O que você deve saber sobre
FUNÇÕES: CONCEITOS BÁSICOS
O conceito de função é estabelecido a partir das relações entre
grandezas, tão presentes no cotidiano, sendo fundamental na
modelagem matemática de fenômenos naturais, econômicos
e sociais.
I. Definição de função
Sejam A e B conjuntos.
que f é uma função se qualquer elemento de A corresponder
A =Dizemos
{}
a um, e somente um, elemento de B.
FUNÇÕES: CONCEITOS BÁSICOS
II. Alguns conceitos básicos
a) x e y: variável independente e variável
dependente, respectivamente
b) Domínio da função: conjunto A
c) Contradomínio da função: conjunto B
d) Imagem de x pela função: cada elemento y do contradomínio
que tem algum correspondente x no domínio.
e) Conjunto imagem da função: formado por todos os valores de
y que são imagens de algum valor de x. É um subconjunto do
contradomínio; em alguns casos, eles podem ser iguais.
FUNÇÕES: CONCEITOS BÁSICOS
III. Diagrama de Venn
A = {1, 2, 3, 4, 5}
B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 ,9, 10}
Representação da função f: A
FUNÇÕES: CONCEITOS BÁSICOS
B
IV. Função polinomial na variável real x
É toda função definida por uma expressão analítica do tipo:
FUNÇÕES: CONCEITOS BÁSICOS
V. Raízes de uma função
 É(São) o(s) valor(es) de x que torna(m) f(x) nula. Também
pode(m) ser chamado(s) de zero(s) da função. Para funções
polinomiais, dependendo do grau da função (maior expoente de x
na expressão de f(x)), pode haver mais de uma raiz. Na verdade, o
número de raízes reais da função é menor ou igual ao grau da
função.
 Para o cálculo da(s) raiz(ízes), conhecendo-se a expressão
analítica de f(x), basta fazer f(x) = 0 e isolar x na equação. Para
funções polinomiais de grau n < 5, existem fórmulas construídas a
partir dos coeficientes da função que permitem a determinação de
suas raízes. No caso de funções de grau n ≥ 5, devem ser
aplicadas outras técnicas.
FUNÇÕES: CONCEITOS BÁSICOS
VI. Análise do gráfico de uma função
A representação gráfica de uma função evidencia algumas
de suas características mais relevantes e auxilia na análise
do comportamento delas à medida que percorremos o domínio
e verificamos como varia a imagem da função.
FUNÇÕES: CONCEITOS BÁSICOS
VI. Análise do gráfico de uma função
Máximo e mínimo
FUNÇÕES: CONCEITOS BÁSICOS
VI. Análise do gráfico de uma função
O sinal
FUNÇÕES: CONCEITOS BÁSICOS
Função modular
Clique na imagem abaixo para ver a animação.
FUNÇÕES: CONCEITOS BÁSICOS
VII. Funções por partes
Exemplo:
x  1, x  1
g(x)  
x  2 , x  1
y
x
FUNÇÕES: CONCEITOS BÁSICOS
Função inversa
Clique na imagem abaixo para ver a animação.
FUNÇÕES: CONCEITOS BÁSICOS
VIII. Função composta
Dadas as funções f: A  B e g: B  C, chamamos função composta
de g com f a função (g О f): A  C, tal que:
, para todo x  A
Ou seja, a composição das funções f e g se dá de tal forma que, para
todo x  A, a imagem de f(x) seja tomada como valor no domínio
para a função g.
FUNÇÕES: CONCEITOS BÁSICOS
VIII. Função composta
Para garantir a existência da função composta (g
О
f)(x):
• o contradomínio de f deve ser igual ao domínio de g;
• numa composição de três ou mais funções, o uso de parênteses
indica a ordem na composição; por exemplo, (g О f) О h indica
primeiro a composição de g com f, seguida da composição com h;
• quando a composição de funções for possível, ela deve respeitar
a propriedade associativa, ou seja:
FUNÇÕES: CONCEITOS BÁSICOS
IX. Função inversa
Consideremos a função f: A  B.
Função sobrejetora: o conjunto imagem de f é igual a seu
contradomínio, ou seja, Im(f) = B.
Função injetora: para quaisquer valores x1 ≠ x2 no domínio,
f(x1) ≠ f(x2).
Função bijetora: a sobrejetora e a injetora, simultaneamente.
Função inversa: a função f -1: B  A, tal que, para todo par
de valores (x, y)  f, existe um par (y, x)  f -1.
FUNÇÕES: CONCEITOS BÁSICOS
IX. Função inversa
FUNÇÕES: CONCEITOS BÁSICOS
Função inversa
Clique na imagem abaixo para ver a animação.
FUNÇÕES: CONCEITOS BÁSICOS
EXERCÍCIOS ESSENCIAIS
2
(FGV-SP)
Considere uma função p(x), tal que 2p(x) – p(2 – x) = 3x2 – 3x – 2.
a) Calcule p(1).
b) Qual é o valor da soma p(1) + p(3)?
RESPOSTA:
FUNÇÕES: CONCEITOS BÁSICOS  NO VESTIBULAR
EXERCÍCIOS ESSENCIAIS
3
(Unesp)
Considere as funções polinomiais f(x) = x3 + x2 + 2x - 1 e g(x) = x3 + 3x + 1,
cujos gráficos se interceptam em dois pontos, como
esboçado na figura (não em escala).
Determine para quais valores reais f(x) g(x), isto é, determine

o conjunto S ={x  IR| f(x) g(x)}.

RESPOSTA:
FUNÇÕES: CONCEITOS BÁSICOS  NO VESTIBULAR
EXERCÍCIOS ESSENCIAIS
5
(Ufla-MG)
Determine o polinômio de quarto grau, cujo esboço do gráfico é:
RESPOSTA:
FUNÇÕES: CONCEITOS BÁSICOS  NO VESTIBULAR
EXERCÍCIOS ESSENCIAIS
7
(Unesp)
Seja x o número de anos decorridos a partir de 1960 (x = 0). A função y = f(x) = x + 320 fornece, aproximadamente,
a média de concentração de CO2 na atmosfera em ppm (partes por milhão) em função de x. A média de variação do nível do mar,
em cm, em função de x, é dada aproximadamente pela função g(x) = 1 x. Seja h a função que fornece a média de variação do
5
nível do mar em função da concentração de CO2. No diagrama seguinte estão representadas as funções f, g e h.
Determine a expressão de h em função de y e calcule quantos
centímetros o nível do mar terá aumentado quando a concentração de
CO2 na atmosfera for de 400 ppm.
RESPOSTA:
FUNÇÕES: CONCEITOS BÁSICOS  NO VESTIBULAR
EXERCÍCIOS ESSENCIAIS
8
(Unesp)
É dado o polinômio cúbico P(x) = x3 + x2 - 2x, com x  IR.
a) Calcule todas as raízes de P(x).
b) Esboce, qualitativamente, o seu gráfico no plano (x, P(x)), fazendo-o
passar por suas raízes.
RESPOSTA:
FUNÇÕES: CONCEITOS BÁSICOS  NO VESTIBULAR
EXERCÍCIOS ESSENCIAIS
12
(UFU-MG)
Considere as funções reais de variável real definidas por f(x) = x2  3 e g(x) = |x|. Determine quantas soluções tem a equação
(g O f)(x) = 2, em que g O f é a função composta de g com f.
RESPOSTA:
FUNÇÕES: CONCEITOS BÁSICOS  NO VESTIBULAR
EXERCÍCIOS ESSENCIAIS
13
(UFSCar-SP)
Considere as funções reais f e g, definidas por:
f ( x) 
x 2
e g(x)  3  2x  1
x 2
a) Determine o domínio da função f e a imagem da função g.
b) Determine o domínio de f(g(x)).
RESPOSTA:
FUNÇÕES: CONCEITOS BÁSICOS  NO VESTIBULAR
EXERCÍCIOS ESSENCIAIS
14
(UFRRJ)
Considere a função f(x):
4x  6 x
f (x) 
.
 x  3x  28
2
2
Determine os intervalos nos quais f(x) é estritamente negativa.
RESPOSTA:
FUNÇÕES: CONCEITOS BÁSICOS  NO VESTIBULAR