Matemática e suas Tecnologias Matemática
Ensino Médio, 2ª Série
Arranjos Simples
Matemática, 2ª Série do Ensino Médio
Arranjos Simples
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Matemática, 2ª Série do Ensino Médio
Arranjos Simples
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Arranjos Simples
Anne, Gil, Pedro e Bento observavam seus colegas
correndo, tentando pegar os melhores lugares na fila!
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Arranjos Simples
A ordenação das filas apresenta-se como um
problema de Arranjos Simples
Os arranjos são
agrupamentos em que
se considera a ordem
dos elementos
agrupados. Por
exemplo, a palavra
LAGO é um arranjo de
letras, pois, mudando-se
a ordem dessas letras,
obtém-se outra palavra.
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A ordenação das filas apresenta-se como um
problema de Arranjos Simples
LAGO
GALO
Palavras
diferentes
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Arranjos Simples
A ordenação das filas apresenta-se como um
problema de Arranjos Simples
Assim, com 3 pessoas
numa fila, poderemos
ter os seguintes arranjos
de ordenação:
1
A
B
C
2
A
C
B
3
B
A
C
4
B
C
A
5
C
A
B
6
C
B
A
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Arranjos Simples
A ordenação das filas apresenta-se como um
problema de Arranjos Simples
E se um grupo de 4 pessoas formarem a fila, teremos agora 24
diferentes combinações!
ABCD
BCDA
CDAB
DABC
ABDC
BDCA
DCAB
CABD
ACBD
CBDA
BDAC
DACB
ACDB
CDBA
DBAC
BACD
ADBC
DBCA
BCAD
CADB
ADCB
DCBA
CBAD
BADC
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Arranjos Simples
Arranjos Simples
Chama-se Arranjo
Simples de n
elementos distintos
tomados p a p
(p  n), todo
agrupamento
ordenado formado por
p elementos
escolhidos
entre os n elementos
dados.
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Arranjos Simples
Arranjos Simples
O número p é
denominado classe ou
ordem do arranjo
simples e pela
definição de arranjo
facilmente
percebemos que p ≤ n
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Arranjos Simples
Arranjos Simples
Indica-se o número
total de Arranjos
Simples por:
An,p ou Ap
n
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Arranjos Simples
Arranjos Simples
Para o cálculo de An,p temos:
Escolha
Do 1º elemento
Nº de Possibilidades
n
Do 2º, depois de escolhido o 1º
n–1
Do 3º, depois de escolhidos o 1º e o 2º
n–2
...
Do p-ésimo, depois de escolhidos os anteriores
n – (p – 1)
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Arranjos Simples
Portanto:
An,1 = n
An,2 = n(n – 1)
An,3 = n(n – 1)(n – 2)
...
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Arranjos Simples
Arranjos Simples
Portanto:
A4,1 = 4
A4,2 = 4·(4 – 1)=4·3=12
A4,3 = 4·(4 – 1)(4 – 2)=4·3·2=24
A4,4 = 4·(4 – 1)(4 – 2)(4 – 1)=4·3·2·1=24
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Arranjos Simples
Problemas de Arranjos Simples
Assim...
Indicando a quantidade
de pessoas na fila
n
O número total de Arranjos Simples é dado por:
An,p =
An,p
n

=
n-1

n-2
 ... 
n-p+1
?
Lembre-se! Nesse exemplo n = p, já que n é o total de pessoas no
grupo, e p o total de pessoas que estarão na fila!
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Arranjos Simples
Problemas de Arranjos Simples
Assim...
Indicando a quantidade
de pessoas na fila
6
O número total de Arranjos Simples é dado por:
A6,6 =
A6,6
6

=
5

4
 ... 
1
720
Lembre-se! Nesse exemplo n = p, já que n é o total de pessoas no
grupo, e p o total de pessoas que estarão na fila!
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Fatorial
Em problemas de
Análise
Combinatória,
surgem com
frequência,
expressões como:
3x2x1
4x3x2x1
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Arranjos Simples
Fatorial
Assim,
Dado um número
natural n, com n
>1, definimos seu
fatorial, indicado
por n!, como o
produto dos n
números
consecutivos de 1
até n.
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Fatorial
Utilizando
símbolos, temos:
n! = n·(n – 1)·(n –
2)·...·3·2·1
Definimos ainda:
1! = 1 e 0! = 1
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Fatorial
Com o auxílio dos
fatoriais, podemos
apresentar
fórmulas de uma
maneira mais
simples
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Arranjos Simples
Hoje aprendemos
• Para resolver
algumas situações
envolvendo
análise
combinatória,
temos que
recorrer a cálculos
em que é
necessário realizar
o produto entre
números
consecutivos;
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Hoje aprendemos
• Dizemos que um
arranjo é simples
quando não há
repetição dos
elementos em
cada
agrupamento;
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Hoje aprendemos
• Num Arranjo
Simples, os
agrupamentos de
n elementos
distintos diferem
entre si somente
pela ordem dos
elementos;
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Hoje aprendemos
• Permutação
simples é o caso
particular de
arranjo simples
em que n = p, ou
seja, trata-se de
um arranjo de n
elementos.
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Texto Complementar
http://www.brasilescola.com/matematica/arranjo-simples.htm
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Referências
DANTE, L. R. Matemática: contexto e aplicações.
Volume 2. São Paulo: Ática, 2010.
PAIVA, M. Matemática. Volume único. 1. ed. São Paulo:
Moderna, 2005.
RIBEIRO, J. Matemática: ciência, linguagem e
tecnologia. Ensino Médio. Volume 2. São Paulo:
Scipione, 2010.
SMOLE, K. C. S.; DINIZ, I. S. V. Matemática: Ensino
Médio. Volume 2. 6. ed. São Paulo: Saraiva, 2010.
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