Determinante de uma matriz
Seja A uma matriz quadrada de ordem 2
A=
 a11 a12 
 a a  . Definimos det(A) = a11 a22 - a12 a21
 21 22 
Ex.: Seja A a matriz
A=
 1 2
 1 3


Então, det(A) = 1x3 – 1x2 = 3 – 2 = 1
Determinante de uma matriz 3 x 3 – Regra de Sarrus (Pierre Frédéric Sarrus)
Seja A uma matriz quadrada de ordem 3
 a11 a12 a13 


A =  a21 a22 a23  .
 a31 a32 a33 
Definimos det(A) =
a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32 –
a13 a22 a31 – a11 a23 a32 – a12 a21 a33
Regra de Sarrus
 a11 a12 a13   a11 a12 
a a a  a a 
 21 22 23   21 22 
 a31 a32 a33   a31 a32 
a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32
 a11 a12 a13   a11 a12 
a a a  a a 
 21 22 23   21 22 
 a31 a32 a33   a31 a32 
– a13 a22 a31 – a11 a23 a32 – a12 a21 a33
Ex.: Seja A a matriz
1 2 3 


A =  4 5 6
 7 8 9 
1 2 3  1 2 
 4 5 6  4 5

 

 7 8 9   7 8
Então, det(A) = 1x5x9 + 2x6x7 + 3x4x8 – 3x5x7 – 1x6x8 – 2x4x9 =
= 45 + 84 + 96 – 105 – 48 – 72 = 0
Permutações de dois inteiros
Existem 2 = 2! permutações distintas do conjunto {1, 2}
{1, 2}
{2, 1}
O número de inversões na permutação {1, 2} é igual a 0
O número de inversões na permutação {2, 1} é igual a 1
Uma permutação é chamada par se o número total de inversões é um
inteiro par.
Uma permutação é chamada ímpar se o número total de inversões é um
inteiro ímpar.
{1, 2} é uma permutação par
{2, 1} é uma permutação ímpar
Permutações de três inteiros
Existem 6 = 3! permutações distintas do conjunto {1, 2, 3}
{1, 2, 3}
{1, 3, 2}
{2, 1, 3}
{2, 3, 1}
{3, 1, 2}
{3, 2, 1}
O número de inversões na permutação {1, 2, 3} é igual a 0
O número de inversões na permutação {1, 3, 2} é igual a 1
O número de inversões na permutação {2, 1, 3} é igual a 1 + 0 = 1
O número de inversões na permutação {2, 3, 1} é igual a 1 + 1 = 2
O número de inversões na permutação {3, 1, 2} é igual a 2 + 0 = 2
O número de inversões na permutação {3, 2, 1} é igual a 2 + 1 = 3
{1, 2, 3} é uma permutação par
{1, 3, 2} é uma permutação ímpar
{2, 1, 3} é uma permutação ímpar
{2, 3, 1} é uma permutação par
{3, 1, 2} é uma permutação par
{3, 2, 1} é uma permutação ímpar
Seja A uma matriz quadrada de ordem 2
A=
 a11 a12 
 a a  . Definimos det(A) = a11 a22 - a12 a21
 21 22 
Observe que as ordens das linhas nos elementos da definição de det(A)
permanecem fixas e igual a {1, 2}, enquanto que as ordens das colunas
variam em cada parcela, correspondendo a uma permutação de {1, 2}. O sinal
de cada parcela é dado pela classificação da permutação corresponde (par ou
ímpar).
Seja A uma matriz quadrada de ordem 3
 a11 a12 a13 


A =  a21 a22 a23  .
 a31 a32 a33 
Definimos det(A) =
a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32 –
a13 a22 a31 – a11 a23 a32 – a12 a21 a33
O mesmo acontece com det(A), as ordens das linhas nos elementos da
definição de det(A) permanecem fixas e igual a {1, 2, 3}, enquanto que as
ordens das colunas variam em cada parcela, correspondendo a uma
permutação de {1, 2, 3}.
O sinal de cada parcela é dado pela classificação da permutação
corresponde (par ou ímpar).
Estas definições podem ser aplicadas para matrizes de ordem n x n, onde
n é um inteiro maior ou igual a 2.
Calculando determinante através de redução por linhas
Teorema: Seja A uma matriz quadrada.
(a)
(b)
Se A tem uma linha ou uma coluna de zeros, então det(A) = 0
det(A) = det(AT)
Teorema: Se A é uma matriz quadrada triangular n x n, então
det(A) = a11 a22 a33 ... ann
Teorema: Seja A uma matriz n x n.
(a)
(b)
(c)
Se B é a matriz que resulta quando uma única linha ou uma única
coluna de A é multiplicada por um escalar k, então det(B) = k
det(A)
Se B é a matriz que resulta quando duas linhas ou duas colunas de
A são permutadas, então det(B) = – det(A)
Se B é a matriz que resulta quando um múltiplo de uma linha de A
é somado a outra linha, então det(B) = det(A)
(d)
Se B é a matriz que resulta quando um múltiplo de uma coluna de
A é somado a outra coluna, então det(B) = det(A)
Teorema: Se A é uma matriz quadrada n x n com duas linhas ou duas
colunas proporcionais, então det(A) = 0.
Notação: Seja A a matriz
A=
 1 2
 1 3 ,


então
det(A) =
1 2
1 3
1 0 0
Ex.:
0 3 0 = 3;
0 0 1
0 0 1
1 0 0
0 3 0= − 0 3 0= −3
1 0 0
1 0 7
0 0 1
1 0 0
0 3 0= 0 3 0= 3
0 0 1
Ex.:
as colunas 1 e 3 foram permutadas;
7 vezes a última linha foi somada a primeira
0 0 1
1 4
= 0;
2 8
1 −2 7
− 4 8 5 = 0.
2 −4 3
Calculando determinante através de redução por linhas
 0 1 5


Ex.: Calcule det(A), onde A = 3 − 6 9


 2 6 1
0
det(A) =
1 −2
–3
0
0
1 5
3 −6 9
3 −6 9 = 0
2 6 1
2
1 −2 3
1 5 =–3 0
6 1
2
1 −2 3
1 5 =–3 0 1 5 =
6 1
0 10 - 5
3
1 5 = – 3 x 1 x 1 x (– 55) = 165
0 − 55
Propriedades básicas dos determinantes:
(a)
Se A é uma matriz n x n e k um escalar, então det(kA) = kn det(A)
(b)
Se A e B são matrizes quadradas n x n, então det(AB) =
det(A)det(B)
(c)
Uma matriz quadrada A é invertível se, e somente se, det(A) ≠ 0
(d)
Se A é invertível, então
det( A− 1 ) =
1
det( A)
Sistemas lineares da forma AX = λX
AX = λX
<=>
(A – λI)X = 0
Os valores de λ para os quais o sistema tem uma solução não trivial (X =
0) são chamados de autovalores.
Se λ é um autovalor de A,então cada solução não trivial de (A – λI)X = 0
é chamada um autovetor de A associado ao autovalor λ.
Ex.: Considere o sistema
 x + 3y = λ x

 4x + 2 y = λ y
<=>
1 3   x   λ x
 4 2  y  =  λ y 

   
<=>
 1 3   x   λ 0  x 
 4 2  y  =  0 λ   y 

  
 
<=>
1 3   x 
 1 0  x 
=
λ
 4 2  y 
 0 1  y 

 

 
<=>
1 3   x 
 1 0  x   0
 4 2  y  − λ  0 1  y  =  0

 

   
<=>
 1 3 
 1 0   x   0

−
λ

 0 1   y  =  0
 4 2


    

3   x   0
1 − λ
 4 2 − λ   y  =  0

   
onde A – λI =
<=>
(A – λI)X = 0
<=>
3 
1 − λ
 4 2− λ 


A equação característica de A é
det(A – λI) =
1− λ
4
3
2− λ
λ 2 − 3λ − 10 = 0
=0
<=>
os autovalores de A são
Por definição X =
 x
 y
 
ou
(λ + 2)(λ − 5) = 0
de modo que
λ = −2 e λ = 5
é um autovetor de A se, e somente se, X é uma
solução não trivial de (A – λI)X = 0
λ = −2
λ = 5
=>
 3
 4

3  x   0
=
4   y   0
=>
− 4
 4

3   x   0
=
− 3  y   0
=>
=>
X=
t 
 − t
 
X=
t

 4 
 − t
 3 
Expansão em co-fatores; Regra de Cramer
Se A é uma matriz quadrada, então o determinante menor do elemento
aij, denotado por Mij, é definido pela pelo determinante da submatriz que
sobra quando a i-ésima linha e a j-ésima coluna de A.
O número (-1)i+j Mij, denotado por Cij, é chamado de co-fator de aij.
Ex.: Encontrando determinantes menores e co-fatores
3

Seja A = 2

 1
Então,
 5
M 11 = 
 4
1 − 4
5
6
4 8 
6
1+ 1  5
=
40
−
24
=
16
C
=
(
−
1
)
,
11
 4
8

6
= ( − 1) 216 = 16

8
 3 − 4
M 32 = 
 = 18 + 8 = 26 ,
2
6


 3 − 4
C32 = ( − 1) 3+ 2 
= ( − 1) 5 26 = − 26

6
 2
Calculando um determinante segundo os seus co-fatores:
Seja A = (aij) uma matriz n x n. Então
det( A) = a11C11 + a12C12 + ... + a1nC1n
ou
det( A) = a11C11 + a21C 21 + ... + an1C n1
 3

Ex.: Seja A =  − 2
 5
0
−4
3  . Então
4 − 2 
1
3
det( A) = − 2
5
3  − 2
3
 −4
 −2
= 3
−
1
+
0
 

 5
 4 − 2  5 − 2

1
0
−4
3 =
4 −2
− 4
4 
= 3(− 4) − 1(− 11) + 0(12) = − 12 + 11 = − 1


Ex.: Calcule det(A) onde A = 



3
1
5
2
−2
−1
2
3
4
7
1
5
6
1 
5

3 
Operando com linhas e expandindo em co-fatores, nós obtemos:
3
1
2
5
2
4
−2
−1
1
3
7
5
= −
−1
1
0
0
3
9
6
1
=
5
0
1
0
−1
1
2 −1
0
3
3
1
= −
3
3
0
1
0
8
−1
1
3
0
1
3
8
3 =
0
3
3 3
3 = − (− 1)
= − 18
9 3
3
Matriz adjunta
Se A é uma matriz n x n então a matriz adj(A) = (Cij)T é chamada de
matriz adjunta de A.
 1 2
 1 3  . Então C11 = 3, C12 = − 1,


 3 − 1
 3 − 2
logo adj(A) =transposta( 
)=

− 1 1 
 − 2 1


Ex.: Seja A =
C21 = − 2, C22 = 1 ,
 3 2 − 1

6 3 . Então
Ex.: Seja A =  1
 2 − 4 0 
C11 = ( − 1)1+ 1
6 3
= 12
−4 0
C13 = ( − 1)1+ 3
1 6
2 −1
= − 16 C 21 = ( − 1) 2 + 1
= 4
2 −4
−4 0
C12 = ( − 1)1+ 2
C 22 = ( − 1) 2 + 2
3 −1
= 2
2 0
C 23 = (− 1) 2 + 3
3+ 1
2 −1
= 12
6 3
3+ 2
C31 = ( − 1)
C32 = ( − 1)
1 3
= 6
2 0
3 2
= 16
2 −4
3 −1
= − 10
1 3
C33 = (− 1)
3+ 3
3
1
2
= 16
6
C11 = 12,
C12 =
6,
C13 = − 16,
C 21 = 4,
C 22 =
2,
C 23 =
16,
C31 = 12,
C32 = − 10,
C33 =
16
 12 6 − 16 
 12

2 16  )=  6
logo adj(A) =transposta( 4

 12 − 10 16
 − 16
,
12 
2 − 10 
16 16
4
Inversa de uma matriz usando a adjunta
Se A é uma matriz invertível, então
Ex.: Seja A =
A-1 =
A− 1 =
 1 2
 1 3  , Então adj(A) =


1
adj ( A)
det( A)
 3 − 2
− 1 1  ,


 3 − 2
1  3 − 2
=
− 1 1 
1  − 1 1 


 3 2 − 1

6 3 , Então
Ex.: Seja A =  1
 2 − 4 0 
C11 = 12,
C12 =
6,
C13 = − 16,
C 21 = 4,
C 22 =
2,
C 23 =
16,
C31 = 12,
C32 = − 10,
C33 =
16
 12
 6
logo adj(A) =

 − 16
12 
2 − 10 
16 16
4
logo
3 2 −1
6 3
1
det( A) = 1 6 3 = 3
−2
−4 0
2
2 −4 0
3
1 6
+ ( − 1)
=
0
2 −4
= 3 × 12 − 2 × (− 6) + ( − 1) × (− 16) = 36 + 12 + 16 = 64


1
1 
A =
adj ( A) =
6
2 − 10 

64
det( A)
 − 16 16 16
12
−1
4
12
Regra de Cramer
Ex.: Considere o sistema
 x+ y = 5

 x− y = 1
A=
 1 1
 1 - 1


x=
det( A1 ) − 6
=
= 3
det( A) − 2
A1 =
Ex.: Considere o sistema
1 1

1
A= 1

 1 - 1
x=
1
- 1 A1 =
1
det( A1 )
det( A)
 5 1
1 -1 


A2 =
y=
1
1

5
1 
det( A2 ) − 4
=
= 2
det( A) − 2
 x+ y+ z = 9

 x+ y− z = 1
 x− y+ z = 5

1
9 1
 1 1 -1 

 A2 =
 5 - 1
1
y=
det( A2 )
det( A)
1
1

 1
9
1
5
1
- 1 
1
1

A3 = 1

 1
z=
det( A3 )
det( A)
1
1
-1
9
1 
5 