10.º ANO – FICHA DE TRABALHO
1. Represente geometricamente as regiões do plano caracterizadas pelas condições:
1.1. x
2
1.2. y < x
1.3. y < x
1.6.
y
1
x
1.7.
x
1 y
1.8.
(x
4) + y 2
1.9.
x +y
1.10.
(x + 2)2 + y 2
x
-1
4
1.4. y > 3
y
1.5. y
x<3
2
x >1
y>2
x
2
2
2
2
9
4
x<5
y<x
32
x
2
2. Caracterize, por uma condição, cada uma das regiões planas sombreadas:
2.1.
2.2.
2.3...
2.4.
2.5.
2.6.
1
2.7.
3.
2.8.
Observe a figura.
3.1. Determine as coordenadas dos seis
vértices do hexágono regular [ABCDEF], de
centro em (0,0).
3.2. Calcule a medida da área da região
colorida.
4. Determine o valor do parâmetro real K, de forma a que o triângulo [ABC] seja
rectângulo em C, sendo as coordenadas dos seus vértices:
A (-1,2,-1), B (-2,1,1) e C (-2,K,0).
5. Determine, numa forma simplificada, a equação da mediatriz do segmento de
recta [MN] em que M a (-3,2) e N a (0,-1).
6. Determine uma equação simplificada do plano mediador do segmento de recta:
6.1. [AB], em que A (3,0,2) e b (0,4,2).
6.2. [CB], em que C (3,4,2) e B (0,4,2).
6.3. Desenhe um referencial ortonormado; marque no referencial os pontos A, B e C
referidos nas alíneas anteriores e desenhe os dois planos mediadores cujas
equações determinou. Qual é a intersecção desses dois planos?
7. Escreva a equação da superfície esférica de centro no ponto (-1,2,0) e tangente
ao plano de equação y = 5 .
2
8. Considera a equação em IR2, x 2 + y 2
6 x + 2y 6 = 0
8.1. Complete os espaços a ponteado de forma a obter equações equivalentes:
x2 + y2
6 x + 2y
6=0
(x 2
6 x + ...) + ( y 2 + 2y + ...) = 6 + ... + ...
( x ...) 2 + ( y ...) 2 = ...2
8.2. Identifique a circunferência definida por qualquer uma destas condições.
8.3. Tente descobrir o que significa x 2 + y 2 6 x + 2y 6 = 0 em IR3.
9. Identifique
a
superfície
2
2
2
x + y + z 4 x + 8 y 2z + m = 0 .
esférica
definida
pela
equação
10. Qual o valor real que deve ter o parâmetro m , para que a equação
x 2 + y 2 + z 2 4 x + 8 y 2z + m = 0 represente:
10.1. um ponto; (indique as coordenadas desse ponto)
10.2. um conjunto vazio.
11. Relacione m e a (parâmetros reais), de forma a que a equação
x 2 + y 2 + z 2 4 x + ay 2z + m = 0 represente uma superfície esférica de raio 4.
12. Qual a condição que se deve verificar para que as equações do tipo
x 2 + y 2 + Ax + By + C = 0 , em IR2, representem sempre uma circunferência? Justifique.
13. Determine
o
centro
e
2
2
2
( x + 1) + ( y + 3) + z = 25 y = 1.
o
raio
da
circunferência
de
equação
14. Determine a equação reduzida da elipse, formada pelos pontos cuja soma das
distâncias a F1 ( 2,0) e F2 (2,0) é 12.
15. Determine a equação reduzida da elipse cujo semieixo maior é 5, tem centro em
(0,0) e passa pelo ponto (4,1).
3
2
16. Determine a equação reduzida da elipse definida por 4 x + 3 y
2
+ 12 y = 0 .
17. Caracterize por uma condição a seguinte região a sombreado.
18. Escreva uma equação que caracterize, em IR3:
18.1. o plano xOy;
18.2. o plano xOz;
18.3. o plano yOz.
19. Indique as coordenadas de três pontos, sendo um do plano xOy, outro de xOz e o
terceiro de yOz. Nota algo que deva ser realçado?
20.Indique através das suas coordenadas um ponto que pertença:
20.1. ao mesmo semiespaço que P (1,3,-5), relativamente ao plano z = 2 ;
20.2. ao semiespaço oposto àquele em que se situa Q (3,-2,1), relativamente ao
plano x = 1.
21. Observe a figura que representa uma pirâmide de base rectangular. Determine:
21.1. med VF ;
21.2. med VE ;
21.3. a medida da área total da
pirâmide.
4
22. Na figura a origem do referencial coincide com o centro do paralelepípedo
rectângulo. AB é paralela a oy e AD é paralela a ox .
22.1. Determine as coordenadas dos
oito vértices do paralelepípedo.
22.2. Escreva a equação que define o
plano que contém [BCGF].
22.3. Determine as coordenadas do
simétrico do ponto F (localizando-o na
figura) em relação:
22.3.1. ao plano xOy;
22.3.2. ao eixo Oy;
22.3.3. ao eixo Oz;
22.3.4. à origem das coordenadas.
23. Na figura ao lado está representado um
octaedro, em que:
• [ABCD] é um quadrado de centro O.
• [BQDP] é um losango de centro O.
• S é a intersecção do eixo Oy com [AB] e o
ponto médio deste segmento.
23.1. Determine as coordenadas dos pontos A,
B, C, D, e P.
23.2. Escreva a equação do plano que passa
por A e é paralelo a xOz.
23.3. Determine a equação do plano DOQ.
24. Considera, num referencial (o.n.) do plano, a recta de equação x = -2.
24.1. Indica dois pontos dessa recta ( através das suas coordenadas).
24.2. Define por uma condição simples (sem recorrer a conjunção ou à disjunção) o
lugar geométrico dos pontos do plano que distam 3 unidades da recta de equação
x=-2.
5
25. No cubo da figura, a aresta tem 4 unidades e G as coordenadas (2,2,2); o centro
do cubo tem as coordenadas (0,0,0) e pode-se ver na figura que o cubo está dividido
em oito cubos geometricamente iguais.
25.1. Indicar o ponto simetrico (e as
coordenadas) de G em relação a:
25.1.1.
25.1.2.
25.1.3.
25.1.4.
25.1.5.
25.1.6.
25.1.7.
o plano xOy;
o plano xOz;
o plano yOz;
o eixo Oy;
o eixo Ox;
o eixo Oz;
a origem do referencial.
25.2. Determina as coordenadas dos
restantes pontos assinalados no cubo.
26. Na figura está representado o triângulo [FGH];
junto aos
vértices do triângulo estão as
correspondentes coordenadas. Averigua se o
triângulo [FGH] é ou não rectângulo.
27. No plano munido do referencial ortonormado da
figura, o triângulo [MNO] é rectângulo em N, sendo 3 a
distância de O a N e 4 a de M a N.
27.1. Calcula as coordenadas de M.
27.2. Determina as coordenadas do ponto N.
( Repara que os triângulos [MNO] e [NN’O] são
semelhantes. )
6
28. Considera um referencial ortonormado de origem O.
Sejam a e b dois números reais não nulos e os pontos A (a,b) e B (-b,a):
28.1. Mostra que o triângulo [OAB] é isósceles e rectângulo em O;
28.2. Determina em função de a e b a medida da área do triângulo [OAB].
29. Determina, num referencial ortonormado, as coordenadas dos pontos da recta x=3
cuja distância ao ponto p (3,-2) é 5.
30. Calcula as coordenadas dos pontos da bissectriz dos quadrantes ímpares cuja
distância ao ponto A (2,6) é 4.
31. Determina de uma forma simplificada, a equação da mediatriz do segmento de
recta [PQ], sendo P (0,2) e Q (-3,4).
32. Considera o ponto A (3,1).
Encontra as coordenadas dos dois pontos dos xx que distam de A 2 unidades.
33. A equação ( x + 1)2 + ( y – 3)2 =4 define uma circunferência.
33.1. Indica o centro e o raio desta circunferência.
33.2. Desenvolve os casos notáveis e representa a equação na forma
x2 + y2 + Ax + By + C =0
34. Averigua se as equações seguintes representam ao não circunferências e, em
caso afirmativo, indica os respectivos centro e raio.
34.1. x2 + y2 – 4x +6y + 4 =0
34.2. 4x2 +4y2 +8x + 16y = -19
34.3. x2 + y2 + 8x – 2y +21 =0
x2 y2
35. Parte de uma circunferência de equação 2 + 2 = 1 e determina a sua imagem
5
5
numa transformação em que cada ponto M (x,y) da circunferência tem por imagem
M’ (x’,y’) tal que x’= 2x e y’=y.
Terá havido alongamento ou achatamento. Ao longo de que eixo coordenado?
36. Determina a equação reduzida da elipse definida por 4x2+ 9y2 -36= 0.
37. Escreve a equação reduzida da elipse de focos F (3,0) e F’ (-3,0) e semieixo maior
igual a 5.
7
x2 y2
+ = 1 está
a2 b2
inscrita num rectângulo de lados 2a
(horizontal) e 2b (vertical).
Justifica que a circunferência de centro
em B e raio a corta o eixo Ox em F e
F’(focos
da elipse).
38. A elipse de equação
x2 y2
39. Partindo da circunferência de equação 2 + 2 = 1, encontra uma equação da
4
4
figura geométrica que dela se obtém quando cada ponto M (x,y) é transformado
noutro,
M’ (x’,y’) em que x’= x e y’= 3y.
40.
Mostre que o triângulo [PQR] em que P(1,2,-1), Q (0,1,1) e R (2,0,0) é
equilátero.
41. No triângulo [ABC] tem-se A (3,4,-2), Q (1,6,0) e R (-2,2,1).
Mostra que [ABC] é rectângulo e indica o ângulo recto.
42. Mostra que se tivermos A (3,1,4) e B (3,4,1), a equação do plano mediador do
segmento de recta [AB] é y=z ( em IR3).
Representa A e B num plano e tenta desenhar o plano referido.
43. O hexágono “dos pontos médios”.
Na figura ao lado os pontos I, J, K, L, M e N
são os pontos médios
das arestas do cubo.
43.1. Mostra que cada um destes é
equidistante de D e de F.
Que conclusão podes tirar deste facto?
43.2. Sendo P o ponto médio de [DF] (o
centro do cubo), mostra
que são equiláteros os triângulos [PIJ], [PJK],
[PKL]...
Será regular o hexágono [IJKLMN]?
43.3. Sendo a aresta do cubo igual a 4 cm e
representando o cubo num referencial de forma a obter as melhores coordenadas
(considerada para unidade de comprimento o centímetro), determina as coordenadas
de M, K, I e P.
43.4. Desenha a intersecção do plano do hexágono com os planos coordenados e
determina as coordenadas dos pontos dessa intersecção situados em cada um dos
eixos coordenados.
8
44. A condição x2 + y2 + z2 – 6x + 2y –2z +7
Determina o centro e o raio.
0 representa uma esfera.
45.
45.1. Determina uma condição que
defina a parte da esfera representada,
sabendo que o raio do círculo de
centro em C’ (distância de C’ a A) é
7 e que esse círculo é paralelo ao
plano xOy.
45.2. O sólido da figura intersecta
algum dos planos coordenados?
Justifica.
46. Determina o centro e o raio da circunferência definida pela condição
( x –1)2 + y2 + (z+2)2 = 25 z =1.
47. Qual o lugar geométrico dos pontos do espaço que obedecem à condição
(x-3)2 + (y+5)2 =4 ( em IR3 )?
FIM
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