INSTITUTO POLITÉCNICO DE VISEU
ESCOLA SUPERIOR DE TECNOLOGIA
Departamento Matemática
Curso
Disciplina Métodos Estatísticos
Engenharia Civil
1º
Ano
Prova Exame
Semestre
2º
Ano
Lectivo
2003/2004
Data 12 de Julho de 2004
Época Normal
Duração
2h30m
Sem Consulta
1. Uma vez avariado certo aparelho é insusceptível de reparação. A sua duração, em anos, é uma variável
aleatória X com função densidade de probabilidade:
⎧ 2
se 0 ≤ x < 2
⎪ 10 x
⎪⎪ 2
2
f ( x ) = ⎨−
x+
se 2 ≤ x ≤ 5
3
⎪ 15
0
se
c.c.
⎪
⎪⎩
a) Determine a função distribuição da variável aleatória X.
b) Qual a probabilidade de um aparelho durar entre 1 e 3 anos?
c) Dos aparelhos que se avariam durante o prazo de garantia (1ano), qual a percentagem dos que duram pelo
menos 6 meses?
d) Das pessoas possuidoras de um destes aparelhos e que não avariam no prazo de garantia, 40% compram
um segundo aparelho, enquanto que para aquelas cujo aparelho avaria no prazo de garantia esta proporção é
de apenas 5%. Encontra-se uma pessoa a comprar um segundo aparelho. Qual a probabilidade de o seu
primeiro aparelho ter avariado durante o prazo de garantia?
2. Admita-se que determinada caixa Multibanco é utilizada em média, 10 vezes por dia (das 9h às 19h) e
que o número de utilizações é uma variável aleatória com distribuição de Poisson.
a) Determine a probabilidade de a caixa ser utilizada pelo menos 4 vezes entre as 14h e as 19h?
b) Calcule o valor esperado e a variância do número de utilizações semanais (7 dias) da caixa.
c) Qual é a probabilidade de, num trimestre (84 dias), se verificarem menos de 60 dias em que a caixa
Multibanco foi utilizada pelo menos 4 vezes entre as 14h e as 19h.
3. Duas amostras independentes, obtidas de populações normalmente distribuídas, forneceram os seguintes
x 2 = 37.9 s 22 = 16.2 n 2 = 16
resultados: x1 = 33.2 s12 = 15.7 n1 = 13
a) Teste se as variâncias das duas populações são significativamente diferentes, usando α = 0.05.
b) A um nível de confiança de 90%, verifique se existe desigualdade entre as médias das duas populações.
Suponha a igualdade de variâncias.
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ESCOLA SUPERIOR DE TECNOLOGIA
Data 12 de Julho de 2004
Disciplina Métodos Estatísticos
Época Normal
Prova Exame
4. O tempo total, em minutos, que uma determinada pessoa demora para ir de casa até ao emprego tem 3
partes:
T1: tempo decorrido desde que sai de casa até apanhar o autocarro;
T2: tempo que demora a viagem de autocarro;
T3: tempo desde que sai do autocarro até chegar ao emprego.
As variáveis T1, T2 e T3 são independentes e com distribuições N (8, 2), N (20, 4) e N (6, 1), respectivamente.
a) Determine a probabilidade de:
i)
a viagem de autocarro demorar mais de 15 minutos.
ii) o tempo total, desde casa até ao emprego, exceder 35 minutos;
i)
a duração da viagem de autocarro ser superior a 2/3 do tempo necessário para ir de casa até ao
emprego.
b) Suponha que a pessoa encontra um amigo à saída de casa e que o tempo, em minutos, da conversa tem
uma distribuição normal de valor esperado 5 minutos. Calcule o valor do desvio padrão de modo a que, em
pelo menos 90% dos casos, o tempo parado a conversar seja superior a 4 minutos.
5. Uma companhia de seguros pretende construir um modelo de regressão que lhe permita prever o número
de acidentes automóveis que ocorrem mensalmente numa estrada. Para esse efeito resolveu analisar o seguinte
modelo Y = β 0 + β 1 X + E em que:
Y – número de acidentes ocorridos na estrada, por mês;
X – número de dias em que ocorre precipitação na estrada, por mês.
Com base nos valores observados durante 3.5 anos (42 meses) obtiveram-se os seguintes resultados:
(X
T
X
)
−1
⎡ 2.6182 − 0.0056⎤
=⎢
⎥
⎣− 0.0056 0.0005 ⎦
(X
T
X
.18⎤
) (X y ) = ⎡⎢−07.32
⎥
−1
T
⎣
⎦
SST = 252.4792 SSE = 21.1385
a) Estime os parâmetros do modelo pelo método dos mínimos quadrados e indique a recta de regressão
estimada.
b) Pode concluir-se que um aumento no número de dias em que ocorre precipitação implique um aumento
significativo no número de acidentes ocorridos na estrada? Justifique, usando α = 0.01.
c) Calcule o coeficiente de determinação e interprete o seu significado.
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