CESUMAR – CENTRO UNIVERSITÁRIO DE MARINGÁ
NIVELAMENTO - MATEMÁTICA BÁSICA
Coordenadora: Prof. Ivnna Gurniski Carniel
PROGRAMA DE NIVELAMENTO
2011
MATEMÁTICA
1
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Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}
“Não há números inteiros em fração ou decimais”
I - CONJUNTOS NUMÉRICOS
Q Æ Racionais
“São os números que representam partes inteiras ou divisões,
ou seja, os inteiros, frações, decimais exatos e dízimas
periódicas”.
Q = {...,
−3 1
, , ...}
4 2
I Æ Irracionais
Esta figura representa a classe dos números.
“São todos os decimais não exatos, não periódicos e não
Veja a seguir:
negativos”.
I = {...,
N Æ Naturais
2 , π,
22
, ...}
7
“São os números os quais utilizamos para contar quantidades
inteiras”
R Æ Reais
N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ...}
“É a união de todos os conjuntos numéricos: todo número,
“Não há números naturais negativos”
seja N, Z, Q ou I é um número R (real)”.
Z Æ Inteiros
“Só não são reais as raízes em que o radicando seja negativo
“São números relativos que estão ligados as trocas, ou seja,
e o índice par”
transações de coisas”
2
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Interseção de Conjuntos: dados os conjuntos A e B, define-se
como interseção dos conjuntos A e B ao conjunto representado por
A ∩ B , formado por todos os elementos pertencentes a A e B,
simultaneamente, ou seja:
Diferença de Conjuntos: dados os conjuntos A e B, define-se como
diferença entre A e B (nesta ordem) ao conjunto representado por
A-B, formado por todos os elementos pertencentes a A, mas que não
pertencem a B, ou seja:
CONCEITOS DE CONJUNTOS
Conjunto vazio: é um conjunto que não possui elementos. O
conjunto vazio é representado por { } ou
.
Subconjuntos: quando todos os elementos de um conjunto A
qualquer pertencem a um outro conjunto B, diz-se, então, que A é
um subconjunto de B, ou seja, A ⊂ B.
União de Conjuntos: dados os conjuntos A e B, define-se como
união dos conjuntos A e B ao conjunto representado por A ∪ B ,
formado por todos os elementos pertencentes a A ou B, ou seja:
3
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EXERCÍCIOS
3. Efetue as operações.
1. Seja A = {2, 5, {3, 4}, 6}. Complete com os símbolos
∈,∉, ⊂ ou ⊄ e assinale a alternativa que contêm esses
símbolos em uma correspondência correta e na respectiva
ordem:
a) {a, 1, b, 2}∪{0, 1, 2, 3, 4}
b) {a, 1, b, 2}∩{0, 1, 2, 3, 4}
c) {1, 2, 3, 5, 7}∪{ 0, 1, 2, 3, 4}
d) {1, 2, 3, 5, 7}∩{ 0, 1, 2, 3, 4}
I) 2 ____ A II) {2} ____ A III) {3;4} ____ A
IV) ∅ ____ A V) 4 ____ A VI) {5,6} ____ A
e) {0, 1, 2, 3, 4}∪N
a) ∉, ⊂,∉, ⊂,∉e ⊂
b) ⊂, ⊂,∈, ⊂,∈e ⊂
c) ∈, ⊂,∈, ⊂,∉e ⊂
d) ∈, ⊂, ⊂, ⊂,∉e ⊂
e) ∈, ⊂,∈, ⊂,∈e ⊂
f) {0, 1, 2, 3, 4}∩N
g) Z∪N
h) Z∩N
4. Quatrocentos alunos realizaram provas de Matemática e
2. Diga se é verdadeiro ou falso.
Física: 216 foram aprovados em Matemática, 300 foram
a) {a, e, i, o, u} ⊃ { }
aprovados em Física e 160 foram aprovados em ambas. Qual
b) {a, b} ⊃ {1, 3, a, b}
é o número de alunos não aprovados em nenhuma das
c) 4∈{n∈N/ pares}
disciplinas?
d) {3, 4, 7, b}⊄{3, b}
e) a ∈ {0 , {a}, 3}
f) b ∉ {a, b, 0}
g) {a} ⊂ {0 , {a}, 3}
4
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5. Das 50 crianças de uma classe, 32 são meninas, 16 praticam
Respostas:
esportes radicais e apenas 7 meninos não gostam e não pra
1. d
ticam esportes radicais. O número de garotas que não
2. a) V; b) F; c) V; d) V; e) F; f) F; g) F.
praticam esportes radicais é:
3.a) {a, b, 0, 1, 2, 3, 4}; b) {1, 2}; c) {0, 1, 2, 3, 4, 5, 7};
a) 16
d) { 1, 2, 3}; e) N; f) { 0, 1, 2, 3, 4}; g) Z; h) N.
b) 20
4. 44 alunos
c) 22
5. e
d) 25
6. 58 alunos
e) 27
6. Um grupo de estudantes resolveu fazer uma pesquisa sobre
preferências dos alunos quanto ao cardápio do Restaurante
Universitário. Nove alunos optaram somente por carne de
frango, 3 somente por peixe, 7 por carne bovina e frango, 9
por peixe e carne bovina e 4 pelos três tipos de carne.
Considerando que 20 alunos manifestaram-se vegetarianos,
36 não optaram por carne bovina e 42 não optaram por peixe.
Quantos alunos foram entrevistados?
5
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Aplicação: Pedi para meu filho ir até a feira para comprar uma dúzia
de ovos. Sabendo que dei R$ 10,00 para ele e a dúzia de ovos custa
II – OPERAÇÕES NUMÉRICAS
Adição
R$ 2,50. Quanto de troco meu filho deve trazer?
Exemplo: Adicione as seguintes parcelas:
Armar a operação 10,00 – 2,50 com vírgula em baixo de vírgula e
a) 2 + 3 = 5
subtrai-se a parte numérica; 7,50 após transportar a vírgula.
b) 33,1 + 103 = 136,1
c) 2,2 + 3 + 0,4 = 5,6
Multiplicação
d) 1,667 + 0,0095 + 56,7 = 58,3765
Exemplo: Efetua as seguintes multiplicações:
a) 4*7 = 28
Aplicação: Ao efetuar uma compra de uma calça de R$ 65,65 e uma
b) (1,2)*3 = 3,6
camiseta que custa R$34,30. Qual o valor que devo pagar?
c) 4*(7,5) = 30
Armar a operação 65,65 + 34,30 com vírgula embaixo de vírgula e
d) 3*6*5 = 90
efetuar a soma da parte numérica; 99,95 após transportar a vírgula.
e) (3,01)*4*(5,2) = 62,608
Subtração
Aplicação: Fui ao mercado comprar melancia. Sabendo que o preço
Exemplo: Diminua as parcelas:
por quilo era de R$0,38 e escolhi uma melancia que pesava 5,75kg.
a) 71 – 5 = 66
Qual o valor da minha compra?
b) 5 – 0,1 = 4,9
0,38 * 5,75 contar quantos algarismos se encontram após a vírgula
c) 7,09 – 1,115 = 5,975
(4 algarismos) e eliminá-la;
d) 23,995 – 3,041 – 17,91 = 3,044
38 * 575 multiplicam – se os números inteiros que resulta em 21850.
6
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Finalmente escreva a vírgula contando da direita para a esquerda
Regra da soma de sinais:
quantos algarismos se encontravam após a vírgula no começo da
5+3=8
conta (4 algarismos);
-6 – 7 = -13
2,1850 = 2,185 ≅ 2,19 reais.
7–3=5
5 – 11 = -6
Divisão
* se os sinais são iguais, soma-se à parte numérica e mantém-se o
Exemplo: Determine o quociente:
sinal;
a) 18:3 = 6
* se os sinais são opostos, subtrai-se à parte numérica e mantém-se o
b) 20:8 = 2,5
sinal do número de maior módulo.
c) 2:8 = 0,25
d) 8:2 = 4
Regra da multiplicação de sinais:
e) 10:5:2 = 1
(+).(+) = (+)
f) (10,5):2:5 = 1,05
(-).(-) = (+)
(-).(+) = (-)
Aplicação: Desejo dividir, igualmente, meia melancia entre quatro
(+).(-) = (-)
pessoas. Quanto da melancia cada uma dessas pessoas irá comer?
* multiplicação de sinais iguais o sinal resultante é positivo;
0,5 : 4 multiplique simultaneamente os números por 10 quantas
* multiplicação de sinais opostos o sinal resultante é negativo.
vezes forem necessárias até que se tenha apenas números inteiros;
5 : 40 efetue a divisão;
0,125 da melancia cada pessoas comeu.
7
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Adição/Subtração de números na forma fracionária:
Exemplo:
EXERCÍCIOS
1 1 3+ 2 5
+ =
=
2 3
6
6
1. Efetue:
a
2+5
l
4,57 * (-3)
b
5,2 + 4
m 1,03 * (-2,5)
* para somar/subtrair frações é necessário deixar as frações com os
c
4,5 – 3,9
n
-2,5 * (1,2)
mesmos denominadores.
d
6,02 + 10,2
o
-3,8 * (-4,1)
Mínimo múltiplo comum:
e
3,64 – 7,01
p
3,1 + 1,8 * (4)
2;
3
2
f
5 – 10,91
q
1:(8)
1;
3
3
g
-50 + 34,3
r
5:(-6)
1;
1
h
49,2 – 30,09 – 5
s
3:(-4)
i
4,3 + 3,54 – 12,4
t
3* (1,5) – 5 * (2)
j
5,1* (5)
u
4,5 * (-9,2) + 3,6:(3)
mmc= 2.3 = 6
Exemplo:
5 1
5 1 2 10 − 3 − 24
17
− + (− 2) = − − =
=−
6 4
6 4 1
12
12
Respostas:
Aplicação: Fomos em uma pizzaria, éramos em 2 pessoas e pedimos
1. a) 7; c )0,6; e) –3,37; g) –15,7; i) -4,56; l) –13,71; n) –3; p) 10,3;
uma pizza. Sabendo que Joãozinho comeu cinco pedaços da pizza.
r) –0,83; t) 2
Quantos pedaços de pizza Mariazinha comeu?
1 pizza tem 8 pedaços, logo cada pedaço equivale
Como Joãozinho comeu
8
5
da pizza.
8
1
da pizza.
8
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Mariazinha comeu: 1 -
Exemplo:
5 8 5
3
= − = da pizza, isto é, 3 pedaços.
8 8 8
8
15
5
5 ⎛ 2⎞ 5 ⎛ 3⎞
: ⎜ − ⎟ = .⎜ − ⎟ = − = −
6 ⎝ 3⎠ 6 ⎝ 2⎠
12
4
Multiplicação de números na forma fracionária:
Exemplo:
Equivalência entre as frações:
2 5 10
. =
3 7 21
Exemplo:
* multiplica-se os numeradores entre si assim como os
do todo.
1
2
é equivalente a , pois representa a mesma quantidade
2
4
denominadores.
Aplicação: Ao receber o salário de R$ 855,00 irei dar a igreja um
décimo dele. Quanto a igreja irá receber de mim?
855.
1 855
=
= 85,5 reais.
10 10
Figura: A figura apresenta a equivalência entre as
frações:
Divisão de números na forma fracionária:
1 2 4
= = .
2 4 8
Exemplo:
Aplicação: Ao chegar para comprar café em uma mercearia não é
2 5 2 7 14
: = . =
3 7 3 5 15
comum pedirmos três sextos do quilo de café, mas sim, meio quilo
que café.
* mantém-se a primeira fração, troca-se a operação da divisão para a
multiplicação e inverte-se a segunda fração.
Aplicação: Desejo dividir meia barra de chocolate para três pessoas:
1
1 1 1
: 3 = . = da barra de chocolate para cada pessoa.
2
2 3 6
9
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Transformação de números fracionários em decimal e decimal
EXERCÍCIOS
em fracionários
1. Efetue:
Costumeiramente se em uma expressão há números fracionários e
a
1 1
+
2 5
j
1 3
.
6 5
b
1 1
+
3 4
l
3 3
.
5 4
c
2 3 1
+ +
3 5 6
m
7 3
. .4
2 5
2,1 10 21
. =
1 10 10
0,75 100 75
0,75 =
.
=
1 100 100
d
7 3
2 4
n
3
5
o
1
:5
4
* ou seja, multiplique por 10 o numerador e o denominador tantas
f
p
3 2
:
5 3
decimais, logo optamos por transformar os números fracionários em
decimal.
Exemplo:
1
+ 4 = 0,2 + 4 = 4,2 (fracionário em decimal)
5
E se quiséssemos transformar um decimal em fracionário?
2,1 =
e
vezes forem necessárias para que a parte decimal desapareça.
g
h
i
10
5-
1
3
+34
5
2:
7
2
7-
1 7
4 2
q
1 3
:
6 5
3.
1
4
r
2 3 1
: :
3 5 6
3
.15
5
s
1 3 7
. :
4 4 2
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2. Efetue a simplificação:
a
32
64
d
2500
5550
b
81
729
e
3446
2988
c
160
1024
f
1024
625
Respostas:
7
43
22
13
9
4
9
20
1) a)
; c)
; e)
; g)
; i) 9; l)
; n) ; p)
; r) .
10
30
5
4
20
7
10
3
1
5
50
1024
; d)
; f)
.
2) a) ; c)
2
32
111
625
1
1
7
101
; e) ; g)
.
3) a) ; c)
5
20
4
500
3. Efetue a transformação para a forma fracionária e quanto possível
simplifique:
a
0,2
e
1,75
b
0,32
f
10,01
c
0,05
g
0,202
d
1,5
h
2,405
4. Se na geladeira tinha 0,75 de um melão e comi a metade. Quanto
comi do melão?
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(- 2)4 = 16; 24 = 16; (- 3)² = 9; 3² = 9
5. Toda potência de expoente ímpar tem o sinal da base:
III - POTÊNCIAS
3³ = 27 ; (- 3)³ = - 27
25 = 32 ; (- 2)5 = - 32
Definição: Potência de grau n de um número A é o produto de n
fatores iguais a A.
Multiplicação de potências de mesma base
⎧A é a base da potência;
n
A
A4
*A
*4
A4
* A4*3
...⎨
14=4
4*2A4
⎩n é o expoenteda potência,que determinao seu grau.
n vezes
Mantém-se a base comum e soma-se os expoentes.
Realmente: 2³ * 2² = 21
*2
24
*32 * 2{
* 2 = 23 + 2 = 25
4
2 vezes
3 vezes
1
4424
43
Assim:
5 vezes
2³ = 2 * 2 * 2 = 8 ∴ 2³ = 8
(- 1)4 = (- 1) * (- 1) * (- 1) * (- 1) = 1 ∴ (- 1)4 = 1
Exemplo:
CASOS PARTICULARES:
5² * 57 = 59 = 5 * 5 * 5 * 5 * 5 * 5 * 5 * 5 * 5 = 1 953 125
1. A potência de expoente 1 é igual à base:
Divisão de potências de mesma base
Mantém-se a base comum e diminuem-se os expoentes.
A1 = A; 21 = 2
2. Toda potência de 1 é igual a 1:
6 vezes
644
7448
5
5*5*5*5*5*5
=
= 56 - 4 = 5 2
Realmente:
4
51*4
52
* 54*35
5
1² = 1; 1³ = 1
6
3. Toda potência de 0 é igual a 0:
0² = 0; 0³ = 0
4 vezes
4. Toda potência de expoente par é positiva:
12
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denominador é a mesma base da potência elevada ao mesmo
7
3
4
Exemplo: 3 : 3 = 3 = 3 * 3 * 3 * 3 = 81
expoente com o sinal positivo.
Potenciação de potência
⎧ 23
23
1
=
=
⎪ 7
⎪
23 * 2 4 2 4
Realmente: ⎨ 2
⎪ 23
3-7
= 2- 4
⎪ 7 =2
⎩2
Eleva-se a base ao produto dos expoentes.
( )2 = 2132* 233 = 23 + 3 = 26 ou (23 )2 = 23 * 2 = 26
Realmente: 2 3
2 vezes
( )2 = 310 = 59 049
Exemplo: 5 − 2 =
Exemplo: 35
Expoente nulo
52
=
1
24
1
1
=
5 * 5 25
Potências de 10
Toda potência de base diferente de zero e expoente zero é igual
Efetuam-se as potências de 10 escrevendo à direita da unidade
a unidade.
⎧⎪a 4 : a 4 = a 4 - 4 = a 0
Realmente: ⎨
⎪⎩a 4 : a 4 = 1
1
2-4 =
tantos zeros quantas forem as unidades do expoente.
a0 =1
Exemplos:
a) 10² = 100
b) 107 = 10 000 000
Exemplo: (- 5)0 = 1
c) 200 = 2 * 100 = 2 * 10²
d) 4000 = 4 * 10³
Expoente negativo
e) 300 000 = 3 * 105
Qualquer número diferente de zero, elevado a expoente negativo
f) 3 * 108 = 300 000 000
é igual a uma fração cujo numerador é a unidade e cujo
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Números decimais
EXERCÍCIOS
1. Calcule:
Todo número decimal equivalente a um produto do qual um
fator é o número escrito como inteiro, e outro é uma potência de
a) 1³ =
dez com expoente negativo, com tantas unidades no expoente
b) 04 =
quantas são as ordens decimais.
c) (- 2)³ =
d) (- 4)³ =
e) (- 2)4 =
25
25
Realmente: 0,0025 =
=
= 25 *10 - 4
4
10 000 10
f) (- 4)4 =
g) 2³ * 25 =
h) 3² * 3 * 35 =
Exemplos:
i) 35: 34 =
a) 0,001 = 10-3
j) 34 : 3² * 35 =
b) 0,002 = 2 * 10-3
k) 24 * 54 =
c) 0,00008 = 8 * 10-5
l) (- 35) * (- 55) =
d) 1,255 = 1255 * 10-3
m) 153 : 33 =
e) 2 * 10-3 = 0,002
n) (- 46) : 26 =
o) (3³)2 =
p) (2³)5 =
q) 3³2 =
r) [ (3³)² ]² =
s) (2 * 3)³ =
t) (3² * 5 * 2)4 =
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IV – RADICAIS
5
⎛5⎞
u) ⎜ ⎟ =
⎝3⎠
Definição: Denomina-se raiz de índice n (ou raiz n-ésima) de A,
3
⎛ 2 ⎞
v) ⎜⎜ ⎟⎟ =
⎝ 34 ⎠
ao número ou expressão que, elevado à potência n reproduz A.
OBS: Representa-se a raiz pelo símbolo
3 ⎞2
⎛ 2 *3
⎟ =
w) ⎜
⎜ 53 ⎟
⎠
⎝
2
⎧n - índice da raiz
n A ⎪A - radicando
⎨
⎪
⎩ - radical
x) (2 * 3²)0 =
y) 4-2 =
z) 2 * 3-1 =
aa)
2
3− 4
Assim:
=
a)
bb) (2-3 * 5-2)-4 =
16 = 4 porque 4² = 16
cc) 2x + 1 * 4x =
b) 3 8 = 2 porque 2³ = 8
dd) 32x * 24x =
c) 4 81 = 3 porque 34 = 81
ee) 54x: 252x =
Propriedade
2. Exprimir, utilizando potências de 10:
É possível retirar um fator do radical, bastante que se divida o
a) 20 000 =
expoente do radicando pelo índice do radical.
b) 4 800 000 =
c) 0,01 =
d) 0,000045
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Exemplos:
Multiplicação e divisão de radicais de mesmo índice
a)
12 = 2 2 * 3 = 2 3
b)
2
Multiplicam-se (dividem-se) os radicandos e dá-se ao produto
(quociente) o índice comum.
2
180 = 2 * 3 5 = 2 * 3 5 = 6 5
c)
4 8
Exemplos:
d)
4 8
a)
3 * 5 4 * 2 = 32 * 5 4 2
3 = 38 : 4 = 3 2
b)
Reciprocamente, para introduzir um fator no radical, multiplicac)
se o expoente do fator pelo índice do radical. Assim:
d)
3
3 3 2 = 33 * 2
2 * 3 = 2*3 = 6
6
2
=
6
= 3
2
3 * 5 * 2 = 3 * 5 * 2 = 30
4 5 *4 3
4
=
4 15
2
4
=4
2
15
2
Potenciação de radicais
Adição e subtração de radicais semelhantes
Eleva-se o radicando à potência indicada e conserva-se o índice.
Radicais de mesmo índice e mesmo radicando são semelhantes.
Na adição e subtração de radicais semelhantes, operam-se os
Exemplos:
coeficientes e conserva-se o radical.
a)
Exemplos:
(4 3 )3 = 4 33 = 4 27
2
(
)
2 5
5
5
b) ⎛⎜ 2 2 * 3 ⎞⎟ = 2 2 * 3 = 2 4 * 3 2
⎝
⎠
a) 3 2 + 5 2 - 10 2 = 8 2 - 10 2 = - 2 2
b) 3 3 2 + 6 3 2 - 5 3 2 - 3 2 = 9 3 2 - 6 3 2 = 3 3 2
16
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NIVELAMENTO - MATEMÁTICA BÁSICA
Coordenadora: Prof. Ivnna Gurniski Carniel
Radiciação de radicais
Racionalização de denominadores
Multiplicam-se os índices e conserva-se o radicando.
Exemplos:
1º Caso: O denominador é um radical do 2º grau. Neste caso
multiplica-se pelo próprio radical o numerador e o denominador
da fração.
3 = 2*2 3 = 4 3
a)
b) 3 4 3 = 24 3
Exemplos:
Expoente fracionário
a)
Uma potência com expoente fracionário pode ser convertida
numa raiz, cujo radicando é a base, o índice é o denominador do
b)
expoente, sendo o numerador o expoente do radicando.
c)
Exemplos:
d)
p
q
a) a q = a p
1
b) a 2 = a
2
3
c) 2 3 = 2 2 = 3 4
d)
4 3
3
6 =6 4
17
1
2
=
1
2 3
2
3
=
=
2 2
5 6
=
1* 2
2* 2
1* 3
2 3* 3
2* 3
3* 3
2
=
=
2 2* 6
5 6* 6
4
=
=
2
2
3
=
2 9
6
9
=
=
3
3
=
2*3 6
6
3
2 12
5 36
=
2 12 2 12
12
=
=
5*6
30
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2º Caso: O denominador é uma soma ou diferença de dois
EXERCÍCIOS
termos em que um deles, ou ambos, são radicais do 2º grau.
1. Efetuar:
Neste caso multiplica-se o numerador e o denominador pela
a)
5 - 2 5 + 10 5 =
b)
32 + 3 2 - 8 =
expressão conjugada do denominador.
OBS: A expressão conjugada de a + b é a – b.
c) 3 3 + 3 - 4 729 =
Na racionalização aparecerá no denominador um produto do
tipo:
d)
(a + b) * (a – b) = a² - b²
e)
Assim:
f)
(5 + 3) * (5 – 3) = 5² - 3² = 25 – 9 = 16
g)
Exemplos:
3* 6 =
(- 3 2 )* (- 3 4 )=
48
4
=
2
(3 2 )6 =
2
a)
b)
1
5+ 2
5
2+ 3
=
=
(
1* 5 - 2
)
5- 2
=
( 5 + 2)*( 5 - 2) ( 5) - ( 2)
(
)
5* 2 - 3
(2 + 3)*(2 - 3)
=
(
2
2
=
3
h) ⎛⎜ 2 * 3 2 ⎞⎟ =
⎝
⎠
5- 2 5- 2
=
5- 2
3
) = 5*(2- 3) = 5*(2 - 3) =5*(2- 3)
4- 3
1
5* 2 - 3
2
( )
2 - 3
2
i)
33
3=
j)
3
2=
k) 3 2 2 =
l)
18
3 3 3
2 2 2 =
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2. Dar a resposta sob forma de radical, das expressões seguintes:
3
a) 2 4 =
−1
b) 2 2 =
1
⎛ 1 ⎞ 2
c) ⎜⎜ 2 2 ⎟⎟ =
⎝
⎠
d)
(
)1
2* 3 6 =
3. Racionalizar o denominador das frações seguintes:
a)
b)
c)
d)
e)
1
5
=
3
7
3
2 2
=
=
2
5 -2
5
4 - 11
=
=
19