CURSO – ENGENHARIA ELÉTRICA
Disciplina:
Probabilidade e Estatística
Selma Rozane
4
MODELOS DE DISTRIBUIÇÕES
CONTÍNUAS DE PROBABILIDADE
I – Distribuição Uniforme ou Retangular
Se o valores de uma v.a podem ocorrer dentro de um intervalo [a,b], e se
quaisquer dois subintervalos de igual amplitude têm a mesma probabilidade,
temos uma distribuição uniforme.
A função densidade de probabilidade de uma distribuição uniforme, é uma
constante, f(x) = k,
 f ( x)dx  1  
a
a
1
kdx  k (b  a)  1  k 
ba
(1)
Portanto, a função densidade de probabilidade de uma distribuição uniforme num intervalo
[a,b] é uma função constante definida por:
0

f ( x)   1

 ba
para x fora de [a,b]
para a 
xb
(2)
FUNÇÃO DISTRIBUIÇÃO ACUMULADA (OU REPARTIDA)
A função distribuição acumula F(x) de uma v.a contínua X é definida para cada
número x por
F ( x)  P( X  x)  
x

f ( y)dy
(3)
No caso da distribuição uniforme ou retangular, temos
F ( x)  
x

Portanto,
f ( y)dy 
x
a
1
1
xa
yx
dy 
y y a 
ba
ba
ba
para x  a
0
xa

F ( x)  
para x  a  b
b a
para x  b
 1
(4)
(5)
MÉDIA E VARIÂNCIA DA DISTRIBUIÇÃO UNIFORME
Média: E(x) = (x)
b
1
1 x 
1  b2  a 2 
ba
 ( x)   x f ( x)dx 
xdx




(
x
)

 


b  a a
b  a  2 a b  a  2 
2
2
b
Variância:  (2x )  E ( X 2 )  (2x )
1 b 2
b3  a3 (b  a)2
ba

x dx  

 

a
ba
4
 2  3(b  a)
2

2
( x)
A f.d.p para distribuição uniforme
(b  a)2
 =
12
2
( x)
A f.d.c para distribuição uniforme
II – Distribuição Normal
A distribuição normal é uma das mais importantes distribuições da estatística,
conhecida também como distribuição de Gauss ou Gaussiana. Muitas
populações numéricas possuem distribuições que podem ser ajustadas
aproximadamente por uma curva normal. Os exemplos incluem alturas, peso e
outras características físicas, erros de medidas em experimentos científicos,
medidas antropométricas em fósseis, tempo de reação em experimentos
psicológicos, medidas de inteligência e aptidões, pontuações em testes
variados, indicadores econômico etc.
Definição: Diz-se que uma v.a. contínua X possui distribuição normal
com parâmetros  e  , onde       e   0, se a f.d.p de X for
  ( x   )2 
1
f ( x;  ,  ) 
exp   
  x  

2
 2

  2
onde:   média e   desvio-padrão da distribuição
Gráfico da distribuição Normal
PROPRIEDADES:
1)
2)
3)
4)
A variável aleatória X pode assumir todo e qualquer valor real;
Curva em forma de sino, simétrica em torno da média ;
A área total limitada pela curva e pelo eixo das abscissas é igual a 1;
A curva normal é assintótica em relação ao eixo das abscissas, isto é, aproxima-se indefinidamente do
eixo das abscissas sem, nunca alcançá-lo;
5) Como a curva é simétrica em torno de , a probabilidade de ocorrer valor maior do que a média é igual
a probabilidade de ocorrer valor menor do que a média, isto é, as probabilidades são iguais a 0,5. Ou
seja: P(X > ) = P(X < ) = 0,5
(Gráfico retirado da tese de Luis Pareja)
Para os interessados em trabalhos usando estatística em engenharia elétrica ver a tese de doutorado:
Título: Fluxo de Potência em Redes de Distribuição de Energia Elétrica Considerando Incertezas.
Autor: Luis Alfonso Gallego Pareja - (2009) - Área de concentração: Automação.
http://www.dee.feis.unesp.br/pos/teses/arquivos/049-tese_luis_alfonso_gallego.pdf
Exemplo usando a distribuição normal:
Seja X a variável aleatória que representa o diâmetro dos parafusos
produzidos por uma certa máquina. Supondo média  = 2 cm e
desvio padrão  = 0,04 cm. Qual a probabilidade de um parafuso ter
um diâmetro com valor entre 2 e 2,05 cm.
1
P(2  x  2, 05) 
0, 04 2

2,05
2
e
 ( x  2)2 / 2(0,04) 2
dx  0,3944
Usamos o Maple 7 para calcular a integral!
Dificuldade no cálculo das probabilidades utilizando a distribuição normal:
Integração de f(x) – necessário desenvolvimento em série;
Elaborar tabelas torna-se impraticável, pois f(x) depende de dois parâmetros,  e 
Podemos contornar estas dificuldades utilizando a distribuição
normal padrão.
III – Distribuição Normal Padrão
A distribuição normal com média zero ( = 0) e variância um (  2 = 1) é
denominada distribuição normal padrão (0;1). A f.d.p. de uma distribuição
normal padrão é dada por:
1  12 z 2
 ( z) 
e
2
  z  
Se uma variável X tem uma distribuição normal com média  variância  2 , então
a variável
X 
Z

terá uma distribuição normal padrão.
E[ z ]  E[
X 

]  1 E[ X   ]  1 E[    ]  0
Var[z]  Var[
X -

]   2 Var[ X -  ]   2 Var[ X ] 
1
1
2
2
1
Gráficos da distribuição Normal e distribuição Normal Padrão
Distribuição Normal
Distribuição Normal Padrão
As probabilidades, áreas sob  (x) são calculadas e tabeladas. No livro texto
aqui utilizado neste curso – Tabela 1.
NOTAÇÃO
d
X  N (  ;  2 ) - a varável aleatória X tem distribuição normal com média  e variância  2
d
Z  N (0;1) - a varável aleatória Z tem distribuição normal com média 0 e variância 1. Ou,
distribuição normal padrão.
PROPRIEDADES DA DISTRIBUIÇÃO NORMAL
Para média fixa, verifica-se que a largura da curva (achatamento) está diretamente
ligado ao valor do desvio-padrão.
P1  f ( x) é simétrica em relação a origem x   , ou  ( x) é simétrica
em relação à origem z  0.
P2  f ( x) possui um máximo para x  , ou ( x) possui um máximo para z  0,  (0) 
1
2
1
2
P3 - f ( x)  0 quando x   ou x   o mesmo acontecento com
 ( x)  0 quando z   ou z  .
P4 - f ( x) tem dois pontos de inflexão cujas abscissas valem    e    ou
 ( x) quando tem dois pontos de inflexão cujas abscissas valem  1 e 1.
USO DA TABELA DE DISTRIBUIÇÃO NORMAL PADRÃO
Dos vários tipos de tabelas que oferecem as áreas (probabilidades) sob a curva normal, o de uso
frequente é a tabela de faixa central.
A tabela de faixa central dá a área sob a curva normal padrão entre z = 0 e qualquer
valor positivo de z .
Usando a tabela
podemos calcular:
P(0  z  z 0 )
Exemplo: (Será usada a tabela em sala de aula)
a) P(0  z  2)  0, 4772
b) P(1,55  z  1, 41)  0, 4207  0, 4394  0,8601
c) P( z  1,88)  0,5000  0, 4699  0, 0301
Exemplo a ser resolvido em sala de aula usando dois tipos de tabelas da distribuição normal padrão.
Supondo que a voltagem de queda de um diodo de um tipo especifico tem
distribuição normal com média e variância conhecidas. Qual é a probabilidade
dessa voltagem estar a 1 desvio padrão de seu valor médio?
P(X está no intervalo de 1 desvio padrão da média)  P(    X     )
    
    
P(     X     )  P 
Z
  P(1  Z  1)




Usando Tabela 1: P(1  z  1)  0,3413  0,3413  0, 6826
Usando Tabela 2: P(1  z  1)  0,8413  0,1587  0, 6826
P(X está no intervalo de 2 desvio padrão da média)  P(2  z  2)  0,9544
P(X está no intervalo de 3 desvio padrão da média)  P(3  z  3)  0,9974
Se a distribuição de população de uma variável for
(aproximadamente) normal, então
1. Cerca de 68% dos valores estão a um desvio-padrão da média
2. Cerca de 95% dos valores estão a dois desvio-padrão da média
3. Cerca de 99% dos valores estão a três desvio-padrão da média
Esses resultados serão importantes no desenvolvimento dos
procedimentos de teste de hipótese.
IV – Distribuição Exponencial
É dito que uma v.a X possui uma distribuição exponencial com média 
onde ( >0) se X possui um distribuição contínua para a qual a f.d.p. f(x) é
dada por
 1 e x /  para x  0
f ( x)  
para x  0
0
A função distribuição acumulada da exponencial é dada por:
F ( x)  P( X  x )  
x
1
0 
Como

f ( x)dx  1,
e x /  dx  1  e x /  para x  0
portanto,
P( X  x)  e x / 
A média e variância de uma v.a com distribuição exponencial são
dadas por:
E[ X ]  
Var[ X ]   2
Incompleto – Falta Digitar
Distribuição Gama;
Distribuição Qui-quadrado;
Distribuição t de student;
Distribuição F
Em breve !
Bibliografia
Jay L. Devore, (Tradução: Joaquim Pinheiro Nunes Silva) Probabilidade e Estatística para Engenharia e Ciências - 2006.
Jairo S. da Fonseca e Gilberto A. Martins, Curso de Estatística - 1996.
Notas do Curso de Estatística dos Professores: Dra. Corina da Costa Freitas, MSc. Camilo Daleles Rennó e
MSc. Manoel Araújo Sousa Júnior