Cap. 6 – Escoamento de fluidos
incompressíveis e invíscidos
6.1 - Equações de Euler
6.2 - Equações de Euler em coordenadas de linha de corrente
6.3 – Equação de Bernoulli
6.4 – Relação entre equação da energia e a equação de Bernoulli
6.5 – Equação de Bernoulli para escoamento não permanente
6.6 – Escoamento irrotacional
6.1 – Equação da quantidade de movimento
para escoamento sem atrito
Equações de Euler :
 u
p
u
u
u 
gx 
   u  v
 w 
x
x
y
z 
 t


DV

 g  p
Dt
gy 
 v
p
v
v
v 
   u  v
 w 
y
x
y
z 
 t
 w
p
w
w
w 

gz 
 
u
v
w
z
x
y
z 
 t

z  z  z 
grad z  z 
i
j  k  00k
x
y
z

z  k
Se a coordenada z for orientada verticalmente:


g  gk  g z


DV

 g  p
Dt

DV

 gz  p
Dt

DV
p
 gz 
Dt



p DV V  
 gz 


 V.V

Dt
t
Em coordenadas cilíndricas, as três componentes da
equação de Euler são:
1 p
Vr
Vr V Vr
Vr V2
gr 
 ar 
 Vr

 Vz

 r
t
r
r 
z
r
g 
V
V
V V
V
VV
1 p
 a    Vr   
 Vz   r 
r 
t
r
r 
z
r
1 p
Vz
Vz V Vz
Vz
gz 
 az 
 Vr

 Vz
 z
t
r
r 
z
6.2 – Equações de Euler em coordenadas
de linha de corrente
 
V  V(s, t )
p ds 
p ds 


p

dn
dx

p




 dn dx  g sen ds dn dx  as ds dn dx
s 2 
s 2 



p
 g sen   a s
s
sen  z s
1 p
z

g
 as
 s
s
Vs  Vs (s, t )
as 

DVs Vs
V

 Vs s
Dt
t
s
1 p
z V
V
g

V
 s
s t
s
Para escoamento permanente, e desprezando forças de massa:

1 p
z V
V
g

V
 s
s t
s
1 p
V
V
0
 s
s
Para obter a equação de Euler na direção normal às linhas de corrente:
p dn 
p dn 


p 
 ds dx   p 
 ds dx  g cos dn dx ds  an dn dx ds
n 2 
n 2 



p
 g cos   an
n
V2
an  
R
cos  z n
1 p
z

g
 an
 n
n
1 p
z V 2
g

 n
n R
6.3 – Equação de Bernoulli – A integração da Equação
de Euler ao longo de uma linha de corrente
6.3.1. - Dedução com o uso de coordenadas de linha de corrente:
1 p
z
V
g V
0
 s
s
s
Se uma partícula fluida mover-se de uma distância ds:
p
ds  dp
s
z
ds  dz
s
V
ds  dV
s
variação de pressão ao longo de s
variação de elevação ao longo de s
variação de velocidade ao longo de s
1 p
z
V
g V
0
 s
s
s

dp
 g dz  V dV  0

dp
 g dz  V dV  cte

(ao longo de s)
Para massa específica constante (escoamento incompressível) :
p
V2
 gz 
 cte

2
Restrições:
(1) Escoamento permanente
(2) Escoamento incompressível
(3) Escoamento sem atrito
(4) Escoamento ao longo de uma linha de corrente
6.3.2 - Dedução com o uso de coordenadas retangulares




p DV
V
V
V  
(Regime
 gz 

u
v
w
 V.V
permanente)

Dt
x
y
z

ds
(Distância ao longo de uma linha de corrente)




Sendo
ds  dx i  dy j  dz k
tem-se:
  


 gz.ds  (1/ )p.ds  ( V.V).ds



 p    1  p  p  p  
 
.ds    
i
j  k .(dx i  dy j  dz k )
y
z 
  
   x
 p    1  p
p
p 
dp
 
.ds     dx 
dy 
dz   
y
z 

  
   x





(gz).ds  (gk).(dx i  dy j  dz k)  gdz
  1  


V.V  ( V.V )  V    V
2




E, uma vez que V é paralelo a ds , V    V  0
   1     1

2
V.V .ds   ( V.V ) .ds  V .ds
2
2

Expressão obtido no
cálculo vetorial:




2 
2 
2 






1
1

V

V

V
2
V .ds  
i
j
k .(dx i  dy j  dz k )
2
2  x
y
z 
 1  V 2
1
V 2
V 2  1 2
2
V .ds  
dx 
dy 
dz   dV
2
2  x
y
z
 2
  


 gz.ds  (1/ )p.ds  ( V.V).ds
dp 1 2
gdz 
 dV  0
 2
fica :




6.3.3. – Definições de pressões estática, de estagnação e dinâmica
p
V2
 gz 
 cte

2
0
V02
p
V 2 p0
 gz 

 g z0 

2

2
z  z0
Pressão de estagnação :
(Escoamento incompressível)
Pressão dinâmica :
V0  0
V2
p0  p  
2
V2
pd  
2
(p0  p)
V 2

Pressão de estagnação = Pressão estática + Pressão dinâmica
Medição de pressão estática
Pequenos orifícios
Tomada de pressão na parede
Medição de pressão de estagnação
Tubo de Pitot
Sonda de pressão no escoamento
Medição de simultânea de pressão
estática e pressão de estagnação
Problema exemplo:
Um tubo de Pitot
inserido em um escoamento
conforme mostrado.
O fluido é ar, e o líquido
manométrico é mercúrio.
Determinar: A velocidade do escoamento
p
V2
 gz 
 cte

2
p0  p  ( Hg  ar ) h
V 2
(dHg  dar ) H2O g h
dar H2O
p0 p V 2
 
  2
V 2
(p0  p)
ar
p0  p  (dHg  dar ) H2O g h
 dHg

V  2
 1 g h  80,6 [m / s]
 dar

6.3.4 - Aplicações
Bocal (com ar)
Determinar: p1 - patm
p
V2
 gz 
 cte z1  z 2

2
p1 V12 p2 V22




2

2
2
2
2
1
p1 patm V
V





2
2
E.C.Massa A1V1  A 2 V2
p1  patm
2

 A2  
ar V
 
1  

2   A1  


2
2
p1  patm

2

 V1  
V  V  V
1 
 
1    

2  V  2   V2  


2
2
2
1
2
2
2
2
V1 / V2  A 2 / A1
p1  patm
1,23 x 502

2
p1  patm  1.476 [N / m2 ]
  0,02 2 
 
1  
  0,1  
Sifão (com água)
Determinar:
(a) velocidade da água na saida (jato livre)
(b) pressão no ponto A do escoamento
p1
V12 p2
V22
 gz1 

 gz2 

2

2
p1  p2  patm
V22
g( z1  z 2 ) 
2
V1  0
z1  0
V2  2 g[0  (7)]
V2  2 x 9,8 x 7  11,7 [m / s]
p1
V12
pA
VA2
E.C.Massa A A  A 2  VA  V2
 gz1 
0
 gz A 

2

2
pA
pA
V22
 g z A  g x 7
pArel  78,4 [kPa ]
0
 g zA 


2
A avião voa a 150 km/h em uma altitude de 1000 m. Determine a
pressão de estagnação na borda de ataque da asa. Em um certo ponto da asa
(B) a velocidade relativa do ar à asa é 60 m/s. Calcule a pressão neste ponto.
p0 V02 p A VA2 pB VB2





0
2
A
2
B
2
0   A  B 
0  0,9075x1,23  1,11 [kg / m3 ]
p0  0,887x101,3  89,85 [kPa ]
V0  150 [km / h]  41,66 [m / s]
p0 V02 p A 0



0
2
A 2
V02
p A  p 0  0
2
41,662
p A  89.850  1,11
 90,81 [kPa ]
2
VB2
pB  p A  0
2
602
p A  90.813  1,11
 88,8 [kPa ]
2
6.4 – Relação entre a equação da energia e
a equação de Bernoulli
 W
 W
 W

Q
e
cis .
outros 
Fazendo :
  e  dV
t
 W
 W

W
e
cis.
outros  0
Considerando regime permanente :
Para um tubo de corrente:
VC

p  
   e    V.dA
SC



p  

Q    e    V.dA
SC


 
 




p
p
   e    V.dA   e    V.dA
Q
1  
2  
2
2



V
p
V
p2 
1
1
2




Q   u1  gz1 
   1V1A1    u2  gz2 
   2 V2 A 2 
2 1 
2 2 



E.C.Massa
1V1A1  2 V2 A 2  m
2
2



V
p
V
p2  
1
1
2


Q   u1  gz1 
   m   u2  gz 2 
   m
2 1 
2 2 


2
2



V
p
V
p2  
1
1
2


Q   u1  gz1 
   m   u2  gz 2 
   m
2 1 
2 2 




Q
V22 p2  
V12 p1 
  u2  gz2 
    u1  gz1 
 

m
2 2  
2 1 



V12 p1  
V22 p2  
Q
 gz1 
    gz 2 
    u2  u1  

2 1  
2 2  
m



V12 p1  
V22 p2  
Q
 gz1 
    gz 2 
    u2  u1  

2 1  
2 2  
m


Q
q

m
J
 kg 
 
u2  u1  q  0
u2  u1  q  0

V12 p1  
V22 p2 
 gz1 
    gz2 
 
2 1  
2 2 

Processos reversíveis
(isoentrópico) ideais:
Processos
irreversíveis reais:
Escoamento ideal sem perdas
(eq. de Bernoulli)

V12 p1  
V22 p2  perdas  J 
 gz1 
    gz2 
  
 kg 
2

2

massa
 
1
2 


Escoamento
real
V12 p1
V22 p2
gz1 
  gz2 

2 1
2 2
 J   m2 
 kg ou s2 
   
Eq. de Bernoulli
g
V12 p1
V22 p2
z1 
  z2 

H
2g 1
2g  2
z
V2

2g
p


H
m
altura de carga devido a elevação (ou cota)
altura de carga devido a pressão dinâmica
altura de carga devido a pressão estática local
altura de carga total do escoamento
Conceito de
linha de energia e
linha piezométrica
linha piezométrica:
representa a soma
das alturas de carga
de pressão estática
e de elevação.
6.5 - Equação de Bernoulli para escoamento
não permanente


  p   DV 
p DV
 gz 

 gz.ds   .ds  .ds

Dt
Dt
  

V
V
DV  DVs
.ds 
ds  Vs s ds  s ds
Dt
Dt
s
t
Vs
dp
 gdz 
 Vs dVs 
ds

t
6.6 – Escoamento irrotacional
Escoamento irrotacional é aquele onde os elementos fluidos
não sofrem rotação




  x i  y j  zk  0


 1
    V  0  V  0
2
 w v   u w   v u 

    
      0
 y z   z x   x y 
Coordenadas cilíndricas:
 1 Vz V   Vr Vz   rV Vr






z   z
r   r

 r 

0

6.6.2 – Potencial de Velocidade
Pode-se formular uma relação chamada função potencial, f,
para um campo de velocidade irrotacional. Usa-se a identidade
vetorial fundamental abaixo, onde f é uma função escalar:
rotacional(gradf)    f  0
Define-se f , função potencial , cujo gradiente é o campo de
velocidade vezes menos um:

V  f
f
u
x
f
v
y
Em coordenadas cilíndricas :
f
Vr  
r
1 f
V  
r 
f
w
z
f
Vz  
z
6.6.3 – Função Corrente e Potencial de Velocidade
Escoamento bidimensional, incompressível e invíscido :
Função corrente:
Potencial de velocidade:
Condição de
irrotacionalidade:

u
y
f
u
x
v u

0
x y
 2  2
 2  2 0
x
y
 2  2
 2 0
2
x
y

v
x
f
v
y
Conservação da
massa:
u v

0
x y
 2f  2f
 2  2 0
x
y
 2f  2f
 2 0
2
x
y
Anteriormente mostrou-se que a
função corrente é constante na
linha de corrente:
A inclinação de uma linha de
corrente (uma linha de  constante)
é dada por:
Ao longo de uma linha de f
constante, d f = 0 :
A inclinação de uma linha potencial
(uma linha de f constante) é dada
por:


dx 
dy  0
x
y
y 
 / x
v v


 
x 
 / y
u
u
f
f
df 
dx  dy  0
x
y
y 
f / x
u

 
x f
f / y
v
Exemplo: Considere o campo de escoamento dado pela
função corrente expressa ao lado.
Mostre que o escoamento é irrotacional e determine o
potencial de velocidade para este escoamento.
Componentes u e v do
escoamento:
Se o escoamento é
irrotacional z = 0.
Condição de
irrotacionalidade:
escoamento é irrotacional
  ax 2  ay 2
(a  3s 1 )
 (ax 2  ay 2 )
u

 2ay
y
y

(ax 2  ay 2 )
v

 2ax
x
x
v u

0
x y
( 2ax ) ( 2ay )

 2a  2a  0
x
y
u  2ay
Componentes u e v do escoamento:
f
u
x
Definição de Potencial de velocidade:
f
 2ay  
x
f
 2ax  
y
f  6xy  f ( y)
v  2ax
f
v
y
f
 6y
x
e
f  6xy  f ( x)
como f(y) e f(x) devem ser iguais f(x)=f(y)=cte:
f  6xy  c
f
 6x
y
6.6.4 – Escoamentos planos elementares
Escoamento Uniforme:
uU v 0
f  Ux   Uy
G =0 (circulação igual a zero) em
torno de qualquer curva fechada
Escoamento tipo Fonte
(a partir da origem):
q
Vr 
V  0
2r
q
q
f   lnr  

2
2
G =0 (circulação igual a zero) em
torno de qualquer curva fechada
A origem é um ponto singular
q é a vazão em volume por unidade de profundidade
Escoamento tipo Sorvedouro
(na direção da origem):
q
Vr  
V  0
2r
q
q
f
lnr   

2
2
G =0 (circulação igual a zero) em
torno de qualquer curva fechada
Vórtice irrotacional (anti-horário
centro na origem):
K
V 
Vr  0
2r
K
K
f
    lnr
2
2
A origem é um ponto singular
K é a intensidade do vórtice
A origem é um ponto singular
q é a vazão em volume por unidade de profundidade