Revisão de Álgebra Matricial
Profa. Patricia Maria Bortolon
Fonte: BOLDRINI, C. e WETZLER, F.; Álgebra Linear. 3ª. ed. São Paulo. Editora Harbra, 1986
Álgebra Matricial
• Da Matemática do 1º. Grau:
 y  2 x  4 (1)

 y  x  1 ( 2)
De (2) : y  x  1
10
8
6
Em (1) :
y=x+1
( x  1)  2 x  4
4
3x  4  1
2
Eq2
Linear (Eq1)
3x  3
x 1
Em (2) :
y  x 1
y2
Eq1
Linear (Eq2)
0
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
-2
y = -2x + 4
-4
Álgebra Matricial
Indivíduo
Altura (m)
Peso (kg)
Idade (anos)
1
1,70
70
23
2
1,75
60
45
3
1,60
52
25
4
1,81
72
30
• Após estudar 300 artigos teóricos e empíricos lanço a
seguinte hipótese sobre a relação entre essas
variáveis:
Peso = β0 + β1Altura + β2Idade
Álgebra Matricial
• Posso escrever as seguintes equações com os dados
das pessoas que tenho:
 0  1 1,70   2  23  70
 0  1 1,75   2  45  60
 0  1 1,60   2  25  52
 0  1 1,81   2  30  72
• As incógnitas são β0, β1,β2
• E se tivéssemos estudando o que afeta a rentabilidade
sobre o PL das empresas?
Álgebra Matricial
• Suponha que após ler 300 artigos teóricos e empíricos
você possa lançar a seguinte hipótese:
ROE = β0 + β1Ativo + Β2D/E
• Você escolhe 4 empresas para compor a amostra:
Vale, Petro, BRFoods e Gol e utiliza os dados de
2010:
Empresa
ROE
Ativo (milhões R$)
D/E
Vale
26,8
214.662
27,0
Petro
11,5
519.970
20,1
BRFoods
5,9
27.751
29,6
Gol
7,3
9.064
60,2
Álgebra Matricial
• Posso escrever as seguintes equações com os dados
que tenho:
 0  214.6621  27  2  26,8
 0  519.9701  20,1 2  11,5
 0  27.7511  29,6 2  5,9
 0  9.0641  60,2 2  7,3
Álgebra Matricial
• Podemos representar esses dados dispondo-os em
linhas e colunas. A isso chamamos matriz:
1 214.662 27,0 26,8
1 519.970 20,1 11,5 


1 27.751 29,6 5,9 


1 9.064 60,2 7,3 
• Pode ser representada entre ( ); [
]; ║ ║
Álgebra Matricial
• Exemplos:
5 7
1
2 3 5


A 2X3  
B 2X3   1 0 4 

6 1 3
8 9 11
Amxn = m indica o no. de linhas e n o no. de colunas
aij = é o elemento localizado na i-ésima linha e j-ésima
coluna
Na matriz A => a11=2 a23=3
Na matriz B => b23=4 b13=11
Álgebra Matricial
• Escalar: no. real = matriz 1 x 1 = [k]
• Tipos Especiais de Matrizes:
– Matriz Quadrada: quando m = n
1  2 0 
3 0 1


4 5 6
– Matriz Nula: quando aij = 0  i e j
0 0 
0 0 


Álgebra Matricial
• Tipos Especiais de Matrizes:
– Matriz Coluna: vetor coluna = Amx1
1
4
 
 3
 x
 y
 
– Matriz Linha: Vetor linha = A1xn
3
0  1
0
0
Álgebra Matricial
• Tipos Especiais de Matrizes:
– Matriz Diagonal: aij = 0  i ≠ j em uma matriz quadrada
nxn
1 0 0
0 2 0 


0 0 6
– Matriz Identidade ou Unidade: quando em uma matriz
quadrada aii = 1 e aij = 0  i ≠ j
1 0 0
0 1 0 


0 0 1
Álgebra Matricial
• Tipos Especiais de Matrizes:
– Matriz Triangular Superior: aij = 0
quadrada
1 3 5 
0 2  4 


0 0 6 
– Matriz Triangular Inferior: aij = 0
quadrada
1 0 0
8 4 0


1 3 6
p/ i > j em uma matriz
p/ i < j em uma matriz
Álgebra Matricial
• Tipos Especiais de Matrizes:
– Matriz Simétrica: quando m = n e aij = aji
5
1 3
3 2  4


5  4 6 
Operações com Matrizes
• Adição
– As matrizes precisam ser de mesma ordem
– Amxn = [aij] e Bmxn = [bij]
– C = A + B = [aij + bij]mxn
0  1 3
1
e
B


2
0
1
5


3 3 3 8 
C

4
7
9
14


 2 3 4 5
A

6
7
8
9


– Propriedades da soma:
1. Comutatividade: A + B = B + A
2. Associatividade: A + (B + C) = (A + B) + C
3. A + 0 = A, onde 0 é a matriz nula m x n
Operações com Matrizes
• Subtração
– Segue o mesmo princípio da soma
• Multiplicação por escalar:
– Seja k um escalar e A = [aij]mxn
– k . A = [k . aij]mxn
– Exemplo:
2 10 
k  2
e A

1

3


 4  20
kA  


2
6
– Propriedades:


1. k (A + B) = k A + k B
2. (k1 + k2) A = k1A + k2A
3. 0.A = 0
4. k1(k2A) = (k1k2)A
Operações com Matrizes
• Transposição
– Uma matriz transposta é obtida trocando-se as linhas e
colunas da matriz original. Uma matriz Amxn ficará Anxm.
Denota-se A’
– Exemplo:
 2 1
2 0  1


A   0 3  A '  

1
3
4

 2 x3
 1 4 3 x 2
1 3
1 3
B
 B'  


3
2
3
2




1 
C     C'  1 2
 2
Operações com Matrizes
• Transposição
– Propriedades:
1. Uma matriz é simétrica se, e somente se, A’ = A
2. A’’ = A
3. (A + B)’ = A’ + B’
4. (kA)’ = kA’
5. (AB)’ = B’A’
Exemplo de Aplicação
• Suponha que você está tentando prever o retorno de
uma carteira. Analistas fizeram as previsões de
retorno de 3 ações para 3 estados da economia.
Estado da
Natureza
Vale
Petro
Gol
BOOM
5%
4%
6%
ESTÁVEL
3%
3%
2%
RECESSÃO
2%
1%
0%
• Se você estiver planejando investir 30% em Vale,
30% em Petro e 40% em Gol, que retornos terá em
cada estado?
Exemplo de Aplicação
• Retornos esperados:
– BOOM: 30% x 5% + 30% x 4% + 40% x 6% = 5,1%
– ESTÁVEL: 30% x 3% + 30% x 3% + 40% x 2% = 2,6%
– RECESSÃO: 30% x 2% + 30% x 1% + 40% x 0% = 0,9%
• O que fizemos foi uma multiplicação de matrizes:
5% 4% 6%
30%
 5,1% 
3% 3% 2%  30%  2,6%






2% 1% 0% 3 x 3 40% 3 x1 0,9%  3 x1
Multiplicação de Matrizes
Amxn x Bnxp = Cmxp
• Cada elemento cij é o somatório dos produtos dos
elementos da i-ésima linha de A pela j-ésima coluna
de B
• O no. de colunas de A e o no. de linhas de B precisam
ser iguais
2 1 
 2.1  1.0 2(1)  1.4 
 2 2
4 2  1  1  4.1  2.0 4(1)  2.4  4 4
0 4 








2x2
5 3 3 x 2
5.1  3.0 5(1)  3.4  3 x 2 5 7 3 x 2
Multiplicação de Matrizes
• Propriedades:
1. Em geral AB ≠ BA
1
Sejam A    3
 2
0
Então AB  0
0
1
2
1
0
0
0
1
1 2 3
 1 e B  2 4 6
1 2 3
0 
0
  11 6  1
0 e BA   22 12  2
  11 6  1
0
Note, ainda, que AB = 0, sem que A = 0 ou B = 0
2. AI = IA = A (o que justifica o nome da matriz
identidade)
3. A(B+C) = AB + AC (distributividade à esquerda)
Multiplicação de Matrizes
• Propriedades:
4.
5.
6.
7.
(A+B)C = AC + BC (distributividade à direita)
(AB)C = A(BC) (associatividade)
(AB)’ = B’A’ (observe a ordem)
0.A = 0 e A.0 = 0
Representando algumas operações
matemáticas na forma matricial
• Somatório:
n
x
i 1
i
 x1  x2    xn
 x1 
1
x 
1
x nx1   2  , 1nx1   


 

x
1
 n
 x1 
x 
n
2
Então 1' x  1 1  1   x1  x2    xn   xi

i 1
 
 xn 
1
1
n
Ou x'1  x1 x2  xn    x1  x2    xn   xi

i 1

1
Representando algumas operações
matemáticas na forma matricial
• Somatório de quadrados:
n
2
2
2
2
x

x

x



x
 i 1 2
n
i 1
Então x' x  x1
x2
 x1 
x 
 xn   2  

 
 xn 
n
 x12  x22    xn2   xi2
i 1
Representando algumas operações
matemáticas na forma matricial
• Somatório de produtos cruzados:
n
x y
i 1
i
i
 x1 y1  x2 y2    xn yn
Então x' y  x1
x2
 y1 
y 
2

 xn 


 
 yn 
n
 x1 y1  x2 y2    xn yn   xi yi
i 1
 y' x
Sistemas de Equações Lineares
• A cada sistema de equações que precisa ser resolvido
podemos associar uma matriz
 x1  4 x2  3x3  1 (1)

( I ) 2 x1  5 x2  4 x3  4 (2)
 x  3x  2 x  5 (3)
2
3
 1
3 1
1 4
2 5

4
4


1  3  2 5
(1).  2  (2)  (2' )
(1).  1  (3)  (3' )
 x1  4 x2  3x3  1 (1' )

( II ) 0 x1  3x2  2 x3  2 (2' )
0 x  7 x  5 x  4 (3' )
2
3
 1
(2' ).  1 / 3  (2' ' )
3 1
1 4
0  3  2 2 


0  7  5 4
Sistemas de Equações Lineares
• A cada sistema de equações que precisa ser resolvido
podemos associar uma matriz
(1' ' )
 x1  4 x2  3x3  1

( III ) 0 x1  x2  2 / 3x3  2 / 3 (2' ' )
 0 x  7 x  5x  4
(3' ' )
1
2
3

(2' ' ).  4  (1' ' )  (1' ' ' )
3
1 
1 4
0 1 2 / 3  2 / 3


0  7  5
4 
(2' ' ).7  (3' ' )  (3' ' ' )
 x1  0 x2  1 / 3x3  11 / 3 (1' ' ' )

( IV )  0 x1  x2  2 / 3x3  2 / 3 (2' ' ' )
0 x  0 x  1 / 3x  2 / 3 (3' ' ' )
2
3
 1
(3' ' ' ).  3  (3iv )
1 0 1 / 3 11 / 3 
0 1 2 / 3  2 / 3


0 0  1 / 3  2 / 3
Sistemas de Equações Lineares
• A cada sistema de equações que precisa ser resolvido
podemos associar uma matriz
iv
 x1  0 x2  1 / 3x3  11 / 3 (1 ) 1 0 1 / 3 11 / 3 

(V ) 0 x1  x2  2 / 3x3  2 / 3 (2iv ) 0 1 2 / 3  2 / 3
iv
 0 x  0 x  1x  2
(
3
) 0 0 1
2 
1
2
3

(3iv ).  1 / 3  (1iv )  (1v )
(3iv ).  2 / 3  (2iv )  (2v )
v
 x1  0 x2  0 x3  3 (1 )

(VI ) 0 x1  x2  0 x3  2 (2v )
 0 x  0 x  1x  2 (3v )
2
3
 1
1 0 0 3 
0 1 0  2 


0 0 1 2 
Sistemas de Equações Lineares
• Ou ainda:
 x1  3

 x2  2
 x 2
 3
• Observações:
– As operações realizadas preservam as igualdades
– (x1, x2, x3) é solução do sistema I e também do II, III, IV, V
e VI
– Operações possíveis:
• Multiplicar uma equação por no. ≠ 0
• Adicionar uma equação a outra
• Permutar duas equações
Sistemas de Equações Lineares
• Conceitos:
– Um sistema de equações lineares com m equações e n
incógnitas é:
 a11x1  a12 x2    a1n xn  b1
 a x  a x  a x  b
 21 1 22 2
2n n
2



am1 x1  am 2 x2    amn xn  bm
– Com aij, 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n
– Uma solução é uma n-upla de números (x1, x2, ..., xn) que
satisfaça simultaneamente estas m equações
Sistemas de Equações Lineares
• Conceitos:
– O sistema anterior pode ser escrito na forma matricial:
 a11 a12  a1n   x1   b1 
a
 x  b 
a

a
22
2n   2 
2
 21



 


   

    
am1 am 2
amn   xn  bm 

  
A
x X
= B
Sistemas de Equações Lineares
• Conceitos:
– Matriz Ampliada:
 a11
a
 21
 

am1
a12
 a1n
a22
 a2 n



am 2  amn
b1 
b2 


bm 
– A matriz ampliada do sistema VI é:
 x1  0 x2  0 x3  3

0 x1  x2  0 x3  2
 0 x  0 x  1x  2
2
3
 1
1 0 0 3 
0 1 0  2 


0 0 1 2 
Sistemas de Equações Lineares
• Sistemas de equações lineares equivalentes: se toda
solução de um sistema é também solução de outro
• Para resolver o sistema inicial reduzimos a matriz
ampliada a uma matriz-linha reduzida à forma escada.
• Definição:
a) 1º. elemento não nulo de uma linha não nula é 1
b) Cada coluna que contém o 1º. Elemento não nulo de
alguma linha tem todos os seus outros elementos iguais a
zero
c) Toda linha nula ocorre abaixo de todas as linhas não nulas
d) Se as linhas 1, ..., r são linhas não nulas, e se o 1º. elemento
não nulo da linha i ocorre na coluna ki, então,
k1 < k2 < ... < kr
Sistemas de Equações Lineares
• Posto: é o no. de linhas não nulas da matriz-linha
reduzida à forma escada linha equivalente
• Nulidade: é o no. n – p onde n é o no. de colunas.
• Exemplos:
2 1 0 1 0 0  7 / 8
1
Posto  3




A    1 0 3 5   0 1 0  1 / 4  
Nulidade  1
 1  2 1 1 0 0 1 11 / 8 
2  1 3 1 0 14 / 9
Posto  2
1 4 2  0 1 1 / 9 


B
Nulidade  1
1  5 1  0 0
0 

 
 há 2 equações redundantes
0 
4 16 8 0 0
Sistemas de Equações Lineares
2 1 0 1 0 0  7 / 8
1
Posto  3




A    1 0 3 5   0 1 0  1 / 4  
Nulidade  1
 1  2 1 1 0 0 1 11 / 8 
2  1 3 1 0 14 / 9
Posto  2
1 4 2  0 1 1 / 9 


B
Nulidade  1
1  5 1  0 0
0 

 
 há 2 equações redundantes
0 
4 16 8 0 0
• Também dizemos que as duas primeiras equações são
“independentes” e as demais “dependentes”
• Uma linha é dependente de outra se ela puder ser escrita como
soma de produtos destas outras linhas por constantes
• O mesmo que dizer que esta linha é uma combinação linear
das outras
• POSTO = no. de equações independentes
Sistemas de Equações Lineares
Soluções de um sistema de equações lineares
ax=b
1. a ≠ 0 => solução única => x = b/a
2. a = 0 e b = 0 => 0 x = 0 => qualquer no. real é solução
3. a = 0 e b ≠ 0 => 0 x = b => não existe solução
Sistemas de Equações Lineares
Soluções de um sistema de equações lineares
Exemplo 1:
10
8
6
4
2
0
-4
-2
0
2
-2
 2 x1  x 2  5

 x1  3x 2  6
3
2 1 5 1 0 3   x1
1  3 6  0 1  1  
x 2  1

 
 
-4
-6
Posto do sistema reduzido = 2
Posto da matriz ampliada = 2
4
6
8
10
Sistemas de Equações Lineares
Soluções de um sistema de equações lineares
Exemplo 2:
10
 2 x1  x 2  5

6 x1  3 x 2  15
2 1 5  1 1 / 2 5 / 2
6 3 15  0 0
0 

 
 x1  1 / 2 x2  5 / 2

 0 x1  0 x 2  0
8
6
4
2
0
-4
-2
-2
0
2
4
-4
-6
-8
Admite infinitas soluções. Conjunto de soluções definidos por pares x1 e x2 que
satisfaçam x1 = 5/2 – ½ x2
O posto tanto da matriz de coeficientes quanto da matriz ampliada é 1.
Grau de liberdade do sistema: é a nulidade da matriz de coeficientes. Neste caso
2 – 1 = 1 <= o sistema tem uma variável livre
6
Sistemas de Equações Lineares
Soluções de um sistema de equações lineares
Exemplo 3:
10
8
 2 x1  x 2  5

6 x1  3 x 2  10
2 1 5  1 1 / 2 0
6 3 10  0 0 1

 

 x1  1 / 2 x2  0

 0 x1  0 x 2  1
6
4
2
0
-3
-2
-1
-2
0
1
2
-4
-6
-8
Não tem solução = incompatível = impossível
O posto da matriz de coeficientes é 1 e o da matriz ampliada é 2.
3
4
5
Sistemas de Equações Lineares
Soluções de um sistema de equações lineares
• Então, um sistema pode admitir:
1. Uma única solução = possível = compatível = determinado
2. Infinitas soluções = possível = indeterminado
3. Nenhuma solução = impossível = incompatível
Sistemas de Equações Lineares
Soluções de um sistema de equações lineares
• Teorema:
1. Um sistema de m equações e n incógnitas admite solução
se, e somente se, o posto da matriz ampliada é igual ao
posto da matriz de coeficientes
2. Se além disso p = n, a solução será única
3. Se, entretanto, p < n , podemos escolher n – p incógnitas, e
as outras p incógnitas serão dadas em função destas n – p =
graus de liberdade
Determinante e Matriz Inversa
• a x = b => solução é x = b / a
• Matriz 2 x 2
 a11 a12 
A
 a11a22  a12a21  A

a21 a22 
• Matriz 3 x 3
 a11 a12 a13 
A  a21 a22 a23  
a31 a32 a33 
A  a11a22a33  a13a21a32  a31a12a23  a13a22a31  a33a21a12  a11a23a32
Determinante e Matriz Inversa
• Cada termo tem apenas um elemento de cada linha e
coluna
• Uma matriz N x N terá N! elementos no seu cálculo,
assim, uma matriz 5 x 5 terá 5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 =
120 termos em sua expansão
• Se a matriz é 2 x 2 cada termo tem 2 elementos da
matriz, se é 3 x 3 terá 3 elementos em cada termo, se
é 5 x 5, 5 elementos
• Para a regra para o sinal de cada termo ver pag. 66 e
67 do Boldrini
Determinante e Matriz Inversa
• Propriedades:
1. Se todos os elementos de uma linha ou coluna são nulos
então det A = 0
2. Uma matriz com determinante igual a zero é chamada
matriz singular, se ≠ 0 é uma matriz não singular
3. det A = det A’
4. Se multiplicarmos uma linha da matriz por uma constante
o det fica multiplicado por esta constante
5. Trocadas as posições de duas linhas o determinante troca
de sinal
6. Se duas linhas da matriz são dependentes o determinante é
nulo
7. det (A.B) = det A . det B
Determinante e Matriz Inversa
• Menor: o menor do elemento aij é o determinante da
submatriz resultante da retirada da linha i e da coluna
j
 a11 a12
A  a21 a22
a31 a32
a13 
a23  
a33 
o menor de a11 é M 11 
a22
a23
a32
a33
 a22a33  a23a32
• Co-fator = é um menor sinalizado
cij  (1)i  j M ij
Determinante e Matriz Inversa
• Matriz de Co-fatores: é a matriz onde cada elemento
aij é substituído por seu co-fator, denotada por cof(A)
ou A
• Matriz Adjunta: é a transposta de uma matriz de cofatores
adjA  (cofA)'  A'
• Teorema:
A.A'  A.(adjA )  (detA)I n
Determinante e Matriz Inversa
• Matriz Inversa: dada uma matriz quadrada A de ordem
n, a inversa de A é uma matriz B tal que
A . B = B . A = In
Onde In é a matriz identidade de ordem n.
Escrevemos A-1 para a inversa de A.
Observações:
1. Se A e B são quadradas de mesma ordem, ambas
inversíveis, então A . B é inversível e
(AB)-1 = B-1 . A-1
De fato:
AB(B-1A-1) = A(BB-1)A-1 = AIA-1 = AA-1 = I
(B-1A-1)(AB) = I
Determinante e Matriz Inversa
• Matriz Inversa:
• Observações:
2. Nem toda matriz tem inversa
3. Se A tem inversa, podemos escrever:
AA-1 = In
det(A.A-1) = det (In)
det A . det A-1 = 1
Se A tem inversa:
i. det A ≠ 0
1
ii. det A-1 =
det A
Determinante e Matriz Inversa
• Matriz Inversa:
• Observações:
4. (A-1)’ = (A’)-1, isto é, a transposta da inversa de A
é a inversa da transposta
Teorema:
Uma matriz quadrada A admite uma inversa se, e
somente se det A ≠ 0
Neste caso:
1
A 
(adjA )
detA
1
Exemplo: pag. 744 Gujarati
Determinante e Matriz Inversa
• A inversa e a resolução de sistemas lineares:
• Se o no. de equações é igual ao no. de incógnitas:
 a11x1  a12 x2    a1n xn  b1
 a x  a x  a x  b
 21 1 22 2
2n n
2



am1 x1  am 2 x2    amn xn  bm
 a11 a12  a1n   x1   b1 
a
 x  b 
a

a
22
2n   2 
 21

 2
 


   

    
a
a
a
bm 
m1
m2
mn   xn 




Matriz de coeficientes 
A
x
X = B
Matriz de incógnitas
Matriz de termos
independentes
Determinante e Matriz Inversa
• A inversa e a resolução de sistemas lineares:
• Supondo det A ≠ 0 e portanto, que exista A-1:
A-1(AX) = A-1B
(AA-1)X=A-1B
InX = A-1B
X = A-1B
 x1   a11
x  a
 2    21
  
  
 xn  am1
a12
a22

am 2
 a1n 
 a2 n 

 

amn 
1
 b1 
b 
 2

 
bm 
Valor Esperado
• Variável Aleatória Discreta
E ( X )   xf ( x)
x
• Variável Aleatória Contínua

• Propriedades
E ( X )   xf ( x)dx

E (b)  b
E (aX  b)  aE ( X )  b
Se X e Y são independentes : E ( XY )  E ( X ).E (Y )
Variância
• Variável Aleatória Discreta
var( X )     E ( X   ) f ( x)
2
x
2
x
• Variável Aleatória Contínua

var( X )   ( X   ) f ( x)dx

2
Variância
• Propriedades
E( X   )2  E( X 2 )   2
var(b)  0
Se a e b são constantes, então : var(aX  b)  a 2 var( X )
Se X e Y são independentes, então :
var( X  Y )  var( X )  var(Y )
var( X  Y )  var( X )  var(Y )
var(aX  bY )  a 2 var( X )  b 2 var(Y )
Se X e Y não são independentes, então :
var( X  Y )  var( X )  var(Y )  cov( X , Y )
Retorno e Variância de Carteiras na Forma
Matricial
• Exemplo com 3 ativos
• Seja Ri o retornos dos ativos i = A, B, C e assuma que
os retornos R1, R2 e R3 são normalmente distribuídos
com
2
i  ERi  ,  i  var( Ri ) , cov( Ri , R j )   ij
• Carteira x
xi  % do capital investido no ativo i
x A  xB  xC  1
• Retorno da carteira
Rp, x  xA RA  xB RB  xC RC
Retorno e Variância de Carteiras na Forma
Matricial
• Retorno esperado da carteira
 p, x  ERp, x   xA  A  xB B  xC C
• Variância da carteira

2
p, x
 
 var R p , x  x   x   x  
2
A
2
A
2
B
2
B
2
C
2
C
 2 x A xB AB  2 x A xC AC  2 xB xC BC
• Distribuição de probabilidade da carteira
Rp, x ~ N ( p, x ,  p2, x )
Retorno e Variância de Carteiras na
Forma Matricial
• Representação Matricial
 RA 
 A 
1
 
 
 
R   RB  , μ    B  , 1  1
R 
 
1
 C
 C
 
  A2
 xA 

 
x   xB  ,     AB

x 
 C
 AC
 AB  AC 

 B2  BC 
 BC  C2 
Retorno e Variância de Carteiras na
Forma Matricial
• Sobre a matriz de covariâncias
– Usando álgebra matricial a matriz de covariâncias do vetor
de retornos R é definida a partir de:


cov(R)  E R  μ R  μ  
'
– Se R tem N elementos, então  será uma matriz N x N
  12  12

2


 12
2


 

 1n  2 n
  1n 

  2n 

  
  n2 
Retorno e Variância de Carteiras na
Forma Matricial
• Para o caso em que N = 2:


 R1  1 
 . R1  1
E R 2 x1  μ R 2 x1  μ   E 
 R2   2 
'
2


R1  1 

 E 
 R2   2 R1  1 
R1  1 R2  2 

2

R2  2  
2

E R1  1  
E R1  1 R2   2 

 
2










E
R


R


E
R


2
2
1
1
2
2


cov( R1 , R2 )    12  12 
 var( R1 )

  
 
2 
var( R2 )    12  2 
 cov( R2 , R1 )

R2   2 

Retorno e Variância de Carteiras na
Forma Matricial
• Retorno da carteira:
R p , x  x' R  ( x A
xB
 RA 
 
xC )  RB 
R 
 C
 x A RA  xB RB  xC RC
 R' x
• Retorno esperado da carteira:
 p , x  x' μ  ( x A
xB
 A 
 
xC )   B 
 
 C
 x A  A  xB  B  xC C
 μ' x
Retorno e Variância de Carteiras na
Forma Matricial
• Variância da carteira:
 p2 , x  var(x' R )  E x' (R  μ)(R  μ)' x 
 x' E (R  μ)(R  μ)'x  x' x
  A2  AB

 x A xB xC   AB  B2

 AC  BC
2 2
2 2
2 2
 x A A  xB B  xC C
 AC  x A 
 
 BC  xB 
2 
 C  xC 
 2 x A xB AB  2 x A xC AC  2 xB xB BC