Matemática
e suas Tecnologias
Matemática
Alexmay Soares, Cleiton Albuquerque,
Fabrício Maia, João Mendes e Thiago Pacífico
2
1
Universidade Aberta do Nordeste e Ensino a Distância são marcas registradas da Fundação Demócrito Rocha. É proibida a duplicação ou reprodução deste fascículo. Cópia não autorizada é Crime.
Caro Estudante
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foco é mostrar como est
s e situações práticas. O
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os
ers
div
em
zando-os
cotidiano.
e instigante para o uso
Bons Estudos!
Objeto do Conhecimento
Análise combinatória
Princípio Fundamental da Contagem
(Princípio Multiplicativo)
Dentre as técnicas de contagem, a fundamental e bastante intuitiva é o princípio fundamental da contagem (P.F.C.),
que apresentaremos através de exemplos.
Eis o que diz o princípio fundamental da contagem:
“Se uma ação é composta de duas etapas sucessivas,
sendo que a primeira pode ser feita de m modos e, para
cada um destes, a segunda pode ser feita de n modos,
então o número de modos de realizar a ação é dado pelo
produto m · n”.
Observação:
No caso das ações com mais de duas etapas, o número de modos da ação ocorrer é o produto dos números de possibilidades das respectivas etapas.
Arranjos simples e combinações simples
É importante, antes de iniciarmos os estudos relativos a
arranjo e combinação, entendermos que dois conjuntos
são iguais quando todos os elementos de um são também elementos do outro conjunto e vice-versa, independentemente da ordem dos elementos nesses conjuntos.
Já duas sequências ordenadas, somente serão iguais
se elas apresentarem, ordenadamente, os mesmos elementos. Em outras palavras, duas sequências ordenadas
iguais, além de apresentarem os mesmos elementos,
tais elementos devem ocupar, respectivamente, ordens
(posições) iguais. Por exemplo, os seis conjuntos {1, 3, 6},
{1, 6, 3}, {3, 1, 6}, {3, 6, 1}, {6, 1, 3} e {6, 3, 1} são um mesmo
conjunto. Assim, se vamos contá-los, devemos considerálos apenas um conjunto (um grupo). Já as seis sequências
ordenadas (1, 3, 6), (1, 6, 3), (3, 1, 6), (3, 6, 1), (6, 1, 3) e (6, 3, 1)
são todas diferentes uma das outras. Se vamos contá-las,
devemos considerá-las 6 grupos ordenados distintos.
178
Estando, por exemplo, interessados em contar as filas
que podemos formar utilizando sempre as mesmas 3 pessoas ou a quantidade de números que podemos formar
utilizando sempre os mesmos 3 algarismos, a ordem com
que as pessoas ou algarismos aparecem é relevante, isto
é, muda a fila ou o número. O interesse, nesse caso, está
em contar sequências ordenadas, deve-se contar os arranjos.
Estando, por exemplo, interessado em contar comissões ou subconjuntos, a ordem com que
as pessoas ou elementos aparecem não é relevante, isto é, não muda a comissão ou o subconjunto.
O interesse, nesse caso, está em contar subconjuntos, deve-se contar as combinações.
Problema das filas de k pessoas escolhidas dentre n pessoas possíveis
“Considere 7 pessoas. Quantas são as filas distintas formadas com 4 dessas pessoas?”
Solução:
Para o primeiro lugar na fila, temos 7 possibilidades; para a segunda posição, 6; para a terceira, 5 e,
para a quarta e última posição, 4 possibilidades. Assim, pelo P.F.C., temos 7 · 6 · 5 · 4 = 840 filas.
Cada uma dessas filas é uma sequência ordenada (diferem pela ordem) e é chamada de arranjo de
7 elementos, tomados 4 a 4. Pelo exposto, o número
de arranjos de 7 elementos, tomados 4 a 4, é igual a
840 e pode ser calculado em função do número de
pessoas dadas (7) e do número de pessoas em cada
fila (4). Esse número de arranjos é dado por:
A 7,4 =
7!
(7 – 4)!
= 84
840
Resumindo:
De modo geral, dado um conjunto com n elementos distintos, qualquer sequência ordenada de k elementos distintos, escolhidos dentre os n elementos dados, é chamada de “arranjo dos n elementos, tomados
k a k”, e o número desses arranjos é dado por:
An,k =
n!
(n − k )!
Leia: arranjo de n, k a k.
Problema das comissões de k pessoas,
escolhidas dentre n pessoas possíveis
“Considere 7 estudantes de uma mesma turma. Para representar a turma perante a direção do colégio, quantas são
as comissões possíveis, formadas com 4 desses estudantes?”
Solução:
Inicialmente, perceba que as comissões {Maria, João, Pedro, Ivo} e {Pedro, Ivo, João, Maria} são uma mesma comissão, conta-se apenas uma. Logo, queremos contar subconjuntos.
Se quiséssemos contar sequências ordenadas (filas)
de 4 elementos, escolhidos dentre 7 possíveis, encontraríamos A 7, 4
7!
=
= 840 filas. Acontece, porém,
(7 − 4)!
que uma vez escolhidos quatro estudantes dentre
os 7 possíveis, com esses mesmos quatro estudantes
pode-se formar P4 = 4! = 24 filas distintas (sequências
ordenadas). Isso nos diz que para cada 24 sequências
ordenadas (as que têm os mesmos 4 elementos), conta-se apenas uma comissão (um subconjunto). Daí, o
número correto de comissões com 4 estudantes, escolhidos dentre 7 possíveis, que podem ser formadas
é
840
= 35.
24
840 A 7, 4
=
24
P4
Solução:
Como para um mesmo grupo de pessoas premiadas,
mudando-se a ordem entre elas, muda-se a classificação,
o número de classificações possíveis é um número de arranjos.
I. O número de classificações para os três primeiros
lugares é o número de arranjos
de 8 atletas, toma8!
dos 3 a 3, ou seja, A8, 3 = (8 − 3)! = 8 ⋅ 7 ⋅ 6 = 336.
Esquematizando:
1o lugar, 2o lugar, 3o lugar ⇒ A8, 3 =
A8, 3
7!
(7 − 4)!
=
4!
Vagaroso , 2o lugar , 3o lugar
fixo
↓
↓
×
6 = 42
ou
1o lugar , Vagaroso , 3o lugar
, isto é, o número de comis-
sões (subconjuntos) formadas com 4 pessoas, escolhidas dentre 7 pessoas possíveis, é
7!
.
4!(7 − 4)!
↓
Resumindo:
De modo geral, dado um conjunto com n elementos distintos, qualquer subconjunto de k elementos
distintos, escolhidos dentre os n elementos dados, é
chamado de “combinação dos n elementos, tomados
k a k” e o número dessas combinações é dado por:
n!
 n
=  =
 k  k !(n − k )!
Leia: combinação de n, k a k.
fixo
7
↓
×
6 = 42
ou
2o lugar , 3o lugar, Vagaroso
↓
7
Cn , k
8!
= 336
(8 − 3)!
II. Supondo Vagaroso premiado, temos que decidir a
sua posição: 3 possibilidades, para cada uma dessas possibilidades, podemos usar apenas o P.F.C.
para resolver este item.
Veja:
7
Agora, observe que:
35 =
Exemplo 1:
Fábio, Marcos, Cleiton, Érick, Jonas, Lucas, Ligeirinho e
Vagaroso classificaram-se para a grande final da prova
dos 100 metros rasos que está sendo disputada entre os
alunos das escolas públicas e privadas de certo bairro de
Fortaleza. Segundo a imprensa especializada no assunto,
“os oito classificados são igualmente favoritos, mas como
não pode haver empate, a ordem de classificação vai ser
decidida nos detalhes e isso só o tempo dirá”. Sabendo
que somente serão premiados os três primeiros colocados,
recebendo R$ 1 000,00, R$ 600,00 e R$ 200,00, respectivamente, de quantas formas possíveis poderá ocorrer a classificação dos premiados? Dessas, em quantas Vagaroso será
premiado? Em quantas Ligeirinho receberá R$ 1000,00?
×
↓
fixo
6
= 42
Total = 42 + 42 + 42 = 126 classificações.
III. Fixando Ligeirinho em primeiro lugar (recebendo
R$1.000,00), basta escolher os outros 2, dentre os 7
7!
outros atletas. Assim, temos A 7, 2 = (7 − 2)! = 7 ⋅ 6 = 42
classificações para os três primeiros lugares, em
que Ligeirinho aparece na primeira posição.
Esquematizando:
Ligeirinho , 2o lugar , 3o lugar ⇒ A 7, 2 =
fixo
A7 , 2
7!
= 7 ⋅ 6 = 42
( 7 − 2) !
Universidade Aberta do Nordeste
179
Permutação simples e permutação com
repetição
Problema das filas formadas por n objetos, sendo alguns repetidos
Teoricamente, todo problema de análise combinatória
pode ser resolvido usando-se apenas o princípio fundamental da contagem. Entretanto, o conhecimento antecipado dos resultados de alguns problemas que surgirão
com relativa frequência será providencial, facilitando as
resoluções de outros problemas mais sofisticados.
Vejamos, agora, alguns problemas que vale a pena
você conhecer seus resultados:
“De quantos modos podemos colocar 7 bolas de sinuca
em fila, sendo todas distintas, exceto três delas que são
idênticas?”
Problema das filas formadas por n objetos
distintos
“De quantos modos podemos colocar em fila 4 pessoas?”
Para ocupar o primeiro lugar na fila, temos 4 possibilidades; para o segundo lugar, 3 possibilidades; para o terceiro,
2 e, para o quarto e último lugar, 1 possibilidade. Daí, usando o P.F.C., temos:
4 · 3 · 2 · 1 = 4! filas (24 filas)
De modo análogo, com n objetos distintos, podemos
formar n · (n – 1) · (n – 2) · ... · 2 · 1 = n! filas diferentes.
As filas formadas são agrupamentos ordenados (diferem
pela ordem) e são chamadas de permutações simples
dos n objetos. O número total de permutações (de filas) é
indicado por:
Pn = n! (lê-se: permutação de n)
Saiba: permutar n objetos, na prática, significa colocálos em fila e fazer todas as trocas possíveis nas posições,
significa obter todas as filas possíveis.
Com o conhecimento do resultado do número de permutações simples, podemos resolver facilmente problemas tais como:
Exemplo 1:
Quantas filas diferentes podemos formar com 8 pessoas,
se três delas, Raquel, Júlia e Tomás, não podem ficar juntas
(os três)?
Solução:
Temos um total de P8 = 8! filas, os três ficando juntos ou não. Agora, supondo o grupo Raquel, Júlia e Tomás (RJT) uma só pessoa, o número de maneiras delas
ficarem juntas é P3 = 3! e o número de modos de acomodar os seis elementos (o grupo RJT e as outras 5 pessoas) na fila é P6 = 6!. Pelo P.F.C., temos 3! · 6! filas, em que
os três ficam juntos. Daí, temos 8! – 3! · 6! = 40320 – 4320
= 36000 filas, em que os três não ficam juntos.
Esquematizando:
R , J, T, E1 , E 2 , E3 , E 4 , E5 ⇒ P8 = 8! = 40320 ( total de filas)
Solução:
Se as bolas fossem todas diferentes, teríamos 7!
filas. Para qualquer uma dessas filas, se permutarmos
apenas as bolas idênticas, temos 3! filas repetidas, ou
seja, para cada 3! filas, devemos contar apenas uma.
7!
Daí, o número correto de filas é = 840.
3!
A solução desse problema é uma permutação de
7 objetos, com repetição de 3, cuja representação é
P73 =
7!
. Se fossem 10 bolas diferentes apenas nas co3!
res, sendo 4 azuis, 3 vermelhas, 2 verdes e 1 amarela, a
solução seria uma permutação de 10 objetos, com re4, 3, 2
petição de 4, 3 e 2, cuja representação é P10
=
10
4 ! ⋅ 3! ⋅ 2!
(note que 1! =1 não é necessário usar).
Em geral, o número de permutações de n objetos, dos
quais a1 são iguais a X1, a2 são iguais a X2, a3 são iguais a X3,
..., aK são iguais a Xk, é dado por:
Pnα1 , α 2 , α3 ,..., α k =
n!
α1 ! ⋅ α 2 ! ⋅ α 3 ! ⋅ ... ⋅ α k !
Com o conhecimento do resultado do número de permutações de n objetos, com repetição, podemos resolver
facilmente problemas tais como:
Exemplo 1:
Quantos são os anagramas da palavra Papagaio que
apresentam as vogais em ordem alfabética?
Solução:
O número total de anagramas é
P83, 2 =
8!
3! ⋅ 2 !
= 3360.
Para cada um desses anagramas, permutado só as vo3
5!
gais (A, A, A, I, O), temosP5 = 3! = 20 sequências diferentes de vogais, ou seja, para cada 20 anagramas da palavra Papagaio somente um tem as vogais em ordem
alfabética. Daí, o número procurado de anagramas é:
8!
P83, 2 3! ⋅ 2 ! 3360
=
=
= 168
5!
20
P53
3!
.
P8
P3
RJT , E1 , E 2 , E 3 , E 4 , E5 ⇒ P3 ⋅ P6 = 3! ⋅ 6 ! = 4320
P6
(filas com
os três juntos)
40320 – 4320 = 36000 (filas em que os três não ficam juntos)
180
Permutação circular e o uso da permutação com repetição na resolução de problemas diversos
“De quantos modos distintos podemos formar uma mesa
de buraco com quatro pessoas?”
Solução:
Se fossem filas, teríamos 4! = 24
A
filas distintas. Na mesa de buraco,
no entanto, o que importa é a poB
sição relativa dos jogadores entre si. D
Na mesa formada ao lado, por
exemplo, saindo de qualquer jogaC
dor (letra) e escolhendo um sentido para girar (horário), temos 4 filas: (ABCD), (BCDA),
(CDAB) e (DABC). Note que, nessas filas, existem 4
possibilidades para começar, mas uma vez começada a fila, as outras letras já ficam determinadas. Portanto, para cada 4 filas diferentes, devemos contar
uma única formação para se jogar buraco. Sendo
4!
assim, o número de mesas formadas é 4 = 3! = 6 .
Questão Comentada
|C1-H2|
A figura abaixo mostra um mapa de uma pequena parte da cidade
de Fortaleza. Quando o professor Thiago Pacífico vai de casa até o
shopping Aldeota, ele percorre exatos 7 quarteirões. Na figura, está
representada apenas uma das várias possibilidades de caminhos
que ele pode escolher. Determine quantos caminhos diferentes,
com a mesma distância, ele pode escolher para ir de casa até o
shopping.
Observação:
Cada uma das 6 formações obtidas é chamada de permutação circular de 4 elementos e o número de permutações circulares de 4 elementos,
quando contadas em um
4!
só sentido, é dado por:(PC)4 = 4 = 3!
Resumindo:
De modo geral, o número de permutações circulares de n objetos, se consideradas equivalentes disposições que possam coincidir por rotação, é dado por:
n!
( PC)n = = (n − 1)!
n
a) 30 caminhos
d) 45 caminhos
b) 35 caminhos
e) 50 caminhos
Solução comentada:
Observe que para Thiago Pacífico sair de casa, localizada no cruzamento das ruas Ana Bilhar e Joaquim Nabuco, ele percorre 7
quarteirões, a saber que ele anda 4 vezes para Sul (S) e 3 vezes
para o Leste (L), veja na figura a sequência SSLLLSS. Portanto, o
número de caminhos possíveis é igual ao número de anagramas
3, 4
dessa sequência, ou seja, P7
Exemplo 1:
De quantos modos podemos formar uma roda de ciranda
com 4 meninos e 4 meninas, de modo que os meninos e
as meninas se alternem?
Solução:
Colocando primeiramente as mulheres (M1, M2, M3,
M4) na roda, temos (PC)4 = (4 – 1)! = 6 modos de fazer
isto. Entre cada duas mulheres, agora, devemos colocar um homem. Para colocar o primeiro homem (H1)
na roda, existem 4 possibilidades; para o segundo, 3;
para o terceiro, 2 e, para o quarto, 1, ou seja, existem
P4 = 4! = 24 maneiras de dispor os 4 homens entre as
mulheres. Note que colocando-se os 4 homens numa
certa posição possível entre as mulheres já dispostas, qualquer permutação que se faça entre os homens muda-se a posição relativa entre os elementos
do grupo, muda-se a roda. Assim, pelo P.F.C., existem
(PC)4 · P4 = 3! · 4! = 6 · 24 = 144 rodas de ciranda possíveis.
c) 40 caminhos
=
7!
= 35
3! . 4 !
caminhos.
Resposta correta: b
Para Fixar
|C1-H2, H3|
01. Leia a tirinha.
Menino MaluquinhoZiraldo 2009
a)
b)
c)
d)
e)
O Globo, 18/03/2009
Considere como um único conjunto as 8 crianças – 4 meninos e 4 meninas – personagens da tirinha. A partir desse
conjunto, podem-se formar n grupos, não vazios, que apresentam um número igual de meninos e de meninas.
O maior valor de n é equivalente a:
45
56
69
72
81
Universidade Aberta do Nordeste
181
|C1-H2, H5|
02.Muitos consideram a Internet como um novo continente
que transpassa fronteiras geográficas e conecta computadores dos diversos países do globo. Atualmente, para que
as informações migrem de um computador para outro,
um sistema de endereçamento denominado IPv4 (Internet
Protocol Version 4) é usado. Nesse sistema, cada endereço
é constituído por quatro campos, separados por pontos.
Cada campo, por sua vez, é um número inteiro no intervalo [0, 28 – 1]. Por exemplo, o endereço IPv4 do servidor web
da UFF é 200.20.0.21. Um novo sistema está sendo proposto:
o IPv6. Nessa nova versão, cada endereço é constituído por
oito campos e cada campo é um número inteiro no intervalo
[0, 216 – 1].
Com base nessas informações, é correto afirmar que:
a) o número de endereços diferentes no sistema IPv6 é o quádruplo do número de endereços diferentes do sistema IPv4.
b) existem exatamente 4 · (28 – 1) endereços diferentes no sistema IPv4.
c) existem exatamente 232 endereços diferentes no sistema
IPv4.
d) o número de endereços diferentes no sistema IPv6 é o dobro
do número de endereços diferentes do sistema IPv4.
e) existem exatamente (28 – 1)4 endereços diferentes no sistema
IPv4.
Fique de Olho
a mÍDIa e a meGa-seNa acUmULaDa
reais. A Caixa Econômica Federal, que administra o jogo,
sorteia seis dezenas distintas e são premiadas as apostas
que contêm 4 (quadra), 5 (quina) ou todas as 6 (sena) dezenas sorteadas. Como é difícil que alguém acerte as seis
dezenas sorteadas, o prêmio é geralmente dividido entre
poucos acertadores. Se num dado concurso ninguém
acerta as seis dezenas, o prêmio fica acumulado para o
concurso seguinte. Existem
 60resultados possíveis para
 6 
um sorteio da Mega-Sena. Esse número é maior que 50
milhões (mais precisamente, ele é igual a 50 063 860) e
creio que o leitor concordará comigo que só mesmo um
grande otimista pode acreditar que vai ganhar com uma
única aposta.
Entre todas as loterias existentes no Brasil, a Mega-Sena
é, ao menos em determinadas ocasiões, a que desperta
o maior interesse na população. Isso se deve ao fato de
as regras do jogo possibilitarem, de vez em quando, que
as quantias oferecidas como prêmio sejam bastante respeitáveis. Quando isso ocorre, formam-se filas gigantescas
nas casas lotéricas e os jornais, o rádio e a televisão fazem
matérias sobre o assunto, que tratam desde as chances de
que alguém ganhe o prêmio máximo até o que o felizardo poderá fazer com todo aquele dinheiro. Os professores
que dão aulas de Probabilidade e de Análise Combinatória
são consultados sobre o funcionamento do jogo e especialmente sobre a eventual existência de alguma estratégia que melhore as chances de vitória do apostador. Este
artigo é um relato sobre as perguntas que me fizeram e
sobre as respostas que eu fui capaz de dar.
Embora eu acredite que a maioria dos leitores assim
como eu, já tenha tentado a sorte na Mega-Sena, vamos dar uma breve descrição do jogo para atender aos
leitores que, ou por princípio, ou por serem mais inteligentes do que nós jogadores, nunca arriscaram. Para
apostar, você escolhe um mínimo de seis e um máximo
de quinze dezenas no conjunto { 01, 02,..., 60}. Cada aposta simples de seis dezenas custa dois reais e, portanto,
se você marca oito dezenas, estará concorrendo com
 8 = 28
 6
182
jogos simples e essa aposta custará cinquenta seis
As probabilidades de sucesso na Mega-Sena
A pergunta mais frequente:
1.Intuitivamente, o que significa ter uma chance em
cinquenta milhões?
Com o objetivo de fazer com que seus leitores entendam
o que significa essa probabilidade tão pequena, os jornalistas pedem que façamos comparações com a possibilidade
da ocorrência de outros eventos. É curioso que as comparações solicitadas quase sempre envolvem um evento
auspicioso (ganhar o prêmio máximo da Mega-Sena) com
tragédias tais como morrer em desastre de avião, ser atingido por um raio ou morrer de câncer. A maior dificuldade
em fazer essas comparações está no fato de que nem todos os indivíduos da população têm a mesma probabilidade de sofrer uma dessas desgraças, enquanto todos os
que apostam 6 dezenas têm a mesma chance de acertar a
Mega-Sena. Eu acredito que a maneira mais fácil de fazer
as pessoas entenderem é usando um outro exemplo puramente aleatório. O número de habitantes do Brasil é quase igual a três vezes o número de resultados possíveis do
sorteio. Se fosse realizado um sorteio de três prêmios entre
toda a população brasileira, a sua chance de ganhar um
deles seria igual à de ganhar o prêmio máximo da MegaSena com um jogo de seis dezenas.
Flávio Wagner Rodrigues. IME-USP.
Objeto do Conhecimento
Probabilidade
Probabilidade I
Probabilidade
Ao fazer o seguro de um automóvel, o corretor de seguros
traça o perfil do cliente. Automóveis cujo condutor principal é homem, tem entre 18 e 25 anos e deixa o carro fora
de estacionamento fechado têm seguro bem mais caro,
embora não seja certo, mas com esse perfil a chance de
ocorrer sinistro ou furto do veículo é considerável.
Um dado honesto foi lançado nove vezes e em todas elas
ocorreu o número 5. João apostou que, no décimo lançamento, também daria o número cinco. Embora lançado nas
mesmas condições, nada garante que João ganhará a aposta.
A necessidade de se quantificar os riscos de um seguro
e de avaliar as chances de ganhar em jogos de azar deram
origem ao ramo da Matemática que cria, desenvolve e, em
geral, pesquisa modelos que podem ser utilizados para estudar experimentos (ou fenômenos) aleatórios. Tal ramo
da Matemática recebe o nome de teoria das probabilidades. Experimentos aleatórios são experimentos que
repetidos sob as mesmas condições podem produzir, por
força do acaso, resultados diferentes.
Probabilidade é um número que mede a chance de um
evento acontecer, é um número associado a um evento.
Para a definição da probabilidade de um evento (E) qualquer do espaço amostral Ω = {a1, a2, ..., an), associaremos a
cada evento elementar {a}, um número real, indicado por
P(ai), chamado de probabilidade do evento elementar {ai},
tal que:
0 ≤ P{ai} ≤ 1, para todo i ∈ {1, 2, ..., n};
Espaço amostral e evento
Espaço amostral é o conjunto de todos os resultados
possíveis de um experimento aleatório e é indicado pela
letra grega Ω (lê-se “ômega” ). Já evento é qualquer subconjunto do espaço amostral. Por exemplo, um casal pretende ter três filhos, sendo dois homens e uma mulher.
Considerando H para filho e M para filha, temos:
I. conjunto de todos os resultados possíveis para os três
nascimentos (espaço amostral):
Ω = {(H,H,H); (H,H,M); (H,M,H); (M,H,H); (H,M,M); (M,H,M);
(M,M,H); (M,M,M)}, cujo número de elementos é n(Ω) = 8;
II. subconjunto de Ω desejado (evento):
E = {(H,H,M); (H,M,H); (M,H,H)}, cujo número de elementos é n(E) = 3.
Se no exemplo anterior o espaço amostral é equiprovável, a chance de cada evento elementar ocorrer é de uma em oito, isto é,
. Já a
chance do evento (E) ocorrer é
1
1 1 1 3
+ + =
8 8 8 88
(três
possibilidades em oito possíveis).
Intuitivamente, quando o espaço amostral é equiprovável, a probabilidade de um evento E ocorrer, P(E), é dada
pela razão entre o número de casos favoráveis e o número
de casos possíveis:
P(E ) =
n (E)
número de casos favoráveis
=
número de casos possíves
n (Ω )
n (E)
3
No exemplo citado, P(E) = n (Ω) = 8
.
Exemplo 1:
Um dado, cujas faces estão numeradas de 1 a 6, respectivamente, foi confeccionado de maneira que a probabilidade de uma face de número par ocorrer é duas vezes
mais provável que uma face de número ímpar. Determine
a probabilidade de ocorrer:
a) cada face.
b) um número primo.
Solução:
O espaço amostral desse experimento aleatório é
Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, não sendo equiprovável. Chamando
a probabilidade de cada face de número ímpar de k, a
probabilidade de cada face de número par será 2k. Daí:
I. P({1}) = P({3}) = P({5}) = k e P({2}) = P({4}) = P({6}) = 2k;
II. P({1}) + P({2}) + ... + P({6}) = 1 ⇒ 3 · k + 3 · (2k) = 1 ⇒
1
k= .
9
a) Portanto, P({1}) = P ({3}) = P({5}) = e P({2}) = P({4}) =
1
2.
9
9
b) Ocorrer número primo é o evento E = {2, 3, 5}. Daí:
P(E) = P({2}) + P({3}) + P({5}) = 2k + k + k = 4k = 4
9
Evento certo, evento impossível e
P({6})=
eventos complementares
I. O evento C, que coincide com o espaço amostral, é dito
evento certo e a sua probabilidade é igual a 1. Veja:
P ( C) =
n ( C) n
= =1 ,
n (Ω) n
ou seja, a probabilidade do evento
certo ocorrer é 100%.
II. O evento D = { } = ∅ (conjunto vazio) é dito impossível e a sua probabilidade é igual a zero, veja:
P ( D) =
n ( D) 0
= =0
n (Ω) n
, ou seja, a probabilidade do evento
impossível ocorrer é 0%.
III. Os eventos A e B, tais que A ∩ B = ∅ (a interseção é o conjunto vazio) e A ∪ B = Ω (a união é
o espaço amostral), são ditos eventos complementares e suas probabilidades são tais que
P(A) + P(B) = 1.
Universidade Aberta do Nordeste
183
Interseção de eventos independentes
União de eventos
Dois eventos A e B são ditos independentes quando o
fato de ter ocorrido um deles não alterar a probabilidade
do outro ocorrer. Em outras palavras, a probabilidade do
evento B (ou A) ocorrer é a mesma, independentemente
de B (ou A) ser tomado como subconjunto do universo Ω
ou como subconjunto do universo B. Por exemplo, se um
casal planeja ter três filhos, o evento A: “o primeiro filho é
homem” e o evento B: “o terceiro filho é mulher” são eventos independentes.
A ∩ B é o evento que ocorre se, e somente se, os eventos A e B ocorrerem simultaneamente. No exemplo anterior, A ∩ B é o evento “o primeiro filho é homem e o terceiro filho é mulher”, isto é, para ocorrer o evento A ∩ B, o
primeiro filho tem que ser homem e (e ao mesmo tempo)
o terceiro tem que ser mulher. Então, podemos calcular a
probabilidade de ocorrer A ∩ B. Veja:
Sendo A e B dois eventos de um mesmo espaço amostral Ω não vazio, A ∪ B (A união B) é o evento que ocorre
quando há ocorrência de A ou de B, isto é, quando ocorre
apenas A ou ocorre apenas B ou, ainda, ocorrem A e B ao
mesmo tempo. Temos dois casos a considerar para o cálculo da probabilidade de ocorrer A ∪ B:
1) A ∩ B = ∅.
Nesse caso, P(A ∪ B) = P(A) + P(B) e os eventos A e
B são ditos mutuamente exclusivos. Veja: Uma vez
que A e B são conjuntos disjuntos (A ∩ B = ∅), temos:
n(A ∪ B) = n(A) + n(B)
2) A ∩ B ≠ ∅.
Nesse caso, há ocorrência simultânea dos
e v e n t o s A e B e a probabilidade de
ocorrer (A ∪ B) é dada por P(A ∪ B) =
P(A) + P(B) – P(A ∩ B).Veja: Da teoria dos conjuntos, temos que:
n(A ∪ B) = n(A) + n(B) – n(A ∩ B)
Como n(Ω) ≠ 0, podemos escrever:
Note:
Ω = {(H,H,H); (H,H,M); (H, M, H); (M,H,H); (H,M,M); (M,H,M);
(M,M,H); (M,M,M)}
n (A)
4
1
A = {(H,H,H); (H,H,M); (H,M,H); (H,M,M)} ⇒ P(A) = n (Ω) = 8 = 2
n (B)
4
n (A ∪ B) n (A) n (B) n (A ∩ B)
=
+
−
⇒
n (Ω )
n (Ω ) n (Ω )
n (Ω )
1
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Ω
B = {(H,H,M); (H,M,M); (M,H,M); (M,M,M)} ⇒ P(B) = n (Ω) = 8 = 2
n (A ∩ B)
2
1
A ∩ B = {(H,H,M); (H,M,M)} ⇒ P(A ∩ B) = n (Ω) = 8 = 4
Observação:
Quando dois eventos A e B são independentes, uma outra maneira de se calcular a probabilidade deles ocorrerem simultaneamente (ou sucessivamente) é P(A ∩ B) = P(A) · P(B).
No exemplo anterior,
dependentes.
P(A) =
1
1
, P(B) =
2
2
1 1
1
Então: P(A ∩ B) = P(A) . P(B) = 2 . 2 = 4
e A e B são in.
Exemplo 1:
(Cesgranrio-Adap.) Um juiz de futebol possui três cartões no bolso. Um é todo amarelo, outro é todo vermelho e o terceiro é vermelho de um lado e amarelo do outro. Num determinado lance, o juiz retira, ao
acaso, um cartão do bolso e mostra a um jogador.
Qual a probabilidade de a face que o juiz ver ser vermelha
e de a outra face, mostrada ao jogador, ser amarela?
Solução:
Para o evento VA “escolha do cartão vermelho e
1
amarelo”, a probabilidade éP(VA) = . Uma vez es3
colhido o cartão VA, o evento B “juiz ver a face V e o
1
jogador, a face A” tem probabilidadeP(B) = . Daí,
2
1 1 1
P(VA ∩ B) = . = é a probabilidade procurada.
3 2 6
184
B
A
A
B
Exemplo 1:
Realizada uma pesquisa sobre o consumo dos refrigerantes A e B, em certo bairro de Fortaleza, constatou-se que
dentre as 240 pessoas entrevistadas, 150 consomem o refrigerante A; 80, o refrigerante B e 30 consomem os dois
refrigerantes. Com o objetivo de checar a veracidade das
informações apresentadas, quem encomendou a pesquisa escolheu, aleatoriamente, um dos entrevistados. Qual a
probabilidade da pessoa escolhida consumir a marca A ou
a marca B, segundo a pesquisa apresentada?
Solução:
Como os 240 entrevistados (n(Ω)= 240) são igualmente prováveis, temos:
I.
P(A) =
n (A)
150 5
⇒ P(A) =
=
n (Ω )
240 8
II.
P(B) =
n (B)
80 1
⇒ P(A) =
=
n (Ω)
240 3
III. P(A ∩ B) =
n (A ∩ B)
30 1
⇒ P(A ∪ B) =
=
n (Ω )
240 8
Logo, P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∪ B) ⇒ P(A ∪ B) =
5 1 1 P(A ∪ B) = 5
.
+ − ⇒
6
8 3 8
e) Uma carta com figura (J, Q ou K).
Existem 4 valetes (J), 4 damas (Q) e 4 reis (K), logo:
P(J ∪ Q ∪ K) = 12/52 = 3/13
Questão Comentada
|C7-H28|
Baralho lusófono
O baralho mais usado nos países lusófonos (de língua portuguesa) possui 52 cartas, distribuídas em 4 grupos (também chamados
de naipes), os quais possuem 13 cartas de valores diferentes. Os
nomes dos naipes em português (mas não os símbolos) são similares aos usados no baralho espanhol de quarenta cartas. São
eles espadas (♠), paus (♣), copas (♥) e ouros (♦), embora sejam
usados os símbolos franceses.
Cada naipe possui 13 cartas, sendo elas um ás (representado
pela letra A), todos os números de 2 a 10 e três figuras: o valete
(também chamado de Jorge), representado pela letra J (do inglês jack), a dama (também chamada de rainha) representada
pela letra Q (do inglês queen) e o rei, com a letra K (do inglês
king). Ao ás, geralmente, é dado o valor 1 e às figuras são dados,
respectivamente, os valores de 11, 12 e 13.
Os nomes dos naipes em espanhol, correspondentes ao baralho de 52 cartas, não têm as mesmas denominações do baralho
espanhol de 40 cartas, que são oros, copas, espadas e bastos, mas
seus correspondentes, diamantes, corazones, pique e treboles.
Alguns jogos também incorporam um par de cartas com valor especial e que nunca aparecem com naipe: os curingas (Brasil) ou
jokers (Portugal).
http://pt.wikipedia.org/wiki/Baralho
De um baralho de 52 cartas (13 de cada naipe: ♣, ♠, ♦ ou ♥),
determine a probabilidade de ser retirada:
a) um ás (A).
b uma carta de ouro.
c) um ás (A) de ouro.
d) um ás (A) ou uma carta de ouro.
e) uma carta com figura (J, Q ou K).
f) três reis em seguida, sem reposição.
g) uma carta que não seja de ouro.
h) três cartas em seguida, com reposição, e todas não serem de
ouro.
i) três cartas em seguida, com reposição, e pelo menos uma delas ser de ouro.
j) um rei (K), dado que a carta é de ouro.
k) uma carta de ouro, dado que a carta retirada é um rei (K).
Solução comentada:
a) Um ás (A).
P(A) = 4/52 = 1/13
b) Uma carta de ouro.
P(♦) = 13/52 = 1/4 = 25%
c) Um ás (A) de ouro.
Como a distribuição das cartas é uniforme, temos:
P(A ∩ ♦) = P(A) · P(♦) = 1/13 · 1/4 = 1/52
De outra forma, podemos simplesmente ver que só existe
um (A)s de ouro dentre as 52 cartas, logo:
P(A ∩ ♦) = 1/52
d)
Um ás (A) ou uma carta de ouro.
P(A ∪ ♦) = P(A) + P(♦) – P(A ∩ ♦)
P(A ∪ ♦) = 4/52 + 13/52 – 1/52 = 16/52
P(A ∪ ♦) = 4/13
f) Três reis em seguida, sem reposição.
Como as cartas retiradas não vão sendo devolvidas, a probabilidade de retirar o próximo rei vai diminuindo, ou seja:
P(K ∩ K ∩ K) = (4/52) · (3/51) · (2/50) = 1/5525
g) Uma carta que não seja de ouro.
A chance de tirar uma carta de ouro é P(♦) = 1/4 e de não
tirar é P(♦) = 1 – P(♦), ou seja:
P(♦) = 3/4
h) Três cartas em seguida, com reposição, e todas não serem de
ouro.
Como há reposição, a probabilidade de retirar uma carta que
não seja de ouro é sempre a mesma, logo:
P(♦ ∩ ♦ ∩ ♦) = (3/4) · (3/4) · (3/4) = 27/64
i) Três cartas em seguida, com reposição, e pelo menos uma
delas ser de ouro.
Como devemos tirar três cartas e pelo menos uma tem que
ser ouro, concluímos que a única coisa que não pode ocorrer
é tirar três cartas seguidas que não sejam de ouro, então a
probabilidade procurada é:
P = 1 – (3/4) · (3/4) · (3/4) = 1 – 27/64 = 37/64
j) Um rei (K), dado que a carta é de ouro.
Entre as 13 cartas de ouro, existe apenas um rei (K), logo:
P(K/♦) = P(K ∩ ♦)/P(♦) = 1/13
k) Uma carta de ouro, dado que a carta retirada é um rei (K).
Entre os 4 reis do baralho, apenas uma carta é de ouro, logo:
P(♦/K) = P(♦ ∩ K)/P(K) = 1/4
Para Fixar
|C1-H2; C7-H28|
03.Um juiz deve analisar 12 processos de reclamações trabalhistas, sendo 4 de médicos, 5 de professores e 3 de bancários.
Considere que, inicialmente, o juiz selecione aleatoriamente
um grupo de 3 processos para serem analisados. Com base
nessas informações, as chances de que, nesse grupo, pelo
menos um dos processos seja de professor é:
a) 37/44
b) 37/220 c) 185/200
d) 185/210 e) 37/88
|C7-H29|
04.Carlos sabe que Ana e Beatriz estão viajando pela Europa.
Com as informações que dispõe, ele estima corretamente
que a probabilidade de Ana estar hoje em Paris é 3/7, que
a probabilidade de Beatriz estar hoje em Paris é 2/7 e que a
probabilidade de ambas, Ana e Beatriz, estarem hoje em Paris
é 1/7. Carlos, então, recebe um telefonema de Ana informando que ela está hoje em Paris. Com a informação recebida
pelo telefonema de Ana, Carlos agora estima corretamente
que a probabilidade de Beatriz também estar hoje em Paris é
igual a:
a) 1/7
b) 1/3
c) 2/3
d) 5/7
e) 4/7
Universidade Aberta do Nordeste
185
Fique de Olho
Os DoIs boDes
Em um programa de televisão, o candidato é solicitado a
escolher uma entre três portas fechadas. Atrás de uma delas, há um prêmio, mais precisamente um carro, e atrás de
cada uma das outras duas, há um bode. Se você está pensando que esse é um programa dominical de alguma estação de televisão brasileira, vamos logo avisando que está
enganado, trata-se de um programa de televisão italiana.
Depois de o candidato ter escolhido a porta que deseja, mas antes de abrí-la, o animador do programa, que sabe
onde estão os bodes, abre uma das portas que não foram
escolhidas e mostra que há um bode atrás dela.
É claro que ele sempre pode fazer isso, pois, se atrás
da porta que o candidato escolheu há um bode, ainda há
outro bode atrás de uma das outras portas e, se atrás da
porta escolhida pelo candidato estiver o prêmio, atrás das
outras portas há bodes e , nesse caso, o animador escolhe
ao acaso uma dessas portas para abrir.
Então, nesse momento, o candidato está com a mão
na maçaneta de uma porta fechada, rezando para que ali
esteja o carro; há uma outra porta fechada e há uma porta
aberta que mostra um bode. Aí então se faz uma crueldade com o candidato. O animador pergunta ao candidato
se ele deseja trocar a porta que ele havia escolhido pela
outra porta que ainda permanece fechada.
O que você acha que o candidato deve fazer visando
maximizar a probabilidade de ganhar o carro? Você acha
que ele deve permanecer com a porta que escolhera inicialmente, deve trocar de porta, ou tanto faz?
Convidamos você a pensar um pouco mais.
Fizemos então uma simulação. No computador, realizamos uma série de 1000 experiências, arrumando os bodes
ao acaso e fazendo com que o animador, no caso de haver
dois bodes nas portas não escolhidas pelo candidato, selecionasse ao acaso a porta para abrir. Determinamos então
Objeto do Conhecimento
quantas vezes o candidato ganharia o prêmio se adotasse a estratégia de sempre trocar de porta. A resposta, para
surpresa de muitos, foi 667, o que fez com que o grupo do
“deve trocar” exclamasse “não disse?”
Chamemos os bodes de A e B e chamemos o carro de
C. A árvore de probabilidades a seguir mostra, no primeiro estágio, a escolha inicial do candidato e, no segundo, o
bode exibido pelo animador. O terceiro estágio mostra a
segunda escolha do candidato.
A
1
B
1/3
B
1
1/2
A
C
1/2
A
1/6
(1)
C
1/6
(2)
1/2
B
1/6
(3)
1/2
C
1/6
(4)
1/2
B
1/12
(5)
1/2
C
1/12
(6)
1/2
A
1/12
(7)
1/2
C
1/12
(8)
A
1/3
1/3
1/2
1/2
B
Observe que o candidato ganha trocando de porta
2.
O candidato ganha sem trocar de porta nos casos (6) e (8),
6
com probabilidade igual a 1 .
Logo, a probabilidade de ganhar trocando de porta é
6
o dobro da probabilidade de ganhar sem trocar. Então, a
nos casos (2) e (4), portanto, com probabilidade igual a
melhor estratégia é sempre trocar de porta!
A árvore mostra também que, depois de exibido o
bode, a probabilidade de ganhar o o carro é igual a ,
1
soma das probabilidades dos casos (2), (4), (6) e (8). A pro2
babilidade de ganhar o carro antes de ser exibido o bode
é igual a
1.
3
Estatística
A Estatística é uma área do conhecimento que utiliza teorias probabilísticas para explicação de eventos, estudos
e experimentos. Tem por objetivo obter, organizar e analisar dados, determinar as correlações que apresentem,
tirando delas suas consequências para descrição e explicação do que passou e previsão e organização do futuro.
A Estatística é também uma ciência e prática de desenvolvimento de conhecimento humano através do uso de
dados empíricos. Baseia-se na teoria estatística, um ramo
da Matemática aplicada. Na teoria estatística, a aleatoriedade e incerteza são modeladas pela teoria da probabilidade. Algumas práticas estatísticas incluem, por exemplo,
o planejamento, a sumarização e a interpretação de observações, porque o objetivo da Estatística é a produção da
“melhor” informação possível a partir dos dados disponíveis. Alguns autores sugerem que a Estatística é um ramo
da teoria da decisão.
186
Estuda-se Estatística para aplicar seus conceitos como
auxílio nas tomadas de decisão diante de incertezas, justificando cientificamente as decisões. Os princípios estatísticos são utilizados em uma grande variedade de situações
– no governo, nos negócios e na indústria, bem como no
âmbito da ciências sociais, biológicas e físicas. A Estatística
presta-se a aplicações operacionais e de pesquisas, sendo
efetiva não só em experimentos de laboratório, mas também em estudos fora dele.
A Estatística compreende o planejamento e a execução de pesquisas, a descrição e a análise dos resultados
e a formulação de predições com base nesses resultados.
Estatística é o campo do conhecimento científico
que trata da coleta e análise de dados com o fim de se
obter conclusões para tomada de decisões.
A Estatística pode ser dividida em:
• Estatística Descritiva ou Dedutiva;
• Inferência Estatística ou Indutiva.
Obtemos, assim, o seguinte quadro de frequências:
fi
fr (%)
Classe
Velocidade(km/h)
Tipos de Variáveis
Algumas variáveis como sexo, grau de instrução e estado
civil apresentam como possíveis realizações uma qualidade (ou atributo) do indivíduo pesquisado. São denominadas de Variáveis Qualitativas. Outras variáveis tais como
tempo na empresa, idade e salário apresentam como possíveis valores, números resultantes de uma contagem ou
mensuração. Estas são chamadas Variáveis Quantitativas.
Classificação das variáveis
em Estatística
Nominais
Exemplos:
– sexo;
– cor;
– religião.
Quantitativas
(numéricas)
Ordinais
Exemplos:
– grau de
instrução;
– status
social.
[50, 60[
3
6
2
[60, 70[
6
12
3
[70, 80[
8
16
4
[80, 90[
7
14
5
[90, 100[
8
16
6
[100, 110[
7
14
7
[110, 120[
4
8
8
[120, 130[
7
14
50
100%
Total
Variáveis
Qualitativas
(atributos)
1
Discretas
Contínuas
Exemplos:
– nº de funcionários;
– quantidade
de alunos.
Exemplos:
– peso;
– altura;
– salário.
Distribuição de frequências
com dados agrupados
Um radar, instalado num trecho de uma rodovia, registrou
as velocidades de 50 veículos. As velocidades, em quilômetros por hora, estão indicadas neste quadro:
123
95
123
81
123
60
72
86
108
109
84
121
60
128
77
91
51
100
63
104
107
63
117
116
69
116
82
95
72
94
84
123
52
90
100
79
101
98
110
79
92
73
83
74
125
56
86
98
76
Se tentássemos elaborar o quadro de distribuição de
frequências utilizando esses dados, pouco ou nada po­
deríamos concluir, pois eles são muito diferentes. Nesses
casos, é interessante agrupá-Ios em classes ou interva­
los, escolhendo-se convenientemente a amplitude dos
intervalos.
No exemplo, podemos agrupar as velocidades em in­
tervalos de amplitude 10. Como o menor valor é 51 km/h,
a primeira classe será [50, 60[.
• 7 veículos com velocidade no intervalo [100, 110[
• 4 veículos com velocidade no intervalo [110, 120[
• 7 veículos com velocidade no intervalo [120, 130[
18 veículos foram multados
Observação:
O ponto que divide o intervalo de classe em duas partes iguais é denominado ponto médio do intervalo.
Por exemplo, a velocidade dos veículos na classe 5 [90,
100[ pode ser representada por:
x5 =
90 + 100
= 95 km / h
2
O intervalo real [a, b[ também é representado, em Estatística, pela notação a b.
⊥
62
A velocidade máxima permitida no referido trecho da
estrada é 90 km/h. Como há uma tolerância de 10 km/h, os
veículos só serão multados a partir de 100 km/h. Quantos
por cento desses veículos foram multados?
Observando o quadro, temos:
Histograma de frequências
Quando se trata da representação gráfica de distribuição de frequências com dados agrupados, vamos utilizar
um novo tipo de gráfico, denominado histograma de
frequências absolutas.
Histograma é um gráfico formado por um conjunto
de colunas retangulares. No eixo das abscissas, marcamos
as classes, cujas amplitudes correspondem às bases dos
retângulos. No eixo das ordenadas, marcamos as frequências abso­lutas, que correspondem às alturas dos retângulos. Os pontos médios das bases dos retângulos coincidem
com os pontos médios dos intervalos das classes.
Considerando a distribuição de frequências das velocidades do exemplo anterior, dos 50 veículos examinados
na rodovia, temos:
Universidade Aberta do Nordeste
187
Observe
que f
sobre cada um dos
intervalos foi construído um retângulo de área proporcional à frequência
absoluta respectiva.
i
8
7
6
50
60
70
80
90
100
110
120
130
Velocidade (km/h)
Essa média é conhecida como média aritmética ponderada e o número de vezes que o salário se repete é
denomi­nado peso.
A média aritmética ponderada facilita o cálculo de médias quando há valores que se repetem várias vezes. Nesse caso, multiplicamos os valores pelo número de vezes
(peso) que eles ocorrem.
n
Média aritmética
Acompanhe a situação a seguir.
Uma livraria vende a seguinte quantidade de livros de
literatura durante uma certa semana:
Segunda
Terça
Quarta
Quinta
Sexta
Sábado
28
23
22
27
25
13
Qual foi a média diária de livros vendidos durante essa
semana?
Para resolver esse problema, devemos fazer:
28 + 23 + 22 + 27 + 25 + 13 138
=
= 23 .
6
6
O número 23 é chamado média aritmética dos números 28, 23, 22, 27, 25 e 13.
Isso significa que, se a venda diária dessa semana fosse
sempre a mesma, ou seja, 23 livros por dia, obteríamos o
mesmo total de livros vendidos: 138.
Assim, na quarta e no sábado, a venda da livraria foi
abaixo da média, enquanto na segunda, quinta e sexta
foi acima da média.
Média aritmética (x) dos valores x1, x2, x3, ..., xn é o quociente entre a soma desses valores e o seu número total n:
x=
x1 + x 2 + x 3 + ... + x n
n
Média aritmética ponderada
A tabela a seguir mostra a distribuição dos salários de uma
empresa.
Salário (em R$)
Número de funcionários
600
12
900
7
1.200
5
1.800
6
4.500
8
Total
38
Qual a média salarial dos funcionários dessa empresa?
Observando a tabela, a média salarial desses funcionários pode ser calculada da seguinte forma:
600 . 12 + 900 . 7 + 1.200 . 5 + 1.800 . 6 + 4.500 . 8
=
12 + 7 + 5 + 6 + 8
66.300, 00
@ 1.744, 73
=
38
x=
Portanto, a média salarial dos funcionários dessa empresa é R$ 1.744,73.
188
x=
x1f1 + x 2 f 2 + ... + x n f n
ou x =
f1 + f 2 + ... + f n
i= 1
n
i i
∑f
i= 1
i
Mediana (Md)
As nove classes de 3ª série do ensino médio de uma escola têm, respectivamente: 37, 28, 40, 41, 45, 37, 37, 41 e 44
alunos.
Colocando esses dados em ordem crescente:
28, 37, 37, 37,
↓
4 valores
40,
41, 41, 44, 45,
↓
↓
4 valores
mediana
A distribuição tem um número ímpar (9) de dados. Há
quatro valores à esquerda de 40 e quatro valores à direita
de 40. Dizemos que o valor central dessa distribuição, 40,
é a mediana.
Indicamos:
Md = 40
O valor que ocupa a posição central de um conjunto
de valores, colocados em ordem crescente ou decrescente de grandeza, é chamado mediana.
E se o conjunto tiver um número par de elementos?
Aí a história é outra. Vejamos. Se nosso conjunto for o seguinte:
{10, 20, 30, 40, 50, 60}
Quantos elementos há? Seis elementos. Temos, pois:
n = 6. Um número par de elementos! Sempre que isso
ocorrer, ou seja, sempre que houver um número par de
elementos no conjunto, significa que haverá duas posições centrais!
Estas posições centrais poderão ser encontradas da seguinte forma:
⇒ 1ª Posição Central: (n/2)
⇒ 2ª Posição Central: a vizinha posterior.
Nesse caso, em que n = 6, teremos:
⇒ 1ª Posição Central: (n/2) = 6/2 = 3ª Posição!
⇒ 2ª Posição Central: a vizinha posterior = 4ª Posição!
As duas posições centrais estão, portanto, identificadas. Resta descobrir quais são os dois elementos que as
ocupam e vejam o que será feito para calcularmos a mediana. Teremos:
{10, 20, 30, 40, 50, 60}
4ª Posição ⇒ 40
123
Medidas de tendência central
∑x f
3ª Posição ⇒ 30
Md = (30 + 40) /2
Md = 35
Ou seja, se n é um número par, descobriremos quais
são os dois elementos que ocupam as duas posições centrais, somaremos esses elementos e dividiremos o resultado desta soma por dois. Assim, chegaremos à mediana
do conjunto! Esse valor 35 não é um dos elementos! E, no
entanto, é a mediana!
Moda (Mo)
Feita uma pesquisa para saber o número de irmãos que
cada um dos 30 alunos de uma classe possui, obteve-se o
seguinte quadro:
0, 2, 3, 2, 1, 2, 2, 1, 1, 2, 1, 2, 0, 1, 2, 0, 2, 2, 3, 4, 2,
2, 3, 1, 3, 2, 5, 2, 4, 4
Desvio médio (dm)
Vamos considerar o quadro seguinte, que nos mostra as
notas de Matemática de um aluno durante um ano letivo:
Bimestre
1º
2º
3º
4º
Notas
5
8
6
9
Vamos calcular a média aritmética desse aluno:
x=
5 + 8 + 6 + 9 28
=
=7
4
4
Calculemos, agora, as diferenças entre cada uma das
notas e a média. Essas diferenças são chamadas desvios
(x − x)
para a média
:
x
−
x
=
5
−
7
=
−2
• 1
• x 3 − x = 6 − 7 = −1
• x 2 − x = 8 − 7 = 1 • x 4 − x = 9 − 7 = 2
i
Fazendo a contagem, obtemos a tabela:
Número de irmãos
Frequência absoluta
0
3
1
6
2
13
3
4
4
3
5
1
A média aritmética dos valores absolutos dos desvios
para a média é uma medida de dispersão chamada
desvio médio, que se indica por dm.
n
dm =
dm =
Observe que o número de irmãos varia entre 0 e 5 e
o número que aparece mais vezes é o 2, isto é, 13 alunos
têm 2 irmãos. Dizemos que 2 é a moda desse conjunto de
valores e indicamos:
Mo = 2
∑x
i =1
i
−x
n
x1 − x + x 2 − x + x 3 − x + x 4 − x
4
Va =
Moda de um conjunto de valores é o valor que aparece um maior número de vezes, ou seja, é o valor de
maior frequência absoluta.
∑ f (x
i= 1
i
i
− x )2
n
∑f
i= 1
i
No mesmo exemplo:
Classe
Notas
Moda
3º A
4, 5, 6, 7, 8, 8, 9
8
3º B
3, 5, 6, 6, 7, 7, 9
6e7
3º C
3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10
não tem
(x
1
−x
)
(x
2
−x
2
)
2
= ( −2) 2 = 4
= (1) 2 = 1
Va =
(x
Para caracterizar um conjunto de dados em Estatística,
nem sempre são suficientes a média, a moda e a mediana.
Em alguns casos, temos de recorrer a outros parâmetros, que são chamados medidas de dispersão. Vamos
estudar três dessas medidas: desvio médio, variância e
desvio padrão.
3
(x
4
−x
)
−x
2
)
2
= ( −1) 2 = 1
= (2) 2 = 4
4 + 1 + 1 + 4 10
=
= 2, 5
4
4
Desvio padrão (s)
A raiz quadrada da variância chama-se desvio padrão do
conjunto de dados, valor que representamos por s.
s=
Medidas de dispersão
−2 + 1 + −1 + 2 6
= = 1, 5
4
4
Variância (Va)
O valor que corresponde à média aritmética dos quadrados dos desvios em relação à média recebe o nome de
variância, valor esse que se indica por Va.
n
Um conjunto de valores pode ter uma só moda, duas
modas, três modas etc., ou nenhuma moda. Para ilustrar,
observe as notas de recuperação em Português obtidas
por três classes de uma escola e suas respectivas modas:
=
Va
No mesmo exemplo:
s = 2, 5 = 1, 58
Então, para as notas do aluno considerado, temos:
• média aritmética: x = 7 • variância: Va = 2,5
• desvio médio: dm = 1,5 • desvio padrão: s = 1,58
Universidade Aberta do Nordeste
189
200
Questão Comentada
mudança desde 1948 (%)
150
|C7-H27|
Numa avenida de trânsito rápido, a velocidade dos veículos, em
certo trecho e em dado horário, foi observada e está apresentada
no quadro abaixo.
Frequência (número de carros)
50
60
60
70
20
70
80
45
80
90
30
90
⊥ ⊥ ⊥ ⊥ ⊥
10
100
5
Total
110
custos de
material
75
50
despesas
de capital
25
uso da terra
0
-25
custos de mão de obra
-50
-75
1950 1960 1970 1980
1990 2000
ano
Scientific American Brasil, jun/2007, p. 19 (com adaptações).
Para diminuir o número de acidentes nesse local, a Companhia de Engenharia de Tráfego (CET) estabeleceu um limite
de velocidade a essa avenida igual à média da velocidade
dos carros observada. Para controle, irá instalar um radar que
é acionado quando a velocidade do veículo chega a 10% acima da velocidade-limite. A velocidade de acionamento do
radar será de:
a) 60,5 km/h b) 65 km/h c) 75 km/h
d) 82,5 km/h e) 85 km/h
Solução comentada:
Construindo a tabela temos:
Frequência
Velocidade
(fi) – núme(km/h)
ro de carros
125
100
PM (Ponto
Médio )
PM × fi
50
60
55
550
60
70
20
65
1300
70
80
45
75
3375
80
90
85
85
2550
90
⊥ ⊥ ⊥ ⊥ ⊥
10
100
95
95
475
Total
110
8.250
Logo:
Σ fi(PM )
8.250
x=
⇒ x=
⇒ x = 75 km/h
n
110
Logo, a velocidade de acionamento do radar será de
(100% + 10%) de 75 km/h, isto é 82,5 km/h.
a)
b)
c)
d)
e)
Com base nas informações anteriores, pode-se considerar
fator relevante para o aumento da produtividade na agricultura estadunidense, no período de 1948 a 2004:
o aumento do uso da terra.
a redução dos custos de material.
a redução do uso de agrotóxicos.
o aumento da oferta de empregos.
o aumento do uso de tecnologias.
|C7-H28|
Valores dos aluguéis verão/2008
06.O gráfico ao lado
60
apresenta os valores
50
50
46
42
de 50 aluguéis em
40
29
30
uma região praiana,
19
20
11
10 4
no verão de 2008, uti0
lizando frequências
517
530
543
556
569
582
595
absolutas acumulaValor do aluguel em reais
das crescentes.
Fazendo a leitura do gráfico, é correto afirmar que:
a) 19 dos valores dos aluguéis coletados é de R$ 543,00.
b) 21 dos valores dos aluguéis coletados são maiores ou iguais
a R$ 543,00 e menores que R$ 569,00.
c) 29 dos valores dos aluguéis coletados são maiores ou iguais
a R$ 517,00 e menores que R$ 569,00.
d) 46 dos valores dos aluguéis coletados são maiores ou iguais
a R$ 582,00 e menores que R$ 595,00.
e) 34 dos valores dos aluguéis coletados são maiores ou iguais
a R$ 517,00 e menores que R$ 543,00.
Freq. abs.acum. CTE
Velocidade (km/h)
produtividade total
da agricultura
dos EUA
175
Exercitando para o Enem
|C1-H2|
01.Observe a tirinha de quadrinhos a seguir.
CEBOLINHA! QUER
PARAR DE TORCER
PRA MÔNICA?
Resposta correta: d
Para Fixar
Copyriht ã1999 Mauricio de Sousa Produções Ltda. Todos os direitos reservados
|C7-H29, H30|
05.Leia o texto.
AUmeNto De proDUtIvIDaDe
Nos últimos 60 anos, verificou-se grande aumento da produtividade agrícola nos Estados Unidos da América (EUA).
Isso se deveu a diversos fatores, tais como expansão do uso
de fertilizantes e pesticidas, biotecnologia e maquinário especializado. O gráfico abaixo apresenta dados referentes à
agricultura desse país, no período compreendido entre 1948
e 2004.
190
5445
A Mônica desafia seus amigos, numa brincadeira de “cabo
de guerra”.
Supondo que a posição da Mônica pode ser substituída por
qualquer um de seus amigos e que ela pode ocupar o outro
lado, junto com os demais, mantendo-se em qualquer posição, o número de maneiras distintas que podem ocorrer,
nessa brincadeira, será igual a:
a) 60 b) 150
c) 600
d) 120 e) 200
|C1-H3|
02.Uma rede é formada de triângulos
equiláteros congruentes, conforme
a representação ao lado.
Uma formiga se desloca do ponto A
para o ponto B sobre os lados dos
triângulos, percorrendo X caminhos
distintos, cujos comprimentos totais são todos iguais a d.
Sabendo que d corresponde ao menor valor possível para os
comprimentos desses caminhos, X equivale a:
a) 20 b) 15 c) 12
d) 10 e) 25
1
4
7
2
5
8
3
6
9
10
1
4
7
2
5
8
3
6
9
10
IESDE Brasil S.A.
IESDE Brasil S.A.
Entre 1969 e 1990, dois desses algarismos foram trocados por
letras quaisquer. Nesse período, o emplaca- AM-MANAUS
mento era de responsabilidade estadual e,
ZD-9834
portanto, a mesma placa mostrada a seguir
podia existir em vários estados.
IESDE Brasil S.A.
A partir de 1990, foram mantidos os quatro algarismos e foi
acrescentada uma letra. A partir de então, RS-PORTO ALEGRE
o sistema de emplacamento passou a ser
nacional, de forma que, atualmente, não IIY-0082
existem duas placas iguais em todo o país.
|C7-H29|
06.A roleta, considerada um jogo de azar, é proibida no Brasil.
Nesse jogo, a probabilidade de se ganhar é sempre menor
que a probabilidade de perder. Assim, o jogador terá uma
tendência natural de continuar jogando para tentar recuperar as perdas, podendo desenvolver um vício.
Nesse jogo, os números que podem ser sorteados vão de 0 a
36, como é possível verificar na figura a seguir.
0
2
5
8
11
14
17
20
23
26
29
32
35
0
1st 12
LONDRINA PR
14 63 47
e)
1 to 18 19 to 36
Entre 1941 e 1969, elas possuíam 6 algarismos quaisquer, mas nenhuma letra.
d)
2nd 12
|C7-H30|
05.As placas que são utilizadas nos carros registrados no Brasil
sofreram algumas alterações no século passado:
Entre 1901 e 1941, cada município era responsável por expedir as placas de seus automóveis, havendo, portanto, muitas
placas idênticas ao longo de todo território nacional.
c)
3rd 12
|C7-H28|
04.Marco estuda em uma universidade na qual, entre as moças
de cabelos loiros, 18 possuem olhos azuis e 8 possuem olhos
castanhos; entre as moças de cabelos pretos, 9 possuem
olhos azuis e 9 possuem olhos castanhos; entre as moças de
cabelos ruivos, 4 possuem olhos azuis e 2 possuem olhos castanhos. Marisa seleciona aleatoriamente uma dessas moças
para apresentar para seu amigo Marco. Ao encontrar com
Marco, Marisa informa que a moça selecionada possui olhos
castanhos. Com essa informação, Marco conclui que a probabilidade de a moça possuir cabelos loiros ou ruivos é igual a:
a) 0
b) 10/19 c) 19/50
d) 10/50 e) 19/31
b)
PAR ÍMPAR
|C1-H3|
03.Um cofre eletrônico possui um painel com dez teclas numéricas e pode ser aberto por meio da digitação, em qualquer
ordem, de três teclas distintas dentre seis habilitadas previamente pelo fabricante.
Considere n o número máximo de conjuntos distintos de três
teclas que abrem o cofre.
Na figura em destaque, as teclas
azuis representam as habilitadas
previamente.
Se o fabricante reduzisse para cinco o número de teclas habilitadas, haveria entre elas um total
de m conjuntos distintos de três teclas distintas para abrir o
cofre.
Calcule o valor de n – m.
a) 10
b) 15
c) 20
d) 25
e) 30
a)
Sabendo-se que a frota atual de carros no Brasil é de aproximadamente 50 milhões de veículos, a respeito dos diversos
sistemas de placas que já foram adotados no país, é correto
afirmar que:
o sistema adotado entre 1941 e 1969 poderia ser usado atualmente para colocar, em cada carro do Brasil, uma placa diferente.
o sistema atual jamais terá que ser trocado, mesmo que placas usadas para carros que não estão mais em circulação pudessem ser reutilizadas, em carros novos.
o sistema adotado entre 1969 e 1990 não poderia ser usado
atualmente para colocar, em cada carro do Brasil, uma placa
diferente.
o sistema atual permite que sejam geradas pouco menos de
100 milhões de placas distintas, sendo mais do que suficiente
para a frota brasileira.
o sistema adotado entre 1969 e 1990 permitia que fossem
geradas mais de 10 milhões de placas distintas.
1
4
7
10
13
16
19
22
25
28
31
34
3
6
9
12
15
18
21
24
27
30
33
36
Existem vários tipos de apostas que os jogadores podem fazer nesse tipo de jogo, mas a preferida normalmente é aquela
em que se aposta em determinado número, concentrandose fichas na escolha feita.
Depois que a roleta é posta a girar, após alguns segundos,
uma bolinha cai e para no espaço relativo a um determinado
número. Esse é o número sorteado naquela rodada. O responsável por comandar o jogo observa o tabuleiro e vê se
alguém colocou fichas naquele número. Em caso afirmativo,
paga para esse apostador 36 vezes o valor de sua aposta (a
própria aposta e mais 35 vezes o valor dela). Com base nessas
informações, assinale a alternativa correta.
a) Quanto maior o valor apostado por um jogador, maior a
chance que ele tem de perder a rodada.
b) Quanto maior o valor apostado por um jogador, maior a
chance que ele tem de ganhar a rodada.
c) Analisando exclusivamente pelo ponto de vista das probabilidades, a proibição da roleta é uma decisão acertada, pois a
1.
37for colocada exatamente
Se em todos os números do tabuleiro
chance de o jogador ganhar é de
d)
uma ficha, nesse caso, o cassino não ganha nem perde.
e) Se um jogador aposta sempre em um mesmo número, aumentam suas chances de obter lucro após várias rodadas.
Universidade Aberta do Nordeste
191
|C7-H28|
07.Um agricultor deseja fazer a colheita de sua produção. Para
tal, ele realiza uma consulta sobre a previsão do tempo nos
próximos 4 dias, pois ele sabe que a colheita demora um prazo de 3 dias para ser completamente realizada e tem que ser
feita sem interrupção e sem chuva na maior parte do tempo.
Segundo estudos agronômicos, se a probabilidade de não
chover ao longo dos 3 dias for maior que 30%, vale a pena iniciar a colheita. Se for menor que 20%, não vale a pena iniciar
a colheita. Se estiver entre esses dois valores, pode-se realizar
a colheita, mas aconselha-se que ela seja agilizada e termine
em apenas 2 dias consecutivos.
a)
b)
c)
d)
e)
Fazendo a leitura da tabela, é incorreto afirmar que:
o valor de A é 8.
o valor de B é 23.
o valor de C é 25.
75% dos alunos têm menos de 26 anos.
16 alunos têm menos que 24 anos.
|C7-H27|
09. Observe o gráfico.
Taxa Média de Desocupação (%)
9,8
A tabela a seguir mostra a probabilidade de chuva no período consultado.
Dia
1
30%
2
50%
3
40%
c)
d)
e)
10,1 10,1 10,1
9,7
9,5 9,5
9,3
9,0
8,7
8,4
Probabilidade de chover
4
a)
b)
9,9
9,5
8,2
10/06 11 12 01/07 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11/07
IbGe, Diretoria de Pesquisas, Coordenação de Trabalho e Rendimento.
Pesquisa Mensal de Emprego.
60%
Considere os eventos citados como independentes. Para tentar maximizar sua chance de sucesso na colheita, esse agricultor deve:
realizar a colheita nos 3 primeiros dias do período consultado.
realizar a colheita nos 2 últimos dias do período consultado
ou esperar outra ocasião melhor.
realizar a colheita nos 2 primeiros dias do período consultado
ou esperar outra ocasião melhor.
realizar a colheita nos 3 últimos dias do período consultado.
deixar para realizar a colheita em outra ocasião.
|C7-H27|
08. A tabela a seguir apresenta as idades dos alunos de Estatística I
de certa faculdade.
a)
b)
c)
d)
e)
Com base no gráfico apresentado, pode-se afirmar que:
a média arirmética é igual a 9,4 e a moda é igual a 9,4.
a média aritmética é igual a 9,4 e a moda é igual a 8,4.
a média aritmética é igual a 9,2 e a moda é igual a 9,4.
a média aritmética é igual a 9,4 e a moda é igual a 10,1.
a média aritmética é igual a 9,0 e a moda é igual a 9,5.
|C7-H27, H30|
10. Veja abaixo uma amostra de 5 tempos (em minutos) de fabricação de certa peça por três equipamentos diferentes:
Equipamento A: 10, 11, 9, 10, 10
Equipamento B: 11, 11, 10, 10, 8
Equipamento C: 7, 8, 8, 8, 9
f
Fc
fr%
18 20
4
4
14,3
20 22
⊥
4
8
14,3
22 24
⊥
A
16
28,6
24 26
⊥
5
B
17,8
01
02
03
04
05
06
26 28
7
28
C
c
c
a
b
e
c
⊥
Valores
⊥
a)
b)
c)
d)
e)
Utilizando a principal medida de variação, verifique qual o equipamento mais irregular.
Equipamento A.
Equipamento B.
Equipamento C.
Os equipamentos A e B têm a mesma regularidade.
Todos têm a mesma regularidade.
Considere: f a frequência simples absoluta;
Fc a frequência acumulada crescente;
fr % a frequência simples relativa.
Para Fixar
Exercitando para o Enem
01
02
03
04
05
06
07
08
09
10
d
b
a
b
c
c
c
b
d
b
Atenção!! Inscreva-se já e tenha acesso a outros materiais sobre
o Enem no www.fdr.com.br/enem2011
Expediente
ISBN 978-85-7529-512-0
Presidente: Luciana Dummar
Coordenação da Universidade Aberta do Nordeste: Sérgio Falcão
Coordenação do Curso: Fernanda Denardin e Marcelo Pena
Coordenação Editorial: Sara Rebeca Aguiar
Coordenação Acadêmico-Administrativa: Ana Paula Costa Salmin
Coordenação de Design Gráfico: Deglaucy Jorge Teixeira
Apoio
Parceria
Projeto Gráfico: Dhara Sena e Suzana Paz
Capa: Suzana Paz
Editoração Eletrônica: Antônio Nailton
Ilustrações: Aldenir Barbosa, Caio Menescal e João Lima
Revisão: Maria Sárvia, Rosana Nunes e Sara Rebeca Aguiar
Realização
Promoção