ENADE COMENTADO 2008
Matemática
Chanceler
Dom Dadeus Grings
Reitor
Joaquim Clotet
Vice-Reitor
Evilázio Teixeira
Conselho Editorial
Ana Maria Lisboa de Mello
Bettina Steren dos Santos
Eduardo Campos Pellanda
Elaine Turk Faria
Érico João Hammes
Gilberto Keller de Andrade
Helenita Rosa Franco
Ir. Armando Bortolini
Jane Rita Caetano da Silveira
Jorge Luis Nicolas Audy – Presidente
Jurandir Malerba
Lauro Kopper Filho
Luciano Klöckner
Marília Costa Morosini
Nuncia Maria S. de Constantino
Renato Tetelbom Stein
Ruth Maria Chittó Gauer
EDIPUCRS
Jerônimo Carlos Santos Braga – Diretor
Jorge Campos da Costa – Editor-Chefe
Augusto Vieira Cardona
Cármen Regina Jardim de Azambuja
Monica Bertoni dos Santos
(Organizadores)
ENADE COMENTADO 2008
Matemática
Porto Alegre
2011
© EDIPUCRS, 2011
CAPA Rodrigo Valls
REVISÃO TEXTUAL Julia Roca dos Santos
EDITORAÇÃO ELETRÔNICA Gabriela Viale Pereira
Edição revisada segundo o novo Acordo Ortográfico.
Questões retiradas da prova do ENADE 2008 da Matemática.
EDIPUCRS – Editora Universitária da PUCRS
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Porto Alegre – RS – Brasil
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Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP)
E56
ENADE comentado 2008 : matemática [recurso eletrônico] /
organizadores, Augusto Vieira Cardona, Cármen
Regina Jardim de Azambuja, Monica Bertoni dos
Santos. – Dados eletrônicos. – Porto Alegre :
EDIPUCRS, 2011.
121 p.
ISBN 978-85-397-0127-8
Sistema requerido: Adobe Acrobat Reader
Modo de Acesso: <http://www.pucrs.br/edipucrs/>
1. Ensino Superior – Brasil – Avaliação. 2. Exame
Nacional de Desempenho de Estudantes. 3. Matemática –
Ensino Superior. I. Cardona, Augusto Vieira. II. Azambuja,
Cármen Regina Jardim de. III. Santos, Monica Bertoni dos.
CDD 378.81
Ficha Catalográfica elaborada pelo Setor de Tratamento da Informação da BC-PUCRS.
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busca e apreensão e indenizações diversas (arts. 101 a 110 da Lei 9.610, de 19.02.1998, Lei dos direitos Autorais).
SUMÁRIO
APRESENTAÇÃO ..................................................................................................... 8
Hélio Radke Bittencourt e Marisa Magnus Smith
NOTA DOS ORGANIZADORES .............................................................................. 12
COMPONENTE ESPECÍFICO – NÚCLEO COMUM
QUESTÃO 11 ........................................................................................................... 14
Cármen Regina Jardim de Azambuja
QUESTÃO 12 ........................................................................................................... 17
Cármen Regina Jardim de Azambuja
QUESTÃO 13 ........................................................................................................... 20
João Feliz Duarte de Moraes
QUESTÃO 14 ........................................................................................................... 22
Cármen Regina Jardim de Azambuja
QUESTÃO 15 ........................................................................................................... 26
Augusto Vieira Cardona e Gertrudes Regina Todeschini Hoffmann
QUESTÃO 16 ........................................................................................................... 28
Marilene Jacintho Müller e Vera Lúcia Martins Lupinacci
QUESTÃO 17 ........................................................................................................... 30
Vera Lúcia Martins Lupinacci
QUESTÃO 18 ........................................................................................................... 33
Neda da Silva Gonçalves, Thaísa Jacintho Müller e Virgínia Maria Rodrigues
QUESTÃO 19 ........................................................................................................... 35
Liara Aparecida dos Santos Leal
QUESTÃO 20 ........................................................................................................... 37
Liara Aparecida dos Santos Leal
QUESTÃO 21 ........................................................................................................... 39
Neda da Silva Gonçalves e Virgínia Maria Rodrigues
QUESTÃO 22 ........................................................................................................... 40
Vera Lúcia Martins Lupinacci
QUESTÃO 23 ........................................................................................................... 43
Francisco Alberto Rheingantz Silveira
QUESTÃO 24 ........................................................................................................... 45
Maria Beatriz Menezes Castilhos
QUESTÃO 25 ........................................................................................................... 48
Augusto Vieira Cardona e Gertrudes Regina Todeschini Hoffmann
QUESTÃO 26 ........................................................................................................... 52
Maria Beatriz Menezes Castilhos
QUESTÃO 27 ........................................................................................................... 55
Neda da Silva Gonçalves e Virgínia Maria Rodrigues
QUESTÃO 28 – DISCURSIVA ................................................................................. 57
Augusto Vieira Cardona
QUESTÃO 29 – DISCURSIVA ................................................................................. 59
Maria Beatriz Menezes Castilhos
COMPONENTE ESPECÍFICO – LICENCIATURA
QUESTÃO 30 ........................................................................................................... 63
Neda da Silva Gonçalves e Virgínia Maria Rodrigues
QUESTÃO 31 ........................................................................................................... 65
Marilene Jacintho Müller e Vera Lúcia Martins Lupinacci
QUESTÃO 32 ........................................................................................................... 68
Monica Bertoni dos Santos e Mara Lúcia Müller Botin
QUESTÃO 33 ........................................................................................................... 71
Monica Bertoni dos Santos e Mara Lúcia Müller Botin
QUESTÃO 34 ........................................................................................................... 73
Augusto Vieira Cardona e Monica Bertoni dos Santos
QUESTÃO 35 ........................................................................................................... 76
Ruth Portanova, Maria Beatriz Menezes Castilhos e Virgínia Maria Rodrigues
QUESTÃO 36 ........................................................................................................... 78
Monica Bertoni dos Santos, Mara Lúcia Müller Botin e Vanessa Martins de Souza
QUESTÃO 37 ........................................................................................................... 82
Ruth Portanova e Monica Bertoni dos Santos
QUESTÃO 38 ........................................................................................................... 84
Ruth Portanova e Monica Bertoni dos Santos
QUESTÃO 39 ........................................................................................................... 86
Marilene Jacintho Müller
QUESTÃO 40 – DISCURSIVA ................................................................................. 88
Augusto Vieira Cardona e Gertrudes Regina Todeschini Hoffmann
COMPONENTE ESPECÍFICO – BACHARELADO
QUESTÃO 41 ........................................................................................................... 93
Augusto Vieira Cardona, Luiz Eduardo Ourique e Ivan Ricardo Tosmann
QUESTÃO 42 ........................................................................................................... 96
Neda da Silva Gonçalves e Virgínia Maria Rodrigues
QUESTÃO 43 ........................................................................................................... 98
Vera Lúcia Martins Lupinacci
QUESTÃO 44 ......................................................................................................... 100
Luiz Eduardo Ourique
QUESTÃO 45 ......................................................................................................... 103
Liara Aparecida dos Santos Leal
QUESTÃO 46 ......................................................................................................... 106
Maria Beatriz Menezes Castilhos e Augusto Vieira Cardona
QUESTÃO 47 ......................................................................................................... 109
Neda da Silva Gonçalves, Thaisa Jacintho Müller e Virgínia Maria Rodrigues
QUESTÃO 48 ......................................................................................................... 111
Augusto Vieira Cardona e Maria Beatriz Menezes Castilhos
QUESTÃO 49 ......................................................................................................... 114
Luiz Eduardo Ourique
QUESTÃO 50 ......................................................................................................... 117
Cláudia Helena Fettermann Batistela e Luiz Carlos Renz
QUESTÃO 51 – DISCURSIVA ............................................................................... 119
Maria Beatriz Menezes Castilhos
LISTA DE COLABORADORES ............................................................................. 121
APRESENTAÇÃO
Desde 1996, a Educação Superior brasileira tem sido alvo de avaliações de
larga escala. O Exame Nacional de Cursos, mais conhecido por Provão, vigorou de
1996 a 2003, consistindo na aplicação de uma prova a todos os estudantes
formandos de um grupo de cursos de graduação. Em 2004, o Provão foi substituído
pelo Exame Nacional de Desempenho de Estudantes, ou ENADE. A partir desse
momento, os cursos passaram a ser avaliados de três em três anos, submetendo-se
ao Exame, além de estudantes concluintes, também alunos ingressantes. O
desempenho dos alunos ingressantes e concluintes nas provas está diretamente
relacionado aos três conceitos derivados do ENADE: o conceito Enade, o Indicador
de Diferença de Desempenho (IDD) e o Conceito Preliminar de Curso (CPC). Para
um melhor entendimento, vejamos uma breve explicação de cada conceito:
Conceito Enade – o conceito Enade de um curso é calculado exclusivamente
a partir do desempenho dos alunos concluintes na prova, que é composta de duas
partes: uma denominada de Componente Específico (CE) e outra de Formação
Geral (FG). As questões referentes ao Componente Específico têm peso de 75% na
nota final do curso, enquanto a parte de Formação Geral é responsável pelos outros
25%. Salienta-se que o desempenho médio dos alunos de um curso é sempre
comparado ao desempenho do universo de estudantes daquela área que realizou a
mesma prova. Portanto, o conceito Enade é relativo ao desempenho do grupo.
Cursos com conceito Enade 4 ou 5 são aqueles cujos alunos apresentaram média
bastante superior a do total de alunos da área.
Indicador de Diferença de Desempenho (IDD) – o IDD é um indicador que
procura neutralizar o efeito de diferentes níveis de dificuldade de ingresso sobre o
desempenho dos alunos nas provas. No IDD, o desempenho dos alunos concluintes
é comparado ao desempenho esperado por meio de um modelo linear que
considera as seguintes variáveis: 1) desempenho médio dos alunos ingressantes; 2)
proporção de estudantes cujos pais têm nível de escolaridade superior; 3) relação
concluintes/ingressantes. Um IDD igual a 3 caracteriza um curso que atingiu o
desempenho esperado. Já IDDs 4 ou 5 indicam cursos que superaram o esperado,
8
Augusto Vieira Cardona et al. (Orgs.)
atingindo nas provas uma média superior ou muito superior ao desempenho
estimado pelo modelo.
Conceito Preliminar de Curso (CPC) – o CPC procura sintetizar os resultados
do Enade, IDD e outros fatores num único conceito. A partir de 2008, o CPC passou
a apresentar a seguinte composição:
Enade dos ingressantes (15%);
Enade dos concluintes (15%);
IDD (30%);
Instalações e Infraestrutura (5%);
Recursos didáticos (5%);
Percentual de professores doutores (20%);
Percentual de professores com, no mínimo, título de mestre (5%);
Percentual de professores em regime de tempo parcial ou integral (5%).
O CPC é o principal indicador utilizado pelo Ministério de Educação (MEC)
para avaliação de um curso. Cursos avaliados com 1 ou 2 são passíveis de
intervenção e deverão ser visitados por uma comissão de avaliadores nomeada pelo
Instituto Nacional de Estudos e Pesquisas Educacionais Anísio Teixeira (INEP). O
CPC é divulgado de duas formas – contínuo e conceito – e a tabela utilizada para
conversão é a seguinte:
Tabela 1: Tabela para conversão do CPC contínuo em conceito.
CPC contínuo
0,00 – 0,94
0,95 – 1,94
1,95 – 2,94
2,95 – 3,94
3,95 – 5,00
Conceito CPC
1
2
3
4
5
Os cursos de Matemática foram avaliados no ENADE pela primeira vez em
2005. A última avaliação ocorreu em 2008, contando com 30 questões em seu
Componente Específico. A próxima está prevista para 2011. Na edição de 2008, um
total de 513 cursos foi avaliado, dos quais 315 receberam conceito CPC.
A figura 1 apresenta o histograma com a distribuição do CPC contínuo em
âmbito nacional.
ENADE Comentado 2008: Matemática
9
60
50
40
Número de cursos
30
20
10
0
0,0
,5
1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 4,5 5,0
CPC Contínuo
Figura 1: Histograma dos CPC contínuos em âmbito nacional.
A figura 1 mostra uma concentração de cursos em torno do CPC contínuo 2,0,
e um pequeno número de cursos próximo do valor máximo.
De um modo geral, os cursos de Matemática não apresentaram bons
resultados na avaliação, o que fica evidente na Tabela 2, que mostra 41% dos
cursos avaliados com conceitos 1 ou 2, considerados baixos pelo MEC. Apenas
16,2% dos cursos avaliados atingiram conceitos altos (4 ou 5). Em outras palavras,
isso significa que, de um universo de 315 cursos avaliados, 129 ficaram abaixo do
resultado mínimo esperado pelo INEP.
Tabela 2: Distribuição dos conceitos CPC em âmbito nacional no ENADE 2008.
CPC
1
2
3
4
5
F
3
126
135
39
12
%
1,0%
40,0%
42,9%
12,4%
3,8%
Total
315
100,0%
Outro fato a destacar é o de que a totalidade dos cursos que obtiveram o
conceito máximo são oferecidos em instituições universitárias, e não em faculdades
isoladas ou centros universitários. Dentre esses doze, é significativo registrar que
onze deles são oferecidos em instituições públicas. A única instituição privada do
10
Augusto Vieira Cardona et al. (Orgs.)
Brasil a atingir o conceito CPC=5 foi a Pontifícia Universidade Católica do Rio
Grande do Sul (PUCRS).
As razões para desempenhos tão diferenciados e, em muitos casos,
desanimadores são muitas e não cabe aqui discuti-las em profundidade. Entretanto,
duas evidências parecem emergir desses dados: a maior qualificação das
Universidades em relação às instituições de menor porte e que não têm tradição em
pós-graduação, pesquisa e extensão, e o diferencial qualitativo que a efetiva seleção
de acadêmicos com melhores condições de desempenho ao curso superior –
característica das IES federais, pela relação número de candidatos x número de
vagas – estabelece em favor do desenvolvimento desses estudantes.
Essas questões, entretanto, por mais pertinentes que sejam quando se
analisam comparativamente resultados, não apagam o fato de que na base do
conceito de cada curso existe uma prova, o ENADE, e que cabe às IES
comprometidas não só com o bom desempenho de seus estudantes, mas também
com a qualidade dos testes a que eles são submetidos, contribuir com seus saberes
para a qualificação desses instrumentos de avaliação.
Esta publicação eletrônica, editada pela EDIPUCRS, tem exatamente este
objetivo: apresentar, analisar e comentar as 30 questões do Componente Específico
do ENADE aplicado aos cursos de Matemática em 2008. Esperamos que estudantes
e professores universitários possam apropriar-se deste estudo em seus processos
de ensino e de aprendizagem, e também que as bancas responsáveis pela seleção
de conteúdos e elaboração das questões possam igualmente beneficiar-se do
resultado desse esforço.
Porto Alegre, maio de 2010
Hélio Radke Bittencourt
Faculdade de Matemática / Assessoria de
Planejamento e Marketing - PUCRS
Marisa Magnus Smith
Faculdade de Letras / Pró-Reitoria de Graduação - PUCRS
ENADE Comentado 2008: Matemática
11
NOTA DOS ORGANIZADORES
Para dar subsídios aos alunos que realizarão o ENADE 2011, um grupo de
professores, alunos e diplomados da Faculdade de Matemática, deu sua
contribuição, comentando as questões específicas e discursivas da edição 2008.
Chegou-se ao consenso de que, ao comentar as questões, seriam
apresentados alguns conceitos básicos fundamentais para a sua compreensão e
indicada bibliografia de apoio ao estudante que quisesse aprofundar seus estudos.
Na resolução das questões, em geral, não se optou pela apresentação
matematicamente mais elegante, mas pela simplicidade e pelo fácil entendimento
por parte de alunos, ingressantes ou concluintes, de Cursos de Licenciatura.
O enunciado das questões foi o mais fiel possível ao ENADE 2008, sendo que
gráficos e figuras foram fielmente reproduzidos deste documento.
Tendo em vista que a prova será realizada por alunos ingressantes e
concluintes, fizemos para cada questão uma classificação quanto ao seu grau de
dificuldade, considerando tanto a realidade do ensino de Matemática na Educação
Básica, constatada nas observações de estágio e nas sondagens aplicadas a alunos
de 1º semestre, quanto nos currículos dos Cursos de Licenciatura em Matemática.
A resolução das questões desta prova permitiu-nos analisar se os conteúdos
abordados no ENADE 2008 eram condizentes com o que se trabalha nessa
Instituição, ajudou-nos a avaliar a formação oferecida aos graduados em Matemática
e na elaboração do Projeto Pedagógico de nosso Curso.
Agradecemos a colaboração de docentes, discentes e diplomados da
Faculdade de Matemática da PUCRS na elaboração deste trabalho e ao apoio
incondicional da EDIPUCRS e da Pró-Reitoria de Graduação de nossa Universidade.
Esperamos que este trabalho ajude o leitor na sua formação matemática e
que ele considere a leitura prazerosa e elucidativa.
Porto Alegre, junho de 2011
Augusto Vieira Cardona
Cármen Regina Jardim de Azambuja
Monica Bertoni dos Santos
12
Augusto Vieira Cardona et al. (Orgs.)
COMPONENTE ESPECÍFICO
NÚCLEO COMUM
QUESTÃO 11
Em um jogo de futebol, um jogador irá bater uma falta diretamente para o gol. A falta
é batida do ponto P, localizado a 12 metros da barreira. Suponha que a trajetória da
bola seja uma parábola, com ponto de máximo em Q, exatamente acima da barreira,
a 3 metros do chão, como ilustra a figura abaixo.
y
Q
gol
barreira
R
parábola
3
P
O
8
posição da falta
12
x
Sabendo-se que o gol está a 8 metros da barreira, a que altura está a bola ao atingir
o gol?
(A)
3
m
2
(B)
4
m
3
(C) 1 m
(D) 2 m
(E)
5
m
3
Gabarito: E
Autoria: Cármen Regina Jardim de Azambuja
Comentário:
Diversos fenômenos são descritos por funções polinomiais de 2º grau, como é
o caso do problema apresentado. Uma função polinomial de 2º grau, ou função
quadrática, com variável independente x tem o modelo:
f ( x ) = ax 2 + bx + c, a ≠ 0
(1)
e sua representação gráfica é uma parábola com eixo de simetria passando pelo seu
vértice e paralelo ao eixo das ordenadas y y’ .
14
Augusto Vieira Cardona et al. (Orgs.)
No ensino médio, sabe-se que, para determinar a abscissa do vértice da
parábola pode-se utilizar a fórmula xv =
−b
. No ensino superior, usando o conceito
2a
de derivada, sabe-se que a reta tangente à parábola em seu vértice é paralela ao
eixo das abscissas e, portanto, tem coeficiente angular nulo. Fazendo f ′( x ) = 0 , isto
−b
.
2a
é 2ax + b = 0 , chega-se à mesma fórmula xv =
No problema apresentado, se for colocado um sistema de eixos na
barreira, tem-se que:
a) o vértice da parábola é o ponto (0,3), então xv = 0 e xv =
−b
= 0 ⇒ b = 0 . Como
2a
f (0) = c = 3 , substituindo b por zero e c por 3 no modelo de função de segundo grau
visto em (1), tem-se:
f ( x ) = ax 2 + 3, a ≠ 0 ;
(2)
b) um dos zeros da função é x = 12 , isto é, f (12) = 0 . Levando este dado em (2),
resulta a ⋅ 144 + 3 = 0 ⇒ a =
− 3 −1
. Substituindo o valor de a em (2), a lei da
=
144 48
função fica bem determinada, ou seja:
f (x) =
−1 2
x +3;
48
(3)
c) como o gol está 8 metros à esquerda da barreira, considera-se x = −8 e a altura
que a bola está ao atingir o gol, é dada por f (−8) , então, por (3):
f(-8) =
−1 2
5
⋅8 + 3 = .
3
48
Como todas as unidades de medida estão em metros, a resposta correta é
apresentada no item E,
5
m.
3
Esta questão é de nível de dificuldade médio por ser um problema de
aplicação da função quadrática, conteúdo trabalhado tanto em nível de ensino
médio, como na Licenciatura de Matemática.
ENADE Comentado 2008: Matemática
15
Referências Bibliográficas:
ANTON, H.; BIVENS, I.; DAVIS, S. Cálculo. 8. ed. Porto Alegre: Bookman, 2007. v.1.
DANTE, L. R. Matemática: contexto e aplicações. São Paulo: Ática, 2006.
FLEMMING, D.; GONÇALVES, M. Cálculo A: funções, limite, derivação, integração.
6. ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2006.
16
Augusto Vieira Cardona et al. (Orgs.)
QUESTÃO 12
No plano cartesiano xOy, as equações x2 + y2 + y = 0 e x2 - y - 1 = 0 representam
uma circunferência Γ e uma parábola P, respectivamente. Nesse caso,
(A)
a reta de equação y = -1 é tangente às curvas Γ e P.
(B)
as curvas Γ e P têm mais de um ponto em comum.
(C) existe uma reta que passa pelo centro de Γ e que não intercepta a parábola P.
(D) o raio da circunferência Γ é igual a 1.
(E)
a parábola P tem concavidade voltada para baixo.
Gabarito: Alternativa A
Autoria: Cármen Regina Jardim de Azambuja
Comentário:
Esta questão envolve as equações da circunferência e da parábola.
A fórmula da distância entre dois pontos é muitas vezes usada para achar a
equação de uma curva cuja definição geométrica depende de uma ou mais
distâncias.
A
distância
entre
os
pontos
(x,y)
e
(a,b)
é
dada
por:
d = ( x − a )2 + ( y − b )2 .
A circunferência é o conjunto de todos os pontos do plano que equidistam de
um ponto fixo C. O ponto fixo é chamado de centro da circunferência e a distância
de qualquer de seus pontos ao centro é o raio dessa circunferência. Se o centro é o
ponto (a,b), o raio é o número positivo r e ( x, y ) é um ponto qualquer da
circunferência, a definição acima se traduz pela equação
( x − a )2 + ( y − b )2 = r , ou
equivalentemente:
( x − a )2 + ( y − b )2 = r 2 .
(1)
Para colocar a equação dada, x 2 + y 2 + y = 0 , na forma apresentada acima,
primeiro, agrupam-se os termos em x e em y , ( x 2 ) + ( y 2 + y ) = 0 e, a seguir,
adiciona-se a constante apropriada a cada conjunto de parênteses para completar
um quadrado e subtrai-se a mesma constante fora do parêntese para manter a
igualdade. A constante apropriada, nesse caso, é
1
, e isto resulta na equação
4
ENADE Comentado 2008: Matemática
17
1 1
x 2 + (y 2 + y + ) − = 0 ,
4 4
da
qual
se
obtém
1
1
x 2 + (y 2 + y + ) = ,
4
4
ou
2
1
1
1
 1

da
( x − 0) + ( y + )2 =   , e, por (1), determina-se o centro C  0, −  e raio
2
2
2

2
2
circunferência, o que elimina a alternativa D.
A equação x 2 − y − 1 = 0 pode ser colocada na forma y = x 2 − 1, que define
uma função polinomial do segundo grau, cujo gráfico é uma parábola de vértice em
(0,−1) e com concavidade voltada para cima, o que elimina a alternativa E.
Para decidir entre as outras três alternativas, qual é a correta, pode-se fazer
uma solução algébrica ou geométrica.
Algebricamente, determina-se a intersecção das duas curvas, isto é, resolve-se
a equação x 2 + y 2 + y = x 2 − y − 1 ou equivalentemente a equação y 2 + 2y + 1 = 0 ,
cuja solução é y = −1 e, portanto, as curvas possuem um único ponto de intersecção,
(0,-1). Como a reta de equação y = −1 é uma reta paralela ao eixo dos x e passa por
este ponto, ela tangencia as duas curvas nesse ponto, levando à escolha da
alternativa A.
Geometricamente, a questão pode ser resolvida com a construção, no mesmo
sistema de eixos, dos gráficos da circunferência, da parábola e da reta que
representam as equações dadas.
2
2
2
Figura 1: Gráfico das curvas x + y + y = 0, y = -1 e x - y - 1 = 0.
Pela figura 1, observa-se que as curvas são tangentes no ponto (0,-1). A reta
de equação y = −1 é paralela ao eixo dos x e passa no ponto de tangência das
duas curvas, o que leva à escolha da alternativa A.
18
Augusto Vieira Cardona et al. (Orgs.)
Esta questão é considerada fácil, pois pode ser resolvida tanto graficamente,
como algebricamente e utiliza equações da circunferência e da parábola, curvas das
mais simples, muito trabalhadas tanto no ensino médio, como na Licenciatura em
Matemática.
Referências Bibliográficas:
ANTON, H.; BIVENS, I.; DAVIS, S. Cálculo. 8. ed. Porto Alegre: Bookman, 2007. v.1.
DANTE, L. R. Matemática: contexto e aplicações. São Paulo: Ática, 2006.
FLEMMING, D.; GONÇALVES, M. Cálculo A: funções, limite, derivação, integração.
6. ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2006.
ENADE Comentado 2008: Matemática
19
QUESTÃO 13
Há 10 postos de gasolina em uma cidade. Desses 10, exatamente dois vendem
gasolina adulterada. Foram sorteados aleatoriamente dois desses 10 postos para
serem fiscalizados. Qual é a probabilidade de que os dois postos infratores sejam
sorteados?
(A)
1
45
(B)
1
20
(C)
1
10
(D)
1
5
(E)
1
2
Gabarito: Alternativa A
Autoria: João Feliz Duarte de Moraes
Comentário:
Pode-se resolver esta questão de duas formas diferentes:
Solução 1: Utilizando a definição de probabilidade de ocorrência de um evento A,
tem-se que:
P(A) =
n( A )
; A ⊆ S,
n(S )
onde n(A) é o número de elementos do evento A e n(S) representa o número de
elementos do espaço amostral S.
O espaço amostral, definido como o conjunto dos resultados do experimento
aleatório, tem 45 elementos que podem ser obtidos por meio da combinação dos
dez postos (n = 10), tomados dois a dois (x = 2), isto é,
10!
n!
= 45.
=
x! (n − x )!
2!8!
Sendo o evento A o subconjunto de S formado pelos dois postos infratores,
ou seja, n(A) = 1, tem-se, então, que P(A) =
20
Augusto Vieira Cardona et al. (Orgs.)
1
. Assim, a alternativa correta é A.
45
Solução 2: Supondo que os dois postos foram sorteados sucessivamente e
sem
reposição,
pode-se
utilizar
o
chamado
Teorema
do
Produto,
P(A ∩ B) = P (A) P(B/A).
Sejam A (primeiro sorteado) e B (segundo sorteado) os dois postos que
adulteram a gasolina entre os dez da cidade, tem-se, então, que a probabilidade de
sortear o posto A é P(A) =
2
, isto é, tem-se duas chances em dez de sortear um
10
posto infrator na primeira tentativa. Sabendo-se que o posto A já foi sorteado, a
chance de retirar, na segunda tentativa, o posto B, que também adultera a gasolina,
fica P(B/A) =
1
.
9
Então, tem-se P(A ∩ B) = P (A) P(B/A) =
1
2
1
x
=
, ou seja, a alternativa
10
9
45
correta é A.
Esta questão é considerada fácil, pois trata da aplicação direta de conceitos
trabalhados no ensino médio.
Referências Bibliográficas:
JULIANELLI, J. R.; et al. Curso de análise combinatória e probabilidade. Rio de
Janeiro: Editora Ciência Moderna Ltda., 2009.
MORETTIN, L. G. Estatística básica: probabilidade e inferência. São Paulo:
Pearson Prentice Hall, 2010.
ENADE Comentado 2008: Matemática
21
QUESTÃO 14
Assinale a opção que contém o sistema de inequações que determina a região
triangular PQR desenhada abaixo.
y
2
Q
R
1
P O
(A)
y − 2 x < 0

2y − x < 0
y+x >3

(B)
y − 2 x > 0

2y − x > 0
y+x >3

(C)
y − 2 x < 0

2y − x < 0
y+x <3

(D)
y − 2 x > 0

2y − x < 0
y+x >3

(E)
y − 2 x < 0

2y − x > 0
y+x<3

1
2
x
Gabarito: Alternativa E
Autoria: Cármen Regina Jardim de Azambuja
Comentário:
Uma inequação linear em x e y determina um subconjunto do plano (região)
em que a condição dada é satisfeita somente pelos pontos dessa região e por
22
Augusto Vieira Cardona et al. (Orgs.)
nenhum outro. Observando a figura dada na questão, vê-se que a região assinalada
é a intersecção de três semiplanos determinados por três retas.
Considerando a reta que passa por Q e R, de equação y = − x + 3 , a
representação gráfica da inequação y + x < 3 é o semiplano assinalado na figura 1.
Figura 1: Representação gráfica da inequação
y + x < 3.
Considerando a reta que passa por P e Q, de equação y = 2 x , a
representação gráfica da inequação y − 2 x < 0 é o semiplano assinalado na figura 2.
Figura 2: Representação gráfica da inequação
y − 2x < 0 .
1
x, a
2
representação gráfica da inequação 2y − x > 0 é o semiplano assinalado na figura 3.
Considerando a reta que passa por P e R, de equação y =
Figura 3: Representação gráfica da inequação
2y − x > 0 .
ENADE Comentado 2008: Matemática
23
Assim, fazendo a intersecção destas três regiões, obtém-se a região
assinalada no gráfico da figura 4:
Figura 4: Intersecção das três regiões do plano.
y − 2x < 0

que é a representação gráfica da solução do sistema: 2y − x > 0 e, portanto, a
y+x<3

alternativa correta é a E.
Esta questão pode, também, ser resolvida da seguinte maneira: considerando
que um ponto da região assinalada deve satisfazer simultaneamente as três
inequações de cada sistema apresentado, tomando-se um ponto pertencente a essa
região, por exemplo, o ponto (1,1), e testando-o em cada inequação do sistema,
aquele que apresentar todas as desigualdades verdadeiras será a solução da
questão. Substituindo (1,1) no sistema apresentado na alternativa A, obtém-se:
1 − 2 < 0 V

2 − 1 < 0 F ,
o que já elimina esta alternativa.
Procedendo de maneira análoga nos outros sistemas, observa-se que,
somente no da alternativa E, conforme verificado a seguir:
1 − 2 < 0

2 − 1 > 0
1 + 1 < 3

V
V
V,
todas as desigualdades são verdadeiras, sendo, portanto, esta alternativa a correta.
24
Augusto Vieira Cardona et al. (Orgs.)
Esta questão tem grau médio de dificuldade, pois gráficos de desigualdades
são pouco explorados no ensino médio e na Licenciatura de Matemática, eles,
muitas vezes, são feitos com a utilização de softwares, como apoio à resolução de
questões em que o objetivo não é a construção do gráfico, mas o cálculo de áreas,
volumes, etc.
Referência Bibliográfica:
DANTE, L. R. Matemática: contexto e aplicações. São Paulo: Ática, 2006.
ENADE Comentado 2008: Matemática
25
QUESTÃO 15
Uma professora do ensino fundamental resolveu utilizar, em
suas aulas, a construção de um avião de papel para explorar
alguns
conceitos
e
propriedades
da
geometria
R MS
A
P
plana.
U
B
Q
T
Utilizando uma folha de papel retangular, os estudantes
deveriam começar fazendo as dobras na folha ao longo dos
C
D
segmentos de reta indicados na figura ao lado.
As seguintes condições, segundo instruções da professora, devem ser satisfeitas:




a reta determinada por M e U é a mediatriz do segmento AB;
AC, BD e AB são segmentos congruentes;
PT e TQ são segmentos congruentes;
PD e BD são segmentos congruentes.
A partir da análise da figura, um estudante afirmou o seguinte:
O triângulo PQD é obtusângulo
porque
o triângulo PQT é equilátero.
Com relação ao que foi afirmado pelo estudante, assinale a opção correta.
(A) As duas asserções são proposições verdadeiras, e a segunda é uma
justificativa correta da primeira.
(B) As duas asserções são proposições verdadeiras, e a segunda não é uma
justificativa correta da primeira.
(C) A primeira asserção é uma proposição verdadeira, e a segunda é falsa.
(D) A primeira asserção é uma proposição falsa, e a segunda é verdadeira.
(E)
Ambas as asserções são proposições falsas.
Gabarito: Alternativa C
Autoria: Augusto Vieira Cardona e Gertrudes Regina Todeschini Hoffmann
Comentário:
Para analisar a questão, é necessário o conhecimento de conceitos e
propriedades da geometria, tais como: segmentos congruentes, mediatriz de um
segmento, retângulo, triângulo obtusângulo e triângulo equilátero. Para melhor
entender a resolução desta questão, é importante observar que:
(1) Mediatriz de um segmento num plano dado é a reta perpendicular ao segmento,
passando pelo seu ponto médio;
26
Augusto Vieira Cardona et al. (Orgs.)
(2) A soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo é 180o;
(3) Em um triângulo isósceles, os ângulos da base são congruentes. Logo, por (2),
se o ângulo oposto à base mede 90o, tem-se que os ângulos da base medem 45o
cada um;
(4) Os três ângulos de um triângulo equilátero são congruentes e, portanto, medem
60o cada um.
Analisando a figura dada e considerando as instruções da professora, tem-se:
(a) O triângulo CAB é isósceles, pois os segmentos AC e AB são congruentes por
construção, e o ângulo CAˆ B é reto, porque é um dos ângulos do retângulo, logo,
por (3), ACˆ B e ABˆ C medem 45°. De maneira análoga, no triângulo ABD, os
ângulos BAˆ D e ADˆ B medem 45º.
(b) Considerando o triângulo ATB, sabendo, de (a), que os ângulos ABˆ T e BAˆ T
medem 45°, por (2), pode-se afirmar que ATˆB mede 90°.
(c) No triângulo PQT, por (b), PTˆQ mede 90º e, portanto, por (4), este triângulo não
é equilátero, o que torna falsas as opções A, B e D. Este triângulo é isósceles, pois
os segmentos PT e TQ são congruentes por construção, portanto, por raciocínio
análogo ao apresentado em (a), os ângulos QPˆ T e PQˆ T medem 45º.
Pelo visto em (a), (b) e (c), o triângulo PQD é obtusângulo, pois: QPˆ D mede
45º, QDˆ P é menor do que 45º (pois é menor que BAˆ D ), então PQˆ D é maior do que
90º. Isto mostra que a opção E é falsa e que a opção C é verdadeira.
Esta questão é de nível médio de dificuldade, pois, para a sua resolução, é
necessário o uso de diferentes conceitos de geometria plana que, muitas vezes, são
pouco trabalhados na Educação Básica e vistos pela primeira vez no Curso de
Licenciatura em Matemática.
Referências Bibliográficas:
BARBOSA, J. L. M. Geometria euclidiana plana. Rio de Janeiro: Sociedade
Brasileira de Matemática, 2000, (Coleção do Professor de Matemática).
RESENDE, E. Q. F.; QUEIROZ, M. L. B. Geometria euclidiana plana e
construções geométricas. Campinas: UNICAMP, 2000.
ENADE Comentado 2008: Matemática
27
QUESTÃO 16
A concentração de certo fármaco no sangue, t horas após sua administração, é dada
pela fórmula:
y (t ) =
10t
(t + 1)2
, t ≥ 0.
Em qual intervalo essa função é crescente?
(A)
t ≥0
(B)
t > 10
(C)
t >1
(D)
0 ≤ t <1
(E)
1
< t < 10
2
Gabarito: Alternativa D
Autoria: Marilene Jacintho Müller e Vera Lúcia Martins Lupinacci
Comentário:
Para resolver a questão, é necessário o conhecimento do conceito de função
crescente, do teorema relativo ao crescimento de uma função e de regras de
derivação.
Uma função f definida em um intervalo I é crescente em I, quando
f ( x1 ) < f ( x 2 ) para x1 < x 2 , sendo x1 e x 2 pontos desse intervalo I. Para determinar
os intervalos onde uma função é crescente ou decrescente, usa-se o seguinte
teorema:
Seja uma função contínua em um intervalo fechado [a,b] e diferenciável no
intervalo aberto (a,b).
(a) Se f ' ( x ) > 0 para todo valor de x em (a, b), então f é crescente em [a,b].
(b) Se f ' ( x ) < 0 para todo valor de x em (a, b), então f é decrescente em [a,b].
Esse teorema é aplicável a qualquer intervalo I no qual f seja contínua e
dentro do qual ela seja diferenciável.
Para identificar o intervalo onde a função citada na questão é crescente, é
necessário obter sua derivada e, para tanto, será usada a regra de derivação de um
quociente. Assim,
28
Augusto Vieira Cardona et al. (Orgs.)
(t + 1) 2 .10 − 20 t .(t + 1) − 10 t + 10
.
y (t ) =
=
(t + 1) 4
(t + 1)3
'
Como a função y(t) está definida para t ≥ 0 , vem que (t + 1)3 > 0 , tem-se que
y ' (t ) > 0 , quando − 10t + 10 > 0 , isto é, 0 ≤ t < 1. Então, conclui-se que a alternativa
correta é a D, excluindo-se as demais alternativas.
Esta questão é de grau médio de dificuldade, por exigir a aplicação da regra
de derivação de um quociente e a análise do sinal da função derivada nos valores
de t que estão no domínio da função.
Referência Bibliográfica:
ANTON, H.; BIVENS, I.; DAVIS, S. Cálculo. 8. ed. Porto Alegre: Bookman, 2007. v.1
ENADE Comentado 2008: Matemática
29
QUESTÃO 17
No plano complexo, a área do triângulo de vértices 2i, e
(A)
iπ
4
ee
i 3π
4
é
1
2
(B)
2
(C)
2−
(D)
2 2 −2
(E)
1
1
 2− 
2
2
1
2
Gabarito: Alternativa C
Autoria: Vera Lúcia Martins Lupinacci
Comentário:
Para resolver esta questão, é necessário o conhecimento das diversas formas
de apresentar um número complexo, da fórmula para calcular a área de um triângulo
e das operações algébricas com números reais.
Um número complexo é um número da forma x + yi , com x e y reais e
i = − 1 . Fixado um sistema de coordenadas no plano, este complexo é
representado pelo ponto P(x, y), chamado de imagem do complexo z. Como a
correspondência entre os números complexos e suas imagens é biunívoca,
identificam-se os complexos e suas imagens escrevendo z = ( x, y ) = x + yi .
Cada complexo z = x + yi , pode ser representado também pelo vetor OP ,
sendo O(0,0) e P(x, y). Indicando-se por r = z =
x 2 + y 2 , o comprimento
(módulo) do vetor OP , r ≠ 0 , e por θ o ângulo que o vetor OP forma com o sentido
positivo do eixo x.
30
Augusto Vieira Cardona et al. (Orgs.)
y
z = P(x,y) = x+yi
r
θ
x
O
Figura 1: Forma polar de um número complexo z.
Usando relações trigonométricas em um triângulo retângulo, obtém-se que
cos θ =
y
x
e senθ = , daí, z = x + yi = r cos θ + (r senθ ) i = r (cos θ + i senθ ) , que é
r
r
chamada forma trigonométrica do complexo z.
Para representar um número complexo na forma exponencial complexa, usase a fórmula de Euler: e iθ = cos θ + i senθ . Pode-se, então, escrever o complexo
z = x + yi = r (cos θ + i senθ ) = re iθ .
Por último, deve-se lembrar que a área de um triângulo é igual à metade do
produto do comprimento de qualquer uma de suas bases pelo comprimento da
altura correspondente.
Considerando os conceitos apresentados acima, conclui-se que:
iπ
i 3π
a) No plano complexo, os vértices 2i, e 4 e e 4 do triângulo identificam-se com os
2 2
2 2
pontos A(0, 2), B(
) e C( ), respectivamente.
,
,
2 2
2 2
b) Os vértices B e C estão sobre a reta de equação y =
medida do lado BC é BC =
2
, paralela ao eixo x. A
2
2 
2 
= 2.
− −
2  2 
2
) . Portanto, o
2
segmento AD é perpendicular ao lado BC e é a altura do triângulo relativa ao lado
2
BC, medindo 2 −
.
2
c) A intersecção do segmento BC com o eixo yy’ é o ponto D(0,
ENADE Comentado 2008: Matemática
31
d) Assim, a área do triângulo de vértices A, B e C será:
BC .AD
=
2
2
)
2 = 2 2 −1 = 2 2 − 1 = 2 − 1.
2
2
2
2
2
2 (2 −
Logo, a alternativa correta é a C.
Esta questão é de grau médio de dificuldade, por exigir o conhecimento da
fórmula de Euler para números complexos e o domínio das operações com
números reais.
Referências Bibliográficas:
HALLET, D. H.; et al. Cálculo. Rio de Janeiro: LTC Livros Técnicos e Científicos
Editora S. A., 1997. v. 2.
LIMA, E. L. Áreas e volumes. Rio de Janeiro: Sociedade Brasileira de Matemática,
1985.
LIMA, E. L. et al. A matemática do ensino médio. Rio de Janeiro: Sociedade
Brasileira de Matemática, 1998, (Coleção do Professor de Matemática) v.3.
32
Augusto Vieira Cardona et al. (Orgs.)
QUESTÃO 18
No anel dos inteiros módulo 12, R = /12,
(A)
não há divisores de zero.
(B)
todo elemento não-nulo é inversível.
(C) o subconjunto dos elementos inversíveis forma um subanel de R.
(D) a multiplicação não é comutativa.
(E)
há exatamente 4 elementos inversíveis.
Gabarito: Alternativa E
Autoria: Neda da Silva Gonçalves, Thaísa Jacintho Müller e Virgínia Maria
Rodrigues
Comentário:
Para resolver esta questão, são necessários os seguintes conceitos:
operações em um conjunto e suas propriedades; anéis e subanéis; máximo divisor
comum de inteiros, domínios de integridade; o anel dos inteiros módulo n,
simbolizado por n ou /n cujos elementos são denotados por 0, 1, 2,...., n − 1.
Esses conhecimentos são desenvolvidos com detalhes em Gonçalves (2003),
Santos (1998) ou Garcia e Lequain (2002).
Ao iniciar o estudo de Estruturas Algébricas, os anéis surgem com
naturalidade através dos conjuntos numéricos que são trabalhados desde o
ensino fundamental e médio. Um dos primeiros anéis que se apresenta com
características “diferentes” daquelas que fazem parte do cotidiano é o dos inteiros
módulo n. Tem-se mais de uma maneira de definir esse anel: restos da divisão
por um inteiro fixo n, o anel resultante do quociente do anel dos inteiros pelo ideal
dos múltiplos de n, o anel quociente dos inteiros por uma relação de equivalência,
etc. Conceitos que, apesar de diferentes, levam ao mesmo conjunto.
Entre os conhecimentos envolvidos nessa questão, pode-se salientar a
propriedade a seguir que é aplicada diretamente na solução:
Sejam x e n inteiros onde n ≥ 1. O mdc( x , n) = 1 se e somente se x
possui inverso multiplicativo em /n.
Como justificativa desta afirmação e usando ideias da bibliografia citada,
pode-se observar que: se mdc( x ,n) =1 então, escrevendo-o como combinação
ENADE Comentado 2008: Matemática
33
linear, existem inteiros r, s tais que x r+n.s = 1. Sabe-se, então, que xr + ns = 1, ou
seja, como ns é múltiplo de n, temos xr + 0 = 1 e, portanto, x.r = 1, demonstrando
que x é inversível. No entanto, se existe r tal que x.r = 1, tem-se que existe um
inteiro k tal que xr = nk + 1, isto é, xr + nq = 1, onde q = -k. Assim, qualquer divisor
de x e de n será divisor de 1, o que implica que mdc( x , n) =1.
Feitas essas considerações, concluiu-se que a alternativa A é falsa, pois
sabe-se que, por exemplo, 2 e 6
são divisores de zero em R. Como existem
inteiros que são divisores de 12, pela propriedade acima, tem-se elementos não
inversíveis em R, o que elimina a alternativa B. A alternativa C também não é válida,
pois 0 não é inversível e, portanto, não fará parte do conjunto citado, o que significa
que este conjunto não é um subanel de R. O anel dos inteiros módulo n é comutativo
com unidade, pois suas operações, como são definidas, herdam essas propriedades
de , o que torna a alternativa D inválida. No entanto, pela propriedade acima,
sabe-se que apenas os inteiros 1, 5, 7 e 11 são inversíveis em R, o que torna correta
a alternativa E.
A questão pode ser considerada de nível de dificuldade médio, apesar de
exigir conhecimento de diversos conceitos, pois os mesmos são amplamente
trabalhados nos Cursos de Licenciatura em Matemática.
Referências Bibliográficas:
GARCIA, A.; LEQUAIN, Y. Elementos de álgebra. Rio de Janeiro: IMPA, 2002.
GONÇALVES, A. Introdução à álgebra. Rio de Janeiro: IMPA, 2003.
SANTOS, J. P. Introdução à teoria dos números. Rio de Janeiro: IMPA, 1998.
34
Augusto Vieira Cardona et al. (Orgs.)
QUESTÃO 19
Considere g:  →  uma função com derivada
dg
contínua e f a função definida
dt
dg
(t ) dt para todo x ∈ .
0
dt
Nessas condições, avalie as afirmações que se seguem.
por f ( x ) = ∫
x
I
A função f é integrável em todo intervalo [a, b], a, b ∈ , a < b.
II
A função f é derivável e sua derivada é a função g.
II
A função diferença f - g é uma função constante.
É correto o que se afirma em
(A)
I, apenas.
(B)
II, apenas.
(C) I e III, apenas.
(D) I e III, apenas.
(E)
I, II e III.
Gabarito: Alternativa C
Autoria: Liara Aparecida dos Santos Leal
Comentário:
A questão envolve conhecimentos sobre Integral de Riemann e trata,
especificamente, de um importante resultado da Matemática: o Teorema
Fundamental do
Cálculo
(TFC). A importância deste teorema, provado
independentemente por Newton e Leibniz no século XVII, está na unificação dos
dois
conceitos
fundamentais
estudados
em
Cálculo
Diferencial
Integral,
estabelecendo a relação inversa entre as operações de integração e derivação.
O problema inverso da derivação consiste em:
Dada uma função f:[a, b] → , procurar uma função F:[a, b] → , que seja
derivável em [a, b] e tal que F ′( x ) = f ( x ) , para todo x ∈ [a, b] .
Seja f:[a, b] →  uma função integrável. Define-se F:[a, b] →  por:
x
F ( x ) = ∫ f (t )dt , para todo x ∈ [a, b] .
a
A função F assim definida é sempre contínua no intervalo [a, b], sendo f
integrável (limitada), podendo apresentar um número finito de descontinuidades. No
entanto, se a função f for contínua, então F será derivável no ponto c ∈ [a, b] e
ENADE Comentado 2008: Matemática
35
F ′(c ) = f (c ) . Neste caso, F é dita uma primitiva de f. O processo de passar de f para
F melhora, ou “amacia” as qualidades da função.
Em vista do exposto e após análise das afirmações, tem-se que:
Afirmação I: Verdadeira.
Justificativa: Sendo a derivada
dg
(t ) contínua, por hipótese, ela será limitada no
dt
intervalo fechado [0,x], para todo x ∈ [a, b] , pelo Teorema de Weierstrass:
Toda função contínua definida em um conjunto compacto (fechado e
limitado) é limitada e atinge seus extremos (máximo e mínimo).
x
Assim, a função f ( x ) =
dg
∫ dt (t )dt
está bem definida e é sempre continua, em
0
qualquer intervalo [a,b]. Logo, sendo f contínua, ela é integrável em todo intervalo [a,b].
Afirmação II: Falsa.
Justificativa: Embora f seja derivável, pelo TFC tem-se que
df
dg
(t ) =
(t ) e não
dt
dt
df (t )
= g (t ) , como afirmado.
dt
Afirmação III: Verdadeira.
Justificativa: Como
dg
df
dg
(t ) .
(t ) =
(t ) , ambas as funções f e g são primitivas de
dt
dt
dt
Portanto, as funções f e g diferem por uma constante, isto é:
df (t ) dg (t )
df (t ) dg (t )
d (f − g )(t )
=
⇒
−
=0⇒
= 0 ⇒ f − g = C , com C constante.
dt
dt
dt
dt
dt
Conclui-se que é correto o que se afirma em I e III, apenas, o que indica que a
resposta certa corresponde à alternativa C.
O grau de dificuldade da questão é considerado médio, já que envolve
conceitos bem conhecidos do Cálculo Diferencial ainda que numa abordagem de
Análise Matemática.
Referências Bibliográficas:
FIGUEIREDO, D. G. Análise I. Rio de Janeiro: Instituto de Matemática Pura e
Aplicada – IMPA; Brasília: Ed. Universidade de Brasília, 1975.
LIMA, E. L. Curso de Análise. Rio de Janeiro: Instituto de Matemática Pura e
Aplicada – IMPA, 1987. v.1.
SIMMONS, G. F. Cálculo com geometria analítica. São Paulo: McGraw-Hill, 1987. v.1.
36
Augusto Vieira Cardona et al. (Orgs.)
QUESTÃO 20
Para cada número real x, considere o conjunto Cx formado por todos os números
obtidos somando-se a x um número racional, isto é,
Cx = {x + r : r ∈ }.
Sob essas condições, conclui-se que
(A)
o número π pertence ao conjunto C1.
(B)
o conjunto C4 ∩ C5 possui um único elemento.
(C) o número
2 pertence ao conjunto C 3 .
(D) os conjuntos C3 e C1/3 são iguais.
(E)
o número zero pertence ao conjunto Cπ ∪ C−π .
Gabarito: Alternativa D
Autoria: Liara Aparecida dos Santos Leal
Comentário:
A compreensão da questão implica no conhecimento da Teoria dos Conjuntos e,
principalmente, das propriedades básicas dos números racionais, irracionais e reais.
Segundo Ripoll, Ripoll e Silveira (2006), enquanto no Ensino Médio os
números naturais, inteiros e racionais são bastante estudados, os irracionais são
tratados de forma muito superficial e, muitas vezes, de forma errônea. Na opinião
dos autores, “o estudo dos irracionais é essencial e, sob alguns aspectos, até muito
mais importante do que o estudo dos racionais” (p. 174).
Em breve introdução sobre a Teoria dos Conjuntos, Ávila (2006) apresenta as
ideias desenvolvidas por Cantor, por volta de 1872, estabelecendo a superioridade
dos números irracionais em relação aos números racionais, pelo menos em termos
de “quantidade”. Cantor provou que a infinitude dos números irracionais é muito
maior que aquela dos racionais, já que estes admitem uma correspondência
biunívoca com os números naturais, enquanto que não é possível definir uma
bijeção entre o conjunto dos irracionais e o dos naturais, comprovando que o infinito
dos números irracionais é maior do que o dos números racionais.
Considerando o conjunto Cx = {x + r : r ∈ }, para cada número real x, pode-se
afirmar que:
ENADE Comentado 2008: Matemática
37
(1) Cx = , para cada número racional x. Com efeito, Cx ⊂ , pois, sendo x racional,
os elementos de Cx serão todos racionais, ou seja, (x + r) ∈ , ∀r ∈ ;  ⊂ Cx, pois
todo número racional pode ser escrito na forma (x + r), ∀r ∈ .
(2) Se x não for racional, os elementos de Cx serão todos irracionais, pois
(x + r) ∉ , ∀r ∈ .
Em vista disso, pode-se afirmar que:
a) a alternativa A é falsa: C1 consiste apenas de elementos racionais, pois C1 é igual
a  e π é um número irracional.
b) a alternativa B é falsa: o conjunto C4  C5 possui infinitos elementos, pois cada
conjunto é igual a .
c) a alternativa C é falsa: o número
2 ∉ C 3 , pois
2 ≠ ( 3 + r ) , ∀r ∈ .
d) a alternativa D é verdadeira: os conjuntos C3 e C1/3 são ambos iguais a .
e) a alternativa E é falsa: tem-se que 0 = π + ( −π ) e, portanto, o número 0 não
pertence a Cπ , nem a C− π .
Conclui-se, então, que apenas a alternativa D é verdadeira.
Embora o assunto seja objeto de estudo desde o ensino fundamental,
considera-se médio o grau de dificuldade desta questão, pois a forma como ela está
formulada, a linguagem formal e a compreensão da estrutura dos conjuntos
numéricos, exigem um nível de conhecimento mais elaborado.
Referências Bibliográficas:
ÁVILA, G. S. S. Análise matemática para a licenciatura. 3. ed. São Paulo: Edgard
Blucher, 2006.
RIPOLL, J. B.; RIPOLL, C. C.; SILVEIRA, J. F. P. Números racionais, reais e
complexos. Porto Alegre: Editora da UFRGS, 2006.
38
Augusto Vieira Cardona et al. (Orgs.)
QUESTÃO 21
Para que valores de k e m o polinômio P(x) = x3 – 3x2 + kx + m é múltiplo de
Q(x) = x2 – 4?
(A)
k = -4 e m = 12
(B)
k = -3 e m = -4
(C) k = -3 e m = -12
(D) k = -4 e m = -3
(E)
k = -2 e m = 2
Gabarito: Alternativa A
Autoria: Neda da Silva Gonçalves e Virgínia Maria Rodrigues
Comentário:
Como os polinômios apresentados, P(x) e Q(x), têm coeficientes reais, para
resolver esta questão, são necessários os conhecimentos de anel de polinômios sobre
um corpo e sistemas lineares. Um trabalho mais aprofundado sobre polinômios pode
ser encontrado em Gonçalves (2003) ou Garcia e Lequain (2002). Os sistemas
lineares de duas variáveis são trabalhados a partir do Ensino Fundamental.
Como P(x) é um polinômio múltiplo de Q(x) = x2 - 4 e Q(x) tem raízes -2 e 2
em , então P(-2) = 0 e P(2) = 0. Assim, ao efetuar a substituição do -2 e do 2 nesse
polinômio, chega-se às equações:
2k + m = 4,
-2k + m = 20,
o que leva, facilmente, ao resultado k = -4 e m = 12. Portanto, a alternativa A é
a correta.
A questão pode ser considerada fácil, pois envolve um assunto bastante
trabalhado desde o ensino fundamental e, também, em diversas disciplinas do curso
de Licenciatura em Matemática.
Referências Bibliográficas:
GARCIA, A.; LEQUAIN, Y. Elementos de álgebra. Rio de Janeiro: IMPA, 2002.
GONÇALVES, A. Introdução à álgebra. Rio de Janeiro: IMPA, 2003.
ENADE Comentado 2008: Matemática
39
QUESTÃO 22
Uma transformação linear T: 2 → 2 faz uma reflexão em relação ao eixo
horizontal, conforme mostrado na figura a seguir.
y
2
u
2
0
2
6 x
T (u )
2
Essa transformação T
(A)
é dada por T(x, y) = (-x, y).
(B)
tem autovetor (0, -1) com autovalor associado igual a 2.
(C) tem autovetor (2, 0) com autovalor associado igual a 1.
(D) tem autovalor de multiplicidade 2.
(E)
não é inversível.
Gabarito: Alternativa C
Autoria: Vera Lúcia Martins Lupinacci
Comentário:
Para analisar a questão, é necessário o conhecimento dos conceitos de
transformação linear, operador linear e suas propriedades, matriz de uma
transformação linear e suas propriedades, operador linear inversível e, ainda,
autovalores e autovetores de um operador linear.
Se T: V → W é uma função de um espaço vetorial V em outro espaço vetorial
W, então T é chamada uma transformação linear de V em W se, para quaisquer
vetores u e v em V e qualquer escalar c valem:
a. T(u + v) = T(u) + T(v),
b. T(cv) = cT(v).
No caso especial em que V = W, a transformação linear é chamada um
operador linear de V. Em particular, considere os operadores lineares no plano
40
Augusto Vieira Cardona et al. (Orgs.)
2 = {(x, y); x, y ∈ }, ou seja, as transformações lineares T: 2 → 2. Como
exemplo, tem-se a reflexão em torno do eixo dos x. Essa transformação linear leva
cada ponto (x, y) para a sua imagem (x, -y), simétrica em relação ao eixo dos xx’ e é
a transformação linear apresentada nesta questão. A matriz deste operador linear na
base canônica é
[T ] = 
1 0
,
0 − 1
pois
 x  1 0   x   x 
T ( x, y ) = [T ] ⋅   = 
 ⋅   =   = ( x,− y ) .
 y  0 − 1  y  − y 
O operador linear T: V → V , que associa a cada v ∈ V um vetor T(v) ∈ V, é
dito inversível, se existir outro operador linear S: V→ V , que a cada vetor
transformado T(v), associe o vetor de partida v. O operador inverso é indicado por
T-1. Um operador linear será inversível, se sua matriz for inversível.
Tem-se, também que um vetor não nulo v ∈ V é autovetor do operador linear
T: V → V , se existir α ∈  tal que T(v) = α v. O número real α é denominado
autovalor de T associado ao autovetor v.
Considerando os conceitos apresentados acima e o conhecimento de
algumas propriedades que se referem a eles, conclui-se que:
a) A alternativa A não é verdadeira. O operador linear T: 2 → 2 apresentado na
questão indica que T(4,2) = (4,-2), enquanto que o operador dado na alternativa A,
T(x,y) = (-x,y) resultaria em T(4,2) = (-4,2).
b) A alternativa E é falsa. A matriz [ T ] é inversível e sua inversa é igual a [ T ], ou
seja, o operador linear T é inversível e seu operador inverso é ele mesmo.
c) Para identificar dentre as alternativas B, C e D qual é a verdadeira, é necessário
obter os autovalores e autovetores de T. De acordo com a definição de autovetor,
tem-se: T(x, y) = α(x, y), para (x, y) ≠ (0, 0) , o que implica (x, - y) = (α x, α y). Por
comparação, tem-se o sistema x – α x = 0 e -y - α y = 0. Usando a forma matricial
para escrever esse sistema, obtém-se
1 − α
 0

0   x  0
.
=
− 1 − α   y  0
ENADE Comentado 2008: Matemática
41
Como o sistema é homogêneo, para obter uma solução não nula, é
1 − α
necessário que o determinante da matriz dos coeficientes 
 0
0 
seja igual
− 1 − α 
a zero, ou seja,
 1 − α
det  
 0

 =0,
− 1 − α  
0
e, consequentemente, (1 − α )( −1 − α ) = 0 , obtendo-se α = 1 ou α = -1, que são os
únicos autovalores de T de multiplicidade 1. Portanto, justifica-se que as alternativas
B e D são falsas.
d) A alternativa correta é a C, pois o conjunto dos autovetores de T associados ao
autovalor 1 é formado pelos vetores que satisfazem a condição (x, -y) = (x, y), ou
seja, os vetores da forma (x, 0), para x ≠ 0 . Tem-se que o vetor (2,0) é autovetor
associado a autovalor 1.
Esta questão pode parecer difícil, por exigir conhecimento de diversos
conceitos e propriedades dos operadores lineares, principalmente os conceitos de
autovalores e autovetores e resolução de sistemas homogêneos. No entanto,
observa-se que, se o candidato souber calcular autovalores e autovetores de um
operador linear no plano, imediatamente escolhe a alternativa correta, sem a análise
das alternativas A e E, que apresentam outros conceitos referentes às
transformações lineares. Além disso, com o entendimento da reflexão de vetores e
do conceito de autovalores e autovetores, por eliminação, é possível chegar à
alternativa correta.
Referências Bibliográficas:
ANTON, H.; RORRES, C. Álgebra linear com aplicações. 8. ed. Porto Alegre:
Bookman, 2001.
WINTERLE, P.; STEINBRUCH, A. Álgebra linear. 2. ed. São Paulo: Pearson
Makron Books, 1987.
42
Augusto Vieira Cardona et al. (Orgs.)
QUESTÃO 23
Considere o sistema de equações a seguir.
 x + y +z =1

2 x + 2y + 2z = 4 .
3 x + 3 y + 4z = 5

Analise as asserções seguintes relativas à resolução desse sistema de equações
lineares.
O sistema não tem solução
porque
o determinante da matriz dos coeficientes é igual a zero.
A respeito dessa afirmação, assinale a opção correta.
(A)
As duas asserções são proposições verdadeiras e a segunda é uma
justificativa correta da primeira.
(B)
As duas asserções são proposições verdadeiras, mas a segunda não é uma
justificativa correta da primeira.
(C) A primeira asserção é uma proposição verdadeira, e a segunda é falsa.
(D) A primeira asserção é uma proposição falsa, e a segunda é verdadeira.
(E)
Ambas as asserções são proposições falsas.
Gabarito: Alternativa B
Autoria: Francisco Alberto Rheingantz Silveira
Comentário:
Para analisar a questão, é necessário o conhecimento de matrizes e técnicas
para resolver sistemas de equações lineares.
x + y + z = 1

Para resolver o sistema proposto 2 x + 2y + 2z = 4 , usa-se a Regra de Cramer.
3 x + 3 y + 4z = 5

A solução de um sistema de equações lineares com n equações e n
incógnitas A X = B, em que A representa a matriz dos coeficientes, B a matriz dos
termos independentes e X a matriz das variáveis (incógnitas) é dada pela fórmula
ENADE Comentado 2008: Matemática
43
xi =
∆X i
, sendo ∆ = det(A) (determinante da matriz A) e ∆X i é o determinante da
∆
matriz Xi obtida pela substituição da i-ésima coluna de A pelos valores do vetorcoluna B. Sabe-se que:
a. Se ∆ ≠ 0 , o sistema é possível e determinado.
b. Se ∆ = 0 e ∆X i = 0 para todo i = 1, ... , n, o sistema é possível e indeterminado.
c. Se ∆ = 0 e ∆X i ≠ 0 para algum i, i = 1, ... , n, o sistema é impossível.
Desta forma:
 1 1 1
A matriz A = 2 2 2 tem ∆ = det (A) = 0.
3 3 4
 1 1 1
A matriz X 1 = 4 2 2 tem ∆X 1 = −4 ≠ 0 .
5 3 4
De acordo com o item 3, o sistema não tem solução e a resposta correta é a
da alternativa B: as duas asserções são proposições verdadeiras, mas a segunda
não é uma justificativa correta da primeira.
Esta questão é considerada fácil, pois sua elaboração envolve conceitos
trabalhados desde a Educação Básica.
Referências Bibliográficas:
ANTON, H.; RORRES, C. Álgebra linear com aplicações. 8. ed. Porto Alegre:
Bookman, 2001.
CARAKUSHANSKY, M. S.; LAPENHA, G. Introdução à álgebra linear. São Paulo:
McGraw-Hill do Brasil, 1976.
44
Augusto Vieira Cardona et al. (Orgs.)
QUESTÃO 24
Considere que Q1 = {r1, r2, r3, ...} seja uma enumeração de todos os números
racionais pertencentes ao intervalo [0, 1] e que, para cada número inteiro i ≥ 1, Ii
1
1 

denote o intervalo aberto  ri − i + 2 , ri + i + 2  , cujo comprimento é li. Qual é a soma
2
2 

∞
da série
∑l
i =1
(A)
1
3
(B)
1
2
(C)
2
3
(D)
3
4
(E)
5
4
i
?
Gabarito: Alternativa B
Autoria: Maria Beatriz Menezes Castilhos
Comentário:
Apesar de, no enunciado inicial da questão, ser sugerido um conhecimento
sobre conjuntos enumeráveis e a densidade do conjunto dos racionais em ,
para resolvê-la, bastam os conceitos relativos a comprimento de um intervalo e a
série geométrica.
Ao usar-se a linguagem geométrica, um intervalo [a,b] pode ser
interpretado como o segmento de reta cujos extremos são os pontos a e b.
Portanto, o comprimento do intervalo [a,b] é o comprimento do segmento
ab, b – a. Igualmente, o comprimento do intervalo (a, b) é b – a, uma vez que, ao
serem retiradas as duas extremidades do intervalo, está-se subtraindo um
conjunto de dimensão zero.
ENADE Comentado 2008: Matemática
45
∞
∑ ar
A série geométrica
n −1
= a + ar + ar 2 + . . . é convergente se |r| < 1 e sua
n =1
∞
soma é
∑ ar
n −1
=
n =1
a
.
1− r
∞
É solicitado que se calcule a soma
∑l
i =1
(ri −
i
, sendo li o comprimento do intervalo
1
1
, ri + i + 2 ) . Considerando-se os conceitos apresentados acima, chega-se a
i +2
2
2
l i = (ri +
1
1
1
1
1
1
2
1
) − (ri − i + 2 ) = ri + i + 2 − ri + i + 2 = i + 2 + i + 2 = i + 2 = i +1
i +2
2
2
2
2
2
2
2
2
de forma que:
∞
∞
1
∑l = ∑ 2
i
i =1
i =1
i +1
=
1
1
1
1
1 1 1 1
+ 3 + 4 + ... = 2 + 2 . + 2 . 2 + ... =
2
2
2
2
2
2 2 2 2
2
1
1  1 1  1
= 2 + 2 .  + 2 .  + . . .
2
2 2 2 2
1
1
1
e primeiro termo a = 2 = . Como a razão
2
2
4
é uma série geométrica de razão r =
tem módulo menor do que um, sua soma pode ser calculada por:
∞
∞
1
∑l = ∑ 2
i =1
i
i =1
i +1
1
4
=
1−
1
2
=
1
1
= .
4−2 2
A soma ainda pode ser obtida de forma muito rápida, se, uma vez sabendo-se
que a série é convergente, o fator 1/4 for posto em evidência, resultando em:
∞
∞
1
∑l = ∑ 2
i =1
i
i =1
i +1
=
1 1
1
1
1
1
1
1
+ 3 + 4 + . . . = (1 + + 2 + . . .) = .2 = ,
2
2 2
2
4
4
2
2
2
em que a soma dos infinitos termos de 1 +
1 1
+
+ . . . é de fácil obtenção, podendo2 22
se, para isso, utilizar uma interpretação geométrica, sendo que cada parcela
adicionada é metade do que falta para o total chegar a dois. Considera-se
importante, na resolução de problemas, a habilidade de visualizar um caminho mais
simples de chegar à solução. Entretanto, a definição do conjunto Q1 como uma
enumeração dos racionais do intervalo [0, 1], confunde o resolutor, remetendo-o a
assuntos que não serão necessários para a escolha da alternativa correta.
46
Augusto Vieira Cardona et al. (Orgs.)
Assim, conclui-se que a alternativa B está correta e que:
a) a alternativa A está errada, mas este valor seria obtido se o valor da razão fosse
considerado, indevidamente, igual a 1/4;
b) a alternativa C está errada, mas este valor seria obtido se, erroneamente, fossem
trocados os valores da razão e do primeiro termo;
c) as alternativas D e E estão erradas, mas poderiam ter sido escolhidas, pelo
denominador da soma ser 4, que é divisor dos denominadores de todos os termos
da série;
d) a alternativa B está correta.
Entende-se que esta questão é razoavelmente fácil, por exigir, basicamente, o
conhecimento de dois conceitos: comprimento de um intervalo e soma da série
geométrica.
Referências Bibliográficas:
LIMA, E. L. Curso de análise. 4.ed. Rio de Janeiro: IMPA,1982.
STEWART, J. Cálculo. 5.ed. São Paulo: Pioneira Thomson Learning, 2006.
ENADE Comentado 2008: Matemática
47
QUESTÃO 25
O projeto de construção de uma peça de artesanato foi realizado utilizando-se um
software geométrico que permite interceptar um tetraedro regular com planos. A figura
a seguir mostra o tetraedro RSTU e três pontos M, N e P do plano α de interseção.
R
M
U
N
S
P
T
Sabendo que M, N e P são pontos médios de SR, SU e ST, respectivamente, e que
o tetraedro RSTU tem volume igual a 1, avalie as seguintes afirmações.
I
O volume da pirâmide SMNP é igual 1/2.
II
A interseção do plano α com o tetraedro é um paralelogramo.
III
As retas que contêm as arestas MP e RU são reversas.
É correto o que se afirma em
(A)
I, apenas.
(B)
III, apenas.
(C) I e II, apenas.
(D) II e III, apenas.
(E)
I, II e III.
Gabarito: Alternativa B
Autores: Augusto Vieira Cardona e Gertrudes Regina Todeschini Hoffmann
Comentário:
Para analisar esta questão, necessita-se de conceitos básicos de geometria,
tais como retas perpendiculares e reversas, triângulo, paralelogramo, pirâmide,
tetraedro regular, volume e aresta, bem como as propriedades que os envolvem.
Estes conceitos e propriedades são encontrados em livros da Educação Básica ou
de Geometria, dentre os quais podem ser citados: Hemmerling (1971), Jurgensen,
Donnely e Dolciani (1985) e Moise e Downs Jr. (1966).
48
Augusto Vieira Cardona et al. (Orgs.)
Um paralelogramo é um quadrilátero cujos lados opostos são paralelos. Um
polígono é dito regular, se todos os seus lados e todos os seus ângulos são
congruentes. Uma pirâmide é um poliedro com uma face, chamada base, que é um
polígono e as outras faces são triângulos que se encontram em um ponto comum,
chamado vértice da pirâmide. A altura da pirâmide é o comprimento da
perpendicular baixada do vértice ao plano que contém a base. Uma pirâmide é dita
regular, se tem como base um polígono regular e a altura desde o vértice é
perpendicular à base em seu centro. Uma pirâmide cuja base também é um
triângulo, como mostra a figura acima, chama-se tetraedro. O volume de uma
pirâmide é igual a um terço do produto de sua altura h pela área da base Ab , isto é
V=
hAb
(1). A altura de um tetraedro regular é igual a
3
do comprimento da aresta a , isto é h =
(base do tetraedro) é igual a
6 multiplicada por um terço
6a
(2). A área de um triângulo equilátero
3
3 multiplicada por um quarto do quadrado do
comprimento da aresta a , isto é A =
3a 2
(3). Desta forma, sendo a a medida da
4
aresta de um tetraedro regular, por (1), (2) e (3) seu volume será igual a V =
2 3
a .
12
Duas pirâmides regulares são ditas semelhantes, se suas bases são
polígonos semelhantes e se suas alturas estão na mesma razão que as arestas
correspondentes das bases. Dois polígonos são semelhantes, se seus ângulos
correspondentes são iguais e seus lados correspondentes são proporcionais.
Quando duas retas no espaço não estão contidas no mesmo plano (o que
necessariamente implica em que elas não têm ponto comum), elas são chamadas
de retas reversas.
Considerando os conceitos apresentados acima, conclui-se que:
a) As pirâmides RSTU e SMNP são semelhantes, pois os triângulos da base, SNP e
SUT, são semelhantes (
SN SP 1
=
= e NSˆ P = USˆ T ), pelo teorema:
SU ST
2
ENADE Comentado 2008: Matemática
49
Seja dada uma correspondência entre dois triângulos. Se dois pares de
lados correspondentes são proporcionais e os ângulos compreendidos
são congruentes, então estes triângulos são semelhantes.
E suas alturas estão na mesma razão do que as arestas das bases



 6a


 3 = 1.

a 2

 6
2



 3
Sendo o volume da pirâmide RSTU igual a 1, e as arestas da pirâmide SMNP
medindo a metade das arestas da pirâmide RSTU, então, pelo teorema:
Os volumes de duas pirâmides regulares semelhantes estão na mesma
razão que os cubos das arestas de suas bases ou de suas alturas,
o volume do tetraedro SMNP é 1/8, ou seja, a afirmação I é falsa.
Este resultado, também, poderia ser obtido utilizando a fórmula do volume
de um tetraedro regular, apresentada acima. Como o volume do tetraedro RSTU
é igual a 1, tem-se que:
2 3
a = 1 ⇒ a3 = 6 2 ⇒ a = 2
12
3
3
e, como a aresta a1 de SMNP é a metade de a, ou seja, a1 =
3
2 3
2  2 3 3 
volume de SMNP será igual a
a1 =
=
12
12  2 
3
2
3
2
, tem-se que o
( 2) ( 3)
4
3
3
3
12(2)
=
1
4x3
= ,
12 x 8 8
mostrando, também, que a afirmação I é falsa.
b) A intersecção do plano α com o tetraedro RSTU é o triângulo MNP e não
um paralelogramo, portanto a afirmação II é falsa. Para demonstrar isto, usa-se o
seguinte teorema:
Toda seção transversal de uma pirâmide triangular, entre a base e o vértice,
é uma região triangular semelhante à base,
sendo que uma seção transversal de uma pirâmide é a intersecção desta pirâmide com
um plano paralelo ao plano que contém a sua base. Resta mostrar que o plano α é
50
Augusto Vieira Cardona et al. (Orgs.)
paralelo ao plano β, que contém os pontos R, U e T. Para tanto, consideram-se os
seguintes teoremas, que garantem o paralelismo destes dois planos:
O segmento entre os pontos médios de dois lados de um triângulo é
paralelo ao terceiro lado e tem a metade de seu comprimento,
resultando que NP e NM são paralelos a UT e UR, respectivamente;
Um plano α e uma reta r não contida em α são paralelos se, e somente
se, existe uma reta s paralela a r e contida em α,
resultando que as retas que contém NP e NM são paralelas ao plano β;
Se um plano α é paralelo a duas retas concorrentes contidas em um
plano β, então α e β são planos paralelos,
resultando que os planos α e β são paralelos.
c) Como foi mostrado acima, o plano α é paralelo ao plano β. As retas que contém as
arestas MP e RU estão contidas nos planos α e β, respectivamente. Portanto, as retas
que contém as arestas MP e RU são reversas, sendo a afirmação III verdadeira.
Com base no exposto acima, a alternativa correta é a B, pois, apenas a
afirmação III é verdadeira.
Esta questão pode ser considerada de nível de dificuldade médio, pois
envolve diversos conceitos e teoremas de geometria plana e espacial e, para
justificar a veracidade das afirmações, é necessário relacioná-los.
Referências Bibliográficas:
CARVALHO, B. A. Desenho geométrico. Rio de Janeiro: Ao livro técnico, 1982.
HEMMERLING, E. M. Geometria elemental. Buenos Aires: Ed. Limusa Wiley, 1971.
JURGENSEN, R. C.; DONNELY, A. J.; DOLCIANI, M. P. Geometria moderna:
estructura y método. México: Publicaciones Cultural, 1985.
MOISE, E. E.; DOWNS Jr., F. L. Geometría moderna. Reading: Addison – Wesley,
1966.
ENADE Comentado 2008: Matemática
51
QUESTÃO 26
Analisando a função f(x, y) = x2(x - 1) + y(2x - y), definida no domínio
D = {(x, y) ∈ 2; -1 ≤ x ≤ 1, -1 ≤ y ≤ 1}, um estudante de cálculo diferencial escreveu
o seguinte:
A função f tem um ponto de mínimo global em D
porque
o ponto (0, 0) é um ponto crítico de f.
A respeito da afirmação feita pelo estudante, assinale a opção correta.
(A)
As duas asserções são proposições verdadeiras, e a segunda é uma
justificativa correta da primeira.
(B)
As duas asserções são proposições verdadeiras, mas a segunda não é uma
justificativa correta da primeira.
(C) A primeira asserção é uma proposição verdadeira, e a segunda é falsa.
(D) A primeira asserção é uma proposição falsa, e a segunda é verdadeira.
(E)
Ambas as asserções são proposições falsas.
Gabarito: Alternativa B
Autoria: Maria Beatriz Menezes Castilhos
Comentário:
A resolução da questão implica no conhecimento de derivadas parciais e sua
aplicação na determinação de extremos de uma função. Além disso, é necessário ter
noções de topologia e do Teorema de Weierstrass para funções de duas variáveis.
Os conceitos de topologia envolvidos na questão incluem as definições de
conjunto fechado, aquele que inclui todos os seus pontos de fronteira, e de conjunto
limitado, aquele que está contido em algum disco. Um disco de centro em (a,b) e raio
r > 0 é o conjunto dos pontos (x,y) de 2, cuja distância até (a,b) é menor do que r.
O conjunto D, da questão, é fechado, pois contém sua fronteira, constituída
pelos segmentos
[x = -1 , -1 < y < 1], [x = 1 , -1 < y < 1], [y = -1 , -1 < x < 1] e [y = 1 , -1 < x < 1].
Também podemos afirmar que D é limitado, pois está contido no disco de centro na
origem e raio 2, por exemplo.
52
Augusto Vieira Cardona et al. (Orgs.)
Uma função real f de duas variáveis atinge um mínimo local, em um ponto
(a,b) de seu domínio, se f(a,b) < f(x,y) para todo ponto (x,y) do domínio de f que
estiver em um disco de centro em (a,b). Por outro lado, se a desigualdade vale para
todos os pontos (x,y) do domínio de f, a função atinge o mínimo global (ou absoluto)
em (a,b). Um ponto (x0,y0) é um ponto crítico de f se fx(x0, y0) = 0 e fy(x0, y0) = 0, ou
se uma das derivadas parciais não estiver definida em (x0,y0).
A função f(x,y) da questão é polinomial, portanto é contínua e tem derivadas
parciais contínuas, sendo
fx(x,y) = 2x(x – 1) + x2 + 2y = 2x2 – 2x + x2 + 2y = 3x2 – 2x + 2y
e
fy(x,y) = (2x – y) – y = 2x – 2y.
Como fx(0,0) = 0 e fy(0,0) = 0, tem-se que (0,0) é um ponto crítico de f, o que
mostra que a segunda asserção é verdadeira. Porém, uma vez que não é válida a
recíproca do teorema:
Se uma função f tem um máximo ou mínimo local em (a,b) e as derivadas
parciais de primeira ordem de f existem nesse ponto, então fx(a,b) = 0 e
fy(a,b) = 0
essa asserção não justifica a primeira.
Por outro lado, um subconjunto K de n (em particular de 2) é compacto,
quando
ele
é
limitado
e
fechado.
Como
já
foi
constatado
que
D = {(x, y) ∈ 2; -1 < x < 1, -1 < y < 1} é fechado e limitado, então ele é compacto.
Juntando-se a isso o fato de f ser contínua, tem-se as hipóteses do teorema de
Weierstrass:
Toda função real contínua f: K → , definida, num compacto K ⊂ n,
atinge seu máximo e seu mínimo em K, isto é, existem pontos x0, x1 ∈ K
tais que f(x0) < f(x) < f(x1) para qualquer x ∈ K
que garante que f atinge o mínimo (e o máximo) global em D. Isso mostra que a
primeira asserção é verdadeira.
Considerando os conceitos e resultados apresentados acima, e a afirmação: a
função f tem um ponto de mínimo global em D, porque o ponto (0, 0) é um ponto
crítico de f, conclui-se que:
ENADE Comentado 2008: Matemática
53
a) a alternativa A está errada, pois, embora sejam verdadeiras as duas asserções, o
que justifica a primeira é o teorema de Weierstrass e não a segunda asserção;
b) a alternativa C está errada porque a segunda asserção é verdadeira;
c) a alternativa D está errada, porque a primeira asserção é verdadeira;
d) a alternativa E está errada porque as asserções são ambas verdadeiras;
e) a alternativa B está correta.
Entende-se que esta questão é de nível de dificuldade médio, pois envolve
dois tipos de habilidades, a aplicação de conceitos e a relação entre eles. Além de
conhecer as definições de mínimo global e ponto crítico, o resolvente precisa
reconhecer propriedades, tanto na função quanto no conjunto apresentados, para,
apropriado dos resultados a respeito do assunto, decidir qual deles – neste caso, o
teorema de Weierstrass – se aplica à situação apresentada. Porém, o trabalho com
otimização é muito enfatizado nas disciplinas de Cálculo, o que torna o aluno
familiarizado com o tema.
Referências Bibliográficas:
LIMA, E. L. Curso de análise. Rio de Janeiro: IMPA, 1981.
STEWART, J. Cálculo. 5.ed. São Paulo: Pioneira Thomson Learning, 2006.
54
Augusto Vieira Cardona et al. (Orgs.)
QUESTÃO 27
Qual é o resto da divisão de 2334 por 23?
(A)
2
(B)
4
(C) 8
(D) 16
(E)
20
Gabarito: Alternativa D
Autoria: Neda da Silva Gonçalves e Virgínia Maria Rodrigues
Comentário:
Para analisar a questão, são necessários os seguintes conceitos: congruência
módulo n, anel dos inteiros módulo n e o Pequeno Teorema de Fermat.
Considerando as operações em /n, será usada na resolução da questão,
a seguinte propriedade:
Sejam a e b dois números inteiros tais que a ≡ b (mod n) e k um número
natural não nulo. Então ak ≡ bk (mod n).
A prova dessa propriedade é feita a seguir, usando indução matemática e
também a propriedade: a ≡ b (mod n) e c ≡ d (mod n) ⇒ ac ≡ bd (mod n),
∀ a, b, c, d ∈ .
Observa-se que se k = 1 a afirmação é óbvia.
Supõe-se, então, que a afirmação seja válida para algum inteiro q ≥ 1, isto é:
se a ≡ b (mod n) então aq ≡ bq (mod n). Assim decorrendo, se a ≡ b (mod n), obtémse aq ≡ bq (mod n) e, consequentemente, aqa ≡ bq b (mod n). Portanto,
aq+1 ≡ bq+1 (mod n), demonstrando a validade do resultado.
Usa-se, também, o Pequeno Teorema de Fermat:
Seja p um número primo. Então x p −1 ≡ 1(mod p ), ∀ x ∈  – (p) ou,
equivalentemente, x p −1 ≡ 1, ∀ x ∈ p - { 0 }.
Pode-se encontrar uma prova detalhada deste teorema em Garcia e Lequain
(2002, p. 101 e 134) ou Santos (1998, p. 41).
Observe que 334 = 15. 22 + 4.
ENADE Comentado 2008: Matemática
55
Procura-se o resto da divisão por 23, que é um número primo. Assim, como
2 ≠ 0 em 23, pelo Pequeno Teorema de Fermat, obtém-se que 222 ≡ 1(mod 23).
Aplicando a propriedade acima tem-se (222)15 ≡ 115(mod 23), isto é, 2330 ≡ 1(mod 23).
Pode-se, então, concluir que 2330.24 ≡ 1.24(mod 23) e, portanto, 2334 ≡ 16(mod 23).
Então, o resto solicitado será 16 e a alternativa correta é a D.
Esta questão apresenta um grau de dificuldade médio, já que pode ser
resolvida por tentativas uma vez que se pode chegar ao número 22 sem usar o
teorema. No entanto, se esse número fosse maior, a solução por tentativa
apresentaria uma dificuldade bem maior.
Referências Bibliográficas:
GARCIA, A.; LEQUAIN, Y. Elementos de álgebra. Rio de Janeiro: IMPA, 2002.
SANTOS, J. P. Introdução à teoria dos números. Rio de Janeiro: IMPA, 1998.
56
Augusto Vieira Cardona et al. (Orgs.)
QUESTÃO 28 – DISCURSIVA
Os gráficos abaixo mostram informações a respeito da área plantada e da
produtividade das lavouras brasileiras de soja com relação às safras de 2000 a 2007.
Com base nessas informações, resolva o que se pede nos itens a seguir e transcreva
suas respostas para o Caderno de Respostas, nos locais devidamente indicados.
a) Considerando I = área plantada (em milhões de ha), II = produtividade (em kg/ha)
e III = produção total de soja (em milhões de toneladas), preencha a tabela abaixo.
ano
2000
2001
2002
2003
2004
2005
2006
2007
I
II
III
b) Faça o esboço do “gráfico de linhas” que representa a quantidade de quilogramas de
soja produzidos no Brasil, em milhões de toneladas, no período de 2000 a 2007. Nomeie
as variáveis nos eixos de coordenadas e dê um título adequado para seu gráfico.
Autoria: Augusto Vieira Cardona
Comentário:
a) Analisando a figura acima, os valores da coluna I e II são retirados, respectivamente,
dos gráficos localizados à esquerda e à direita. Os valores da coluna III são obtidos,
ENADE Comentado 2008: Matemática
57
multiplicando-se os valores das colunas I e II, para cada ano, resultando a produção
total de soja (em milhões de kg), e dividindo este resultado por mil.
Tabela 1: A área plantada, produtividade e produção total de soja.
ano
2000
2001
2002
2003
2004
2005
2006
2007
I
13,6
14
16,4
18,5
21,5
23
22
21
II
2.400
2.700
2.500
2.800
2.300
2.200
2.500
2.800
III
32.640
37.800
41.000
51.800
494.50
50.600
55.000
58.800
b) O gráfico ilustrado na figura 1 apresenta alguns valores da tabela acima, sendo
que no eixo das abscissas tem-se os anos, e no eixo das ordenadas são colocados
os valores da coluna III para o ano respectivo.
Figura 1: Produção anual de soja no Brasil.
Esta questão é fácil, já que pode ser resolvida a partir da leitura de gráficos e
de operações elementares.
Referência Bibliográfica:
IMENES, L. M.; LELLIS, M. Matemática: 6ª Série. São Paulo: Ed. Scipione, 1997.
58
Augusto Vieira Cardona et al. (Orgs.)
QUESTÃO 29 – DISCURSIVA
Considere a seqüência numérica definida por
a1 = a
a n +1 = a + a n , para n = 1, 2, 3, ...
Usando o princípio de indução finita, mostre que a n < a para todo n ≥ 1 e a ≥ 2. Para
isso, resolva o que se pede nos itens a seguir e transcreva suas respostas para o
Caderno de Respostas, nos locais devidamente indicados.
a) Escreva a hipótese e a tese da propriedade a ser demonstrada.
b) Prove que a(a - 1) > 0 para a ≥ 2.
c) Mostre que
a < a para todo a ≥ 2.
d) Supondo que a n < a , prove que a n +1 < 2a .
e) Mostre que a n +1 < a .
f) A partir dos passos anteriores, conclua a prova por indução.
Autoria: Maria Beatriz Menezes Castilhos
Comentário:
Os principais conceitos envolvidos na resolução desta questão são relativos à
definição de sequências por recorrência, ou sequências recorrentes, e à indução finita.
A questão também avalia a habilidade de utilizar corretamente a escrita formal em
Matemática, bem como a organização lógica do aluno, ao solicitar que se destaque
hipótese, tese e etapas de demonstração da propriedade citada no enunciado.
Uma sequência é recorrente, quando seu termo geral é definido por uma
função de um ou mais de seus termos precedentes.
O princípio da indução finita é um dos axiomas que caracterizam os números
naturais, conhecidos como Axiomas de Peano e, segundo ele, se um conjunto de
números naturais contém o número 1 e contém também o sucessor de cada um de
seus elementos, então esse conjunto contém todos os números naturais. O sucessor
de um número natural n é o número natural n + 1.
O princípio da indução serve de base para um método de
demonstração de teoremas sobre números naturais, conhecido
ENADE Comentado 2008: Matemática
59
como método de indução (ou recorrência), o qual funciona assim:
“se uma propriedade P é válida para o número 1 e se, supondo P
válida para o número n, daí resultar que P é válida também para
seu sucessor s(n), então P é válida para todos os números
naturais”. (LIMA, 1993, p.2)
A propriedade a ser demonstrada pode ser expressa como: se a sequência
( a n ) é definida por a1 = a e a n +1 = a + a n , para n = 1, 2, 3, ... e a > 2, então
a n < a , para n = 1, 2, 3, ... . Assim, atendendo o item a), identifica-se “a sequência
( a n ) é definida por a1 = a e a n +1 = a + a n , para n = 1, 2, 3, ... e a > 2” como
hipótese e “ a n < a , para n = 1, 2, 3, ...” como tese.
Para resolver o item b), usa-se a propriedade da “monotonicidade da adição”
para a relação de ordem em , somando-se -1 a cada membro em:
a ≥ 2 ⇒ a − 1 ≥ 2 − 1 = 1 , concluindo que tanto a quanto a − 1 são positivos. Das
propriedades da multiplicação de números reais que resultam nas “regras de sinais”,
obtém-se que a(a − 1) também é positivo, ou seja, a(a − 1) > 0 .
O item c) decorre, a partir do resultado anterior, das seguintes implicações:
(1)
(2)
(3)
a(a − 1) > 0 ⇒ a 2 − a > 0 ⇒ a 2 > a ⇒ a > a ⇔ a < a ,
que são justificadas:
(1) Distributividade da multiplicação em relação à adição nos reais.
(2) Monotonicidade da adição para a relação de ordem nos reais (somando-se a a
cada membro).
(3) A função raiz quadrada é crescente no conjunto dos números reais positivos.
Supondo a n < a , de (3) e do item c), resulta
a n < a < a . Então, por (2),
a + a n < a + a = 2a. Daí, a n +1 = a + a n < 2a , o que prova o item d).
Para provar o item e), basta observar que, por hipótese, a ≥ 2 , o que implica
em a − 2 ≥ 0 . Como a > 0 , temos
a(a − 2) ≥ 0 ⇒ a 2 − 2a ≥ 0 ⇒ a 2 ≥ 2a ⇒ 2a ≤ a 2 ⇒ 2a ≤ a .
Assim, a n +1 < 2a ≤ a , pelo item d).
Por fim, conclui-se o item f) a partir dos passos da prova por indução:
60
Augusto Vieira Cardona et al. (Orgs.)
I. A propriedade é válida para o número 1, pelo item c).
II. Supondo que a propriedade é válida para um número n, então ela é válida para o
número s(n) = n + 1, pelos itens d) e e).
Logo, a propriedade vale para n = 1, 2, 3, ... .
A questão poderia ser considerada difícil, caso a solução não estivesse
fracionada em etapas que conduzem à prova solicitada. Em vista disso, entende-se
que o seu grau de dificuldade é médio. Apesar de apresentar uma sequência
recorrente no enunciado inicial, os conhecimentos mais enfatizados para obter a
solução são relativos a propriedades da relação de ordem e das operações nos
números reais.
Referências Bibliográficas:
ÁVILA, G. S. S. Análise matemática para a licenciatura. 3. ed. São Paulo: Edgard
Blücher, 2006.
LIMA, E. L. Análise real. 2. ed. Rio de Janeiro: IMPA, 1993.
ENADE Comentado 2008: Matemática
61
COMPONENTE ESPECÍFICO
LICENCIATURA
QUESTÃO 30
As potencialidades pedagógicas da história no ensino de Matemática têm sido
bastante discutidas. Entre as justificativas para o uso da história no ensino de
Matemática, inclui-se o fato de ela suscitar oportunidades para a investigação.
Considerando essa justificativa, um professor propôs uma atividade a partir da
informação histórica de que o famoso matemático Pierre Fermat [1601-1665], que se
interessava por números primos, percebeu algumas relações entre números primos
ímpares e quadrados perfeitos.
Para que os alunos também descobrissem essa relação, pediu que eles
completassem a tabela a seguir, verificando quais números primos ímpares podem
ser escritos como soma de dois quadrados perfeitos. Além disso, solicitou que
observassem alguma propriedade comum a esses números.
3
não
5
1+4
sim
7
11
não
não
13
4+9
sim
17
1+16
sim
19
23
29
A partir da atividade de investigação proposta pelo professor, analise as afirmações
seguintes.
I
Todo número primo da forma 4n + 1 pode ser escrito como a soma de dois
quadrados perfeitos.
II
Todo número primo da forma 4n + 3 pode ser escrito como a soma de dois
quadrados perfeitos.
III
Todo número primo da forma 2n + 1 pode ser escrito como a soma de dois
quadrados perfeitos.
Está correto o que se afirma em
(A)
I, apenas.
(B)
II, apenas.
(C) I e III, apenas.
(D) II e III, apenas.
(E)
I, II e III.
Gabarito: Alternativa A
Autoria: Neda da Silva Gonçalves e Virgínia Maria Rodrigues
ENADE Comentado 2008: Matemática
63
Comentário:
Para analisar a questão, é necessário o conceito de número primo.
A partir da tabela, pode-se concluir que a alternativa correta é a A, até porque
alguns exemplos mostram a falsidade das demais. Entretanto, pode-se questionar a
expressão “todo” usada nas afirmações, pois para isso, certamente não basta uma
tabela com um número finito de exemplos. Veja Garcia e Lequain (2002, p. 4 e 102).
Esta questão é fácil, pois o conceito de número primo é trabalhado desde o
ensino fundamental e a tabela dá o encaminhamento para a solução da questão.
Referências Bibliográficas:
GARCIA, A.; LEQUAIN, Y. Elementos de álgebra. Rio de Janeiro: IMPA, 2002.
64
Augusto Vieira Cardona et al. (Orgs.)
QUESTÃO 31
Na discussão relativa a funções exponenciais, um professor propôs a seguinte questão:
Para que valores não-nulos de k e m a função f(x) = mekx é uma função crescente?
Como estratégia de trabalho para que os alunos respondam à questão proposta, é
adequado e suficiente o professor sugerir que os alunos
(A)
considerem m = 1 e k = 1, utilizem uma planilha eletrônica para calcular valores
da função f em muitos pontos e comparem os valores obtidos.
(B)
considerem m = 1 e k = 1, m = -1 e k = 1, esbocem os gráficos da função f e,
em seguida, comparem esses dois gráficos.
(C) formem pequenos grupos, sendo que cada grupo deve esboçar o gráfico de
uma das funções y = mex, para m = 1, 2, 3, 4 ou 5, e comparem, em seguida,
os gráficos encontrados.
(D) esbocem os gráficos das funções y = ex e y = e-x e analisem o que acontece com
esses gráficos quando a variável e a função forem multiplicadas por constantes
positivas ou negativas.
(E)
construam uma tabela com os valores de f para x número inteiro variando de -5
a 5, fixando m = 1 e k = 1 e, em seguida, comparem os valores encontrados.
Gabarito: Alternativa D
Autoria: Marilene Jacintho Müller e Vera Lúcia Martins Lupinacci
Comentário:
Para analisar a questão, é necessário o conhecimento do conceito de função
crescente e de função decrescente, do gráfico das funções f ( x ) = e x e f ( x ) = e − x e
ter habilidade na construção de gráficos de outras funções a partir destas.
Uma função f definida em um intervalo I é crescente em I, quando
f ( x1 ) < f ( x 2 ) para x 1 < x 2 , sendo x1 e x 2 pontos desse intervalo I e uma função f
definida em um intervalo I é decrescente em I, quando f ( x 1 ) > f ( x 2 ) para x 1 < x 2 ,
sendo x1 e x 2 pontos desse intervalo I.
A análise da questão será feita com base nos seguintes gráficos:
ENADE Comentado 2008: Matemática
65
Função exponencial de base e
Função exponencial de base 1/e
Figura 1: Função exponencial.
Considerando os conceitos e os dois gráficos apresentados na figura 1,
conclui-se que:
a) A alternativa A não é suficiente para analisar todas as funções obtidas pela
expressão f ( x ) = me kx , pois apenas indica que a função f ( x ) = e x é crescente
(gráfico acima à esquerda) e não faz referência à análise do comportamento das
funções geradas com outros valores de m e k, não nulos;
b) A alternativa B sugere as possibilidades f ( x ) = e x e f ( x ) = −e x . Como a função
f ( x ) = −e x representa uma reflexão do gráfico de f ( x ) = e x (função crescente) em
torno do eixo das abscissas, tem-se que f ( x ) = −e x é decrescente. Assim, a
alternativa B não é suficiente para responder a questão, pois se restringe apenas às
possibilidades apresentadas;
c) Na alternativa C, são consideradas algumas possibilidades para m ≥ 1 , com k = 1,
o que gera um conjunto de funções do tipo f ( x ) = me x , cujos gráficos são obtidos
por meio de um alongamento vertical do gráfico de f ( x ) = e x , por um fator m > 1, o
que leva a concluir que as funções do tipo f ( x ) = me x são crescentes. Assim, a
alternativa C não é suficiente para responder à questão, pois não são considerados
todos os valores possíveis de m e k, não nulos, que formam uma função do tipo
f ( x ) = me kx crescente;
d) A alternativa E sugere a construção de uma tabela para a função f ( x ) = e x ,
considerando valores inteiros para a variável x, sem o uso de uma planilha
eletrônica, o que inviabiliza a comparação dos valores das imagens.
66
Augusto Vieira Cardona et al. (Orgs.)
Assim, a partir do exposto acima, conclui-se que a alternativa correta é a D.
Para justificar essa escolha, consideram-se os seguintes casos:
a) Sendo k > 0, temos que f ( x ) = e kx é crescente, porque representa um
alongamento horizontal do gráfico da função crescente f ( x ) = e x por um fator 1/k,
quando k < 1, e representa uma compressão horizontal do gráfico de f ( x ) = e x por
um fator k > 1.
b) Para k > 0, se m > 0, temos que f ( x ) = me kx é crescente, porque representa um
alongamento vertical do gráfico da função crescente f ( x ) = e kx por um fator m > 1, e
representa uma compressão vertical do gráfico de f ( x ) = e x por um fator 1/m, quando
m < 1. Se m < 0, então temos uma reflexão do gráfico da função crescente f ( x ) = e kx
em torno do eixo das abscissas, obtendo-se uma função decrescente.
c) Sendo k > 0, temos que f ( x ) = e − kx é decrescente, porque representa um
alongamento horizontal do gráfico da função decrescente f ( x ) = e − x por um fator
1/k, quando k < 1, e representa uma compressão horizontal do gráfico de f ( x ) = e − x
por um fator k > 1.
d) Para k > 0, se m > 0, temos que f ( x ) = me − kx é decrescente, porque representa um
alongamento vertical do gráfico da função decrescente f ( x ) = e − kx por um fator
m > 1, e representa uma compressão vertical do gráfico de f ( x ) = e − kx por um fator 1/m,
quando m < 1. Se m < 0, então temos uma reflexão do gráfico da função decrescente
f ( x ) = e − kx em torno do eixo das abscissas, obtendo-se uma função crescente.
Pela análise feita anteriormente, conclui-se que f ( x ) = me kx é crescente,
quando k e m são reais positivos ou quando k e m são reais negativos.
Entende-se que esta questão é fácil, pois exige o conhecimento do gráfico de
funções exponenciais de base a > 1 ou 0 < a < 1 e a habilidade na construção de
gráficos de outras funções a partir destas, por meio de alongamentos ou
compressões verticais ou horizontais e também reflexões, conceitos trabalhados
desde o ensino médio e na Licenciatura de Matemática.
Referência Bibliográfica:
ANTON, H.; BIVENS, I.; DAVIS, S. Cálculo. 8. ed. Porto Alegre: Bookman, 2007. v.1
ENADE Comentado 2008: Matemática
67
QUESTÃO 32
A Matemática no ensino médio tem papel formativo — contribui para o
desenvolvimento de processos de pensamento e para a aquisição de atitudes — e
caráter instrumental — pode ser aplicada às diversas áreas do conhecimento —, mas
deve ser vista também como ciência, com suas características estruturais específicas.
OCNEM (com adaptações).
Ao planejar o estudo de funções no ensino médio, o(a) professor(a) deve observar que
(A)
o objetivo do estudo de exponenciais é encontrar os zeros dessas funções.
(B)
as funções logarítmicas podem ser usadas para transformar soma em produto.
(C) as funções trigonométricas devem ser apresentadas após o estudo das
funções exponenciais.
(D) a função quadrática é exemplo típico de comportamento de fenômenos de
crescimento populacional.
(E)
o estudo de funções polinomiais deve contemplar propriedades de polinômios e
de equações algébricas.
Gabarito: Alternativa E
Autoria: Monica Bertoni dos Santos e Mara Lúcia Müller Botin
Comentário:
Para realizar esta questão, é necessário, inicialmente, compreender o que
efetivamente ela solicita: que, além do papel formativo e instrumental, a Matemática
seja compreendida como uma ciência com características estruturais específicas e,
além disso, conhecer conceitos a respeito de polinômios, equações algébricas e das
funções polinomiais, exponenciais, logarítmicas, trigonométricas.
Denomina-se função exponencial de base a ( a > 0 e a ≠ 1 ) à função
f ( x ) = a x , definida para todo o x real, tal que para a > 0 , a função é crescente e,
para 0 < a < 1, ela é decrescente. Observando os gráficos das referidas funções,
representados na figura 1, pode-se verificar, ainda, que a função exponencial não
tem zeros, o que torna inviável a alternativa A.
68
Augusto Vieira Cardona et al. (Orgs.)
a > 0;
0 < a < 1;
D(f) = ;
D(f) = ;
Im(f) = +;
f é crescente em todo o seu domínio.
Im(f) = +;
f é decrescente em todo o seu domínio.
Figura 1: Função exponencial.
Considerando a propriedade dos logarítmos: para a, b e c números reais
positivos com b ≠ 1, log b ac = log b a + log b c , observa-se, a partir dela, que um produto
é transformado em soma e não uma soma é transformada em produto, conforme diz a
alternatica C, o que a torna falsa, não podendo ser observada pelo professor.
Por outro lado, entende-se que o estudo das funções trigonométricas não
depende do estudo das exponenciais. Assim, não existe uma justificativa, para que o
seu estudo seja necessariamente, posterior ao das funções exponenciais, o que
torna a alternativa C não verdadeira.
Segundo as Orientações Curriculares para o Ensino Médio (BRASIL, 2006),
”Situações reais de crescimento populacional podem bem ilustrar o modelo
exponencial” (p.75), o que indica a função exponencial e não a quadrática, como um
exemplo típico dos fenômenos de crescimento populacional, o que torna falsa a
alternativa D.
A alternativa E é a verdadeira, na medida em que é correto afirmar que as
propriedades e as operações com polinômios são fundamentais para o estudo das
funções polinomiais e das equações algébricas. Segundo Brasil (2006),
Casos em que a função polinomial se decompõe em um produto de
funções polinomiais de grau 10 merecem ser trabalhados. Esses casos
evidenciam a propriedade notável de que, uma vez se tendo identificado
que o número c é um dos zeros da função y = P (x ) , esta pode ser
expressa como o produto do fator ( x − c ) por outro polinômio de grau
menor, por meio da divisão de P por ( x − c ) , (p.74).
ENADE Comentado 2008: Matemática
69
Esta questão é fácil na medida em que conceitos relacionados às referidas
funções são trabalhados na Educação Básica e em várias disciplinas dos cursos de
Licenciatura em Matemática.
Referências Bibliográficas:
BRASIL. Ministério da Educação. Secretaria de Educação Básica. Orientações
Curriculares para o Ensino Médio: Ciências da Natureza, Matemática e suas
Tecnologias. Brasília: Ministério da Educação, Secretaria de Educação Básica,
2006. v.2.
DANTE, Luiz Roberto. Matemática: Livro do Aluno. São Paulo: Ática, 2004. v.1.
PAIVA, Manuel Rodrigues. Matemática. São Paulo: Moderna, 1955.
70
Augusto Vieira Cardona et al. (Orgs.)
QUESTÃO 33
A professora Clara propôs a seus alunos que encontrassem a solução da seguinte
equação do segundo grau:
x2 - 1 = (2x + 3)(x - 1).
Pedro e João resolveram o exercício da seguinte maneira.
Resolução de Pedro:
x2 ! 1 = (2x + 3)(x ! 1)
x2 ! 1 = 2x2 + x ! 3
2 ! x = x2
Como 1 é solução dessa equação, então S = {1}
Resolução de João:
x2 ! 1 = (2x + 3)(x ! 1)
(x ! 1)(x + 1) = (2x + 3)(x ! 1)
x + 1 = 2x + 3
x = !2
Portanto, S = {!2}
Pedro e João perguntaram à professora por que encontraram soluções diferentes. A
professora observou que outros alunos haviam apresentado soluções parecidas com
as deles.
Entre as estratégias apresentadas nas opções a seguir, escolha a mais adequada a
ser adotada por Clara visando à aprendizagem significativa por parte dos alunos.
(A)
Indicar individualmente, para cada aluno que apresentou uma resolução
incorreta, onde está o erro e como corrigi-lo, a partir da estratégia inicial
escolhida pelo aluno.
(B)
Resolver individualmente o exercício para cada aluno, usando a fórmula da
resolução da equação do 2.º grau, mostrando que esse é o método que
fornece a resposta correta.
(C) Pedir a Pedro e João que apresentem à classe suas soluções para discussão e
estimular os alunos a tentarem compreender onde está a falha nas soluções
apresentadas e como devem fazer para corrigi-las.
(D) Escrever a solução do exercício no quadro, usando a fórmula da resolução da
equação do 2.º grau, para que os alunos percebam que esse é o método que
fornece a resposta correta.
(E)
Pedir que cada um deles comunique à classe como resolveu o exercício e, em
seguida, explicar no quadro para a turma onde está a falha na resolução de
cada um e como eles devem fazer para corrigi-la.
ENADE Comentado 2008: Matemática
71
Gabarito: Alternativa C
Autoria: Monica Bertoni dos Santos e Mara Lúcia Müller Botin
Comentário:
A alternativa C é a correta, pois, para que a aprendizagem seja
significativa, o professor como mediador, deve proporcionar discussões na sala
de aula, a fim de que os alunos possam, a partir de seus erros, discutindo entre
iguais, encontrar suas hipóteses equivocadas, reformulá-las e chegar à forma
correta de resolver as situações problema apresentadas.
Segundo Brasil (2006),
a aprendizagem de um novo conceito dar-se - ia pela apresentação de
uma situação problema ao aluno, ficando a formalização do conceito
como última etapa do processo de aprendizagem. Nesse caso, caberia
ao aluno a construção do conhecimento matemático que permite
resolver o problema, tendo o professor como um mediador e orientador
do processo ensino-aprendizagem, responsável pela sistematização do
conhecimento (p. 81).
Ao defender suas ideias e seus pontos de vista, os alunos desenvolverão a
criatividade, a capacidade de argumentação, o aprender a aprender.
Assim, a alternativa A é falsa por indicar individualmente o erro, não
possibilitando que o próprio aluno, trocando ideias com seus colegas, verifique suas
hipóteses equivocadas, reformulando-as. As alternativas B, D e E são falsas, pois a
professora, apresentando a forma correta de resolução, individual ou coletivamente,
impede que os alunos, eles mesmos, construam seu conhecimento a partir da
discussão de suas hipóteses equivocadas.
Esta questão é considerada fácil, na medida em que aprendizagem
significativa e erro construtivo, por exemplo, são conceitos trabalhados na
licenciatura e abordados nos documentos que regem a Educação Básica.
Referências Bibliográficas:
BRASIL. Ministério da Educação. Secretaria de Educação Básica. Orientações
Curriculares para o Ensino Médio: Ciências da Natureza, Matemática e suas
Tecnologias. Brasília: Ministério da Educação, Secretaria de Educação Básica,
2006. v.2.
72
Augusto Vieira Cardona et al. (Orgs.)
QUESTÃO 34
Observe a seguinte atividade de construções geométricas.
• Construir um triângulo ABC qualquer.
• Traçar a bissetriz do ângulo BAˆ C e, em seguida, a bissetriz do ângulo ABˆ C .
• Marcar o ponto de encontro dessas duas bissetrizes.
• Traçar a bissetriz do ângulo ACˆ B .
O que você observa?
Será que, se você recomeçar a construção a partir de outro triângulo, chegará à
mesma observação?
O uso de um software de geometria dinâmica na execução dessa atividade e de
outras similares
(A)
pode mostrar que o estudo das construções com régua e compasso é
desnecessário.
(B)
dispensa a demonstração dos resultados encontrados pelos alunos.
(C) prejudica o desenvolvimento do raciocínio lógico-dedutivo.
(D) dificulta o desenvolvimento do pensamento geométrico.
(E)
pode contribuir para a elaboração de conjecturas pelos alunos.
Gabarito: Alternativa D
Autores: Augusto Vieira Cardona e Monica Bertoni dos Santos
Comentário:
Para resolver esta questão, inicialmente, devem-se conhecer conceitos
geométricos como ângulo e sua medida, triângulo e a construção da bissetriz de um
ângulo de um triângulo dado. Estes conceitos são apresentados em livros do Ensino
Básico ou em livros mais avançados como Barbosa (2000) ou Resende e Queiroz
(2000). Alguns destes conceitos serão discutidos aqui.
Seja o um triângulo formado pelos pontos A, B e C e seja D um ponto da
reta que contém B e C. O segmento AD chama-se bissetriz do ângulo  se a
semirreta de origem A, passando por D, dividir o ângulo BÂC em dois ângulos
congruentes. Demonstra-se que as três bissetrizes de um triângulo se encontram
em um mesmo ponto.
ENADE Comentado 2008: Matemática
73
Figura 1: Bissetriz de um ângulo.
Para obter a bissetriz do ângulo BÂC, com o uso de um compasso, traça-se
uma circunferência de centro A e raio arbitrário, suficientemente grande, para
determinar os pontos E e F sobre os lados AB e AC, respectivamente. Traçam-se,
então, circunferências de centro E e F e raio arbitrário, suficientemente grande, para
determinar P, ponto de intersecção destas circunferências. A semirreta de origem A
e passando por P será a bissetriz do ângulo BÂC.
A atividade propõe que o aluno trace as três bissetrizes de um triângulo
qualquer e solicita que ele observe o que acontece. A seguir, desafia-o a pensar se
o que aconteceu ao traçar as três bissetrizes neste triângulo aconteceria em outro
triângulo qualquer.
Certamente, esta atividade poderia ter sido proposta para ser realizada com o
uso de um software de geometria dinâmica uma vez que “esta ferramenta permite
explorar interativamente os conceitos da geometria clássica através do uso do
movimento nas figuras construídas” (BRAVIANO, 2007).
No entanto, o uso de softwares de geometria dinâmica ou similares pode ou
deve ser proposto, quando o aluno está num estágio em que já tenha tido
experiências de geometria intuitiva – experiências que lhe tenham possibilitado
desenvolver o pensamento geométrico – pois tais ferramentas permitem “explorar
interativamente os conceitos da geometria clássica através do uso do movimento nas
figuras construídas” (BRAVIANO, 2007).
Castelnuovo (1975, p. 82) argumenta sobre “a necessidade de desenvolver
um curso de geometria intuitiva, antes de iniciar um estudo de base hipotéticodedutiva”, dizendo que “o curso de geometria intuitiva tem como finalidade dar à
74
Augusto Vieira Cardona et al. (Orgs.)
criança as bases sobre as quais construir o curso de geometria racional”. Ainda,
segundo a autora,
se nos basearmos na hipótese de que o ente geométrico forma-se na
mente humana por abstração, a partir de observações de objetos
reais e de experiências sobre estes, devemos, fazer preceder ao
curso racional um curso de caráter experimental onde os axiomas
encontrem raízes naturais (p. 88).
A atividade proposta nesta questão caracteriza-se por uma experiência
concreta própria de uma geometria intuitiva. Não está sendo proposto que o aluno
elabore definições ou enuncie propriedades, mas que faça construções, explore
figuras, faça experimentações e observe regularidades, percebendo diferenças e
semelhanças. Neste caso, o uso de um software da geometria dinâmica, em
substituição ao uso de instrumentos de desenho que possibilitem a exploração do
espaço, é prematuro e pode dificultar o desenvolvimento do pensamento
geométrico, o que justifica a escolha da alternativa D como a correta.
A questão pode ser considerada de nível de dificuldade médio, pois envolve
construções com régua e compasso nem sempre trabalhadas na Educação Básica.
Referências Bibliográficas:
BARBOSA, J. L. M. Geometria euclidiana plana. Rio de Janeiro: Sociedade
Brasileira de Matemática, 2000. (Coleção do Professor de Matemática)
BRAVIANO, G. Aprendizagem da simetria através de uma sequência didática.
Curitiba: Graphica, 2007. Disponível em:
<http://www.degraf.ufpr.br/artigos_graphica/APRENDIZAGEMDASIMETRIA.pdf>.
Acesso em: 07 de dezembro de 2010.
CASTELNUOVO, E. Didactica de la matemática moderna. México: Editorial Trillas,
1975.
RESENDE, E. Q. F.; QUEIROZ, M. L. B. Geometria euclidiana plana e
construções geométricas. Campinas: UNICAMP, 2000.
ENADE Comentado 2008: Matemática
75
QUESTÃO 35
Algumas civilizações utilizavam diferentes métodos para multiplicar dois números
inteiros positivos. Por volta de 1400 a.C., os egípcios utilizavam uma estratégia para
multiplicar dois números que consistia em dobrar e somar. Por exemplo, para
calcular 47 × 33, o método pode ser descrito do seguinte modo:
•
escolha um dos fatores; por exemplo, 47;
•
na 1.ª linha de uma tabela, escreva o número 1 na 1.ª coluna e o fator
escolhido, na 2.ª coluna;
•
em cada linha seguinte da tabela, escreva o dobro dos números da linha
anterior, até encontrar, na 1.ª coluna, o menor número cujo dobro seja maior
ou igual ao outro fator, no caso, 33;
1
2
4
8
16
32
47
94
188
376
752
1.504
• selecione os números da 1.ª coluna cuja soma seja igual a 33, conforme
indicado na tabela, ou seja, 1 + 32 = 33;
• adicione os números correspondentes da 2.ª coluna, ou seja, 47 + 1.504 = 1.551;
• tome como resultado da multiplicação o valor 1.551.
Com base nessas informações, analise as asserções a seguir.
Utilizando o método egípcio, é possível multiplicar quaisquer dois números inteiros
positivos,
porque
todo número inteiro positivo pode ser escrito como uma soma de potências de 2.
A respeito dessa afirmação, assinale a opção correta.
(A)
As duas asserções são proposições verdadeiras, e a segunda é uma
justificativa correta da primeira.
(B)
As duas asserções são proposições verdadeiras, mas a segunda não é uma
justificativa correta da primeira.
(C) A primeira asserção é uma proposição verdadeira, e a segunda é falsa.
(D) A primeira asserção é uma proposição falsa, e a segunda é verdadeira.
(E)
Ambas as asserções são proposições falsas.
76
Augusto Vieira Cardona et al. (Orgs.)
Gabarito: Alternativa A
Autoria: Ruth Portanova, Maria Beatriz Menezes Castilhos e Virgínia Maria
Rodrigues
Comentário:
A segunda afirmação:
Todo número inteiro positivo pode ser escrito como uma soma de
potências de 2
é uma proposição verdadeira, pois é um corolário do teorema:
Dados a,b ∈  , com b>1, existem números naturais c0, c1, c2,... ,cn
menores
do
que
b,
univocamente
determinados,
tais
que
a = c0 + c1 b + c2 b2 + ... + cn bn .
A primeira afirmação:
Utilizando o método egípcio, é possível multiplicar quaisquer dois
números inteiros positivos,
é uma proposição verdadeira, porque o método utiliza-se da propriedade distributiva
da adição em relação à multiplicação, aplicada à decomposição de um dos fatores
em uma soma de potências de 2, no caso:
33 x 47 = (20 + 25) x 47 = (1 + 32) x 47 = 1 x 47 + 32 x 47 = 37 + 1504 = 1551,
o que é sempre possível, pela segunda afirmação.
Desta forma, a resposta correta corresponde à letra A, pois as duas afirmações
são verdadeiras e a segunda asserção é uma justificativa correta da primeira.
Pode-se considerar a questão de nível de dificuldade médio, pois a noção
de distributividade e de potência faz parte do estudo de operações muito
trabalhado num curso de Matemática. No entanto, quando o aluno trabalha com
operações que não são apresentadas na forma rotineira, nem sempre usa seus
conhecimentos para resolver a questão.
Referência Bibliográfica:
HEFEZ, A. Elementos de aritmética. Rio de Janeiro: Sociedade Brasileira de
Matemática, 2005.
ENADE Comentado 2008: Matemática
77
QUESTÃO 36
A figura abaixo mostra alguns segmentos construídos em um geoplano por um
estudante, de acordo com a orientação dada pela professora.
u
Acerca do uso do geoplano retangular nessa atividade, assinale a opção incorreta.
(A)
O geoplano auxilia na compreensão de que
a + b ≠ a+b.
(B)
O geoplano auxilia na compreensão de que
ab = a b .
(C) O geoplano auxilia na representação geométrica de números irracionais da
forma a .
(D) O geoplano auxilia na obtenção da relação entre o comprimento de uma
circunferência e seu diâmetro.
(E)
O geoplano auxilia na simplificação de expressões com irracionais algébricos,
como, por exemplo, 20 + 5 = 3 5 .
Gabarito: Alternativa D
Autoria: Monica Bertoni dos Santos, Mara Lúcia Müller Botin e Vanessa Martins de
Souza
Comentário:
A figura que ilustra a questão representa um geoplano retangular. Um
geoplano, geralmente, é confeccionado em prancha de madeira de forma retangular
com pregos fixados em desenhos de diferentes formatos e, para a construção de
diferentes figuras geométricas, são utilizados atilhos de amarrar dinheiro,
preferivelmente, de cores diferentes.
78
Augusto Vieira Cardona et al. (Orgs.)
Machado (2004) define o geoplano como um recurso didático-pedagógico
dinâmico e manipulativo que propicia ao sujeito construir, movimentar e desfazer
figuras. Para ele,
O Geoplano é um meio, uma ajuda didática que oferece um apoio à
representação mental e uma etapa para o caminho da abstração,
proporcionando uma experiência geométrica e algébrica aos
estudantes. Contribui para explorar problemas geométricos e
algébricos, possibilitando a aferição de conjecturas. (p. 1).
As construções feitas no geoplano podem ser registradas em malhas
pontilhadas ou quadriculadas, o que favorece a etapa de generalização de
conceitos. Na representação de um geoplano retangular, os pontos que
correspondem aos pregos, estão dispostos na intersecção das linhas com as
colunas, onde os pregos estão fixados.
Observando a representação do geoplano apresentada na questão e os
segmentos nela traçados, fica evidenciado que o segmento que une vertical ou
horizontalmente, dois pontos consecutivos representa a unidade de comprimento
e que dois pontos unidos em diagonal não a representam. Estes pontos podem
ser tomados como as diagonais de quadrados ou retângulos formados por
segmentos da malha retangular e considerados como hipotenusas de triângulos
retângulos cujos catetos são os lados dos quadrados ou dos retângulos e podem
ser calculados pela Relação de Pitágoras, como amostra a figura 1 a seguir:
Figura 1: Representação geométrica de números irracionais.
ENADE Comentado 2008: Matemática
79
Pode-se, então, concluir que é verdadeiro afirmar que o geoplano auxilia na
representação geométrica de números irracionais da forma
a , o que torna correta a
opção C.
Observando a figura 2 a seguir,
Figura 2: Interpretação de propriedades da radiciação.
constata-se que
5 + 13 ≠ 18 , e pode-se verificar que é verdadeiro afirmar que o
geoplano auxilia na compreensão de que
a + b ≠ a + b , o que torna correta a
opção A.
Observando a figura 3 a seguir,
Figura 3: Interpretação de propriedades da radiciação.
tem-se que: (1)
80
18 = 9 × 2 = 9 × 2 = 3 2 e (2)
Augusto Vieira Cardona et al. (Orgs.)
20 = 4 × 5 = 4 × 5 = 2 5
Por (1) e (2) pode-se afirmar que é verdade que o geoplano auxilia na
compreensão de que
ab = a ⋅ b , o que torna correta a opção C.
Observando a figura 4,
Figura 4: Interpretação de propriedades da radiciação.
verifica-se que
20 + 5 = 2 5 + 5 = 3 5 e considera-se verdadeiro afirmar que o
geoplano auxilia na simplificação de expressões com números irracionais algébricos,
o que torna a opção E correta.
Pelo exposto até aqui, pode-se afirmar que o geoplano retangular auxilia na
representação geométrica, na compreensão das operações e na simplificação de
expressões com números irracionais da forma
a , o que não é o caso do número π,
relação entre o comprimento de uma circunferência e seu diâmetro, o que torna
incorreta a opção D, que também é a única que não refere números irracionais na
forma
a.
Esta questão é considerada fácil, na medida em que o respondente já
tenha tido alguma experiência com o geoplano na Educação Básica ou no Curso
de Licenciatura em Matemática.
Referência Bibliográfica:
MACHADO, R. M. Mini-curso: explorando o geoplano. In: II Bienal da Sociedade
Brasileira de Matemática, Salvador – BA, 2004. Disponível em:
<http://www.bienasbm.ufba.br/M11.pdf>. Acesso em: 28 de novembro de 2010.
ENADE Comentado 2008: Matemática
81
QUESTÃO 37
Segundo os parâmetros curriculares nacionais, todas as disciplinas escolares devem
contribuir com a construção da cidadania. Refletindo sobre esse tema, avalie as
asserções a seguir.
Uma forma de o ensino da Matemática contribuir com a formação do cidadão é o
professor propor situações-problema aos alunos, pedir que eles exponham suas
soluções aos colegas e expliquem a estratégia de resolução utilizada, estimulando o
debate entre eles,
porque
os alunos, ao expor seu trabalho para os colegas, ouvir e debater com eles as
diferentes estratégias utilizadas, são estimulados a justificar suas próprias
estratégias, o que contribui com o desenvolvimento da autonomia, estimula a
habilidade de trabalhar em coletividade e a respeitar a opinião do outro,
características fundamentais de um cidadão crítico e consciente.
A respeito dessa afirmação, assinale a opção correta.
(A)
As duas asserções são proposições verdadeiras, e a segunda é uma
justificativa correta da primeira.
(B)
As duas asserções são proposições verdadeiras, mas a segunda não é uma
justificativa correta da primeira.
(C) A primeira asserção é uma proposição verdadeira, e a segunda é falsa.
(D) A primeira asserção é uma proposição falsa, e a segunda é verdadeira.
(E)
Ambas as asserções são proposições falsas.
Gabarito: Alternativa A
Autoria: Ruth Portanova e Monica Bertoni dos Santos
Comentário:
A afirmação abaixo contém as duas asserções que constam na presente questão:
Uma forma de o ensino da Matemática contribuir para a formação do
cidadão é o professor propor situações-problema aos alunos, pedir
que eles exponham suas soluções aos colegas e expliquem a
estratégia de resolução utilizada, estimulando um debate entre eles,
porque os alunos, ao expor seu trabalho para os colegas, ouvir e
debater com eles as diferentes estratégias utilizadas, são
82
Augusto Vieira Cardona et al. (Orgs.)
estimulados a justificar suas próprias estratégias, o que contribui com
o desenvolvimento da autonomia, estimula a habilidade de trabalhar
em coletividade e a respeitar a opinião do outro, características
fundamentais de um cidadão crítico e consciente.
Pode-se afirmar que esta é uma afirmação verdadeira, referindo literaturas que
estão disponíveis hoje, entre as quais, são citados o texto de Ulisses F. Araujo
(Professor Doutor da Universidade de São Paulo), na p. 5, quando fala sobre o uso de
metodologias que propõem situações-problema e indica a importância das situações de
aprendizagem que propiciam a discussão e a argumentação por parte do educando:
Essa construção pressupõe um sujeito ativo, que participa de
maneira intensa e reflexiva das aulas. Um sujeito que constrói sua
inteligência e sua personalidade através do diálogo estabelecido com
seus pares e com os professores, na própria realidade cotidiana do
mundo em que vive.
e a recomendação que consta na p. 42 do Caderno do Professor (2009):
Professor, favoreça que seu aluno leia e resolva as situaçõesproblema propostas, trabalhando com autonomia e chegando aos
conceitos muito mais pelas relações que ele próprio possa
estabelecer do que pela sua fala.
Desdobrando a referida afirmação em duas proposições, conforme foi
proposto na questão, percebe-se, ainda, nas duas referências citadas, que, além de
verdadeiras, a segunda proposição pode ser considerada uma justificativa correta da
primeira, na medida em que a autonomia é algo que a escola deve se preocupar em
desenvolver, se quiser contribuir para a construção da cidadania.
Desta forma, a resposta correta corresponde à alternativa A.
Esta questão é considerada fácil, pois as literaturas que tratam da Educação
Matemática e da Resolução de Problemas, bem como os documentos legais que
regem a Educação Básica são amplamente trabalhados durante o Curso de
Licenciatura em Matemática.
Referências Bibliográficas:
ARAUJO, U. F. A construção da cidadania e de relações democráticas no
cotidiano escolar. Disponível em:
<http://www.redhbrasil.net/documentos/bilbioteca_on_line/modulo4/mod_4_ulisses.p
df>. Acesso em: 07 de abril de 2010.
Rio Grande do Sul. Secretaria de Estado da Educação. Departamento Pedagógico.
Lições do Rio Grande: Caderno do Professor. Porto Alegre: SE/DP, 2009. v.4.
ENADE Comentado 2008: Matemática
83
QUESTÃO 38
Entre os procedimentos envolvidos na modelagem de uma situação-problema, estão
sua tradução para a linguagem matemática e a resolução do problema, utilizando-se
conhecimentos matemáticos. Nessa perspectiva, um professor propôs a seguinte
situação-problema para seus alunos:
Escolha o nome para uma empresa que possa ser lido da mesma forma de qualquer
um dos lados de uma porta de vidro transparente.
A solução desse problema pressupõe encontrar
(A)
letras do alfabeto que sejam simétricas em relação a um ponto.
(B)
letras do alfabeto que tenham simetria em relação a um eixo horizontal.
(C) letras do alfabeto que tenham simetria em relação a um eixo vertical.
(D) palavras que sejam simétricas em relação a um ponto.
(E)
palavras que sejam simétricas em relação a um eixo horizontal.
Gabarito: Alternativa C
Autoria: Ruth Portanova e Monica Bertoni dos Santos
Comentário:
Somente palavras que têm simetria em relação a um eixo vertical podem ser
lidas da mesma forma de qualquer um dos lados, quando escritas em uma porta
de vidro transparente. Tais palavras como OMO, AMA, OVO, conterão apenas
letras maiúsculas do nosso alfabeto tais que, elas mesmas tenham simetria
em relação a um eixo vertical. Portanto, letras que pertençam ao conjunto
P = {A, H, I, M, N, O, T, U, V, X, Y}.
Assim, é correta a solução desse problema que pressupõe encontrar no nome
da empresa que possa ser lido da mesma forma de ambos os lados de uma porta de
vidro transparente, letras do alfabeto que tenham simetria em relação a um eixo
vertical, o que justifica como verdadeira apenas a alternativa C.
Com o auxílio da bibliografia citada, o leitor poderá ampliar o conceito de
simetria.
Esta questão é considerada fácil se, na Educação Básica ou no Curso de
Licenciatura em Matemática, o respondente tiver trabalhado com o referido tema.
84
Augusto Vieira Cardona et al. (Orgs.)
Referências Bibliográficas:
ARAUJO, P. V. Curso de Geometria. Lisboa: Gradiva, 2002.
DIENES, Z. P.; GOLDING, E. W. A geometria pelas tranformações. São Paulo:
Herder, 1971.
RÊGO, R. G. do; et al. Padrões de simetria do cotidiano a sala de aula. João
Pessoa: Editora Universitária/UFPB, 2006.
SMOLE, K.; DINIS, M.; CANDIDA, P. (Orgs.) Figuras e Formas. Porto Alegre:
Artmed, 2003. Coleção Matemática de 0 a 6 anos. v.3
ENADE Comentado 2008: Matemática
85
QUESTÃO 39
As questões I e II abaixo fizeram parte das provas de Matemática do Sistema de
Avaliação da Educação Básica (SAEB), em 2003, para participantes que terminaram,
respectivamente, a 8.ª série do ensino fundamental e o 3.º ano do ensino médio. Na
questão I, 56% dos participantes escolheram como correta a opção C, enquanto, na
questão II, 61% dos participantes escolheram como correta a opção A.
O número 0,25 pode ser
representado pela fração
(A) 1
4
1
(B) 2
2
(C) 5
(D) 1
8
questão I
questão II
Analisando os dados apresentados, assinale a opção que não justifica o erro que os
estudantes cometeram ao escolher as suas respostas.
(A)
Na questão I, a maioria dos respondentes considera que a representação do
a
número decimal 0,ab na forma de fração é .
b
(B)
Nas questões I e II, a maioria dos respondentes considera que as frações
a
e
b
b
são equivalentes.
a
(C) Na questão I, a maioria dos respondentes considera que 0,25 e
1
são
4
representações de números diferentes.
(D) Na questão II, a maioria dos respondentes considera que −
2
e -0,4 são
5
representações de números diferentes.
(E)
Na questão II, a maioria dos respondentes considera que a representação
a
decimal da fração
é a,b.
b
Gabarito: Alternativa B
Autoria: Marilene Jacintho Müller
86
Augusto Vieira Cardona et al. (Orgs.)
Comentário:
A questão destaca um conteúdo que deve ser trabalhado profundamente no
Ensino Fundamental. Explora, especificamente, o conhecimento do aluno sobre as
representações fracionária e decimal de um número, a localização de uma fração na
reta real e, também, faz referência ao conceito de frações equivalentes.
Fazendo um breve comentário sobre a questão, pode-se dizer que:
a) Nos itens A e E, observa-se que as respostas apontam para um equívoco que
frequentemente os alunos cometem ao representarem um número decimal na forma
de fração e vice-versa.
b) Nos itens C e D, se os alunos tivessem clareza sobre as representações dos
números racionais e tivessem identificado que os números são iguais, teriam
escolhido a resposta correta. Assim, eles realmente pensam que 0.25 e 1/4 (questão
I) e -2/5 e -0.4 (questão II) são diferentes.
c) Logo, a opção que não justifica o erro que os estudantes cometeram é a B. Na
questão I, por exemplo, 0,25 =
aluno considera que
25 1
= , e não existe alternativa que mostre que o
100 4
a b
= . Na questão II, até é possível pensar que o aluno fez
b a
−2
5
5
equivalente a
, e como
= -2,5, a opção por ele escolhida foi a A. No
5
−2
−2
entanto, a conjunção “Nas questões I e II, a maioria dos respondentes considera que
as frações
a
b
e são equivalentes”, não se verifica.
b
a
Entende-se que esta questão é fácil, uma vez que o conhecimento
matemático exigido para resolvê-la é, especificamente, do Ensino Fundamental.
Referências Bibliográficas:
DANTE, L. R. Tudo é matemática. São Paulo: Ática, 2005. v.5.
IMENES, L. M.; LELLIS, M. Matemática. São Paulo: Scipione, 2003. v.5.
IEZZI, G.; DOLCE, O.; MACHADO, A. Matemática e realidade. São Paulo: Atual,
2005. v.5.
ENADE Comentado 2008: Matemática
87
QUESTÃO 40 – DISCURSIVA
A
No retângulo ABCD ao lado, o lado AB mede 7 cm e
x
I
B
x
o lado AD mede 9 cm. Os pontos I, J, K e L foram
J
marcados sobre os lados AB, BC, CD e DA,
respectivamente, de modo que os segmentos AI, BJ,
CK e DL são congruentes.
L
x
D
K
x
C
Com base nessa situação, faça o que se pede nos itens a seguir e transcreva suas
respostas para o Caderno de Respostas, nos locais devidamente indicados.
a) Demonstre que o quadrilátero IJKL é um paralelogramo.
b) Escreva a função que fornece a área do paralelogramo IJKL em função de x e
determine, caso existam, seus pontos de máximo e de mínimo.
c) Na resolução desse problema, que conceitos matemáticos podem ser explorados
com alunos do ensino fundamental e do ensino médio?
Autoria: Augusto Vieira Cardona e Gertrudes Regina Todeschini Hoffmann
Comentário:
Para analisar a questão, inicialmente, devem-se conhecer conceitos
geométricos
tais
como
segmentos
congruentes,
triângulo,
quadrilátero,
paralelogramo, retângulo, área de figuras planas e congruência de triângulos. Estes
conceitos podem ser encontrados em livros como Barbosa (2000). Necessita-se,
também, dos conceitos de ponto de mínimo e de ponto de máximo de uma função,
que são apresentados em livros de Cálculo como Stewart (2006). No entanto, para
facilitar o entendimento da resolução desta questão, alguns destes conceitos serão
apresentados a seguir.
Dois
triângulos
são
congruentes
se
for
possível
estabelecer
uma
correspondência biunívoca entre seus vértices de modo que lados e ângulos
correspondentes sejam congruentes. Sobre congruência de triângulos, destaca-se o
Axioma LAL:
88
Augusto Vieira Cardona et al. (Orgs.)
Se, em dois triângulos ABC e EFG, tem-se  = Eˆ , AB = EF e AC = EG,
então os triângulos são congruentes.
Considerando os conceitos apresentados, tem-se que:
a) Para demonstrar que IJKL é um paralelogramo, pode-se mostrar, pelo
axioma LAL, que os triângulos IBJ e KDL são congruentes (DL = BJ = x,
DK = BI = 7 – x e Dˆ = Bˆ = 90 o ) e que o triângulo IAL é congruente ao triângulo
KCJ (AI = CK = x, AL = CJ = 9 – x e Aˆ = Cˆ = 90o ). Portanto, tem-se que IJ = LK e
IL = JK e, consequentemente, que o quadrilátero IJKL é um paralelogramo,
pelo teorema:
Se os lados opostos de um quadrilátero são congruentes, então o
quadrilátero é um paralelogramo.
Esta é uma forma simples de resolver este problema. Existem outras, por
exemplo, a sugerida pelo resolutores do MEC, que utiliza o Teorema ALA.
b) A área do paralelogramo IJKL será obtida retirando-se da área do retângulo
ABCD as áreas dos triângulos ALI, BIJ, CKJ e DKL. A área do retângulo ABCD é
igual a 63, a área dos triângulos BIJ e DKL é igual a
e CKJ é igual a
(7 − x ) x
e a dos triângulos ALI
2
(9 − x ) x
. Assim, a área do paralelogramo IJKL é igual a:
2
A( x ) = 63 − 2
(7 − x ) x
(9 − x ) x
−2
= 2 x 2 − 16 x + 63 .
2
2
Para determinar o mínimo ou o máximo local de A(x), se existirem, pode-se
utilizar os conhecimentos sobre função quadrática ou os de derivadas e suas
propriedades.
1) Trabalhando com a função quadrática f(x) = ax2 + bx + c, sabe-se que:
−b
I. Se a > 0, a função é ilimitada superiormente e assume valor mínimo f 
;
 2a 
−b
II. Se a < 0, a função é ilimitada inferiormente e assume valor máximo f 
.
 2a 
Como, em nosso problema, temos a = 2 > 0, b = -16 e c = 63, este ponto de
mínimo é obtido pela propriedade acima, ou seja, x =
− b − ( −16)
=
= 4.
2a
2x 2
ENADE Comentado 2008: Matemática
89
Pelo gráfico da função quadrática A(x), apresentado na figura 1 abaixo, podese observar que o ponto de mínimo local em x = 4.
Figura 1: Gráfico da parábola
A( x ) = 2 x 2 − 16 x + 63 .
2) Utilizando o Teste da Derivada Segunda:
Suponha que f’’ seja contínua na proximidade de c.
(a) Se f’(c) = 0 e f’’(c) > 0, então f tem um mínimo local em c.
(b) Se f’(c) = 0 e f’’(c) < 0, então f tem um máximo local em c.
Aqui, f’(c) e f’’(c) denotam, respectivamente, as derivadas de primeira e
segunda ordem da função f(x), em x = c. Aplicando este resultado na função A(x),
obtém-se:
A′( x ) = 4 x − 16 = 0 ⇒ x = 4 e A′′( x ) = 4 ⇒ A′′( 4) = 4 > 0 ,
isto é, x = 4 é um ponto de mínimo local da função A(x).
c) Partindo das soluções acima, como foi visto, conclui-se ainda que os conceitos
matemáticos envolvidos nesta questão que podem ser explorados com alunos do
ensino fundamental e do ensino médio são: congruência de triângulos, propriedades
do paralelogramo, cálculo de áreas de figuras planas, expressões algébricas, estudo
do gráfico e das propriedades da função quadrática. Os conceitos de derivadas
poderiam se explorados com alunos de escolas que ainda trabalham com noções de
Cálculo Diferencial.
Entende-se que esta questão é de nível de dificuldade médio, pois, via de
regra, na Educação Básica, os alunos pouco trabalham com conceitos de geometria
90
Augusto Vieira Cardona et al. (Orgs.)
ou não trabalham com noções de Cálculo que ficam para ser explorados apenas na
Licenciatura em Matemática.
Referências Bibliográficas:
BARBOSA, J. L. M. Geometria euclidiana plana. Rio de Janeiro: Sociedade
Brasileira de Matemática, 2000. (Coleção do Professor de Matemática)
LIMA, E. L. et al. A matemática do ensino médio. Rio de Janeiro: Sociedade
Brasileira de Matemática, 1998. v.1 (Coleção do Professor de Matemática)
STEWART, J. Cálculo. 5.ed. São Paulo: Pioneira Thomson Learning, 2006.
ENADE Comentado 2008: Matemática
91
COMPONENTE ESPECÍFICO
BACHARELADO
QUESTÃO 41
figura I
figura II
O cilindro e o catenóide, representados nas figuras I e II, são superfícies regulares
de rotação geradas, respectivamente, pelas curvas α1(t) = (1, 0, t) e α2(t) =
(cosh t, 0, t), com t ∈ .
Considerando essas informações, conclui-se que
(A)
a curvatura gaussiana do catenóide é negativa.
(B)
as duas superfícies são localmente isométricas.
(C) as únicas geodésicas do cilindro são as retas.
(D) a curvatura gaussiana do cilindro é constante e positiva.
(E)
as curvas α1(t) e α2(t) são os paralelos das respectivas superfícies de rotação.
Gabarito: Alternativa C
Autoria: Augusto Vieira Cardona, Luiz Eduardo Ourique e Ivan Ricardo Tosmann
Comentário:
Para analisar a questão, torna-se necessário o conhecimento de alguns conceitos
de Geometria Diferencial, que serão apresentados a seguir, de forma reduzida.
Uma curva paramétrica C no espaço 3 é o gráfico da função γ:(a,b)→ 3,
para a e b reais, onde a função γ é dita uma parametrização da curva C. O
comprimento
de
um
v = v1 + v 2 +  + v n
2
2
2
vetor
v = (v 1, v 2 ,, v n ) ∈
n
é
e o comprimento de uma curva γ(t) é dado por
dado
por
b
∫ γ(t )
dt .
a
Uma superfície paramétrica S no espaço 3 é o gráfico de uma bijeção
contínua σ : U → S , cuja inversa também é contínua, onde U é um conjunto aberto
no plano 2. Neste caso, diz-se que σ é uma parametrização da superfície S. Um
ENADE Comentado 2008: Matemática
93
conjunto U é dito aberto no 2, se para todo a ∈ U, existe um real positivo ε tal que
u − a < ε implica que u ∈ U.
Uma superfície de revolução, ou superfície de rotação, é uma superfície
obtida pela rotação de uma curva plana, chamada curva de perfil, ao redor de uma
reta, contida no mesmo plano da curva, chamada de eixo de rotação. Os círculos
obtidos pela rotação de um ponto fixo da curva de perfil ao redor do eixo de rotação
são chamados de paralelos à superfície de rotação. Para o caso em que o eixo de
rotação é o eixo z, o plano em consideração é o xz e a curva de perfil é
parametrizada por γ(t) = (f(t), 0, g(t)).
Assim, a alternativa E está errada, pois, as curvas α1(t ) e α 2 (t ) são as curvas
de perfil e não os paralelos das respectivas superfícies de rotação. Os paralelos serão a
intersecção destas superfícies de rotação com planos paralelos ao plano xy.
Dada uma superfície de revolução parametrizada por γ(t) = (f(t), 0, g(t)), então
sua curvatura gaussiana é definida como
K=
(f(u ) g(u ) − f(u ) g (u ))f (u ) g (u ) ,
(f (u ))2
onde o ponto denota a derivada da função em relação à u. A curvatura gaussiana de
uma superfície independe da parametrização escolhida. Neste caso, considerando
que a curva de perfil seja parametrizada por γ(t) = (f(t), 0, t), com f(t) > 0, a curvatura
gaussiana seria dada por K =
− f(u )
. Ou seja, o sinal da curvatura gaussiana
f (u )
depende da concavidade da curva de perfil.
Com isto, pode-se observar que a alternativa D está errada, pois, no cilindro,
temos f (u ) = 1, sendo que a curvatura gaussiana será K = 0 . Portanto, ela é
constante, mas não é positiva. Também, conclui-se que a alternativa correta é a A,
pois, na catenoide, temos f (u ) = cosh(u ) e f(u ) = cosh(u ) , sendo que a curvatura
gaussiana será K = −1< 0 .
Se f(u ) > 0 ou o gráfico de f estiver acima de todas as suas tangentes no
intervalo I, então ele é côncavo para cima em I. Neste caso, a curvatura gaussiana
seria negativa. Se f(u ) < 0 ou o gráfico de f estiver abaixo de todas as suas
tangentes no intervalo I, então ele é côncavo para baixo em I. Neste caso, a
94
Augusto Vieira Cardona et al. (Orgs.)
curvatura gaussiana seria positiva. É fácil observar que, se f é uma função
constante, a curvatura gaussiana será nula. Mesmo sem a realização de cálculos,
também é fácil observar que o cilindro tem curvatura gaussiana nula e que a
catenoide tem curvatura gaussiana negativa, o que permite verificar rapidamente a
veracidade da alternativa A e a falsidade da alternativa D.
Uma isometria entre duas superfícies S1 e S2 é uma bijeção f tal que f e sua
inversa têm componentes com derivadas parciais contínuas de quaisquer ordens,
que leva curvas de S1 em curvas de mesmo comprimento em S2. Sabe-se que a
curvatura gaussiana de uma superfície é preservada por isometrias. Desta forma, a
alternativa B está errada, pois, como vimos acima, as curvaturas gaussianas do
cilindro e da catenoide são, respectivamente, 0 e -1, portanto diferentes,
contrariando a informação de que superfícies isométricas têm a mesma curvatura
gaussiana em cada ponto.
Uma curva paramétrica γ(t) em uma superfície S é dita uma geodésica se γ(t )
é nula ou perpendicular à superfície no ponto γ(t), para todo t. Um vetor será
perpendicular a uma superfície paramétrica S no ponto σ (u, v ) se este vetor for
múltiplo do vetor normal σ u × σ v , onde × denota o produto vetorial. Como exemplo,
as circunferências obtidas pela intersecção do cilindro x 2 + y 2 = 1 com planos
paralelos ao plano xy e as retas paralelas ao eixo z, contidas neste cilindro, são
geodésicas neste cilindro (PRESSLEY, 2001).
Com isto, pode-se concluir que a alternativa C está errada, pois, além das
retas paralelas ao eixo z contidas no cilindro, as circunferências referidas acima
também são geodésicas.
Considera-se que esta questão é difícil, por exigir o conhecimento de muitos
conceitos de Geometria Diferencial, no entanto, não são necessários cálculos para a
sua resolução, pois os sinais das curvaturas Gaussianas podem ser observados
através da concavidade de suas curvas de perfil (como vimos acima), ou seja,
através de uma simples observação das figuras apresentadas.
Referências Bibliográficas:
PRESSLEY, A. Elementary differential geometry. Londres: Springer – Verlag,
2001. (Springer Undergraduate Mathematics Series).
STEWART, J. Cálculo. 5.ed. São Paulo: Pioneira Thomson Learning, 2006.
ENADE Comentado 2008: Matemática
95
QUESTÃO 42
Um domínio de integridade é um domínio principal quando todo ideal é principal,
isto é, pode ser gerado por um único elemento. Com base nesse conceito, avalie as
seguintes afirmações.
I
O anel [x] — de polinômios sobre  na variável x — é um domínio principal,
em que  é o anel dos inteiros.
II
Se K é um corpo, K[x] — o anel de polinômios sobre K na variável x — é um
domínio principal.
III
O anel dos inteiros gaussianos [i] é um domínio principal.
É correto o que se afirma em
(A)
I, apenas.
(B)
II, apenas.
(C)
I e III, apenas.
(D)
II e III, apenas.
(E)
I, II e III.
Gabarito: Alternativa D
Autoria: Neda da Silva Gonçalves e Virgínia Maria Rodrigues
Comentário:
Para analisar a questão, são necessários os seguintes conceitos: domínio de
integridade, domínio euclidiano, domínio fatorial, domínio principal, anel de
polinômios sobre , anel de polinômios sobre um corpo e anel dos inteiros
gaussianos. Algumas propriedades específicas de cada uma dessas estruturas
também são necessárias, entre elas:
a) Se a e b são elementos de um domínio principal D, então mdc(a,b) pertence a
esse domínio.
Observe que, se I ⊆ D é o ideal gerado por a e b, então existe d em I tal que o
ideal gerado por a e b é igual ao ideal gerado por d, pois o domínio é principal. Assim,
d = ra+sb, com r, s em D. Além disso, como a e b são elementos de I, a = dx e b = dy,
para x e y ∈ D, isto é, d | a e d | b. Supondo, agora, que exista d’ em D tal que d’ | a e
d’ | b, ou seja, que existem m e n em D tais que d’m = a e d’n = b, o que indica que
d’ ∈ I. Pode-se então, escrever d’ = qd com q ∈ D. Logo d = mdc(a b).
96
Augusto Vieira Cardona et al. (Orgs.)
b) Se D é um domínio euclidiano então D é um domínio principal.
A demonstração pode ser encontrada em Garcia e Lequain (2002, p. 41).
Analisando as afirmações apresentadas na questão, verifica-se que a primeira
é falsa. Para mostrar que [x] não é um domínio principal, basta considerarmos o
ideal <2,x> (gerado por 2 e por x) de [x], que não é principal. De fato, sabe-se que
os elementos desse ideal são da forma 2.p(x) + x.q(x) com p(x) e q(x) em [x].
Supondo que esse domínio é principal, pela primeira propriedade acima, tem-se que
d(x) = mdc(2,x) será o gerador desse ideal. Entretanto, sabe-se que mdc(2, x) = 1,
de onde segue que <2,x> = [x]. Absurdo, pois o elemento 1 não pode ser escrito
da forma 2.p(x) + x.q(x), com p(x) e q(x) em [x]. A afirmação I, portanto, é falsa.
Com respeito à segunda afirmação, o fato de que o anel de polinômios sobre
um corpo é um domínio principal está demonstrado na literatura sobre o assunto.
Veja, por exemplo, em Gonçalves (2003, p. 72). A afirmação II, portanto, é verdadeira.
A terceira afirmação está correta, e sua validade pode ser constatada, se a
segunda propriedade acima for utilizada, pois [i] é um domínio euclidiano com a norma
ϕ :[i] →  dada por ϕ (a + bi ) = a 2 + b 2 . A afirmação III, portanto, é verdadeira.
Assim, tem-se como resposta certa a alternativa D.
Esta questão é difícil, uma vez que envolve conceitos com maior nível de
complexidade.
Referências Bibliográficas:
GARCIA, A.; LEQUAIN, Y. Elementos de álgebra. Rio de Janeiro: IMPA, 2002.
GONÇALVES, A. Introdução à álgebra. Rio de Janeiro: IMPA, 2003.
ENADE Comentado 2008: Matemática
97
QUESTÃO 43
Considere o espaço vetorial V = (2, < , >1) munido do seguinte produto interno:
<u, v>1 = x1x2 - y1x2 - x1y2 + 4y1y2, em que v = (x1, y1) e u = (x2, y2) são vetores de
x
2
2. Considere T: V → V o operador linear dado por T ( x, y ) = (2y , ) . Com relação
ao produto interno < , >1 e ao operador T, assinale a opção correta.
(A)
Os vetores e1 = (1, 0) e e2 = (0, 1) são ortogonais em relação ao produto
interno < , >1.
(B)
O operador T preserva o produto interno, isto é, < T(u), T(v) >1 = < u, v >1.
(C) T(x, y) = T(y, x), para todo (x, y) de 2.
(D) O vetor u = (2, 0) pertence ao núcleo de T.
(E)
Existe um vetor v = (x, y) ∈ 2 tal que x2 + y2 = 1 e <v, v>1 = 0.
Gabarito: Alternativa B
Autoria: Vera Lúcia Martins Lupinacci
Comentário:
Para resolver a questão, é necessário o conhecimento dos conceitos de
operador linear, núcleo de uma transformação linear, espaço vetorial com produto
interno e suas propriedades.
O conceito de operador linear é apresentado na questão 22.
Núcleo de uma transformação linear T: V → W é o conjunto de todos os
vetores v ∈ V que são transformados no vetor nulo. Indica-se esse conjunto por
N(T) = {v ∈ V; T(v) = 0}.
Um produto interno sobre V é uma função que a cada par de vetores v1 e
v2 do espaço vetorial V, associa um número real, denotado v 1,v 2 , satisfazendo
as propriedades:
a. v , v ≥ 0 , para todo vetor v, e v , v = 0 se, e somente se v = 0.
b. α v 1, v 2 = α v 1, v 2 , para todo real α .
c. v 1 + v 2 , v 3 = v 1, v 3 + v 2 , v 3 .
d. v 1,v 2 = v 2 ,v 1 .
98
Augusto Vieira Cardona et al. (Orgs.)
Usa-se o produto interno entre dois vetores para identificar se os vetores são
ortogonais. Formalmente, diz-se que dois vetores, u e v, de um espaço vetorial V com
produto interno < , > são ortogonais (em relação a este produto interno) se <u,v> = 0.
Considerando os conceitos apresentados acima e o conhecimento de
algumas propriedades que se referem a eles, conclui-se que:
A alternativa A não é verdadeira. Para comprovar este fato, basta efetuar o
cálculo do produto interno entre os vetores (1,0) e (0,1), ou seja,
< (1,0), (0,1) > 1 = (1 ⋅ 0 − 0 ⋅ 0 − 1.1 + 4 ⋅ 0.1) = −1 ≠ 0 .
Portanto os vetores apresentados não são ortogonais em relação a este
produto interno.
A alternativa C está errada, pois existe um vetor de 2, por exemplo, o vetor
(2,1) tal que T(2,1) = (2,1) e T(1,2) = (4, ½), ou seja, T(2,1) ≠ T(1,2).
A alternativa D está errada, pois a imagem do vetor u = (2,0) pela
transformação linear citada é diferente do vetor nulo, isto é, T(2,0) = (0,1). Assim, de
acordo com a definição do núcleo de uma transformação linear, justifica-se que o
vetor u não pertence ao núcleo de T.
A alternativa E está errada, pois a definição de produto interno garante que se
< v , v >1 = 0, então v é o vetor nulo do 2 e o vetor (0,0) não satisfaz a equação
x2 + y2 = 1.
Desta forma, conclui-se que a alternativa correta é a B. De fato,
T(u) = (2y2,x2/2) é a imagem do vetor u = (x2, y2) e T(v) = (2y1,x1/2) é a imagem o vetor
v = (x1,y1), assim o produto interno entre os vetores T(u) e T(v) é o real < T(u) ,
T(v) >1 = < (2y2,x2/2) , (2y1,x1/2) >1 =2y2.2y1 – (x2/2).2y1 – 2y2.(x1/2) + 4x2/2.x1/2 =
4y2y1 – x2y1 – y2x1 + x2x1 = x1.x2 - y1.x2 – x1.y2 + 4y1.y2 = < u , v >1. Tem-se que o
operador T preserva o produto interno entre os vetores.
Entende-se que esta questão é de nível de dificuldade médio, pois exige o
conhecimento de diversos conceitos e propriedades dos operadores lineares,
principalmente o conceito de produto interno em um espaço vetorial.
Referências Bibliográficas:
ANTON, H.; RORRES, C. Álgebra linear com aplicações. 8. ed. Porto Alegre:
Bookman, 2001.
BOLBRINI, J. L. Álgebra linear. 3. ed. São Paulo: Harper & Row do Brasil, 1980.
ENADE Comentado 2008: Matemática
99
QUESTÃO 44
Para cada número real k, a equação diferencial y ' ' ( x ) + 2y ' ( x ) + k y ( x ) = 0 possui
uma única solução y k (x ) que satisfaz às condições iniciais y k (0) = 0 e y k' (0) = 1.
Considere o limite Lk = lim y k ( x ) e analise as seguintes asserções a respeito
x → +∞
desse limite.
Para qualquer k ∈ (0,1), o valor de Lk é zero
porque
a equação diferencial dada é não-linear.
A respeito dessa afirmação, assinale a opção correta.
(A)
As duas asserções são proposições verdadeiras, e a segunda é uma
justificativa correta da primeira.
(B)
As duas asserções são proposições verdadeiras, e a segunda não é uma
justificativa correta da primeira.
(C) A primeira asserção é uma proposição verdadeira, e a segunda é falsa.
(D) A primeira asserção é uma proposição falsa, e a segunda é verdadeira.
(E)
Ambas as asserções são proposições falsas.
Gabarito: Alternativa C
Autoria: Luiz Eduardo Ourique
Comentário:
Os conceitos a seguir são necessários para resolver esta questão: a ordem
de uma equação diferencial é a ordem da derivada de maior ordem que aparece na
equação. Uma equação diferencial de segunda ordem é dita linear, se puder ser
escrita
na forma
y ' ' ( x ) + p( x )y ' ( x ) + q( x ) y ( x ) = g ( x ) .
Esta equação é dita
homogênea, se g ( x ) ≡ 0 , e diz-se que tem coeficientes constantes se p(x ) e q(x )
são constantes. Assim, equação diferencial y ' ' ( x ) + 2y ' ( x ) + k y ( x ) = 0 é uma
equação diferencial linear de segunda ordem, com coeficientes constantes e
homogênea, o que torna falsa a segunda asserção.
100
Augusto Vieira Cardona et al. (Orgs.)
A solução geral desta equação pode ser calculada através da equação
característica: r 2 + 2r + k = 0 , cujas raízes são: r1 = – 1 –
1 − k e r2 = –1 +
1− k .
Por hipótese, k ∈ (0,1), logo as raízes da equação característica r1 e r2 são números
reais negativos e diferentes, pois 0 < k < 1 , implica 0 < 1 − k < 1 . A solução geral da
equação diferencial dada é:
y k ( x ) = c1e r1x + c 2e r2 x .
Por outro lado, o problema de valor inicial,
y ' ' ( x ) + 2y ' ( x ) + k y ( x ) = 0
k
k
 k
,
=
(
0
)
0
y
 k
 ′
y k (0) = 1
possui
uma
única
y k ( x ) = c1e r1x + c 2e r2 x
solução
obtemos
y k (x ) .
De
fato,
derivando
a
solução
geral
y k ' ( x ) = r1c1e r1x + r2c 2e r2 x . Assim, as condições
c + c = 0
iniciais implicam na solução do sistema  1 2
, cuja solução é única, já que o
c1r1 + c 2 r2 = 1
determinante da matriz dos coeficientes do sistema é D =
1 1
= r2 – r1 ≠ 0,
r1 r2
pois r1 ≠ r2.
Seja Lk = lim y k ( x ) . Então Lk = lim c1e r1x + c 2e r2 x = 0 , pois r1 < 0 e r2 < 0. Ou
x →+∞
x → +∞
seja, o limite Lk é nulo, porque o coeficiente k é um número entre 0 e 1, o que
mostra que a primeira asserção é uma proposição verdadeira.
Assim, concluí-se que a resposta correta é dada no item C. O limite Lk é nulo,
porque o coeficiente k é um número real entre 0 e 1, e isso implica que r1 < 0 e r2 <
0. Por outro lado, a segunda asserção é falsa, pois foi visto acima que a equação
diferencial dada é linear.
As demais alternativas são falsas, pois:
a) A alternativa A afirma que as duas asserções são proposições verdadeiras, o que
é falso, uma vez que a equação diferencial dada é linear;
b) A alternativa B diz que as duas asserções são proposições verdadeiras, e a
segunda não é justificativa correta da primeira. De fato, a segunda asserção não
ENADE Comentado 2008: Matemática
101
justifica a primeira, além disso, ela não é uma proposição verdadeira, já que a
equação diferencial dada é linear;
c) A alternativa D afirma que a primeira asserção é uma proposição falsa, e a
segunda é verdadeira. No entanto, como vimos acima, a primeira asserção é uma
proposição verdadeira, e a segunda é falsa;
d) A alternativa E afirma que ambas as asserções são falsas e vimos que a primeira
asserção é uma proposição verdadeira.
Esta é uma questão difícil, pois a sua resolução exige o conhecimento dos
conceitos de solução de uma equação diferencial ordinária, classificação de uma
equação diferencial quanto à linearidade e unicidade da solução de um problema de
valores iniciais, conceitos geralmente trabalhados em um único semestre.
Referências Bibliográficas:
BOYCE, W. E.; DIPRIMA, R. C. Equações diferenciais elementares e problemas
de valores de contorno. 7.ed. Rio de Janeiro: Guanabara Dois, 2005.
STEWART, J. Cálculo. 5.ed. São Paulo: Pioneira Thomson Learning, 2006.
102
Augusto Vieira Cardona et al. (Orgs.)
QUESTÃO 45
Considere uma função f:  →  que possui segunda derivada em todo ponto e que
satisfaz à seguinte propriedade:
f (2 + h ) + f (2 − h ) − 2f (2)
= 1.
h →0
h2
Um estudante de cálculo diferencial, ao deparar-se com essa situação, escreveu a
lim
afirmação seguinte.
A segunda derivada f’’(2) = 1
porque
g ( x + h ) + g ( x − h ) − 2g ( x )
= g ′′( x ) , qualquer que seja a função g.
h →0
h2
lim
Com relação ao afirmado pelo estudante, assinale a opção correta.
(A)
As duas asserções são proposições verdadeiras, e a segunda é uma
justificativa correta da primeira.
(B)
As duas asserções são proposições verdadeiras, mas a segunda não é uma
justificativa correta da primeira.
(C) A primeira asserção é uma proposição verdadeira, e a segunda é falsa.
(D) A primeira asserção é uma proposição falsa, e a segunda é verdadeira.
(E)
Ambas as asserções são proposições falsas.
Gabarito: Alternativa C
Autoria: Liara Aparecida dos Santos Leal
Comentário:
A questão apresenta uma proposta teórica sobre o conceito de derivada e
suas propriedades, sua resolução implica na interpretação lógica das alternativas,
além da habilidade no desenvolvimento do cálculo de limites.
Uma função f : X →  é derivável em um ponto de acumulação a ∈ X
quando existir o limite: lim
h →0
f (a + h ) − f (a )
= f ′(a ) . Deve-se lembrar que a ∈  é um
h
ponto de acumulação do conjunto X quando a = lim xn, sendo (xn) uma sequência de
elementos de X, dois a dois distintos. Sendo definida como um limite, a derivada tem
um caráter local.
ENADE Comentado 2008: Matemática
103
Sob as mesmas hipóteses, vale o seguinte resultado:
f (a + h ) − f (a − h )
.
h →0
2h
Se f é derivável em a, então f ′(a ) = lim
Esta propriedade não é abordada nesta questão, mas o leitor pode
demonstrar este resultado como exercício, utilizando a ideia apresentada para
resolver o problema proposto.
No entanto, a recíproca não é verdadeira: a existência do limite acima, não
implica a existência da derivada num ponto. Como contra-exemplo, pode-se
considerar a função f ( x ) = x .
Esta função não é derivável em x = 0, porém é possível calcular o limite, ou seja,
| h | − | −h |
f ( h ) − f ( −h )
= lim
= 0.
h →0
h →0
2h
2h
lim
Vale um resultado análogo para a derivada segunda de f no ponto a:
f (a + h ) + f (a − h ) − 2f (a )
.
h →0
h2
Se existir f ′′(a ) , então f ′′(a ) = lim
Para demonstrar esta propriedade, utiliza-se um importante teorema
envolvendo as derivadas de ordem n de uma função, dado pela Fórmula de Taylor
Infinitesimal:
Seja f : (c, d ) → IR n vezes derivável no ponto a ∈ (c, d ) . Então, para todo
h tal que a + h ∈ (c, d ) , tem-se
f (a + h ) = f (a ) + f ′(a ).h +
f ′′(a ) 2
f ( n ) (a ) n
r (h )
h + r (h ) , onde lim n = 0 .
.h + ... +
h →0 h
n!
2!
Essa fórmula será utilizada para provar o resultado enunciado acima para a
derivada segunda f ′′(a ) . Considerando h > 0 , tal que [a-h,a+h] ⊂ (c,d), e supondo a
existência de f ′′(a ) , tem-se que:
f (a + h ) = f (a ) + f ′(a ).h +
r1 (h )
f ′′(a ) 2
.h + r1 (h ) , com lim 2 = 0
h →0 h
2!
e
f (a − h ) = f (a ) − f ′(a ).h +
r ( −h )
f ′′(a ) 2
.h + r 2 ( −h ) , com lim 2 2 = 0 .
0
h
→
2!
h
Adicionando membro a membro:
f (a + h ) + f (a − h ) = 2f (a ) + f ′′(a ).h 2 + r1 (h ) + r 2 ( −h ) ,
104
Augusto Vieira Cardona et al. (Orgs.)
donde
f ′′(a ) =
Calculando
o
f (a + h ) + f (a − h ) − 2f (a ) r1 (h ) r 2 ( −h )
− 2 −
h2
h
h2
limite,
para
h → 0,
obtém-se
o
resultado
desejado,
comprovando que, sob a hipótese da existência da derivada segunda, esta pode ser
dada pelo limite:
f ′′(a ) = lim
h →0
f (a + h ) + f (a − h ) − 2f (a )
.
h2
Faz-se importante observar que, neste caso, a recíproca também não é
 x 2, x ≥ 0
.
2
− x , x < 0
verdadeira. Como contra-exemplo, considera-se a função f ( x ) = 
Embora não exista f ′′(0) , é possível calcular o limite, ou seja,
f (0 + h ) + f (0 − h ) − 2f (0)
h2 − h2
=
= 0.
lim
h →0
h →0
h2
h2
lim
Na questão proposta, a função f :  →  possui derivada segunda em todo
ponto e satisfaz a propriedade:
f (2 + h ) + f (2 − h ) − 2f (2)
= 1.
h →0
h2
lim
Portanto, está correta a afirmação que f ′′(2) = 1, dada pelo limite acima, já que
a derivada segunda existe, por hipótese. Entretanto, não está correto afirmar que a
derivada segunda de qualquer função pode ser dada pelo limite. Conforme o contraexemplo mostrado acima, a existência do limite não implica a existência da derivada
segunda no ponto.
Conclui-se que a resposta correta é a letra C, a primeira asserção é uma
proposição verdadeira, e a segunda é falsa.
A questão pode ser considerada difícil, visto que requer conhecimentos de
diversos conceitos e propriedades não elementares relacionadas com a derivada de
uma função.
Referência Bibliográfica:
LIMA, E. L. Curso de Análise. Rio de Janeiro: Instituto de Matemática Pura e
Aplicada – IMPA, 1987. v.1.
ENADE Comentado 2008: Matemática
105
QUESTÃO 46
Considere as integrais complexas
I1 =
∫
1
z=
2
cos πz
z(z − 1)
2
dz e I 2 =
∫
1
z +1 =
2
cos πz
z(z − 1)
2
dz .
A soma I1 + I2 é igual a
(A)
4πi.
(B)
2πi.
(C) 0.
(D) -2πi.
(E)
-4πi.
Gabarito: Alternativa B
Autoria: Maria Beatriz Menezes Castilhos e Augusto Vieira Cardona
Comentário:
Os conceitos apresentados abaixo variam de autor para autor. Por exemplo, o
que um autor entende por curva, outro denomina curva suave. Desta forma, foram
selecionados
os
conceitos
considerados
de
mais
fácil
apresentação
ou
entendimento, necessitando alterá-los de forma a uniformizar os termos adotados.
Uma curva orientada ou paramétrica C no plano complexo é um conjunto de
pontos z = (x, y) tais que x = x(t ) e y = y (t ) , com t ∈ [a, b], onde x(t) e y(t) são
funções contínuas. Pode-se escrever z = z(t ) , com a ≤ t ≤ b . Se z(a) = z(b), C é dita
uma curva fechada. Se não existem dois valores distintos de t em [a, b], t 1 < t 2 ,
t 1 ≠ a e t 2 ≠ b , tais que z(t 1 ) = z(t 2 ) , diz-se que a curva C é simples (Curva de
Jordan). Uma curva é dita suave, se z ′ (t ) existe, é contínua e não se anula para
todo t no intervalo (a, b). Um caminho é uma cadeia contínua de curvas suaves.
Deve-se observar que o sentido em que a curva C é percorrida com o crescimento
do t é chamado sentido positivo de C.
Um conjunto D de números complexos é dito aberto, se cada ponto a de D é o
centro de um disco aberto de raio positivo r, z − a < r , cujos pontos pertencem
todos a D. Um conjunto aberto D de números complexos é dito conexo se, para cada
par de pontos de D, existe um caminho constituído de segmentos de reta que os une
106
Augusto Vieira Cardona et al. (Orgs.)
e que se encontra inteiramente contido em D. Um domínio é um conjunto aberto e
conexo. Um domínio D é dito simplesmente conexo se toda curva fechada em D
contém somente pontos do interior de D. O leitor, também, pode encontrar estes
conceitos em Spiegel (1981, p. 9, 10 e 140) e em Churchill (1975, p. 16, 17 e 104).
Diz-se que uma função f(z) é analítica num ponto z0 , se sua derivada f’(z)
existe não só em z 0 como também em todo ponto z contido em algum disco aberto
z − z 0 < r . Diz-se que uma função é analítica num domínio D se ela é analítica em
todo ponto de D.
Conforme o Teorema Integral de Cauchy ou de Cauchy – Goursat:
Se f(z) é uma função analítica num domínio simplesmente conexo D,
então para todo caminho fechado C contido em D, tem-se
∫ f (z) dz = 0 .
C
Segundo a Fórmula Integral de Cauchy, pode-se afirmar que:
Se f(z) é uma função analítica num domínio D limitado por um caminho
fechado C e z0 é um ponto qualquer de D, então
f (z)
∫z−z
C
dz = 2π i f ( z 0 )
0
onde a integração é efetuada no sentido positivo ao longo de C.
1/2
z =
1
1
2
Figura 1: Caminhos
-1
-1/2
1
1
z +1 =
2
z =
1
1
e z +1 =
no plano complexo.
2
2
ENADE Comentado 2008: Matemática
107
Serão aplicados os teoremas acima para resolver as duas integrais desta
questão. Observa-se na figura 1 que a função f ( z ) =
limitado pela curva z =
cos πz
(z − 1)2
é analítica no domínio
1
, e que z0 = 0 é um ponto deste domínio. Desta forma,
2
obtemos, da Fórmula Integral de Cauchy,
I1 =
∫
z=
cos πz
1
2
z(z − 1)
2
 cos πz 
dz = 2πi 
= 2πi .
2 
 (z − 1)  z =0
Quando o sentido de uma curva não é mencionado, considera-se sendo este
o sentido positivo. Nota-se, também, na figura 1, que a função f ( z ) =
analítica no domínio limitado pela curva z + 1 =
cos πz
z(z − 1)
2
é
1
. Portanto, pelo Teorema Integral
2
de Cauchy, obtém-se que:
I2 =
∫
1
z +1 =
2
cos πz
z(z − 1)
2
dz = 0 .
Finalmente, conclui-se que I1 + I 2 = 2πi , ou seja, a alternativa correta é a
alternativa B.
Considera-se a questão fácil, uma vez que é uma aplicação direta dos
teoremas de Cauchy.
Referências Bibliográficas:
ÁVILA, G. S. de S. Variáveis complexas e aplicações. 3. ed. Rio de Janeiro:
LTC, 2000.
CHURCHILL, R. V. Variáveis complexas e suas aplicações. São Paulo: McGrawHill, 1975.
COLWELL, P.; MATHEWS, J. C. Introdução às variáveis complexas. São Paulo:
Edgard Blucher, 1976.
SPIEGEL, M. R. Variáveis complexas: com uma introdução as transformações
conformes e suas aplicações: resumo da teoria, 379 problemas resolvidos, 973
problemas propostos. São Paulo: McGraw-Hill, 1981.
108
Augusto Vieira Cardona et al. (Orgs.)
QUESTÃO 47
Considere o grupo G das raízes 6-ésimas da unidade, isto é, o grupo formado
pelos números complexos z, tais que z6 = 1. Com relação ao grupo G, assinale
a opção correta.
(A)
O grupo G é cíclico.
(B)
G é um grupo de ordem 3.
(C) O número complexo e
2πi
5
é um elemento primitivo de G.
(D) Existe um subgrupo de G que não é cíclico.
(E)
Se z é um elemento primitivo de G, então z2 também é um elemento primitivo
de G.
Gabarito: Alternativa A
Autoria: Neda da Silva Gonçalves, Thaisa Jacintho Müller e Virgínia Maria Rodrigues
Comentário:
Para analisar a questão, são necessários os conceitos de grupo, grupo
cíclico, subgrupo, ordem de um grupo, elementos primitivos de um grupo e, mais
especificamente, o grupo multiplicativo das raízes sextas da unidade em ℂ.
Conhecimentos estes que poderão ser ampliados em Garcia e Lequain (2002).
A questão trata do grupo formado pelas soluções complexas da equação z6 = 1.
Desde o Ensino Médio, trabalha-se com as raízes da unidade no conjunto dos
números complexos, portanto, com facilidade obtêm-se as soluções dessa equação,
que geometricamente representam vértices de um hexágono regular inscrito na
circunferência unitária. Na forma trigonométrica, essas soluções são:
cos
2(k − 1)π
2(k − 1)π
+ i sin
, k = 1, 2, 3, ...., n,
n
n
Para n = 6, tem-se o conjunto:
{1,
1
3 1
1
3
3
1
3
i, −
i , -1, − −
i}
+
i, − +
2
2
2
2 2
2
2
2
e, na forma exponencial desses complexos, tem-se o grupo:
πi
({1, e 3 , e
2πi
3
, e πi , e
4πi
3
,e
5πi
3
} , ⋅ ).
ENADE Comentado 2008: Matemática
109
Observe que os arcos determinados no círculo unitário medem
πi
πi
πi
πi
(e 3 )0 = 1, (e 3 )1 = e 3 ,(e 3 ) 2 = e
2πi
3
πi
πi
,(e 3 )3 = e πi ,(e 3 ) 4 = e
4πi
3
π
3
:
πi
, (e 3 ) 5 = e
5πi
3
,
πi
isto é, o grupo é cíclico gerado por e 3 .
Assim, a alternativa correta é a A e as demais alternativas são falsas, pois:
Alternativa B – conforme se observa, no grupo criado acima, a ordem de G é 6, pois
possui 6 elementos.
πi
Alternativa C – as únicas raízes primitivas da unidade nesse grupo são e 3 e e
ou seja, e
2πi
6
ee
10πi
6
5πi
3
,
.
Alternativa D – os subgrupos de G, possuem 6, 3, 2 ou 1 elementos (Teorema de
Lagrange). O próprio grupo, como já foi visto, é cíclico e os outros possuem menos
de 5 elementos, o que permite afirmar que também são cíclicos.
πi
Alternativa E – e
3
é primitivo e e
2πi
3
não o é.
Esta questão tem nível de dificuldade médio, pois, embora o conteúdo de
números complexos seja trabalhado desde o ensino médio, sua relação com a
estrutura de grupo cíclico compõe um conteúdo algébrico que não é dos mais fáceis.
Referência Bibliográfica:
GARCIA, A.; LEQUAIN, Y. Elementos de álgebra. Rio de Janeiro: IMPA, 2002.
110
Augusto Vieira Cardona et al. (Orgs.)
QUESTÃO 48
No plano 2, considere que o conjunto Q consiste dos lados de um quadrado de
lado unitário. Nesse conjunto, pode-se definir uma métrica d da seguinte maneira:
dados dois pontos distintos, A, B ∈ Q, d(A,B) é definida como o comprimento
euclidiano da menor poligonal contida em Q e com extremidades A e B, e d(A,B) = 0,
se A = B, conforme ilustra a figura abaixo.
B
t
d(A, B) = s + t
A
s
O espaço métrico Q, munido da métrica d,
(A)
tem diâmetro igual a
2.
(B)
possui um par de pontos tais que d(x,y) ≠ d(y,x).
(C) é um subespaço métrico do plano 2 munido da métrica euclidiana.
(D) coincide com uma bola aberta de centro em um dos vértices de Q e de raio 3
na métrica d.
(E)
é igual à união de duas bolas abertas de centros em vértices distintos de Q e
de raio 1 na métrica d.
Gabarito: Alternativa D
Autoria: Augusto Vieira Cardona e Maria Beatriz Menezes Castilhos
Comentário:
Para analisar a questão é necessário o conhecimento dos conceitos de métrica,
espaço métrico, subespaço métrico, bola aberta e diâmetro de um espaço métrico.
Uma métrica de um conjunto M é uma função d: M × M →  tal que para
quaisquer x, y, z ∈ M tem-se que:
a. d(x,x) = 0;
b. Se x ≠ y, então d(x,y) > 0;
ENADE Comentado 2008: Matemática
111
c. d(x,y) = d(y,x);
d. d(x,z) ≤ d(x,y) + d(y,z).
Neste caso, diz-se que o par (M, d) é espaço métrico, ou seja, um espaço
métrico é um conjunto M dotado de uma métrica d. Por exemplo, o plano 2 = {(x,y);
x, y ∈ }, dotado da métrica euclidiana
d (( x1, x 2 ), ( y 1, y 2 )) = ( x1 − x 2 )2 + ( y 1 − y 2 )2 ,
é um espaço métrico.
Tem-se que um subconjunto S de M, dotado da restrição da métrica d ao
conjunto S × S, é um subespaço métrico de M.
Define-se bola aberta em M, de centro a e raio r, ao conjunto
B(a;r) = {x ∈ M; d(x,a) < r}.
Tem-se, também, que um subconjunto X de um espaço métrico M é dito
limitado, se existe uma constante c > 0 tal que d(x,y) ≤ c para quaisquer x, y ∈ X e
define-se o diâmetro de X como diam(X) = sup{d(x,y); x, y ∈ X}.
Considerando os conceitos apresentados acima, conclui-se que:
a) A alternativa A está errada, pois o maior valor para a métrica d será obtido entre
dois vértices não consecutivos e este valor será a soma dos comprimentos
euclidianos de dois lados do quadrado Q, ou seja, o diâmetro de Q será igual a 2;
b) A alternativa B está errada, pois discorda da terceira condição que uma métrica
deve satisfazer;
c) A alternativa C está errada, pois, para Q ser um subespaço métrico do 2, Q deveria
ser dotado da mesma métrica do 2 e não da métrica d definida no problema.
d) A alternativa E está errada, pois, mesmo que os vértices não sejam consecutivos,
pelo fato das bolas serem abertas, os outros dois vértices estariam fora deste
conjunto, ou seja, ele não seria igual ao espaço métrico Q. Para compreender este
raciocínio, observe que uma bola aberta na métrica d, de centro em a e raio r,
consistiria de todos os pontos x de Q tais que o comprimento euclidiano da menor
poligonal contida em Q com extremidades a e x seja menor que r. Assim, uma bola
aberta na métrica d, de centro em um vértice a de Q e raio 1, consistiria dos dois
lados do quadrado Q, adjacentes a a, excluindo as extremidades desses lados,
diferentes de a.
112
Augusto Vieira Cardona et al. (Orgs.)
Desta forma, conclui-se que a alternativa correta é a D, pois uma bola
centrada em qualquer ponto a de Q com um raio r qualquer, maior que o diâmetro de
Q, diam(Q) = 2 < r = 3, coincidiria com Q. Isto ocorre porque esta bola deverá, por
definição, estar contida em Q e, para qualquer ponto x de Q, tem-se d(x,a) < r, ou
seja, Q estará contido na bola.
Entende-se que esta questão é difícil, por exigir o conhecimento de diversos
conceitos sobre espaços métricos e porque as alternativas D e E exigem uma leitura
muito cuidadosa para não se cometer um erro de avaliação. O candidato poderia
optar pela alternativa E, ao não perceber que, pelo menos, os outros dois vértices
ficariam de fora. Além disto, uma análise apressada da alternativa D, observando
que o raio da bola é três, maior do que o diâmetro de Q, poderia levar à conclusão
de que esta alternativa está errada.
Referência Bibliográfica:
LIMA, E. L. Espaços métricos. 2. ed. Rio de Janeiro: IMPA, 1977.
ENADE Comentado 2008: Matemática
113
QUESTÃO 49
Quando uma partícula desloca-se ao longo de uma curva C parametrizada por
→
r (t)=(x(t),y(t),z(t)), t ∈ [a,b], sob a ação de um campo de força F em 3, o trabalho
realizado ao longo de C é dado por
→
b →
dr
∫ F ⋅ dr = ∫ F (r(t )) ⋅ dt (t )dt .
C
→
Se F (r ) = f (| r |)
a
r
, em que f:  →  é uma função contínua e r = x 2 + y 2 + z 2 ,
|r |
→
então F = grad(g( r )) , em que g é uma primitiva de f. Considerando essas
→
informações, conclui-se que o trabalho realizado pelo campo F (r ) =
2π
r ao longo
| r |2
da hélice C dada por r (t) = (cos(t), sen(t), t), t ∈ [0, 2π], é:
(A)
– 2π ln(1+4π2).
(B)


1
− 1 .
–6π 
 [1 + 4π 2 ] 3




1
(C) 2π 1 −

1 + 4π 2


.


(D) 4π ln 1 + 4π 2 .
(E)
2π ln 1 + 4π 2 .
Gabarito: Alternativa E
Autoria: Luiz Eduardo Ourique
Comentário:
→
A integral de linha
∫ F ⋅ dr é interpretada como o trabalho realizado pelo campo
C
→
vetorial F ao longo de uma curva C. Se a curva C é uma curva dada pela equação
→ →
vetorial r(t), com a ≤ t ≤ b , então o trabalho também é denotado por ∫ F ⋅T dr , a integral
C
→
da componente escalar de F na direção do versor tangente a curva C.
114
Augusto Vieira Cardona et al. (Orgs.)
Quanto à segunda afirmação, observa-se que, se g é uma primitiva de f,
então g ′( x ) = f ( x ) . Assim, g ( r ) = g
(
∂g
= g′ x 2 + y 2 + z2
∂x
(x
)
2
)
+ y 2 + z2 e
x
x +y +z
2
2
2
→
que é a primeira componente de F (r ) = f (| r |)
= g ′(| r |)
x
x
= f (| r |)
,
|r|
|r|
r
. Repetindo este procedimento
|r|
→
para a segunda e a terceira componentes de F (r ) , chega-se à demonstração de que
→
→
F (r ) = grad(g( r )) . Lembrando que um campo vetorial F é dito conservativo, se ele
→
é o gradiente de alguma função escalar f. Neste caso, f é dita potencial de F .
Pode-se resolver esta questão de duas formas diferentes:
Solução1:
→
Partindo do campo vetorial F (r) =
f: + → +, dada por f ( x ) =
2π
2π r
, define-se a função contínua
r=
2
|r||r|
|r|
2π
. Então g ( x ) = ∫ f ( x )dx = 2π ln( x )
x
é uma
primitiva de f.
As extremidades da hélice C são os pontos A(1,0,0) e B(1,0,2π). Como visto
→
acima, o campo vetorial F (r) =
2π
r é um campo vetorial conservativo, pois
| r |2
→
F (r ) = grad(g( r )) .
Assim, integral de linha que corresponde ao cálculo do trabalho é igual a
diferença do potencial g nas extremidades de C:
→
∫ F dr = g(B) – g(A) = 2π(ln |B| – ln |A|) =
C
= 2π( ln
12 + 02 + (2π )2 – ln
12 + 02 + 02 ) = 2π ln
1 + 4π 2 .
Solução 2:
→
Calculando o campo vetorial F na hélice r (t) = (cost, sent, t), obtém-se que
|r | =
cos 2 t + sen 2 t + t 2 =
1+ t 2
ENADE Comentado 2008: Matemática
115
e, portanto:
→
F (r ) =
2π
2π
(cos t, sent, t ) .
r=
2
1+ t 2
|r|
O vetor velocidade é o vetor
→
na integral definida é igual a F ⋅
dr
(t ) = (–sent, cost, 1). Assim, o produto escalar
dt
2π
dr
(− sent cos t + sent cos t + t ) = 2π 2 .
(t ) =
2
dt
1+ t
1+ t
Desta forma, o trabalho realizado é igual a integral definida de linha (conforme
a primeira afirmação acima):
→
∫ F dr =
C
2π
2π
2πt
2
dt
π
ln(
1
+
t
)
=
=
2
∫0 1 + t
0
= π (ln(1 + (2π ) 2 ) − ln(1 + 0 2 )) = π ln(1 + 4π 2 ) = 2 π ln 1 + 4π 2 ,
usando a propriedade n ln x = ln xn.
A resposta correta é a alternativa E. Através do cálculo direto, vemos que as
demais alternativas estão erradas.
Esta questão é de nível de dificuldade médio, considerando que a sua
resolução envolve conhecimentos mais avançados do Cálculo e do Cálculo
Vetorial, como propriedades dos campos vetoriais conservativos, e definição do
trabalho como uma integral de linha. A solução 1 é mais elegante, uma vez que
prescinde da parametrização da curva, ao contrário da solução 2, que usa a
definição da integral de linha.
Referências Bibliográficas:
BOYCE, W. E.; DIPRIMA, R. C. Equações diferenciais elementares e problemas
de valores de contorno. 7.ed. Rio de Janeiro: Guanabara Dois, 2005.
STEWART, J. Cálculo. 5.ed. São Paulo: Pioneira Thomson Learning, 2006.
THOMAS, G. B.; WEIR, M. D.; HASS, J.; GIORDANO, F. R. Cálculo. 11.ed. São
Paulo: Addison Wesley, 2009.
116
Augusto Vieira Cardona et al. (Orgs.)
QUESTÃO 50
Efetuando-se o produto das séries de Taylor, em torno da origem, das funções reais
f (x) =
1
e g ( x ) = ln(1 + x ) , obtém-se, para x < 1, o desenvolvimento em série de
1+ x
potências da seguinte função:
ϕ( x ) =
ln(1 + x )
1
1 1
1 1 1



= x − 1 +  x 2 + 1 + +  x 3 − 1 + + +  x 4 +...
1+ x
 2
 2 3
 2 3 4
O coeficiente de xn na série de potências de ϕ ' , a derivada de primeira ordem da
função ϕ , é igual a:
1
1
+ ... +
2
n
(A)
1+
(B)
1
1

( −1) n n 1 + + ... + 
n
 2
(C)
1 
 1
( −1) n (n + 1)1 + + ... +

n + 1
 2
(D)
1
1
1 

(n + 1) 1 + + ... +
+

n +1 n + 2
 2
(E)
1
1 
1
1 

( −1) n n 1 + + ... +  1 + + ... +

n  2
n + 1
 2
Gabarito: Alternativa C
Autoria: Cláudia Helena Fettermann Batistela e Luiz Carlos Renz
Comentário:
Uma série de potências é uma série da forma:
∞
∑c
n =0
n
x n = c 0 + c 1 x + c 2 x 2 + c 3 x 3 +... ,
em que x é a variável e cn , com n = 0, 1, 2, 3, ..., são constantes chamadas
coeficientes da série. Esta série pode convergir para todo x real, em apenas um
ponto ou em um intervalo I, chamado intervalo de convergência da série. Uma série
de potências é uma função derivável, cujo domínio é o intervalo de convergência, e
pode-se determinar a função derivada pela derivação de cada termo da série, como
se faz para um polinômio. Um estudo a respeito deste assunto pode ser ampliado
em Stewart (2006).
ENADE Comentado 2008: Matemática
117
O coeficiente de xn em ϕ ' ( x ) é determinado a partir do termo de xn
+ 1
em
ϕ (x ) . Desta forma, considerando que:
ϕ( x ) =
ln(1 + x )
1
1 1



= x + ( −1)1 1 +  x 2 + ( −1) 2 1 + +  x 3 + ( −1)3 1 +
1+ x
2
2 3



1 1
1
1


+ ... + ( −1) n −1 1 + + + ... +  x n + ( −1) n 1 + +
n
2 3
2


1 1 1 4
+ +  x +...
2 3 4
1
1  n +1
+ ... +
 x + ...
n + 1
3
verifica-se que:


1
2
1 1 2
1 1 1


+  x − 4 1 + + +  x 3 + ... +
 2 3
 2 3 4
1 1
1
1 1
1  n


+ ( −1) n −1 (n ) 1 + + + ... +  x n −1 + ( −1) n (n + 1) 1 + + + ... +
 x + ...
n
n + 1
 2 3
 2 3
ϕ ' ( x ) = 1 − 2 1 +  x + 3 1 +
ou seja, o coeficiente de xn encontra-se, então, no item C das opções apresentadas.
Esta questão é fácil, pois, para resolvê-la, somente é necessário o
conhecimento de derivação de função polinomial.
Referência Bibliográfica:
STEWART, J. Cálculo. 5.ed. São Paulo: Pioneira Thomson Learning, 2006.
118
Augusto Vieira Cardona et al. (Orgs.)
QUESTÃO 51 – DISCURSIVA
Considere uma função derivável f:  →  que satisfaz à seguinte condição:
Para qualquer número real k ≠ 0, a função g k (x ) definida por g k ( x ) = x − kf ( x ) não é
injetora.
Com base nessa propriedade, faça o que se pede nos itens a seguir e transcreva
suas respostas para o Caderno de Respostas, nos locais devidamente indicados.
a) Mostre que, se g k′ ( x 0 ) = 0 para algum k ≠ 0, então f ′( x 0 ) =
1
.
k
b) Mostre que, para cada k ∈  não-nulo, existem números α k e β k tais que
g k (α k ) = g k ( β k ) . Além disso, justifique que, para todo k ∈  não-nulo, existe um
número θ k tal que g k′ (θ k ) = 0 .
c) Mostre que a função derivada de primeira ordem f’ não é limitada.
Autoria: Maria Beatriz Menezes Castilhos
Comentário:
a) Pela definição de g k (x ) , segue que g k′ ( x ) = 1 − kf ′( x ) . Portanto, sendo g k′ ( x 0 ) = 0
e k ≠ 0, tem-se que g k′ ( x 0 ) = 1 − kf ′( x 0 ) = 0 , então f ′( x 0 ) =
1
.
k
b) Como, por hipótese, a função não é injetora, então existem pelo menos dois
pontos com a mesma imagem pela função g k . Para cada k ∈ , esses
pontos escolhidos podem ser denotados por α k
e β k , obtendo-se, então,
g k (α k ) = g k ( β k ) . Aplicando o Teorema do Valor Médio para a função g k , no
intervalo [α k , β k ] , obtém-se um ponto no interior desse intervalo que será denotado
por θ k , que satisfaz a condição g k′ (θ k ) =
g k ( β k ) − g k (α k )
= 0.
βk − αk
c) Então, como foi visto acima, para cada k ≠ 0, existe um número θ k tal que
g k′ (θ k ) = 0 (passo b) e, portanto, f ′(θ k ) =
1
(passo a). Como k é um número real
k
qualquer diferente de zero, então a derivada de f não é limitada, uma vez que se
pode escolher k arbitrariamente próximo de zero, o que implica que existem
números reais nos quais a derivada de f é arbitrariamente grande.
ENADE Comentado 2008: Matemática
119
Esta questão pode ser considerada de nível médio de dificuldade, pois os
itens a, b e c apresentam os passos para a solução da questão, induzindo a escolha
dos resultados a serem usados nessa demonstração.
Referência Bibliográfica:
LIMA, E. L. Curso de análise. 4.ed. Rio de Janeiro: IMPA,1982.
120
Augusto Vieira Cardona et al. (Orgs.)
LISTA DE COLABORADORES
Augusto Vieira Cardona
Cármen Regina Jardim de Azambuja
Cláudia Helena Fettermann Batistela
Francisco Alberto Rheingantz Silveira
Gertrudes Regina Todeschini Hoffmann
Hélio Radke Bittencourt
Ivan Ricardo Tosmann
João Feliz Duarte de Moraes
Liara Aparecida dos Santos Leal
Luiz Carlos Renz
Luiz Eduardo Ourique
Mara Lúcia Müller Botin
Maria Beatriz Menezes Castilhos
Marilene Jacintho Müller
Marisa Magnus Smith
Monica Bertoni dos Santos
Neda da Silva Gonçalves
Ruth Portanova
Thaisa Jacintho Müller
Vanessa Martins de Souza
Vera Lúcia Martins Lupinacci
Virgínia Maria Rodrigues
ENADE Comentado 2008: Matemática
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