plano tangente
que tocará a superfície nos ponto (2,2) e (0,0).
13- Estando sobre a superfície do formigueiro no ponto (2,2) e pensando se seria mais vantagem dar a volta,
ou escalar e descer para chegar do outro lado do formigueiro, a mortal pergunta qual a taxa de variação da
altura do formigueiro se ela se dirigir ao ponto (0,0) (já estava ficando espertinha...). Além desta resposta a
sacerdote informou que a taxa de variação máxima teria certo valor e certa direção. Quais foram as três
respostas do sacerdote?