ISSN 1984-8218
Jogos Matix e Senha:
motivando conteúdos da 2ª série do Ensino Médio
Ermínia de Lourdes Campello Fanti,
Depto de Matemática, IBILCE, UNESP
15054-000, São José do Rio Preto, SP
E-mail: [email protected]
Amal Rahif Suleiman
EE Monsenhor Gonçalves –SJRP
Mestre em Educação Escolar - UNESP-Araraquara
E-mail: [email protected]
Resumo: É grande a dificuldade encontrada, em geral, pelos alunos na aquisição de conteúdos
de Matemática em todos os níveis de ensino. A maneira como se trabalha certos conceitos é
muito importante para a contribuição do ensino e da aprendizagem. O jogo é uma maneira de
conciliar aprendizado e diversão podendo ser usado com sucesso para minimizar tal
dificuldade. Por meio do jogo, os alunos vivenciam situações, aprendem a usar símbolos,
pensam por analogias, aprendem a seguir regras, desenvolvem estratégias e aprendem a usar
um raciocínio lógico. Este trabalho tem por objetivo apresentar os jogos Matix e Senha e
mostrar como tais jogos foram usados em escolas públicas em projetos do Núcleo de EnsinoPROGRAD/UNESP coordenados pela Profª. Ermínia de L. C. Fanti no estudo/motivação dos
conteúdos Matriz e Combinatória, com classes de 2ª série do Ensino Médio.
Introdução
A Matemática recreativa é constituída por uma vasta composição de problemas,
anedotas, charadas, quebra-cabeças e jogos.
Para Gallagher (1997), quando se usa a Matemática recreativa para a resolução de
problemas, ocorre uma transferência de “habilidades” para problemas genuínos, afirmando que:
“... as habilidades adquiridas sob condições agradáveis de aprendizagem, geralmente, ficam
retidas por longos períodos de tempo.” (GALLAGHER, 1997, p. 244), e conclui que o
professor deve oportunizar o sucesso dessa “transferência”.
O jogo, como elemento da Matemática recreativa, tem sido estudado por diversos
teóricos, sob várias correntes metodológicas, elegendo-o como uma forma desafiadora e
prazerosa de se adquirir conhecimento.
No Brasil, nas últimas décadas, ocorreram numerosas pesquisas científicas, enfocando
o jogo na educação escolar, como intervenção, ou para melhor compreender os processos
cognitivos dos sujeitos, enquanto estão jogando. Quanto a esse aspecto, ressalta Dell’Agli
(2002): “As pesquisas, de maneira geral, têm procurado fazer uma relação dos jogos com o
desenvolvimento cognitivo e/ou buscar por meio deles melhorar a aprendizagem de conceitos
escolares.” (DELL’AGLI, 2002, p. 48).
Durante o processo de ensino-aprendizagem, o jogo propicia aliar o desenvolvimento
cognitivo a uma dimensão lúdica e relacional. No que se refere ao aspecto cognitivo, solicita o
pensar operatoriamente e permite fixar conceitos ou introduzir conceitos novos. Quanto à sua
dimensão lúdica, promove o prazer de brincar, sendo que, ao valorizar o lúdico na
aprendizagem se valoriza o sentido que os alunos dão às coisas.
O uso de jogos tem se apresentado como um favorecedor para a aquisição do
conhecimento matemático, conforme demonstram as produções cientificas que associaram o
jogo como recurso pedagógico nas aulas de Matemática. Tal recurso, segundo Macedo (2000):
“... é adotar uma metodologia de ensino que considere o aluno como um ser que pensa e que
pode aprender qualquer matéria desde que o conteúdo trabalhado tenha algum significado ou
possa remetê-lo a algo já conhecido.”(MACEDO, 2000, p. 33).
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Assim, o jogo, nas aulas de Matemática, propicia “um espaço para pensar”
(BRENELLI, 1996), e sem pensar, não há como aprender Matemática.
O trabalho com jogos desenvolve diversas habilidades, pois cria condições para o
progresso da linguagem, de diferentes processos de raciocínio e de interação entre os alunos,
dando a possibilidade de defender pontos de vista, ser crítico e obter confiança em si mesmo.
Essas características são fundamentais para aprender Matemática.
Quanto à prática do professor, Kamii (1992) propõe 5 princípios para trabalhar com
jogos, de forma didática e planejada: escolher os jogos, introduzir os jogos na sala de aula,
aplicar os jogos, encerrar um jogo e avaliar os seus resultados. Tais princípios podem facilitar a
atuação do professor, para que a atividade com jogos seja satisfatória e eficiente.
O cuidado com o jogo em sala de aula é essencial para não se tornar apenas jogo pelo
jogo, mas buscar uma intenção pedagógica, com objetivos à aprendizagem do conteúdo
matemático, que não deve estar no jogo, mas no ato de jogar.
Tem sido objeto de nossas pesquisas/projetos (em Ensino de Matemática)
conhecer/estudar jogos (e softwares, especialmente os livres) visando relacionar a eles
conteúdos matemáticos de modo que os mesmos possam ser usados como ferramenta auxiliar
no ensino - aprendizagem de tais conteúdos. Neste trabalho serão abordadas as relações entre os
jogos Matix e Senha e, respectivamente, os assuntos Matriz e Análise combinatória.
Os conteúdos “Matrizes, determinantes e sistemas lineares” e “Análise combinatória
(princípios multiplicativo e aditivo) e probabilidade”, de acordo com o Currículo do Estado de
São Paulo – Matemática, estão propostos na 2ª série do Ensino Médio, 2º e 3º bimestre,
respectivamente (SÃO PAULO, 2010). Dentre as habilidades esperadas encontramos, por
exemplo: “compreender o significado das matrizes e das operações entre elas na
representação de tabelas ...” (p. 67) e “compreender os raciocínios combinatórios aditivo e
multiplicativo na resolução de situações-problema de contagem indireta do número de
possibilidades de ocorrência de um evento” (p. 68).
Análise combinatória e matriz são tópicos de matemática bastante interessantes e com
várias aplicações no cotidiano. A análise combinatória tem por objetivo resolver problemas que
consistem, basicamente, em escolher e agrupar os elementos de um conjunto. É de grande
importância em ciências aplicadas, em especial no cálculo das probabilidades. Matrizes são
frequentemente utilizadas para organizar dados, sendo usadas, por exemplo, em tabelas
comparativas de preços, para demonstrar oscilações no mercado financeiro, apresentar o
resultado de uma pesquisa de opinião. As matrizes, além das aplicações acima mencionadas,
estão fortemente relacionadas com sistemas lineares, pois a todo sistema podemos associar uma
matriz, denominada matriz completa, que é formada pelos coeficientes das incógnitas e também
pelos termos independentes. Matrizes também são úteis na teoria de códigos e em computação.
Metodologia / Desenvolvimento
Utilizamos metodologias baseadas em teoria pedagógica direcionada à aplicação de
jogos e o uso de informática. Acrescentam-se obviamente pesquisas bibliográficas, estudos, e
discussões entre a coordenadora, bolsistas e professores da rede pública envolvidos nos
projetos que tem sido desenvolvidos em parceria com as escolas.
Os jogos Matix e Senha foram aplicados nas escolas estaduais de São José do Rio
Preto: E.E. Profa. Amira Homsi Chalella e E.E. Monsenhor Gonçalves, com a colaboração
direta dos alunos bolsistas dos projetos do Núcleo de Ensino/PROGRAD/UNESP e dos
professores das escolas envolvidas, dentre eles, a Profa. Amal Rahif Suleiman da E.E.
Monsenhor Gonçalves. Os dois jogos foram aplicados em 2009 em 8 classes de 2ª série do
Ensino Médio da E.E. Profa Amira (4 do diurno e 4 do noturno) e em 2010, em 8 classes da
E.E. Monsenhor Gonçalves e 4 classes da E.E. Profa. Amira, todas do período da manhã. Em
2011, trabalhou-se com o jogo Senha com 8 classes da E.E. Monsenhor e 2 da E.E. Profa.
Amira. As classes tinham, em média, 30 alunos. O jogo Senha tem sido usado também em
oficinas (Etec Philadelpho Golveia Neto – SJRP, 2009) e feiras/exposições como as ocorridas
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no saguão do IBILCE, nestes casos com a colaboração dos bolsistas do projeto do Programa
Ciência na UNESP.
Jogos Matix e Senha:
I. O Matix é um jogo de tabuleiro que, segundo CAVALCANTE e ORTEGA (2008),
foi criado na Alemanha, e possui duas versões: uma com 36 casas e outra com 64 casas. Neste
trabalho utilizamos o jogo formado de 64 casas, composto assim de um tabuleiro 8x8 (igual ao
de damas ou xadrez) e de 64 peças/fichas como as relacionadas na tabela seguinte, a primeira
linha indica os números (e um coringa) que estão marcados nas fichas e correspondem ao
valor/pontuação de tal ficha, e a segunda a quantidade de fichas existentes com esse valor:
coringa
-10
-5
-4
-3
-2
-1
0
+1
+2
+3
+4
+5
+6
+7
+8
+10
+15
1
4
3
3
3
3
3
4
5
5
5
5
5
5
3
3
3
1
Tabela 1: Fichas do jogo Matix
Um modelo de tabuleiro e fichas pode ser obtido, por exemplo, no site do Laboratório
de Matemática do IBILCE - UNESP - São José do Rio Preto:
http://www.mat.ibilce.unesp.br/laboratorio/img/jogos/pdf/matix.pdf (consulta: 20/01/2011).
Originalmente, o Matix é um jogo que explora expressões numéricas com números
inteiros. Objetivos do jogo: que os alunos aprendam a soma algébrica de números inteiros e
desenvolvam o cálculo mental. Indicado para ser aplicado no 7º ano do Ensino Fundamental,
quando ocorre a abordagem do conteúdo dos números inteiros relativos e suas operações.
Como jogar: Para iniciar o jogo você deve distribuir aleatoriamente as peças sobre o
tabuleiro (viradas para cima, vide Figura 1). Depois se deve decidir quem irá começar o jogo. O
iniciante (Jogador 1) deve escolher entre linha ou coluna (sentido horizontal ou vertical). Em
seguida ele tira o coringa e começa a jogar. Se, por exemplo, o Jogador 1 começar o jogo sendo
“coluna”, ele deverá tirar a sua primeira peça da coluna onde estava o coringa. O outro jogador
(que, no exemplo, será “linha”) deve tirar sua primeira peça da linha onde estava a peça retirada
pelo primeiro jogador. Termina o jogo quando não houver mais peças a serem retiradas na
coluna ou linha. Ganha o jogo aquele que acumular mais pontos.
Para cada grupo de 2 ou 4 alunos da sala foi entregue um jogo (que foi confeccionado
em EVA pelos alunos/bolsistas do projeto) e para direcionar o jogo de modo a motivar/explorar
o conceito de matriz foram desenvolvidas as seguintes atividades:
Atividades: 1) Depois de montar o tabuleiro, podemos associar a ele uma matriz A. Represente abaixo
essa matriz.
2) Complete (após decidir quem será linha ou coluna):
 Nome : .....

Jogador 1  ( ) linha
 ( ) coluna

 Nome : .....

Jogador 2  ( ) linha
 ( ) coluna

O coringa estava na linha ______ e na coluna ________.
3) É usual representar uma matriz A na notação matricial A= (aij), onde aij indica o elemento que está
na linha i e coluna j. Preencha a tabela abaixo de acordo com as peças retiradas do tabuleiro ao longo
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do jogo (nas 9 primeiras jogadas de cada um), usando na 3ª coluna a representação matricial.
Preencha também (*) abaixo,
Jogador 1: _________ (linha/coluna)
Jogador 2: __________ (linha/coluna)
(*) O último elemento que foi retirado antes de terminar a partida foi ...... = ...... (Exemplo a54 = -3).
Figura 1. Jogo Matix (em EVA)
II. O jogo Senha (ou da Senha) também conhecido como Mastermind, possui muitas
variações tanto no material concreto como em jogos virtuais (softwares), vide Figura 2.
Resumidamente, o objetivo do jogo é descobrir a “senha” que foi anteriormente estabelecida
pelo adversário ou o computador. Essa senha é, em geral, formada por uma sequência de
quatro círculos coloridos, números ou pinos. É necessário descobrir as cores (ou números) e a
ordem que elas aparecem. As cores utilizadas são as que estão disponíveis no jogo que se está
trabalhando (que variam, em geral, de quatro a seis cores). Para cada tentativa, uma dica será
dada indicando se existem cores corretas na proposta apresentada (isto é, que pertencem à
senha), e se estão no lugar certo. Segundo informações encontradas em sites, o jogo foi
inventado em 1971 por Mordechai Meirovitz - Israel, e lançado posteriormente no Brasil pela
Grow.
O jogo computacional pode ser obtido para download, por exemplo, nos sites
http://sitededicas.ne10.uol.com.br/software_senha.htm
(acesso em 23/01/2011)
(1),
(2).
http://www.baixaki.com.br/download/jogo-da-senha.htm (acesso em 23/01/2011)
Nos dois casos a senha é formada por 4 círculos de cores distintas. No primeiro caso existem 6
cores possíveis e no segundo caso existem 8 cores. Existem ainda outros sites que oferecem
“jogos da senha” on-line (com algumas variações). Para um jogo cuja senha é formada por
números (ao invés de círculos) ver, por exemplo, http://www.usinadejogos.com.br/senha.html
O jogo da Senha em Material Concreto (Mastermind) é formado por pinos coloridos e
possui regras similares ao jogo da Senha virtual. Os jogos da Senha, em material concreto,
usados em sala de aula foram confeccionados em EVA e foi feita uma adaptação – ao invés de
pinos usaram-se quadradinhos coloridos (Figura 2).
Como jogar: (estamos considerando aqui os jogos obtidos nos sites em (1) ou (2))
1) Decida por uma “possível senha” (que você acha ser a correta). Essa provável senha deverá
ser submetida para ver/conferir se a mesma está correta. Para isso:
2) Escolha um dos quatro círculos a ser colorido no “painel de círculos” que se encontra
próximo da barra de cores, e clique primeiro sobre o círculo que você quer colorir.
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3) Escolha a cor para esse circulo dentre as cores disponíveis na barra de cores, clicando sobre
a cor desejada/escolhida.
4) Repita a operação para os outros três círculos.
5) Quando colorir os quatro círculos, submeta a sua “possível senha” para avaliação, para isso
dê um clique no botão Submeter (ou Verificar Senha)
Para cada tentativa você receberá uma resposta (que dará dicas para você descobrir a
senha): Cada círculo branco (ou vermelho no caso do software (2)) que aparecer significa que
você acertou a cor de um círculo, mas errou sua posição. Cada círculo preto apresentado
significa que você acertou a cor de um círculo e acertou também a sua posição. Continue
jogando até obter quatro círculos pretos o que significa que você descobriu a senha (cores e
posições dos círculos). A ordem de colocação dos círculos no painel de respostas é aleatória.
Você pode mudar a cor de qualquer peça já colorida antes de submeter para avaliação.
As cores escondidas (isto é, usadas na senha) não se repetem para alguns jogos, mas
para outros isso pode ocorrer. A regra no caso do jogo concreto é similar (o segundo jogador é
que fornece a resposta, colocando os pinos (pretos ou brancos)).
As atividades propostas para serem realizadas durante o jogo foram: (aqui estamos
supondo que o número de cores disponíveis seja 6, como no jogo obtido no site em (1))
Atividades: 1) Quantas senhas diferentes (de quatro círculos/peças) podem ser criadas utilizando as seis
cores disponíveis, admitindo que as senhas sejam formadas utilizando círculos de cores
distintas?_____________.
2) Fixando a cor amarela no 1º círculo, quantas senhas diferentes (com círculos de cores distintas) podem
ser obtidas usando as cores restantes disponíveis (sabendo-se que existem seis cores no total)?
_______________.
3) Quantas senhas diferentes (de quatro círculos/peças) podem ser obtidas utilizando as seis cores
disponíveis admitindo que as senhas sejam formadas utilizando círculos de cores não necessariamente
distintas? ___________________.
4) Inicie uma certa jogada: Descreva abaixo a primeira “possível senha” que você escolheu indicando as
cores (na ordem)
1ª ___________; 2ª ___________; 3ª____________; 4ª ____________.
Responda: quantas senhas distintas de quatro cores (diferentes) podemos obter utilizando apenas essas
mesmas cores que você escolheu? ___________.
5) Efetue as jogadas e submeta-as. Jogue até acertar, ou terminar as possibilidades de tentativas. Você
conseguiu descobrir a senha? _________. Se sim, após quantas tentativas você descobriu?___________.
Figura 2: Jogos Senha – material concreto e tela do software/jogo
Conclusão/Resultados
O trabalho desenvolvido está de acordo com os PCNs uma vez que nas Orientações
Curriculares para o Ensino Médio (BRASIL, 2006, p. 28) encontramos:
O jogo oferece o estímulo e o ambiente propícios que favorecem o
desenvolvimento espontâneo e criativo dos alunos e permite ao professor
ampliar seu conhecimento de técnicas ativas de ensino, desenvolver
capacidades pessoais e profissionais para estimular nos alunos a capacidade
de comunicação e expressão, mostrando-lhes uma nova maneira, lúdica e
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prazerosa e participativa, de relacionar-se com o conteúdo escolar, levando a
uma maior apropriação dos conhecimentos envolvidos.
Como já mencionado, o Matix foi aplicado na 2ª série do Ensino Médio e possibilitou
explorar os conceitos: de matriz como tabela, de linha, de coluna, da localização de um
elemento aij e sua posição na matriz, do tipo da matriz (mxn; retangular ou quadrada), de
diagonal da matriz, do total de elementos da matriz. Boa parte da “ideia” do conceito de matriz
e seus elementos foi aprendida/compreendida pelos alunos, quando tiveram a oportunidade de
jogar o Matix, e isso foi verificado quando respondiam prontamente aos monitores/bolsistas, na
avaliação, às questões/atividades que lhes foram propostas.
O jogo da Senha foi aplicado quando foi trabalhado o P.F.C. (Princípio Fundamental da
Contagem e Arranjos Simples). Após o trabalho pode-se observar que o mesmo contribuiu para
desencadear o desenvolvimento do raciocínio para a resolução de problemas de Contagem.
O jogo da Senha utilizado em 2009 e 2011 foi o virtual, já em 2010, como na época da
aplicação do mesmo os laboratórios das duas escolas trabalhadas estavam em reforma, utilizouse o jogo Senha confeccionado em EVA pelos bolsistas.
Com base na experiência vivenciada em sala com os alunos (em 2010 e 2011), a Profa.
Amal, registra: o trabalho com o jogo foi extremamente proveitoso, de muita participação,
prazeroso, os alunos estavam estimulados, uma vez que foi aplicado antes de abordarmos o
conteúdo de Análise Combinatória e eles se sentiram desafiados a encontrar a senha e a
resolver as problematizações que os monitores/bolsistas lançaram a eles. Quando eu fui
trabalhar o conteúdo, muitos deles resolveram os problemas de Contagem, fazendo a associação
com as questões que os monitores haviam proposto durante o jogo. Alguns diziam: “Ah, igual
no jogo.” Houve a transferência de forma satisfatória e facilitou muito a aprendizagem de
Análise Combinatória. Ter a oportunidade de aplicar o jogo das duas formas, no material
concreto e no computador, foi bastante interessante, pois foi possível observar que o jogo
virtual tem suas vantagens sobre o manual em alguns aspectos: o tempo, a organização da sala,
e a aplicação é menos ruidosa. Os alunos apreciam mais porque o computador é parte
fundamental da vida deles, e uma atividade de Matemática que venha do virtual torna-se mais
apreciada. No jogo virtual, eles puderam fazer mais tentativas de melhorar cada vez mais seu
desempenho. As turmas que participaram gostaram muito. Muitos queriam repetir. Sentiram-se
muito mais à vontade diante do jogo virtual, e aprenderam as regras do jogo com mais
facilidade do que as turmas do jogo manual. Alguns deles baixaram o jogo na sua casa. Houve
um aluno que disse assim: “Eu nunca tinha ido à uma sala de informática – adorei – Não
vamos de novo?” Outros diziam: “é da hora esse jogo”.
Para verificar (de um modo mais tradicional) se o jogo trouxe algum benefício no
aprendizado do aluno, foi elaborado, em 2009 para o conteúdo de combinatória, e em 2010 para
o conteúdo de matriz, duas provinhas que foram aplicadas para algumas classes, uma antes e a
outra depois do uso dos jogos. Por exemplo, em 2010, nas duas provas envolvendo conteúdos
básicos de matriz, para uma turma do 2ª série do Ensino Médio (com 34 alunos da E.E.
Monsenhor Gonçalves) a média geral da classe, na provinha aplicada antes de utilizar o jogo foi
7,09 e a média geral da classe na prova aplicada após o uso do jogo subiu para 9,23. Relativo ao
jogo da senha, em 2009 na E.E. Profa Amira, nas duas provas envolvendo conteúdos de
combinatória para uma turma de 2ª série do E.M., as médias foram 5,5 na 1ª prova aplicada
anteriormente à apresentação do jogo e 6,3 após a aplicação do jogo.
Em 2010 e 2011, adotou-se um outro procedimento, o jogo Senha foi usado como uma
maneira para introduzir o assunto combinatória. Foi feita uma 1ª provinha (em 2010) mais
como uma sondagem, sem os alunos terem visto o conceito (PFC) e uma outra depois. Na EE
Profa Amira nas duas provas envolvendo conteúdos de combinatória para uma turma da 2ª série
do E.M., as médias foram 1,62 referente a 1ª prova e 7,14 após a aplicação do jogo. Na E.E.
Monsenhor Gonçalves numa das classes avaliadas, a media da classe com relação a 1ª prova foi
4,38 e na 2ª foi 6,67, noutra classe a média na 1ª prova foi 0,23 e a média na 2ª prova foi 8,91.
Foi possível observar que os alunos, em geral, não gostam de realizar avaliações no
estilo tradicional, muitos se recusam a fazer simplesmente porque não querem. Já nas
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atividades elaboradas durante o desenvolvimento dos jogos os questionamentos/perguntas são
melhor recebidos.
Com base no trabalho realizado entendemos que a junção da aula conceitual dada pelo
professor e a dinamicidade e descontração das atividades desenvolvidas com os jogos
contribuiu/motivou para uma melhor absorção pelos alunos, dos conceitos matemáticos
relacionados. A princípio o que foi explorado parece bastante simples, mas o fato dos conceitos
básicos serem abordados de uma forma mais palpável leva o aluno a aceitar melhor as idéias,
conteúdos que se seguem e que são mais bem elaborados. Pode-se verificar que durante os
exercícios de reforço (após ter trabalhado Análise Combinatória com eles) muitos alunos
identificavam a semelhança com as perguntas/atividades desenvolvidas durante o jogo.
Referências:
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para o Ensino Médio – Ciências da Natureza, Matemática e suas Tecnologias”; v. 2. 2006.
_______. Ministério da Educação. Secretaria da Educação Média e Tecnológica. “Parâmetros
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Tecnologias”. Brasília: MEC/Semtec. 1999.
BRENELLI, R. P. “O Jogo como Espaço para Pensar: A Construção de Noções Lógicas e
Aritméticas”. Campinas, SP: Papirus, 1996.
CAVALCANTE, C.M.B., ORTEGA, A.C. Análise microgenética do funcionamento cognitivo
de crianças por meio do jogo Matix. “Estudos de Psicologia”, v. 25, no. 3 Campinas 2008.
DELL’AGLI, B. A. V. “O Jogo de Regras como um Recurso Diagnóstico Psicopedagógico”.
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GALLAGHER, K.. Resolvendo Problemas com o Uso da Matemática Recreativa. In: KRULIK,
S.; REYS, R. E. (Orgs.). “A Resolução de Problemas na Matemática Escolar”. Tradução:
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SULEIMAN, A. R. “O Jogo e a Educação Matemática: um estudo sobre as crenças e
concepções dos professores de Matemática quanto ao espaço do jogo no fazer
pedagógico”, Dissertação de Mestrado (Educação Escolar), UNESP, 2008.
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