UNIVERSIDADE ESTADUAL DE CAMPINAS
INSTITUTO DE MATEMÁTICA, ESTATÍSTICA E COMPUTAÇÃO CIENTÍFICA
Matemática – Licenciatura
Monografia
(A Origem dos Números)
Jéssica Roldão de Oliveira Assis
RA 160332
Campinas
2014
1
A História dos números
A necessidade de contar começou com o desenvolvimento das atividades humanas, quando o
homem foi deixando de ser pescador e coletor de alimentos para fixar-se no solo.
As primeiras formas de agricultura iniciaram cerca de dez mil anos no Oriente Médio. Assim
começou então a necessidade de se controlar o rebanho.
Pela manhã para cada animal que saia para o rebanho, era inserida uma pedrinha em um
saco. No final da tarde a operação era inversa, onde, para cada animal que retornava era
retirada uma pedra do saco. Se a quantidade de pedras fosse maior que número de animais, é
porque faltavam animais, na comparação inversa, se a quantidade de pedras fosse menor que
o numero de animais, significava que voltaram mais animais, onde nesse caso, acrescentaria a
pedra no saco referente aquele animal. Isso sempre feito de um a um.
A palavra CÁLCULO, é derivada da palavra latina calculus, que significa pedrinha.
A comparação unidade a unidade não era feita apenas com pedras, mas também com vários
tipos de notação, tais como marcas nas paredes, talhes em ossos, desenhos em cavernas, nós
em cordas, entre outros.
- Representação Numérica
Ao longo dos anos, as mudanças foram acontecendo e as quantidades foram representadas
por símbolos, gestos, palavras, etc. Onde cada povo tinha a sua maneira de representá-las.
- Alguns números antigos:
No início da escrita em civilizações tais como a egípcia, a babilônica e outras, os primeiros
nove números inteiros eram anotados pela repetição de traços verticais:
I II III IIII IIIII
1 2 3 4
5
IIIIII
6
IIIIIII
7
IIIIIIII
8
IIIIIIIII
9
Devido à dificuldade de se contar mais de quatro termos o método foi mudado.
II
III
IIII
IIII
I
1 2
3
4
5
I
IIII
II
IIII
III
IIII
IIII
6
7
8
IIII
IIII
I
9
Um dos sistemas de numeração Egípcio é o de base dez e era composto por símbolos
numéricos, tal que das bases 100 a 1.000.000, cada uma era representada por um símbolo.
2
Já na Babilônia, as primeiras formas de contagem foram utilizadas com partes do corpo, onde
em algumas aldeias chegavam a contar até 33.
Nosso sistema de numeração surgiu na Ásia, há muitos séculos no Vale do rio Indo, onde hoje
é o Paquistão.
O primeiro número inventado foi o 1 e ele significava o homem e sua unicidade, o segundo
número 2, significava a mulher da família, a dualidade e o número 3 (três) significava muitos,
multidão. A curiosidade sobre os nomes do 3, não deve ter ocorrido por acaso.
Inglês
Three
Francês
trois
Latim
tres
Grego
treis
Italiano
tre
Espanhol
tres
Sueco Alemão Russo Polonês Hindu
Ter
drei
tri
trzy
tri
Português
três
- Notas históricas sobre a atual notação posicional
Foi no Norte da Índia, por volta do século V da era cristã, que nasceu o mais antigo sistema de
notação próximo do atual.
Esta numeração tinha uma característica do sistema moderno. Seus nove primeiros algarismos
eram sinais independentes:
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
o que significava que um número como o 5 não era entendido como 5 unidades mas como um
símbolo independente.
- Criação do zero
Tendo em vista o problema na construção dos números como 301, os hindus criaram um
símbolo para representar algo vazio (ausência de tudo).
Dessa forma foi resolvido o problema da ausência de um algarismo para representar as
dezenas no número 301.
O zero foi o último número a ser inventado e o seu uso matemático parece ter sido criado pelos
babilônios.
Os documentos mais antigos conhecidos onde aparece o número zero, não são anteriores ao
século III antes de Cristo. Nesta época, os números continham no máximo três algarismos.
Um dos grandes problemas do homem começou a ser a representação de grandes
quantidades. A solução para isto foi instituir uma base para os sistemas de numeração.
Os númerais indo-arábicos e a maioria dos outros sistemas de numeração usam a base dez,
isto porque o princípio da contagem se deu em correspondência com os dedos das mãos de
um indivíduo normal.
3
Na base dez, cada dez unidades é representada por uma dezena, que é formada pelo número
um e o número zero: 10.
Números Naturais (ℕ)
ℕ é o conjunto, cujo elementos são chamados de números naturais. A essência de ℕ
reside na palavra “sucessor”. Intuitivamente, quando, n, n’ ∈ ℕ, dizer que n’ é o
sucessor de n significa que n’ vem logo depois de n, não havendo outros números
naturais entre n e n’. O uso e propriedades de “sucessor” é regido pelas regras abaixo:
A) Todo numero natural tem um único sucessor
B) Números naturais diferentes tem sucessores diferentes;
C) Existe um único numero natural, chamado um e representado pelo símbolo 1,
que não é sucessor de nenhum outro;
D) Seja X um conjunto de números naturais (isto é, X⊂ ℕ). Se 1 ∈ X e se além
disso, o sucessor de todo elemento de X ainda pertence a X, então X = ℕ .
Os axiomas acima são conhecidos como “Axiomas de Peano”.
- O zero e o ℕ
Zero é ou não é parte do conjunto ℕ?
Não é uma questão que devemos dar muita importância. Se partirmos de Peano,
dizemos que não, pois como mostra o axioma C – “Existe um único numero natural,
chamado um e representado pelo símbolo 1, que não é sucessor de nenhum outro”,
não se pode haver nenhum numero antes de 1.
Trata-se de uma questão de preferência. O que não podemos esquecer é que o zero
foi adotado não como um número e sim como um algarismo, com o utilíssimo objetivo
de preencher uma casa decimal vazia, conforme vimos acima.
Números Reais (ℝ)
O conjunto dos ℝ, cujos elementos são os números racionais e os números irracionais
chama-se o conjunto do números reais. Ou seja, os números reais ℝ, podem ser
racionais ou irracionais.
O conjunto ℝ pode ser visto como o modelo aritmético de uma reta enquanto esta, por
sua vez, é um modelo geométrico de ℝ. ℝ é uma concepção bem mais rica e mais
sutil que ℕ.
A descrição mais simples para ℝ consiste em dizes que se trata de um corpo
ordenado completo. Dizemos apenas que ℝ é um corpo porque estão definidas as
quatro operações: adição, subtração, multiplicação e divisão. A completeza de ℝ
equivale à continuidade da reta.
4
Cardinalidade
Quando dizemos “o número um”, “ o numero dois” , as palavras “um” e “dois” são
substantivos, pois são nomes de objetos. Isto contrasta com o uso destas palavras em
frases como “um ano e dois meses”, onde elas aparecem para dar idéia de cardinal,
isto é, como resultado de contagem.
Uma função f : X → Y chama-se uma bijeção, ou uma correspondência biunívoca
entre X e Y quando é ao mesmo tempo injetiva e sobrejetiva.
Definindo uma correspondência biunívoca f : X → Y, pondo para cada x ∈ X, f ( x ).
Assim, dois conjuntos X e Y tem o mesmo número cardinal quando se pode definir
uma correspondência biunívoca f : X → Y.
Seja AB um segmento de reta. Para medi-lo, é necessário fixar um segmento-padrão
u, chamado segmento unitário. Por definição, a medida do segmento u é igual a 1.
Estipularemos ainda que segmentos congruentes tenham a mesma medida e que se
n-1 pontos interiores descompuserem AB em n seguimentos justapostos então a
medida de AB será igual à soma das medidas desses n segmentos.
Se estes segmentos parciais forem todos congruentes a u, diremos que u cabe n
vezes em AB e a medida de AB será igual n.
Pode ocorrer que um segmento unitário não caiba um numero exato de vezes em AB.
Então a medida AB não será um numero natural ℕ e sim um número real ℝ.
5
Bibliografia:
http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/fundam/numeros/numeros.htm
acessado em 19/04/2014 as 17:30h.
,
- J.D. da Silva / e V. dos S. Fernandes “Matemática” – Horizontes – IBEP.
- E.L. Lima, P.C.P. Carvalho, E. Wagner e A.C. Morgado, "A Matemática do Ensino
Médio", Vol. 1, 10.ed. 2012.
6