de 21 a 26 de outubro de 2013
Universidade Regional do Cariri - URCA - Crato, Ceará
XVI Semana de Iniciação Científica e II Semana de Extensão
ISSN: 1983-8174
GRUPOS DIEDRAIS
Daniele Alves Souza¹, Paulo César Cavalcante de Oliveira²
1 - Bolsista do PIBID – CAPES, 2 - Universidade Regional do Cariri – URCA.
Introdução
O estudo dos grupos começou essencialmente com Galois,
que foi o pioneiro no uso (1830) da palavra “grupo” em seu
sentido técnico. As pesquisas foram então levadas adiante
por Augustin-Louis Cauchy e outros que se sucederam, para
o caso particular dos grupos das substituições. Com o
subsequente notável trabalho de Arthur Cayley (1821-1895),
Ludwing Sylow (1832-1918), Sophus Lie, Georg Frobenius
(1848-1917), Felix Klein, Henri Poincaré (1854-1912), Otto
Holder (1859-1937) e outros. O estudo dos grupos assumiu
sua forma abstrata independente e se desenvolveu
rapidamente. A teoria dos grupos embora tenha sido
inicialmente estudada por matemáticos, no início do século
XX os físicos, usando argumentos desta teoria, fizeram
descobertas importantes sobre a estrutura dos átomos e das
moléculas em Mecânica Quântica, além de ser um fator de
grande importância para a ascensão da álgebra abstrata no
século XX. Neste trabalho introduziremos a definição de
Grupo e apresentaremos os Grupos Diedrais.
Metodologia
No desenvolvimento deste trabalho iremos utilizar as
definições de Grupos, polígonos, simetrias e Grupos
Diedrais.
Resultados e Discussão
Um conjunto não-vazio G munido de uma operação * é
chamado de Grupo se são válidas as seguintes propriedades:
associatividade, existência do elemento neutro e a existência
de inverso. É fácil ver que os números inteiros com a
operação de adição é um grupo, mas com a multiplicação
não é um grupo. Se além disso, a operação * for comutativa,
dizemos que G é abeliano. Se considerarmos M, o conjunto
das matrizes invertíveis com entradas reais, com a operação
usual de multiplicação de matrizes, é fácil ver que M não é
um grupo abeliano. Existem outros exemplos de grupos não
D ,
abelianos, nos concentraremos no grupo n grupo finito
de ordem 2n, chamado Grupo Diedral. Consideremos um
polígono regular de n lados e seja
θ∈ S n a permutação pelo
efeito de uma rotação de um ângulo de
2π
n
no sentido anti-
r ∈ S n a permutação determinada
horário. Consideremos
pelo efeito de uma reflexão da figura em torno do eixo ox ,
Dn= < r , θ> é o menor subgrupo de
verifica-se que
Sn
contendo r e θ .
Conclusões
e Perspectivas
Neste artigo vimos uma conexão entre a álgebra e a
geometria. A partir de permutações com os vértices de um
polígono regular pudemos construir um grupo não abeliano.
Esse grupo aparece também na discussão sobre construção
com régua e compasso, mas isso é para outro artigo.
Concluímos então que quando construímos polígonos
regular, podemos ordenar seus vértices, para formar uma
espécie de referência, considerando diversas configurações
de modo que não altere o formato do polígono, modificando,
portanto, somente as posições dos vértices, temos o conjunto
diedral.
Agradecimentos
A Universidade Regional do Cariri pelo uso do laboratório,
a CAPES pelo apoio financeiro e ao professor Paulo César
Cavalcante de Oliveira pelas discussões .
Referências
[1] GONÇALVES, A. Introdução à Álgebra, Rio de Janeiro
2003,
[2] EVES, H. Introdução à história da matemática, CampinasSP: Editora da UNICAMP,2004.
Autor correspondente: Daniele Alves Souza ([email protected] )
!
! " # $
&'
"
" #
()*
+ )
# # * ,
- ?
#
0!
#
" " #
!
# / 2
# 13 - )
# " #
" "
6
7 13 !
#
.
"
! = " 2
! !" 78
!
"
#
.
#
:
!
#
4 #3 #
.
.
"
/! 0 1 #
"# #
! # # # ! " ,
#
415 # 6
7 13 2
8
0 9
:
8" ! - ; " " 4 #
"
: "< ! # ! = "
=
: "< ! #
" 6 7
! "
:
! 4 7
#
4 "
" # 6
,
#
"
4 #
# # 7# #
:
" # " 3 ! "
# # 4 " # "
#
" 9 = !
:
" 7 13
"
-
"
"
#
.
:
#
## > #
# " 7 #
" , 15
# 8
#
0
6 ! 13 #
4 " #
.
4
9
6 ! 13
"
4 #
# # 7# #
" 0
! 9 !# !
:
4 " # #
-;
:
4 "!
"
# 6 ! 15
" 8" ! - ; 8 4 " #
2
" # " " 0 9 6
:
,
#
" 15
"
#
,
: 4
# 2
"8
# #
# -
#$
#
!
.
"
!9
, "
?! =
@
.
#
:
6
? @
!
AB
? @ C ? @ CD
"<
!
#
"
13
2
-
AB
?
! " #
E
. ! .
"
2
3
" " " 0 9 # "6!
# F7 G 4
" # 4
H 0
-+
"
!
4
# "
-
6 13
6 13 #
= " -;
"
C -$
4
3 ,
-
3 !9
2
I
J
? @
:
"
= "
4
!
L
"3
= " #
K
4
:
:
J! "#
J
4
"3 J C
-
" #
4 ,
2
! "
.
" 0
,
"
# 2 2
4 # H
.
,
"
"
"
J "
0! = " L #
4 9 2
"
4 4 # #
"
"
L! " 8
4
4
"3 ! " 8 P 4
! H
2 L
" " 2
3
0
9 4E"
"
2 I
"
2
L
#
,
-
! "'
(
4
#
.
"
" # "
# #
# ! 13
" 7 13
2
! "
" # #
#
6
#
#
0 T
!
" #
$
$ .
"
"
.
" 7 15
#
# #
4
" # 4
! 4 : "
5 #
,
#," -
#
= "
"
# 13 @
$# &
$ :
#
3
4
" 13
" 8" !
,
# #
" "
4
! ! "
" 8" ! =8 ! 9 ! #
# "# ! 9 !#
!
# ! = "
6 15 - 3 # # !
0= "
3
# 6
= "
#
:
L
"3 :M
L- N ,
9 4E"
!
! "
- O
! "
4 # "
! = " Q
P RS- "
L! "
+
!
#
-
& )*
!H4
0
K =
.
0!
! "
$ %
"<
#
<
#
#
%
2
! 9 !#
6 "
" 8" ! - $
#
%&"
'(
#
" ! "
%"
, # 1 / )
# # * ,
!
4 = "
! " # $
4
! 6
# ! 5 #
" 4 2
6
! #
#
" #
1
4
# 0
4
4
4
"E
4
-
")
4 "
" 6 7
"
#
.
2
U V W;**; *
X)
"8
'O O
" 13 #
* # X
U+V N O ;- N#
'O O
* # X
8
+I +-
" -$
= : "
!
#
9
" !
I-
?"
2
YZ 9 -!
-0 @
.
+I -
:"
= " ; ! #
!
!
"
"
#
#
$ %&
'()*&
-
./ 0
0 #
/1 #
. #2
3
,
/ , #
!
6 0 / 3$
7
#
1
3
/
# 4 6 0 2#
#4
,8
# 1 9 /
. 3$ .#
0
1
9
/0 #;
0
# 35
<24
#
/
.3$
84 0 /2#
08
9
.3$
84
0
$
#
!
# /
'.
./
# 4 35
0 4 3$
4 .
1
0. 3$ #:/
.# / /
0
1 / /
= #.
1
3$
#
1
1 /
&
4 .
1 4 . '. /. /
0
0
0 / #
/ 1
1 /
#$ /
0 #
, #
4 .
4 4
8
/ / # 1>
'? # / #
/
/ 1
/ #
'.
$ # #
# 35 !
@ # /
-21 #
/ #
. 24
#
4
/
#4 / 4 /
/#
0 9 /
0 4 3$
/ '.
4 !
#
#. ('.
B*&CD # /
.# A
0
# 1. 3$
9 .
9
/ # 1>
0
3$
7/.
0
1 / !
E 1< # 4
# 1 - ,
, #
.
, / 9 / ) 4
&
% )*&
. , /
# 4
*&C! F ,
.
2
( . 9
0 # / #4
,8
!
* 9
&
$ %
A
/ #
* 9
&
.
,
0
./ 0 '.
/
+H +
, / 9 /
&
% )*&
# . 0
#.
#
B
% )*&
.
) 4
. , /
. , :
+G
!,
&& ,
/
!
/ .
& *&C!
#
/
. 4 #.
#.
E0
# #.
I
A$ 0 ( #. J
/
0
2
# #8 #
0
# 9 !
A
2
0
#.
.
# 8
0 #.1 ;
.
0
#
/
*&C ,
, / 1#
0
2 .
& 0
B &D
0
#. !
# #. ,
,
# 0
,# / #
4 4 .
2 .
/
#$
/
, /
0 '.
K
K
&+ !
/
1 /
& +K +!
9 .0
,
:
#. B&&D
C.
4 A
/ ,# / #
0
A
!
.
#
&C
9 7# !
/
A$ &&(&C!
#
0
/
, /
K /
#.
. , :
E
/
K
#.
K
. ,
)/ , # 0
&
#2
/
1 0
'.
.
:
.0
/
!
0
0 '.
, A /
9./ # 0
/ / 2
+ M
1 1 /
,./ /! 2
/ .
L M, A
,8
+ K M
/ /
,./ /!
!
N O- #/ ! /D
'.
. , :
B&CD , / ,
# 84
9.
$# &
0 '.
.#
#
1 /
, A
2 .
#
, #
A$
4 #9
#7 1
+
.
!
0
0
# 4 //
. , :
1 /
HL /
0
# 4 /
L /
. , :
'.
#
'. / /1
/
, /
+K K M
#4
,8
KM
,./ / 9
LKM
48 . 0 '.
/ 9./ # 0
#4
2
L 1 1 /
' "(
/ # . '. # /
1 0
)
/ ./
0
0
.#
, #
0
7 !
#
B
!,
N O- #/ ! /D
!
$ %
"
#
&
!" # $
%!
% !
&
' "
$
(
'
#
' !
& !
'
+
!" "
) * ! " ' ! ! "
!
'& " *
+& !
"
! * !", !
-#
. / &"
!
' ! !
! &
, ' ! * ! "
! &-#
+& ! *
' !
'*
!
' " '0"
' !"
1&
!
!& " ! " 2
!
* ! " ! * ' ! &" / !
, ! ! 3 ' !
! &-#
*
' !4 ! *
* ! 3 5
! &" / !
-#
"
) 3 ' 6 784
%!" "
)
3 &"
!
' 0 !
$ " '0"
/ ! %!
% !
$
(
' ' '
* "
( + '
-#
"3 9% !
$
* ' , !* : , !
; +
:; 4
,
3 "
!
A !" '
"
' "
+ &" /
3
&!&
!
* !1& ! '
' " '0"
*&
, ,
!& " !
+ 03 !
!"&
, &
' + &* 4 <! ! ' 0 !
$ " '0"
3 '
3& ' " '* "=
* ! ! " ' ! ! " !
!" "
) 3 ' ! &" ! ' ! &" !
+
!
! ' 0 !
/ ! * '
! ' !"
7> 4
#
< *
*
? ",
"
)
!* "
! &" !
& !
!
'
" !! * ' " '0" *&
* ! "
!
'
5' 4 %!" "
) ' !"
' "&
"
* ! &" ! *2! * '
! ' !"
-#
"3 4 * ! " ' !
! +&
+& !
!
!& " ! 1& ! # * ! " ! "
)
#( %
'@ " *
>
@'
!* " , ' " 4
&"
!*
"
>
(
"
) *+ :' @'
"&
&
!
! ' " !
&' '@ " *
&
3
E!
!"
'
!7> H+' 4 'G
"
!
!
"
1& !1& ' !
" ! 1&
!
!- #
' " ! &-#
!
+
1& -#
! ' " !
,
%!*
! 1&
3
*
&" ! * !!& ' &'
'
0!
" ) '
! !& "
$ " '0"
! %!
! (@
"
'
!
-#
! " !3 "2
!
< '*
! 9 <.$%(4
$
"3
!
"' "
. !
(
<"
) ' !" 1&
-#
"3 9%
!"0 ! '* )
&' '* " " * *
3
& !4 <! !& " ! * ! " !
'* ,
&" ! ' ' " ' ! 1& !# , - ! *
!
1& * "
'4 < * 2A ' * !! !
+ &5
! ! +&
3 5
6 84
! $
' -#
!
' 1&
!
!"0+
0
!"&
.'
<! &" ! +
& -#
%!
% !
!* - 3 !
' " '0" 4
' : , !
!
( !1& ! *
$
(
'
!#
/
; +
*
3
'*
!*
! ! ! ' 0
/
!
,
6 8
% %B
4
-# C
"' " 4 ( + '
" 3 <.$%(4 ;
D
4 $( E7>>FG
678 <$
4
& ! $ " '0" !
%A* 5
D
E7>> G4
-#
;&!! 4 ;
!
& '
# )
# &
+ ,
)
#
)
'2
+
& -.
6
& '
8+
"
)
" %
(
)
!
)/
!
%
(
& ' +
/ +
,
(
(1
)
%
(
(
*
)
)
0
)
#
(
)4
+ 3
5%
) *
8 (
)
# )
" #
&
)
-.
!/
+1 )
,
#
)(
) %#
! B
#
+%
0
0
*
)(
+ '
&
,
#
!
'(
)
0
- %./
012
! (
)( )
?%
)
A
) ) (
C 0
#
<?%
6(
0
+
) )
!
(
+
)
!/
!
%
'( ; ( 9)
@?%
?/ #
#
7 )
)*
9+
-.
%
$ "
( 9
)9
( +9
'(
>
)
>
)
-.
+ 1
/
9+
# )
%
3
)
#
(
)
)*
:)&
# )
)
,
+
! !
9+
+
+
#
)
&&
% ;
+
)
& ' + ) (
) *
,
)
! (
*
A! +
%;
(
( )
(
$ %"
)(
#.
#
(
;
& '
)( '
%;
! ( 4 5 4 5%
)
0
) )(
(
#
-.
% ; ( 1B ) (
)
"
&> !
#
-.
)*
) )&
& ' )
)
( )
)
#
#
)
<= %
!
; (
( 0
# *+
) *
)( :
& ' /
4
,
?
) ) )*
( 0
&
(
-.
9+ %
)
(
+ '
)
(
A(
(
&
'(
)( )
<
% 6 .
)
/ )
)
-.
9+
*
( (
+ ) -.
)( ! ) 0 ) )
) ) )
*
( +9
#
+ 3
>
?
)
%6
(1
)
& '
)
>
@
9
=
%
K' ) % )C
;
#
)
!
-.
0
!
4 5 8;
"
( +9
% D
4<5 " GE;
A<== C%
4 5 H6 6 D?
D ' %D 9
(
" #
( +
5
;
% 7 )
8+
%"
E
A<==FC%
% 7 )
8+
%
H I%
A<= C%
%
-.
!
D % "
J 7 )
E
8+
%
!"
# $ "
& !#%'(
%
*/
16* "
3
) "
*
* "+
"+
" ,$
" / "
"0
1
*
"
/
/
" 2"
0
*" +.
1/
" 4
"0
+5
*" ( ' "0
1
/ /
"
/
7
$
"
/
7
*
*
" 7* /
" /
/ " 3 $
1 (
$ "
".
" $
"
*
/ " 3
"
6*
"
0
*"
" "
1
6*
*
" "
%
/
6*
#
$
7
/
(
"
7
" *.
* 5
"
7
/
%
* +.
6*
+.
/
"0
1
/
" $ *
" "
0 ,
"
/
(
0C
/
1
* +.
:*
" /
6*
8 $2"
&
/
"
"+
"
*4
"
1/
"
7
"
* (
'
*
$
/
/
"
"
1
" $ "
"
"
"
1
7
/
/
0 *
9
'$
/
' "
' "
/
"
* /
$
6* "
(
0 4
$ /
/ " .
/ (
/ 0
17
D *
3
E
/ "
/ F"
"0
1
"
" "
1 (
' "
$
/ 0
E* " 9
*3
9 2 /
"
+.
"+.
* " "
0
+.
2
(
"
" +5
:1 6*
/ 0
8
"0
1
/ " 3 $
6*
/ " +. (
*
!
*
"
"
0
*
" " *
+.
!
"
". "
*
* /
3 +.
6*
"0
1
"
0
"
/
6* +.
"
"
7
/
"
"
"
" 6*
/ 0
/
$ "
6* ". / *
4"
"
"
" $* "+
"
"
/
* 3 +.
* ( ; < $*"
7
=>?? /( >@ A
!
; <
#
H $$ " (
D * %
;>< '
% "
9
; < IB
* 3 +.
9
1
"#
$
/ /
% 9
"
/
6*
* 3 +.
1 ( ;>< "
6*
/ 0
".
*
/
+. *
6*2 /
:*
"
3 =
/( @ A 0
'
.
".
*
&
"#
$
"#
% ; <
"
*
*
" : " *
16* "
6*
3
0
6*
.
"
"+.
/ 0
"
3 +. /
6* 0 3( B
" $ /
:1 "
B"
0
1 6* "
'*
/ " "
(
")
/
1
*"
7
" $*
*
0 +.
*
"
4
/
* " B
" ,$ (
*" / *
6*
7 *
7*4
=$
P
(
A
(
' 9
%
G %!
9
'/
B * +. 9
1
D 6*
9
" ( .
3 >?? (
I EJK L*
I M
( B" "
" $
* % "
"
*" ( D
' $ '
(
#B % 1*
' G N' B# %
J
( '
"0
1
*
1
"
*
( >??O(
!
!
(
!
!
)(
* + (
!
!,
- - . !.
/! 0 &
/ .!
/ !.
! /! !
1 - 2 ! 3
- $
43 56
70
8
9
- / 3
- :
5;!
,!, 5;! /
5;! ! - /,! $ , !,! ! < ,!, 5;!=
4
- 0
- / - !
- ! 0
,!
! !
1! !
1 ,
! /
-! , >! !
- /,!2
-! 3
!
!
0
,!, 5;!
/
- /
!
-9 ! - - / /! 0
!=
" #! $ %
!
)(
*
! !
&'
(
!
!
(
*
A! /! !
3
! - - BEF -;! ,!, 5;!
9 :,!
/ 3 -! 3
BGF -;!
,!, 5;! /
9 :,!
/ - =
A! $/
!.
3
/! ! ,!
/ - 56
,!
!
/ -!
/
- /
,!, 5;! -9
H /
5
! ,
, / /
5;!2
,! 9 , !
/ - 5;! !
/ -!
:,!
=
$
%
&
"
?
/! 0 &
/
,!,
!
1 43 56 7 0
.!
!/ 0
8
9
/ !.
! /! !
/ - 5;! - @
A /
8 /=
#
1! !
1 - /.$/
!
!
!/!
/ -! :,!
- .
3
- :
5;!
,!, 5;! /
5;! ! - /,! $ , !,! !
<
,!, 5;! -! $
! - !
- - . ! .
/! /! ! - ! 3
1 !
- $
43 56 7 0
8
9
0/
!
/ -!
,!,
!
/ - /
!
= 8.
!3 !
1! !
1 ,
! ,! / - /,!
- / -!
!
/
5
!
,!,
!
! ,
, / - , /
5;!=
8
'"
*
/!
& 5;!
! - . 5;!
=
!
/
! 7
, ! !/
/ , !H -!= *!
! ! ,
- ! / -! ! ! /!/ -!
#
!
B$
! - , !,! !
- :
/ -! !
> !=
!
! 3 5;! C D !.- /!
-
$ ,!,
!
,!
-
5;!
I J ?!
/ 7, /
$ )
C M= 5;!D= +FFN=
I+J O 7
=
7
= O
1
=
;! -$
* -! ! A ?!!B +FF =
-! $
C0
= Q !-/
(
!/!
!
!
* -!
!
,
!
= !/D
K
=
= L% 4 -!
! / P
2 5;! * -! ! O /, !
# = ;! A ! A
! 1 B!
!
" #
$ %
&' (
)
*
+ $ )
, -
. /
#
0 ,.(1 2
(
!
34
/
5 # 6
5
)
7- #
# ' 5
5 # 6
'
)89:;/89:<89:
5
)
/;
&F
5#
+
9
5#
+9
5 # 6
> '
5 # 6
5 # 6
)
' -
) @7- #2
#
<;=2
$
"
1, <
- #2
. /
#
(
5 #
5
)
2
$
1#/
)
4
5
5 # 6
?
=#
<
?
?
#/
)
5 # 6
)
-
•
'
*
9
#
' A
#
5
< #
)
/
5
#
B C
>2
-
7- #
5#
5 # 6
2
5 # 6
=
2
+9
>
7- # 5 #
;+2 D =
=
7- #2
E
<
#4
?
<
=
#-
)
-
2
= #<
?
5 # 6
1
15
) G
(< /
H I AJ K1 ? 12
E$1
2
H+I N? ?O 1=
2(
2 E$1
2
!
-
? ' 8 :
$
@
/
)
5
• + '
=
2
5 #
9
&'
2
# =
= #
5 # 6
7- 2
%
•
)
5 # 6
- 4
7- #
5
5#
/
' 2
8%
> P/
#2
:
#4
9
&' L M#/ =
.
M#/ =
#
)
2.
! "
# $
%& '
(
)
* # (
+ ,
0
5
2
3 6, "
0
5
3 " 4
3 " 4
(
8$
(
5 "5
3
,
&
.
,
67
67
7
67
67
3
5
0+ ,
E
"1
1
3" > 1
8 , 5
$ .
111
5
BC; @
;
@ <*A
7C;A
$ .
8
7
G H IJJ K1 '
#
)
& # " 1
!;
;1
(
111
$ .
;
;
5
!
111
;
;1
!;
;1
3
0
7
.
3
7 ".
3
7
3
&
8 "E
8 8" . ( 1
& B
8
1
5 D
>
3 "
(
5
7
3
"1
",
!
0
"7
8 "E
67
3
.
5 %& 3 "
"
0
3
3 " 4
#
3
"1
$
@
- .
"
'
3 "
3
(
1
(
*
" +
)
+ ,1 0
"I
1
G*H '0-?L ?1 #1 ?L-K02L 01 '1 M N0K I- I1
./
#
+ ' " %&
3 (
?
O 1 !?1 P 1 *;; 1
3
;
;
3"
3 "
&
1F
7 "1
&
&
'
3 " 4
$ .
7
%
*1
& 3
& 3
& 3
)"
3" >
3
31
? . "
3" >
3
6 3 3
/ +-'0 1
'
67
*
$
9:;
9<;
9=;
"
1
#
3 " 4
.
3
67 1
" "
67
- .
Q*RS E 1
18 A
!
$ %
& '
" ! #
) $&(* +
(
6
" '
2
, + 9 ,
2 "
2
,
'
'
,
6
% 2 ,
' /7 +
-
*'
- .
,
,
/
0
%
2 3
, 4
5
'
'
1
, /7
,0 +*
, 2 /
2
8'
6
,,
!
#
2
1
9 9!
3
,
"
,
1
+ ! ,
,
%
:*9(9
' "
8'
+
'
*'
6
,
;
,
'
, /7
,
,
#
,
6
6
6
6
6 ,
'
"
6 ,
<
+=
6
,
2 3
1
,
% '
1
6
% ,
,
6 ,
1
,
,
%
6
6
'
,
6
#
+
"
*
0,
1
2
,
,
6
#
, , ,%
2
0,
,
6
,
!
+9 2
%
,
,B
CD+
,
36
, 0,
,
7
,
, E@
-
,
,
6
,%
'
<
>9
%
? .0
6
6
, @% 6
3 6
A
!
,
, 0,
6
,
0
/7
6 , ,
% , 5
,0
2
,
6
D
*, F - @
D+ *1
6
,
1
' 6
+ E
1
6 ,
% ,
A , - @ G D 1
%
>
6
% 9
2 - 8'
6
,, ;
B , 3,
9
C 6
, , '
,0% ? @6+ H ID B C
$
*
'
1
* ,
6
,
&
1
9
-
,
/
1
6
%
,
!+
<0
6
%
0
$ %
6
,
%
6
1
6
+J
, , '
@"
O'
& '
6
(
+
D
) $&(*
, ,
, +
,
6
'
B C A 9E(K9& E+ L+ () ( ) !
% ,
, 9
,
,
@ G) D
H ) M+
BMC
=N$ E ! F !
K$ E9+ *
, :+
.9 ,
*,
+
3
,'
6 , 1
/
6 ,
% ,
,
"
!
* 2 "
% /7
6
,
,
'
, / +91
%
, '
*+%
! ,&
,
!
!"
&
"
'(
&)*
+
/0 " *
& & '(
&
* &5
&
!
A
C7 ? &
( 7 8
!
9
& 2 <
7
&
9
B&
&
D
9
7 4 &
5
&
'(
7
7 *
& 2 '(
5
B !
5
* '3 7
9
& 2 <
5
*
7 *
&
( 7
& 2 <
*
$ &
( *
&5
9
*
2 < !
4
@ 5
&
&B5
2
5
'3
!
<
&
$
7
5
& '(
&( ;!
-
< * D!
&E !
5
!
"
5
* &
5 A -
&
2
*
'3
-
&
7 *
5 5
5
9 D
8
5
$
"7?
*?
- &
A&
5
&
9
B
6H C
*
2
@9
7
'(
C@$ D
&*
5
& &) &
7
& &) &
B
&
" 7
B
?
B*
7 5
/0 " @ &
&
5 '(
@$ CMN@H@O >>D
B 7
'(
&E A&
@
7 &
7 2
@7 4 &
? 7
<
!
( & 2
'(
&
7
!
'(
&E
7?
& 7 &
7
#
9
* &
F
2
7
7 &
7
'(
)5
&(
5 5
)
7 &
A&
%# '
5
-
&
&E
B
A&
9 ?&
G
5
"9
'
/0 "
7
7 *
*
"*
K L "/H/ 60! , "77 < &<A - &A 5 A J
&A
K1L 0@ 0 P/6 ! $
H
5 '(
B
)5 9
Q 1>>1
7& '(
& 2 <
7 *
/ 5
,
& ! (
& #
&5 - & &5
7
&*
C* &
-
)
&"
CH ID &
G &E
!J
7 5 &
&
& 2 <
7
$
"(
/0 "
% &
#
/0 "
7 -
! 7
7
B
+ /0 "!
, 4B
&
9 ?&
&
B
7
7 &
@ & 2 < 24 & 5
&*
*
& '( 7 *
!
* & '3 *)
9 &
2 &
5 &9
*
J
& * '(
7
& 2 <
" &
9
9
( C
- *
&
&
I 2 <
)
&
&)&
!
& * '(
2
&
/
7 0 9
$9 !
4 2
&
- && &5
+ /0 "
'3
&
=>
! ==
&
!
@ 7 *
&
%
#%
" -
" H
7
7 '(
5
7
7
*
&
K1L
> 7?
=9
2
&
& 9
!
7 & 7 (
#
&
&
4 5
6 782 ! 9 & &
&* ! 5 &9
2
'3 7
7 2
9
" /0 "
&
*
&
: &
&
7 <
&
2
&
&
9
"
7 *
'(
$
,-./0 "! 1 , *
"
#
- D
& A&<
0
9=
I 2 <
#
C0#D
!
#
$
%&
'
(
'$ ) *
+
=/
.
31 . 3
!. / 0 1 2
/
1 1
+ 1
1
2 + /
, 3
2
14
1
1 52
2
1
6 $
2
.
7
(
1
+ 1
1 81
-9
& 3
.
1+
1
2
1
+
3 1 5 - :
/ 1
2 1
/ 0
7 1
13
, 3
1 1
1
+ 1 1 1
. ;
81
- 2 6 1 2
12 /
.
1
+ 1 +
3 1 5
& 6( 81
2
2
.
& 1 8
-<
18 1
(
1
+ 13
= 2
.
/ 1 1
2
2
2 %
2
'6 1 1
2 1
2
!" 2
+
2
/ %& 2 2 1
,.
1
1 1
2
- *1
0
/
2
/ %& / 1
2
2
/
1
1
+ 1
/
- $1
2
.
1
.
3
.
2 1
2
1
/
6
28
+
/ %& $
6 3 2
2
1
' 2 + /
,
1 1
1
2
2
2 %>
, 13
1
-
' 1
/ ;
6
4
+ (/
1
3
/ ;
? @/
/
.
,
81
+ ;
1
:
(
6
2
1
1
%&
2
6 -
2
2
3
2
2 %>
/ A1
2 4
2
/ %&
1
12
7
1
12
1
2 2 %> 2
2
:
2 7
2 %&
1
52 %&
2 + / 2
2
- ,
2 7
3
!
,
2
1 (
2
13
1
1
- $
+
-
"
' 2 + /
1
/
2
+
,
1
6 3
%&
)P6 1 - 1
,+
'
2
%
*
"
# * ', -
'
1 2
7
' <B 2
1
2
/
+
%&
2 /
2
2 %
1
1
13 -
3
'
=/
6
2
%&
-
#
? @ '!*C D! - '-< + 1
%&
' =/ !E9$< F - 9<, E9- )GG ?)@ '!*C D! -'- $%
- 3
' 12 %& 9 1(
- ) 9<,
E9 +
%& H
12
I )GGG? @ D$ $J ,&
E
9 1(
)GGK? @ L 9, $
L + '
(
) *
- 9<,MN C,$
?K@ '!$LD! - <-O <!L' ! 9 L $
+ $%
,
'
-$
*
&
<
- & <
)GGG-
! " #
"
#$"
'
+
(
)* &
& *
*
,&
∫
*)
*
-.
*
& .
/ *
-0
* &
*
/
*
+ & &
&
*
(
&
*)
/ /
!
*
!
-. $ # / *
%
* *
'
/
& *
/ /
(&
(
*
&
* &
*
* &/
/
*
1* /
-. /
&
/
& ' -.
+
)
*
%2 *
* % 3 $
-.
#/
*
&&
& *
*
*
&
& * &)* $ 4%2 *
&
&
& / *
/
*
/
-.
& &
&/ *5
+
2
*
'
+
# &
)* &
1* /
* &/ * &
&
& 9
* *
/
& *
& * + <
2 8
∆ =
∆
*
*
%
'
−λ +
&
=
−λ
-.
*
* -.
&
%
=$ >
/
*&
* &/
; *?
& & *
& * $# / *
* ;
& *
%
=
+
&
&/ *
&
* ;
& *
& & *
* &
& *
!
/
*
@
)
'
*
/ -0
A' -0
+
4
6A 4B 7$
% * *
(*
&
& & * &)*
* -0
* *
/
*
/
'
* % 3
/ *
*
+
*
*
&/ *
*
?
; *
*
*
1
'
' & *
/ +
& *
?
$
*
*
*
-. $
& 6*7 (&
& 8* & / '
'
9 6*78* )* &
*
-. '
* $:
* ;
#
/
/
/
/ *
& $ #
/
&
+ !
*
*
6* 7<
/
% *
)
$
@
/
)
2
+
*
* % 3
/
/ &
/
* -.
$
−
= −λ
∆
= −λ
∆
6*+7
-.
&
"
= −λ ∫
=
/
& +
& #'
" ! #$
!
% &
%
C D A E#!
!$ $ FG A AH #IJ A$
A' -0
+
A & *
<
&
/ % &
*
$ KL
$
*
F
J $M
A #$ NNK$
COD A: !A !
$ > & $PQ
$
$
.
$ ORR=$
CKD
$
*
< OK
*
OR K$
∆
=
∆→
∆
=
∆
<
= −λ
!
"
!
&'
# '! !
!# ( !
)*#
*+ ,
# ) ! ,
! (
3 45 # 6 78"9:
(
! !# ! !
" 3
!# 45
(
4; 2
* 3
(
"
( #
;
!<(
7 9
#
= ( 3 6
(
(
3 4; 2
$ (> ( #
( (6
#
6 45 # !
#
# !<(
( 6
!
!0 ?!
2
'3 45 # 6 7 "9:
78"9: ;
( # #
3 45 # = ! !
!
2 3 = (
( " # 0 (
"
4; # )@1 A(> ( #
( (B (
3 45 2
>=
C ,#
#
!0 ?!
2
!0 ?!
!
6
, 6 # ;
#
6
! !# ( ! #
!0 ?!
3 #>
3 !
= ,
!
#
( 3 45 # 6 7- "9: 2
1 (
"
D
(
6 !
# #
= ?!
" " 0 >=
( !>
( !
!
! #
"
* #
6
! 4;
2
= ?!
E F E F = (
= !
6 ! 6 #
#
6
6 G
# ! !
! 3 ! ( ! 6
"
2
1 (
6
(
"G
(
# ! !#
= !H( ! ! (*
#
!
# #
" # # ( 6 # # 3
# #
6 6 # #
6 " # # # )@1 !
4; # 3 45 # = ! !
! !
# #3
( " = ( 4; ">
#
(*
# !#
6
6
! !# ( ! # 6 45
(1 6 0 = / 2
!
$3 6 # (
3
0
(6
">
( !
# 0 #
3 45 # = !
3 6 # (
"
#
!
!
"
*3
> ( 6 !
!
# )@1 6 !# # ! ! !
# 4; C
# !<(
! ! # !
4; 2 1 (
#
"
4; #
!
6 # (
#
45
! #
# 2
$
0 # 4
1 IJ 6
6
=! !
1
.!
# # / 0 ! # 1
6
! 4;
! K=
#
# !
( ! #
# # # ! !
6 =
! 2
6 !# !
A!
6
* # "
! !
6 4 6
! 4; #
S0(
2 (B
"
# $
'' ) +) - .!
%
# # / 0 ! # 1
& ./1
2
E F 1$.
L$ 2 12 1 6 0 = 2 I 0 ( # ! 4;
1 ! K= $+)'$ !M 2
"$ % 2 -NN 2
E-F 1$.
L$ 212 <(
!
6 0 = / 2
* # 1 (6 4; ) (>
!2 "$ %
0 !# # 4; A
#
(6 # B -NNN2
E F L' 'O 2 ' ( ! #
(* 2
%
-NNP2
E FQ ) ' !Q 0 2) 6 =
# ) (>
$
L D 2
"$& '$ / # !
2
EPF 1$'QL$ 2 I2R I$Q1 $ ) Q ' 12 <(
(
! # 4; C ) (> 2
(
"
2 ; I
-NNN2
!
" "#
$ %
!
! J "&
" "#
$
%&
"&
&
$ ()
#
&
&
& *&
() !
"
&
" "#
&
$ "+ & " +
, "% ."
'
0
&
"
$
1 "&
"
$
2 3
& " $
3 2 /
/
456789
0
# &
"& '
(/
."
0
&
+
" "& >
(/
&
" "#
&
"
" "#
" ."
"
0 %
"
/
&
"
"
"
"
0
#
!
+
"$ "
"
"
(/
(/
"
"
"
" &
/
"
&
'
"&
/
"
() !
"
::;<! = %
7
$
$ "
& "
?# +
!
"
"
?#
"
"
?
0
" "#
."
"
/
+
+
& *1 " &
!7
"
/ 0 "
"
#
"
"
&
4 D D6
+
@
E 4 (/
$ (/ !
+
@
+
@
+
=
(/
+
@
4A<
?
4 $< A 4 < +
B
C
B $
: <!
"
?
(/ ! = 0
"
& ()
"
" & (/ <
"
"
& (/
=
"
"
4 $< &
(/
C
F41 G<
?
A 4 $<H
% 0
"
?
IA &
+
@
"
4
?
."
<!
0 "
"
!
?#
"
+
"
$
K L
0!
(/
0
! 3P
"
+
!
(/
"
"
"
"
"
"
"$ "
!
"
!
1
".
:: !
+
=
"
::
"
"
$
(/
"
"E
"
! D &
"
"
&
Q
4
"
"&
!
"
D6
M!
#
5O 6
K L 56789 5!
/
&
?
!
1 " ' (/
0 0# " "
"
(/
&
&
$
D
"
#$ "
:
!
&
= 0
" "
"
#$ "
(/
$
"
! &R " ! "<
!
0
"
!
N 1
: !
M
Q
::;!