Modelagem com Equações Diferenciais Ordinárias
Gilmar R. Sousa
1
Gisliane A. Pereira2
Departamento de Física, Universidade Federal do Triângulo Mineiro
2
Departamento de Matemática, Universidade Federal do Triângulo Mineiro
Objetivos
Um sistema físico real que sofre uma variação durante um intervalo de tempo ou
qualquer outra variável dependente pode ser modelado por equações diferenciais, sejam elas,
ordinárias ou parciais. Nesse trabalho, vamos estudar a modelagem da equação do oscilador
harmônico, que é uma equação diferencial ordinária de segunda ordem, os métodos de resolução
destas equações e algumas aplicações aos problemas de interesse físico.
1 - Introdução
1.1 – Classificação de Equações Diferenciais
Se a função desconhecida depende de uma única variável independente, aparecem na
equação diferencial apenas derivadas simples e ela é dita equação diferencial ordinária. E, se
a função desconhecida depende de diversas variáveis independentes, as derivadas são derivadas
parciais e a equação é chamada de equação diferencial parcial.
Um exemplo de uma equação diferencial ordinária é
para a carga Q(t) em um capacitor em um circuito com capacitância C, resistência R e
indutância L. E, um exemplo de equação diferencial parcial é a equação do calor que descreve a
condução de calor em um corpo sólido
Onde
2
é uma constante física.
1.2 – Ordem de uma Equação Diferencial
A ordem de uma equação diferencial é a ordem da derivada de maior ordem que
aparece na equação.
1.3 - Equações Lineares e não Lineares
Uma classificação importante das equações diferenciais é se elas são lineares ou não.
A equação diferencial
é linear se F é uma função linear das variáveis
. Podendo ser aplicada a definição
análoga às equações diferenciais parciais.
Então, a equação diferencial ordinária linear geral de ordem n é
Uma equação que não é da forma acima é uma equação não linear. Um problema
físico que utiliza uma equação diferencial não linear é o pêndulo simples. O ângulo
que um
pêndulo de comprimento L oscilando faz com a direção vertical satisfaz a equação
essa equação é não linear devido à parcela envolvendo
.
2 - Métodos e Procedimentos
As equações diferenciais lineares de segunda ordem são essenciais para investigar as
áreas clássicas da física matemática. Por exemplo, essas equações são utilizadas na análise das
oscilações de alguns sistemas mecânicos e elétricos.
2.1 - Solução de Equação Diferencial Ordinária de 2ª Ordem Homogênea
Toda equação na forma
onde A, B e C são constantes dadas, será uma equação linear ordinária de 2a ordem homogênea.
Colocamos como solução a função
que
, onde r é um parâmetro a ser determinado. Segue
e
. Substituindo ,
Colocando
em evidência, temos
e
na Eq. (1), obtemos
= 0.
Como
, segue que
A Eq. (2) é chamada de equação característica da Eq. (1). Como a Eq. (2) é uma
equação de segundo grau com coeficientes reais, ela tem duas raízes que podem ser reais e
distintas, reais e iguais ou complexas conjugadas.
Sempre que as raízes
forem reais e distintas, isso significa que o discriminante
4ac > 0, então a equação (1) terá a seguinte solução geral:
Quando
onde
e
4ac < 0 as raízes da equação serão números complexos conjugados
são reais.
Usando a fórmula de Euler e as propriedades da exponencial, obteremos uma solução
geral da equação (1).
somando as soluções encontramos a solução geral para caso das raízes complexas que é da
forma
Quando
4ac = 0 implica que as raízes serão iguais. Assim, uma das soluções da
Eq. (1) é dada por
Para encontrar a solução geral da Eq. (1), precisamos de uma segunda solução, a qual
será fornecida pelo método da redução de ordem. Para isso, vamos substituir
na Eq. (1) e usar a equação resultante para encontrar
Derivando a Eq. (5), resulta que
substituindo
e como as raízes são iguais, ou seja,
4ac = 0, e cancelando os termos que serão
nulos teremos:
Portanto, a solução geral para equação de 2ª ordem com raízes iguais será
2.2 - Uma segunda Solução
Uma Segunda Solução para EDO homogênea Eq.(1) pode ser encontrada pelo método
integral
Sejam
e
duas soluções independentes então o wronskiano será dado por:
Diferenciando ambos os lados do wronskiano temos:
Para o caso geral vamos admitir que temos uma solução para a Eq.(1) e então podemos
encontrar uma segunda solução independente para o qual
. Reorganizando os termos da
Eq.(7) temos:
Utilizando do cálculo integral sobre a variável (x) no interval [a,b] encontramos
Como o wronskiano é definido como:
Substituindo a Eq.(11) na Eq.(10) e realizando uma integral teremos:
E fazendo
temos:
Se tivermos um caso especial no qual P(x)=0 e o W(a)=1, teríamos a segunda solução como:
Isso significa que usando a Eq.(12) ou a Eq.(13) podemos tomar uma solução conhecida, e por
integração, gerar uma segunda solução independente da Eq.(1)
3 - Resultados
3.1 - Aplicações das Equações Diferenciais de 2ª Ordem aos Problemas
Físicos: Oscilador Harmônico e Oscilações Amortecidas Forçadas (Circuitos LRC)
Vamos utilizar a equação diferencial ordinária de 2ª ordem como modelo matemático
para alguns modelos físicos, essas equações são utilizadas na análise das oscilações de alguns
sistemas mecânicos e elétricos. Como o Oscilador harmônico e as vibrações em circuitos
elétricos LRC
Um sistema constituído por uma massa e suspenso verticalmente por uma mola.
Quando a mola estiver em repouso o sistema estará em equilíbrio estável, mas a partir do
momento que aplicarmos uma força verticalmente a mola esta sofrera um deslocamento que
será proporcional a uma constante. Esse sistema pode ser modelado por uma equação diferencial
ordinária de 2ª ordem.
Onde:
é a força aplicada a mola, o sinal negativo na equação representa o movimento da mola tentando
restaurar o equilíbrio.
Aplicando a 2ª lei de Newton ao sistema temos:
onde a derivada segunda do deslocamento corresponde a aceleração e aplicando a Eq.(15) na
Eq.(16) temos:
Dividindo Eq.(17) por
e igualando a zero encontramos uma equação diferencial
ordinária homogênea de 2ª ordem que é a equação do oscilador harmônico
Utilizando o método utilizado nos procedimentos encontramos a sua solução que será
da forma:
E tomando =0 teremos a solução da equação diferencial ordinária de 2ª ordem do
Oscilador harmônico Eq.(18).
Outro exemplo de aplicação da equação diferencial ordinária de 2ª ordem a problemas
físicos é encontrar a intensidade da corrente no circuito LRC .
O sistema trata de um circuito LRC que é constituído de uma resistência, um capacitor
e uma indutância que nas extremidades do circuito LRC é submetida a uma d.d.p, aplicando a 1ª
Lei de Kirchhoff aos elementos do circuito teremos:
Derivando a Eq.(19) em relação ao tempo e dividindo por L temos:
Portanto a Eq.(20) é uma equação diferencial ordinária de 2ª ordem não-homogênea e
a solução geral da equação será da forma:
Y(t) Eq.(21).
Onde
é a solução da equação diferencial de ordem 2ª
homogênea.
Para encontrarmos a solução Y(t), realizamos a primeira e segunda derivada e
substituindo na Eq.(14) obtemos:
Portanto:
Então teremos as constantes
Portanto a solução geral da Eq.(14) será:
Onde
é a solução da equação ordinária de 2a ordem homogênea, Eq.(1).
Substituindo as variáveis da Eq.(20) na solução
Eq.(24) e por fim na solução
geral Eq.(21) teremos:
L
Portanto:
Encontramos a solução do circuito LRC utilizando os métodos estudados para
soluções de equações diferenciais ordinárias.
4 – Conclusão
Vários problemas físicos que são tratados na física matemática são modelados por
equações diferenciais. A vantagem de se conhecer uma equação e sua solução geral, é que
podemos modelar um sistema físico e sua equação assemelha a equação diferencial ordinária
não necessitando resolver o problema em questão, pois já temos a solução geral de uma
equação diferencial ordinária, basta interpretar as variáveis tratadas na modelagem matemática e
substituir na mesma. Os estudos das equações diferenciais merecem destaque, pois tem enorme
diversidade de aplicações em diferentes campos do conhecimento.
5 – Referências Bibliográficas
[1] BOYCE, W.E. & DIPRIMA, R.C., Equações Diferenciais Elementares e Problemas de
Valores de Contorno, Rio de Janeiro, Livros Técnicos e Científicos, 2001.
[2] BUTKOV, EUGENE. Física Matemática, Livro Técnicos e Científicos Editora S.A, 1988.
[3] NUSSENZVEIG, Herch. Moysés, Curso de Física Básica, Eletromagnetismo vol 3, Editora
Edgard Blücher, LTDA (1999).
[4] ZILL, D.G., Equações Diferenciais, Vol.1 Ed. Makron, 2001.