Exercício Exemplo de Análise Matricial de Estrutura Prof. Luís Henrique Piovezan - UNIBAN 1 Exercício Exemplo de Análise Matricial de Estruturas Dada a estrutura abaixo, determine os deslocamentos no nó 2 e as reações de apoio utilizando a análise matricial de estruturas. Dados da Barra 1: EA = 300000 kN EI = 32400 kN.m² Comprimento = 4,0 m 3 50 kN 2 2 Dados da Barra 2: EA = 300000 kN EI = 32400 kN.m² Comprimento = 3,0 m 1 1 Resposta Passo 1: Numeração dos graus de liberdade da estrutura: 3 5 6 9 8 4 2 Esta numeração indica a posição de cada deslocamento ou esforço na matriz de rigidez que será elaborada a seguir. 7 2 Podemos afirmar que a estrutura tem 9 graus de liberdade e, portanto, terá uma matriz de rigidez de dimensão 9 x 9. 1 2 3 1 1 Passo 2: Incidência das barras Barra Nó de Início Nó de Fim 1 1 2 2 2 3 Passo 3: Cálculo de [ k ] para cada barra, no sistema local: Barra 1: Barra Bi-engastada 3 2 6 1 As referências estão indicadas ao lado. A partir destas referências, tem-se a matriz de rigidez indicada: 5 4 Exercício Exemplo de Análise Matricial de Estrutura Prof. Luís Henrique Piovezan - UNIBAN EA l 0 0 k = EA − l 0 0 [] 0 0 12 EI l3 6 EI l2 6 EI l2 4 EI l 0 0 − 12 EI l3 6 EI l2 6 EI l2 2 EI l − − EA l 0 0 EA l 0 0 2 0 0 12 EI l3 6 EI − 2 l 6 EI l2 2 EI l 0 0 − 12 EI l3 6 EI − 2 l 6 EI l2 4 EI l − Substituindo-se os valores indicados, tem-se a seguinte matriz de rigidez para a barra 1: [ k ]1= 75000,00 0,00 0,00 -75000,00 0,00 0,00 0,00 6075,00 12150,00 0,00 -6075,00 12150,00 0,00 12150,00 32400,00 0,00 -12150,00 16200,00 -75000,00 0,00 0,00 75000,00 0,00 0,00 0,00 -6075,00 -12150,00 0,00 6075,00 -12150,00 0,00 12150,00 16200,00 0,00 -12150,00 32400,00 Barra 2 Barra Bi-engastada 3 2 6 Substituindo-se os valores indicados, tem-se a seguinte matriz de rigidez para a barra 2 5 1 4 100000,00 0,00 0,00 [ k ]2= -100000,00 0,00 0,00 0,00 14400,00 21600,00 0,00 -14400,00 21600,00 0,00 21600,00 32400,00 0,00 -21600,00 21600,00 -100000,00 0,00 0,00 100000,00 0,00 0,00 0,00 -14400,00 -21600,00 0,00 14400,00 -21600,00 0,00 21600,00 21600,00 0,00 -21600,00 43200,00 Passo 4: Transformando coordenadas locais em coordenadas globais: Para esta transformação, usa-se a matriz [T] e sua transposta [T]t. A matriz [T] é: cosα − senα 0 [T] = 0 0 0 senα cosα 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 cosα − senα 0 0 0 0 senα cosα 0 0 0 0 0 0 1 [] A transformação ocorre pela multiplicação de matrizes: [k ] = [T ] k [T ] t Exercício Exemplo de Análise Matricial de Estrutura Prof. Luís Henrique Piovezan - UNIBAN 3 Barra 1: Dado que o ângulo α=90°, tem-se a seguinte matriz [T]: [T] = 0,00 -1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 -1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 -1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 1,00 A matriz transposta [T]t é apresentada a seguir: [T]t = 0,00 1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 -1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 1,00 0,00 0,00 0,00 [] Assim, pode-se fazer o produto [k ] = [T ] k [T ] . Primeiro começa-se pelo produto t [T ] [k ]: t 0,00 75000,00 [T ]t k = 0,00 0,00 -75000,00 0,00 [] -6075,00 0,00 12150,00 6075,00 0,00 12150,00 -12150,00 0,00 6075,00 -12150,00 0,00 -75000,00 0,00 0,00 32400,00 0,00 -12150,00 16200,00 12150,00 0,00 -6075,00 12150,00 0,00 75000,00 0,00 0,00 16200,00 0,00 -12150,00 32400,00 Toma-se, então, este resultado e se multiplica por [T]: 6075,00 0,00 -12150,00 -6075,00 0,00 -12150,00 0,00 75000,00 0,00 0,00 -75000,00 0,00 -12150,00 0,00 32400,00 12150,00 0,00 16200,00 [k ] = [T ]t k [T ] = -6075,00 0,00 12150,00 6075,00 0,00 12150,00 0,00 -75000,00 0,00 0,00 75000,00 0,00 -12150,00 0,00 16200,00 12150,00 0,00 32400,00 [] Essa é a matriz de rigidez da barra 1. Barra 2: Dado que o ângulo α=0°, tem-se a seguinte matriz [T]: [T] = 1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 1,00 Exercício Exemplo de Análise Matricial de Estrutura Prof. Luís Henrique Piovezan - UNIBAN 4 A matriz transposta [T]t é apresentada a seguir: 1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 [T]t = 0,00 1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 1,00 [] Assim, pode-se fazer o produto [k ] = [T ] k [T ] . Primeiro começa-se pelo produto t [T ] [k ]: t 100000,00 0,00 0,00 [T ]t k = -100000,00 0,00 0,00 0,00 14400,00 21600,00 0,00 -14400,00 21600,00 [] 0,00 -100000,00 0,00 0,00 21600,00 0,00 -14400,00 21600,00 32400,00 0,00 -21600,00 21600,00 0,00 100000,00 0,00 0,00 -21600,00 0,00 14400,00 -21600,00 21600,00 0,00 -21600,00 43200,00 Toma-se, então, este resultado e se multiplica por [T]: 100000,00 0,00 0,00 [k ] = [T ]t [k ][T ] = -100000,00 0,00 0,00 0,00 14400,00 21600,00 0,00 -14400,00 21600,00 0,00 -100000,00 0,00 0,00 21600,00 0,00 -14400,00 21600,00 32400,00 0,00 -21600,00 21600,00 0,00 100000,00 0,00 0,00 -21600,00 0,00 14400,00 -21600,00 21600,00 0,00 -21600,00 43200,00 Essa é a matriz de rigidez da barra 2. Passo 5: Montagem da Matriz de Rigidez [K] da estrutura pelo método da colocação: O Método da Colocação consiste em definir uma matriz com todos os graus de liberdade (que são 9, neste exemplo) e colocar as matrizes de rigidez de cada barra de acordo com a incidência das barras (passo 2). No nosso exemplo, tem-se: nó 1 [K ] = 2 3 ( ( ( ( ( ( ( ( ( ) ) ) ) ) ) ) ) ) 1 ( ( ( ( ( ( ( ( ( ) ) ) ) ) ) ) ) ) ( ( ( ( ( ( ( ( ( ) ) ) ) ) ) ) ) ) ( ( ( ( ( ( ( ( ( ) ) ) ) ) ) ) ) ) 2 ( ( ( ( ( ( ( ( ( ) ) ) ) ) ) ) ) ) ( ( ( ( ( ( ( ( ( ) ) ) ) ) ) ) ) ) ( ( ( ( ( ( ( ( ( ) ) ) ) ) ) ) ) ) 3 ( ( ( ( ( ( ( ( ( ) ) ) ) ) ) ) ) ) ( ( ( ( ( ( ( ( ( ) ) ) ) ) ) ) ) ) Barra 1 Barra 2 Soma das barras Assim, podemos criar a matriz de rigidez de cada barra, na posição colocada e somá-las para obter a matriz de rigidez. Exercício Exemplo de Análise Matricial de Estrutura Prof. Luís Henrique Piovezan - UNIBAN 5 Para a barra 1: 6075,00 0,00 0,00 75000,00 -12150,00 0,00 -6075,00 0,00 [K]1= 0,00 -75000,00 -12150,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 -12150,00 0,00 32400,00 12150,00 0,00 16200,00 0,00 0,00 0,00 -6075,00 0,00 -12150,00 0,00 0,00 0,00 0,00 -75000,00 0,00 0,00 0,00 0,00 12150,00 0,00 16200,00 0,00 0,00 0,00 6075,00 0,00 12150,00 0,00 0,00 0,00 0,00 75000,00 0,00 0,00 0,00 0,00 12150,00 0,00 32400,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 Para a barra 2: 0,00 0,00 0,00 0,00 [K]2= 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 100000,00 0,00 0,00 -100000,00 0,00 0,00 0,00 0,00 14400,00 21600,00 0,00 -14400,00 21600,00 0,00 0,00 21600,00 32400,00 0,00 -21600,00 21600,00 0,00 -100000,00 0,00 0,00 100000,00 0,00 0,00 0,00 0,00 -14400,00 -21600,00 0,00 14400,00 -21600,00 0,00 0,00 21600,00 21600,00 0,00 -21600,00 43200,00 Somando-se as duas matrizes, obtem-se a matriz de rigidez global: 6075,00 0,00 0,00 75000,00 -12150,00 0,00 -6075,00 0,00 [K]= 0,00 -75000,00 -12150,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 -12150,00 -6075,00 0,00 -12150,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 -75000,00 0,00 0,00 0,00 0,00 32400,00 12150,00 0,00 16200,00 0,00 0,00 0,00 12150,00 106075,00 0,00 12150,00 -100000,00 0,00 0,00 0,00 0,00 89400,00 21600,00 0,00 -14400,00 21600,00 16200,00 12150,00 21600,00 64800,00 0,00 -21600,00 21600,00 0,00 -100000,00 0,00 0,00 100000,00 0,00 0,00 0,00 0,00 -14400,00 -21600,00 0,00 14400,00 -21600,00 0,00 0,00 21600,00 21600,00 0,00 -21600,00 43200,00 A partir desta matriz, pode-se montar o sistema geral conforme está mostrado na página seguinte. A matriz [P] é a matriz dos esforços, [K] é a matriz de rigidez e [p] é a matriz dos deslocamentos. Lembrar que [P] = [K] [p]. Exercício Exemplo de Análise Matricial de Estrutura Prof. Luís Henrique Piovezan - UNIBAN 6 A matriz, então fica: R1 6075,00 0,00 R2 0,00 75000,00 0,00 R3 -12150,00 0,00 32400,00 0,00 -6075,00 0,00 0,00 -75000,00 0,00 0,00 89400,00 21600,00 0,00 -14400,00 21600,00 x D2 0,00 -12150,00 0,00 16200,00 12150,00 21600,00 64800,00 0,00 -21600,00 21600,00 R7 0,00 0,00 0,00 -100000,00 R8 0,00 0,00 0,00 0,00 -14400,00 -21600,00 0,00 14400,00 -21600,00 0 R9 0,00 0,00 0,00 0,00 21600,00 21600,00 0,00 -21600,00 43200,00 0 -50,00 = -12150,00 -6075,00 0,00 -12150,00 0,00 0,00 0,00 0 0,00 -75000,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0 12150,00 0,00 16200,00 0,00 0,00 0,00 0 12150,00 106075,00 0,00 12150,00 -100000,00 0,00 0,00 D1 0,00 0,00 100000,00 0,00 D3 0,00 0 Note que R1 é a força de reação horizontal no nó 1, R2 é a força de reação vertical no nó 1 e R3 é o momento de reação no nó 1; R7 a força de reação horizontal no nó 3, R8 é a força de reação vertical no nó 3 e R3 é o momento de reação no nó 3. D1 é o deslocamento horizontal no nó 2, D2 é o deslocamento vertical no nó 2 e D3 é o deslocamento rotacional no nó 2. Esta matriz representa um sistema de 9 equações com 9 incógnitas e, portanto, pode ser resolvido. Vamos separar a resolução deste sistema calculando primeiro os deslocamentos e depois calculando as reações de apoio. Exercício Exemplo de Análise Matricial de Estrutura Prof. Luís Henrique Piovezan - UNIBAN 7 Passo 6: Determinação dos deslocamentos dos nós livres Na matriz abaixo, estão indicadas as linhas onde podem ocorrer deslocamentos. R1 6075,00 0,00 -12150,00 -6075,00 0,00 -12150,00 0,00 0,00 0,00 R2 0,00 75000,00 0,00 0,00 -75000,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0 0 R3 -12150,00 0,00 32400,00 12150,00 0,00 16200,00 0,00 0,00 0,00 0 0,00 -6075,00 0,00 12150,00 106075,00 0,00 12150,00 -100000,00 0,00 0,00 0,00 -75000,00 0,00 0,00 89400,00 21600,00 0,00 -14400,00 21600,00 D1 x D2 0,00 -12150,00 0,00 16200,00 12150,00 21600,00 64800,00 0,00 -21600,00 21600,00 D3 R7 0,00 0,00 0,00 -100000,00 0,00 0,00 100000,00 0,00 0,00 0 R8 0,00 0,00 0,00 0,00 -14400,00 -21600,00 0,00 14400,00 -21600,00 0 R9 0,00 0,00 0,00 0,00 21600,00 0,00 -21600,00 43200,00 0 -50,00 = 21600,00 Note que estas linhas formam um sistema de três equações com três incógnitas. Isolando estas equações, tem-se o sistema abaixo: 0,00 106075,00 0,00 12150,00 -50,00 = 0,00 89400,00 21600,00 x 0,00 12150,00 21600,00 64800,00 D1 D2 D3 Resolvendo pela inversa da matriz1, tem-se: D1 9,653E-06 4,756E-07 -1,968E-06 -50,00 D2 = 4,756E-07 1,219E-05 -4,152E-06 x 0,00 D3 -1,968E-06 -4,152E-06 1,719E-05 0,00 Fazendo-se a multiplicação das matrizes, chega-se que: D1 = -0,00002378 m; D2 = -0,00060944m; D3 = 0,00020761 rad Passo 7: Determinação das reações de apoio Para determinar as reações de apoio, devemos substituir D1, D2 e D3 determinados no passo 6 na matriz definida no passo 5. Essa matriz está colocada na próxima página. 1 Com o MS Excel, pode-se inverter facilmente uma matriz com a função ÍNDICE(MATRIZ.INVERSO(matriz);linha;coluna). Verificar na ajuda do programa para detalhes de sua utilização. Exercício Exemplo de Análise Matricial de Estrutura Prof. Luís Henrique Piovezan - UNIBAN 8 R1 6075,00 0,00 -12150,00 -6075,00 0,00 -12150,00 0,00 0,00 0,00 0,00 R2 0,00 75000,00 0,00 0,00 -75000,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 R3 -12150,00 0,00 32400,00 12150,00 0,00 16200,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 -6075,00 0,00 12150,00 106075,00 0,00 12150,00 -100000,00 0,00 0,00 -0,00002378 0,00 -75000,00 0,00 0,00 89400,00 21600,00 0,00 -14400,00 21600,00 x -0,00060944 0,00 -12150,00 0,00 16200,00 12150,00 21600,00 64800,00 0,00 -21600,00 21600,00 R7 0,00 0,00 0,00 -100000,00 R8 0,00 0,00 0,00 0,00 -14400,00 -21600,00 0,00 14400,00 -21600,00 0,00 R9 0,00 0,00 0,00 0,00 21600,00 21600,00 0,00 -21600,00 43200,00 0,00 -50,00 = 0,00 0,00 100000,00 0,00 Procedendo-se à multiplicação das matrizes, chega-se ao resultado: R1 = -2,378 kN R2 = 45,708 kN R3 = 3,074 kN.m -50,00 = 0,000 kN 0,00 = 0,00 = 0,000 kN.m R7 = 2,378 kN R8 = 4,292 kN R9 = -8,680 kN.m -50,000 kN 0,00 0,00020761 0,00 Exercício Exemplo de Análise Matricial de Estrutura Prof. Luís Henrique Piovezan - UNIBAN 9 A representação física deste resultado em um diagrama de corpo livre é dada pelo diagrama: 50 kN 4,292 kN 2,378 kN 8,680 kN.m 2,378 kN 3,074 kN.m 45,708 kN A partir do diagrama de corpo livre, pode-se desenhar os esforços solicitantes na estrutura.