MATEMÁTICA
PRÉ-VESTIBULAR
LIVRO DO PROFESSOR
Esse material é parte integrante do Aulas Particulares on-line do IESDE BRASIL S/A,
mais informações www.aulasparticularesiesde.com.br
© 2006-2009 – IESDE Brasil S.A. É proibida a reprodução, mesmo parcial, por qualquer processo, sem autorização por escrito dos autores e do
detentor dos direitos autorais.
I229
IESDE Brasil S.A. / Pré-vestibular / IESDE Brasil S.A. —
Curitiba : IESDE Brasil S.A., 2009. [Livro do Professor]
660 p.
ISBN: 978-85-387-0571-0
1. Pré-vestibular. 2. Educação. 3. Estudo e Ensino. I. Título.
CDD 370.71
Disciplinas
Autores
Língua Portuguesa
Literatura
Matemática
Física
Química
Biologia
História
Geografia
Francis Madeira da S. Sales
Márcio F. Santiago Calixto
Rita de Fátima Bezerra
Fábio D’Ávila
Danton Pedro dos Santos
Feres Fares
Haroldo Costa Silva Filho
Jayme Andrade Neto
Renato Caldas Madeira
Rodrigo Piracicaba Costa
Cleber Ribeiro
Marco Antonio Noronha
Vitor M. Saquette
Edson Costa P. da Cruz
Fernanda Barbosa
Fernando Pimentel
Hélio Apostolo
Rogério Fernandes
Jefferson dos Santos da Silva
Marcelo Piccinini
Rafael F. de Menezes
Rogério de Sousa Gonçalves
Vanessa Silva
Duarte A. R. Vieira
Enilson F. Venâncio
Felipe Silveira de Souza
Fernando Mousquer
Produção
Projeto e
Desenvolvimento Pedagógico
Esse material é parte integrante do Aulas Particulares on-line do IESDE BRASIL S/A,
mais informações www.aulasparticularesiesde.com.br
Esse material é parte integrante do Aulas Particulares on-line do IESDE BRASIL S/A,
mais informações www.aulasparticularesiesde.com.br
Esse material é parte integrante do Aulas Particulares on-line do IESDE BRASIL S/A,
mais informações www.aulasparticularesiesde.com.br
Determinantes:
conceitos,
propriedades e
matriz inversa
Notação de Cayley-Jacobi:
EM_V_MAT_011
det A =
a11
a21

a n1
a12  a1n
a22  a2n
  
an 2  ann
Determinantes
Notação abreviada de Smith e Kronecker:
O estudos dos determinantes começou no século XVII, em paralelo aos estudos para resolução de
sistemas lineares.
É interessante notar que o conceito de determinantes é anterior à teoria das matrizes (século
XIX).
Muito contribuíram para o desenvolvimento dos
determinantes os matemáticos Cauchy, Cayley, Binet e
Jacobi, este responsável pela forma simples que essa
teoria possui atualmente.
Os determinantes não são mais tão utilizados
para a resolução de sistemas lineares, mas ainda
assim são importantes para sintetizar determinadas
expressões matemáticas.
O determinante de uma matriz quadrada de
ordem n é o somatório de todos os produtos distintos possíveis de n fatores tomados nos n2 elementos
da matriz, escolhidos de tal forma que em cada um
desses produtos haja exatamente um fator de cada
linha e de cada coluna e que seja associado a cada um
dos produtos o sinal positivo ou negativo, conforme
as permutações dos subíndices de linhas e colunas
sejam da mesma classe ou de classe distinta.
i, j = 1, 2, 3, ..., n
Notação de Cauchy:
Seja a matriz quadrada A = (aij)nXn, o determinante de A é denotado por det A.
det A aij
det A = ∑ ( ± a11 ⋅ a22 ⋅ ⋅ ann )
Para dar maior praticidade à definição costumase fixar os índices das linhas na ordem natural e permutar os índices das colunas. Isso permite concluir
que a quantidade de termos do determinante é igual
ao número de permutações dos índices de linha, n!.
Os elementos da matriz que aparecem em
cada um dos termos são um de cada linha e um de
cada coluna, sem que apareçam linhas ou colunas
repetidas.
O sinal associado a cada um dos produtos será
positivo ou negativo conforme a permutação dos
índices das linhas, seja de classe par ou ímpar.
Determinante de 1.a ordem
det A = a11 = a11
Determinante de 2.a ordem
No determinante de 2.ª ordem podemos construir dois termos sem repetir linhas ou colunas:
Esse material é parte integrante do Aulas Particulares on-line do IESDE BRASIL S/A,
mais informações www.aulasparticularesiesde.com.br
1
a11a22
positivo
termo principal
classe par
a12a21 termo deduzido
ímpar sinal negativo
1 inversão
sinal
classe
a11 a12
= a11a22 − a12a21
a21 a22
Note que, nesse caso, o determinante é obtido
pelo produto dos elementos da diagonal principal
menos o produto dos elementos da diagonal secundária.
1 3
= 1.4 – 2.3 = –2
Assim, o determinante
2 4
Determinante de 3.a ordem –
Regra de Sarrus
Novamente construindo os 3! = 6 termos sem
repetir linhas ou colunas:
Teorema de Laplace
O Teorema de Laplace apresenta uma segunda
forma de definir determinante por recorrência.
Vamos apresentar alguns conceitos necessários
a essa definição.
Menor complementar
Seja uma matriz quadrada A de ordem n > 2 e aij
um elemento qualquer de A. O menor complementar
Mij do elemento aij é o determinante da matriz de
ordem (n – 1), obtida a partir de A eliminando-se a
linha i e a coluna j.
Vamos aplicar essa definição a uma matriz
quadrada de ordem 3 e obter a expressão do menor
complementar de alguns elementos.
 a11 a12
A = a21 a22
a31 a32
a11a22a33, a12a23a31, a13a21a32 123, 231 (2 inv.) e
312 (2 inv.) são permutações de classe par
sinal
positivo
a13a22a31, a12a21a33, a11a23a32
321 (3 inv.), 213
(1 inv.), 132 (1 inv.) são permutações de classe ímpar
sinal negativo
a11 a12
a21 a22
a31 a32
M11 =
a22
a32
M12 =
a21 a23 a a − a a
= 21 33 23 31
a31 a33
M22 =
a11 a13
= a11a33 − a13a31
a31 a33
M23 =
a11 a12 a a − a a
= 11 32 12 31
a31 a32
a13
a23 = a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 −
a33
−a13a22a31 − a12a21a33 − a11a23a32
A Regra de Sarrus é um dispositivo mnemônico para
calcular o determinante de ordem 3.
Termos positivos
Termos negativos
Diagonal principal e
diagonais paralelas à ela.
Diagonal secundária e
diagonais paralelas à ela.
a13 
a23 
a33 
a23
= a22a33 − a23a32
a33
Cofator
Seja uma matriz quadrada A de ordem n > 2 e aij
um elemento qualquer de A. O cofator do elemento
aij é o número
A ij = ( −1)i+ j ⋅ Mij
em que Mij é o menor complementar de aij .
Calculando os cofatores a partir dos menores
obtidos no exemplo anterior:
A11 = ( −1)1+1 M11 = M11 A12 = ( −1)1+ 2 M12 = −M12
3 −2 4
1 2 −3
4 1 5
= 3.2.5+(–2).(–3) . 4 + 4 . 1 . 1 – 4 . 2 . 4 – (–2) . 1 . 5
– (–3) . 1 . 3 =30 + 24 + 4 – 32 + 10 + 9 = 45
2
A 22 = ( −1)2+ 2 M22 = M22 A 23 = ( −1)2+ 3 M23 = −M23
Definição de determinante
Seja A uma matriz quadrada de ordem n.
n = 1 : det A = a11
Esse material é parte integrante do Aulas Particulares on-line do IESDE BRASIL S/A,
mais informações www.aulasparticularesiesde.com.br
EM_V_MAT_011
Dessa forma, o determinante
n 2 : det A = a11 ⋅ A11 + a12 ⋅ A12 +  + a1n ⋅ A1n
n
det A = ∑ a1j ⋅ A1j
j=1
A definição mostra que o determinante de uma
matriz quadrada de ordem n 2 é a soma dos produtos dos elementos da primeira linha da matriz pelos
seus respectivos cofatores.
A definição acima é uma definição por recorrência, na qual o determinante da matriz A de ordem n
2 é obtida com um somatório de determinantes de
ordem n – 1.
Vamos aplicar essa definição ao cálculo do determinante abaixo:
2
5
15
30
0
1
3
1
0
2
0
1
0
1
=2 . A11+ 0 . A12+ 0 . A13+ 0 . A14= 2A11
3
1
1 2 1
1+1
= 2 ⋅ ( −1) ⋅ 3 0 3 = 2 . 0 = 0
1 1 1
Teorema de Laplace
Seja A uma matriz quadrada de ordem n 2,
o determinante de A é a soma dos produtos dos
elementos de uma fila (linha ou coluna) qualquer
pelos respectivos cofatores.
n
n
j=1
i =1
det A = ∑ a pj ⋅ A pj = ∑ aiq ⋅ A iq
Isso generaliza a definição anterior, permitindo que a redução da ordem do determinante seja
reduzida utilizando a fila (linha ou coluna) mais
conveniente, como, por exemplo, a que possui mais
valores nulos.
Usando o Teorema de Laplace na 3.a linha para
o cálculo do determinante abaixo:
1
−4
3
2
2 −3 4
2 -3 4
2 1
3
= 3 . A31 − 3 . A34 = 3 . (-1)3+1. 2 1 3
0 0 −3
–
0 -2 3
0 −2 3
1 2 −3
−3 ⋅ ( −1)3+ 4 ⋅ −4 2 1 = 3.20 − 3. ( −4) = 48
2 2 −2
EM_V_MAT_011
Propriedades
dos determinantes
a)Seja uma matriz quadrada A, de ordem n,
então:
det A = det At
ou seja, o determinante da matriz é igual ao
determinante da sua matriz transposta.
b)Seja uma matriz quadrada A, de ordem n 2.
Se a matriz B é obtida trocando-se as posições
de duas linhas (ou colunas), então
det B = – det A
1 4 7
7 4 1
Assim, o determinante 2 5 8 = – 8 5 2
3 6 9
9 6 3
onde foi trocada a posição da 1.a e da 3.a
coluna.
c) Seja uma matriz quadrada A, de ordem n
2. Se A possui duas filas paralelas iguais,
então
det A = 0
a b c
Logo, x y z = 0, pois a 1.a e a 3.a linha
a b c
são iguais.
d)Seja uma matriz quadrada A, de ordem n. Se
A possui uma fila (linha ou coluna) com todos
seus elementos nulos, então
det A = 0
0 0 0
Assim, x y z = 0, pois a 1.a linha é nula.
a b c
e)Seja uma matriz quadrada A, de ordem n. Seja
B a matriz obtida multiplicando-se uma fila
(linha ou coluna) de A pelo número k, então
det B = k . det A
Uma consequência dessa propriedade é que é
possível colocar em evidência algum fator comum
a todos os elementos de uma fila (linha ou coluna),
antes de efetuar o cálculo do determinante.
1 4 7
2 4 7
Dessa forma, 4 5 8 = 2 ⋅ 2 5 8
3 6 9
6 6 9
f) Seja uma matriz quadrada A, de ordem n e k
um número real, então
det (k . A) = kn . det A
É importante observar a diferença entre
essa propriedade e a anterior. Nesse caso,
multiplica-se a matriz de ordem n por k, o que
equivale a multiplicar por k cada uma das
n linhas do determinante, resultando que o
determinante fica multiplicado por kn.
g)Seja uma matriz quadrada A, de ordem n. Se
Esse material é parte integrante do Aulas Particulares on-line do IESDE BRASIL S/A,
mais informações www.aulasparticularesiesde.com.br
3
A possui duas linhas (ou colunas) proporcionais, então
det A = 0
ka kb kc
Assim, x y z = 0, pois a 1.a e a 3.a lia b c
nhas são proporcionais.
h)Sejam A, B e C três matrizes quadradas de
mesma ordem, tais que B e C são idênticas
exceto pela i-ésima linha, A é idêntica a B e
C exceto pela i-ésima linha que é obtida somando as i-ésimas linhas de B e C, então
det A = det B + det C
combinação linear das outras linhas (ou colunas), então
det A = 0
x m ax + bm
a
ay + bn = 0, pois a 3.
z p az + bp
O determinante y n
coluna é uma combinação linear da 1.a e 2.a
colunas (a vezes a 1.a mais b vezes a 2.a).
l) Teorema de Cauchy: seja uma matriz quadrada A, de ordem n > 2. A soma dos produtos
dos elementos de uma linha (ou coluna), ordenadamente, pelos cofatores dos elementos
correspondentes de outra linha (ou coluna),
é igual a zero.
det A, se p = q
0, se p ≠ q
=
det A, se p = q
n
∑ aip ⋅ Aiq = 0, se p ≠ q
i =1
a 1 3a
a 1 3a + 2
a 1 2
b 2 3b + 4 = b 2 3b + b 2 4 = 0 + 0 =0
c 3 3c
c 3 3c + 6
c 3 6
Note que os dois determinantes resultantes
possuem colunas proporcionais.
i) Teorema de Jacobi: adicionando-se a uma
linha (ou coluna) uma outra linha (ou coluna)
multiplicada por um número, o determinante
não se altera.
A utilidade desse teorema consiste em zerar
alguns elementos de determinada fila a fim
de simplificar os cálculos após a aplicação do
Teorema de Laplace.
Vamos aplicar a propriedade para simplificar
o cálculo do determinante abaixo, subtraindo
da 3.a linha o dobro da 1.a linha e posteriormente utilizando Laplace na 3.a coluna.
4 2 1
4
2
1
4 2 1
2 3 0 =
2
3
0
= 2 3 0 =
5 7 2
5 − 2 ⋅ 4 7 − 2 ⋅ 2 2 − 2 ⋅1
−3 3 0
= 1⋅ ( −1)1+ 3 ⋅ 2
3
= 2 . 3 – 3 . (–3) = 15
−3 3
j) Adicionando-se a uma linha (ou coluna) uma
combinação linear das outras linhas (ou colunas) o determinante não se altera.
k)Seja uma matriz quadrada A, de ordem n.
Se A possui uma linha (ou coluna) que seja
4
m)Determinante da matriz triangular: seja uma
matriz triangular (superior ou inferior), o seu
determinante é o produto dos elementos da
diagonal principal.
a11 a12
0 a
22

A= 0
0


 
 0
0
a 13
a23
a33

0





a11 a12
0 a
22

A= 0
0


 
 0
0
a 13
a23
a33

0





a1n 
a2n 
a3n  (matriz triangular superior)

 
ann 
a1n 
a2n 
a3n  (matriz triangular inferior)

 
ann 
n
Em ambos os casos det A = a11 ⋅ a22 ⋅ ⋅ ann = ∑ aii .
i =1
n)Determinante da matriz identidade: o determinante da matriz identidade vale 1.
det In= 1
Regra de Chió
A Regra de Chió permite abaixar a ordem do
determinante no qual a11= 1, o que pode ser obtido
pela aplicação das propriedades anteriores.
Regra prática:
1)Seja uma matriz de ordem n com a11= 1,
suprimem-se a 1.ª linha e a 1.ª coluna.
2)De cada elemento restante da matriz subtra-
Esse material é parte integrante do Aulas Particulares on-line do IESDE BRASIL S/A,
mais informações www.aulasparticularesiesde.com.br
EM_V_MAT_011
Vamos aplicar essa propriedade ao cálculo
do determinante a seguir:
Note que o caso p = q é a expressão do Teorema de Laplace.
ímos o produto dos elementos que se encontram nas extremidades das perpendiculares,
traçadas do elemento considerado à 1.ª
linha e à 1.ª coluna.
3) Com as diferenças obtidas, constrói-se uma
matriz de ordem (n – 1) cujo determinante é
igual ao determinante original.
Vamos aplicar esse método para o cálculo do
determinante a seguir, onde inicialmente foram trocadas as posições da 1.ª e 2.ª linhas e depois da 1.ª
e 3.ª colunas para que tivéssemos a11 = 1:
6
2
3
5
−2
3
1
4
1
3
−2 4
−2
3
3
2
1
7
4
6
=–
9
3
2
2
3
7
5
3
=
9
7
2
2
6
3
5
=
9
0
15 −2 3
−2 15
0
3
0
15 −2 3
2 − 3⋅ 3
6 − 3 ⋅ ( −2)
5 − 3⋅ 4
2−7⋅3
3 − 7 ⋅ ( −2)
9 −7⋅4
15 − ( −2) ⋅ 3 0 − ( −2) ⋅ ( −2) 3 − ( −2) ⋅ 4
−4
12
−4
−7
11
Matriz de Vandermonde
Matriz de Vandermonde é a matriz quadrada
na qual as colunas são formadas por potências de
mesma base, com expoente inteiro variando desde 0
a (n – 1), ou seja, os elementos de cada coluna formam
uma progressão geométrica de 1.º elemento 1.
Os elementos da 2.ª linha são chamados elementos característicos da matriz.
1
1
 1
 a
a
a
2
3
 1
M =  a12
a22
a23



 
 n −1
n −1
n −1
a2
a3
a1
1 
an 
 an2 


 

 ann −1 


O determinante da matriz de Vandermonde de
elementos característicos a1, a2, ..., an é indicado por
V(a1, a2, ..., an).
O determinante V(a1, a2, ..., an) é igual ao produto
de todas as diferenças ai – aj , com i > j.
V(a1, a2 ,, an ) =
∏
1≤ j<i≤n
(ai − a j )
Aplicando essa propriedade para calcular o
determinante a seguir:
EM_V_MAT_011
Sejam A e B matrizes quadradas de mesma ordem,
então:
det (A . B) = det A . det B
Esse Teorema permite que seja calculado o
determinante de um produto de matrizes por meio
do determinante dos fatores, sem necessidade de
efetuar o produto.
Uma consequência imediata é que, se A é uma
matriz quadrada e n N*, temos:
det( A n ) = (det A )n
 0 2
1 3 


2 4 
Por exemplo, se A= 
 e B= 1 3 ,então det
(A.B) = det A . det B = (1 . 4 – 2 . 3) . (0 . 3 – 1 . 2) =
(–2) . (–2) = 4
Considerando a expressão A −1A = AA −1 = Ι n e o
Teorema de Binet, temos:
det( A −1 ) =
= −19 17 −19 =757
21
Teorema de Binet
1 1 1
2 3 5 = [(3 – 2) . (5 . 2) . (5 – 3)] = 6
4 9 25
1
det A
Matriz inversa
Uma matriz quadrada A de ordem n é inversível
se existe uma matriz A-1, chamada matriz inversa,
tal que:
A −1A = AA −1 = Ι n
Uma matriz A é inversível se, e somente se, ela
é não-singular (det A ≠ 0).
A é inversível
det A ≠ 0
Assim, uma matriz A não é inversível se, e somente se, ela é singular (det A = 0).
Propriedades
(AB)-1 = B-1 A-1
(ABC)-1 = C-1 B-1 A-1
(At)-1 = (A-1)t
É possível obter a inversa de uma matriz a partir
da sua definição como no exemplo abaixo:
3 7 

5 11
Seja a matriz A = 
a c 
 temos:
b d
Fazendo, A −1 = 
 a c  3 7  1 0
A −1A = Ι 2 ⇒ 
⋅
=

 b d  5 11 0 1 
3a + 5b 7a + 11b  1 0 
 3c + 5d 7c + 11d  = 0 1 

 

Esse material é parte integrante do Aulas Particulares on-line do IESDE BRASIL S/A,
mais informações www.aulasparticularesiesde.com.br
5
 11 7 
− 2
2 
⇒ A −1 = 

5
3

− 
 2
2 
Esse método é muito trabalhoso, principalmente
para matrizes de maior ordem. Vamos, então, desenvolver outros métodos para a obtenção da matriz inversa.
Obtenção da matriz inversa
usando determinantes
Matriz dos cofatores
Seja M uma matriz quadrada de ordem n. A
matriz dos cofatores M’ é a matriz obtida a partir de
M, substituindo cada elemento pelo seu cofator.
 a11 a12  a1n 
a
a22  a2n 
21

M=
 


 


an1 an 2  ann 
1 0 2
 A11
A
21
M’= 
 

 A n1
A12  A1n 
A 22  A 2n 



 

A n 2  A nn 
 −3
9 −1
−6 −1
 −2 1 1 
Se M = 2 1 3 , então M ’ =  2
 3 1 0 
Matriz adjunta
Seja M uma matriz quadrada de ordem n e M’
a matriz dos cofatores de M, a matriz adjunta de M,
indicada por M , é a transposta da matriz M’.
M = (M ’)t
 −3 2 −2
No exemplo acima M =  9 −6 1  .


 −1 −1 1 
Teorema para o cálculo
da matriz inversa
Seja M uma matriz quadrada de ordem n com
det M ≠ 0, e M a sua matriz adjunta, a matriz inversa de M, indicada por M -1, é dada por:
1
M −1 =
⋅ M , onde det M ≠ 0
det M
No mesmo exemplo como det M = –5, temos
6
 3

3
2
2
−
−
  5

1
9


M −1 =
⋅ 9 −6 1   −
 5
−5 
 −1 −1 1  
 1
 5
2
5
6
5
2
5
−
2 
5 

1
− .
5
1
− 
5 
Note que, sendo M uma matriz quadrada, a
inversa de M existe se, e somente se, det M ≠ 0.
Método da
eliminação de Gauss
Operações elementares
com linhas
Denominam-se operações elementares com
linhas em uma matriz às três seguintes operações:
a)permutação de duas linhas quaisquer;
b)multiplicação de uma linha por um escalar;
c) substituição de uma linha pela sua soma com
outra multiplicada por um escalar não-nulo.
Matrizes equivalentes
Duas matrizes A e B de mesma ordem são equivalentes, indicadas por A ~ B, quando uma é obtida
da outra por meio de uma sequência de operações
elementares.
Determinação de matrizes
inversas pelo método de
eliminação de Gauss
Esse método consiste em colocar uma
matriz identidade ao lado da matriz considerada.
Em seguida, efetuam-se as mesmas operações
elementares nas filas de ambas as matrizes até que
a matriz A tenha sido reduzida à matriz identidade.
A matriz identidade, sobre a qual foram efetuadas
as operações elementares, será convertida, então,
na matriz inversa de A.
Observemos a aplicação desse método no
exemplo a seguir:
1 3 3 
Seja a matriz A = 1 4 3
1 3 4 
Esse material é parte integrante do Aulas Particulares on-line do IESDE BRASIL S/A,
mais informações www.aulasparticularesiesde.com.br
EM_V_MAT_011
Usando a igualdade das matrizes obtemos a =
–11/2, b = 7/2, c = 5/2 e d = –3/2.
1 3 3 1 0 0 
1 3 3 1 0 0
[A Ι 3 ] = 1 4 3 0 1 0  (1) 


 ~ 0 1 0 −1 1 0 
1 3 4 0 0 1 
0 0 1 −1 0 1 
a) 0 e 4
1 0 3 4
(2) 0 1 0 −1
~ 
0 0 1 −1
 7 −3

−1
A =  −1 1
 −1 0
d) –3 e 4
−3 0 
1 0  (3)
~
0 1 
−3
0

1 
1 0 0 7 −3 −3


0 1 0 −1 1 0 
0 0 1 −1 0 1 
b) 4 e 5
c) –3 e 5
e) 0 e 5
``
Solução: C
−3 0 
–k.
5 
M – k . I = 
4
1)2.ª linha menos 1.ª linha e 3.ª linha menos
1.ª linha.
det(M–k.I) =
2)1.ª linha menos o triplo da 2.ª linha.
3)1.ª linha menos o triplo da 3.ª linha.
−3 − k
4
1 0 
 −3 − k
0 1  =  4



0 
5 − k 
0
=(–3 –k).(5–k) –4.0 = 0
5 −k
(– 3 – k) . (5 – k) = 0 ⇔ k = – 3 ou k = 5
3. (UFC) Uma matriz é dita singular quando seu determinante é nulo. Então, os valores de c que tornam
singular a matriz 1
1. (Fuvest) Uma matriz n X n, n > 2, é constituída de “zeros”
e “uns”, de forma que em cada linha e em cada coluna
haja exatamente um “um”. O determinante dessa matriz
é necessariamente:
a) 1 e 3
1
9
c
1
são:
c

3
b) 0 e 9
a) 0 ou 1
c) –2 e 4
b) 1 ou –1
d) –3 e 5
c) 0 ou –1
e) –9 e –3
d) n ou –n
``
e) n –1 ou 1 – n
``
1

1
Solução: B
Lembrando a definição do determinante de uma matriz
quadrada de ordem n, que é o somatório de todos os
produtos distintos possíveis de n fatores, escolhidos de
tal forma que em cada um desses produtos haja exatamente um fator de cada linha e de cada coluna, e que
seja associado a cada um dos produtos o sinal positivo
ou negativo conforme as permutações dos subíndices
de linhas e colunas sejam da mesma classe ou de classe
distinta.
Como em cada linha e em cada coluna há exatamente
um “um”, o somatório do determinante apresentará
apenas um termo não-nulo constituído por todos os
“uns” e a esse termo pode ser atribuído sinal positivo ou
negativo dependendo da classe da permutação.
Solução: D
1
1

det 1

1
9
c
1
c

2
2
3  = 27 + c + c – 3 – c – 9 = – c +
2c + 15.
Como a matriz é singular, o seu determinante é nulo.
Logo,
c2 – 2c – 15 = 0 c = – 3 ou c = 5.
Portanto, para c = – 3 e c = 5, a matriz dada é singular.
4. (Unesp) Foi realizada uma pesquisa, num bairro de
determinada cidade, com um grupo de 500 crianças
de 3 a 12 anos de idade. Para esse grupo, em função
da idade x da criança, concluiu-se que o peso médio
p(x), em quilogramas, era dado pelo determinante da
matriz A, onde:
EM_V_MAT_011
Logo, o determinante da matriz é 1 ou –1.
 −3 0
2. (UFF) Considere a matriz M =  4 5 . Os valores de
k que tornam nulo o determinante da matriz M – k . I ,
sendo I a matriz identidade, são:
Esse material é parte integrante do Aulas Particulares on-line do IESDE BRASIL S/A,
mais informações www.aulasparticularesiesde.com.br
7
é1
ê
A=ê3
ê
ê0
ë
−1 1 ù
ú
0 − xú
2ú
2
ú
3û
7.
1
1
1 1+ a

1
1

1
1

Com base na fórmula p(x) = det A, determine:
a) O peso médio de uma criança de 5 anos.
é dado por:
a) ab + ac + bc
b) A idade mais provável de uma criança cujo peso é
30kg.
b) abc
c) zero
Solução:
d) abc + 1
a) 18kg
O peso médio de uma criança de 5 anos é dado por
p(5).
e) 1
``
Aplicando a Regra de Sarrus, vem:
1
p(x) = 3
0
−1 1
0 −x = 2x + 8
2
2
3
1
1
1
1
5. A matriz quadrada A, de ordem n, é antissimétrica. Se
n é ímpar, calcule o determinante de A.
1
1
1
1
A é antissimétrica ⇒ At = –A ⇒ det (At) = det (–A)
n é impar
⇒ det (At) = – (–1)n . det (–A)
det (At) = det (–A)
⇒ det A = 0
1
1
1+b
1
1
1
1
0
=
1
0
1+c
0
xA
alinhados somente se xB
xC
1
a
0
0
1
0
b
0
1
0
= abc
0
c
yA 1
yB 1 = 0.
yC 1
Determine a sabendo que os pontos A (a, 2), B (3, a) e
C (5, 0) estão alinhados.
b) 8
c) 16
``
d) 32
Solução:
a = 1 ou a = 4
e) 64
Solução: D
det (2 . A . At ) = 4 x ∴ 23 . det A . det At = 4x
Como det A = det At, então: 2 . det 2A = x ⇔
8
1
1+a
1
1
8. Sabendo que três pontos A(xA, yA), B(xB, yB) e C(xC, yC) estão
a) 4
x = 2 . 42 = 32
1
a 0 0
= abc
1 =
0 b 0
1
0 0 c
1+c
O resultado acima foi obtido usando o fato de que o
determinante de uma matriz triangular superior é igual ao
produto dos elementos de sua diagonal principal.
Como det (At) = det (A), então det A = –det A
``
1
1
1+b
1
2.a Solução: Vamos subtrair a 1.a linha da 2.a, 3.a e 4.a
linhas, respectivamente:
Solução:
6. (ITA) Sendo A uma matriz real quadrada de ordem 3,
cujo determinante é igual a 4, qual o valor de x na equação
det (2 . A . At ) = 4x ?
1
1+a
1
1
O resultado foi obtido usando o fato de que o determinante de uma matriz diagonal é igual ao produto dos
elementos de sua diagonal principal.
b) 11 anos p(x) = 30 ⇒ 2x + 8 = 30 ⇒ x = 11 anos
Solução: B
1.a Solução: Como a11 = 1, podemos aplicar a Regra
de Chió:
p(5) = 25 + 8 = 18kg
``
1 
1 

1 

1+ c 
1
1
1+ b
1
a 2 1
3 a 1 = 0 ⇒ a2 – 5a + 4 = 0 ⇒
5 0 1
a = 1 ou a = 4.
 − 11
2
 5
 2
Esse material é parte integrante do Aulas Particulares on-line do IESDE BRASIL S/A,
9. (Unirio) O valor de a tal que 
mais informações www.aulasparticularesiesde.com.br

2  seja a matriz
− 32 

7
EM_V_MAT_011
``
(ITA) Quaisquer que sejam os números reais a, b e c, o
determinante da matriz
3 7
inversa de 
 é:
a) 1
b) 3
det A = ad – bc
c) 1/5
A11 = (–1 )1+1 d = d
d) 2
A21 = (–1 ) 2 +1 c = –c
e) 5
``

2 
−3 
2
7
.
7 a − 33

0
 2
3 7 
1 0
 = 
a 11 = 



15 − 3 a 1 
0 1 
 2

15 − 3 a 15 − 3 ⋅ 5
=
=0
2
2
 1 0 1
10. (UFBA) O elemento a 23 da matriz inversa de  2 1 0 
 0 1 1
é:


A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
L
M
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
N
O
P
Q
R
S
T
U
V
X
Z
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
a palavra P é transformada em um vetor X de R3. Em
seguida, usando a matriz código:
a) –1
b) –1/3
2 2 0 
A = 3 3 1


 1 0 1
c) 0
d) 2/3
e) 2
0 1 1 


A −1 =
1
⋅A
det A
det A = 3
O elemento a23 da matriz inversa é igual ao elemento a23
da matriz adjunta dividido pelo det A.
Como a matriz adjunta é a transposta da matriz dos
cofatores, o elemento a23 da matriz adjunta é igual ao
elemento A32 da matriz dos cofatores.
1 1
=2
A32 = ( -1 )3 +2 ×
2 0
a c
-1
11. Seja a matriz A = 
 , onde ab ≠ cd, obtenha A .
EM_V_MAT_011
b d
``
o vetor Y é obtido pela equação Y = A . X.
Por exemplo, a palavra MAR corresponde ao vetor X
= (12, 1, 17) e é codificada como Y = AX = (26, 56, 29).
Usando o processo acima, decodifique Y = (64, 107, 29).
Obs.: Os vetores no R3 devem ser considerados como
matrizes-coluna 3x1, para que haja conformabilidade
na multiplicação.
Solução: D
1 0 1 
−c 
a 
12. (UFRJ) Marcos Charada, o matemático espião, concebeu
um código para transformar uma palavra P de três letras
em um vetor Y de R3 como descrito a seguir. A partir da
correspondência:
7a – 33
=1⇔a=5
2
A =  2 1 0 
A22 = (–1 ) 2 +2 a = a
−b 
 d −c 
⇒ A=

a 
 −b a 
d
1
⇒ A -1 = 1 A =
ad − bc  −b
det A
Solução: E
 −11
2

 5
 2
A12 = (–1 )1+2 b = –b
d
A ´= 
 −c
Se uma matriz é a inversa da outra, então o seu produto
resulta a matriz identidade de ordem 2.
``
−c 
a 
d
1
ad − bc  −b
A-1 =
 a 11
``
Solução:
Y = A . X ⇒ X = A-1 . Y
A
-1
é 1 , 5 -1 1 ù
ê
ú
= ê -1
1 -1ú
ê
ú
ê-1, 5 1
0 úû
ë
 1, 5
X =  −1

 −1, 5
−1 1   64  18 
1 −1 ⋅ 107  = 14 
 
  
1 0   29  11 
X = (18, 14, 11) ⇒ palavra “sol”.
Solução:
Esse material é parte integrante do Aulas Particulares on-line do IESDE BRASIL S/A,
mais informações www.aulasparticularesiesde.com.br
9
c) 3/2
d) 4/3
e) 4/5
1. (UERJ) Observe a matriz a seguir.
sen x
sen x
sen x

2
cos x
cos x
1
0
1
1
7.


(Unesp) Considere a matriz A = (aij)2x2, definida por
a ij = −1 + 2i + j para 1 ≤ i ≤ 2, 1 ≤ j ≤ 2. O determinante de
A é:
Reso☻lvendo seu determinante, será obtido o seguinte
resultado:
a) 1
a) 22
b) sen x
d) –2
c) sen2 x
e) –4
d) sen x
3
b) 2
c) 4
8. (UCP) Calcule x e y, de sorte que:
2. (Fuvest) Calcule os determinantes a =
eb=
e
.
0 3
3. (Fuvest) O número de raízes da equação
a) 0
0 3
4 3
x
1
x
2 =0
x
3
a) x = 1, y = 3
é:
b) x = 3, y = 2
b) 1
c) x = 4, y = 4
c) 2
d) x = 4, y = 3
d) 3
e) x= 2, y = 5
4. (UFF) Considere a matriz A = ( aij )3x 3, tal que
Calcule o determinante de A.
a ij = 2i − j
.
5. (UFSC) Obtenha a soma dos números associados à(s)
proposição(ões) correta(s).
(01) O número de elementos de uma matriz quadrada de
ordem 12 é 48.
(02) Somente podemos multiplicar matrizes de mesma
ordem.
(04) A soma das raízes da equação
x
4
4
x
x
4
x
x
x
= 0 é 8.
(08)Uma matriz quadrada pode ter diversas matrizes inversas.
3 x − 2 y = 0
é indeterminado.
x + y = 0
(16) O sistema 
Soma (
)
6. (Unesp) Se a e b são as raízes da equação
x
log2 x
1
8
log2 x
2
a) 2/3
b) 3/4
10
x
0
2
0 =0
3
, onde x > 0, então a + b é igual a:
9. (UFCE) Considere a matriz
a ij = i − j . Calcule
.
A = [a ij ]3 x 2
tal que
10. (FGV) A é uma matriz quadrada de ordem 2 e det (A) =
7. Nessas condições, det (3A) e det (A−1) valem respectivamente:
a) 7 e −7
b) 21 e 1/7
c) 21 e −7
d) 63 e −7
e) 63 e 1/7
11. (UFSC) Sejam A, B e C matrizes. Determine a soma
dos números associados à(s) proposição(ões)
verdadeira(s).
(01) A ⋅ B só é possível quando A e B forem matrizes de
mesma ordem.
(02) ( A
t t
−1
) ⋅A = Ι
(04) det (A + B) = det A + det B.
(08)Se A é uma matriz de ordem n x m e B é de ordem
m x k, então A + B é uma matriz de ordem n x k.
Esse material é parte integrante do Aulas Particulares on-line do IESDE BRASIL S/A,
mais informações www.aulasparticularesiesde.com.br
EM_V_MAT_011
e) 4
2
.
(16) Se A é uma matriz de ordem n, então det (kA) = kn
det (A), k ∈ R.
Soma (
)
(08)Se
A = ( a ij )
2
A − traço ( A ) ⋅ A + det( A ) ⋅ Ι = 0 onde 0 é a matriz
nula e traço(A) é a soma dos elementos da diagonal
principal da matriz A.
a) 32
Assinale a opção correta:
a) 01-V, 02-F, 04-F, 08-F, 16-V, 32-F
e) 96
uma matriz quadrada de ordem
b) 01-V, 02-F, 04-F, 08-V, 16-V, 32-F
p , se i = j
=
com p inteiro positivo. Em tais
2 p , se i ≠ j
c) 01-V, 02-F, 04, F, 08-F, 16-V, 32-V
13. (UFSCar) Seja
a ij
A = ( a ij )
condições, é correto afirmar que, necessariamente, det
d) 01-F, 02-F, 04-F, 08-F, 16-V, 32-V
17. (UFPA) O valor de um determinante é 12. Se dividirmos
a 1.ª linha por 6 e multiplicarmos a 3.ª coluna por 4, o
novo determinante valerá:
A é múltiplo de:
a) 2
b) 3
a) 8
c) 5
b) 18
d) 7
c) 24
d) 36
e) 11
14. (Unesp) Sejam A e B matrizes quadradas de ordem 3.
1 2 3
Se A = 0 −1 1 e B é tal que B −1 = 2 A , o determinante
1 0 2
de B será:
a) 24
b) 6
c) 3
d) 1/6
e) 1/24
15. (UFV) Seja A uma matriz inversível de ordem 2. Se
2
det( 2 A ) = det( A ) , então o valor de det (A) é:
e) 48
18. (UFV) O valor do determinante
a) w
é:
d) x
e) zero.
19. (Fuvest) O símbolo det (M) indica o determinante de
uma matriz M. Se A e B são matrizes inversíveis de ordem
2, então a alternativa falsa é:
b) 1
b) det (5A) = 25 ⋅ det (A)
c)
d) 0
3x + w
3y +w
3z + w
c) 1
a) det (A ⋅ B) = det (B ⋅ A)
c) 3
1 x
1 y
1 z
b) y
a) 2
det(B
−1
)=
1
det(B )
d) det (A) ≠ 0
e) 4
16. (UEM) Sendo A, B, C e D matrizes n x n, julgue as
afirmações abaixo:
t
(01) det( A ⋅ B ) = det( A ) ⋅ det(B )
(02) (A + B)2 = A2 + 2AB + B2 e (A − B)⋅(A + B) = A2
−B2
(04) det(C
então os valores de x que
tornam D não-invertível são −1 e 7.
d) 80
EM_V_MAT_011
 1 2 −3 
0 ,
D = x − 3 4
 2 0 x − 1
(32) Se
c) 64
3, tal que,
n
det( A ) = ∑ a ii
i =1
(16) Se A é matriz de ordem 2 x 2, então
12. (UFCE) Sejam A e B matrizes 3 x 3, tais que det A = 3
e det B = 4. Então det (A ⋅ 2B) é igual a:
b) 48
é matriz triangular, então
n
) = n ⋅ det(C )
e) det (3A) = 3 ⋅ det(B)
20. (UERJ) João comeu uma salada de frutas com a, m e
p porções de 100g de abacaxi, manga e pêra, respectivamente, conforme a matriz X. A matriz A representa
as quantidades de calorias, vitamina C e cálcio, em mg,
e a matriz B indica os preços, em reais, dessas frutas
em 3 diferentes supermercados. A matriz C mostra que
Esse material é parte integrante do Aulas Particulares on-line do IESDE BRASIL S/A,
mais informações www.aulasparticularesiesde.com.br
11
João ingeriu 295,6cal, 143,9mg de vitamina C e 93mg
de cálcio.
MATRIZ X
MATRIZ A
Porções de 100g
(por cada 100g)
Manga
Pêra

m 
 
p 
 52 64, 3 63, 3
Calorias 

Vita min a C  27, 2 43 3, 5 
Cálcio  18
21 15 

MATRIZ C
MATRIZ B
295, 6
Calorias
Vita min a C ( mg ) 143, 9 


Cálcio ( mg ) 93 
(por cada 100g)
Abacaxi Manga Pêra
Coma bem 0, 15 0, 30 0, 40 


Compre mais 0, 16 0, 25 0, 45


Boaa compra 0, 20 0, 27 0, 35


Considerando que as matrizes inversas de A e B
são A–1 e B–1, o custo dessa salada de frutas, em
cada supermercado, é determinado pelas seguintes
operações:
−1
a)
B ⋅A
b)
C ⋅A
c)
A
d)
B
−1
−1
⋅B
⋅A
−1
x ∈ R não admita inversa.

 1 2  N = a b
e
c d  .
 3 −1
Sabendo que a + 2c = 1, b + 2d = 0, 3a − c = 0 e 3b
=
− d = 1, podemos afirmar que:
a) o produto M⋅N é diferente da matriz identidade 2
x 2.
b) det (N) = 0.
x + 2 y
3 x − y
c) o sistema linear 
=1
=0
não tem solução.
d) n é inversa de M.
3
2
e
25. (UFSCar) Sejam as matrizes A = 
log 0, 1 5


log 0, 01 0 

B =
 . Calcule:
−3
 4
a) O determinante da matriz (B − A);
b) A matriz inversa da matriz (B − A).
⋅C
27. (Unirio) Sendo
21. (FGV) A matriz
somente se:
A=
1
x
 2
x
1
2
1
5

2 7
1 3 , obtenha a matriz B tal que
B ⋅ A = Ι 2 , onde Ι 2 é a matriz identidade de ordem 2.
admite inversa se, e
4 25
a) x ≠ 5
b) x ≠ 2
b)
d) x ≠ 4 e x ≠ 25
e) x ≠ 4
c)
 x 1
 3 −1
 5 3 é inversa de B =  y 2  .
Nessas condições, podemos afirmar que a soma x + y
vale:
22. (FGV) A matriz
n
4 ⋅ a
b
4⋅n ⋅ a
b
2
4⋅n ⋅ a
b
A=
a) –1
b) –2
A=
28. (PUCRS) Se A e B são duas matrizes quadradas de
ordem n e det (A) = a, det (B) = b, a ≠ 0, b ≠ 0, então
−1
det( 4 A ⋅ B ) é igual a:
a)
c) x ≠ 2 e x ≠ 5
d) 4ab
e)
4a
b
29. (UFPB) A inversa da matriz
c) –3
d) –4
A
e) –5
23. (U FF) Determine o(s) valor(es) de x para que a matriz
12
−x
1
x ,

1
⋅C
⋅B
−1
0
26. ( Unirio) Para que valor(es) real(is) de x a matriz
 1 x −3 4 
 3
0
− x  é invertível?
 −2 x 4 −8 
⋅C
−1
0
24. (UFRN) Considere as matrizes M
Abacaxi Manga Pêra

M
−1
=
4
0
2 2
−
1
x −1
2 0 .

−3 1 
 1 0 1
A =  0 1 0
 2

3 4
é a matriz
Então, o valor de x é:
a) –1
b) 0
Esse material é parte integrante do Aulas Particulares on-line do IESDE BRASIL S/A,
mais informações www.aulasparticularesiesde.com.br
EM_V_MAT_011
Abacaxi a
x 3
= 1
0

7.
c) 1
(UFPA) Se a e b são raízes da equação
1
d) 3
3
−1
3
0 log 3 x
3
1 / 9 log x
e) 2
x
0 =0,
onde x > 0, então:
1
a) a + b = 0
b) a ⋅ b = 1/2
1. (FGV) Seja
então:
1
1
D = 1 sec x
0 tgx
0
tgx
sec x
. Se D = 0 e π ≤ x ≤2π,
8. (IME) Calcule o número natural n que torna o determinante abaixo igual a 5.
b) x = 2π
d) x =
e) x =
d) a + b = 3
e) a ⋅ b = 1
a) x = π
c) x =
c) a = b
5π
4π
4. (UFF) Numa progressão aritmética, de termo geral an e
razão r, tem-se
a 5 a 4 
a 4 a12  .
a1 = r =
1
2
. Calcule o determinante da matriz
x
5. (Unirio) Considere a matriz A = 1 / 3
 0
−6 x 
2x
1  . Sejam f e
3 1 / 2

g funções definidas por f ( x ) = det A e g(x) = x −1. Calcule todos os valores de x reais, tais que f(x) = g(x).
 x1
A= 0
 x
3
EM_V_MAT_011
log2 x
1
x
log2 x
2
0 =0
3
x1
−x2
1
1

e
B =
 x1
 0
 − x
3
0
−x2
0


−x 3

0
0
b) det A = b e a = 2.
c) det B = 2 e b = 5.
d) det (A – B) = a e b = det A.
e) det A = a/2 e b = a/2.
10. (ITA) Quaisquer que sejam os números reais a, b e c, o
determinante da matriz
1
1
1
1

1
1+ a
1
1
1
1+ b
1
1



1+ c 

1
1
1
é dado por:
a) ab + ac + bc
0
2
−1
0
onde x1, x2 e x3 são raízes da seguinte equação em x: x3
+ ax2 + bx – 2 = 0. Se det A = 4x1 e det (A – B) = 8,
então podemos afirmar que:
a) det (A – B) = b e a = 2.
6. ( AFA-S P) O produto das raízes da equação:
8
0
0
−1
9. (ITA) Dadas as matrizes:
6
3. (UFRJ) Os número reais a, b, c e d formam, nesta ordem,
uma progressão aritmética. Calcule o determinante da
e a e b 
matriz A =  c d  .
e e 
x
0
−1
1
log2 ( n − 1) log2 ( n + 1) log2 ( n − 1) log2 ( n − 1)
3
7π
2. (Unicamp) Determine todas as raízes da equação do 3.º
 x 2 2 x 1
grau: det  x x + 1 1 = 0.
 1 2 1


2
−1
1
0
1
0
0
4
*
, com x ∈  + , é
b) abc
a) 1/2
c) zero
b) 3/4
d) abc + 1
c) 4/3
e) 1
d) 3/2
Esse material é parte integrante do Aulas Particulares on-line do IESDE BRASIL S/A,
mais informações www.aulasparticularesiesde.com.br
13
11. (Unesp) Considere as matrizes reais 3 x 3:
m
e x
 1
p
n
z

1
y
1
Se indicarmos por A e B, respectivamente, os
determinantes dessas matrizes, o determinante da
 a + m + 1 b + n + 1 c + p + 1
matriz  1
1
1  é igual a:

 2 x
2y
2z 
a) –2A – 2B
F (x ) =
x
4
+x
3
x
e
2
x
G(x ) =
2
−1
x
, com x ∈ R,
x 0.
Sobre as raízes reais dessa equação, temos:
a) duas delas são negativas.
b) uma delas é um número irracional.
c) uma delas é positiva e outra negativa.
d) n.d.a.
15. (ITA) Sabendo-se que a soma das raízes da equação:
b) 2A +2B – 1
1 −1
x 0
0 b
b x
c) 2A +2B
d) – 2A – 2B – 1
e) 2A – 2B – 1
12. (U fscar) Se A é uma matriz quadrada, indicaremos
por det A o determinante da matriz A. Considere a
equação:
x
x
det
x
 x
m
x
x
x
r
n
x
x
s
q
=0
p

x
na variável x, com m, n, r, s, p e q constantes. As raízes
dessa equação são:
a) 0, r, s e q.
b) S ⊂ [1, 5]
c) S ⊂ [−1, 3]
d) S ⊂ [−10, 0]
e) S ⊂ [0, 3]
16. (ITA) Sejam A e B matrizes reais quadradas de ordem
2 que satisfazem a seguinte propriedade: existe uma
matriz inversível tal que:
A=M
c) 0, r, s e p.
Então:
d) 0, m, n e q.
a)
e) 0, m, r e s.
13. (ITA) Sejam A, B e C matrizes quadradas n x n, tais que A
e B são inversíveis e ABCA = At , onde At é a transposta
da matriz A. Então podemos afirmar que:
a) C é inversível e
det C = det( AB )
−1 .
b) C não é inversível, pois det C = 0.
c) C é inversível e det C = det B.
d) C é inversível e
e) C é inversível e
2
det C = (det A ) ⋅ det B .
det C =
det A
det B
.
Nota: det X denota o determinante da matriz quadrada
X.
14. (ITA) Considere a equação

0 2
x 0
=0
x x
2 b
é –8/3 e que S é o conjunto destas raízes, podemos
afirmar que:
a) S ⊂ [−17, −1]
b) 0, m, n e p.
2
det  G ( x )

2
[G ( x )]
14
− x +1
2
2
−1
BM
t
det( − A ) = det B
b) det A = −det B
c) det (2A) = 2det B
d) Se det B ≠ 0, então det (−AB) < 0
e) det (A −Ι) = −det (Ι −B)
17. (IME) Calcule o determinante:
1
1
1
1
1
1
1
1
3
1
1
1
1
1
1
1
5
1
1
1
1
D= 1
1
1
7
1
1
1
1
1
1
1
9
1
1
1
1
1
1
1
11
1
1
1
1
1
1
1
13

2x
F (x )  = 0
2
2
4x
[F ( x )] 
Esse material é parte integrante do Aulas Particulares on-line do IESDE BRASIL S/A,
mais informações www.aulasparticularesiesde.com.br
EM_V_MAT_011
a b c
x y z
 1 1 1
onde
22. (Unicamp) Considere as matrizes:
 cos θ sen θ 0 
M =  − sen θ cos θ 0 
 0

0
1

18. (ITA-SP)Sabendo que a área de um triângulo de
vértices A( x A , y A ) , B ( x B , y B ) e C ( x C , y C ) é dada por:
S =
1
2
xA
yA
1
xB
xC
yB
yC
1
23. (ITA) Considere P a matriz inversa da matriz M, onde
1


 . A soma dos elementos da diagonal principal
1

1
0

M = 3
1

7
da matriz P é:
a) 9/4
b) 4/9
c) 4
d) 5/9
c) (−1/3, 0) ou (5, 0)
e) –1/9
d) (−1/3, 0) ou (4, 0)
24. (ITA) Seja A uma matriz quadrada inversível, de ordem 3.
Seja B a matriz dos cofatores da matriz A. Sabendo-se que
det A = −2, calcule det B.
e) (−1/5, 0) ou (3, 0)
19. (ITA) Sejam a, b, c e d números reais não-nulos. Exprima
o valor do determinante da matriz
a
quadrada B, de ordem 2, tal que AB é a matriz identidade
2
de ordem 2 é:
2
1 b
b
1 c

2
d 

1 d
c
a)
AB
−1
=B
1
1
21. (ITA) Considere a matriz A = 
1
1

c) 3
d) 4
e) 5
 3
−
b)  2
 3




1
2
1
3
1
4
4 9 16
8 27 64

. A soma
dos elementos da primeira coluna da matriz inversa
de A é:
b) 2
log 27
a)  3
2

3
−
c)  2
−1
A
b) A é inversível.
a) 1
1+log 5
a b 
25. (ITA) Seja a matriz A = c d  onde a = 2( 2 ) ;


e d = log 3 27 . Uma matriz real
2
na forma de um produto de números reais.
20. (ITA) Sejam A e B matrizes 2 x 2, tais que AB = BA e
que satisfazem à equação matricial A 2 + 2 AB − B = 0 . Se
B é inversível, mostre que:
EM_V_MAT_011
a) Calcule o determinante de M e a matriz inversa de
M.
b) (−1/2, 0) ou (4, 0)
1 a
,
 1
x
 y  Y =  0
 3
 z 
e
b) Resolva o sistema MX = Y.
Resolva a questão seguinte:
A área de um triângulo é de 4 unidades de superfície.
Sendo dois de seus vértices os pontos A: (2, 1) e B:
(3, −2). Sabendo que o terceiro vértice encontra-se
sobre o eixo das abscissas, pode-se afirmar que suas
coordenadas são:
a) (−1/2, 0) ou (5, 0)
bcd
acd

abd
 abc
X =
2

2
d) 
3
−
 2

5
3

81


2

−5



5
− 
2
2



log2 5

log2 5
e) 
2
log
−
3
2
81
3 
log2 81 
−2

3 log
26. (ITA) Seja A a matriz 3 x 3 dada por:
 1 2 3
A =  1 0 0
3 0 1
Sabendo-se que B é a inversa de A, então a soma dos
elementos de B vale:
Esse material é parte integrante do Aulas Particulares on-line do IESDE BRASIL S/A,
mais informações www.aulasparticularesiesde.com.br
15
a) 1
b) 2
c) 5
d) 0
e) –2
27. (ITA) Seja a ∈ R e considere as matrizes reais 2 x 2,
7a −1 8a −3 
3a −1
B
=
e
A=
 7 2 −3  . O produto AB será
 −1 3a 




inversível se, e somente se:
a)
2
a − 5a + 6 ≠ 0
b)
2
a − 5a ≠ 0
c)
2
a − 3a ≠ 0
d)
2
a − 2a + 1 ≠ 0
e)
M =
é igual a:
4
1
4
1
2
R1  Alessandra
R 2  Joana
R3

Sônia
Sabendo-se que o determinante de M é não-nulo,
obtém-se a matriz que fornece, em real, o custo
de cada porção de tomate, pimentão e repolho,
efetuando-se a operação:
a) MN
b) NM–1
b) 4(a + 1)
1
T3
P1
P2
P3
 A  Alessandra
 
Joana
N = J 
 
Sônia
S 
a − 2a ≠ 0
−1
T1
T2
pimentão repolho
A matriz N fornece, em real, o custo das saladas:
a) a + 1
e)



2
( AB )
d)
A matriz M fornece o número de porções de tomate,
pimentão e repolho usadas na composição das
saladas:
tomate
2 + a a
28. (ITA) sejam as matrizes reais de ordem 2, A = 

1
1

1
1 
eB=
.
a 2 + a 
Então a soma dos elementos da diagonal principal de
c)
30. (UFF) Alessandra, Joana e Sônia vendem saladas
prontas, contendo porções de tomate, pimentão e
repolho.
c) MN–1
2
( 5 + 2a + a )
d) M–1 N
2
(1 + 2a + a )
e) N–1M
2
( 5 + 2a + a )
29. (ITA) Sejam x, y e z números reais com y ≠ 0. Considere
a matriz inversível
x
A = y
 z
1
1
31. Considere a matriz A, n x n, de coeficientes reais, e
k um número real diferente de 1. Sabendo-se que
3
A = k ⋅ A , prove que a matriz A +Ι é invertível, onde Ι
é a matriz identidade nxn.
0 0
−1 1

Então:
a) A soma dos termos da primeira linha de A−1 é igual
a x +1.
b) A soma dos termos da primeira linha de A−1 é igual
a 0.
c) A soma dos termos da primeira coluna de A−1 é
igual a 1.
e) O produto dos termos da terceira coluna de A−1 é
igual a 1.
16
Esse material é parte integrante do Aulas Particulares on-line do IESDE BRASIL S/A,
mais informações www.aulasparticularesiesde.com.br
EM_V_MAT_011
d) O produto dos termos da segunda linha de A−1 é
igual a y.
14. E
15. E
16. C
1. D
17. A
2.
18. E
a) 2
19. E
b) –6
20. A
3. A
21. C
4. 0
22. C
5. 1(F) 2(F) 4(V) 8(F) 16(F)
23. 0, –1 ou 1
6. C
24. D
7.
25.
D
8. B
a) 50
9. 0
 4
−
b)  251
−
 10
10. E
EM_V_MAT_011
soma = 4
11. F, V, F, F, V
12. E
13. C
soma = 18
1

25 
1
− 
10 
26. x 1
 −3
27.  1

7
−2

Esse material é parte integrante do Aulas Particulares on-line do IESDE BRASIL S/A,
mais informações www.aulasparticularesiesde.com.br
17
28. A
29. C
29. D
30. D
31. Demonstração.
1. B
2. 1 (tripla)
3. 0
4. 11
5. x 1
6. A
7.
D
8. n = 3
9. C
10. B
11. A
12. B
13. A
14. e (a única raiz real é a raiz dupla 1)
15. d, S = {– 5/3, – 1, 0}
16. A
17. 46080
18. C
19. (b – a)(c – a)(d – a)(c – b)(d – b)(d – c)
20. Demonstração
21. A
22.
a) det M = 1 e
b) x = cos θ, y = sen θ e z = 3
23. C
24. 4
25. C
26. B
27. E
18
EM_V_MAT_011
28. C
Esse material é parte integrante do Aulas Particulares on-line do IESDE BRASIL S/A,
mais informações www.aulasparticularesiesde.com.br
EM_V_MAT_011
Esse material é parte integrante do Aulas Particulares on-line do IESDE BRASIL S/A,
mais informações www.aulasparticularesiesde.com.br
19
EM_V_MAT_011
20
Esse material é parte integrante do Aulas Particulares on-line do IESDE BRASIL S/A,
mais informações www.aulasparticularesiesde.com.br