Curso Online - Raciocínio Lógico-Quantitativo para Traumatizados
Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior
Raciocínio Lógico-Quantitativo para Traumatizados
Aula 01
Sinais, Frações e Decimais
Conteúdo
2. Introdução – Parte 2 ............................................................................................................. 2
2.1.
Sinais ............................................................................................................................... 2
2.1.1. Inversos Aditivos ou Opostos .................................................................................. 3
2.1.2. Números Positivos ....................................................................................................... 3
2.1.3. Números Negativos ..................................................................................................... 4
2.1.4. Valor Absoluto ou Módulo ......................................................................................... 5
2.1.5. Soma de Números com Sinais Iguais .................................................................. 6
2.1.6. Soma de Números com Sinais Diferentes .......................................................... 7
2.1.7. Subtração com Sinais ................................................................................................. 7
2.1.8. Multiplicação e Divisão com Sinais........................................................................ 9
2.1.9. O caso do Zero ............................................................................................................ 11
2.1.10. Os casos do Um e do menos Um ...................................................................... 11
2.1.11. Propriedade Comutativa ....................................................................................... 11
2.1.12. Propriedade Associativa ........................................................................................ 12
2.2.
Frações .......................................................................................................................... 13
2.2.1. Frações Próprias ......................................................................................................... 13
2.2.2. Frações Impróprias ................................................................................................... 14
2.2.3. Números Mistos .......................................................................................................... 14
2.2.4. Menores Termos ......................................................................................................... 15
2.2.5. Frações Equivalentes ................................................................................................ 16
2.2.6. Soma e Subtração de Frações .............................................................................. 16
2.2.7. Multiplicação e Divisão de Frações...................................................................... 20
2.3.
Decimais ....................................................................................................................... 21
2.4. Critérios de Divisibilidade ........................................................................................... 25
2.5. Memorize para a prova ................................................................................................ 28
2.6. Exercícios de Fixação.................................................................................................... 33
2.7. Gabarito ............................................................................................................................. 40
2.8. Exercícios de Fixação Comentados e Resolvidos ............................................... 41
Bibliografia ..................................................................................................................................... 66
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2. Introdução – Parte 2
E aí? Preparado(a) para continuar a jornada pela Matemática? Então vamos lá!
Na aula de hoje veremos os sinais, as frações, os decimais e os critérios de
divisibilidade. Você pode achar estas primeiras aulas um pouco chatas, mas
elas serão a base de todo o nosso estudo. São os conceitos introdutórios para
que possamos entender a matemática e não errar mais questões, em virtude
de conceitos esquecidos.
2.1. Sinais
Você, com certeza, já ouviu muitas vezes em sua vida as palavras positivo(a) e
negativo(a) em diversos sentidos.
Por exemplo, vou contar como eu estudava, na época em que era concurseiro
como você, e estava me preparando para o concurso da Receita Federal. Você
está interessado(a)? Se a minha experiência for útil a você, ela terá uma
influência positiva em sua vida (espero, de coração, que seja útil).
Vou chamar, então, de dicas de estudo positivas:
1. Procure estudar todos os dias, mesmo que sejam poucas horas por dia. No
meu caso, eu tentava estudar, no mínimo, 4 horas por dia, mesmo
trabalhando.
Se você não conseguir estudar 4 horas, tente 3 horas, 2 horas, 1 hora, enfim,
estude todos os dias um pouco. Você pode estar se perguntando: Mas, por que
estudar todos os dias? Bom, voltemos ao esporte (adoro natação, e nado, até
hoje, cinco vezes por semana). Como um atleta adquire preparo físico?
Treinando, certo? Portanto, se você não estudar todos os dias, como seu corpo
e seu cérebro se acostumarão com isso? Logo, não esqueça: ESTUDE TODOS
OS DIAS.
2. Nos dias em que não trabalhar (sábados, domingos, feriados, férias),
aumente o ritmo de estudo. Tente estudar de 6 a 8 horas por dia. Serão os
dias das “maratonas” de estudo.
3. Estude mais de uma matéria por dia, para não cansar a mente. Eu estudava
as matérias em ciclos de 2 horas. A cada 2 horas, mudava de matéria. Faça
isso e você verá que seu estudo renderá mais.
4. Faça muitos, muitos e muitos exercícios de provas anteriores. Desse modo,
você estará, efetivamente, treinando para a prova, como um atleta se prepara
para uma competição.
5. Separe algumas horas na semana para o lazer e a família. Minha esposa,
meu filho e meu pai sempre foram meu grande estímulo para continuar
estudando.
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6. Economize o máximo de tempo que puder para poder estudar. Nunca gostei
de cursos presenciais. Preferia estudar, em casa, com o material do Ponto dos
Concursos e livros voltados para concursos. Com isso, economizava tempo
com deslocamento, estava mais perto da minha família, não me estressava no
trânsito. Enfim, só vejo vantagens no ensino a distância.
7. Não faça resumos de toda a matéria, mas somente das partes em que tem
dúvidas. Você economizará tempo para estudar mais. Eu lia o material do
Ponto dos Concursos e os livros voltados para concursos, com bastante
atenção, e, então, tentava resolver exercícios de provas anteriores. Para
aqueles exercícios que eu errasse, ou tivesse alguma dúvida, aí sim, copiava
em meu único caderno, com todas as matérias, na forma de itens (meu
caderno de Direito Tributário, por exemplo, chegou a ter 576 itens!).
8. Tente estudar as matérias em ciclos. Eu estudava todas as matérias do
concurso para Auditor-Fiscal da Receita Federal em ciclos de 4 meses. Quando
acabava de estudar tudo, lia o meu “caderno de itens, com as minhas dúvidas
de todas as matérias”. Desse modo, ia fixando os conceitos e sempre fazendo
mais exercícios.
Bom, era assim que eu estudava. Espero que minhas dicas sejam POSITIVAS
para você.
A palavra NEGATIVA pode aparecer quando, por exemplo, temos uma
decepção amorosa: “Aquele relacionamento só me trouxe experiências
negativas e muito sofrimento!”. Parece novela do Manoel Carlos, não? Risos.
Agora, você deve estar pensando: O professor pirou de vez! Quero saber de
sinais positivos e negativos em números! Tudo bem, então vamos aprender
como somar, subtrair, multiplicar e dividir com números positivos e negativos.
Para isso, estudemos os conceitos iniciais sobre sinais.
2.1.1. Inversos Aditivos ou Opostos
Dois números são inversos aditivos ou opostos se o resultado da soma desses
dois números for zero.
Exemplos:
X + (-X) = 0
5 + (-5) = 0
⇒ X e –X são inversos aditivos ou opostos.
⇒ 5 e –5 são inversos aditivos ou opostos.
2.1.2. Números Positivos
São números maiores que zero e são representados com o sinal de mais (+) a
frente do número ou sem nenhum sinal.
Exemplos de números positivos: +98; 60; +5; 10;...
0
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+1
aes
+2
r
+3
w
+4
ntod
...
urso
r
3
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Repare que, para um número positivo, quanto mais longe do zero (0),
maior é o número.
Por outro lado, para um número positivo, quanto mais perto do zero (0),
menor é o número.
Exemplos: 100 > 10 > 9 > 8 > 7 > 6 > 5 > 4 > 3 > 2 > 1 > 0.
100 está bem mais longe do zero que o 10, e, portanto, é maior que 10, que é
maior que 9, que é maior que 8, e assim por diante.
2.1.3. Números Negativos
São números menores que zero e são representados com o sinal de menos (-)
a frente do número
Exemplos de números negativos: -98; -60; -5;...
...
-4
-3
-2
-1
0
Repare que, com os números negativos, é o inverso do que ocorre com os
números positivos.
Portanto, para um número negativo, quanto mais longe do zero (0),
menor é o número, e, quanto mais perto do zero (0), maior é o
número.
Exemplos: -100 < -10 < -9 < -8 < -7 < -6 < -5 < -4 < -3 < -2 < -1 < 0.
(-100) está bem mais longe do zero que o (-10), e, portanto, é menor que
(-10), que é menor que (-9), que é menor que (-8), e assim por diante.
Memorize para a prova:
Para um número positivo, quanto mais longe do zero (0), maior é o
número.
Para um número positivo, quanto mais perto do zero (0), menor é o
número.
Para um número negativo, quanto mais longe do zero (0), menor é o
número.
Para um número negativo, quanto mais perto do zero (0), maior é o
número.
Até agora tudo bem, pois comparamos números positivos com números
positivos e números negativos com números negativos, mas, como comparar
números positivos com números negativos?
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Vamos ver alguns exemplos:
10 > 5 ⇒ como 10 (número positivo) é maior que 5 (número positivo), então
10 está mais longe do zero do que o 5.
5 > 0
zero.
⇒ como 5 é maior que 0, então 5 é um número positivo maior que
-5 > -10 ⇒ como -5 (número negativo) é maior que -10, então -5 está mais
perto do zero do que o -10.
-5 < 0
zero.
⇒ como -5 é menor que 0, então -5 é um número negativo menor que
10 > -10
negativos.
⇒ Todos os números positivos são maiores que os números
Memorize para a prova:
Todo número negativo é menor que zero.
Todo número positivo é maior que zero.
Números positivos são sempre maiores que números negativos.
O objetivo deste curso é, plagiando meus cursos online de Contabilidade e meu
livro de Contabilidade Geral – Editora Campus, que está na segunda edição
(Momento propaganda, se me permite), ensinar Raciocínio Lógico, do básico ao
avançado, passando pelo intermediário, é claro. Risos.
Agora, a pergunta que não quer calar. Pode fazer! Não se acanhe! E o zero? É
um número positivo ou negativo? O zero não é nem positivo e nem
negativo.
Memorize para a prova:
Zero: não é um número positivo e não é um número negativo.
Outro ponto importante é o conceito de valor absoluto ou módulo. Vamos
estudá-lo.
2.1.4. Valor Absoluto ou Módulo
Representa a distância do número até o zero, ou seja, pouco importa se o
número é positivo ou negativo. O que importa, efetivamente, é a distância do
número ao zero. A representação do valor absoluto ou módulo de um número
é feita por duas barras verticais (| |).
Pela definição acima, podemos perceber que o valor absoluto ou módulo de
um número não negativo (números não negativos são os números
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positivos e o zero) é o próprio número e o valor absoluto de um
número negativo é o seu inverso aditivo. Veja:
|x| = x, se x ≥ 0. Se fôssemos escrever esta representação em “português”,
teríamos: O valor absoluto de x (|x|) é igual a x, se x for maior ou igual a zero
(se x for um número não negativo).
|x| = -x, se x < 0. Se fôssemos escrever esta representação em “português”,
teríamos: O valor absoluto de x (|x|) é igual ao inverso aditivo de x (-x), se x
for menor a zero.
Exemplos numéricos são sempre mais fáceis de entender, certo? Então, vamos
lá:
Exemplos:
|5| = 5. Como 5 é positivo, o valor absoluto de 5 é igual a ele mesmo (5), ou
seja, a distância de 5 até o zero é 5.
|-5| = 5. Como -5 é negativo, o valor absoluto de -5 é igual ao seu inverso
aditivo (5), ou seja, a distância de -5 até o zero é 5.
|0| = 0. Como 0 é um número não negativo, o valor absoluto de 0 é igual a ele
mesmo, ou seja, a distância de 0 até o zero é 0.
Memorize para a prova:
Valor absoluto ou Módulo (| |):
- de um número não negativo é o próprio número. Exemplos: |5| = 5 e |0| = 0.
- de um número negativo é o seu inverso aditivo. Exemplo: |-5| = 5.
Beleza até aqui? Tudo entendido? Então, levante um pouco, beba uma água,
pense em números positivos e negativos e volte para que possamos continuar
a aula.
2.1.5. Soma de Números com Sinais Iguais
Se os números possuem sinais iguais, some os números e repita o sinal no
resultado da soma.
Exemplos:
+ 2 + 3 = + 5 (soma os números 2 + 3 e repete o sinal +)
+ 5 + 14 + 23 = + 42 (soma os números 5 + 14 + 23 e repete o sinal +)
(– 2) + (– 3) = – 5 (soma os números 2 + 3 e repete o sinal –)
(–5) + (–14) + (–23) = –42 (soma os números 5+14+23 e repete o sinal –)
(+X) + (+Y) + (+ Z) = + (X + Y + Z)
(- X) + (- Y) + (- Z) = - (X + Y + Z)
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2.1.6. Soma de Números com Sinais Diferentes
Se os números possuem sinais diferentes, calcule a diferença entre os valores
absolutos dos números. O sinal do número que for mais distante do zero
(maior valor absoluto) determinará o sinal da resposta. Confuso? Então vamos
ver exemplos numéricos.
Exemplos:
A) + 2 + (– 3)
Determinação dos valores absolutos:
|+2| = 2
|-3| = 3
Maior valor absoluto = 3
Sinal do número com maior valor absoluto = – (menos)
Diferença de valores absolutos = 3 – 2 = 1
Resultado = + 2 – 3 = – 1
B) + 34 + (– 23)
|+34| = 34
|-23| = 23
Maior valor absoluto = 34
Sinal do número com maior valor absoluto = + (mais)
Diferença de valores absolutos = 34 – 23 = 11
Resultado = + 34 – 23 = 11
C) + 5 + 14 + (– 23)
Primeiramente, vamos calcular + 5 + 14 (soma com sinais iguais) = + 19
+ 5 + 14 + (– 23) = + 19 + (– 23)
|+19| = 19
|-23| = 23
Maior valor absoluto = 23
Sinal do número com maior valor absoluto = – (menos)
Diferença de valores absolutos = 23 – 19 = 4
Resultado = + 19 – 23 = – 4
D) (+X) + (–Y) = + (|X| – |Y|), se o número positivo X está mais distante do
zero (maior valor absoluto) que o número negativo Y.
E) (+X) + (–Y) = – (|Y| – |X|), se o número negativo Y está mais distante do
zero (maior valor absoluto) que o número positivo X.
2.1.7. Subtração com Sinais
Aqui, não há o que inventar. Basta você utilizar as mesmas regras da adição.
De que forma? Transformando a subtração em adição. Veja os exemplos.
Exemplos:
A) + 2 – 3 = + 2 + (– 3) (pronto, virou adição!). A partir daí, segue as
mesmas regras da adição.
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Determinação dos valores absolutos:
|+2| = 2
|-3| = 3
Maior valor absoluto = 3
Sinal do número com maior valor absoluto = – (menos)
Diferença de valores absolutos = 3 – 2 = 1
Resultado = + 2 – 3 = – 1
B) + 34 – 23 = + 34 + (– 23)
|+34| = 34
|-23| = 23
Maior valor absoluto = 34
Sinal do número com maior valor absoluto = + (mais)
Diferença de valores absolutos = 34 – 23 = 11
Resultado = + 34 – 23 = 11
C) + 5 + 14 – 23
Primeiramente, vamos calcular + 5 + 14 (soma com sinais iguais) = + 19
+ 5 + 14 – 23 = + 19 + (– 23)
|+19| = 19
|-23| = 23
Maior valor absoluto = 23
Sinal do número com maior valor absoluto = – (menos)
Diferença de valores absolutos = 23 – 19 = 4
Resultado = + 19 – 23 = – 4
D) (+X) – Y = (+X) + (–Y) = + (|X| – |Y|), se o número positivo X está mais
distante do zero (maior valor absoluto) que o número negativo Y.
E) (+X) – Y = (+X) + (–Y) = – (|Y| – |X|), se o número negativo Y está mais
distante do zero (maior valor absoluto) que o número positivo X.
Ou seja, a regra para transformar a subtração em uma adição é:
substitua o sinal menos (-) pelo sinal (+) e substitua o número pelo
seu inverso aditivo.
Exemplos:
(+X) – (+Y) = (+X) + (–Y)
(+X) – (–Y) = (+X) + (+Y)
(–X) – (+Y) = (–X) + (–Y)
(–X) – (–Y) = (–X) + (+Y)
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Memorize para a prova:
Adição e subtração:
Exemplos:
+ 7 + 5 = + 12 ⇒ sinais iguais ⇒ soma e conserva o sinal.
+ 3 – (– 5) = + 3 + 5 = + 8 ⇒ sinais iguais ⇒ soma e conserva o sinal.
– 1 + 5 = + 4 ⇒ sinais diferentes ⇒ subtrai e conserva o sinal do valor de
maior módulo.
– 7 + 5 = – 2 ⇒ sinais diferentes ⇒ subtrai e conserva o sinal do valor de
maior módulo.
– 1 + (– 5) = – 6 ⇒ sinais iguais ⇒ soma e conserva o sinal.
Bom, agora vou utilizar meu viés naval (afinal, são 17 anos de Marinha do
Brasil) para fazer um exemplo.
Exemplo: A Marinha do Brasil estava realizando um treinamento de simulação
de guerra com a Marinha Argentina. Eram, ao todo, 20 navios em combate,
entre porta-aviões, fragatas, contratorpedeiros e submarinos. Um dos
submarinos brasileiros estava a 50 pés de profundidade, pronto para torpedear
a fragata de “los hermanos”, quando o Comandante Frederico determinou:
“Atenção tribulação, submergir mais 70 pés!”. Como a marinheiro responsável
pela submersão deveria efetuar esta conta, com a utilização de números
negativos?
Bom, vamos considerar que o nível do mar é o ponto zero (0) e que as
profundidades abaixo do nível do mar são números negativos. Portanto,
inicialmente, o submarino brasileiro estava a 50 pés de profundidade e deve
submergir (afundar) mais 70 pés.
Representação:
Profundidade Inicial = –50
Submersão = –70
Profundidade Final = X
Portanto, o marinheiro fará a seguinte conta:
– 50 – 70 = X
Transformando a subtração em adição, teríamos:
⇒ (– 50) + (– 70) = X ⇒ X = – 120 (sinais iguais ⇒ soma e conserva o sinal)
2.1.8. Multiplicação e Divisão com Sinais
Nessas situações, as regras são bem simples:
Se os sinais são iguais, o resultado é positivo (+); e
Se os sinais são diferentes, o resultado é negativo (–).
Resumindo, teríamos:
(–) x (–) = (+)
(–) x (+) = (–)
(+) x (–) = (–)
(–) : (–) = (+)
(+) : (+) = (+)
(+) : (–) = (–)
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(+) x (+) = (+)
(–) : (+) = (–)
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Relembrando:
: ou / ⇒ divisão
. ou x ⇒ multiplicação
Exemplos:
(–5) x (–4) = +20
(–5) x (+4) = –20
(+5) x (+4) = +20
(+5) x (–4) = –20
Memorize para a prova:
Multiplicação e divisão:
Exemplos:
7 x 5 = + 35 ⇒ sinais iguais ⇒ positivo
3 x (– 5) = – 15 ⇒ sinais diferentes ⇒ negativo
(– 4) x (– 5) = 20 ⇒ sinais iguais ⇒ positivo
(– 10) / 5 = – 2 ⇒ sinais diferentes ⇒ negativo
(– 8) / (– 2) = 4 ⇒ sinais iguais ⇒ positivo
18 / 3 = 6 ⇒ sinais iguais ⇒ positivo
Agora, você deve estar se perguntando: Como faremos uma multiplicação ou
divisão com mais de dois números? Simples! Nesses casos utilizaremos a regra
do par ou ímpar para descobrir o sinal do resultado. Que é isso, professor!
Ficou maluco! Vamos tirar par ou ímpar para descobrir o resultado? Não,
vamos apenas verificar a quantidade de números negativos.
Se a quantidade for ímpar, o resultado é negativo. Se a quantidade for par,
o resultado é positivo. Vamos aos exemplos.
(+5) x (–10) x (+2) = –100 ⇒ 1 sinal negativo ⇒ resultado negativo
(+5) x (–6) x (+2) x (–3) = +180 ⇒ 2 sinais negativos ⇒ resultado positivo
(+5) x (–6) x (+2) x (–3) x (–2) = –360 ⇒ 3 sinais negativos ⇒ resultado
negativo
( +2 ) × (−6) = −4
⇒ 1 sinal negativo ⇒ resultado negativo
(+3)
( +2 ) × (−6) = +4 ⇒ 2 sinais negativos ⇒ resultado positivo
(−3)
Memorize para a prova:
Multiplicação e divisão:
Se a quantidade de números negativos for ímpar, o resultado é negativo.
Se a quantidade de números negativos for par, o resultado é positivo.
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2.1.9. O caso do Zero
E o zero? Como fica nas operações de adição, subtração, multiplicação e
divisão? Vamos ver?
Adição: o zero é um elemento neutro, pois não altera o valor do número ao
qual está sendo adicionado. 0 + X = X.
Subtração: o zero é um elemento neutro, pois não altera o valor do número
ao qual está sendo subtraído. 0 – X = 0 + (–X) = –X.
Multiplicação: se você multiplicar qualquer número, positivo ou negativo, por
zero, o resultado será sempre zero. 0 . X = 0.
Divisão: na divisão deve-se tomar cuidado. É possível dividir 0 por quaisquer
números positivos ou negativos e o resultado será sempre zero. 0 : X = 0.
Por outro lado, você não deve utilizar o zero como divisor, pois não podemos
dividir algo em zero partes.
2.1.10. Os casos do Um e do menos Um
Os “casos do um e do menos um” são bem mais fáceis. Na verdade, só
veremos para multiplicação e divisão.
Multiplicação:
Se você multiplicar qualquer número, positivo ou negativo, por um (1), o
resultado será sempre o próprio número. X . 1 = X.
Se você multiplicar qualquer número, positivo ou negativo, por menos um (-1),
o resultado será sempre o oposto do número. X . (-1) = (-X).
Divisão:
Se você dividir qualquer número, positivo ou negativo, por um (1), o resultado
será sempre o próprio número. X : 1 = X.
Se você dividir qualquer número, positivo ou negativo, por menos um (-1), o
resultado será sempre o oposto do número. X : (-1) = (-X).
Beleza até aqui! Então, para fechar este item, vamos falar um pouco das
propriedades comutativa e associativa.
2.1.11. Propriedade Comutativa
De acordo com a propriedade comutativa, a mudança da ordem dos
números em uma operação não altera o resultado. Veja alguns exemplos:
X + Y = Y + X ⇒ a adição é comutativa
Exemplo: 3 + 4 = 4 + 3 = 7
X . Y = Y . X ⇒ a multiplicação é comutativa
Exemplo: 3 x 4 = 4 x 3 = 12
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X–Y
Y – X ⇒ a subtração não é comutativa, exceto se X = Y.
Exemplos:
A) 3 – 4
4–3
3 – 4 = –1
4–3=1
≠
≠
≠
B) 2 – 6
6–2
2 – 6 = –4
6–2=4
C) 2 – 2 = 2 – 2
2–2=0
2–2=0
≠
X:Y
Y : X ⇒ a divisão não é comutativa, exceto se X = Y ou X = –Y.
Exemplos:
A) 8 : 4
4:8
8:4=2
≠
4:8=
1
2
≠
B) 2 : 6
2:6=
6:2
1
3
6:2=3
C) 2 : 2 = 2 : 2
2:2=1
2:2=1
D) 2 : –2 = –2 : 2
2 : –2 = –1
–2 : 2 = –1
Memorize para a prova:
A propriedade comutativa é verdadeira para as operações de adição e
multiplicação.
2.1.12. Propriedade Associativa
De acordo com a propriedade associativa, a mudança da ordem das
operações não altera o resultado. Veja alguns exemplos:
X + (Y + Z) = (X + Y) + Z ⇒ a adição é associativa
Exemplo: 3 + (4 + 5) = (3 + 4) + 5 = 12
3 + (4 + 5) = 3 + 9 = 12
(3 + 4) + 5 = 7 + 5 = 12
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X . Y = Y . X ⇒ a multiplicação é associativa
Exemplo: 3 x (4 x 5) = (3 x 4) x 5 = 60
3 x (4 x 5) = 3 x 20 = 60
(3 x 4) x 5 = 12 x 5 = 60
≠
X – (Y – Z)
(X – Y) – Z ⇒ a subtração não é associativa, exceto em
alguns casos.
Exemplos:
A) 3 – (4 – 5)
(3 – 4) – 5
3 – (4 – 5) = 3 – (–1) = 3 + 1 = 4
(3 – 4) – 5 = –1 – 5 = –6
≠
B) 3 – (4 – 0) = (3 – 4) – 0
3 – (4 – 0) = 3 – 4 = –1
(3 – 4) – 0 = –1 – 0 = –1
≠
X:Y
Y : X ⇒ a divisão não é associativa, exceto em alguns casos.
Exemplos:
A) 8 : (4 : 2)
(8 : 4) : 2
8 : (4 : 2) = 8 : 2 = 4
(8 : 4) : 2 = 2 : 2 = 1
≠
≠
B) 8 : (4 : 1)
(8 : 4) : 1
8 : (4 : 1) = 8 : 4 = 2
(8 : 4) : 1 = 2 : 1 = 2
Memorize para a prova:
A propriedade associativa é verdadeira para as operações de adição e
multiplicação.
2.2. Frações
As frações são representadas da seguinte forma:
Fração =
numerador
deno min ador
Denominador: indica em quantas partes o numerador será dividido.
2.2.1. Frações Próprias
Nas frações próprias, o numerador é sempre menor que o denominador.
Consequentemente, o resultado da divisão do numerador pelo denominador é
sempre menor que um.
Exemplos:
2 1 4 1
; ; ; ; etc.
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2.2.2. Frações Impróprias
Nas frações impróprias, o numerador é sempre maior que o denominador.
Consequentemente, o resultado da divisão do numerador pelo denominador é
sempre maior que um.
Exemplos:
5 9 11 19
; ; ; ; etc.
3 5 7 16
Memorize para a prova:
Frações próprias: o numerador é sempre menor que o denominador.
Frações impróprias: o numerador é sempre maior que o denominador.
2.2.3. Números Mistos
Os números mistos correspondem a outra forma de representação das frações
impróprias.
Para transformar uma fração imprópria em um número misto, basta dividir o
numerador pelo denominador. O quociente corresponderá ao número inteiro
que vem na frente do número misto e o resto será representado na forma de
fração própria.
Relembrando da aula 0:
a = b.q + r
a = dividendo
b = divisor
q = quociente
r = resto
a
numerador
=
b deno min ador
Representando de forma diferente:
a
b
r
q
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Exemplos:
5 3 2
2
2
= + = 1+ = 1
3 3 3
3
3
9 5 4
4
4
= + = 1+ = 1
5 5 5
5
5
11 10 1
1
1
= + = 5+ = 5
2
2 2
2
2
Por outro lado, para passar de número misto para fração imprópria, basta
multiplicar o número a frente do número misto pelo denominador da fração
própria e somar esse número ao numerador da fração própria. A fração
imprópria terá como numerador o resultado dessa operação e, como
denominador, o denominador do número misto. Confuso? É, vamos ver um
exemplo que fica bem mais fácil.
Exemplo:
1 5 × 2 + 1 11
5 =
=
2
2
2
Passos:
Número a frente do número misto = 5
Fração própria =
1
2
I – Multiplique 5 pelo denominador da fração própria (2) = 5 x 2 = 10
II – Some o resultado I com o numerador da fração própria = 10 + 1 = 11
III – Denominador da fração própria = 2
IV – Resultado:
11
2
2.2.4. Menores Termos
Uma fração estará com os menores termos quando nenhum número (exceto
1) divide o numerador e o denominador de forma exata. Veja:
4
⇒ Essa fração não está com os menores termos, pois podemos dividir, tanto
6
o numerador como o denominador, por 2, e o resultado é exato.
4÷2 2
= ⇒ Essa fração está com os menores termos.
6÷2 3
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2.2.5. Frações Equivalentes
Repare que, se dividirmos o numerador e o denominador de uma fração por
um mesmo número, o resultado não é alterado (são frações equivalentes). Isto
ocorre porque, na verdade, você está multiplicando a fração por um! Não
entendeu? Veja o exemplo:
4÷2 4 2 4
= ÷ = ÷1
6÷2 6 2 6
4 2
= ⇒ Frações equivalentes.
6 3
Exemplo: João, torcedor fanático da seleção brasileira, decidiu comprar uma
televisão de 52 polegadas nas Casas Rio de Janeiro, pois poderia pagar em 60
prestações mensais e iguais. Um ano após a compra, qual a fração que melhor
representa o número de prestações já pagas em relação ao total?
Bom, um ano após a compra, João já terá pago 12 prestações. Portanto, a
relação será:
12
⇒ repare que, tanto 12 como 60 são divisíveis por 12. Fazendo a divisão:
60
12 ÷ 12 1
= ⇒ João terá pago um quinto do total de prestações (essa é a
60 ÷ 12 5
fração dos menores termos).
12 1
= ⇒ Frações equivalentes.
60 5
2.2.6. Soma e Subtração de Frações
Precisamos, inicialmente, calcular o denominador comum para que possamos
fazer as operações de soma ou subtração das frações.
O procedimento para determinar o denominador comum será o seguinte
(vamos fazer com exemplo numérico):
Suponha que você queira fazer a seguinte operação:
3 1
+ .
8 6
I – Calcular o mínimo múltiplo comum dos denominadores:
Opa, professor? Que papo é esse de Mínimo Múltiplo Comum? Tudo bem, você
está certo(a). Vamos ao conceito então:
Mínimo Múltiplo Comum (m.m.c.): o mínimo múltiplo comum de dois ou
mais números é calculado utilizando o seguinte procedimento:
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I. Fazer a fatoração dos números (em fatores primos), separadamente; e
II. m.m.c = produto de todos os fatores comuns e não comuns elevados ao
maior expoente.
Notas:
- Veremos expoentes com mais detalhes em aula posterior
- Para fatorar, tente os números primos em ordem crescente: 2, 3, 5, 7, 11,
13, e assim por diante.
- Números Primos: são todos os números naturais que são divisíveis apenas
por 1 por ele mesmo.
No nosso exemplo, os denominadores são 6 e 8. Portanto, teríamos:
8
2
4
2
2
2
1
Fatoração de 8 = 2 x 2 x 2 = 23 (Em “português”, 2 vezes 2 vezes 2 é igual
a dois elevado ao cubo ou a terceira. O três representa o expoente do número
2, ou seja, indica que multiplicamos por 2 três vezes).
6
2
3
3
1
Fatoração de 6 = 2 x 3
Para achar o mínimo múltiplo comum, teríamos:
A – Determinar os fatores comuns e não comuns:
8 = 23
6=2x3
Fator Comum = 2
Fator Não Comum = 3
B – Elevar os fatores comuns e não comuns aos maiores expoentes:
Maior expoente de 2 = 3
Fator Comum elevado ao maior expoente = 23
Maior expoente de 3 = 1
Fator Não Comum = 31 = 3
mmc (8,6) = 23 x 3 = 24
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II – Achar as frações equivalentes, considerando o mínimo múltiplo
comum calculado acima como denominador:
Verificando o primeiro termo da operação:
3 X
=
8 24
Basta verificar por qual valor devemos multiplicar o 8 para chegar a 24. Neste
caso, percebe-se que temos que multiplicar por 3. Para não alterar o resultado,
devemos multiplicar o numerador e o denominador por 3 (frações
equivalentes). Veja:
3 3 9
× =
8 3 24
Fazendo o mesmo para o segundo termo:
1 X
=
6 24
Basta verificar por qual valor devemos multiplicar o 6 para chegar a 24. Neste
caso, percebe-se que temos que multiplicar por 4. Para não alterar o resultado,
devemos multiplicar o numerador e o denominador por 4 (frações
equivalentes). Veja:
1 4 4
× =
6 4 24
Pronto! Agora já podemos fazer a nossa conta:
3 3 1 4 9
4 9 + 4 13
× + × =
+
=
=
8 3 6 4 24 24
24
24
Caso seja possível, poderemos simplificar a resposta para encontrar os
menores termos. No exemplo acima, não é possível, pois não existe um divisor
comum de 13 (numerador) e 24 (denominador) que dê resultado inteiro.
Vamos ver mais dois exemplos:
Exemplo: Calcule
1 5
+ .
15 12
I – Calcular o mínimo múltiplo comum dos denominadores:
No nosso exemplo, os denominadores são 5 e 12. Portanto, teríamos:
15
3
5
5
1
Fatoração de 15 = 3 x 5
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12
2
6
2
3
3
1
Fatoração de 12 = 2 x 2 x 3 = 22 x 3
Para achar o mínimo múltiplo comum, teríamos:
I – Determinar os fatores comuns e não comuns:
15 = 3 x 5
12 = 22 x 3
Fator Comum = 3
Fatores Não Comuns = 2 e 5
II – Elevar os fatores comuns e não comuns aos maiores expoentes:
Maior expoente de 3 = 1
Fator Comum elevado ao maior expoente = 31 = 3
Maior expoente de 2 = 2
Fator Não Comum = 22
Maior expoente de 5 = 1
Fator Não Comum = 51 = 5
mmc (15,12) = 3 x 22 x 5 = 3 x 2 x 2 x 5 = 60
II – Achar as frações equivalentes, considerando o mínimo múltiplo
comum calculado acima como denominador:
Verificando o primeiro termo da operação:
1 X
=
15 60
Basta verificar por qual valor devemos multiplicar o 15 para chegar a 60. Neste
caso, percebe-se que temos que multiplicar por 4. Para não alterar o resultado,
devemos multiplicar o numerador e o denominador por 4 (frações
equivalentes). Veja:
1 4 4
× =
15 4 60
Fazendo o mesmo para o segundo termo:
5 X
=
12 60
Basta verificar por qual valor devemos multiplicar o 12 para chegar a 60. Neste
caso, percebe-se que temos que multiplicar por 5. Para não alterar o resultado,
devemos multiplicar o numerador e o denominador por 5 (frações
equivalentes). Veja:
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5 5 25
× =
12 5 60
Pronto! Agora já podemos fazer a nossa conta:
1 4 5 5 4 25 4 + 25 29
× + × =
+
=
=
15 4 12 5 60 60
60
60
5 1
Exemplo: Calcule
− .
12 15
Os termos são iguais ao do exemplo anterior. Apenas a operação mudou.
Portanto, fazendo os cálculos diretamente, teríamos:
5 5 1 4 25 4 25 − 4 21
× − × =
−
=
=
12 5 15 4 60 60
60
60
Repare que tanto 21 (numerador), como 60 (denominador) são divisíveis por
3. Portanto, podemos simplificar essa fração para achar os menores termos:
21 3 7
÷ =
60 3 20
Ou seja:
21 7
=
⇒ frações equivalentes.
60 20
Memorize para a prova:
Soma e subtração de frações: é preciso calcular o mínimo múltiplo
comum dos denominadores para realizar essas operações.
2.2.7. Multiplicação e Divisão de Frações
Para multiplicar as frações deve ser adotado o seguinte procedimento:
I – Transformar os números mistos em frações impróprias;
II – Multiplicar os numeradores;
III – Multiplicar os denominadores; e
IV – Simplificar a resposta, se for possível (*).
(*) Tente simplificar antes de fazer as multiplicações.
Exemplos:
A)
2 4 2× 4 8
× =
=
3 5 3 × 5 15
B)
2 4 4 × 3 + 2 4 14 4 14 × 4 56
4 × =
+ = × =
=
3 5
3
5 3 5 3 × 5 15
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C)
5 4 5× 4 4
× =
= ⇒ repare que é possível simplificar o 5 do numerador com
3 5 3× 5 3
o 5 do denominador.
D)
5 3 1
5 × 3 ×1
× × =
⇒ repare que é possível simplificar o 5 do numerador
6 8 10 6 × 8 × 10
com o 10 do denominador, dividindo ambos por 5; e o 3 do numerador com o
6 do denominador, dividindo ambos por 3.
5 × 3 ×1
1× 1 × 1
1
=
=
6 × 8 ×10 2 × 8 × 2 32
Para dividir as frações deve ser adotado o seguinte procedimento:
I – Transformar os números mistos em frações impróprias;
II – Inverter a segunda fração - divisora (denominador vira numerador
e numerador vira denominador) e multiplicar pela primeira fração;
III – Multiplicar os numeradores;
IV – Multiplicar os denominadores; e
V – Simplificar a resposta, se for possível (*).
(*) Tente simplificar antes de fazer as multiplicações.
Ou seja, a divisão de frações é praticamente igual à multiplicação das frações,
exceto pelo item II. Vamos aos exemplos.
Exemplos:
A)
B)
1 4 1 5 1× 5 5
÷ = × =
=
3 5 3 4 3 × 4 12
2 4 14 4 14 5 14 × 5 7 × 5 35
4 ÷ = ÷ = × =
=
=
⇒ repare que é possível
3 5 3 5 3 4 3× 4 3× 2 6
simplificar o 14 do numerador com o 4 do denominador, dividindo ambos por
2.
2.3. Decimais
Podemos considerar que os decimais são frações especiais, tendo em vista que
seus denominadores serão sempre múltiplos de 10 (10, 100, 1.000, 10.000,
etc.), também chamados potências de 10.
As potências de 10 são:
10 = 101
10 x 10 = 102 = 100
10 x 10 x 10 = 103 = 1.000
10 x 10 x 10 x 10 = 104 = 10.000
10 x 10 x 10 x 10 x 10 = 105 = 100.000
(...)
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Repare que o expoente do 10 indica o número de zeros do resultado,
colocando sempre o 1 na frente.
Exemplo: 105 = 100.000 (5 zeros)
O número de casas decimais à direita da vírgula indica o número de zeros
da potência de 10 que será escrita no denominador.
Exemplos:
A) 0,45
Há dois números após a vírgula (4 e 5). Portanto, a potência de 10 escrita no
denominador será 102 = 100.
0,45 =
45
100
B) 0,451
Há três números após a vírgula (4, 5 e 1). Portanto, a potência de 10 escrita
no denominador será 103 = 1.000.
0,451 =
451
1.000
C) 23,13335
Há cinco números após a vírgula (1, 3, 3, 3 e 5). Portanto, a potência de 10
escrita no denominador será 105 = 100.000.
23,13335 =
2.313.335
100.000
D) 0,25
Há dois números após a vírgula (2 e 5). Portanto, a potência de 10 escrita no
denominador será 102 = 100.
0,25 =
25 1
= ⇒ repare que é possível simplificar o 25 do numerador com o
100 4
100 do denominador, dividindo ambos por 25.
Para transformar qualquer fração em decimal, basta dividir o numerador pelo
denominador. Vejamos alguns exemplos.
Exemplos:
A)
2
= 2 ÷ 5 = 0, 4
5
B)
1
= 1 ÷ 4 = 0, 25
4
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C)
12
= 12 ÷ 5 = 2, 4
5
D)
9
= 9 ÷ 25 = 0,36
25
Está em dúvida de como dividir 9 por 25? Bom, vou efetuar esta conta:
9
resto
25
quociente
I – Como 9 é menor que 25, é preciso adicionar um 0 após o nove e um “zero
vírgula” no quociente:
90
resto
25
0,
II – Agora podemos dividir 90 por 25:
25 x 3 = 75
25 x 4 = 100 (maior que 90)
Portanto, devemos multiplicar 25 por 3 (=75).
O resto será a diferença: 90 – 75 = 15
90
- 75
15
25
0,3
III – Como 15 é menor que 25, colocamos mais um zero à direita do 15 e
efetuamos a divisão de 150 por 25.
90
25
- 75
0,3
150
25 x 5 = 125
25 x 6 = 150
Como 25 x 6 é igual a 150, a divisão é exata e o resto é igual a 0.
90
25
- 75
0,36
150
- 150
0
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Portanto, o resultado da divisão de 9 por 25 é 0,36.
Vamos agora fazer outro exemplo de divisão, passo a passo.
Exemplo: Calcule o resultado de 82.316,20/0,41158.
A
B
D
C
A = dividendo
B = divisor
C = quociente
D = resto
Passo 1: verificar o número de casas decimais do denominador:
0,41158 ⇒ 5 casas decimais
Passo 2: multiplicar o numerador e o denominador por:
10número de casas decimais do denominador = 105 = 100.000
82.316,20 x 100.000 = 8.231.620.000 (Dividendo)
0,41158 x 100.000 = 41.158 (Divisor)
Passo 3: efetuar a divisão dos números obtidos no passo 2:
Passo 3.1: utilizar o número formado pelos algarismos da esquerda para
direita que é maior que o divisor e efetuar a primeira divisão: no caso, o
número é 82.316.
8.231.6`20.000` 41.158
82.316
2
-82.316
0
Dividindo 82.316 por 41.158 chegamos ao resultado 2, com resto 0.
Passo 3.2: utilizar o número formado pelos algarismos da esquerda para
direita, a partir do último algarismo utilizado no passo anterior, que é maior
que o divisor e efetuar a segunda divisão. Observe, que quando “abaixei” o 2
do dividendo não dava para continuar a conta. Por isso, registrei esta não
continuidade através de um zero no quociente. Isto ocorreu até o último
algarismo do dividendo (0) e o número, ainda assim, continuou menor que o
divisor.
Nesta situação, incluirei mais um 0 (em vermelho) no número a ser dividido
por 41.158 e uma “vírgula” no quociente.
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8.231.6`20.000` 41.158
82.316
200.000,4
-82.316
0
200.000
-164.632
35.368
Logo, dividindo 200.000 por 41.158 chegamos ao resultado 4 com resto de
35.368, tendo em vista que:
41.158 x 4 = 164.632
200.000 – 164.632 = 35.368
Passo 3.3: Já “abaixei” todos os números do dividendo, mas ainda há resto e
quero fazer a conta com duas casas decimais. Neste caso, coloco mais um 0
(em vermelho) no número a ser dividido por 41.158 e faço a conta.
8.231.6`20.000` 41.158
82.316
200.000,48
-82.316
0
200.000
-164.632
353.680
-329.264
24.416
Logo, dividindo 353.680 por 41.158 chegamos ao resultado 8 com resto de
35.368, tendo em vista que:
41.158 x 8 = 329.264
353.690 – 329.264 = 24.416
2.4. Critérios de Divisibilidade
I) Divisibilidade por 2: um número natural será divisível por 2 sempre que
for par, ou seja, terminar em 0, 2, 4, 6 e 8.
Exemplos: 22 é divisível por 2; 1.246 é divisível por 2.
II) Divisibilidade por 3: um número será divisível por 3 quando a soma dos
valores absolutos de seus algarismos for divisível por 3.
Exemplos:
345 ⇒ Soma dos algarismos = 3 + 4 + 5 = 12 é divisível por 3
⇒ 345 é divisível por 3.
1.329 ⇒ Soma dos algarismos = 1 + 3 + 2 + 9 = 15 é divisível por 3
⇒ 1.329 é divisível por 3.
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III) Divisibilidade por 4: um número será divisível por 4 quando terminar
em 00 ou quando o número formado pelos dois últimos algarismos for divisível
por 4.
Exemplos:
1.000 ⇒ termina por 00 ⇒ é divisível por 4.
1.312 ⇒ Número formado pelos dois últimos algarismos = 12 é divisível por 4
⇒ 1.312 é divisível por 4.
IV) Divisibilidade por 5: um número será divisível por 5 quando terminar
em 0 ou 5.
Exemplos:
1.000 ⇒ termina por 0 ⇒ é divisível por 5.
7.315 ⇒ termina por 5 ⇒ é divisível por 5.
V) Divisibilidade por 6: um número será divisível por 6 quando for divisível
por 2 e por 3 ao mesmo tempo.
Exemplos:
408 ⇒ divisível por 2 (último número par) e divisível por 3 (soma dos
algarismos = 4 + 0 + 8 = 12 é divisível por 3) ⇒ é divisível por 6.
5.316 ⇒ divisível por 2 (último número par) e divisível por 3 (soma dos
algarismos = 5 + 3 + 1 + 6 = 15 é divisível por 3) ⇒ é divisível por 6.
VI) Divisibilidade por 8: um número será divisível por 8 quando terminar
em 000 ou quando o número formado pelos três últimos algarismos for
divisível por 8.
Exemplos:
1.000 ⇒ termina por 000 ⇒ é divisível por 8.
1.328 ⇒ Número formado pelos três últimos algarismos = 328 é divisível por
8 ⇒ 1.328 é divisível por 8.
VII) Divisibilidade por 9: um número será divisível por 9 quando a soma
dos valores absolutos de seus algarismos for divisível por 9.
Exemplos:
333 ⇒ Soma dos algarismos = 3 + 3 + 3 = 9 é divisível por 9 ⇒ 333 é
divisível por 9.
2.358 ⇒ Soma dos algarismos = 2 + 3 + 5 + 8 = 18 é divisível por 9 ⇒
2.358 é divisível por 9.
VIII) Divisibilidade por 10: um número será divisível por 10 quando
terminar em 0.
Exemplos:
1.000 ⇒ termina por 0 ⇒ é divisível por 10.
11.560 ⇒ termina por 0 ⇒ é divisível por 10.
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IX) Divisibilidade por 11: um número será divisível por 11 quando a
diferença entre as somas dos valores absolutos dos algarismos de ordem ímpar
e a soma dos algarismos de ordem par é divisível por 11.
Exemplos:
97845 ⇒ Soma dos algarismos de ordem ímpar = 9 + 8 + 5 = 22
Soma dos algarismos de ordem par = 7 + 4 = 11
Diferença = 22 – 11 = 11 ⇒ é divisível por 11.
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2.5. Memorize para a prova
Inversos Aditivos ou Opostos
X + (-X) = 0 ⇒ X e –X são inversos aditivos.
5 + (-5) = 0 ⇒ 5 e –5 são inversos aditivos.
Números Positivos: São números maiores que zero.
Números Negativos: São números menores que zero.
Para um número positivo, quanto mais longe do zero (0), maior
número.
Para um número positivo, quanto mais perto do zero (0), menor
número.
Para um número negativo, quanto mais longe do zero (0), menor
número.
Para um número negativo, quanto mais perto do zero (0), maior
número.
Todo número negativo é menor que zero.
Todo número positivo é maior que zero.
Números positivos são sempre maiores que números negativos.
Zero: não é um número positivo e não é um número negativo.
é o
é o
é o
é o
Valor Absoluto ou Módulo
Representa a distância do número até o zero.
|x| = x, se x ≥ 0.
|x| = -x, se x < 0.
Soma de Números com Sinais Iguais
Se os números possuem sinais iguais, some os números e repita o sinal no
resultado da soma.
(+X) + (+Y) + (+ Z) = + (X + Y + Z)
(- X) – (- Y) – (- Z) = - (X + Y + Z)
Soma de Números com Sinais Diferentes
Se os números possuem sinais diferentes, calcule a diferença entre os valores
absolutos dos números. O sinal do número que for mais distante do zero
(maior valor absoluto) determinará o sinal da resposta.
(+X) + (–Y) = + (|X| – |Y|), se o número positivo X está mais distante do zero
(maior valor absoluto) que o número negativo Y.
(+X) + (–Y) = – (|Y| – |X|), se o número negativo Y está mais distante do zero
(maior valor absoluto) que o número positivo X.
Subtração com Sinais
Basta você utilizar as mesmas regras da adição, transformando a subtração
em adição.
(+X) – Y = (+X) + (–Y) = + (|X| – |Y|), se o número positivo X está mais
distante do zero (maior valor absoluto) que o número negativo Y.
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(+X) – Y = (+X) + (–Y) = – (|Y| – |X|), se o número negativo Y está mais
distante do zero (maior valor absoluto) que o número positivo X.
(+X) – (+Y) = (+X) + (–Y)
(+X) – (–Y) = (+X) + (+Y)
(–X) – (+Y) = (–X) + (–Y)
(–X) – (–Y) = (–X) + (+Y)
Multiplicação e Divisão com Sinais
Se os sinais são iguais, o resultado é positivo (+); e
Se os sinais são diferentes, o resultado é negativo (–).
Se a quantidade de números negativos for ímpar, o resultado é negativo.
Se a quantidade de números negativos for par, o resultado é positivo.
O caso do Zero
Adição: 0 + X = X.
Subtração: 0 – X = 0 + (–X) = –X.
Multiplicação: 0 . X = 0.
Divisão: 0 : X = 0.
Você não deve utilizar o zero como divisor, pois não podemos dividir algo em
zero partes.
Os casos do Um e do menos Um
Multiplicação:
X . 1 = X.
X . (-1) = (-X).
Divisão:
X : 1 = X.
X : (-1) = (-X).
Propriedade Comutativa
A mudança da ordem dos números em uma operação não altera o resultado.
X + Y = Y + X ⇒ a adição é comutativa
X . Y = Y . X ⇒ a multiplicação é comutativa
X–Y
Y – X ⇒ a subtração não é comutativa, exceto se X = Y.
X:Y
Y : X ⇒ a divisão não é comutativa, exceto se X = Y ou X = –Y
≠
≠
Propriedade Associativa
A mudança da ordem das operações o não altera o resultado. Veja alguns
exemplos:
X + (Y + Z) = (X + Y) + Z ⇒ a adição é associativa
X . Y = Y . X ⇒ a multiplicação é associativa
X – (Y – Z)
(X – Y) – Z ⇒ a subtração não é associativa, exceto em
alguns casos.
X:Y
Y : X ⇒ a divisão não é associativa, exceto em alguns casos.
≠
≠
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Frações
Fração =
numerador
deno min ador
Denominador: indica em quantas partes o numerador será dividido.
Frações Próprias
Nas frações próprias, o numerador é sempre menor que o denominador.
Consequentemente, o resultado da divisão do numerador pelo denominador é
sempre menor que um.
Frações Impróprias
Nas frações impróprias, o numerador é sempre maior que o denominador.
Consequentemente, o resultado da divisão do numerador pelo denominador é
sempre maior que um.
Números Mistos
Os números mistos correspondem a outra forma de representação das frações
impróprias.Para transformar uma fração imprópria em um número misto, basta
dividir o numerador pelo denominador. O quociente corresponderá ao número
inteiro que vem na frente do número misto e o resto será representado na
forma de fração própria.
Exemplos:
5 3 2
2 2
= + = 1+ 1
3 3 3
3 3
9 5 4
4
4
= + = 1+ = 1
5 5 5
5
5
11 10 1
1
1
= + = 5+ = 5
2
2 2
2
2
Passar de número misto para fração imprópria:
1 5 × 2 + 1 11
5 =
=
2
2
2
Menores Termos
4
⇒ Essa fração não está com os menores termos, pois podemos dividir, tanto
6
o numerador como o denominador, por 2, e o resultado é exato.
4÷2 2
= ⇒ Essa fração está com os menores termos.
6÷2 3
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Frações Equivalentes
4 2
= ⇒ Frações equivalentes.
6 3
Soma e Subtração de Frações
I – Calcular o mínimo múltiplo comum dos denominadores;
Mínimo Múltiplo Comum (m.m.c.): o mínimo múltiplo comum de dois ou
mais números é calculado utilizando o seguinte procedimento:
I. Fazer a fatoração dos números (em fatores primos), separadamente; e
II. m.m.c = produto de todos os fatores comuns e não comuns elevados ao
maior expoente.
II – Achar as frações equivalentes, considerando o mínimo múltiplo
comum calculado acima como denominador; e
III – Apurar o resultado.
Multiplicação e Divisão de Frações
Para multiplicar as frações deve ser adotado o seguinte procedimento:
I – Transformar os números mistos em frações impróprias;
II – Multiplicar os numeradores;
III – Multiplicar os denominadores; e
IV – Simplificar a resposta, se for possível (*).
(*) Tente simplificar antes de fazer as multiplicações.
Exemplo:
A)
2 4 2× 4 8
× =
=
3 5 3 × 5 15
Para dividir as frações deve ser adotado o seguinte procedimento:
I – Transformar os números mistos em frações impróprias;
II – Inverter a segunda fração - divisora (denominador vira numerador
e numerador vira denominador) e multiplicar pela primeira fração;
III – Multiplicar os numeradores;
IV – Multiplicar os denominadores; e
V – Simplificar a resposta, se for possível (*).
(*) Tente simplificar antes de fazer as multiplicações.
Exemplo:
A)
1 4 1 5 1× 5 5
÷ = × =
=
3 5 3 4 3 × 4 12
Decimais
O número de casas decimais à direita da vírgula indica o número de zeros
da potência de 10 que será escrita no denominador.
Exemplo:
A) 0,451
Há três números após a vírgula (4, 5 e 1) = três casas decimais. Portanto, a
potência de 10 escrita no denominador será 103 = 1.000.
0,451 =
451
1.000
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Critérios de Divisibilidade
I) Divisibilidade por 2: um número natural será divisível por 2 sempre que
for par, ou seja, terminar em 0, 2, 4, 6 e 8.
II) Divisibilidade por 3: um número será divisível por 3 quando a soma dos
valores absolutos de seus algarismos for divisível por 3.
III) Divisibilidade por 4: um número será divisível por 4 quando terminar
em 00 ou quando o número formado pelos dois últimos algarismos for divisível
por 4.
IV) Divisibilidade por 5: um número será divisível por 5 quando terminar
em 0 ou 5.
V) Divisibilidade por 6: um número será divisível por 6 quando for divisível
por 2 e por 3 ao mesmo tempo.
VI) Divisibilidade por 8: um número será divisível por 8 quando terminar
em 000 ou quando o número formado pelos três últimos algarismos for
divisível por 8.
VII) Divisibilidade por 9: um número será divisível por 9 quando a soma
dos valores absolutos de seus algarismos for divisível por 9.
VIII) Divisibilidade por 10: um número será divisível por 10 quando
terminar em 0.
IX) Divisibilidade por 11: um número será divisível por 11 quando a
diferença entre as somas dos valores absolutos dos algarismos de ordem ímpar
e a soma dos algarismos de ordem par é divisível por 11.
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2.6. Exercícios de Fixação
1.(EPPGG-Mpog-2009-Esaf) Se a idade de uma criança hoje é a diferença
entre a metade da idade que ela teria daqui a dez anos e a metade da idade
que ela tinha há dois anos, qual a sua idade hoje?
a) 3 anos.
b) 2 anos.
c) 4 anos.
d) 5 anos.
e) 6 anos.
2.(APO-Mpog-2008-Esaf) No último mês, cinco vendedores de uma grande
loja realizaram as seguintes vendas de pares de calçados: Paulo vendeu 71,
Ricardo 76, Jorge 80, Eduardo 82 e Sérgio 91. Ana é diretora de vendas e
precisa calcular a venda média de pares de calçados realizada por estes cinco
vendedores. Para este cálculo, a empresa disponibiliza um software que calcula
automaticamente a média de uma série de valores à medida que os valores
vão sendo digitados. Ana observou que, após digitar o valor de cada uma das
vendas realizadas pelos vendedores, a média calculada pelo software era um
número inteiro. Desse modo, o valor da última venda digitada por Ana foi a
realizada por:
a) Sérgio
b) Jorge
c) Paulo
d) Eduardo
e) Ricardo
3.(Analista de Finanças e Controle-STN-2008-Esaf) A calculadora de
Eliane tem duas teclas especiais, T1 e T2, que realizam operações diferentes. A
tecla T1 transforma o número t que está no visor em 1/t. A tecla T2
transforma o número t que está no visor em 1 – t. Eliane digita um número no
visor. A seguir, de forma sucessiva e alternadamente, ela digita as duas teclas
especiais, iniciando por T1 , isto é: T1, T2, T1, T2, T1, T2 .... . Sabendo-se que
após 1204 operações o visor mostrava o número 5, pode-se corretamente
concluir que o número que Eliane digitou no visor é igual a:
a) 0,8
b) 0,7
c) 2,5
d) 0,42
e) 0,36
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4.(Assistente de Chancelaria-MRE-2002-Esaf) Se a média aritmética dos
números 6, 8, X e Y é igual a 12, então a média aritmética dos números (X +
8) e (Y - 4) será:
a) 9,5
b) 13
c) 19
d) 20
e) 38
5.(Assistente de Chancelaria-MRE-2002-Esaf) Se X, Y e Z são inteiros
positivos e consecutivos tais que X < Y < Z, então a expressão que
necessariamente corresponde a um número inteiro ímpar é dada por:
a) (X.Y) + (Y.Z)
b) (X+Y).(Y+Z)
c) X.Y.Z
d) X + Y + Z
e) X + Y.Z
6.(Assistente de Chancelaria-MRE-2002-Esaf) O número X tem três
algarismos. O produto dos algarismos de X é 126 e a soma dos dois últimos
algarismos de X é 11. O algarismo das centenas de X é:
a) 2
b) 3
c) 6
d) 7
e) 9
7.(AFT-MTE-1998-Esaf) Uma herança constituída de barras de ouro foi
totalmente dividida entre três irmãs: Ana, Beatriz e Camile. Ana, por ser a
mais velha, recebeu a metade das barras de ouro, e mais meia barra. Após
Ana ter recebido sua parte, Beatriz recebeu a metade do que sobrou, e mais
meia barra. Coube a Camile o restante da herança, igual a uma barra e meia.
Assim, o número de barras de ouro que Ana recebeu foi:
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
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8.(Analista de Finanças e Controle-STN-1997-Esaf) Tomam-se os inteiros
entre 1 e 100, inclusive, e constroem-se duas listas. Na lista D são colocados
todos os inteiros divisíveis por 2 e, na lista T, são colocados todos os inteiros
divisíveis por 3. O número de inteiros entre 1 e 100, inclusive, que são
divisíveis por 2 e que não são divisíveis por 3 é igual a:
a) 22
b) 24
c) 26
d) 28
e) 34
9.(Técnico Judiciário-Administrativa-TRF/4R-2010-FCC) A expressão N
÷ 0,0125 é equivalente ao produto de N por
(A) 1,25.
(B) 12,5.
(C)
1
.
80
(D) 80.
(E)
125
.
100
10.(Técnico Judiciário-Administrativa-TRF/4R-2010-FCC) Sejam x , y e
z três números inteiros e positivos, tais que x < y < z. Sabe-se que o maior é
a soma dos outros dois, e que o menor é um sexto do maior. Nessas
condições, x, y e z são, nesta ordem, diretamente proporcionais a
(A) 1, 3 e 6.
(B) 1, 4 e 6.
(C) 1, 5 e 6.
(D) 1, 6 e 7.
(E) 1, 7 e 8.
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11.(Professor-Matemática-Secretaria Municipal de Educação/SP-2009FCC) Todo número racional pode ser escrito como fração contínua finita.
Segue abaixo um exemplo de fração contínua finita.
1
2+
1
3+
1+
1
6
A fração contínua finita indicada corresponde a um número racional cuja
representação decimal é uma dízima de período
(A) 259.
(B) 257.
(C) 239.
(D) 197.
(E) 175.
12.(Professor-Matemática-Secretaria Municipal de Educação-Teresina2009-FCC)Júlia tem que distribuir certo número de balas em 99 embalagens
de forma que todas as embalagens fiquem com o mesmo número de balas.
Sua remuneração para a tarefa será o número de balas que sobrarem.
Fazendo uso de uma calculadora, Júlia dividiu o total de balas por 99, obtendo
como resultado no visor o número 9,86868686. Para descobrir qual será sua
remuneração, Júlia deve pegar o número indicado no visor da calculadora,
(A) somar 9 e multiplicar o resultado por 99.
(B) somar 99 e dividir o resultado por 9.
(C) subtrair 9 e multiplicar o resultado por 86.
(D) subtrair 9 e multiplicar o resultado por 99.
(E) subtrair 9 e multiplicar o resultado por 986.
13.(Professor-Matemática-Secretaria Municipal de Educação-Teresina2009-FCC)Vários pacotes de papel sulfite foram empilhados como mostra a
figura.
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Para saber quantos pacotes tem esse empilhamento podemos proceder do
seguinte modo:
(A) 5 × 3 + 2 × 1
(B) (5 × 4) + (3 × 3) + (2 × 2) + 3
(C) (5 × 3 × 2 × 1) + (4 × 3 × 2 × 2)
(D) (5 + 4) + (3 + 3) + 2 + 2) + 3
(E) (5 × 4) + (3 × 4) + (2 × 4) + 3
14.(Auxiliar Judiciário-Administrativa-TRF/2R-2007-FCC) Considere que
os símbolos
, que aparecem no quadro seguinte, substituem as
operações que devem ser efetuadas em cada linha a fim de obter-se o
resultado correspondente, que se encontra na coluna da extrema direita.
Para que o resultado da terceira linha seja o correto, o ponto de interrogação
deverá ser substituído pelo número
(A) 16
(B) 15
(C) 14
(D) 13
(E) 12
15.(Técnico Judiciário-Administrativa-2007-TRF/1R-FCC)Um técnico
judiciário foi incumbido da montagem de um manual referente aos Princípios
Fundamentais da Constituição Federal. Sabendo que, excluídas a capa e a
contra-capa, a numeração das páginas foi feita a partir do número 1 e, ao
concluí-la, constatou-se que foram usados 225 algarismos, o total de páginas
que foram numeradas é
(A) 97
(B) 99
(C) 111
(D) 117
(E) 126
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16.(Professor
Adjunto-Matemática-Secretaria
Municipal
de
Educação/SP-2007-FCC)Uma possibilidade para a introdução das idéias da
álgebra é a identificação de padrões associada à representação com letras da
regularidade observada. Nesse sentido, um professor propôs que seus alunos
observassem o seguinte padrão:
Chamando de E o número da etapa, e de B o número de bolinhas dessa etapa,
partindo de caminhos diferentes, quatro alunos apresentaram as seguintes
fórmulas para expressar a regularidade observada:
I. B = 2E + 3
II. B = 2 (E + 1) + 1
III. B = 3 (E + 1) − E
IV. B = 3 (E − 1) + 5
Das respostas apresentadas, estão corretas APENAS
(A) I e II.
(B) I e III.
(C) II e III.
(D) I, II e III.
(E) II, III e IV.
17.(Professor
Adjunto-Matemática-Secretaria
Municipal
de
Educação/SP-2004-FCC)Para representar um número natural qualquer
podemos utilizar a letra n. Para representar um número natural ímpar
qualquer podemos utilizar a notação 2n + 1. Sendo assim, o resultado de (2n
+ 1)2 sempre será, para qualquer n, um número
(A) primo.
(B) múltiplo de 3.
(C) par.
(D) ímpar.
(E) divisor de 72.
18.(Professor
Adjunto-Matemática-Secretaria
Municipal
de
Educação/SP-2004-FCC)Os hindus, a partir do século VI, efetuavam
multiplicações por um método denominado “por quadriculagem”. Vamos
mostrá-lo, multiplicando 532 por 75. Para tal, desenhamos um retângulo
composto por 6 outros retângulos, dispostos em três colunas (número de
algarismos de 532) e duas linhas (número de algarismos de 75). Cada
retângulo, dividido pela sua diagonal, traz em cada metade um algarismo do
número resultante da multiplicação do algarismo da linha pelo da coluna.
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A seguir, adicionam-se os algarismos compreendidos entre as diagonais, da
esquerda para a direita e de cima para baixo, colocando-se os resultados no
exterior do retângulo maior. Obtém-se, dessa forma, que o resultado de 532 x
75 é 39 900.
O quadro seguinte, mostra a multiplicação entre dois números de dois
algarismos:
O produto obtido nessa multiplicação é igual a
(A) 1 679
(B) 1 426
(C) 689
(D) 649
(E) 619
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19.(Professor-Matemática-Sesi-2004-FCC)Imagine
todas
as
adições
possíveis de duas parcelas distintas que podemos efetuar com os divisores de
36. Dentre as somas obtidas, algumas serão números múltiplos de 5. Os
possíveis múltiplos de 5, nesse caso, são
(A) 3
(B) 4
(C) 5
(D) 6
(E) 7
20.(Professor-Matemática-Sesi-2004-FCC)A soma de dois números
inteiros é 924. Juntando 78 a cada um dos números, um dos resultados fica o
dobro do outro. O menor desses números é
(A) 78
(B) 156
(C) 231
(D) 282
(E) 308
2.7. Gabarito
1. E
2. B
3. A
4. C
5. B
6. D
7. E
8. E
9. D
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
C
A
D
B
D
C
D
D
A
E
D
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2.8. Exercícios de Fixação Comentados e Resolvidos
1.(EPPGG-Mpog-2009-Esaf) Se a idade de uma criança hoje é a diferença
entre a metade da idade que ela teria daqui a dez anos e a metade da idade
que ela tinha há dois anos, qual a sua idade hoje?
a) 3 anos.
b) 2 anos.
c) 4 anos.
d) 5 anos.
e) 6 anos.
Resolução
Idade Hoje = X
Idade Daqui a 10 anos = X + 10
Idade Há 2 anos = X – 2
Pelo enunciado: a idade de uma criança hoje (X) é a diferença entre a metade
da idade que ela teria daqui a dez anos
tinha há dois anos
 X + 10 

 e a metade da idade que ela
2


 X −2

 . Ou seja, transformamos o enunciado em uma
 2 
expressão:
X=
X + 10 X − 2 X + 10 − X + 2
12
−
=
⇒ X = = 6anos
2
2
2
2
GABARITO: E
2.(APO-Mpog-2008-Esaf) No último mês, cinco vendedores de uma grande
loja realizaram as seguintes vendas de pares de calçados: Paulo vendeu 71,
Ricardo 76, Jorge 80, Eduardo 82 e Sérgio 91. Ana é diretora de vendas e
precisa calcular a venda média de pares de calçados realizada por estes cinco
vendedores. Para este cálculo, a empresa disponibiliza um software que calcula
automaticamente a média de uma série de valores à medida que os valores
vão sendo digitados. Ana observou que, após digitar o valor de cada uma das
vendas realizadas pelos vendedores, a média calculada pelo software era um
número inteiro. Desse modo, o valor da última venda digitada por Ana foi a
realizada por:
a) Sérgio
b) Jorge
c) Paulo
d) Eduardo
e) Ricardo
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Resolução
Informações do enunciado:
Paulo ⇒ vendeu 71 pares de calçados ⇒ número ímpar
Ricardo ⇒ vendeu 76 pares de calçados ⇒ número par
Jorge ⇒ vendeu 80 pares de calçados ⇒ número par
Eduardo ⇒ vendeu 82 pares de calçados ⇒ número par
Sérgio ⇒ vendeu 91 pares de calçados ⇒ número ímpar
Ana ⇒ Software ⇒ A média é calculada à medida que os valores vão sendo
digitados
Repare que os números ímpares divididos por um número par não dão
resultados inteiros. Exemplo: 3 : 2 = 1,5.
Portanto, os dois números ímpares de vendas (Paulo e Sérgio) serão os dois
primeiros a serem digitados (para dividir por 2) ou o terceiro e quarto a serem
digitados (para dividir por 4), visto que a soma dos dois é divisível por 2 e
pode ser divisível por 4.
Hipótese I – Ímpares no início: Ordem de digitação (pode ser Paulo e Sérgio ou
Sérgio e Paulo)
Paulo = 71
Sérgio = 91 ⇒ Média 1 = (91 + 71)/2 = 162/2 = 81
Repare que 162 também é divisível por 3 (162/3 = 54).
Logo, o próximo número a ser digitado também deve ser divisível por 3.
Contudo, as vendas que sobraram para digitar não são divisíveis por 3
(Ricardo = 76; Jorge = 80 e Eduardo = 82). Logo, a hipótese I não é válida.
Hipótese II – Ímpares nas posições 3 e 4.
Possibilidades de digitação:
1. 76, 80, 71, 91, 82
2. 76, 80, 91, 71, 82
3. 76, 82, 71, 91, 80
4. 76, 82, 91, 71, 80
5. 80, 82, 71, 91, 76
6. 80, 82, 91, 71, 76
Nas duas primeiras posições, como foram digitados somente números pares,
independentemente da possibilidade, a média será um número inteiro, mesmo
que as posições sejam alternadas entre si. Portanto, vamos analisar a partir da
3a posição.
Possibilidades de digitação:
1. (76 + 80 + 71)/3 = 227/3 ⇒ não é número inteiro
2. (76 + 80 + 91)/3 = 247/3 ⇒ não é número inteiro
3. (76 + 82 + 71)/3 = 229/3 ⇒ não é número inteiro
4. (76 + 82 + 91)/3 = 249/3 = 83 ⇒ é número inteiro
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5. (80 + 82 + 71)/3 = 233/3 ⇒ não é número inteiro
6. (80 + 82 + 91)/3 = 253/3 ⇒ não é número inteiro
Logo, a única solução é a possibilidade “4”. Vamos, então, testar todas as
médias:
M1
M2
M3
M4
=
=
=
=
76 + 82 = 158/2 = 79 ⇒ inteiro
(76 + 82 + 91)/3 = 249/3 = 83 ⇒ inteiro
(76 + 82 + 91 + 71)/4 = 320/4 = 80 ⇒ inteiro
(76 + 82 + 91 + 71 + 80)/5 = 400/5 = 80 ⇒ inteiro
Logo, o último vendedor a ser digitado foi:
Jorge ⇒ vendeu 80 pares de calçados
GABARITO: B
3.(Analista de Finanças e Controle-STN-2008-Esaf) A calculadora de
Eliane tem duas teclas especiais, T1 e T2, que realizam operações diferentes. A
tecla T1 transforma o número t que está no visor em 1/t. A tecla T2
transforma o número t que está no visor em 1 – t. Eliane digita um número no
visor. A seguir, de forma sucessiva e alternadamente, ela digita as duas teclas
especiais, iniciando por T1 , isto é: T1, T2, T1, T2, T1, T2 .... . Sabendo-se que
após 1204 operações o visor mostrava o número 5, pode-se corretamente
concluir que o número que Eliane digitou no visor é igual a:
a) 0,8
b) 0,7
c) 2,5
d) 0,42
e) 0,36
Resolução
Para resolvermos a questão temos que descobrir alguma regra de formação
para a seqüência: T1, T2, T1, T2, T1, T2 ....
Suponha que Eliane digitou, inicialmente, um número x. A partir daí começou a
digitar as teclas na seqüência: T1, T2, T1, T2, T1, T2 ....
Repare que T1 transforma t em 1/t e T2 transforma t em 1 – t.
Se eu digitar, inicialmente, x:
Tecla 1: Entrada = x ⇒ T1 ⇒ Saída = 1/x
Tecla 2: Entrada = 1/x
⇒ T2 ⇒ Saída = 1 – (1/x) = (x – 1)/x
Tecla 3: Entrada = (x – 1)/x
⇒ T1 ⇒ Saída = x/(x – 1)
Tecla 4: Entrada = x/(x – 1) ⇒ T2 ⇒
⇒ Saída = 1 - x/(x – 1) = (x – 1 – x)/(x – 1) = -1/(x – 1) = 1/(1 – x)
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Tecla 5: Entrada = 1/(1 – x) ⇒ T1 ⇒ Saída = 1 – x
Tecla 6: Entrada = 1 – x
⇒ T2 ⇒ Saída = 1 – (1 – x) = 1 – 1 + x = x
Ou seja, na sexta tecla, o valor retorna ao valor inicial x e começa tudo
novamente:
Tecla
Tecla
Tecla
Tecla
Tecla
Tecla
(….)
7: T1 = 1/x
8: T2 = 1 – (1/x) = (x – 1)/x
9: T1 = x/(x – 1)
10: T2 = 1 - x/(x – 1) = (x – 1 – x)/(x – 1) = -1/(x – 1) = 1/(1 – x)
11: T1 = 1 – x
12: T2 = 1 – (1 – x) = 1 – 1 + x = x
A questão pede o valor após 1.204 operações, ou seja, quando for digitada a
tecla 1.204.
Primeiro, vamos verificar o resultado da divisão de 1.204 por 6:
1.204 : 6 = 200 com resto 4.
Logo, o valor apurado será o equivalente à tecla 4, cujo resultado da divisão
por 6 também dá resto 4.
Tecla 4 = Tecla 10 = Tecla 16 = .... = Tecla 1.204 = 1/(1 – x)
Portanto, de acordo com a questão:
1/(1 – x) = 5 ⇒ 1 = 5 – 5x ⇒ 5x = 4
GABARITO: A
⇒ x = 4/5 = 0,8
4.(Assistente de Chancelaria-MRE-2002-Esaf) Se a média aritmética dos
números 6, 8, X e Y é igual a 12, então a média aritmética dos números (X +
8) e (Y - 4) será:
a) 9,5
b) 13
c) 19
d) 20
e) 38
Resolução
Bom, não falamos de média aritmética na aula, pois veremos em aula
posterior. Contudo, vamos aos conceitos:
Média Aritmética:
X=
∑X
i
n
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Exemplo: S = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20}
X=
∑X
n
i
=
2 + 4 + 6 + 8 + 10 + 12 + 14 + 16 + 18 + 20 110
=
= 11
10
10
Voltando à questão:
Números: 6, 8, X e Y
Total de 4 números ⇒ n = 4
Média Aritmética = (6 + 8 + X + Y)/4 = 12
⇒ 6 + 8 + X + Y = 48 ⇒
⇒ X + Y = 48 – 6 – 8 ⇒ X + Y = 34 (I)
⇒
Repare que a questão pede a média aritmética de (X + 8) com (Y – 4). Não
temo sestes valores e nem é possível calcular os valores de X e de Y, tendo em
vista que, até o momento, temos apenas uma equação (X + Y = 34).
Contudo, se não temos (X + 8), vamos criá-lo! Não sabe como! Basta somar 8
na expressão (I). Para que a igualdade não seja alterada, temos que somar 8
dos dois lados da equação:
(I) + 8
⇒ (X + 8) + Y = 34 + 8 ⇒ (X + 8) + Y = 42 (II)
Agora, para achar (Y – 4) faremos o mesmo procedimento acima, ou seja,
subtrairemos 4 dos dois lados da equação (II):
(II) – 4
⇒ (X + 8) + (Y – 4) = 42 – 4 ⇒ (X + 8) + (Y – 4) = 38 (III)
Como a questão pede a média aritmética de (X + 8) e (Y – 4), que são 2
números, basta dividir a expressão (III) por 2 (dos dois lados da equação para
que não alteremos a igualdade):
(III)/2 = Média Aritmética de (X + 8) e (Y – 4)
⇒ [(X + 8) + (Y – 4)]/2 = 38/2 = 19
GABARITO: C
⇒
5.(Assistente de Chancelaria-MRE-2002-Esaf) Se X, Y e Z são inteiros
positivos e consecutivos tais que X < Y < Z, então a expressão que
necessariamente corresponde a um número inteiro ímpar é dada por:
a) (X.Y) + (Y.Z)
b) (X+Y).(Y+Z)
c) X.Y.Z
d) X + Y + Z
e) X + Y.Z
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Resolução
Se X, Y e Z são inteiros e consecutivos, temos duas hipóteses:
1) X é ímpar, Y é par e Z é ímpar
2) X é par, Y é ímpar e Z é par
Análise das alternativas:
Hipótese 1: Suponha, que X = 1, Y = 2 e Z = 3 (X é ímpar, Y é par e Z é
ímpar)
a) (X.Y) + (Y.Z) = 1 x 2 + 2 x 3 = 2 + 6 = 8
b) (X+Y).(Y+Z) = (1 + 2).(2 + 3) = 3 x 5 = 15 (ímpar)
c) X.Y.Z = 1 x 2 x 3 = 6
d) X + Y + Z = 1 + 2 + 3 = 6
e) X + Y.Z = 1 + 2 x 3 = 1 + 6 = 7 (ímpar)
Hipótese 2: Suponha, que X = 2, Y = 3 e Z = 4 (X é par, Y é ímpar e Z épar)
a) (X.Y) + (Y.Z) = 2 x 3 + 3 x 4 = 6 + 12 = 18
b) (X+Y).(Y+Z) = (2 + 3).(3 + 4) = 5 x 7 = 35 (ímpar)
c) X.Y.Z = 2 x 3 x 4 = 24
d) X + Y + Z = 2 + 3 + 4 = 9 (ímpar)
e) X + Y.Z = 2 + 3 x 4 = 2 + 12 = 14
Logo,
a
única
alternativa
que
é
necessariamente
independentemente da hipótese adotada, é a alternativa “b”.
GABARITO: B
ímpar,
6.(Assistente de Chancelaria-MRE-2002-Esaf) O número X tem três
algarismos. O produto dos algarismos de X é 126 e a soma dos dois últimos
algarismos de X é 11. O algarismo das centenas de X é:
a) 2
b) 3
c) 6
d) 7
e) 9
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Resolução
X
⇒ três algarismos ⇒ X = ABC
A.B.C = 126 ⇒ este produto deve corresponder ao resultado da multiplicação
de três números inteiros de 1 a 9, tendo em vista que A, B e C correspondem
aos algarismos que formam um número.
Atenção, pois não é possível que um dos algarismos seja 0 (zero), pois 0
multiplicado por qualquer número 0 e a questão informa que a multiplicação
dos três algarismos é igual a 126.
Fatorando 126, teríamos:
126
63
21
7
1
2
3
3
7
126 = 2 x 32 x 7
Sabemos, do enunciado, que a soma dos dois últimos algarismos é 11. Com a
fatoração de 126, poderíamos ter as seguintes possibilidades para algarismos
de 1 a 9:
Possibilidade 1: 2, 9 (32) e 7
Possibilidade 2: 6 (2 x 3), 3 e 7
Repare que, na possibilidade 2, não há algarismos que, somados, dêem
resultado 11 (6 + 3 = 9; 6 + 7 = 13 e 3 + 7 = 10).
Contudo, na possibilidade 1: 2 + 9 = 11. Portanto, temos que B = 2 e C = 9
ou B = 9 e C = 2.
Deste modo, o algarismo das centenas só pode ser igual a 7, visto que,
na possibilidade 1, temos os algarismos 2, 9 e 7 e os dois últimos
algarismos (das unidades e das dezenas) são 2 e 9 ou 9 e 2.
GABARITO: D
7.(AFT-MTE-1998-Esaf) Uma herança constituída de barras de ouro foi
totalmente dividida entre três irmãs: Ana, Beatriz e Camile. Ana, por ser a
mais velha, recebeu a metade das barras de ouro, e mais meia barra. Após
Ana ter recebido sua parte, Beatriz recebeu a metade do que sobrou, e mais
meia barra. Coube a Camile o restante da herança, igual a uma barra e meia.
Assim, o número de barras de ouro que Ana recebeu foi:
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a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
Resolução
Herança em barras de ouro
Ana, Beatriz e Camile.
⇒ totalmente dividida entre três irmãs:
n = número de barras de ouro (total da herança)
I - Ana, por ser a mais velha, recebeu a metade das barras de ouro, e mais
meia barra.
Ana =
n 1 n +1
+ =
2 2
2
Sobra da Herança após Ana =
n−
n +1 n n +1
= −
2
1
2
Para fazer essa subtração, devemos achar o mínimo múltiplo comum dos
denominadores 1 e 2.
m.m.c. (1,2) = 2
Sobra da Herança =
n 2 n + 1 2n − (n + 1) 2n − n − 1 n − 1
× −
=
=
=
1 2
2
2
2
2
II - Após Ana ter recebido sua parte, Beatriz recebeu a metade do que sobrou,
e mais meia barra
n −1
1 n −1 1 1 n −1 1
Beatriz = 2 + =
× + =
+
2
2
2
2 2
4
2
Para fazer essa soma, devemos achar o mínimo múltiplo comum dos
denominadores 2 e 4.
m.m.c. (2,4) = 4
Beatriz =
n −1 1 2 n −1 2 n −1 + 2 n + 1
+ × =
+ =
=
4
2 2
4
4
4
4
Sobra da Herança após Beatriz = Sobra da Herança após Ana – Barras da
Beatriz ⇒
⇒ Sobra da Herança após Beatriz =
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n −1 n + 1 n −1 2 n + 1
−
=
× −
⇒
2
4
2
2
4
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2n − 2 n + 1 2n − 2 − (n + 1)
−
=
⇒
4
4
4
2n − 2 − n − 1) n − 3
⇒ Sobra da Herança após Beatriz =
=
4
4
⇒ Sobra da Herança após Beatriz =
III - Coube a Camile o restante da herança, igual a uma barra e meia.
Camile = 1,5 = Sobra da Herança após Beatriz =
n−3
⇒
4
n−3
⇒ 1,5 x 4 = n – 3 ⇒
4
⇒ 6 = n – 3 ⇒ n = 6 + 3 ⇒ n = 9 barras de ouro
⇒ 1,5 =
Desse modo, Ana recebeu:
Ana =
n + 1 9 + 1 10
=
= = 5 barras de ouro
2
2
2
GABARITO: E
8.(Analista de Finanças e Controle-STN-1997-Esaf) Tomam-se os inteiros
entre 1 e 100, inclusive, e constroem-se duas listas. Na lista D são colocados
todos os inteiros divisíveis por 2 e, na lista T, são colocados todos os inteiros
divisíveis por 3. O número de inteiros entre 1 e 100, inclusive, que são
divisíveis por 2 e que não são divisíveis por 3 é igual a:
a) 22
b) 24
c) 26
d) 28
e) 34
Resolução
U = inteiros de 1 a 100, inclusive = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ..., 100}
D (inteiros divisíveis por 2) = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14,...., 100}
Número de elementos de D = 50 elementos (metade dos números de 1 a 100)
T (inteiros divisíveis por 3) = {3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24,..., 99}
Vamos construir T´, que é o número de inteiros divisíveis por 2 e por 3, ou
seja, são os números pares da lista T:
T´(inteiros divisíveis por 2 e por 3) = {6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60,
66, 72, 78, 84, 90, 96}
Número de elementos de T´= 16 elementos
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Número de inteiros entre 1 e 100 divisíveis por 2 e não divisíveis por 3:
N = 50 – 16 = 34 elementos
GABARITO: E
9.(Técnico Judiciário-Administrativa-TRF/4R-2010-FCC) A expressão N
÷ 0,0125 é equivalente ao produto de N por
(A) 1,25.
(B) 12,5.
(C)
1
.
80
(D) 80.
(E)
125
.
100
Resolução
Ainda lembra da parte teórica da aula! Espero que sim! Vamos relembrar:
Decimais
O número de casas decimais à direita da vírgula indica o número de zeros
da potência de 10 que será escrita no denominador.
No caso concreto da questão, temos o número 0,0125. Representando esse
número em forma de fração, teríamos:
Número de casas decimais à direita da vírgula = 4
Denominador = 104 = 10.000
Portanto: 0,0125 =
125
10.000
A questão quer saber qual é a expressão equivalente a N ÷ 0,0125:
N ÷ 0,0125 = N ÷
125
10.000
Mais um conceito da aula: dividir por uma fração é multiplicar pelo seu inverso,
ou seja, o que numerador vira denominador e vice-versa. No caso, teríamos:
N÷
125
10.000
=Nx
= N x 80
10.000
125
GABARITO: D
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10.(Técnico Judiciário-Administrativa-TRF/4R-2010-FCC) Sejam x , y e
z três números inteiros e positivos, tais que x < y < z. Sabe-se que o maior é
a soma dos outros dois, e que o menor é um sexto do maior. Nessas
condições, x, y e z são, nesta ordem, diretamente proporcionais a
(A) 1, 3 e 6.
(B) 1, 4 e 6.
(C) 1, 5 e 6.
(D) 1, 6 e 7.
(E) 1, 7 e 8.
Resolução
Três números inteiros e positivos: x, y e z (x < y < z).
Informações da questão:
I - o maior é a soma dos outros dois:
Maior número = z = Soma dos outros dois = x + y
⇒ z = x + y (I)
II – o menor é um sexto do maior:
Menor número = x = um sexto do maior = maior sobre 6 =
z
(II)
6
Repare que o valor “1” aparece em todas as alternativas. Logo, o menor
número (x) tem que ser igual a 1.
x=1
Da expressão (II), temos que x =
z
. Portanto, se multiplicarmos os dois lados
6
da expressão por 6 (para eliminar o denominador de z), não alteramos a
igualdade:
x.6=
z
.6 ⇒ z=6.x ⇒ z=6.1 ⇒ z=6
6
Da expressão (I), z = x + y
⇒ 6=1+y ⇒ y=6–1 ⇒ y=5
x = 1; y = 5 e z = 6
GABARITO: C
11.(Professor-Matemática-Secretaria Municipal de Educação/SP-2009FCC) Todo número racional pode ser escrito como fração contínua finita.
Segue abaixo um exemplo de fração contínua finita.
1
2+
3+
1
1+
1
6
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A fração contínua finita indicada corresponde a um número racional cuja
representação decimal é uma dízima de período
(A) 259.
(B) 257.
(C) 239.
(D) 197.
(E) 175.
Resolução
Nessa questão, só há um jeito. Fazer os cálculos até ficar com uma única
fração.
Vamos lá:
I)
1+
1 1 1
= +
6 1 6
Primeiramente, temos que achar o m.m.c dos denominadores (1 e 6). Bom,
com um denominador é igual ao número “1”, o m.m.c somente poderá ser o
outro denominador (6). Portanto: m.m.c (1;6) = 6. Continuando a conta:
1 1 1 6 1 6 +1 7
+ = × + =
=
1 6 1 6 6
6
6
Por enquanto, temos:
1
2+
1
3+
1+
II)
= 2+
1
3+
1
6
1
7
6
1
7
6
Dividir por uma fração é multiplicar pelo seu inverso, ou seja, o que numerador
vira denominador e vice-versa. Logo, teremos:
1
6 6
= 1× =
7
7 7
6
Por enquanto, temos:
1
2+
3+
1
1+
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= 2+
1
6
1
3+
6
7
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III)
3+
6 3 6
= +
7 1 7
Primeiramente, temos que achar o m.m.c dos denominadores (1 e 7). Bom,
com um denominador é igual ao número “1”, o m.m.c somente poderá ser o
outro denominador (7). Portanto: m.m.c (1;7) = 7. Continuando a conta:
3 6 3 7 6 21 6 21 + 6 27
+ = × + = + =
=
1 7 1 7 7 7 7
7
7
Por enquanto, temos:
1
2+
= 2+
1
3+
1+
1
3+
1
6
1
7
6
= 2+
1
3+
6
7
= 2+
1
27
7
1
27
7
IV)
Dividir por uma fração é multiplicar pelo seu inverso, ou seja, o que numerador
vira denominador e vice-versa. Logo, teremos:
1
7
7
= 1×
=
27
27 27
7
Por enquanto, temos:
1
2+
1
3+
1+
V)
2+
= 2+
1
3+
1
6
1
7
6
= 2+
1
3+
6
7
= 2+
1
7
= 2+
27
27
7
7 2 7
= +
27 1 27
Primeiramente, temos que achar o m.m.c dos denominadores (1 e 27). Bom,
com um denominador é igual ao número “1”, o m.m.c somente poderá ser o
outro denominador (27). Portanto: m.m.c (1;27) = 27. Continuando a conta:
2 7 2 27 7 54 7 54 + 7 61
+
= × +
=
+
=
=
1 27 1 27 27 27 27
27
27
Ufa! Chegamos à fração final:
1
2+
3+
= 2+
1
1+
1
6
1
3+
1
7
6
= 2+
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1
3+
6
7
= 2+
1
7 61
= 2+
=
27
27 27
7
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VI) Agora, temos que calcular o resultado da divisão de 61 por 27:
61`
-54 (27 x 2)
70 (*1)
-54 (27 x 2)
160 (*2)
-135 (27 x 5)
250 (*3)
- 243 (27 x 9)
70 (*1)
-54 (27 x 2)
160 (*2)
-135 (27 x 5)
250 (*3)
- 243 (27 x 9)
7 (...)
27
2,259259...
(*1) Como 7 é menor que 27, coloca-se o 0 após o 7 e a vírgula após o 2.
(*2) Como 16 é menor que 27, coloca-se o 0 após o 16.
(*3) Como 25 é menor que 27, coloca-se o 0 após o 25.
Ou seja, a divisão de 61 por 27 tem como resultado um dízima periódica igual
a 2,259259...(de período 259).
GABARITO: A
12.(Professor-Matemática-Secretaria Municipal de Educação-Teresina2009-FCC)Júlia tem que distribuir certo número de balas em 99 embalagens
de forma que todas as embalagens fiquem com o mesmo número de balas.
Sua remuneração para a tarefa será o número de balas que sobrarem.
Fazendo uso de uma calculadora, Júlia dividiu o total de balas por 99, obtendo
como resultado no visor o número 9,86868686. Para descobrir qual será sua
remuneração, Júlia deve pegar o número indicado no visor da calculadora,
(A) somar 9 e multiplicar o resultado por 99.
(B) somar 99 e dividir o resultado por 9.
(C) subtrair 9 e multiplicar o resultado por 86.
(D) subtrair 9 e multiplicar o resultado por 99.
(E) subtrair 9 e multiplicar o resultado por 986.
Resolução
Vamos entender a questão: Júlia tem que distribuir certo número (chamarei de
X) de balas em 99 embalagens de forma que todas as embalagens fiquem com
o mesmo número de balas e sua remuneração será o número balas que
sobrarem, ou seja, será o resto da divisão de X por 99.
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Vamos relembrar:
X = 99 . q + r
Onde:
X = dividendo
99 = divisor
q = quociente
r = resto
A questão já informou o resultado da divisão: 9,868686...
X
= 9,868686...
99
Multiplicando por 99 nos dois lados, não alteramos a igualdade (o objetivo aqui
é eliminar o denominador):
X
× 99 = 9,868686... × 99 ⇒ X = 99 × 9,868686...
99
Também é fácil perceber que: 9,868686... = 9 + 0,868686..... Substituindo na
expressão acima, teremos:
X = 99 × 9,868686... = 99 × (9 + 0,868686...) ⇒
⇒ X = 99 × 9 + 99 × 0,868686...
Repare que o quociente (q) é igual a 9 e o resto (r) será igual a 99 x
0,868686...
Portanto, para chegarmos à remuneração de Júlia a partir do resultado
da divisão de X por 99, temos que subtrair 9 e multiplicar o resultado
da subtração por 99. Veja:
9,868686.... – 9 = 0,868686...
Resto = 99 x 0,868686...
GABARITO: D
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13.(Professor-Matemática-Secretaria Municipal de Educação-Teresina2009-FCC)Vários pacotes de papel sulfite foram empilhados como mostra a
figura.
Para saber quantos pacotes tem esse empilhamento podemos proceder do
seguinte modo:
(A) 5 × 3 + 2 × 1
(B) (5 × 4) + (3 × 3) + (2 × 2) + 3
(C) (5 × 3 × 2 × 1) + (4 × 3 × 2 × 2)
(D) (5 + 4) + (3 + 3) + 2 + 2) + 3
(E) (5 × 4) + (3 × 4) + (2 × 4) + 3
Resolução
Para calcular o número de pacotes do empilhamento vamos verificar linha a
linha:
Linha 4: 3
Linha 3: 2 x 2
Linha 2: 3 x 3
Linha 1: 5 x 4
Total = (5 x 4) + (3 x 3) + (2 x 2) + 3
GABARITO: B
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14.(Auxiliar Judiciário-Administrativa-TRF/2R-2007-FCC) Considere que
os símbolos
, que aparecem no quadro seguinte, substituem as
operações que devem ser efetuadas em cada linha a fim de obter-se o
resultado correspondente, que se encontra na coluna da extrema direita.
Para que o resultado da terceira linha seja o correto, o ponto de interrogação
deverá ser substituído pelo número
(A) 16
(B) 15
(C) 14
(D) 13
(E) 12
Resolução
Esta questão é mais de lógica:
I)
36 : 4 = 9
9 + 5 = 14
Portanto:
= divisão
= soma
II)
48 : 6 = 8
6 + 9 = 17
Confirmou a hipótese de I:
= divisão e
= soma
III)
54 : 9 = 6
6 + 7 = 13
GABARITO: D
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15.(Técnico Judiciário-Administrativa-2007-TRF/1R-FCC)Um técnico
judiciário foi incumbido da montagem de um manual referente aos Princípios
Fundamentais da Constituição Federal. Sabendo que, excluídas a capa e a
contra-capa, a numeração das páginas foi feita a partir do número 1 e, ao
concluí-la, constatou-se que foram usados 225 algarismos, o total de páginas
que foram numeradas é
(A) 97
(B) 99
(C) 111
(D) 117
(E) 126
Resolução
Esse trabalho desse servidor é chato, não? Risos. Montar o manual referente
aos Princípios Fundamentais da Constituição Federal.
A numeração foi feita a partir da página 1 e foram utilizados 225 algarismos.
Como diria a minha avó, vamos comer o elefante em bifes!
Quantos algarismos são utilizados das páginas 1 a 9: 9 algarismos (1, 2, 3, 4,
5, 6, 7, 8 e 9). Esses são os números de 1 algarismo.
Em relação aos números de 2 algarismos, teríamos:
1. De 10 a 19, seriam 10 números de algarismos (10, 11, 12, 13, 14, 15,
16, 17, 18 e 19). Portanto, foram utilizados 20 algarismos (10 x 2).
O mesmo ocorrerá nos intervalos de páginas abaixo:
2. De 20 a 29 = 20 algarismos
3. De 30 a 39 = 20 algarismos
4. De 40 a 49 = 20 algarismos
5. De 50 a 59 = 20 algarismos
6. De 60 a 69 = 20 algarismos
7. De 70 a 79 = 20 algarismos
8. De 80 a 89 = 20 algarismos
9. De 90 a 99 = 20 algarismos
Portanto, até a página 99, temos um total de:
Total de Algarismos = 9 + 20 x 9 = 9 + 180 = 189
Ainda não chegamos no número de algarismo utilizado, que é de 225.
Continuando: De 100 a 109, seriam 10 números de 3 algarismos cada.
Portanto, foram utilizados 30 algarismos (10 x 3).
Portanto, até a página 109, temos um total de:
Total de Algarismos = 189 + 30 = 219
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Faltam apenas 6 algarismos para 225 (225 – 219 = 6), ou seja, mais duas
páginas:
Próxima página (110) = 3 algarismos
Última página (111) = 3 algarismos
Total de algarismos = 219 + 3 + 3 = 225
GABARITO: C
16.(Professor
Adjunto-Matemática-Secretaria
Municipal
de
Educação/SP-2007-FCC)Uma possibilidade para a introdução das idéias da
álgebra é a identificação de padrões associada à representação com letras da
regularidade observada. Nesse sentido, um professor propôs que seus alunos
observassem o seguinte padrão:
Chamando de E o número da etapa, e de B o número de bolinhas dessa etapa,
partindo de caminhos diferentes, quatro alunos apresentaram as seguintes
fórmulas para expressar a regularidade observada:
I. B = 2E + 3
II. B = 2 (E + 1) + 1
III. B = 3 (E + 1) − E
IV. B = 3 (E − 1) + 5
Das respostas apresentadas, estão corretas APENAS
(A) I e II.
(B) I e III.
(C) II e III.
(D) I, II e III.
(E) II, III e IV.
Resolução
Repare que:
Etapa 1: 5 bolinhas
Etapa 2: 7 bolinhas
Etapa 3: 9 bolinhas
Etapa 4: 11 bolinhas
Portanto, basta verificar, dentre as opções fornecidas, aquelas que atendem a
distribuição acima, sabendo-se que E é o número da etapa e B é o número de
bolinhas.
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I. B = 2E + 3
Etapa 1: 5 bolinhas ⇒ E = 1 ⇒ B = 2 x 1 + 3 = 5 (ok)
Etapa 2: 7 bolinhas ⇒ E = 2 ⇒ B = 2 x 2 + 3 = 7 (ok)
Etapa 3: 9 bolinhas ⇒ E = 3 ⇒ B = 2 x 3 + 3 = 9 (ok)
Etapa 4: 11 bolinhas ⇒ E = 4 ⇒ B = 2 x 4 + 3 = 11 (ok)
II. B = 2 (E + 1) + 1
Etapa 1: 5 bolinhas ⇒ E = 1 ⇒ B = 2 x (1 + 1) + 1 = 5 (ok)
Etapa 2: 7 bolinhas ⇒ E = 2 ⇒ B = 2 x (2 + 1) + 1 = 7 (ok)
Etapa 3: 9 bolinhas ⇒ E = 3 ⇒ B = B = 2 x (3 + 1) + 1 = 9 (ok)
Etapa 4: 11 bolinhas ⇒ E = 4 ⇒ B = 2 x (4 + 1) + 1 = 11 (ok)
III. B = 3 (E + 1) − E
Etapa 1: 5 bolinhas ⇒ E = 1
⇒ B = 3 x (1 + 1) + 1 = 7 (errado)
IV. B = 3 (E − 1) + 5
Etapa 1: 5 bolinhas ⇒ E = 1 ⇒ B = 2 x (1 − 1) + 5 = 5 (ok)
Etapa 2: 7 bolinhas ⇒ E = 2 ⇒ B = 2 x (2 − 1) + 5 = 7 (ok)
Etapa 3: 9 bolinhas ⇒ E = 3 ⇒ B = B = 2 x (3 − 1) + 5 = 9 (ok)
Etapa 4: 11 bolinhas ⇒ E = 4 ⇒ B = 2 x (4 − 1) + 5 = 11 (ok)
GABARITO: D
17.(Professor
Adjunto-Matemática-Secretaria
Municipal
de
Educação/SP-2004-FCC)Para representar um número natural qualquer
podemos utilizar a letra n. Para representar um número natural ímpar
qualquer podemos utilizar a notação 2n + 1. Sendo assim, o resultado de (2n
+ 1)2 sempre será, para qualquer n, um número
(A) primo.
(B) múltiplo de 3.
(C) par.
(D) ímpar.
(E) divisor de 72.
Resolução
Se n é um número natural, 2n + 1 é um número ímpar. Veja:
n=1
n=2
n=3
n=4
(...)
⇒
⇒
⇒
⇒
2n
2n
2n
2n
+
+
+
+
1
1
1
1
=
=
=
=
2
2
2
2
x
x
x
x
1
2
3
4
+
+
+
+
1
1
1
1
=
=
=
=
3
5
7
9
(ímpar)
(ímpar)
(ímpar)
(ímpar)
E qual será o resultado de (2n + 1)2? Vamos ver:
n = 1 ⇒ 2n + 1 = 2 x 1 + 1 = 3 (ímpar)
(2n + 1)2 = (2n + 1) x (2n + 1) = 3 x 3 = 9 (ímpar)
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n = 2 ⇒ 2n + 1 = 2 x 2 + 1 = 5 (ímpar)
(2n + 1)2 = (2n + 1) x (2n + 1) = 5 x 5 = 25 (ímpar)
n = 3 ⇒ 2n + 1 = 2 x 3 + 1 = 7 (ímpar)
(2n + 1)2 = (2n + 1) x (2n + 1) = 7 x 7 = 49 (ímpar)
n = 4 ⇒ 2n + 1 = 2 x 4 + 1 = 9 (ímpar)
(2n + 1)2 = (2n + 1) x (2n + 1) = 9 x 9 = 81 (ímpar)
(...)
GABARITO: D
18.(Professor
Adjunto-Matemática-Secretaria
Municipal
de
Educação/SP-2004-FCC)Os hindus, a partir do século VI, efetuavam
multiplicações por um método denominado “por quadriculagem”. Vamos
mostrá-lo, multiplicando 532 por 75. Para tal, desenhamos um retângulo
composto por 6 outros retângulos, dispostos em três colunas (número de
algarismos de 532) e duas linhas (número de algarismos de 75). Cada
retângulo, dividido pela sua diagonal, traz em cada metade um algarismo do
número resultante da multiplicação do algarismo da linha pelo da coluna.
A seguir, adicionam-se os algarismos compreendidos entre as diagonais, da
esquerda para a direita e de cima para baixo, colocando-se os resultados no
exterior do retângulo maior. Obtém-se, dessa forma, que o resultado de 532 x
75 é 39 900.
O quadro seguinte, mostra a multiplicação entre dois números de dois
algarismos:
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O produto obtido nessa multiplicação é igual a
(A) 1 679
(B) 1 426
(C) 689
(D) 649
(E) 619
Resolução
Resolvi colocar esta questão nesta aula, pois é um bom método para
multiplicar números, você não acha? O método está todo explicado na questão
e pode ser, tranquilamente, utilizado.
Vamos resolver a questão:
No primeiro retângulo (superior esquerdo), temos:
3 x A = 06
⇒ A=
6
= 2 (I)
3
No segundo retângulo (superior direito), temos: 3 x 3 = 09 (ok)
No terceiro retângulo (inferior esquerdo), temos:
B x A = C4 ⇒ B x 2 = C4 (II)
No quarto retângulo (inferior direito), temos:
B x 3 = 2D (III)
Além disso, na diagonal de resultado 7, temos:
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6 + 0 + D = 7 ⇒ D = 7 – 6 ⇒ D = 1 (IV)
Substituindo (IV) em (III):
B x 3 = 2D
⇒ B x 3 = 21 ⇒ B =
Substituindo (V) em (II):
B x 2 = C4 ⇒ 7 x 2 = C4
21
= 7 (V)
3
⇒ 14 = C4 ⇒ C = 1
Calculando o resultado da multiplicação:
2
9
1
7
1
1
Logo, o resultado da multiplicação de 37 por 23 é: 1.679
GABARITO: A
19.(Professor-Matemática-Sesi-2004-FCC)Imagine
todas
as
adições
possíveis de duas parcelas distintas que podemos efetuar com os divisores de
36. Dentre as somas obtidas, algumas serão números múltiplos de 5. Os
possíveis múltiplos de 5, nesse caso, são
(A) 3
(B) 4
(C) 5
(D) 6
(E) 7
Resolução
Para descobrirmos todos os divisores de 36 temos que fatorá-lo:
36
18
9
3
1
2
2
3
3
Fatoração de 36 = 2 x 2 x 3 x 3
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Divisores de 36 (vamos verificar todas as combinações possíveis):
1
2
2x2=4
2x3=6
3x3=9
2 x 2 x 3 = 12
2 x 3 x 3 = 18
2 x 2 x 3 x 3 = 36
Divisores de 36 = {1, 2, 4, 6, 9, 12, 18, 36}
Agora precisamos fazer todas as adições de duas parcelas distintas possíveis
dos divisores de 36 e verificar quais dessas adições terão resultado múltiplo de
5. Lembre que o múltiplos de 5 terminam em 5 ou 0.
1 + 2 = 3 (não é múltiplo de 5)
1 + 4 = 5 (múltilplo de 5)
1 + 6 = 7 (não é múltiplo de 5)
1 + 9 = 10 (múltiplo de 5)
1 + 12 = 13 (não é múltiplo de 5)
1 + 18 = 19 (não é múltiplo de 5)
1 + 36 = 37 (não é múltiplo de 5)
2 + 4 = 6 (não é múltiplo de 5)
2 + 6 = 8 (não é múltiplo de 5)
2 + 9 = 11 (não é múltiplo de 5)
2 + 12 = 14 (não é múltiplo de 5)
2 + 18 = 20 (é múltiplo de 5)
2 + 36 = 38 (não é múltiplo de 5)
4 + 6 = 10 (é múltiplo de 5)
4 + 9 = 13 (não é múltiplo de 5)
4 + 12 = 16 (não é múltiplo de 5)
4 + 18 = 22 (não é múltiplo de 5)
4 + 36 = 40 (é múltiplo de 5)
6 + 9 = 15 (é múltiplo de 5)
6 + 12 = 18 (não é múltiplo de 5)
6 + 18 = 24 (não é múltiplo de 5)
6 + 36 = 42 (não é múltiplo de 5)
9 + 12 = 21 (não é múltiplo de 5)
9 + 18 = 27 (não é múltiplo de 5)
9 + 36 = 45 (é múltiplo de 5)
12 + 18 = 30 (é múltiplo de 5)
12 + 36 = 48 (não é múltiplo de 5)
18 + 36 = 54 (não é múltiplo de 5)
Bom, achei 8 múltiplos de 5 e não 7, como o gabarito da questão.
GABARITO: E
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20.(Professor-Matemática-Sesi-2004-FCC)A soma de dois números
inteiros é 924. Juntando 78 a cada um dos números, um dos resultados fica o
dobro do outro. O menor desses números é
(A) 78
(B) 156
(C) 231
(D) 282
(E) 308
Resolução
Vamos entender a questão:
Soma de dois números (vamos chamar de X e Y) é 924.
Portanto: X + Y = 924 (I)
Juntando 78 a cada um dos números, um dos resultados fica o dobro do outro.
O que seria isso? Juntando 78? Na verdade o “juntando” da banca quer dizer
“somando”. Nesse caso, teríamos::
X + 78 = 2 x (Y + 78)
⇒ X = 2Y + 2 x 78 – 78 ⇒ X = 2Y + 78 (II)
Substituindo (II) em (I):
X + Y = 924
⇒ 2Y + 78 + Y = 924 ⇒ 3Y = 924 – 78 ⇒ 3Y = 846 ⇒
846
⇒ Y = 282
3
X = 2Y + 78 ⇒ X = 2 x 282 + 78 ⇒ X = 564 + 78 ⇒ X = 642
⇒ Y=
Portanto, o menor número é Y = 282.
GABARITO: D
Abraços e até a próxima aula,
Bons estudos,
Moraes Junior
moraesjunior@pontodosconcursos.com.br
Alexandre Lima
ablima@ablima.pro.br
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Bibliografia
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Gelson Iezzi. 8a Edição. São Paulo. Atual, 2004.
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IEZZI, Gelson, Fundamentos da Matemática Elementar. 4: Seqüências,
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Hazzan, David Mauro Degenszajn. 1a Edição. São Paulo. Atual, 2004.
MORGADO, Augusto César, Raciocínio Lógico-Quantitativo: teoria, questões
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