Geometria Hiperbólica e Teoria dos
Números
2a Edição
Salahoddin Shokranian
Geometria Hiperbólica e Teoria dos Números – 2ª Edição
Copyright¤ Editora Ciência Moderna Ltda., 2013
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MODERNA LTDA.
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FICHA CATALOGRÁFICA
SHOKRANIAN, Salahoddin.
Geometria Hiperbólica e Teoria dos Números – 2ª Edição
Rio de Janeiro: Editora Ciência Moderna Ltda., 2013.
1. Geometria. 2. Matemática.
I — Título
ISBN: 978-85-399-0408-2
ISBN: 978-85-399-0408-2
Editora Ciência Moderna Ltda.
R. Alice Figueiredo, 46 – Riachuelo
Rio de Janeiro, RJ – Brasil CEP: 20.950-150
Tel: (21) 2201-6662/ Fax: (21) 2201-6896
E-MAIL: [email protected]
WWW.LCM.COM.BR
CDD 516
CDD 510
06/13
Este livro é dedicado à
MARIE
Prefácio para segunda edição
A primeira edição desse livro, publicado pela Editora da Universidade de Brasília em 2004, esgotou mais rápido do que se esperava. Isso mostra o interesse da comunidade matemática e física
do Brasil e dos outros paises de língua Portuguesa a respeito de
temas matemáticos mais avançados e mais recentes. A essa nova
edição são adicionados algumas novas referências, novos exercícios,
e foram corrigidos erros obvios de digitação.
Alguns aspectos sobre a história de geometria hiperbólica, em
teoria dos números e análise harmônica, são discutidos amplamente
no meu livro Uma Breve História de Teoria dos Números no Século
XX, (veja o livro [Sho ubh] nas referências bibliográcas) e pode
ser lido para saber os caminhos traçados até a chegada da solução
do Último Teorema de Fermat e o futuro de geometria hiperbólica
em teoria dos números.
A Editora Ciência Moderna (Rio de Janeiro), aceitou publicar
esta segunda edição. Gostaria de agradecer por ter demonstrado
interesse em publicar os meus livros.
Salahoddin Shokranian
Junho de 2008
Sumário
Introdução
1
Parte I
Geometria Hiperbólica e a Teoria Básica de Formas
1
Modulares
5
Subgrupos discretos de SL(2, R)
7
1.1
9
Subgrupos de congruência . . . . . . . . . . . . . .
1.1.1
1.2
2
14
Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
O plano superior
19
Ação de G sobre H . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19
2.1.1
A compactação de H . . . . . . . . . . . . .
21
2.1.2
Pontos xos . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22
2.1.3
Os estabilizadores de pontos xos . . . . . .
26
2.2
A geometria de H . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
29
2.3
Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
2.1
3
O cálculo do índice . . . . . . . . . . . . . .
O domínio fundamental
3.1
O quociente da ação de Γ sobre H . . . . . . . . . .
35
35
Salahoddin Shokranian
viii
3.2 A área de domínio fundamental . . . . . . . . . . .
∗
3.3 O espaço quociente da ação Γ sobre H . . . . . . .
42
47
3.3.1
Subgrupos fuchsianos . . . . . . . . . . . . .
48
3.3.2
O modelo disco unitário . . . . . . . . . . .
51
3.4 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
53
4 Formas modulares
55
4.1 Formas modulares de peso par . . . . . . . . . . . .
55
4.2 A teoria da ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
59
4.2.1
O teorema de ordem . . . . . . . . . . . . .
61
4.2.2
A expansão de Fourier . . . . . . . . . . . .
62
4.3 Conjuntos de Siegel . . . . . . . . . . . . . . . . . .
67
4.3.1
A existência do conjunto fundamental . . . .
69
4.4 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
76
5 O espaço M2k
5.1 A dimensão de M2k . . . . . . . . . . . . . . . . . .
79
79
5.1.1
A demonstração de teorema 5.2 . . . . . . .
81
5.1.2
Uma base para M2k . . . . . . . . . . . . . .
85
5.2 A álgebra M . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
87
5.3 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
91
Parte II
A Teoria de Hecke e a Aritmética de Formas Modulares 93
6 Formas parabólicas
6.1 Os coecientes de Fourier de E2k . . . . . . . . . .
6.1.1
95
99
Os valores de ζ(2k) . . . . . . . . . . . . . . 102
6.2 A função Δ de Ramanujan . . . . . . . . . . . . . . 105
Sumário
6.3
ix
6.2.1
Os coecientes não nulos . . . . . . . . . . .
108
6.2.2
Produto interno de Petersson
. . . . . . . .
111
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
113
Exercícios
7 Os operadores de Hecke
7.1
Denições
7.1.1
115
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Os coecientes de Fourier
7.2
Propriedade multiplicativa de
7.3
Exercícios
. . . . . . . . . .
T (n)
115
121
. . . . . . . . .
123
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
132
8 As funções zeta
135
8.1
Funções zeta de formas modulares . . . . . . . . . .
136
8.2
Caracteres e soma de Gauss
143
8.3
Formas modulares com caractere
8.4
Mk (Γ, χ)
Sk (Γ, χ)
146
147
. . . . . . . . . . . . . .
149
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
151
Os espaços
8.3.2
O teorema de Weil
e
. . . . . . . . . .
. . . . . . .
8.3.1
Exercícios
. . . . . . . . . . . . .
Referências bibliográcas
153
Índice Remissivo
155
Introdução
Neste livro, discutiremos alguns aspectos elementares das relações entre a geometria não euclidiana e a teoria dos números. O
modelo da geometria não euclidiana considerado aqui é o da geometria hiperbólica do plano superior IH , também conhecido como
plano Poincaré.1 O conjunto IH consiste em números complexos
com suas partes imaginárias positivas. Nessa geometria, as linhas
são de dois tipos: linhas perpendiculares ao eixo ox e semicírculos
perpendiculares a esse eixo.
A conexão com a teoria dos números começa por meio do grupo
das matrizes
SL(2, R) =
seu subgrupo como
SL(2, Z) =
a b
c d
a b
c d
a, b.c, d ∈ R, ad − bc = 1 ,
∈ SL(2, R) a, b, c, d ∈ Z ,
e subgrupos de congruência (veja capítulo 1).
O grupo SL(2, R) e seus subgrupos agem sobre o conjunto IH
e preservam a estrutura de geometria hiperbólica desse conjunto.
As órbitas de ação de SL(2, Z) e os subgrupos de congruência são
1
Essa geometria também tem um modelo em disco unitário.
Salahoddin Shokranian
2
particularmente interessantes. Após um estudo básico da estrutura das órbitas de ação de SL(2, Z) sobre IH , apresentamos uma
classe de funções analíticas conhecida como formas modulares, cujo
conjunto
é denotado
por M2k (veja capítulo 4). O fato de a ma
1 1
triz
ser um elemento de SL(2, Z) implica a evidência de
0 1
as formas modulares serem funções periódicas de período 1. Portanto, elas têm expansões de Fourier, bem como uma conexão com
a teoria dos números, pois os coecientes dessas expansões são ricos
em informações aritméticas.
Outro campo em que existem relações fundamentais entre formas modulares e teoria dos números é a área de estudos algébricos
do espaço vetorial M2k , pois são espaços vetoriais complexos de dimensões nitas, e neles estão denidos os operadores de Hecke, uma
ferramenta poderosa no estudo das formas modulares e das formas
automórcas (veja capítulo 7). Os autovalores e as autofunções de
Hecke são particularmente interessantes, pois são cheios de informações aritméticas. Eventualmente, no capítulo 8, usaremos esses
operadores e estudaremos as funções zeta das formas modulares.
Como veremos, tais funções satisfazem o produto euleriano, que é
uma propriedade fundamental das funções zeta mais conhecidas,
como, por exemplo, a função zeta de Riemann.
No nal do capítulo 8, apresentamos o teorema de André Weil, 2
extraído de seu famoso trabalho (veja o trabalho de [W]) que contém uma versão clássica da conjectura de Shimura e Taniyama. Em
seu artigo, Weil refere-se a uma ideia em nome de um exercício
interessante para o leitor, que na verdade nada mais é do que as
2
André Weil (1906-1998).
Introdução
3
ideias de Shimura e Taniyama, conceituadas em seus estudos matemáticos nos anos 1950, em Tóquio, e transmitidos a Weil em sua
viagem ao Japão em 1955. Assim, André Weil introduziu aos matemáticos ocidentais uma grande ideia da escola japonesa. Essa ideia
(hoje em dia conhecida como a conjectura de Shimura e Taniyama)
foi a chave principal na resolução do Último Teorema de Fermat,
por Andrew Wiles, em 1994.
A origem deste livro é um velho manuscrito meu de 1983, no
qual, pela primeira vez, ofereci um trabalho em língua portuguesa
sobre formas modulares, baseado em meus seminários no Departamento de Matemática da Universidade de Brasília. As notas do seminário foram divulgadas em publicação interna do Departamento,
na série Trabalhos de Matemática. O conteúdo deste livro é substancialmente diferente das notas do seminário, pois desde 1983 surgiram muitos avanços nessa área da matemática, cando evidente a
necessidade de melhorar a apresentação do manuscrito e incorporálo a este livro, já que o interesse dos matemáticos brasileiros na
teoria dos números cresceu muito da década de 1980 para cá.
Este livro pode servir para alunos da matemática, física e para
todos os interessados em estudos de geometria e teoria dos números,
em particular aqueles que querem saber um pouco sobre as partes da
matemática que foram usadas na demonstração do Último Teorema
de Fermat.
Esperamos que nos próximos volumes possamos explicar a noção
de curvas modulares e a teoria analítica das formas automórcas.
A teoria das formas automórcas é uma generalização das formas modulares, na qual a teoria da representação de grupos
4
Salahoddin Shokranian
topológicos tem um papel fundamental.
3
Formas automórcas
constituem uma área da matemática cujos pilares são a álgebra, a
análise, a geometria e a topologia. Alguns dos fundadores da teoria
clássica de formas automórcas são: C. F. Gauss (1777-1855), H.
Poincaré (1854-1912), G. Eisenstein (1823-1852), H. Hecke (18871947), e C. L. Siegel (1896-1983). Por outro lado, contribuíram para
o avanço da teoria moderna de formas automórcas muitos pesquisadores como I. M. Gelfond, Harish-Chandra, R. P. Langlands, G.
Shimura e Andrew Wiles, que usa ideias de formas modulares e
formas automórcas para provar o Último Teorema de Fermat, que
esteve em aberto por mais de 350 anos (veja o artigo de [Wiles]).
Agradeço o apoio recebido dos colegas do Brasil e de outros
países. Também quero agradecer o auxílio nanceiro que obtive de
instituições brasileiras e estrangeiras em meus estudos e pesquisas.
Salahoddin Shokranian
Brasília, 2004
[email protected]
3 Esse é um dos ramos do programa do Langlands, iniciado em 1967, que tem
como objeto o estudo da teoria dos números por meio da teoria de representação
de grupos.
Parte I
Geometria Hiperbólica e a Teoria Básica
de Formas Modulares
Capítulo 1
Subgrupos discretos de
SL(2, R)
Neste livro, M2(R) indicará o anel das matrizes 2 × 2 com entradas
reais e M2(Z), o anel das matrizes com entradas inteiras. Denotamos por G ou SL(2, R) o grupo
g=
a b
c d
∈ M2 (R) det(g) = ad − bc = 1 .
Neste capítulo, deniremos e estudaremos alguns tipos de subgrupos discretos de SL(2, R) conhecidos como subgrupos de
congruência.
Lema 1.1. Com a operação de multiplicação no M2 (R), o conjunto
será um grupo não comutativo.
Demonstração. Se g1 , g2 ∈ SL(2, R), então
SL(2, R)
det(g1 g2 ) = det(g1 )det(g2 ) = 1.
Isso implica: g1g2 ∈ SL(2, R). Se g ∈ SL(2, R), então g−1 existe
(pois det(g) = 0). Por outro lado, det(g−1) = (det(g))−1 = 1.
Portanto, g−1 ∈ SL(2, R).
Salahoddin Shokranian
8
É claro que o elemento neutro de SL(2, R) é a matriz identidade
I = I2 . É óbvio que SL(2, R) é um grupo não comutativo e seu
centro é:
Z(SL(2, R)) = {g ∈ SL(2, R) | gh = hg, ∀h ∈ SL(2, R)} = {±I}.
Para apresentar e denir subgrupos discretos de G = SL(2, R),
precisamos da noção da vizinhança no espaço G. Primeiro,
colo
a
b
caremos G no espaço R4 associando a cada elemento g =
c d
4
o ponto (a, b, c, d) ∈ R . Podemos, então, denir a noção da vizinhança de g por meio da topologia e da nocão de vizinhança do R4 .
a1 b 1
a2 b 2
Denição 1.2. Sejam g1 = c d , g2 = c d ∈ G. De1
1
2
2
nimos a distância entre g1 , g2 por
d(g1 , g2 ) = (a1 − a2 )2 + (b1 − b2 )2 + (c1 − c2 )2 + (d1 − d2 )2 .
Denição 1.3.
Uma
bola aberta
de raio r e centro g0 ∈ G no
espaço G é o conjunto
B(g0 , r) = {g ∈ G | d(g0 , g) < r}.
Um conjunto O ⊂ G é uma vizinhança de um elemento g0 ∈ G
se g0 ∈ O e O contém uma bola aberta com centro g0 . Assim, podemos denir uma estrutura topológica sobre G (a topologia induzida
por R4 ), que torna G um grupo topológico. Mais precisamente, com
essa topologia, as operações de multiplicação e inversão no SL(2, R)
são contínuas.
Denição 1.4.
Um subgrupo Γ ⊂ G é
discreto
se qualquer ele-
mento γ ∈ Γ é o centro de uma bola aberta B tal que B ∩ Γ = {γ}.
Subgrupos discretos de SL(2, R)
9
O nosso primeiro e ao mesmo tempo mais importante exemplo de subgrupo discreto de SL(2, R) será o subgrupo SL(2, Z) de
matrizes inteiras. Em outras palavras,
a b
SL(2, Z) = γ =
∈ SL(2, R) a, b, c, d ∈ Z .
c d
Lema 1.5. SL(2, Z) é um subgrupo discreto de G.
a0 b 0
Demonstração. Seja γ0 = c d ∈ SL(2, Z). Considere a
0
0
1
1
bola B(γ0 , 2 ) com centro γ0 e raio 2 . Esta bola tem a interseção
{γ0 } com o grupo SL(2, Z), que é o único elemento comum entre
B(γ0 , 12 ) e SL(2, Z). Portanto, SL(2, Z) é discreto.
1.1 Subgrupos de congruência
Uma classe grande de subgrupos discretos de G é a dos grupos
de congruência, cuja denição é simples e está baseada no conceito
de denição de congruência entre inteiros.
inteiro positivo.
1
Seja N um número
b1 b2
a 1 a2
Denição 1.6. Duas matrizes A = a a , B = b b do
3
4
3
4
anel M2 (Z) são congruentes módulo N quando
ai ≡ bi ( mod N ), i = 1, 2, 3, 4.
É fácil vericar que a relação de congruência entre matrizes é
uma relação de equivalência (veja o exercício 3).
1 Para a denição e propriedades elementares de congruência entre inteiros,
veja o livro [SSG] ou o livro [Sho uit].
Salahoddin Shokranian
10
Seja Z/N Z o sistema completo de resíduo módulo N . Sabemos
que Z/N Z, com as operações de soma e multiplicação de classes
de resíduo módulo N , forma um anel comutativo e nito com N
elementos. O elemento identidade desse anel é a classe formada
pelos números cujo resto da divisão por N é 1 (para detalhes veja
o livro de [SSG] ou o livro [Sho uti]).
Seja λ : Z → Z/N Z o homomorsmo de projeção entre anéis.
Podemos estender essa função e denir que
λN : SL(2, Z) −→ SL(2, Z/N Z),
de forma que
λN
a b
c d
a b
c d
=
,
onde SL(2, Z/N Z) é a matriz 2 × 2 com entradas de Z/N Z. Esse
conjunto com a multiplicação de classes forma um grupo.
Lema 1.7. λN
é um homomorsmo entre grupos.
Demonstração.
Sejam A =
Então,
AB =
a1 a2
a3 a4
, B=
a1 b1 + a2 b3 a1 b2 + a2 b4
a3 b1 + a4 b3 a3 b2 + a4 b4
b1 b 2
b3 b4
.
A denição de λN nos mostra que:
a1 b1 + a2 b3 a1 b2 + a2 b4
λN (AB) =
a3 b1 + a4 b3 a3 b2 + a4 b4
=
a1 b 1 + a2 b 3 a1 b 2 + a2 b 4
a3 b 1 + a4 b 3 a3 b 2 + a4 b 4
= λN (A)λN (B).
∈ SL(2, Z).
Subgrupos discretos de SL(2, R)
11
Denição 1.8. O núcleo (kernel) de homomorsmo λN é o subgrupo de congruência principal de nível N de SL(2, Z).
Por meio dessa denição, podemos escrever que:
Γ(N ) = Ker(λN ) = {γ ∈ SL(2, Z) | λN (γ) = I}.
Então,
⎧
⎪
⎪
⎨
a b
Γ(N ) = γ =
∈ SL(2, Z) c d
⎪
⎪
⎩
Exemplo 1.9.
a
b
c
d
≡
≡
≡
≡
⎫
1 ( mod N ) ⎪
⎪
⎬
0 ( mod N )
.
0 ( mod N ) ⎪
⎪
⎭
1 ( mod N )
(a) O grupo SL(2, Z) é o subgrupo de congruência
principal de nível 1 de SL(2,
Z). −1 0
(b) Se N = 2, −I =
∈ Γ(2), mas −I ∈ Γ(k), para
0 −1
k > N . Observe que −1 ≡ 1( mod k) se k > 2.
Pela parte (a) podemos denotar SL(2, Z) por Γ(1).
Lema 1.10:
Suponha que c1 e d1 são inteiros e que o máximo
divisor comum (c1 , d1 , N ) = 1. Então, existem inteiros c , d tal que
c ≡ c1 ( mod N ), d ≡ d1 ( mod N ), (c , d ) = 1.
Demonstração.
Suponha que (c1 , d1 ) = t. Então, existem inteiros
x, y , tal que xc1 + yd1 = t. Dividindo ambos os lados por t, teremos
que xc2 + yd2 = 1, onde c1 = tc2 , d1 = td2 . Mas (c1 − yN, d1 +
xN ) divide (xc1 − xyN, d1 + xN ). Usando a propriedade geral de
máximo divisor comum, que nos diz que para qualquer inteiro ,
Salahoddin Shokranian
12
(a, b) = (a + b, b), podemos ver que para os valores a = xc1 − xyN ,
b = d1 + xN , e = y ,
(xc1 − xyN, d1 + xN ) = (xc1 + yd1 , d1 + xN ).
Por outro lado
(xc1 + yd1 , d1 + xN ) = (t, d1 + xN )
= (t, xN ), pois t|d1
= (t, x), pois (t, N ) = 1.
Portanto, (xc1 − xyN, d1 + xN ) divide (t, x). Da mesma forma,
podemos mostrar que (c1 − yN, d1 + xN ) divide (t, y). Para ver
isso, observe que (c1 − yN, d1 + xN ) divide (c1 − yN, yd1 + xyN ) e
que:
(c1 − yN, yd1 + xyN ) =
=
=
=
(c1 − yN, yd1 + xc1 )
(c1 − yN, t)
(−yN, t)
(y, t).
Daí, (c1 − yN, d1 + xN ) divide ambos, (x, t) e (y, t) e, daí, ele divide
(x, y) = 1. Portanto, (xc1 − yN, d1 + xN ) = 1. Para completar a
demonstração, basta colocar c := c1 − yN , e d := d1 + xN .
Teorema 1.11.
(a) Γ(N ) é um subgrupo normal de Γ(1).
(b) A função λN é sobrejetora.
(c) O índice [Γ(1) : Γ(N )] é nito.
Demonstração.
O fato de ser Γ(N ) o núcleo de homomorsmo λN
já mostra que Γ(N ) é normal em SL(2,
Z) = Γ(1). Para provar a
a b
∈ SL(2, Z/N Z). Isso
parte (b) do teorema, suponha que
c d
nos mostra que existem inteiros a1 , b1 , c1 , d1 , tal que:
a b
a1 b 1
( mod N ).
≡
c1 d 1
c d
Subgrupos discretos de SL(2, R)
13
Segue-se que a1 d1 − b1 c1 ≡ 1( mod N ). Assim, o máximo divisor
comum (c1 , d1 , N ) = 1. Agora, para mostrar que λN é sobrejetora
podemos usar o lema acima. Podemos supor que (c1 , d1 ) = 1. Seja
n um inteiro que satisfaz a igualdade
a1 d1 − b1 c1 = 1 + nN.
Mas pelo fato de que (c1 , d1 ) = 1, existem inteiros a2 , b2 , tal que:
a2 d1 − b2 c1 = −n.
Agora deniremos:
a = a1 + a2 N,
c = c1 ,
b = b1 + b2 N
d = d1 .
Portanto, podemos ver que
a b
a b
a1 b 1
( mod N ).
∈ Γ(1), e
≡
c1 d 1
c d
c d
Isso mostra que λN é sobrejetora. A demonstração de (c) é bastante simples, pois o fato de Γ(N ) ser um subgrupo normal de Γ(1)
mostra-nos a que o índice de Γ(N ) no Γ(1) é igual à ordem do
grupo Γ(1)/Γ(N ). Então, pelo teorema do isomorsmo em teoria
elementar de grupos, temos que:
[Γ(1) : Γ(N )] = |Γ(1)/Γ(N )| = |SL(2, Z/N Z)|.
E pelo fato de ser a ordem de grupo SL(2, Z/N Z) nita (pois o
anel Z/N Z é nito), temos que [Γ(1) : Γ(N )] é nito.
Denição 1.12.
Um
subgrupo de congruência de nível N
é um subgrupo de SL(2, Z) que contém o grupo de congruência
principal de nível N .
Salahoddin Shokranian
14
1.1.1 O cálculo do índice
O teorema acima mostrou que o índice [Γ(1) : Γ(N )] é nito.
Podemos nos perguntar se existe a possibilidade de calcular explicitamente o índice [Γ(1) : Γ(N )]. O objetivo desta parte é mostrar
o cálculo do índice.
Seja M2 (A) o anel das matrizes 2 × 2 com entradas de A, onde
A é um anel associativo, comutativo e unitário.
pep for a decomposição de N nos seus
Lema 1.13. Se N =
p|N
divisores primos, então
(a) M2 (Z/N Z) ∼
M2 (Z/pep Z) é um isomorsmo entre anéis.
=
p|N
(b) SL(2, Z/N Z) ∼
=
SL(2, Z/pep Z) é um isomorsmo entre
p|N
grupos.
Demonstração.
Pelo teorema do resto Chinês, 2 a função
a −→
(a mod pep )
p|N
de Z/N Z no produto
(Z/pep Z) é um isomorsmo de anéis que
p|N
induz o seguinte isomorsmo entre anéis das matrizes:
M2 (Z/N Z) ∼
=
M2 (Z/pep Z),
p|N
onde:
2
a b
c d
a b (
→
mod pep ).
c d
p|N
Veja o livro [SSG], ou o livro [Lang], ou o livro [Sho uit].
Subgrupos discretos de SL(2, R)
15
Isso completa a demonstração de
(a). Para
demonstrar o item (b),
a b
deveremos observar que se γ =
∈ Γ(1), então (γ mod pep)
c d
pertence ao grupo SL(2, Z/pep Z). Reciprocamente, se
a b
ep
∈ SL(2, Z/pep Z)
mod p
c d
para todos os divisores primos p de N , então ad − bc ≡ 1( mod pep ),
e daí, ad − bc ≡ 1( mod N ).
Lema 1.14.
Seja ϕ a função de Euler.3 Então, a seguinte igualdade
entre as ordens de grupos é verdadeira:
|GL(2, Z/N Z)| = ϕ(N ) × |SL(2, Z/N Z)|.
Demonstração.
Seja (Z/N Z)∗ o grupo de elementos inversíveis
de Z/N Z pela operação de multiplicação de classes. Sabemos que
a função ϕ de Euler nos fornece uma fórmula para a ordem desse
grupo. Isso quer dizer que ϕ(N ) é a ordem de (Z/N Z)∗ . Considere agora a função determinante associando a cada matriz seu
determinante
det : GL(2, Z/N Z) −→ (Z/N Z)∗ .
É fácil notar que essa função é um homomorsmo sobrejetor (por
quê? Veja exercício 6). O núcleo desse homomorsmo é o grupo
SL(2, Z/N Z). Portanto, pelo teorema de isomorsmo entre grupos
temos a igualdade desejada.
Lema 1.15. A ordem do grupo SL(2, Z/N Z),
3 Veja o livro [SSG] ou livro [Sho uit].
ou igualmente o
Salahoddin Shokranian
16
índice [Γ(1) : Γ(N )] é:
|SL(2, Z/N Z)| = N 3
(1 −
p|N
1
).
p2
Demonstração. Para calcular essa ordem, podemos usar a parte
(b) do lema 1.13. Então, basta calcular as ordens dos grupos
SL(2, Z/pe Z). Quando ep = 1, o anel Z/pZ será um corpo com p
elementos. Nesse caso, a ordem de |GL(2, Z/pZ)| = (p2 − 1)(p2 − p)
(veja exercício 7). Portanto, pelo lema anterior, |SL(2, Z/pZ)| =
p3 (1 − p1 ). E quando ep > 1, a projeção
p
2
Φ : SL(2, Z/pep Z) → SL(2, Z/pZ)
denida pela
Φ
a
c
módulo pee
módulo p
b
d
módulo pee
módulo p
=
(a mod p) (b mod p) (c mod p) (d mod p)
será um homomorsmo sobrejetor (a prova desse fato é exatamente
como o teorema acima). Então, temos que:
|SL(2, Z/pep Z)| = |SL(2, Z/pZ)| × |KerΦ|.
Mas
KerΦ = {γ ∈ SL(2, Z/pep Z) | γ ≡ I( mod p)}.
Agora, precisamos calcular a ordem do grupo KerΦ. Para isso,
observemos que, para todo b, c, d ∈ Z/pe Z com
p
b ≡ c ≡ 0( mod p), d ≡ 1( mod p),