Coordenadas Cilíndricas e
Esféricas
José Antônio Araújo Andrade
Graziane Sales Teodoro
Sistema de Coordenadas Cilíndricas
z
P = ( r ,θ , z )
•
z
θ
r
( r ,θ ,0 )
•
x
y
Conversão de Coordenadas
(Cilíndricas - Retangulares)
Para converter de coordenadas cilíndricas para
coordenadas retangulares, usamos as equações
y = r s enθ
x = r cos θ
z=z
enquanto que para converter de coordenadas
retangulares para coordenadas cilíndricas, utilizamos
as equações
2
2
r =x +y
2
y
tgθ =
x
z=z
Exemplo 1:

(a) Plote o ponto com coordenadas cilíndricas  2,
,1.
 3 
e determine suas coordenadas retangulares.
2π
(b) Determine as coordenadas cilíndricas do ponto com
coordenadas retangulares ( 3, −3, −7 ) .
Exemplo 2: Descreva a superfície cuja equação em
coordenadas cilíndricas z = r.
Exemplo 3: Determine a equação em coordenadas
2
2
2
4
x
+
4
y
+
z
= 1.
cilíndricas para o elipsóide
Sistema de Coordenadas Esféricas
onde
z
ρ = OP
P = ( ρ ,θ , φ )
•
φ
θ é o mesmo ângulo
ρ
que em coordenadas
cilíndricas.
O
φ é o ângulo entre o
θ
y
eixo positivo z e o
•
x
vetor OP .
Note que:
ρ ≥0
0 ≤φ ≤π
Conversão de Coordenadas
(Esféricas - Retangulares)
z
⋅
φ
P = ( ρ ,θ , φ )
•
P = ( x, y , z )
ρ φ
z
O
θ
r
x
Q ⋅
y
x
y
⋅
•
P ' = ( x, y,0 )
Do triângulo retângulo OPP ', temos
Do triângulo retângulo OPP ', temos
(i )
cos φ =
( ii ) senφ =
z
ρ
r
ρ
⇒
z = ρ cos φ
⇒
r = ρ senφ
Do triângulo retângulo QOP ,' obtemos
x
( iii ) cosθ =
r
y
( iv ) senθ =
r
⇒
x = r cos θ
⇒
y = rsenθ
Para
converter
de
coordenadas
esféricas
para
( ii ) em ( iii ) para
encontrar a coordenada x e substituímos ( ii ) em ( iv ) para
coordenadas retangulares, substituímos
encontrar a coordenada y , daí
x = ρ senφ cos θ
y = ρ senφ senθ
z = ρ cos φ
também, a distância entre dois nos mostrta que
2
ρ = OP = x 2 + y 2 + z 2
2
usamos este resultado para converter de coordenadas
retangulares para coordenadas esféricas.
 π π
Exemplo 4: O ponto  2, ,  é dado em coordenadas
 4 3
esféricas. Plote o ponto e determine suas
coordenadas retangulares.
(
)
Exemplo 5: O ponto 0, 2 3, −2 é dado em coordenadas
retangulares. Determine as coordenadas
esféricas desse ponto.
Exemplo 6: Determine uma equação em coordenadas
2
2
2
esféricas para o hiperbolóide x − y − z = 1.
Exemplo 7: Determine a equação em coordenadas
retangulares da superfície cuja equação
esférica é ρ = senθ senφ .