8.EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS
Parte 6
8.1–INTRODUÇÃO – PVI’s
8.2–MÉTODOS DE PASSO SIMPLES
8.3–MÉTODOS DE PASSO MÚLTIPLO
8.4–MÉTODOS PREVISOR-CORRETOR
8.5–EDOs DE ORDEM SUPERIOR
hoje
8.6-PVC’s E O MÉTODO DAS DIFERENÇAS FINITAS
8. Sistema de EDO’s
8.4.1. INTRODUÇÃO
Considere uma EDO de ordem m.

u m  f x, u, u , u ,....u m1

Podemos transformá-la num sistema de m
EDO’s de primeira ordem, ou seja:

z1  z 2

z 2  z3
z1  u

z1  u   z 2

z 2  u   z 3
..........
..

z m 1  u m 1  z m

z m  u m   f x, u , u , u ,....u m 1


..........
..

z m 1  z m

z m  u m   f x, z1 , z 2 ,...,z m 
8. Sistema de EDO’s
8.4.1. INTRODUÇÃO
No caso particular da EDO de 3ª ordem
y   x 2  y 2 sen ( x  y)  ( x  1) y   cos ( x y )  ( x 2  1) y
podemos transformá-la num sistema de 3 EDO’s
de primeira ordem, ou seja:
y  z
y   z   w
y   w  f x, y, z , w
y  z
z  w
w   f  x, y , z , w 
8. Sistema de EDO’s
8.4.1. INTRODUÇÃO
EDO’s de ordem m podem ser vistas como
equações vetoriais de ordem 1. Podemos
Reescrever
y   x 2  y 2 sen ( x  y)  ( x  1) y   cos ( x y )  ( x 2  1) y
Matricialmente como:
z
 y 


d   
w
 z

dx    2
2
2



w
x

y
sen
x

y

(
x

1
)
w

cos(
x
z
)

(
x

1
)
y
  

8. Sistema de EDO’s
8.4.2. Método de Euler
Seja um PVI de segunda ordem dado por:
y   f x, y, y  com
y(0)  y 0 e y (0)  y 0
Vamos resolvê-lo por meio de Euler Aprimorado.
 Passo1: Transformá-lo num sistema de 1ª
ordem
y  z
y   z   f x, y, z 
com
y ( 0)  y 0
z (0)  y 0
8. Sistema de EDO’s
8.4.2. Método de Euler
Passo 2: Reescrever o PVI vetorialmente
 y
(matricialmente). Seja Y    , então:
z
 
  y 
y
z


d

  F ( x, Y )  F  x,   
Y  Y     
dx
 z    f x, y, z 
  z 
 y(0)   y 0 
     Y0
com Y (0)  
 z (0)   y 0 
8. Sistema de EDO’s
8.4.2. Método de Euler
Passo 3: Adaptar um método numérico para
EDO’s ao caso vetorial em evidência. O
Método de Euler aprimorado escreve-se como:
h
y n1  y n   f xn , y n   f xn  h, y n  h y n 
2
Em nosso caso:
h
Yn1  Yn  F xn , Yn   F xn  h, Yn  h Yn 
2
8. Sistema de EDO’s
8.4.2. Método de Euler
Euler Aprimorado Vetorial
h
Yn1  Yn  F xn , Yn   F xn  h, Yn  h Yn 
2
onde
zn



F x n , Yn   
 f ( x, y , z ) 
e

zn
 yn  


F x n  h, Yn  h Yn   F  x n  h,    h
 z n   f ( x, y , z )  

8. Sistema de EDO’s
8.4.2. Método de Euler

zn
 yn 



F x n  h, Yn  h Yn   F  x n  h,    h
 f ( x, y , z )  
 zn 


yn  h zn



 F x n  h , 
 z n  h f ( x, y , z )  

z n  h f ( x, y , z )





 f  x n  h , y n  h z n , z n  h f ( x, y , z ) 
pois tínhamos
  y 
z


  F  x,   
F ( x, Y )  
 f x, y, z 
  z 
8. Sistema de EDO’s
8.4.2. Método de Euler
Substituindo os resultados:
h
Yn1  Yn  F xn , Yn   F xn  h, Yn  h Yn 
2
zn
z n  h f x n , y n , z n 
 y n  h 
 

  

Yn1     
 z n  2  f xn , y n , z n   f xn  h , y n  h z n , z n  h f xn , y n , z n 
Yn 1


h2


yn  h zn 
f x n , y n , z n 
2


h










z

f
x
,
y
,
z

f
x

h
,
y

h
z
,
z

h
f
x
,
y
,
z
 n

n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
2


8. Sistema de EDO’s
8.4.2. Método de Euler
Enfim, definindo: k1  h f x n , y n , z n 
k 2  h f x n  h , y n  h z n , z n  h k1 
segue a fórmula vetorial (bidimensional) de
Euler Aprimorado,
Yn 1
h 

 y n  h z n  k1 
2 

 z  1 k  k 
 n
1
2 
2


8. Sistema de EDO’s
8.4.3. Método de Euler - Aplicação
Exemplo 1: Seja o PVI
y   4 y   3 y  x com
y(0)  4 / 9 e y (0)  7 / 3
Matricialmente:
y  z
z   f ( x, y , z )  4 z  3 y  x
 y
Sendo Y   
z
com
y ( 0)  4 / 9
z ( 0)  7 / 3
z


, F ( x, Y )  

 4z  3y  x 
e
 4 / 9

Y0  
 7 / 3
8. Sistema de EDO’s
8.4.3. Método de Euler - Aplicação
Tomando h  0.25 , calculamos
k1  h f x 0 , y 0 , z 0   0.25 f (0 , 4 / 9 , 7 / 3)
 0.25 4  7 / 3  3  4 / 9  0   2.0
k 2  h f  x 0  h , y 0  h z 0 , z 0  h k1 
 0.25 f 0  0.25 , 4 / 9  0.25  7 / 3 , 7 / 3  0.25  2 
 0.25 f 0.25 , 1.028 , 4.333  3.4995
7 0.25 
h  4

2   1.278 
 y 0  h z 0  k1    0.25 
3
2 
2 9

 Y1  

1
7
1
 z  k  k    2  3.4995   5.083
 0


1
2 
2

  3 2

8. Sistema de EDO’s
8.4.3. Método de Euler - Aplicação
Enfim,
7 0.25 
h  4

2   1.278 
 y 0  h z 0  k1    0.25 
3
2 
2 9

Y1  

1
7
1
 z  k  k    2  3.4995   5.083
 0


1
2 
2

  3 2

 y (0.25)  1.278
 
 y (0.25)  5.083
Refinando o passo melhoramos a aproximação!!!