A INSERÇÃO DO FENÔMENO DE CORRENTES DE DENSIDADE NA MECÂNICA DOS FLUIDOS
AMBIENTAL
Alexandre Augusto Barbosa
Departamento de Engenharia Mecânica, Instituto de Engenharia Mecânica, EFEI
37500-000, Itajubá - MG, Brasil, tel: (035) 629-1153
Fazal Hussain Chaudhry
Departamento de Hidráulica e Saneamento, Escola de Engenharia de São Carlos, USP
São Carlos - SP, Brasil
RESUMO
INTRODUÇÃO
A consciência para um tratamento adequado ao
meio ambiente está se tornando cada vez maior desde os
finais da década de 70, e para isso é necessária uma
interdisciplinaridade entre os ramos da ciência para que
este tratamento seja o mais eficaz.
Hoje em dia a engenharia ambiental torna-se a
ferramenta de larga utilização quando menciona-se
proteção aos recursos naturais. Dentro dela a Mecânica
dos Fluidos ocupa um lugar de destaque pelo fato de que
estuda elementos que ocupam grande parte de nosso
planeta. A Mecânica dos Fluidos Ambiental permite
prever as respostas de sistemas ambientais às intervenções
devido às obras ou outros controles.
O estudo de correntes de densidade é uma classe
de problemas relacionados aos escoamentos estratificados.
Correntes de densidade ou correntes de gravidade são o
resultado da interação entre dois ou mais fluidos de
diferentes densidades, fato este que acontece em larga
escala na natureza.
Estas diferenças de densidades podem ser resultado
de fluidos de diferentes temperaturas, diferentes
concentrações de sedimentos em suspensão ou
concentrações de sólidos dissolvidos, diferentes
salinidades, ou de fluidos distintos.
O assunto pode ser estudado nos mais diferentes
campos da ciência :geofísica, hidráulica, limnologia,
transferência de calor e massa, previsão do tempo,etc. Sua
aplicação no gerenciamento ambiental vem despertando
interesse cada vez maior.
Este trabalho tem como objetivos principais uma
revisão das principais características das correntes de
densidade, bem como a importância destas para um
controle ambiental.
Podemos nos deparar com correntes de densidade
resultantes de influxos densos e influxos pouco densos,
ocorrendo em lagos e reservatórios estratificados ou não.
Zonas de fluxo
1
2
3
4
5
θ
FIGURA 1 - Propagação de uma corrente de
densidade em um reservatório
Os estudos principais se encontram em correntes
de densidade que se propagam no fundo inclinado do
reservatório, conforme mostra a figura 1.
O fluxo inicial (zona 1) consiste de um fluxo de
densidade ρo e pode ser analisado usando fluxos
hidráulicos em camadas simples .
Para uma posição determinada por um balanço
entre a quantidade de movimento do influxo e a pressão
resultante da diferença de densidade entre o influxo e a
água receptora, o influxo pode vir a se tornar um fluxo
superficial ou submergir abaixo da superfície (zona 2).
Depois do ponto de submersão, tomam-se lugar 2
tipos de fluxo: mistura através da interface da corrente de
densidade e diluição do fluxo da corrente de densidade.
Dentro da zona 3 o fluxo inicial consiste de uma
corrente de densidade de fundo propagando-se declive
abaixo. Os fatores que afetam a velocidade de propagação
da cabeça, a espessura da cabeça e a espessura do fluxo
submerso atrás da cabeça foram inicialmente investigados
por vários pesquisadores. Depois da passagem da cabeça
um fluxo permanente toma lugar.
Se o reservatório for estratificado, o denso fluxo
submerso pode se estender a uma profundidade do
reservatório onde este fluxo submerso atinge um
equilíbrio estável em relação aos seus arredores. Para este
ponto (zona 4), a corrente de densidade pode se separar
do substrato em declive e formar uma intrusão ou
interfluxo. Os fatores que afetam esta separação são
similares àqueles que afetam a submersão na zona 2.
Embora um grande número de experimentos para
formação de intrusões em reservatórios com 2 bem
definidas camadas de estratificação tenham sido
reportados, pequeno é o conhecimento acerca de um
processo mais complexo de formação de intrusões em
reservatórios continuamente estratificados.
Estudos teóricos e experimentais da propagação de
intrusões (zona 5) também têm sido relatados na
literatura. Em reservatórios com camadas de diversas
densidades ou continuamente estratificados, a velocidade
de intrusão é limitada pela onda interna de propagação à
frente de intrusão.
A forma específica do fenômeno de corrente de
densidade mostrado na figura 1 dependerá principalmente
da definição se o influxo é permanente ou não, contínuo
ou instantâneo em relação ao influxo flutuante
Bo = g'Qo (zona 1); onde Qo é a taxa de influxo e
g' = g
∆ρ
ρo
é a redução da aceleração da gravidade,
baseada na diferença de densidade entre o influxo e uma
densidade de água representativa do reservatório,
∆ρ = ρ o − ρ 1 . Em decorrência, a corrente de densidade
pode ocasionar um fluxo flutuante e uma taxa de fluxo
submerso que variam com a distância.
O fluxo pode ser conservativo ou não, dependendo
de deposição ou erosão.Também pode ser dentro de um
canal de largura constante (correntes de densidade
bidimensionais) ou pode se espalhar lateralmente ao
entrar em um largo reservatório vinda de um rio de canal
estreito (correntes tridimensionais).
As correntes de densidade podem ser confinadas
verticalmente em reservatórios rasos ou pelas camadas de
estratificações nos reservatórios.
Se o influxo é flutuante na superfície, ele irá se
separar de seu leito em aclive e formar uma corrente em
espalhamento.
A diferença de densidade entre a corrente de
densidade e seus arredores tem como função dupla
controlar a velocidade de propagação e a espessura da
cabeça e as características do fluxo submerso. O gradiente
de pressão que governa a corrente declive abaixo é
baseado em g’senθ. No caso de fluxos submersos
uniformes, a força devido a este gradiente é
contrabalanceada pelas tensões cisalhantes nos contornos
e nas interfaces.
Na maioria das aplicações ambientais o fluxo
declive abaixo poderá ser turbulento, e troca turbulenta de
fluido e quantidade de movimento poderá ocorrer através
da interface da corrente de densidade.
A natureza laminar ou turbulenta do fluxo pode ser
determinada pelo valor do número de Reynolds; se este
for maior que 103, haverá fluxo turbulento perto do
contorno sólido. Entretanto, quantidade de mistura
interfacial e a intensidade turbulenta na interface também
dependerão da estabilidade interfacial. Isto é uma função
do cisalhamento através da interface e do gradiente de
pressão hidrostática perpendicular à interface, esta última
igual a g’cosθ.
Se o gradiente de densidade interfacial é grande e o
cisalhamento interfacial pequeno, não haverá turbulência
na interface e com isso esta região terá condições
laminares. A estabilidade da interface pode ser expressa
na forma do número de Richardson:
Ri =
g ′h
U
2
cos θ
(1)
Diminuindo Ri, incrementa-se a intensidade de
mistura na interface. Isto por sua vez incrementa a entrada
do fluido de baixo momento na corrente de densidade
representando um efetivo incremento no arrasto interfacial
(Ellison e Turner, 1959).
Esta dupla função da flutuação, acelerando e
desestabilizando (componente g’senθ) e amortecendo e
estabilizando (componente g’cosθ) é um aspecto chave na
dinâmica das correntes de densidade.
Ocorrência em Lagos e Reservatórios
O problema de influxos correntes de densidade tem
importantes aplicações em reservatórios e controle da
qualidade de água. Conhecendo como os contaminantes
no influxo (sais dissolvidos, excesso de calor, sólidos em
suspensão, químicos) são transportados e dispersos,
possíveis decisões podem ser acatadas quanto às
colocações em diferentes níveis no reservatório de
tomadas para o abastecimento municipal, irrigação, etc.
Os parâmetros da corrente da densidade, ou seja,
velocidade de propagação, espessura, diluição, pontos de
submersão e separação, podem ser usados para determinar
a qualidade da água em diferentes profundidades.
Ford et al. (1983) proporcionaram um sumário
detalhado de observações de correntes de densidade em
lagos e reservatórios. Hebbert et al. (1979) mediram o
influxo de baixa temperatura, alta salinidade no
Reservatório Wellington (Austrália). O Tennessee Valley
Authrority (TVA) têm documentado correntes de
densidade em 17 de seus reservatórios em termos de
temperatura, alcalinidade e concentrações de cloro
.Altinakar et al. (1990) realizaram ensaios sobre correntes
túrbidas para a obtenção da quantidade de sedimento
depositado no fundo de um declive.
Devido ao fato de que as velocidades dentro das
correntes de densidade são abaixo do nível de detecção da
maioria dos sensores, medidas quantitativas dos perfis de
velocidade não são usualmente relatadas. Alavian e
Ostrowski (1992) conseguiram detalhadas medidas de
velocidade e temperatura nos reservatórios de Watts Bar e
Melton Hill com a passagem de uma corrente de
densidade através do sistema de reservatório da TVA.
Fenômenos semelhantes às correntes de densidade
são encontrados em tanques de decantação e estações de
tratamento de esgoto. Em tanques de resfriamento, os
influxos são tipicamente menos densos que as águas
receptoras, de modo que se forma uma corrente de
densidade flutuante na superfície. O grau de diluição de
água quente na região inicial e a convecção penetrativa
determinarão o grau de eficiência e o custo de operação de
uma usina termelétrica.
Outras ocorrências, tais como, frentes frias, brisas
do mar, tempestades de areia, fluxos de lava, de água e
lama, de rios túrbidos e de magma também constituem
correntes de densidade.
PRINCIPAIS ZONAS DE FLUXO
Nas considerações que se seguem, os subscritos
das grandezas referem-se:
o = influxo
s = fluxo superficial
p = fluxo de submersão
b = fluxo submerso
i = intrusão
n = normal
Fluxo Superficial
O fluxo superficial acontece quando o progresso de
um influxo mais leve que o meio receptor é impedido por
forças de sustentação.
Na região de grandes quantidades de movimento
do fluido o fluxo é predominantemente função da
declividade e da vazão da fonte.
O escoamento, a partir de um certo ponto em que o
número de Richardson tende a um valor constante e a taxa
de mistura tende a um valor nulo,é considerado como um
escoamento turbulento livre ( fluxo estratificado em 2
camadas) e forças cisalhantes são as principais a serem
estudadas.
Este tipo de fluxo tem como principais fatores
governantes: quantidade de movimento da descarga,
flutuação da descarga, difusão devido à turbulência,
estratificação do meio receptor, estrutura das correntes no
reservatório, contornos sólidos, troca de calor na
superfície.
Na análise do fluxo superficial (numa vista lateral
do reservatório) são parâmetros importantes : a
localização do ponto de separação, a espessura do fluxo
superficial e a velocidade de propagação (figura 2).
FIGURA 2 - Escoamento superficial em um
reservatório
Na separação as forças de sustentação são maiores
que forças advectivas e o influxo flutua na superfície do
ambiente aquático espalhando-se em todas as direções.
Safaie (1979) desenvolveu uma relação empírica
para a profundidade para a qual ocorre a separação:
hs = 0,914ho Fo
(2)
onde: hs = profundidade de separação, ho = profundidade
do influxo, Fo = número de Froude do influxo.
1/ 2
A espessura do fluxo após o ressalto hidráulico
pode vir a se tornar uniforme quando o influxo for
contínuo e com o respectivo número de Richardson
tendendo a um valor “normal”.
Duas outras importantes características de um
fluxo superficial são sua espessura e sua velocidade de
propagação. Koh (1976) determinou que para uma
descarga contínua bidimensional, onde forças de inércia e
de sustentação se contrabalanceiam (antes do domínio de
tensões interfaciais), a velocidade de propagação é dada
por:
Us = 103
, ( g' qo )
1/ 3
(3)
[m2/s].
onde: qo = fluxo por unidade de largura
Estas equações devem ser usadas com cautela, pelo
fato de que seus pressupostos básicos não são verificados.
Além disso, transferência de calor na interface ar-água e
tensões cisalhantes devido ao vento induzem mistura
vertical que pode rapidamente eliminar o fluxo superficial
resultando na inaplicabilidade destas equações.
interface na região de transição entre as 2 seções poderá
ser determinada. Isto implicará na estabilidade da posição
do ponto (ou linha) de submersão.
Vários modelos simplificados foram propostos
para prever o ponto no qual o influxo submerge sob a
água do lago ou reservatório. Todos estes modelos têm
como condições :
• fluxo uniforme e permanente;
• perfis de velocidade uniformes;
• largura e densidade constantes para lagos
e/ou reservatórios;
• sem mistura na interface.
Uma expressão geral para a profundidade do ponto
de submersão é dada por:
Fluxo de Submersão
2
O fluxo de submersão ocorre quando um influxo
mais pesado que o do meio receptor é retido por forças de
sustentação (zona 2-figura 1). Na maioria dos casos de
um fluxo pesado entrando em um lago ou reservatório a
largura do fluxo irá aumentar com a distância corrente
abaixo em relação à desembocadura do rio e assim, o
processo de submersão será tridimensional.
Quando da formação da corrente de densidade, a
profundidade desta poderá ser determinada pelas
características do influxo da fonte, pelos atritos na
interface e pela taxa de mistura na interface.
A estabilidade do ponto de submersão dependerá
da estabilidade na posição da interface, que por sua vez
depende do balanço de forças no campo de escoamento
(superfície livre e interface como contorno superior e
fundo como contorno inferior). A configuração da
interface dependerá somente da declividade do fundo e
características do influxo.
q
hp = 12 o
Fo g ′
(4)
Fluxo Submerso
Após a região de submersão a corrente de
densidade está estabelecida (zona 3 - figura 1). A
dinâmica do fluxo submerso dependerá da topografia do
fundo e da estratificação do ambiente.
Três tipos de correntes podem ser estudadas:
1) correntes de densidade bidimensionais (delimitada por
paredes laterais);
2) correntes de densidade tridimensionais (não delimitada
lateralmente);
3) correntes de densidade em um canal de rio com seção
transversal triangular;
Em cada um destes casos o fenômeno é
caracterizado por um número de Richardson constante.
As equações diferenciais para correntes em regime
permanente (figura 4) foram primeiramente estabelecidas
por Ellison e Turner (1959):
FIGURA 3 - Definição da zona de submersão.
Se um comprimento suficiente do fundo existir,
haverá a formação de uma corrente de densidade uniforme
representando o balanço entre forças de gravidade e
forças de atrito.Portanto, se as forças entre as seções 1-1 e
2-2 na figura 3 estão equilibradas, a localização da
figura 4 - Configuração de uma corrente de densidade
tridimensional
d U h = EU
( )
b
dx b b
(5)
(
)
(
)
d U 2h = −C U 2 − 1 d S g′h 2 cos θ + S g′h sen θ (6)
d b
2
b
dx b b
2 dx 1 b
d g ′U h = 0
(7)
( b b)
dx
onde: E = coeficiente de entrada = razão entre velocidade
de entrada Ve e velocidade principal Ub);Cd = coeficiente
de arrasto para a tensão cisalhante no fundo; S1 e S2
=constantes para a não-uniformidade dos perfis de
densidade; Ub e hb = velocidade e espessura do fluxo
submerso.
Para fluxos em equilíbrio, o número de Richardson
é independente de x e o valor do número de Richardson é
chamado de valor normal Rin:
Rin =
En + Cd
S2 tan θ − 1 S1 En
2
(8)
⎛ 3hb
⎞
− 1⎟ E − Cd
⎜
⎝ bb
⎠
Rin =
h
⎛
⎞
3 b S E − S tan θ
⎜1 +
⎟
2
2 bb ⎠ 1
⎝
(13)
E ( Rin ) ∝
(14)
1
⎛ B h cos θ ⎞ 3
Ub = ⎜ b b
(15)
⎟
⎝ ARi ⎠
onde: b e A são a largura e a área da corrente de
densidade.
Para pequenos valores de E (pouca declividade), h
e b tendem a ser constantes a partir de um ponto a jusante
e o número de Richardson:
Rin =
(9)
hn = En ( x − xo ) + ho
(10)
A velocidade normal do fluxo é uma constante:
1/ 3
(11)
O principal destes resultados é uma relação
funcional entre a taxa de entrada E e o número de
Richardson, Ri. Dados experimentais (Alavian et
al.,1992), tomados sobre uma grande variedade de
condições de fluxo, números de Reynolds, rugosidades de
paredes e agentes de sustentação (sal, etc.), mostram um
grande número de relações. A mais usada é a lei
potencial:
E = Eo Ri −1
(16)
Rin =
Cd + E
S2 tan θ − S1 E
(17)
Interfluxo
Integrando:
⎛ g ′U b hb cos θ ⎞
Un = ⎜
⎟
Rin
⎝
⎠
Cd
S2 tan θ
Para grandes declives:
A equação para a profundidade normal hn:
dhn
= En
dx
dhb
db
∝1 b
dx
3 dx
(12)
Estas relações para E = f(Ri) são válidas para
números de Reynolds elevados e razões g`/g pequenas.
Para correntes tridimensionais (Alavian, 1986)
temos:
Se a densidade do fluxo submerso for parecida
com a densidade de uma camada em um ambiente
estratificado em repouso, o fluxo de densidade irá se
separar do fundo e propagar-se horizontalmente nesta
camada.
O fenômeno de intrusão devido às correntes de
densidade é análogo ao problema da retirada seletiva em
tanques e reservatórios (Imberger et al., 1976). Neste caso
o fenômeno é governado por relações entre forças
viscosas e de inércia e pelo número de Prandtl.
Através do seguinte parâmetro adimensional :
R = Fi Gr 1/ 3
(18)
onde: Fi = número de Froude densimétrico da intrusão e
Gr = número de Grashof.
Nestes dois adimensionais: qi = influxo por
unidade de largura;C = comprimento do reservatório; N =
freqüência de flutuação ou de Brunt-Väisälä (tomada
sobre a espessura da intrusão, hi).
Com o auxílio do parâmetro R podem ser 3 tipos
de regime para as intrusões:
1) Para R > 1, há o domínio do equilíbrio entre forças de
inércia e de sustentação :
2) Quando Pr-5/6 < R < 1, viscosidade e forças de
flutuação dominam:
3) Quando R < Pr-5/6, viscosidade e difusão dominam.
Os valores para os comprimentos, velocidades e
espessuras das intrusões são apresentados na Tabela 1.
Tabela 1 - Principais características das intrusões
regimes comprimento velocidade
espessura
1
2
1
2
13
1
0,44( qi N ) t
0194
, ( g'i hi )
⎛ qi 2 ⎞
2,99⎜⎜ ⎟⎟
⎝ g 'i ⎠
2 5
1
x
2
0,57CR 3 t 6
5,5CGr 6
3
3
ςCR 4 Gr
1
8
x
1
CR 5 Gr
1
6
O problema do regime não-permanente
Em trabalhos teóricos mais recentes, entretanto
com resultados comparados aos trabalhos experimentais já
citados e outros mais antigos, têm-se procurado o
desenvolvimento de métodos numéricos para a previsão
de velocidades e profundidades do fluxo submerso em
toda a extensão do declive quando da propagação da
corrente de densidade, isto é, antes do estabelecimento de
um fluxo permanente.
Nesta propagação é interessante o estudo temporal
das variáveis principais desmembrando em 2 partes a
corrente de densidade : corpo e cabeça. A figura 5 retrata
esta proposição.
A região logo atrás da cabeça e superior ao corpo
da corrente é uma zona de baixa densidade devido à
mistura com o meio receptor.
Através de análise dimensional temos que a
velocidade de propagação da parte anterior da cabeça é
dada por
U c∗ =
Uc
1
( g ′qo ) 3
Segundo Britter e Linden (1980) esta velocidade
depende pouco do ângulo do declive θ. Em seus trabalhos
dhc
experimentais verificaram que
cresce linearmente à
dx
jusante e que esta relação é uma função linear de θ. O fato
dhc
dhb
de que
é bem maior que
(este tende a ser
dx
dx
constante) se deve a uma intensa mistura na região da
cabeça e ao influxo da região do corpo da corrente para a
parte da cabeça.
Akiyama et al. (1994) desenvolveram um modelo
numérico bidimensional híbrido formulado com base no
método das características para o corpo da corrente e o
método de Runge-Kutta-Gill para a cabeça. Seu modelo
foi calibrado com dados experimentais existentes. Alguns
resultados experimentais são também mostrados para
comparação com os simulados; contudo, a simulação não
é comparada a uma grande variedade de dados
experimentais que refletissem amplas variações das
características de fluxo, do reservatório e da fonte.
Choi e Garcia (1995) trabalharam com o método
dos elementos finitos acoplado à técnica de PetrovGalerkin para correntes túrbidas utilizando um sistema
hiperbólico de 3 equações quase-bidimensionais, as quais
são : continuidade, quantidade de movimento e
conservação de massa para a deposição de sedimento no
fundo do declive. Todas as equações retratam regimes
não-permanentes. Suas simulações são comparadas com
valores experimentais de outros autores e elas prevêem
velocidades de propagação da cabeça e do corpo da
corrente de densidade bem como a quantidade de material
depositado.
RECOMENDAÇÕES
FIGURA 5 - Propagação da cabeça da corrente de
densidade num declive. De Akiyama e Stefan (1994)
São necessários mais estudos tanto na parte de
experimentação laboratorial para se determinar os perfis
de velocidade e densidade das correntes de densidade
(figura 6), bem como avanços nas soluções analíticas e
numéricas para as equações 5, 6 e 7, principalmente para
os fluxos de submersão e fluxo submerso.
[12]Koh, R.C.Y. (1976). “Buoyancy-driven gravitational
spreading.” Proceedings 15th Int. Coastal Engineering
Conference, Honolulu, Hawaii, 2956-2975.
[13] Safaie, B. (1979). “Mixing of buoyant surface jet
over sloping bottom.” Journal Waterway, Port,
Coastal and Ocean Engineering Division, ASCE,
105(4), 357-373.
FIGURA 6 - Perfis de velocidade e de densidade
REFERÊNCIAS
[1] Akiyama, J., Ura, M., e Wang, W. (1994). “Physicalbased Numerical Model of Inclined Starting
Plumes”. Journal of Hydraulic Engineering, 120(10),
1139-1158.
[2] Alavian, V. (1986). “Behavior of density currents on
an incline.” Journal of Hydraulic Engineering, ASCE,
112(1), 27-42.
[3] Alavian, V., e Ostrowski, P., Jr. (1992). “Use of
density current to modify thermal structure of TVA
Reservoirs.” Journal of Hydraulic Engineering, ASCE,
118(5), 688-706.
[4] Alavian, V., Jirka, G.H., Denton, R.A., Johnson, M.C.
e Stefan, H.G. (1992). “Density currents entering
lakes and reservoirs”. Journal of Hydraulic
Engineering, 118(11), 1464-1489.
[5] Altinakar, S., Graf, W.H. e Hopfinger, E.J. (1990).
“Weakly depositing turbidity current on a small
slope”. Journal of Hydraulic Research, 28, 55-80.
[6] Britter, R.E. e Linden, P.F. (1980). “The motion of the
front of gravity current travelling down an incline”.
Journal of Fluid Mechanics, 99, 131- 543.
[7] Choi, S. e Garcia, M.H. (1995). “Modeling of onedimensional turbidity currents with a dissipativegalerkin finite element method”. Journal of Hydraulic
Research, 33(5), 623-648.
[8] Ellison, T.H., e Turner, J.S. (1959). “Turbulent
entrainment in stratified flows.” Journal of Fluid
Mechanics, 6, 423-448.
[9] Ford, D.E., e Johnson, M.C. (1983). “An assessment
of reservoir density currents and inflow processes.”
TR E-83-7, USAE Waterways Experiment Station,
Vicksburg, Mississipi.
[10]Hebbert, B., Imberger, J., Loh, I., e Patterson, J.
(1979). “Collie river underflow into the Wellington
reservoir.” Journal of the Hydraulic Division, ASCE,
105(5), 533-545.
[11]Imberger, J., Thompson, R.T., e Fandry, C. (1976).
“Selective withdrawal from a finite rectangular
tank.” Journal of Fluid Mechanics, 78, 489-512.