Instituto Politécnico de Tomar
Escola Superior de Tecnologia de Tomar
Área Interdepartamental de Matemática
Ficha de exercícios de Matemática II
Design e Tecnologia das Artes Gráficas
Ano lectivo: 2006/2007
DETERMINANTES
1- Calcule os seguintes determinantes:
1 2 3
−1
3 1
6 9
13547 13547
a) |A| =
b) |B| =
c) |C| = 4 5 6 d) |D| = 2
5 3
8 12
28423 28423
7 8 9
1 −2 1
4
1
e) |E| =
5
1
2 −1
2
3
2 −3
f) |F| =
1 −4 −2
0
3 −1
b
3
h) |H| =
0
6
7
9
5
0
0
0
a
0
8
9
i) |I| =
1
0
a
b
k) |K| = 0
0
0
0
a
b
0
0
0
0
a
b
0
0
0
0
a
b
a
0
0
0
3
0
1
2
2 3
4
1 −1 2
g) |G| =
0
3 −3
1 −1 2
0 0
0 0
c 0
0 d
0
b
j) |J| =
0
0
2
1
0
1
0
a
1
a
5
1
4
2
4
0
3
7
0
1
0
7
2
0
1
0
1 −1
0 1
−1
2
0 a
b
ax a 2 + x 2 1
0
0 l) |L| = ay a 2 + y 2 1 .
0
az a 2 + z 2 1
a
2- Mostre que
1
1
a)
1
1
b)
a2
b2
c2
d2
y1
y1
y1
y1
x2
x2
y2
y2
x3
x3
= (y1-x1)(y2-x2)(y3-x3).
x3
y3
a 1 bcd
b
1 acd
c
1 abd
d
1
abc
=
a3
b3
a2
b2
a 1
c3
d3
c2
d2
c 1
b 1
.
d 1
Determinantes
1/4
⎡m − 1
m m − 1⎤
3
⎢
⎥
3- Sabendo que b 0 1 = 1, calcule o determinante da matriz B= ⎢ 1
0
1 ⎥ .
3
⎢
⎥
c 3 1
3
a
3b 3c ⎥
⎢⎣
⎦
a 1 1
4- Resolva as equações nas variáveis reais x, y e z:
2
4
1 + 3x
3 + 2x
1+ x
a) x
x2
0
x4
x 3 = 3x2-6x b) 9 + 3y
10 + 3z
3
6 + 2y
7 + 2z
3+ y = 0
2+z
1
x y
0 x
c)
0 0
y 0
⎡ 1
⎢ 2
5- Determine os valores do parâmetro real µ para os quais a matriz A = ⎢
⎢−1
⎢
⎣ 0
tem característica igual a 4 .
⎡4
⎢1
6- Considere a matriz A = ⎢
⎢2
⎢
⎣5
pode garantir que |A| = 0.
⎡4
⎢1
7- Dada a matriz ⎢
⎢k
⎢
⎣9
y
3
x
4
2
1
1
0
0 0
y 0
= 0.
x y
0 x
0 −1
µ
0
0
1
0⎤
1 ⎥⎥
µ − 1⎥
⎥
2
1⎦
0⎤
3⎥⎥
. Diga, justificando, para que valores de x e y se
0⎥
⎥
1⎦
4 - 3 1⎤
1 - 1 0⎥⎥
, determine k por forma a que o seu determinante seja nulo.
2 2 2⎥
⎥
9 k 3⎦
8- Diz-se que a matriz A é ortogonal se ATA=I. Mostre que, se A é ortogonal, então
|A| = ± 1.
9- Mostre que, se A é uma matriz de ordem ímpar e tal que −A=AT, então det A = 0.
10- Sejam M = XAB+(BTCXT)T e N=2In, com A,B,C e X matrizes regulares de ordem n.
Sabendo que |M| = |N|, calcule |X|.
11- Aplicando a teoria dos determinantes, indique quais das seguintes matrizes são regulares
e calcule a respectiva inversa:
2⎤
⎡1 2 − 1
3
1⎤
⎡ 1
⎡0 1 − 1⎤
⎢
⎥
1
3
2
−
3
⎡− 2 3⎤
⎢
⎥
⎥ d) D= ⎢1 2 − 1⎥
a) A= ⎢
b) B= ⎢ 0
1
2 ⎥ c) C= ⎢
⎥
⎢
⎥
⎢ 2 1 − 4 − 2⎥
⎣ 1 5⎦
⎢⎣− 2 − 6 − 2⎥⎦
⎢⎣1 3 3⎥⎦
⎢
⎥
3 − 1⎦
⎣1 0
Determinantes
2/4
0
0⎤
⎡1 − a
b
c ⎤
⎡ a
⎡3 − 1 y ⎤
⎢0
⎥
1
−
a
0
⎥ g) G= ⎢2 1 0 ⎥
e) E= ⎢⎢ 1
1
1 ⎥⎥ f) F= ⎢
⎢
⎥
⎢0
0
1 − a⎥
⎢⎣a + 1 b + 1 c + 1⎥⎦
⎢
⎥⎦
0
2
1
⎢
⎥
⎣
0
0
1⎦
⎣0
−1
0⎤
⎡1
h) H= ⎢⎢2
2
0 ⎥⎥ .
⎢⎣1 2 x 2 + 1 x 2 ⎥⎦
⎡1
⎢1
12- Seja A= ⎢
⎢1
⎢
⎣1
1⎤
2⎥⎥
.
1⎥
⎥
1⎦
a) Determine A . Em que condições A é regular ?
1
1
1
b
1
1
a
1
b) Considere a = 3 e b = 2. Sendo B e C duas matrizes de ordem 4 tais que
(A T )−1 = C −1BC, determine 2B .
13- Determine os valores dos parâmetros reais α e β para os quais a matriz
−1
0 ⎤
⎡1 0
⎢1 α α 2 + β
αβ ⎥⎥
⎢
A=
é invertível.
⎢0 1
α
β ⎥
⎢
⎥
2
⎣1 α α + β α + αβ ⎦
⎡ 2 − 2 1⎤
14- Seja A uma matriz de ordem 3 tal que det A =3 e cuja matriz adjunta é ⎢⎢ 0
3 0⎥⎥ .
⎢⎣− 1
1 1⎥⎦
Determine a matriz A.
⎡3 0 1 ⎤
15- Sendo A −1 = ⎢⎢0 2 3 ⎥⎥ , determine Adj A.
⎢⎣3 1 − 1⎥⎦
⎡a
⎢1
16- Seja A = ⎢
⎢0
⎢
⎣0
-1
A = AdjA.
1
a
1
0
a
1
1
0
1⎤
a ⎥⎥
. Determine os valores do parâmetro real a para os quais
1⎥
⎥
2⎦
17- Sejam A, B e C matrizes de ordem n tais que A = −1 , B = 2 e C = 3 . Calcule
A 2 BC T B −1 e B 2 C -1AB-1C T .
Determinantes
3/4
( )
T⎞
⎛
18- Se A é uma matriz de ordem 3 e det (2A −1 ) = −4 = det ⎜ A 3 B −1 ⎟ , calcule detA e detB.
⎝
⎠
19- Resolva os seguintes sistemas de equações lineares utilizando a regra de Cramer:
⎧3x + 4x 2 = 9
a) ⎨ 1
⎩ 2x1 − x 2 = −1
⎧ x+y+ z = 2
⎪
b) ⎨ x + 2 y + z = 1
⎪x + 2 y + 3 z = 3
⎩
⎧ x + y + z = −1
⎪
c) ⎨ − y + z = 3 .
⎪2x − y + 5z = 7
⎩
3⎤
⎡ α −1
⎢
20- Considere a matriz A = ⎢ 0
1 − 3⎥⎥ , com α, β ∈ IR.
⎢⎣− 1 − 2 β ⎥⎦
a) Determine, justificando, os valores de α e β para os quais o sistema AX=B, com
B=[1 1 1]T, é um sistema de Cramer.
b) Considerando α =1 e β =8, resolva AX=B, utilizando a regra de Cramer.
Determinantes
4/4