Integrais Impróprios
Extendem a noção de integral a intervalos não limitados e/ou funções
não limitadas.
Os integrais impróprios podem ser dos seguintes tipos:
integrais impróprios de 1 a espécie v quando os limites de
integração são infinitos, isto é, quando o intervalo de
integração não é limitado;
integrais impróprios de 2 a espécie v quando a função
integranda é não limitada no intervalo de integração (mas este
é limitado);
Quando possuem situações dos dois tipos anteriores dizem-se
integrais impróprios mistos.
Integrais Impróprios de 1 a espécie
Definição: Seja f uma função integrável em todo o subintervalo
fechado e limitado de ¡a, .¡ (isto é, todo ¡a, *¢, com * u a).
Chama-se integral impróprio da função f em ¡a, .¡ a
;a
.
fŸx dx lim
*v.
; a fŸx dx.
*
Caso o limite exista e seja finito, diz-se que o integral
.
impróprio ; fŸx dx é convergente, sendo esse o seu valor.
a
Caso contrário, isto é, se o limite não existir ou não for finito,
diz-se que o integral impróprio é divergente.
Observação: Nas condições da definição anterior, ; fŸx dx é
a
simplesmente lim FŸ* , sendo F o integral indefinido de f.
.
*v.
Exemplo importante:
;1
.
.
; 1
1
xk
1 dx
xk
dx é
v Integral de Dirichlet
divergente, se k t 1
convergente, se k 1
Analogamente:
Definição: Seja f uma função integrável em todo o subintervalo
fechado e limitado de ¢"., b¢ (isto é, todo ¡), b¢, com ) t b).
Chama-se integral impróprio da função f em ¢"., b¢ a
lim ; fŸx dx.
; ". fŸx dx )v".
)
b
b
Caso o limite exista e seja finito, diz-se que o integral
b
impróprio ; fŸx dx é convergente.
".
Caso contrário, isto é, se o limite não existir ou não for finito,
diz-se que o integral impróprio é divergente.
Definição: Seja f uma função integrável em todo o intervalo
fechado e limitado de R. Diz-se que o integral impróprio
; ". fŸx dx
.
é convergente se, para algum c R, forem convergentes ambos
os integrais impróprios
; ". fŸx dx
c
Nesse caso,
; ".
.
fŸx dx e
; ".
c
;c
.
fŸx dx.
fŸx dx ;
.
fŸx dx.
c
Se algum dos integrais impróprios ; fŸx dx ou ; fŸx dx for
c
".
.
divergente, ; fŸx dx é divergente.
.
c
".
Nota 1: Nunca se trabalha com dois problemas num integral
impróprio; parte-se de modo a termos um problema por integral.
Nota 2: Se ambos os integrais ; fŸx dx e ; fŸx dx forem
c
. ".
divergentes, por definição, ; fŸx dx é divergente.
.
c
".
Nota 3: É fácil verificar que a convergência ou divergência de
.
; ". fŸx dx, bem como o seu valor, é independente do valor c
considerado.
Nota 4: ;
De facto,
.
".
fŸx dx não pode ser estudado por lim ; fŸx dx.
)
)v.
")
; ". fŸx dx lim ; ) fŸx dx lim ; c fŸx dx.
.
*
c
)v".
*v.
Integrais Impróprios de 2 a espécie
Definição: Seja f uma função integrável em todo o subintervalo
fechado e limitado de ¡a, b¡ (isto é, em todo ¡a, *¢ ’ ¡a, b¡ e
não limitada em ¡a, b¡.
Chama-se integral impróprio da função f em ¡a, b¡ a
;a
b
fŸx dx lim"
*vb
; a fŸx dx
*
Caso o limite exista e seja finito, diz-se que o integral
b
impróprio ; fŸx dx é convergente.
a
Caso contrário, isto é, se o limite não existir ou não for finito,
diz-se que o integral impróprio é divergente.
Define-se de maneira análoga ; fŸx dx quando o problema se
a
verifica em a, limite inferior de integração:
b
; a fŸx dx )vlima ; ) fŸx dx.
b
b
Exemplo:
;
1 1
0 xk
divergente, se k u 1
dx é
uuu
convergente, se k 1
uuu
Mantém-se a regra de termos apenas um problema por integral e
sempre num extremo:
Se o problema é em c pertencente ao interior do
intervalo ¡a, b¢,
; a fŸx dx ; a fŸx dx ; c fŸx dx.
b
c
b
sendo convergente sse ambos o forem (sendo o seu valor a
soma).
Se o problema é em ambos os extremos,
; a fŸx dx ; a fŸx dx ; d fŸx dx,
b
d
b
com d ¢a, b¡, sendo convergente sse ambos o forem (sendo o
seu valor a soma).
Integrais Impróprios mistos
Se o integral impróprio for misto, ou seja, se o intervalo for
ilimitado e a função for ilimitada nesse intervalo, aplica-se o
raciocínio anterior de modo a termos sempre um problema por
integral e sempre num extremo.
O integral impróprio misto é convergente sse todos os
integrais impróprios em que foi decomposto o forem (e o seu
valor será a soma do valor desses integrais).
Se algum dos integrais impróprios em que foi decomposto for
divergente, o integral impróprio misto é divergente.
Propriedades algébricas
Proposição: Se f e g são funções integráveis em todo o
intervalo ¡a, *¢, com * u a, então:
1. se ;
fŸx dx e ; gŸx dx são convergentes, tem-se que
a
a
.
; ŸfŸx gŸx dx é convergente e
.
.
a
;a
.
ŸfŸx gŸx dx ;a
.
fŸx dx ;
.
gŸx dx;
a
2. se ; fŸx dx é convergente e c R, tem-se que ; ŸcfŸx dx
a
a
é convergente e
.
.
;a
.
ŸcfŸx dx c ;
.
fŸx dx.
a
Observação: Tal como no caso das séries:
se um dos integrais é convergente e o outro divergente,
então a soma é divergente.
se ambos os integrais são divergentes, nada se pode
concluir.
Note-se que esta situação não entra em contradição com a
.
definição de ; fŸx dx. São questões diferentes.
".
Observação: Propriedades análogas são válidas para os outros
casos de integrais impróprios.
Critérios de convergência
Proposição (Primeiro Critério de Comparação):
Sejam f : ¡a, .¡ v R, g : ¡a, .¡ v R funções integráveis em
qualquer intervalo ¡a, *¢, com * u a, e tais que
0 t fŸx t gŸx , x ¡a, .¡.
Então
1. ;
2. ;
.
a
.
a
gŸx dx convergente ´ ;
fŸx dx divergente ´ ;
.
a
.
a
fŸx dx convergente;
gŸx dx divergente.
Proposição (Segundo Critério de Comparação):
Sejam f : ¡a, .¡ v R, g : ¡a, .¡ v R funções integráveis em
qualquer intervalo ¡a, *¢, com * u a, e tais que
fŸx u 0 e gŸx 0, x ¡a, .¡
e
lim
xv.
Então,
;a
.
fŸx dx e
;a
.
fŸx 5 R.
gŸx gŸx dx são da mesma natureza,
isto é, são ambos convergentes ou ambos divergentes.
Observação: Mais, do 1º Critério de Comparação resulta que:
a) se 5 0,
; a gŸx dx convergente ´ ; a fŸx dx convergente;
.
.
; a fŸx dx divergente ´ ; a gŸx dx divergente;
.
.
b) se 5 .,
; a fŸx dx convergente ´ ; a gŸx dx convergente;
.
.
; a gŸx dx divergente ´ ; a fŸx dx divergente.
.
.
Convergência Absoluta
Definição: Seja f uma função integrável em todo o intervalo
¡a, *¢, com * u a.
O integral impróprio ; fŸx dx diz-se absolutamente
a
convergente se o integral impróprio
.
;a
.
for convergente.
|fŸx |dx
Se ; fŸx dx for convergente e ; |fŸx |dx for divergente,
a
. a
; fŸx dx diz-se simplesmente convergente.
.
.
a
Proposição: Nas condições da definição, se ; fŸx dx é
a
absolutamente convergente, então também é convergente.
.
Proposições e definições análogas (propriedades algébricas,
critérios de comparação, observação correspondente e definição
de convergência absoluta) são válidas para os restantes casos de
integrais impróprios (mas sempre com um único problema):
Proposição (Primeiro Critério de Comparação):
Sejam ; fŸx dx e ; gŸx dx dois integrais impróprios, da mesma
a
a
espécie e relativamente ao mesmo limite de integração, tais que
0 t fŸx t gŸx , x ¢a, b¡.
b
b
Então
1. ; fŸx dx divergente ´ ; gŸx dx divergente;
b
b
a
a
2. ; gŸx dx convergente´ ; fŸx dx convergente.
b
b
a
a
Proposição (Segundo Critério de Comparação):
Sejam ; fŸx dx e ; gŸx dx dois integrais impróprios, de 1ª ou 2ª
a
a
espécie, relativamente ao limite superior x b (respec., limite
inferior x a) tais que
fŸx u 0 e gŸx 0, x ¡a, .¡
e
fŸx fŸx 5 R Ÿrespectivamente, lim
5 R .
lim"
xvb gŸx xva gŸx b
Então,
b
;a
b
; a gŸx dx
b
fŸx dxe
são da mesma natureza, isto é, são ambos convergentes ou
ambos divergentes.
Exemplos muito úteis:
Sendo a e b reais, com a b, tem-se que
;a
b
1
k
Ÿb"x dx e ;
Definição: Seja
b
1
a
Ÿx"a k
dx são convergentes sse k 1
; a fŸx dx
b
um integral impróprio de 1 a ou de 2 a espécie.
Este integral diz-se absolutamente convergente se o integral
impróprio
; a |fŸx |dx
b
for convergente.
Proposição: Seja ; fŸx dx um integral impróprio de 1 a ou de 2 a
a
espécie.
b
Se ; fŸx dx absolutamente convergente, então ; fŸx dx também
a
a
é convergente.
b
b
Critério do Integral
Proposição: Seja f : ¡1, .¡ v R, uma função contínua,
positiva e decrescente neste intervalo.
Considerando a sucessão de termo geral
a n fŸn ,
tem-se que
a série ! a n é convergente sse o integral ;
.
n1
.
1
fŸx dx é convergente.